Dispensa 6
Determinazione del centro
aerodinamico sulla base di dati
sperimentali
Incolla qui una citazione.
– E qui l’autore
Indice
6.1 Centro aerodinamico di un profilo alare . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.2 Centro aerodinamico di un velivolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.1
Centro aerodinamico di un profilo alare
Inizialmente e per semplicità, consideriamo il caso di un profilo alare. La figura 6.1
nella pagina seguente mostra una rappresentazione schematica di un modello di profilo
posto in galleria del vento ad un angolo d’attacco ˛. Nel disegno è rappresentato un
supporto, detto bilancia, all’interno del quale sono installati dei sensori per la misura
della portanza `, della resistenza d e del momento di beccheggio mexp . Il momento è
riferito ad un polo di coordinate .xexp ; zexp /, convenientemente scelto dagli sperimentatori.
In questo caso particolare si ha xexp D c=4 e zexp D 0, ovvero: Cmexp Cmc=4 . Il
centro aerodinamico del profilo, del quale andremo tra breve a determinare la posizione,
ha coordinate .xac ; zac /.
La condizione che definisce un punto .xac ; zac / come centro aerodinamico del profilo
è semplicemente la seguente:
@Cmac
D0
(6.1)
@˛
Il coefficiente di momento intorno al centro aerodinamico può essere espresso in termini dei coefficienti noti sperimentalmente mediante lo schema della figura 6.1. Considerando che il dispositivo di misura restituisce delle forze applicate nel punto di coordi-
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Ci accingiamo a determinare la posizione del centro aerodinamico, del coefficiente di
momento rispetto ad esso e le diverse posizioni del centro di pressione per un modello
di profilo alare o di velivolo completo, a partire da dati sperimentali in forma tabellare.
Al variare dell’angolo d’attacco, si hanno a disposizione dei coefficienti di forza e di
momento ricavati da prove in galleria del vento.
2
Dispensa 6 Determinazione del centro aerodinamico sulla base di dati sperimentali
`
z
polo delle misure sperimentali
c =4
˛
centro aerodinamico
mexp
zac
d
˛
xac
˛
x
Figura 6.1 Rappresentazione schematica di un modello di profilo posto in galleria del vento. La
misura della portanza `, della resistenza d e del momento mexp è effettuata da un sistema opportuno di sensori. Il momento di beccheggio è riferito ad un polo di coordinate .xexp ; zexp /, convenientemente scelto dagli sperimentatori. In questo caso particolare si ha xexp D c=4 e zexp D 0. Il
centro aerodinamico del profilo ha coordinate .xac ; zac /.
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nate .xexp ; zexp / ed un momento intorno ad esso, si possono sommare algebricamente i
contributi al momento di beccheggio intorno al polo .xac ; zac /, ottenendo
mac
Cmac D Cmexp
1
V2c
2 1 1
(6.2)
C .xO ac xO exp / C` cos ˛ C Cd sin ˛
i
C .zO ac zO exp / C` sin ˛ Cd cos ˛
avendo definito le coordinate adimensionali xO D x=c e zO D z=c. In base alla (6.2) la
condizione (6.1) viene a scriversi nella forma esplicita
@ h
Cmexp
@˛
(6.3)
C .xO ac xO exp / C` cos ˛ C Cd sin ˛
i
C .zO ac zO exp / C` sin ˛ Cd cos ˛ D 0
La condizione (6.3) presenta due incognite, cioè le coordinate del centro aerodinamico. I termini rimanenti sono riconducibili a grandezze note. In particolare, le coordinate
del polo di riferimento scelto dagli sperimentatori sono mantenute fisse. Inoltre, le prove effettuate in galleria del vento sono numerate da 1 ad n, ciascuna ad un differente
angolo d’attacco ma tutte relative a prefissati valori del numero di Mach della corrente
indisturbata, M1 V1 =a1 , e del numero di Reynolds, Re V1 c=1 . Al termine delle
sperimentazioni risultano noti, perché misurati, gli n valori f˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛n g dell’angolo
d’attacco, a cui corrispondono altrettanti valori dei coefficienti aerodinamici Cmexp , C` e
Cd . In altri termini, i coefficienti aerodinamici che compaiono nella (6.3) vanno pensati come˚ delle funzioni
˚tabellari,
disponibili
˚
sotto
forma di insiemi discreti di coppie di
valori: ˛; Cmexp i , ˛; C` i ed ˛; Cd i per i D 1; : : : ; n.
D. P. Coiro, A. De Marco
6.1 Centro aerodinamico di un profilo alare
3
Profilo NACA 4415
1;5
valori sperimentali
retta interpolante
1
C` 0;5
0
0;5
1
15
10
5
0
5
10
15
20
ı
˛( )
Figura 6.2 Valori sperimentali del coefficiente di portanza C` di un profilo NACA 4415 (riprodotti
La (6.3) può essere scritta per due condizioni di prova differenti, ottenendo due equazioni nelle due incognite xO ac e zO ac . Va osservato che questo procedimento è reso non
banale dalla presenza dell’operatore di derivazione a primo membro, che va ad applicarsi
a tutti i termini in parentesi che sono dipendenti da ˛. Per utilizzare correttamente la (6.3)
vanno ricostruite le funzioni tabellari corrispondenti alle derivate
discrete delle
˚
˚ funzioni
di partenza. In pratica, vanno determinate le corrispondenze: ˛; Cm˛;exp i , ˛; C`˛ i
˚
ed ˛; Cd˛ i per i D 1; : : : ; n.
