PROBLEMA DI SAINT-VENANT
Il problema particolare di equilibrio elastico di notevole interesse applicativo è
quello di un solido elastico, omogeneo, isotropo di forma cilindrica, ossia un
solido che possiamo chiamare, almeno per la sua forma, trave.
Il problema è stato impostato e risolto da Adhémar Jean-Claude Barré,
conte di Saint-Venant, nella famosa memoria “De la torsion des prismes”
presentata all’Accademia delle trave
Scienze di Parigi nel 1853.
sezione trasversale
Il metodo proposto dal Saint-Venant, professore all’Ècole des ponts et
Chaussées, per risolvere il problema unisce al rigore matematico l’intuizione
fisica del problema.
Inizia uno dei capitoli più suggestivi della Scienza delle Costruzioni,
proponendo una soluzione fondamentale per la portata pratica e stimolante per
la congettura (postulato) fatta per giustificare il procedimento proposto.
Tale congettura, ha rappresentato una vera sfida per tutti coloro che ne hanno
tentato una rigorosa dimostrazione.
Il modello, può apparire piuttosto lontano dalla realtà; esso invece, proprio
grazie all’accennata congettura di Saint-Venant, è in grado di descrivere il
comportamento di molte travi reali.
Ipotesi Generali
Il probema di Saint-Venant si basa sulle seguenti ipotesi:
1) ipotesi di tipo geometrico: si considera una trave prismatica (asse
rettilineo e sezione retta costante). Nella sezione la dimensione minima
e massima non sono troppo differenti l’una dall’altra; la lunghezza
della trave è molto più grande delle dimensioni della sezione retta.
Assumeremo un riferimento cartesiano ortogonale con l’asse z
coincidente con l’asse della trave e origine nel baricentro G della
sezione .
2) ipotesi sul materiale: si considera il materiale elastico, lineare,
omogeneo, isotropo.
3) ipotesi sui carichi: si considerano le forze di massa nulle e le forze di
superficie agenti solo sulle basi e la superficie laterale della trave
risulta scarica mentre le forze di superficie costituiscono da sole un
sistema equilibrato.
4) ipotesi sui vincoli: si considera il solido non vincolato coerentemente
con l’ipotesi di sistema di forze equilibrato. Tuttavia, per fissare la
posizione del solido nello spazio, impedendo qualunque moto rigido,
supporremo che:
spostament i  0
rotazioni  0 

per il punto G  0, 0, 0,
x
z
Assi principali d’inerzia
x
y
y
5) ipotesi sulle tensioni: si considera che
 xx   yy   xy  0
segue che, ossia il tensore degli sforzi è del tipo
 0

T 0

 zx
0
0
 zy
 xz 

 yz 
 zz 
che descrive uno stato di tensione bi-assiale. Il piano del vettore tensione
→
→
→
è quello contenente i vettori  z   zz k e z   zx i   zy j esso è perciò
parallelo all’asse del cilindro. Come si vede il modello di Saint-Venant,
nel caso più generale, comporta quindi la riduzione da 6 a 3 del numero
delle incognite di tensione.
Occorre naturalmente rendersi conto che questa “ipotesi sulle tensioni” è
una previsione sulla soluzione.
Equazioni costitutive
Le equazioni costitutive del solido elastico, lineare, isotropo scritte con
riferimento alle due costanti elastiche E, modulo di elasticità normale, e ,
coefficiente di contrazione trasversale, si riducono a

