MISURA: aspetti operativi
• Premessa
– Aspetti generali: fra teoria ed esperimento
– Aspetti pedagogici: errori ed incertezze
– Piano della presentazione
• Introduzione
–
–
–
–
Misura come atto quotidiano
La difficile scelta dello strumento adatto
Motivazionia storiche e culturali
Risultato quantitativo: numero ed unità di misura
Le fasi di una misura
• Quale grandezza misurare
– Scopo/decisione/modello
• Quale unità di misura adottare
– Convenienza/universalità/aspetti legali e
scientifici/stabilità e ripetibilità
• Relazione fra la grandezza e l’udm
– Risoluzione/precisione/accuratezza
• Il mondo esterno è isolato?
– Influssi sullo strumento/ sul comparatore/sulla
grandezza, generano incertezza
Incertezza ed incompatibilità
I differenti punti di vista di osservatori con
differenti tecniche di misurazione:
Armadio a muro da inserire in una nicchia di 2.5 m x 75 cm x 20 cm,
Misura del muratore (entro la tolleranza della
calce), 2.5 m ± 1 cm
Misura del falegname (entro la superficie del
legno), 2.5 m ± 1 mm.
L’armadio può benissimo non entrare nella
nicchia!
Il concetto moderno di misura
74
75
76
(75–1) cm < x < (75+ 1) cm, entro 1 cm la lunghezza
non varia. Ma entro 1 mm la lunghezza oscilla!
Equivalentemente, entro 1 mm la nicchia non è un
parallelepipedo: IL MODELLO VA RAFFINATO!
Incertezza e misura
ASPETTO INTRINSECO della MISURA
causato da
– Calibrazione dello strumento (accuratezza
nella riproduzione dell’unità di misura di
riferimento)
– Risoluzione del comparatore (piccola ma
finita)
– Perturbazioni causate da influenze esterne
Valutazione dell’incertezza
A bassa risoluzione l’incertezza è stimata dalla
risoluzione stessa (la più piccola divisione della
scala del comparatore)
Misura : (x ± x) unità di misura
2 x è l’intervallo di confidenza
Per strumenti con graduazioni di qualità è permesso
interpolare una misura più precisa.
Notazione e cifre significative
Coerenza fra risultato ed incertezza:
(72.5±0.5) Kg
(5.20±0.05) Kg
In un risultato vanno indicate tutte e sole le cifre ottenibili dall’operazione
di misura, per questo dette cifre significative.
Misure indirette
v=18.6719 cm/sec; v=0.0712 cm/sec
ci interessa il limite superiore dell’incertezza (è una stima!):
v=(18.67±0.07) cm/sec.
Qualità di una misura
E’ possibile definire la bontà assoluta di una
misura?
Incertezza assoluta e relativa:
A=(17±2) cm , B=(1890±2) cm,
differenti cifre significative,
A/A=2/17~0.1 (10%),
B/B=2/1890~0.001 (0.1%)
È una distinzione ancora relativa!
Variazioni casuali
• Richiesta di minimizzare l’incertezza relativa 
l’incertezza assoluta
• Si utilizza uno strumento con maggiore risoluzione
• Misura del periodo di oscillazione di un pendolo
• Cronometri con risoluzione crescente?
R=1 s, T=(2±1) s, incertezza 50%
R=0.2 s, T=(2.2±0.2) s, incertezza 9%
R=0.05 s, T=(2.15±0.05) s, T=(2.05 ±0.05) s, T=(2.00 ±0.05) s, T=(2.10 ±0.05) s, …
Proprietà delle misure “casuali”
• Non hanno un andamento sistematico
• Non sono dovute al cattivo funzionamento dello strumento
• Sono dovute all’effetto dell’operatore: i suoi tempi di reazione
fissano il limite inferiore alla precisione in quanto
treazione< risoluzione
• Utilizzando uno strumento con tempi di reazione ridotti le
fluttuazioni scompaiono
• Utilizzando una risoluzione maggiore le fluttuazioni tornano,
eventualmente causate da altri fattori
• Si può aumentare il numero di misure (con eguali probabilità di
“sbagliare” in crescere o calare)
• Si utilizza un approccio statistico
Misure accurate
• Possibilità di fare errori grossolani o
approssimazioni errate nel
modello/progetto/esecuzione di una misura
• Mancato/errato azzeramento dello strumento
(effetto additivo)
• Mancata/errata taratura dello strumento
(effetto moltiplicativo)
• Effetti tali da causare sistematicamente
misure errate (senza evidenza diretta!)
• Altra causa: imperfezione del modello
(esempi: spinta di Archimede, profondità di un pozzo …)
Incertezze casuali e sistematiche
• Collegamento fra precisione ed accuratezza: il bersaglio delle misure
• Non ha senso parlare di valore vero di una misura o di errori
sperimentali (non esiste un comparatore perfetto, né uno “stato fisico
perfetto”, deteministico)
• Difficoltà di distinguere nella sostanza effetti sistematici da quelli
casuali (determinismo-causalità).
• E’ importante stimare l’entità delle incertezze e non la loro natura
Descrizione matematica delle
fluttuazioni casuali
• Caso interessante: sparpagliamento
casuale delle misure ottenute a
risoluzioni relativamente elevate
• È comunque possibile fornire un
risultato della misura e stimare
l’incertezza
• È importante sperimentare il fenomeno
di natura statistica
Istogrammi
• Organizzazione dei dati in tabelle e loro rappresentazione
grafica per la visualizzazione della distribuzione dei
risultati.
• Misura ripetuta di una grandezza fisica
• Raggruppamento secondo classi o intervalli di
molteplicità
• Tabulazione delle frequenze, fk = nk / N
• Regole di normalizzazione, k nk= N, k fk=1
• Grafico delle frequenze e costruzione dell’istogramma di
distrubuzione dei risultati
Migliore stima della grandezza
• Rappresentazioni sintetiche e significative di un
gruppo di dati dispersi
• Moda, mediana, media (maggiore frequenza,
posizione simmetrica, baricentro)
< x >= k xk / N = k nk xk / N
• La media fornisce la migliore stima della grandezza per
fluttuazioni casuali (tante misure spinte al di sopra del risultato
corretto quante misure spinte al di sotto di esso).
Dispersione dei risultati
• La risoluzione sperimentale non è utilizzabile per
assegnare l’incertezza della misura, in quanto la
fluttuazione ha ampiezza maggiore.
• Stima grossolana (e pessimistica) tramite la
massima dispersione dei dati,
x=(xmaxxmin)/2
• Valutazione di una deviazione media quadratica o
deviazione standard
x 
2


