Nonostante questo sistema sia presente su tutti gli aerei e anche su molte
automobili, poche persone sanno realmente come funziona e ancora meno
persone conoscono l’importantissimo ruolo svolto dalla relatività di Einstein nella
costruzione e nel funzionamento di questo apparecchio.
Iniziamo a capire in che cosa consiste il
Il sistema consiste in una costellazione di 24 satelliti; Il primo fu lanciato nel
Febbraio 1978, e il più recente il 6 Novembre 2004.
Il GPS è usato per la meteorologia, telecomunicazioni e anche per la navigazione
satellitare
Quindi il GPS NON E’ soltanto quell’apparecchio, più o meno grande, che vediamo
nelle automobili o sui palmari di ultima generazione.
In realtà esso è composto da tre segmenti :
1. il segmento spaziale: I 24 satelliti
sono distribuiti su 6 piani orbitali
diversi ma egualmente spaziati fra di
loro, inclinati di 55 gradi rispetto al
piano equatoriale. Hanno un periodo
di rivoluzione di circa 12 ore attorno
alla terra; le loro orbite sono quasi
circolari con un raggio di circa
quattro volte il raggio terrestre;
hanno una velocità orbitale di 3,9
km/s. A bordo di ogni satellite ci sono
4 orologi atomici (2 orologi atomici al
cesio e due al rubidio) con una
precisione di 3*10^-9 secondi
Fra tutti gli orologi inventati dall’uomo ed i processi naturali
utilizzati per misurare il tempo l’orologio atomico è quello
che si avvicina maggiormente alle richieste dell’orologio
perfetto relativistico e, difatti, è l’orologio più preciso mai
costruito dall’uomo.
L’orologio atomico sfrutta le vibrazioni dell’atomo di Cesio o
Rubidio, che sono dell’ordine di 10^9 per secondo. L’atomo
ha poi massa minima e dimensioni irrilevanti, per cui si
avvicina quanto più alle caratteristiche di un orologio
relativistico.
2. Segmento di controllo : un gruppo di stazioni di monitoraggio
che hanno la loro sede centrale in Colorado. Le stazioni a terra
hanno il compito di monitorare le orbite dei satelliti del GPS,
sincronizzare gli orologi atomici a bordo dei satelliti, e scaricare
i dati per la trasmissione tramite i satelliti.
3. Segmento d’utilizzo: ogni ricevitore, anche quelli a bordo
delle automobili, delgi aerei e delle navi. Essi ricevono il
segnale, lo elaborano, ricavano le informazioni a proposito
della velocità, posizione e tempo del veicolo.
Come si riesce da questa maglia di satelliti
a risalire alla posizione di un punto?
Ognuno dei 24 satelliti invia dei segnali. Quando il segnale giunge al
ricevitore gli consegna l’informazione sul tempo segnato dall’orologio del
satellite nell’istante in cui è partito. Quello che il ricevitore fa è
essenzialmente il confronto del tempo in cui il segnale è stato emesso con il
tempo in cui il segnale è stato ricevuto. La differenza tra i due tempi
moltiplicata per la velocità della luce dà la distanza del ricevitore dal satellite.
Questo procedimento è fatto contemporaneamente con almeno quattro satelliti
e i dati vengono elaborati con un algoritmo di triangolazione che determina la
posizione (latitudine, longitudine, altezza) del ricevitore.
Certo, dite voi, è facile: ricevono un segnale dai satelliti e “per magia” scoprono tutti
queste informazioni!!
Sono spiacente, ma, sfortunatamente, non è così facile…
***Se volete sapere come funziona l’intero processo e come si ottengono le informazioni, potete richiedere il testo originale di questa
presentazione.
Adesso mi limiterò a dire che il GPS fornisce informazioni sulla posizione che
risultano talmente accurate che l’errore è soltanto di pochi metri (incredibile! Non è
vero?). Per ottenere informazioni tanto accurate ogni orologio a bordo dei satelliti
deve essere sincronizzato con tutti gli altri e con quelli sulla Terra.
Per ottenere una sincronizzazione perfetta, bisogna considerare alcuni fattori che
influenzano, ritardano o anticipano la propagazione del segnale dai satelliti ai
ricevitori, o anche il tempo degli stessi orologi atomici.
Il GPS ha una serie di errori di diversa natura:
1)di tipo atmosferico che sono causati dal rallentamento del segnale al suo
passaggio nella ionosfera e nella troposfera (ritardo da 1 ns a 100 ns)
2)di tipo elettronico che sono dati dal tempo impiegato dal segnale
per il passaggio nella strumentazione e dal tempo di elaborazione
nei computer del GPS (ritardo da 1 ns a 100 ns)
3)quelli relativistici, arriviamo ora al punto forte della nostra presentazione:
EINSTEIN!!!