 xx

 yy



(*)  zz
 xy

 xz


 yz
1
  zz
E
1
    zz
E

 zz
E
0

 xz
2G
 yz

2G

I quattro casi fondamentali di sollecitazione
1) Forza Normale Semplice
2) Flessione Semplice
3) Torsione
4) Flessione Composta
Il principio di Saint-Venant
Ciò che si conosce delle azioni superficiali applicate sulle travi sono
semplicemente dei sistemi di forze staticamente equivalenti, in genere ridotti
ad una risultante R e ad un momento risultante M.
Su questo punto Saint-Venant, con riferimento al suo modello di trave,
propose un principio:
se una distribuzione di forze superficiali agenti su una porzione della
superficie di un corpo è sostituita da un’altra agente sulla stessa porzione
di superficie, gli effetti prodotti dalle due distribuzioni in punti
sufficientemente distanti dalla zona di applicazione della forza sono gli
stessi purché le due distribuzioni di forze siano staticamente equivalenti,
ossia abbiamo la stessa risultante e lo stesso momento risultante.
se una distribuzione di forze superficiali agenti su una porzione della
superficie di un corpo è sostituita da un’altra agente sulla stessa
porzione di superficie, gli effetti prodotti dalle due distribuzioni in punti
sufficientemente distanti dalla zona di applicazione della forza sono gli
stessi purché le due distribuzioni di forze siano staticamente equivalenti,
ossia abbiamo la stessa risultante e lo stesso momento risultante.
analisi numeriche agli elementi finiti che evidenziano il campo tensionale in elementi
sollecitati da forze normali, e forze di taglio; ciascuna sollecitazione è ottenuta con una
diversa distribuzione delle forze che tuttavia hanno la stessa risultante.
Forza Normale Semplice o Azione Assiale
z
y
In questo caso in ogni sezione della trave avremo la sola presenza di
forza normale. Assumiamo, sulla base dell’intuizione fisica, che in ogni
tensione le tensioni siano  zx1   zy  0,  zz  cos t  C .
Le condizioni al contorno sulle basi sono:
N̂   CdA  CA  zzA,
A
M̂ x   CydA  0
A
C  zz 
N̂ N

A A
Il tensore delle tensioni si riduce a:
0

T  0
0

0
0
0
0

0
N̂ 
A
e lo stato di tensione risulta essere monoassiale.
Stato di deformazione
Dalle equazioni costitutive si ottiene immediatamente, per il tensore
delle deformazioni la seguente espressione :
N

 
EA

E 0


 0

0

N
EA
0



0 

N 

EA 
0
Facendo riferimento alle espressioni generali già considerate in precedenza
si ottiene la variazione di lunghezza:

    zz dz 
0
N
EA
Si vede quindi che ad una forza di trazione (N > 0) corrisponde un
aumento della lunghezza della trave; l’opposto si verifica nel caso di
compressione (N < 0).
Caratteristica di deformazione assiale
Le sezioni della trave, nel caso della sollecitazione a forza normale restano
piane e compiono una semplice traslazione nella direzione dell’asse .
Questo risultato consente di descrivere il movimento della generica
sezione retta attraverso la caratteristica di deformazione assiale, che si
indica con ε, che è definita come lo spostamento relativo tra due sezioni
poste a distanza unitaria, ossia :

N
EA
Flessione Semplice (Pura)
Si ha flessione semplice attorno all’asse x quando :
N̂  T̂x  T̂y  M̂ z  M̂ y  0,
ˆ  M̂ x  0
M
Cioè si ha solo un vettore momento parallelo all’asse x.
L’esperienza fisica mostra che le deformazioni cambiano segno fra
l’intradosso e l’estradosso della trave. Si ha quindi sulla sezione un asse
lungo il quale le deformazioni sono nulle (asse neutro). Indicando con y
la distanza del generico punto dall’asse neutro (baricentrico), è naturale
assumere che le deformazioni zz siano:
z z  c y.
zz
Anche per le tensioni, essendo lineari
con le deformazioni avremo:
zz  k y
Per determinare k basta considerare
l’equilibrio:
M x    z z y dA  k  y 2 dA  k J x
A
A
 k
Mx
Jx
da cui allora:
zz 
Mx
y
Jx
che prende il nome di formula di Navier. Si noti che Mx è la coppia attiva
nel piano di flessione (y,z).
Ponendo
c
Mx
EJ x
il tensore degli sforzi e quello della deformazione sono:




