PROCEDURE DI CALCOLO DELLA COMBINAZIONE DEGLI INERTI REALI
Non esistono già disponibili in natura materiali lapidei con distribuzione granulometrica eguale a
quella ideale richiesta per un inerte da destinare al confezionamento dei calcestruzzi. Pertanto,
fissata e calcolata la distribuzione granulometrica dell’inerte ideale in base alle caratteristiche del
calcestruzzo da produrre (AB, C, Dmax), occorre combinare gli inerti reali disponibili (almeno due)
di distribuzione granulometrica nota (attraverso la vagliatura) per riprodurre al meglio la
distribuzione granulometrica ideale. Questo inerte verrà definito “ottimale”. Per calcolare la
combinazione degli inerti esistono sostanzialmente due metodi: numerici e grafici.
METODO NUMERICO
Il metodo numerico per la combinazione degli inerti consiste nel calcolare un parametro numerico
sia dell’inerte ideale che si vuole riprodurre, che degli inerti disponibili. Il parametro numerico
caratterizzante i vari inerti è di solito il modulo di finezza (Mf), ma possono essere individuati anche
altri parametri (per es.: la superficie specifica).
Se si mescolano (x) parti di sabbia caratterizzata da un modulo di finezza MfS ed (1-x) parti di inerte
grosso caratterizzato da un modulo di finezza MfG, con l’obiettivo di ottenere un inerte ideale
bolomeyano caratterizzato da MfB, deve essere soddisfatta la seguente equazione:
MfBolomey o Fuller = Xsabbia .Mfsabbia + (1-Xsabbia).Mfghiaia
Noti MfB (dalla curva di Bolomey), MfS ed MfG (dalla vagliatura) si calcola x (cioè la % di sabbia da
usare nell’impasto).
Ad esempio, nella tabella sottostante vengono riportati i passanti cumulativi relativi alla sabbia ed
alla ghiaia ottenuti da test di analisi granulometriche; sono inoltre riportati i valori dei passanti
cumulativi relativi ad un aggregato ottimale calcolati applicando, per ogni apertura dei setacci, la
formula di Fuller. I valori di trattenuti cumulativi rappresentano infine il complemento a 100 di ogni
singolo valore di passante cumulativo (sono riportati a titolo di esempio i valori di passanti e
trattenuti cumulativi calcolati a 9,51 e 4,76 mm).
1/2
100.(9,51/12,7)
= 86,5
100-86,5 = 13,5
1/2
100.(4,76/12,7)
= 61,2
100-61,2 = 38,8
Sulla base dei valori di trattenuti cumulativi dei setacci aventi apertura da 0,149 in su (a
raddoppiare, fino a 9,51) (evidenziati in giallo) è possibile calcolare i valori dei moduli di finezza
della sabbia, della ghiaia e dell’aggregato ottimale secondo Fuller:
1
MFsabbia = [96 + 84 + 64 + 36 + 12 + 0 + 0]/100 = 2.92
MFghiaia = [100 + 100 + 100 + 100 + 94 + 79 + 20]/100 = 5.93
MFFuller = [89 + 85 + 78 + 69 + 57 + 39 + 13]/100 = 4.30
MfFuller = Xsabbia .Mfsabbia + (1-Xsabbia).Mfghiaia
4.30 = 2.92X + (1-X)5.93 ⇒ X = 0.54 (% di sabbia) ⇒
⇒ composizione aggregato: 54 % di sabbia e 46% di ghiaia.
Dalla equazione
MfBolomey = Xsabbia .Mfsabbia + (1-Xsabbia).Mfghiaia
si può ricavare:
Riportando su un’asse i valori progressivamente crescenti di MfS, MfB ed MfG si calcolano
immediatamente le frazioni (x) ed (1 – x), misurando la lunghezza dei segmenti a e b che separano
rispettivamente MfG da MfB, ed MfB da MfS.
0
Combinando due inerti alla volta il metodo può essere esteso alla combinazione anche di più inerti.
2
Di seguito vengono riportati alcuni grafici relativi all’andamento del modulo di finezza
dell’aggregato fine, di quello grosso e dell’aggregato ottimale secondo Bolomey al variare del
dosaggio di cemento (150-500 Kg/m3), in funzione del diametro massimo dell’inerte utilizzando
valori differenti del coefficiente AB presente nella formula di Bolomey.
3
Esempio di proporzionamento di due inerti con il metodo grafico dei moduli di finezza
1) Calcestruzzo a consistenza asciutta (slump = 25 mm), con inerti naturali, (Dmax = 9.52 mm).