x


x

 k
N 1
Deviazione e qualità
• Scelta a caso di materiale (sfere) prodotte da una
catena di montaggio
• Campione di 20 oggetti con diametri dispersi:
dk=(3.36, 3.30, 3.38, 3.28, …) mm
• Stima con la media: <d>=3.35 mm, d=0.05 mm
• Il diametro è statisticamente compreso
nell’intervallo <d>± d entro il 68% dei casi
• Si deve sottolineare la natura statistica di questa
informazione
• Esiste una distribuzione teorica di valori casuali
(legge di Gauss)
Deviazione della media
• Calcolo della migliore stima per l’incertezza
della media (più precisa rispetto l’incertezza del
dato singolo):
 x    x / N
• È un intervallo di confidenza del 68%
• Si noti che questa deviazione diminuisce con N
(processo di inferenza statistica più efficace)
• C’è un limite inferiore strumentale all’incertezza
• 30 misure di periodo, <T>=2.12 s, T=0.09 s,
<T>=/N1/2=0.02 s < 0.05 s (risoluzione
sperimentale), si scrive T=(2.12±0.05) s
Esercitazione di laboratorio statistico
• Misura del periodo di un pendolo con risoluzione pari a
0.2 s, valori eguali, T=1.2 s, T=(1.2±0.2)s, T/T=20%
• Misura con risoluzione di 0.01 s, dieci valori dispersi:
(1.35,1.29,1.15,…,1.38)s; vi sono fluttuazioni minori di
0.2s, stima con la deviazione standard, T=0.08 s
• Deviazione standard della media, 0.08/(10)1/2=0.03s,
intervallo di confidenza al 68% T=(1.29±0.03)s,
T/T=2%
• Eliminazione degli effetti dovuti ai tempi di reazione con
uno start/stop elettronico: T=(1.28±0.01)s, T/T=0.8%
• Guadagno efficace pari a N misure manuali secondo la
T/(N)1/2=0.01 con T=0.08, per cui N=64
Incertezze in misure indirette
• A partire dalla misura di due o più
grandezze
sperimentali
calcolo
di
grandezze derivate con le rispettive
incertezze
• Casi di incertezze “legali” e “scientifiche”,
corrispondenti a intervalli di taratura e
stime di probabilità
• Casi di combinazione diretta di incertezze
legali e di combinazione casuale
(quadratica) di incertezze scientifiche
Somma/differenza diretta di incertezze
Rapida (sovra)stima delle incertezze
• Somma di a±a e di b±b, S=a+b,
–
–
–
–
Smax=amax+bmax=a+b+a+b,
Smin=amin+bmin=a+bab;
S=(SmaxSmin)/2=a+b;
Esempio: x1=(12.5±0.5)cm, x2=(6.3±0.2)cm,
x1+x2=(18.8±0.7)cm;
• Differenza di a±a e di b±b, D=ab,
–
–
–
–
Dmax=amaxbmin=ab+a+b,
Dmin=aminbmax=a  bab;
D=(DmaxDmin)/2=a+b;
Esempio: calcolo di peso netto P dal lordo L=(25.12±0.02) Kg e
dalla tara T=(5.05±0.05) Kg, P=(20.07±0.07) Kg.
Prodotto/rapporto diretto di incertezze
• Prodotto di a±a e di b±b, P=ab,
–
–
–
–
–
Pmax=amaxbmax=(a+a)(b+b),
Pmin=aminbmin=(aa)(bb);
P=(PmaxPmin)/2=ab+ba
P/P= a/a+ b/b (somma delle incertezze relative)
Esempio: area del rettangolo di lati a=(2.0±0.1)cm,
b=(4.0±0.2)cm, a/a=0.05, b/b=0.05, A/A=0.1, A=0.1A=0.8
cm2, A=(8.0±0.8)cm2.
• Risultato analogo per il rapporto diretto
– Si sommano le incertezze relative (se non sono grandi)
Combinazione di incertezze statistiche
• Utilizzo di formalismo matematico per la
combinazione di distribuzioni di probabilità
• Es. somma di due variabili, calcolo del valore
medio e della deviazione della somma, che è
ancora di tipo gaussiano
• Deviazione data da S=(a2+b2)1/2.
• Generalizzazione per la G(x,y,z,…) (grandezze
indipendenti)
2
 G   G   G 
G  
 x   
 y   
z   
 x   y