T




0
0
0
0
0
0

0 


0 ,

Mx 
y
J x 
0
  cy

E  0
 cy
 0
0

0 

0 .
cy 
Il luogo dei punti in cui si ha tensione è nulla dalla formula di Navier:
zz 
Mx
y
Jx
si ottiene quando y = 0 (sull’asse x) retta baricentrica. Viene detto asse
neutro della flessione.
Nel caso di un vettore momento non parallelo all’asse x (Figura) è
possibile considerare le componenti Mx e My:
M x  Mcos ,
M y  M sin 
Lo stato di tensione di determina con una
sovrapposizione degli effetti di due flessioni
semplici attorno ai due assi principali d’inerzia:
 zz 
My
Mx
y
x.
Jx
Jy
x
Mx
My
y
Il luogo dei punti in cui si ha tensione nulla è definito dalla equazione :
My
Mx
y
x  0.
Jx
Jy
equazione di una retta baricentrica, detta asse neutro della flessione.
Consideriamo una flessione attorno all’asse x e un tronco di trave lungo
dz generico.
Mx
Mx
La rotazione relativa fra due sezioni rette poste a
distanza dz, può essere espressa direttamente in
termini di componenti del tensore delle
deformazioni. Tenendo presente che le sezioni
restano piane, ruotando intorno all’asse neutro x,
dall’esame della figura seguente si vede
facilmente che :
d x 
 z 2    z 1
h
dz
Dove –εz(1)dz è l’accorciamento del lembo superiore
mentre εz(2)dz è l’allungameneto del lembo inferiore.
dφx
Per calcolare le tensioni massime e minime basta considerare nella formula
di Navier la distanze dal bordo inferiore e superiore:
 zz
max

M
M
y max 
J' x
W' x
 zz
min

M
M
y min 
J' x
W" x
in cui sono stati introdotti i moduli di resistenza relativi all’asse x :
W' x 
J' x
,
y max
W' ' x 
zz
J' x
y min
x
I moduli di resistenza della sezione
rettangolare di lati b e h sono uguali
a parte il segno a:
x
zz
bh 2
Wx 
,
6
y
max
min
Nel caso della flessione le sezioni rette della trave restano piane,
compiendo una semplice rotazione intorno all’asse x. Di conseguenza si
può introdurre la caratteristica di deformazione flessionale , definendola
come la rotazione relativa tra due sezioni poste a distanza unitaria, ossia,
se si indica con φx la rotazione della generica sezione, si può porre :
kx 
d x
dz
Dove, per coerenza con la convenzione sui segni già adottata per Mx, si
assumerà  x  0 quando porta y su z.
Tenendo presente che la componente εz risulta [Mxy/(EJx)], pertanto la
caratteristica della deformazione flessionale è data da :
kx  c 
Mx
EJ x
Equazione della linea elastica
Nel caso delle travi inflesse è molto utilizzata, per la sua semplicità,
l’equazione differenziale della linea elastica. Tale ricerca si basa sulla
relazione momento flettente - curvatura:
1
r
=-
M
EJ
dove 1/r è la curvatura della linea elastica, EJ è la rigidezza flessionale
della trave. Se la linea elastica è rappresentata dalla funzione:
v = v(z),
v = v(z)
nell’ipotesi che le rotazioni della sezione trasversali siano piccole
rispetto all’unità si ha che:
1 
v 
r
Quindi:
EJ v  + M = 0 .
Si nota che, con le usuali convenzioni sui segni, la curvatura (1/R) ed il
momento flettente M hanno sempre segno opposto:
M>0
1
<0
r
M <0
1
>0
r
L'integrazione dell’equazione differenziale presuppone la conoscenza di
M e delle condizioni al contorno che possono riguardare v e v' . Si tratta
cioè di condizioni geometriche.
v=0
v’ = 0
v=0
v = 0.
v = 0,
v’= 0.
Forza normale eccentrica
Quando le azioni applicate sulla base della trave di Saint-Venant sono
equivalenti staticamente ad una forza , parallela all’asse z, passante per
un punto X, denominato centro di sollecitazione, distinto dal baricentro
G, la trave si dice soggetta a sforzo normale eccentrico. Considerando
quindi la generica sezione in cui X indica il punto di applicazione della
forza N (supposta di trazione e quindi positiva), nella sezione generica
della trave, avremo una forza normale ed un momento flettente dati da :
N  N̂ ; M  N  e.
N̂
in cui e è l’eccentricità ovvero la distanza di X dal baricentro G:
N̂
e
My
x
Mx
ex
ey
y
Il principio di sovrapposizione degli effetti ci consente di esprimere le
tensioni come somma di 2 contributi: il primo dovuto all’azione assiale N
ed il secondo dovuto alla flessione. Ricordando le relazioni scritte si ha:
My
N Mx
 zz  
y
x
A Jx
Jy
l’equazione dell'asse neutro della sollecitazione composta si ottiene
ponendo σzz = 0. In particolare si vede che tale asse non è baricentrico.
Sezione rettangolare
Nel caso di trave a sezione rettangolare con centro di sollecitazione X
appartenente ad una mediana, gli assi principali di inerzia sono x e y e
siano b, h le dimensioni della sezione. Inoltre N sia di compressione
(pilastro).
P
Una forza P a distanza e dal baricentro è
staticamente equivalente ad una forza P
baricentrica ed a un momento Mx = Pe.
Lo stato di tensione si determina quindi
con la relazione:
 zz 
P Mx