3
Dosaggio cemento di 450 kg/m . Procedimento:
Dal valore di slump (25 mm) e dalla tipologia di inerte (naturale) da impiegare si sceglie il valore
della costante di Bolomey (AB).
Nota la costante (AB=8), si sceglie il grafico di seguito riportato.
Dal valore del Dmax (9.52 mm) e dal dosaggio di cemento (450 kg/m3) si individua il valore di MfB
(pallino rosso sul grafico).
Dalle prove granulometriche eseguite sugli inerti disponibili si calcolano i valori del modulo di
finezza della sabbia e della ghiaia e si individuano, anche questi, sul grafico in corrispondenza del
diametro massimo di 9,52 mm (pallino verde e blu sul grafico).
4
Si misurano quindi le distanze di a (uguale ad esempio a 2.8 cm) e di b (uguale ad esempio 3.4 cm)
per calcolare la percentuale di sabbia e di ghiaino.
Esempio di proporzionamento di tre inerti
2) Calcestruzzo a consistenza asciutta (slump = 90 mm), con inerti naturali, (Dmax = 25.40 mm).
Dosaggio cemento di 300 kg/m3. Numero di Inerti: 3 (con l’analisi granulometrica mostrata nella
Tabella che segue)
5
Procedimento:
Dal valore di slump (90 mm) e dalla tipologia di inerte (naturale) da impiegare si sceglie il valore
della costante di Bolomey (AB).
Nota la costante (AB=10), si sceglie il grafico di seguito riportato.
Dal valore del Dmax (25,4 mm) e dal dosaggio di cemento (300 kg/m3) si individua sia il valore di
MfB (pallino rosso sul grafico) relativo all’aggregato ottimale formato dai tre inerti, che il modulo di
finezza relativo ad un generico “aggregato grosso” formato dall’unione del ghiaino e della ghiaia
(pallino blu sul grafico).
Dalle prove granulometriche eseguite sugli inerti disponibili si calcolano i valori del modulo di
finezza della sabbia, della ghiaia e del ghiaino e si individuano, anche questi, sul grafico in
corrispondenza del diametro massimo di 25,4 mm (pallino verde e pallini marrone sul grafico).
Inizialmente si calcolano le % di ghiaino e ghiaia da miscelare in modo da ottenere un “aggregato
grosso” avente un modulo di finezza pari al valore del pallino blu sul grafico. Si misurano quindi le
distanze di a (uguale ad esempio a 1,1 cm) e di b (uguale ad esempio 0,8 cm) per calcolare la
percentuale di ghiaino e ghiaia nel cosiddetto “aggregato grosso”.
= 42%
= 58%
6
Si misurano quindi le distanze di A (uguale ad esempio a 3,2 cm) e di B (uguale ad esempio 5,7 cm)
per calcolare la percentuale di sabbia ed “aggregato grosso” (formato, a sua volta, dal 42% di
ghiaino e dal 58% di ghiaia, calcolati precedentemente).
“Aggregato grosso” =
Sabbia =
5, 7
= 0, 64 = 64%
8, 9
3, 2
= 0,36 = 36%
8,9
Quindi considerando ad esempio 100 grammi di aggregato ottimale formato da sabbia, ghiaino e
ghiaia, 36 grammi saranno di sabbia ed i restanti 64 grammi saranno di ghiaino e ghiaia. Inoltre, di
questi 64 grammi si ha che il 42% è di ghiaino ed il 58% è di ghiaia; quindi:
Ghiaino = 64 × 42 /100 = 0, 28 = 28%
Ghiaia = 64 × 58 /100 = 0,36 = 36%
L’inerte ottimale sarà quindi costituito da:
Sabbia = 36%
Ghiaino = 28%
Ghiaia = 36%
METODO GRAFICO
I metodi grafici per la determinazione della composizione percentuale dell’aggregato che megli
soddisfi la distribuzione di Fuller o di Bolomey consentono di ottenere le percentuali dei vari inerti
da miscelare (sabbia, ghiaino, ghiaia, etc) tramite lettura del valore numerico direttamente sull’asse
dei passanti cumulativi di un classico grafico di distribuzione granulometrica. Il valore percentuale
di ciascun inerte corrisponde al valore dell’ordinata corrispondente all’intersezione tra la curva
relativa alla distribuzione ottimale di Fuller o di Bolomey e la retta ottenuta unendo il primo punto
relativo al 100% del passante cumulativo dell’inerte a granulometria più fine con il primo punto
corrispondente allo 0% dell’inerte a granulometria immediatamente più grossa.
