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Rotismi Epicicloidali
1
ROTISMI EPICICLOIDALI
Rotismi ordinari:
Rotismi epicicloidali1:
sono quei rotismi nei quali gli assi delle ruote impegnate nella catena
cinematica sono fissi nello spazio.
sono quei rotismi che comprendono ruote il cui asse, trasportato da un
apposito telaio mobile detto portatreno, ruota a sua volta attorno ad un asse
fisso2.
Le ruote ad asse mobile vengono denominate ruote satelliti, mentre quelle ad asse fisso, intorno alle
quali ruotano i satelliti, vengono denominate ruote planetarie.
La prima e l'ultima ruota del rotismo percorso nel senso dei successivi concatenamenti delle dentature
prendono il nome di ruote principali.
Il caso più frequente di rotismo epicicloidale è quello corrispondente allo schema sotto riportato.
1
Si definisce epicicloide la curva descritta da un punto di una circonferenza che rotoli senza strisciare
esternamente su di un'altra circonferenza. L'epicicloide generata da due circonferenze di uguale raggio prende il
nome di cardiode. Se le due circonferenze sono tangenti internamente la curva descritta sarà un'ipocicloide.
2
Questi rotismi sono detti epicicloidali perché un punto appartenente alla circonferenza primitiva di una ruota
satellite, ruotante attorno alla circonferenza primitiva di una ruota planetaria, descrive (vedi nota precedente) una
traiettoria epicicloidale.
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2
STUDIO CINEMATICO
Il gruppo epicicloidale comprende tre elementi essenziali: due alberi A e B3 coassiali e un portatreno P
folle rispetto ad essi. Lo studio cinematico del rotismo ha lo scopo di determinare la relazione tra le
velocità di rotazione TA, TB, e S rispettivamnete degli alberi e del portatreno.
.
Si supponga di imporre a tutto il rotismo una velocità angolare -S intorno all'asse di rotazione O del
portatreno. Per effetto della sovrapposizione di tale rotazione, il portatreno diviene fisso e il rotismo,
dal punto di vista cinematico, si comporta come un rotismo ordinario. Le velocità di rotazione degli
alberi di ingresso A e di uscita B valgono ora rispettivamente (TA - S) e (TB - S).
Il rapporto di trasmissione4 del rotismo, reso ordinario, vale:
i '
(TA& S)
(TB& S)
(1)
Tale rapporto può anche essere espresso in funzione del numero di denti di tutte le ruote del rotismo.
Indicando con zA, zB, zSA, zSB il numero di denti rispettivamente delle ruote principali e dei satelliti si
ha:
i '
3
4
zSA z B
zA zSB
(2)
Sugli alberi A e B sono calettate le ruote cosiddette principali.
Si definisce rapporto di trasmissione il quoziente tra la velocità dell'albero motore (albero di ingresso) e la
velocità dell'albero condotto (albero di uscita)
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3
La (1) prende il nome di formula di Willis e consente, una volta determinato con la (2) il rapporto di
trasmissione del rotismo reso ordinario, di calcolare le velocità di ogni membro del rotismo. Si ottiente
infatti:
TA ' iTB %(1&i) S
TB '
S '
TA
i
& (1&i) S
TA
iTB
&
(1&i)
(3)
(1&i)
Se una delle ruote principali viene mantenuta fissa si ha:
TA
TB
' 1&i
S
'
S
(i&1)
i
(4)
L'una o l'altra delle disposizioni ora indicate consente di ottenere rotismi atti a realizzare rapporti di
trasmissione (tra il portatreno e quello della ruota principale mobile) molto piccoli. Dalle (4) si vede
che è sufficiente utilizzare delle ruote che realizzino un rapporto di trasmissione del rotismo, reso
ordinario, prossimo quanto si vuole a uno , perché il rapporto di trasmissione TA/S (oppure TB/S ) sia
prossimo quanto si vuole a zero.
Con riferimento allo schema di figura 1, ritenendo la corona come spesso accade fissa, si ha:
i '
TA
TB
' &
zB
TA
zA
S
'
(zA%zB)
(5)
zA
Dall’ultima delle (3) si può calcolare la velocità di rotazione della corona che annulla la rotazione del
portatreno5:
TB '
TA
i
' &TA
zA
zB
(6)
5
Il problema cinematico relativo al ruotismo di figura 1 si può agevolmente risolvere anche facendo riferimento
ai centri di istantanea rotazione. Per ‘bloccare’ il portatreno, un punto giacente sulla primitiva della corona
deve avere una velocità periferica (VB) opposta a quella di un punto appartenente alla primitiva della ruota A
(VA). In tale condizione infatti la ruota satellite è sottoposta ad una rotazione pura intorno al suo asse e il
portatreno rimane ‘bloccato’.