y.
A Jx
P
h e
x
y
h
b
P
Somma di una parte costante ed una
lineare. Volendo calcolare le tensioni
massime e minime, si osserva che i moduli
di resistenza risultano:
J x0
1
Wx   Wx 
 bh 2 .
h2 6
─
+
─
 zz 
P Mx

y.
A Jx
Quindi i valori estremi delle σzz sono:
max  zz 
P  6e 
1  
bh 
h
min  zz 
P  6e 
1  
bh 
h
Se (6e/h) ≤ 1, la sezione risulta tutta compressa e l’asse neutro non
taglia la sezione. Viceversa, se (6e/h) ≥ 1 la sezione è parte tesa e
compressa e l’asse neutro taglia la sezione.
P
In questa seconda situazione è interessante il
caso di solidi non reagenti a trazione per i
quali si pone il problema di valutare la
profondità “a” della zona compressa e la
massima tensione σmax.
Se R è la risultante delle tensioni di
compressione si ha:
R
h
e
2
R
─
σmax
a
1
 max a b.
2
Per l’equilibrio alla traslazione deve essere:
R  P.
Per l’equilibrio alla rotazione R e P devono avere la stessa retta di azione
(stessa distanza dalla superficie esterna):
h
a
e .
2
3
Dall’ultima relazione si può ricavare l’incognita a:
h

a  3  e  .
2

Dall’equilibrio alla traslazione si può ricavare la massima tensione:
 max 
2P

ab
2P
.
h

3b  e 
2

Con le quale è possibile eseguire verifiche di resistenza. Si può osservare
che al crescere di e aumenta la max che tende a infinito quando e→(h/2).
Torsione
Nel caso della torsione, le azioni sulla base si riducono a :
N̂  M̂ x  M̂ y  T̂x  T̂y  0 M̂ z  0
per cui l’unica caratteristica di sollecitazione diversa da zero, in ogni
sezione della trave è un momento torcente costante.
Sezione circolare
Vediamo di studiare la torsione nel caso
di sezione circolare, che è uno dei più
semplici poiché presenta la maggiore
x
simmetria possibile. Con riferimento
alla sezione circolare piena di raggio R
soggetta ad un momento torcente Mz, si
osserva che la generica sezione ruota
attorno al baricentro di un angolo θ
proporzionale alla distanza z dalla base
fissa:
θ =βz.
R
G
P
r
θ
P’
y
β rappresenta la rotazione relativa fra due sezioni a distanza unitaria (z=1).
Un generico punto P, che si muove in P’ e distante r dal centro G, descrive
così un arco di circonferenza di lunghezza ds. Se θ è l’angolo sotteso
all’arco PP’ si ha:
ds = r θ .
Se la rotazione è infinitesima, l’arco ds può essere approssimato dalla
tangente all’arco PP’ in P e le componenti di spostamento in direzione x
ed y risultano:
u   ds sin ,