Nella tabella sottostante sono riportate le distribuzioni granulometriche di due inerti e
dell’aggregato ottimale. Nelle colonne 1, 2 e 3 sono mostrati i valori dei passanti P (per ogni vaglio
di apertura d) relativamente all’aggregato ottimale e agli aggregati disponibili (sabbia e ghiaia). Si
può osservare che, in corrispondenza del valore di d = 4,76 mm l’aggregato ottimale deve possedere
un passante pari al 48% (colonna 1); ma poiché solo la sabbia è totalmente passante al vaglio con
apertura da 4,76 mm (P = 100%), mentre la ghiaia al vaglio di 4,76 mm ha un passante nullo (P =
0%) (colonne 2 e 3), ne segue che l’aggregato reale dovrà contenere il 48% di sabbia in modo tale
da presentare al vaglio di 4,76 mm un passante del 48% (cioè tutta la sabbia passerà dal setaccio
con apertura di 4,76 mm) e sarà così in grado di rispettare il requisito di un aggregato ottimale al
vaglio di 4,76 mm.
L’aggregato sarà quindi composto dal 48% di sabbia e 52% di ghiaia.
L’aggregato così ottenuto presenterà i valori dei passanti P agli altri vagli (colonna 6) così calcolati:
si moltiplicano i passanti della sabbia per la frazione in peso della sabbia (0,48) e quelli della ghiaia
per la frazione in peso della ghiaia (0,52). Si ottengono così i "contributi" della sabbia e della ghiaia
ai passanti nei vari vagli (colonne 4 e 5). Si sommano, quindi, per ogni vaglio i due contributi.
7
Per esempio al vaglio da 9,52 mm il contributo del passante della sabbia è 48 (il 100% del 48%),
quello della ghiaia è 25 (il 52% del 52%) e quindi il passante dell’aggregato ottenuto per
combinazione dei due inerti è 73.
X . %passante sabbia + (1-X) . %passante ghiaia = % passante dell’aggregato
in cui:
X = %sabbia presente nell’aggregato
(1-X) = %ghiaia presente nell’aggregato
Le stesse considerazioni sin qui applicate sui valori visualizzati in forma di tabella si possono
applicare a valori visualizzati sotto forma di un grafico di distribuzione granulometrica. Al vaglio di
4,76 mm l’aggregato ottimale deve presentare un passante del 48% (punto O); unendo il punto della
curva granulometrica della sabbia relativo al passante pari al 100% con il punto della curva
granulometrica della ghiaia relativo al passante pari allo 0%, si nota che la retta così ottenuta
interseca la curva di Fuller proprio nel punto O; l’ordinata del punto O rappresenterà la % di sabbia
da impiegare per avere un aggregato con distribuzione granulometrica ottimale (metodo grafico).
Come ulteriore esempio dell’applicazione del metodo grafico si considerino due inerti (sabbia e
ghiaia) aventi la distribuzione granulometrica riportata in tabella:
Le rispettive curve granulometriche saranno:
8
La percentuale di sabbia da usare per confezionare un aggregato con distribuzione ottimale sarà data
dall’ordinata dell’intersezione tra la curva di Fuller e la retta ottenuta unendo il punto della curva
granulometrica della sabbia con apertura dei setacci pari a 4,76 (cioè il primo vaglio che presenta un
passante pari al 100%) con il punto della curva granulometrica della ghiaia con apertura dei setacci
pari a 1,19 (cioè il primo vaglio in cui il passante della ghiaia è pari allo 0%):
Un procedimento del tutto analogo può essere inoltre applicato alle curve granulometriche
.
linearizzate ottenute riportando sull’asse delle ascisse i valori di d
D max
Considerando due inerti (sabbia e ghiaia) aventi la distribuzione granulometrica già riportata negli
esempi precedenti:
9
La curva granulometrica linearizzata assumerà il seguente aspetto:
Anche nel caso dell’utilizzo della curva granulometrica linearizzata, la % dell’inerte avente
granulometria inferiore può essere letta quale ordinata dell’intersezione tra la curva di Fuller (in
questo caso nella sua forma linearizzata) con la retta ottenuta unendo il punto relativo all 100% del
passante della sabbia con il punto relativo allo 0% del passante della ghiaia.
Allorché si tratta miscelare aggregati di più frazioni, anche in parte sovrapposte, si ricorre a metodi
diversi: uno dei più semplici prevede l'uso di un diagramma avente la scala delle ascisse
, in modo che la parabola di Fuller ne risulti rettificata.
proporzionale a d
D max
10
Nella tabella seguente vengono confrontati i diversi valori dei passanti cumulativi dell’aggregato
reale ottenuto con i vari metodi illustrati in precedenza con i valori dell’aggregato ottimale secondo
Fuller.