VB ' &VA
.
TB z B ' &TA z A
TB ' &TA
zA
zB
(6))
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4
ROTISMO DIFFERENZIALE NEGLI AUTOVEICOLI6
Il differenziale è un rotismo epicicloidale a ruote coniche. Movente è il portatreno, costituito dalla
scatola del differenziale, che riceve il moto dall'albero motore. Le ruote di estremità (1) e (3)
trasmettono il moto ai rispettivi semialberi A e B delle ruote motrici del veicolo. Le ruote satelliti (2) si
impegnano con le ruote di estremità, planetarie, e ruotano attorno ad un asse solidale con la scatola del
differenziale.
Poiché il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario vale -1, indicando con TA, TB e S le
velocità rispettivamente dei semialberi e della scatola del differenziale, dall’ultima delle (3), si ha:
S '
1
1
%
TA TB
(7)
ossia la velocità del portatreno è sempre la media aritmetica delle velocità dei semialberi
consentendo, come si vedrà nel successivo paragrafo, la corretta iscrizione in curva del veicolo.
6
Il differenziale a ruote coniche attualmente in uso nella trazione automobilistica si deve al genio del francese
Onésiphore PECQUEUR (1792-1852) , autodidatta, capo officina al Conservatoire d'arts et métiers. Tra le sue
numerose e geniali invenzioni ricordiamo: la macchina a vapore a rotazione diretta, alcuni sistemi di
lubrificazione, la ferrovia atmosferica e, appunto, il differenziale automobilistico (1826).
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5
COMPORTAMENTO DEL ROTISMO DIFFERENZIALE IN CURVA
Si consideri un'autovettura che percorra una strada rettilinea con velocità V. Se con r si indica il raggio
delle ruote la velocità di rotazione delle ruote e del portatreno sarà7:
TA ' TB ' S '
V
r
(8)
Si consideri ora la stessa autovettura mentre percorre una curva e si supponga circolare, di raggio R, la
traiettoria descritta dal baricentro G alla velocità V. Se con d si indica la distanza dal piano medio di
ciascuna ruota dal piano di simmetria, i centri dei perni delle ruote descrivono delle traiettorie circolari
di raggio (R-d) per la ruota interna e (R+d) per la ruota esterna.
La velocità del centro OA della ruota motrice interna risulta pertanto:
V
(R&d)
R
VA '
e quella del centro OB della ruota motrice esterna è:
VB '
V
(R%d)
R
se r è il raggio delle ruote, le rispettive velocità angolari sono:
TA '
V (R&d)
R r
TB '
V (R%d)
R r
(9)
Poiché nell'affrontare la curva si è ritenuto che la velocità V si mantenga costante, anche la velocità di
rotazione del portatreno deve rimanere immutata, ossia pari al valore indicato dalla (8) per la marcia
rettilinea. La velocità del portatreno risulta perciò, in curva, essere espressa sempre come semisomma
delle velocità dei semialberi8, condizione quest'ultima pienamente soddisfatta dal rotismo differenziale
con rapporto di trasmissione ordinario pari a -1 (7)
7
In questa situazione (marcia rettilinea) il differenziale si comporta come un rotismo ordinario e le ruote satellite
non ruotano attorno al proprio asse.
8
Il valore della velocità determinata dalla (8) corrisponde infatti proprio alla semisomma delle velocità
determinate dalla (9)
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6
RIPARTIZIONE DEI MOMENTI SUI SEMIALBERI
Rendimento del differenziale 0 = 1
(caso ideale)
Consideriamo il differenziale in condizione di regime e siano CA, CB e CP rispettivamente le coppie
agenti sui semialberi A e B, e la coppia sul portatreno: l'equazione dell'energia permette di scrivere,
nell'esercizio ideale (attrito nullo):
CP S ' CA TA%CB TB
(10)
D'altra parte , per l'equilibrio del sistema costituito dalle ruote principali e dal portatreno, deve pure
essere soddisfatta la relazione:
CP ' C A % CB
(11)
Tenuto conto delle (3) si ottiene:
C A ' CP
1
(1&i)
CB ' CP
&i
(1&i)
CA
' &i
CB
(12)
se i, come normalmente accade con il rotismo differenziale, vale -1 si ha9:
CA ' CB '
CP
2
(13)
Il differenziale con rapporto i = − 1 ripartisce in parti eguali la coppia motrice sui due alberi
comandati.