 v  ds cos .
Dove α è l’angolo fra il segmento GP e
l’asse x. Sapendo che ds = r θ, si ha:
u   r  sin ,


 v  r  cos .
x
x
P
α
r
G
y
P”
Se il punto P ha coordinate x e y si ha:
 y  r sin ,


x  r cos .
y
Quindi:
u   y ,


v  x .
Tenendo conto che θ =βz si può scrivere:
 u   y  z,


v  x z.
Riguardo allo stato di deformazione, le componenti della matrice E sono:
 

0  y
 0
2 

 
E  0
0
x

2 
 



y
x
0


2
 2

Le tensioni si deducono immediatamente dalle equazioni costitutive:
0
 Gy 
 0


T  0
0
Gx 
  Gy Gx
0 

Per determinare β è necessario imporre l’equilibrio fra le tensioni ed il
momento torcente applicato.
Se dA è una porzione infinitesima
di area della sezione trasversale A
su cui si hanno le tensioni
tangenziali xz e yz , il contributo
al momento attorno all’asse z
risulta:
dM z   yz x   xz y dA.
x
xz
dA 
yz
y
Come sempre, xz dA e yz dA rappresentano le forze elementari che
vanno moltiplicate per i rispettivi bracci y ed x per ottenere i momenti.
Per l’intera sezione occorre sommare:
M z    yz x   xz y  dA   Gx 2  Gy 2  dA,
A
A
Il modulo di elasticità G e l’angolo di torsione per unità di lunghezza β
sono costanti nell’integrazione quindi:
M z  G  x 2  y 2  dA  G  Jo,
A
Avendo indicato con J0 il momento d’inerzia polare rispetto al baricentro.
Si ricava così l’angolo di torsione per unità di lunghezza:

Mz
.
GJ o
L’andamento delle tensioni lungo un diametro qualunque, è rappresentato
in figura.
Lungo l’asse x (y=0) si hanno solo
tensioni tangenziali yz , date dalla:
yz 
Mzx
.
Jo
x
Lungo l’asse y (x=0) si hanno solo
tensioni tangenziali xz che risultano:
xz  
Mzy
.
Jo
y
Lungo un generico raggio la tensione tangenziale
risultante è:
   2 xz   2 yz 
Mz
r.
J0
Ricordando che per la sezione circolare di raggio R è :
J0 
 4
R
2
la tensione tangenziale massima risulta:
 max 
2M z
R 3
Nel baricentro G lo stato di tensione è nullo.
Per una generica sezione a distanza z dalla base fissa, la rotazione risulta:

Mz
z.
GJ 0
Sezione rettangolare
Si consideri una sezione rettangolare di lati h e b con h ≥ b. Il problema
torsione è assai più complesso causa ingobbamento delle sezioni che non
rimangono piane se soggette a momento torcente Mz.
Il problema non ammette soluzione in
forma chiusa, ma è possibile tuttavia
determinarla mediante uno sviluppo in serie
di Fourier.
x
Mz
y
Si utilizzano così relazioni approssimate per
valutare la tensione tangenziale massima.
Andamento qualitativo
delle xz lungo il lato
Una relazione approssimata
applicabile è:
 max
yz
1 Mz

.
 b2h
Andamento qualitativo
delle yz lungo il lato
Dove il coefficiente  dipende
dal rapporto fra i lati.
xz
h/b
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
10.0