I passanti cumulativi dell’aggregato reale sono calcolati applicando la formula (già vista in
precedenza):
X . %passante sabbia + (1-X) . %passante ghiaia = % passante dell’aggregato
in cui:
X = %sabbia presente nell’aggregato
(1-X) = %ghiaia presente nell’aggregato
Nel caso specifico preso in esame, il metodo che meglio consente di ottenere un aggregato reale
avente distribuzione granulometrica quanto più prossima all’inerte ottimale è quello grafico
linearizzato che prevede di miscelare il 46% di sabbia con il 54% di ghiaia.
Un’ulteriore alternativa consiste nel creare un foglio di calcolo elettronico grazie al quale ottenere le
distribuzioni granulometriche di aggregati reali ottenuti
miscelando diverse percentuali di sabbia e ghiaia (entro un
intervallo scelto del tutto arbitrariamente o, addirittura, entro
l’intero intervallo 0%-100%). Riportando poi in grafico le
relative curve granulometriche e la curva di Fuller o Bolomey, si
sceglie la composizione percentuale che meglio di ogni altra
consente di ottenere una curva granulometrica quanto più simile
a quella di Fuller (o Bolomey).
Ad esempio i risultati ottenuti con i due inerti aventi la
distribuzione granulometrica riportata in tabella sono:
11
passanti cumulativi
apertura
setacci (mm) sabbia
ghiaia
fuller
12,7
100
100
100
9,51
100
80
87
4,76
100
21
61
2,38
88
6
43
1,19
64
0
31
0,595
36
0
22
0,297
16
0
15
0,149
4
0
11
0,074
0
0
8
% sabbia
% ghiaia
10
90
20
80
30
70
40
60
50
50
60
40
70
30
80
20
90
10
100
0
0
100
100
94
76,3
63,4
44,8
25,2
11,2
2,8
0
100
96
84,2
71,6
51,2
28,8
12,8
3,2
0
100
98
92,1
79,8
57,6
32,4
14,4
3,6
0
100
100
100
88
64
36
16
4
0
100
80
21
6
0
0
0
0
0
passanti cumulativi aggregato
100
82
28,9
14,2
6,4
3,6
1,6
0,4
0
100
84
36,8
22,4
12,8
7,2
3,2
0,8
0
100
86
44,7
30,6
19,2
10,8
4,8
1,2
0
100
88
52,6
38,8
25,6
14,4
6,4
1,6
0
100
90
60,5
47
32
18
8
2
0
100
92
68,4
55,2
38,4
21,6
9,6
2,4
0
I valori all’interno del rettangolo rosso rappresentano le differenti composizioni percentuali
dell’ipotetico aggregato reale.
I valori racchiusi all’interno del rettangolo verde rappresentano i passanti cumulativi, alle diverse
aperture dei setacci, dei rispettivi aggregati reali che si trovano nella stessa colonna. Tali valori si
ottengono applicando la formula già discussa in precedenza:
X . %passante sabbia + (1-X) . %passante ghiaia = %passante dell’aggregato
in cui X e (1-X) rappresentano rispettivamente la % di sabbia e la % di ghiaia presente
nell’aggregato (considerato che gli inerti sono due e la loro somma deve essere pari al 100%, cioè
ad 1).Riportando in grafico i valori dei passanti cumulativi dei diversi aggregati reali e di quello di
Fuller in funzione delle aperture dei setacci si ottengono le seguenti curve di distribuzione
granulometrica:
100
90
passante cumulativo (%)
80
Ghiaia ="S/G=0/100"
S/G=10/90
S/G=20/80
S/G=30/70
70
60
S/G=40/60
S/G=50/50
S/G=60/40
50
40
S/G=70/30
S/G=80/20
S/G=90/10
30
20
Sabbia ="S/G=100/0"
fuller
10
0
0,01
scala logaritmica
0,1
1
d (mm)
10
100
12
Le curve granulometriche che meglio “fittano” con la curva di Fuller sono quelle relative agli
aggregati aventi il 40% di sabbia e 60% di ghiaia oppure il 50% di sabbia e 50% di ghiaia.
L’operazione di calcolo potrebbe essere ulteriormente ripetuta nel range compreso tra il 40% e il
50% di sabbia con, ad esempio, incrementi percentuale di sabbia del 2%; in tal modo sarà possibile
visualizzare la composizione dell’inerte reale (compresa tra il 40 e il 50% di sabbia) che meglio
approssima la distribuzione ottimale descritta dalla legge di Fuller (o di Bolomey).
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