SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE IN
FISICA SANITARIA
CORSO di MODELLISTICA
Modulo di
ELEMENTI DI TEORIA DELL’ANALISI
COMPARTIMENTALE
Sito internet: http://users.unimi.it/agiuss/modelli.html
TEL 02.50317432
e-mail:
[email protected]
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ELEMENTI DI TEORIA DELL’ANALISI
COMPARTIMENTALE
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A
R
G
O
M
E
N
T
I
Teoria del tracciante
Integrale di convoluzione
Analisi compartimentale
Identificabilità a priori
Stima dei parametri incogniti
Tecniche di minimizzazione ai minimi quadrati
Modelli di varianza
Esempi ed esercizi pratici col software SAAMII
(Forcing functions, fit bayesiano….)
Analisi di sensibilità.
Metodi per la raccolta di dati sperimentali.
SISTEMA IN STATO STAZIONARIO COSTANTE
E SENZA INPUT DALL’ESTERNO
 t   R 
Q
i
i0
R ij Q j    R ji Qi   R 0i Qi   0

j1
j1
n
n
ji
ji
Ipotesi: ho un solo compartimento
accessibile, tutto il resto lo vedo
come un unico insieme
Rate of appearance:
Ra(t) = R10(t)+E1(t)
Rate of disappearance:
Rdt  
n
n
j 0
j 1
j2
 R j1 t    R1j t 
i  1, 2,, n
Pool non
accessibile
SISTEMA IN STATO STAZIONARIO COSTANTE
E SENZA INPUT DALL’ESTERNO
Ra=Rd
Se si vuole conoscere Ra, bisogna trovare il collegamento tra Ra e la
variabile accessibile alla misura (es. concentrazione della sostanza).
Questo collegamento è dato dalla relazione:
Ct  
t
ht,  Ra () d
h(t) è il “kernel” (nocciolo) del sistema: dà la risposta del sistema ad
uno stimolo (che è Ra). Nel caso stazionario, Ra e C sono costanti, e
la relazione precedente può essere espressa come
Ra 
C

 hd
0
DETERMINAZIONE DELLA FUNZIONE h(t)
UTILIZZO DEL TRACCIANTE
Condizioni che deve soddisfare il tracciante:
1) Comportarsi come la sostanza da tracciare (tracee)
2) Quantità trascurabile rispetto al tracee
3) Discriminabile dal tracee per mezzo di opportune tecniche
analitiche di misura (traccianti radioattivi, traccianti stabili)
Quindi: si somministra un tracciante, se ne determina la
concentrazione nel compartimento accessibile (funzione
risposta), si ricava h.
SOMMINISTRAZIONE IN BOLO
INFUSIONE A TASSO COSTANTE
“PRIMED INFUSION”
SOMMINISTRAZIONE IN BOLO
ct   d
k
Ai e

i 1
 i t
h ( t )  c( t ) / d
25
20
15
10
Ra 
C
5
k

i 1
Ai
i
0
0
50
100
150
200
INFUSIONE A TASSO COSTANTE
ct   r


i 1
k
Ai
1  e i t
i

5
C
Ra  r
c
0
0
50
100
150
200
“PRIMED INFUSION”
ct   d
k
Aie

i 1
i t
r


i 1
k
 
Ai
1  e  i t 
i
 Ai
A i  
 i t 
r


   e  d  Ai  r   
i
i 

i 1 
k
25
d  Ak  r
Ak
0
k
r
 k
d
20
15
10
C
Ra  r
c
5
0
0
50
100
150
200
Equazioni della cinetica del tracciante
q i 
n

i 1
rij 
ji
q i 
n

j0
rji  ri 0
i  1, 2,, n
ji
n
R ijs
n
R jis
qj 
q i  ri 0

i 1 Q js
j0 Q is
ji
rji t  
R jis
Qis
q i t 
i  1, 2,, n
ji
Siccome nello stato stazionario Rijs e Qjs sono costanti,
allora l’equazione che regola la cinetica del tracciante è
un’equazione lineare, QUALE CHE SIA LA DINAMICA
R ijs
k ij 
DEL TRACEE.
Q
js
Non è possibile però ricavare informazioni sulle eventuali
variabili di controllo (non entrano nell’equazione del
tracciante).
Equazioni della cinetica del tracciante:
small signal perturbation.


R ij  R ijs  Q j  Q js 
dQis  Qi 
 R i 0s 
dt

dR ij

R

 ijs dQ
j
j1 

n

 dR
 ij
 
Q
i
 dQ
j
j1 

  
n
dQ j
Q j Q js


 Q j  

Q j Q js



 Q j  

Q j Q js

2
1
2 d R ij
 Q j  Q js 
2
dQ 2j

dR ij

 R  dR ji
 jis dQi
j0 
n

 dR
ji


j 0  dQ i
n


Qi  Qis
Qi Qis

Qi Q js

 Qi   R i 0



 Qi   R i 0


L’equazione del tracciante è sempre lineare,
ma in questo caso i parametri kij
corrispondono alla derivata del flusso
rispetto alla quantità di tracee.
k ij 
i  1, 2, , n
i  1, 2,  , n
dR ij
dQ j
Q j  Q js
Metodo della convoluzione: esempio
del doppio tracciante.
Due compartimenti accessibili
Si vuole studiare la risposta del
secondo compartimento ad un input
generato nel primo
Metodo della convoluzione: esempio
del doppio tracciante.
Due compartimenti accessibili
Si vuole studiare la risposta del
secondo compartimento ad un input
generato nel primo
25
20
15
10
5
0
0
100
200
Post-administration time (min)
300
400
Metodo della convoluzione: esempio
del doppio tracciante.
Due compartimenti accessibili
Si vuole studiare la risposta del
secondo compartimento ad un input
generato nel primo
25
20
15
10
t
G t   Bt   Ft   B Ft   d
0
5
0
0
100
200
Post-administration time (min)
300
400
Metodo della convoluzione: esempio
del doppio tracciante.
L’integrale di convoluzione può essere risolto facendo
ricorso alle trasformate di Laplace:
LGt   LBt   Ft   LBt  LFt   b(s)  f (s)
bs   LBt  
 
Le
1 
at
1  at
L 
e
sa
LGt  gs 

LFt  f s 

s 


 f s  
1  g
Bt   L
1

sa
1 

 t n 1  e  at

L 
n 
n  1!
 s  a  
1
 1 b  e  at  a  e  bt
1
  
L 
ab  a  b 
 s  s  a   s  b   ab
1 
Metodo della convoluzione: esempio
del doppio tracciante.
Nel caso in cui si preferisca non ricorrere alle trasformate di Laplace, si può
effettuare una discretizzazione dell’integrale di convoluzione
Gn  t  
G (0)  B0   F0 
G (1)  B0   F1 
G (2)  B0   F2  


n
Bi  t   Fn  t  i  t   t

i 0
B1  F0 
B1  F1 

B2  F0
G (K )  B0   FK   B1  FK  1  B2   FK  2     BK   F0 
Metodo della convoluzione:
calcolo della f1 con isotopi stabili.
0.025
0.020
50
0.015
B(t)
Concentrazione in plasma (ng Mo/ml)
45
40
0.010
35
30
0.005
25
20
0.000
0
15
50
100
150
200
250
300
Tempo (minuti)
10

5
0
0
100
200
300
Tempo (minuti)
400
500
f1  Bt   dt
0