  z
2
2
Metrologia
•
•
•
•
Aspetti storici e sociali
Aspetti legati alla ricerca scientifica
Esigenza di universalità
Esigenze specifiche di riproducibilità e
stabilità temporale delle UdM
• Esigenza di convenienza delle UdM
• Continua evoluzione della scienza
metrologica
Sistemi di Unità di Misura Universali
• UdM invarianti nello spazio e nel
tempograndezze e fenomeni naturali universali
(es.: lunghezza e tempo)
• Definizione di multipli/sottomultipli decimali (MKS,
Francia 1795)
• Realizzazione di campioni materiali fondamentali del
metro e del kilogrammo (internazionali)
• Realizzazione di campioni primari (nazionali) e di
campioni secondari (regionali o locali)
• Si richiede di minimizzare il numero di grandezze
fondamentali richieste (dimensionalmente
indipendenti e capostipiti di tutte le grandezze
fisiche derivate, es. SMD con L, T e M)
Grandezze fondamentali indispensabili
disciplina
Grandezze necessarie e sufficienti
geometria
lunghezza
cinematica
lunghezza, tempo
meccanica
lunghezza, tempo, massa
termodinamica
lunghezza, tempo, massa, temperatura
elettromagnetismo
lunghezza, tempo, massa, corrente
elettrochimica
lunghezza, tempo, massa, temperatura,
corrente, quantità di sostanza
ottica
lunghezza, tempo, massa, temperatura,
corrente, quantità di sostanza, intensità
luminosa
Sistema Internazionale di Misura
• Introduzione di nuove grandezze fondamentali oltre a M, L, T
• Nel 1960 la CGPM adotta il SI con 7 grandezze fondamentali, 2
supplementari e più di 100 derivate
LUNGHEZZA
metro
m
MASSA
kilogrammo
kg
TEMPO
secondo
s
INTENSITA’ di CORRENTE ELETTRICA
ampere
A
TEMPERATURA TERMODINAMICA
kelvin
K
QUANTITA’ di SOSTANZA
INTENSITA’ LUMINOSA
mole
mol
candela
Inoltre angolo piano (radiante) e solido (steradiante)
cd
Unità SI derivate con nomi particolari
Frequenza
Forza
Pressione
Energia/Lavoro
Potenza
Carica
Potenziale
Capacità
Resistenza
Conduttanza
Flusso magnetico
Induzione magnetica
Induttanza
Flusso luminoso
Illuminamento
Radioattività
Dose assorbita
Dose equivalente
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
faraday
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
sievert
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F

S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
Unità SI non permesse
minuto
ora
giorno
grado
minuto d’angolo
secondo d’angolo
litro
tonnellata
bar
min
h
d
°
‘
“
l
t
bar
60s
3600s
86400s
/180 rad
/10800 rad
/648000 rad
103 m3
103 kg
105 Pa
Evoluzione degli standard di misura
•
•
•
•
Svincolarsi da prototipi materiali
Maggiore accuratezza e precisione
Costanti della fisica come UdM
Il metro è ora definito in termini di velocità della luce
nel vuoto (nota con accuratezza elevatissima)
• Il tempo è ora definito in termini di oscillazioni
naturali di un campione atomico
• Accuratezza dell’unità come conformità alla
definizione internazionale della costante fisica
Riferimenti bibliografici
• “La misura e la valutazione della sua
incertezza nella fisica sperimentale”,
M.Caporaloni, S.Caporaloni,
R.Ambrosini, Zanichelli.
• “La Misura”, M. Vicentini Missoni, C. G.
Hoffmann, E. Raddi, La Nuova Italia