Se le forze di aderenza longitudinali tra ruote e strada sono sufficienti a equilibrare i momenti CA CB il
differenziale può scaricare sulle ruote motrici tutta la coppia disponibile CP. Quando invece l'aderenza
anche di una sola delle ruote motrici è scarsa, il differenziale non permette di trasmettere ai semialberi
tutta la coppia suddetta.
Nel caso ideale di rendimento della trasmissione unitario e di masse rotanti trascurabili, qualora su di
una ruota venga a mancare l'aderenza con il piano stradale, sul semialbero corrispondente si scaricherà
necessariamente, per il principio di azione e reazione, una coppia nulla.
E poiché per la (13) sarà nulla pure la coppia sul semialbero controlaterale, se il veicolo fosse fermo non
ci sarebbe alcuna possibilità di metterlo in movimento: la ruota aderente al terreno rimarrebbe infatti
bloccata, mentre quella priva di aderenza ruoterebbe ad una velocità angolare doppia di quella del
portatreno.
I veicoli atti alla marcia fuori strada hanno perciò il dispositivo di bloccaggio del differenziale: si
possono bloccare i satelliti sul loro asse oppure uno dei planetari alla scatola differenziale; in entrambi i
casi i due semialberi risultano solidali e il veicolo può spostarsi.
Se i assumesse un valore generico D, il momento motore sarebbe ripartito in parti differenti sui due semialberi.
Un differenziale di questo tipo può essere usato nella trasmissione con due assi motori per ripartire la coppia
motrice in misura proporzionale ai pesi gravanti su ciascuno di essi, cioé alle massime forze di aderenza
disponibili.
9
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7
Rendimento del differenziale 0 = 00
Ritenuto fermo il portatreno, si imprima al semialbero A (motore) una velocità di rotazione T . Il
semilabero B (condotto) ruoterà ad una velocità T/i 10.
Tra i momenti CA1 e CB1 agenti sui semilaberi vale allora la seguente relazione:
CB1 ' &i 00 C A1
(14)
ovvero parte del momento motore è stato speso per vincere gli attriti interni del differenziale.
Sempre a portatreno fisso, si imprima ora al semilabero B (motore) una velocità di rotazione T.
Si ottiene:
CA2 ' &
00
i
C B2
(15)
Considerando il differenziale in condizioni di regime, non si avranno moti relativi tra i vari elementi
fino a che i momenti sui due alberi sono compresi nei limiti dati dalle due relazioni precedenti, ovvero:
C A2 # CA #C A1
CB1 # CB #CB2
(16)
Dalle (14) e (15), tenuta presente la (11), con semplici sostituzioni si determinano i limiti dei momenti
motore sui semialberi in funzione del momento CP agente sul portatreno:
CA1 '
C B1 '
1
C
1&i 00 P
i 00
i 00&1
CP
CA2 '
C B2 '
00
00&i
CP
i
C
i&00 P
(17)
(17))
In condizioni di marcia rettilinea allora, non tracurando il rendimento interno del differenziale, la
ripartizione dei momenti motori sui semialberi rimane, in parte, indeterminata. Tali momenti infatti
10
Con i si indica il rapporto TA/TB
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8
possono variare tra i limiti sotto riportati senza dar luogo a movimenti relativi tra i vari elementi del
differenziale.