C’è inoltre l’errore derivante dall’ effetto Sagnac, sulla cui natura gli scienziati
stanno ancora discutendo, che arriva al massimo a 100ns.
Gli errori relativistici sono di quasi tre ordini di grandezza più grandi rispetto alle
altre sorgenti di ritardo. La loro correzione è quindi indispensabile per il
funzionamento dei sistemi di navigazione satellitare.
In che cosa consistono gli errori
relativistici?
Secondo la teoria della Relatività, il tempo proprio di ogni corpo in
movimento viene deformato secondo questa relazione:
t 0
25
2
v
1 2
c
(delta t)/(delta t0)
t 
DILATAZIONE DEL TEMPO
nei sistemi di riferimento in moto
20
15
10
5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
v/c
dove Δt0 è il tempo proprio, cioè la differeza tra i tempi di due eventi
che accadono nello stesso luogo.
Come possiamo vedere nel grafico, maggiore è la velocità del
sistema di riferimento, maggiore è l’intervallo di tempo Δt, cioè
l’orologio rallenta fino a fermarsi quando v=c.
Allo stesso modo qualsiasi corpo soggetto alla forza di gravità ha una
deformazione del tempo pari a:
DILATAZIONE DEL TEMPO
in presenza di cam pi gravitazionali
delta t (10^-9)
t 0
t 
2
1 2
c
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
R/R terra
dove Ф= -GM / R indica il potenziale gravitazionale scalare pseudo
newtoniano con G che è la costante di gravitazione universale, M la
massa del corpo generatore del campo gravitazionale e R la distanza
radiale non euclidea fra i corpi (cioè soggetta alla legge relativistica
dell’allungamento del raggio: DR = GM / 3c2). Δt0 è ancora il tempo
proprio ossia l’intervallo di tempo rispetto ad un sistema di riferimento in
cui non vi sono campi gravitazionali. Dalla formula precedente si
intuisce come gli orologi immersi in campi gravitazionali intensi
rallentino la loro misurazione del tempo rispetto agli orologi soggetti a
campi gravitazionali minori o nulli.
Per capire la prima equazione facciamo un esempio. Ci sono due orologi
sincronizzati sulla superficie della Terra. Il primo orologio rimane sul nostro
pianeta e il secondo è lanciato nella profondità dello spazio a bordo di
un’astronave che viaggia vicina alla velocità della luce (c = 300000 Km/
sec ). Quando torna a casa, comparando i due orologi si può osservare
che:
L’orologio che ha viaggiato è in ritardo rispetto a quello che è rimasto sulla
Terra!!!
Per capire la seconda equazione: utilizziamo gli stessi due orologi
sincronizzati sulla superficie della Terra. Questa volta mandiamo un
orologio in una stazione spaziale orbitante intorno alla Terra, dove la
gravità è minore che sulla superficie terrestre. Quando torna indietro
possiamo osservare che:
L’orologio che è stato spedito nella stazione spaziale è in anticipo rispetto a
quello che è rimasto sulla superficie terrestre!!!
… sono queste le magie della relatività!!!!!
Quanto sono importanti questi effetti
per il corretto funzionamento degli
orologi a bordo dei satelliti del GPS?
Effetto dovuto alla velocità: la formula t = t0(1 (v/c)2)-1/2 applicata ad un satellite la cui velocità
orbitale è 3,87 km/s mostra un ritardo di 7 msec al
giorno (la velocità, ricordiamo, dilata il tempo di un
corpo relativamente ad uno più lento) rispetto agli
orologi a terra.
Effetto dovuto alla quota: l’influenza del campo
gravitazionale terrestre sui satelliti è quattro volte
minore. Applicando la formula: t = t0(1 +2Ф /c2)-1,
che lega il tempo relativo e la gravità, ne deduciamo
che ogni satellite “guadagna” 45 msec al giorno
La somma algebrica delle
variazioni dei tempi così
ottenuti (7msec – 45 msec)
ci porta a dire che un
satellite del GPS anticipa il
tempo segnato
dall’orologio sulla terra di
38 msec al giorno.
BAZZECOLE direte voi,
ma invece…
msec = microsecondi = 1* 10-6 secondi
Un anticipo di 38 msec al giorno a quale errore
porta nella localizzazione del ricevitore?
Per calcolarlo basta moltiplicare questo tempo per la velocità della luce:
Quindi, se non si correggessero questi errori e chiedessimo al navigatore
della nostra auto di portarci a scuola, forse ci ritroveremmo invece allo
stadio di San Siro.