0.208
0.219
0.231
0.246
0.263
0.312
1/3
Si può vedere che a partire da un certo punto in poi il valore di  tende al
valore di 1/3. Per quelle sezioni per cui è h/b > 10 si può assumere
 max  3
Mz
.
b2 h
Sezioni aperte in parete sottile composte con più rettangoli
Molte sezioni usate nelle costruzioni hanno una forma ottenuta mediante
composizione di rettangoli. Sono un classico esempio di ciò le seguenti
sezioni:
Conoscendo quale parte di momento torcente compete al rettangolo in cui
si può pensare scissa la sezione, si possono applicare ad esso i risultati
ottenuti per ogni rettangolo allungato.
In generale non si conosce . Come è noto, per una sezione rettangolare
allungata:
 max  3
Mz
.
b2 h
Questa relazione può essere scritta anche:
 max 
Mz
b
1 3
b
h
3
da cui si deduce che il momento di inerzia per le sezioni rettangolari
allungate è semplicemente :
Jt 
1 3
b h.
3
Se Mzi è la quota di momento che compete al rettangolo i-esimo, per
l’equilibrio dovrà risultare :
n
M z   M zi .
i 1
per individuare la quota di momento che compete al rettangolo i-esimo
di lati ai e bi (con ai >> bi) si può pensare che possa dipendere dal suo
momento d’inerzia Jti:
J ti 
1
a i b 3i .
3
Per l’intera sezione, il momento di inerzia ridotto è dato dalla somma dei
momenti di inerzia ridotti delle singole parti componenti la sezione.
1
Jt   aibi3
i 3
quindi:
M zi  J ti
Mz
M
 J ti n z .
Jt
 J ti
i 1
Con riferimento alla figura sotto
b1
1
a1
a2
2
a3
3
b2
Si può pensare di suddividerla in 3 parti (1, 2, 3).
b3
è allora possibile calcolare la tensione tangenziale massima relativa ad
ogni rettangolo e la tensione tangenziale massima assoluta:
 zmax

i
M zi
J ti
 zmax

ass.
bi 
Mz
bi ,
Jt
Mz
b max
Jt
La teoria di Bredt per sezioni chiuse in parete sottile
La teoria di Bredt ha il suo fondamento nelle sole equazioni di equilibrio
e si applica a sezione cavi di piccolo spessore soggette a momento
torcente.
Nelle travi con sezione tubolare, soggette ad un momento torcente, si
generano tensioni tangenziali all’interno del tubo, come è mostrato in
Figura.
Considerando la linea media,
equidistante dai bordi esterno ed
interno (linea C) si fanno alcune
ipotesi sulle tensioni.
Se A è un generico punto della
linea C si considera il vettore
→
tangente t alla linea stessa.
Le ipotesi sulle tensioni
tangenziali nella sezione sono:
x
y
Le tensioni tangenziali nello spessore
attraverso lo spessore sA sono costanti e
→
parallele al vettore tangente t.
Sezioniamo un tratto della parete del tubo
di lunghezza dz.
Alle tensioni tangenziali nella sezione
all’interno del tubo, per l’equilibrio locale
alla rotazione, si associano tensioni
tangenziali anche sulle superfici parallele
all’asse come mostrato in Figura.
→
t
 A
C
per l’equilibrio delle
forze dovute alle
tensioni dell’elemento
ABCD lungo z si ha:
C
B
s
D
A
 A s Adz  B s Bdz  0
si deduce quindi che:
 B s B  A s A
Quindi per l’arbitrarietà con cui si
sono scelti gli spessori sA e sB si
può scrivere:
sB
B
C
z
B
D
A
s  cost.
A
dz
sA
dove aumenta lo spessore s, si avrà una riduzione della tensione tangenziale
e viceversa.
Possiamo considerare l’equilibrio fra momento
torcente e le tensioni tangenziali nella sezione
all’interno del tubo.
Considerando un tratto della linea media
di lunghezza dC; la risultante delle tensioni
agenti su questo tratto è una forza dF = τ s dC,
tangente al bordo ed applicata lungo la linea
media (tratteggiata in Figura) tra il bordo
interno e quello esterno della parete.
assumendo un polo O arbitrario, l’equilibrio
fra momento torcente e le tensioni tangenziali
si può scrivere:
b
dC
 s dC