00
00&i
# CA #
i 00
1
1&i 00
i 00&1
Nel caso di ruotismi differenziali ordinari in cui i =
semialberi possono variare tra i limiti sotto riportati:
00
1%00
CP]
# CB #
i
i&00
(18)
− 1 , nella marcia rettilinea i momenti sui due
1
C
1%00 P
I momenti motori sui due semialberi, che nel caso ideale di
(19)
η = 1 erano uguali fra loro, differiscono,
nella marcia in curva, della quantità:
)M '
1&00
1%00
CP
(20)
Più precisamente si può dire che sulla ruota interna, a regime, si rende disponibile un momento motore
paria a11:
Ci '
CP
%
2
)M
1
'
C
2
1%00 P
(21)
mentre sulla ruota esterna un momento pari a:
Ce ' C P &
00
)M
C
'
1%00 P
2
11
(22)
In effetti, all’ingresso in curva, il semialbero interno viene sottosposto ad una extrarotazione di verso opposto al
momento resistente agente sulla corrispondente ruota. In tali condizioni il semialbero interno compie un
extralavoro positivo e si comporta come albero motore rispetto al semialbero esterno che, sottoposto ad un
extralavoro negativo, si comporta come albero condotto. Con riferimento ad un ruotismo differenziale ordinario
di rendimento D e raaporto di trasmissione i=-1, indicando con Ci e Ce rispettivamente i momenti agenti sui
semialberi interno ed esterno si ha:
Ci ' DC e
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ROTISMO DIFFERENZIALE NELLE MACCHINE UTENSILI12
Il rotismo differenziale si usa, nelle macchine utensili, quando si ha la necessità di disporre di una
velocità angolare ottenuta come somma (o differenza) di due altre velocità angolari indipendenti.
Il rotismo di figura rappresenta lo schema di un differenziale applicato ad una dentatrice a creatore13.
Il portatreno riceve, da una catena cinematica non rappresentata, una rotazione (S) funzione del numero
di denti z della ruota da intagliare. La ruota A riceve una seconda rotazione, molto più piccola, (TA)
funzione a sua volta dell'angolo di inclinazione dell'elica del dente della ruota da intagliare, e della
velocità di avanzamento del creatore.
La ruota B ruoterà con velocità pari a:
ωB = ω A + Ω
12
13
Per approfondire, cfr. A.Galassini - Macchine Utensili - Hoepli
Un'altra interessante applicazione del rotismo differenziale alle macchine utensili si trova nel tornio
spogliatore Reinecker dove, qualora si debba effettuare la spoglia di un utensile con denti elicoidali, si ha la
necessità di comporre il moto di rotazione della barra con il moto di rotazione proveniente dalla vite-madre.
(cfr. E. Gatti - Tornio universale Reinecker - De Agostini Novara)
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10
ALCUNI ROTISMI EPICICLOIDALI PARTICOLARI
Rotismo di Pickering
Indicando con ZA e ZB i numeri di denti delle ruote principali e con ZA1 e ZB2 i numeri di denti delle ruote
intermedie, il rapporto di trasmissione del ruotismo ordinario vale:
i=
In pratica si assume:
z A = 100
ω A z A1 ⋅ z B
=
ω B z B1 ⋅ z A
z A1 = 99
zB1 = 100
z B = 101
per cui:
i=
99 ⋅ 101
= 0.9999
100 ⋅ 100
Sostituendo il valore di i trovato nella (1) e fissando una delle due ruote principali (ad esempio la A) la
velocità di rotazione S vale:
Ω = ω2 ⋅
i
= − 9999 ⋅ ω 2
i−1
Se invece si bloccasse la ruota B la velocità di rotazione del portatreno varrebbe:
Ω=
−ω1
= 10000 ⋅ ω 1
i−1
Questo ruotismo è impiegato nei paranchi differenziali, nei contagiri, nonché nei meccanismi ad
orologeria.
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11
Mosca di Watt
E’ il ruotismo, costituito da due ruote A e B, che realizza un sistema biella-manovella. Il rapporto di
zB
e per la (1) si scrive:
zA
ω ⋅ z + ω A ⋅ zA
i
1
Ω = ωB
−ωA
= B B
i−1
i−1
zB + z A
trasmissione è negativo i
Assumendo z A
= zB
=−
si ha:
Ω=
ωB +ωA
2
La velocità del portatreno è la semisomma delle velocità delle ruote principali.
Watt, nel suo dispositivo, fissò la ruota A ottenendo quindi:
Ω=
ωB
2
in tal modo egli ottenne di far compiere mezzo giro al portatreno per ogni giro della ruota B. Applicando
perciò tale ruotismo come sistema biella-manovella la velocità dell’albero motore raddoppia, infatti ad
ogni corsa semplice dello stantuffo corrisponde un’intera rivoluzione dell’albero motore.
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BIBLIOGRAFIA
R. Giovannozzi
P. Pierotti
A. Capocaccia
G.Pollone
J. Hannah
Costruzione di Macchine Vol.2
Meccanica Vol.2
Meccanica Applicata alle Macchine Vol.2
L’autoveicolo
Mechanics of Machines
Patron
Calderini
Malfasi
Levrotto & Bella
Arnold