M z   s t  r dC  s b dC  s2W,
C
C
essendo W l’area racchiusa dalla linea media C. Si ottiene così la formula
di Bredt (1896):

Mz
.
2W S
Generalmente lo spessore s è costante a tratti e quindi la massima andrà
ricercata in corrispondenza di smin.
Per una sezione chiusa, si considera sottile una parete quando il quadrato
del suo spessore massimo s, sia molto minore dell’area che racchiude:
s 2max  W.
Flessione Composta
In tale caso, sono applicate le seguenti condizioni sulle basi:
Si ha presenza di momento flettente e di taglio e perciò questo quarto caso
di sollecitazione prende il nome di flessione composta.
La ricerca delle tensioni tangenziali condotta, in via rigorosa, attraverso
la soluzione del problema, presenta difficoltà, anche per sezioni di
forma semplice. Fortunatamente si dispone di una trattazione semplice,
approssimata, dovuta a D.J.Jourawski e perciò nota anche col nome di
teoria di Jourawski, che rappresenta la strada normalmente utilizzata
nelle applicazioni per la determinazione delle tensioni tangenziali.
Consideriamo due generiche sezioni della trave di Saint-Venant distanti
dz.
A2
A1
dz
Sezione trasversale
Consideriamo anche una corda che la divida in due parti A1 e A2.
esprimiamo l’equilibrio alla traslazione lungo z del concio elementare di
trave delimitato dai piani z e z + dz dall’elemento piano b dz dove b è la
corda sulla sezione trasversale.
Si dovranno considerare le azioni dirette secondo l’asse z che si esplicano
sul concio elementare attraverso le superfici che lo delimitano e cioè le
superfici verticali e quella staccata dalla corda b che supponiamo
ortogonale a y:
 
A1
zz
 d zz  dA    zz dA    yzddz  0
A1
b
Se consideriamo le yz costanti sull’area b dz, e valida la formula di
Navier per la flessione anche nel caso di momento variabile si può
scrivere:
 rz b dz   d zz dA
A1
Essendo:
 zz 
Mx
y,
Jx
d zz 
dM x
y.
Jx
si può scrivere:
l’equilibrio alla traslazione lungo z del concio elementare risulta:
 rz b dz 
dM x
Jx
 ydA 
A1
dM x
S1x .
Jx
Dividendo primo e terzo membro per b dz e ricordando che il taglio è la
derivata del momento si ottiene:
 zy 
TyS1x
Jxb
che è la formula di Jourawski.
Il metodo per giungere alla formula di Jourawski è del tutto indipendente
dalla particolare corda prescelta, fermo restando che essa deve essere tale
da dividere in due parti la sezione della trave. Essa può perciò essere
costituita da più parti indipendenti ed avere forma poligonale o curvilinea.
La particolare forma della sezione potrà richiedere il ricorso a qualunque di
queste corde. Ad es. nel caso di sezioni a connessione multipla può risultare
necessario tagliare la sezione in più punti per dividerla in due parti.
Occorre accertarsi che le tangenti al contorno alle estremità della corda
siano ortogonali alla corda stessa. Altrimenti risulta necessaria una
correzione per rendere tangente la tensione risultante.
Sezioni simmetriche
Supponiamo che il taglio T agisca secondo un asse di simmetria della sezione
che perciò darà luogo ad una sollecitazione di taglio retto.
Considerando corde parallele all’asse neutro x, le tensioni tangenziali
possono essere calcolate con la relazione:
 zy 
TyS1x
Jxb
Sulla tensione tangenziale si può osservare che:
1) è nulla ai lembi della sezione;
2) il prodotto ( b) è massimo in corrispondenza della corda baricentrica.
La larghezza b può presentare degli andamenti del tutto arbitrari, come ad
esempio nella sezione di figura dove si vede chiaramente che il valore
massimo della non è raggiunto sulla corda baricentrica che è sede invece di
un massimo relativo.
Per le sezioni simmetriche sollecitate da taglio, è anche possibile, con
sole considerazioni di equilibrio, determinare, sui punti delle corde b
parallele all’asse neutro x le tensioni tangenziali parallele all’asse x
(Figure).
Sezione rettangolare
 zy 
TyS1x
Jxb
=0
d
H
H/2 y
Asse
Neutro
Asse
Neutro
B
Andamento
parabolico
Sezione a doppio T
Sezione a C
La sezione a C sia sollecitata da un taglio T diretto secondo l’asse
principale di inerzia . L’altro asse principale di inerzia  è anche asse di
simmetria per la sezione.
Tensioni tangenziali
Ala superiore .
Sulla generica corda la  vale:
 
TS
J  b1

T h
s1 .
J 2
Essa varia quindi linearmente con l’ascissa e raggiunge il massimo per
s1=h1.
Anima.
Sulla generica corda b la  ha la seguente espressione:
 z
T 
h
 h s 

b
h

bs
  .
1 1
J  b 
2
 2 2 
in cui s è l’ascissa, lungo la linea media, misurata a partire da B. La varia
con legge parabolica e raggiunge il suo massimo sulla corda baricentrica.
Centro di taglio
Calcoliamo la risultante delle tensioni tangenziali lungo le ali e lungo
l’anima V.
Per le ali risulta:
h1
V1    z b1ds1  
0
T
4J 
h b1 h12
dove il segno + si riferisce all’ala superiore ed il segno – all’ala
inferiore. Per l’anima:
h
1
V    z bds  T
0
Le tre risultanti, così calcolate, hanno come rette d’azione le AB, BC, CD.
Esse sono equivalenti ad una forza avente come retta d’azione la BC e ad
una coppia positiva (antioraria) V1  h .
In conclusione la distribuzione delle  risulta equivalente ad una azione
di taglio che abbia come retta d’azione la retta parallela alla retta
baricentrica che incontra l’asse di simmetria nel punto CT individuato
da:
d
V1 h
T
LA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI
Sono molteplici le ipotesi del modello di Saint-Venant, in vero molto
sofisticato, che nelle travi reali non trovano alcun riscontro. Le
principali sono :
1. le azioni sono applicate sulla superficie laterale delle travi e non sulle
basi;
2. le travi non sempre sono a sezione costante;
3. l’asse della trave non sempre è rettilineo.
Tuttavia i risultati conseguiti con il modello di Saint-Venant sono anche
utilizzabili nello studio delle travi reali, con alcuni accorgimenti suggeriti
dal postulato enunciato dallo stesso Saint-Venant.
Il postulato infatti, svincola i risultati del problema di Saint-Venant dalla
particolare condizione di carico in quanto, escludendo le zone direttamente
influenzate dalle modalità di applicazione dei carichi, fa dipendere la
soluzione unicamente dalla risultante e dal momento risultante, ossia dalle
caratteristiche della sollecitazione N, , , , , Mz .
Consideriamo ora una trave prismatica, ad asse rettilineo, sulla quale siano
applicate forze concentrate in equilibrio.
Con riferimento al tratto di trave compreso tra due carichi successive, ad es.
F1, F2, è evidente che tale tratto può essere assimilato alla trave di SaintVenant, avendo però l’accortezza di escludere quelle zone direttamente
sotto i carichi che inevitabilmente risentono della loro presenza. Possiamo
pertanto studiare tale tratto di trave come se fosse la trave esaminata con
carichi sulle basi definiti dalle caratteristiche della sollecitazione presenti.
Nella pratica si estendono i risultati a tutta la trave, anche cioè per le zone
tratteggiate che sono direttamente interessate dai carichi.
Il modello di Saint-Venant può essere altresì esteso anche alle travi con
debole curvatura dell’asse, a travi a sezione variabile, ad esclusione però
delle zone contigue alle variazioni discontinue ed a travi con carico
distribuito sulla sua superficie.
Nello studio delle travi reali, si ritiene che lo stato di tensione e di
deformazione in una sezione qualunque sono gli stessi di quelli della
trave di Saint-Venant avente la stessa sezione e le stesse
caratteristiche di sollecitazione.