L’applicazione della (6.3) a due condizioni operative differenti, diciamole “condizione A” e “condizione B”, dà luogo ad un sistema algebrico lineare del tipo
Cmexp;A
A11 A12
xO ac xO exp
D
(6.4)
A21 A22
zOac zO exp
Cmexp;B
nelle incognite .xO ac xO exp / e .zOac zOexp /. I termini noti non sono altro che i coefficienti di
momento rispetto al polo di riferimento prefissato, misurati nelle due condizioni operative
scelte. I coefficienti della matrice ŒAij  sono dati dalle formule seguenti:
A11 D C`˛;A cos ˛A
C`;A sin ˛A
C Cd˛;A sin ˛A C Cd;A cos ˛A
A12 D C`˛;A sin ˛A C C`;A cos ˛A
(6.6)
A21 D C`˛;B cos ˛B
(6.7)
Cd˛;A cos ˛A C Cd;A sin ˛A
C`;B sin ˛B
C Cd˛;B sin ˛B C Cd;B cos ˛B
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
(6.5)
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dal riferimento [6.1]). I dati sono relativi ad un M1 0 ed un Re V1 c=1 D 3 106 .
4
Dispensa 6 Determinazione del centro aerodinamico sulla base di dati sperimentali
6
10
valori sperimentali
interpolante polinomiale di grado 4
5
Cd
Profilo NACA 4415
2
4
3
2
1
0
12
8
4
0
4
8
12
ı
˛( )
Figura 6.3 Valori sperimentali del coefficiente di resistenza Cd di un profilo NACA 4415 (riprodotti dal riferimento [6.1]). I dati sono relativi ad un M1 0 ed un Re V1 c=1 D 3 106 .
A22 D C`˛;B sin ˛B C C`;B cos ˛B
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Cd˛;B cos ˛B C Cd;B sin ˛B
(6.8)
Le relazioni (6.5)-(6.8) discendono banalmente dalla (6.3) esplicitando l’espressione delle
derivate rispetto ad ˛.
Per un profilo NACA 4415 sono note le curve sperimentali dei coefficienti aerodinamici Cl , Cd e Cmc=4 (si vedano il testo di Abbott e von Doenhoff [6.1] oppure il rapporto tecnico della NACA [6.4]). Le curve dei valori sperimentali sono riprodotte nelle
figure 6.2, 6.3 e 6.4. Nel diagramma della figura 6.2 è anche rappresentata la retta di
regressione (interpolante approssimata) rappresentativa del tratto lineare della curva di
portanza. Nella figura 6.3 è rappresentata una possibile curva di fitting dei valori sperimentali del Cd , coincidente con un polinomio di quarto grado. Infine, nel diagramma
della figura 6.4 è rappresentata una retta interpolante che individua un tratto lineare anche
nella curva del coefficiente di momento Cmexp . È proprio la presenza di questa proprietà
che determina l’esistenza di un centro aerodinamico del profilo (univocamente definito
per un determinato intervallo di angoli d’attacco).
Riportiamo nel listato (6.1) un esempio di script Matlab per il calcolo del centro aerodinamico. Lo script carica in memoria il contenuto di un file di estensione .mat nel
quale sono stati precedentemente salvati i dati sperimentali del profilo NACA 4415 (riprodotti dal riferimento [6.1]), e calcola la posizione del centro aerodinamico in base alla
definizione ( 6.3 nella pagina 2). Le variabili ac ed ac_s contengono le coordinate delle posizioni successive del centro aerodinamico e sono rappresentate graficamente nella
figura 6.6 nella pagina 7.
D. P. Coiro, A. De Marco
6.1 Centro aerodinamico di un profilo alare
5
Profilo NACA 4415
0;1
valori sperimentali
retta interpolante
0;05
Cmc=4 0
0;05
0;1
0;15
0;2
12
8
4
0
4
8
12
16
ı
˛( )
Figura 6.4 Valori sperimentali del coefficiente di momento di beccheggio Cmc=4 di un profilo
NACA 4415 (riprodotti dal riferimento [6.1]). I dati sono relativi ad un M1 0 ed un Re V1 c=1 D 3 106 .
Listato 6.1 Lo script in linguaggio Matlab: aerodinamic_center_n4415.m. Viene calcolata la posi-
zione del centro aerodinamico del profilo NACA 4415 a partire dai dati sperimentali riportati nel
riferimento [6.1], mediante l’applicazione del sistema (6.4) e delle relazioni (6.5)-(6.8) a coppie
di condizioni sperimentali successive.
sz_alpha_Cm = size(valpha_exp_Cm);
n_Cm = sz_alpha_Cm(1);
sz_alpha_Cl = size(valpha_exp_Cl);
n_Cl = sz_alpha_Cl(1);
sz_alpha_Cd = size(valpha_exp_Cd);
n_Cd = sz_alpha_Cd(1);
% numerical derivatives
valpha_r_Cm = valpha_exp_Cm*pi/180.;
valpha_r_Cl = valpha_exp_Cl*pi/180.;
valpha_r_Cd = valpha_exp_Cd*pi/180.;
% see function deriv1.m
vCmexp_alpha = deriv1(valpha_r_Cm,vCm_exp);
vCl_alpha
= deriv1(valpha_r_Cl,vCl_exp);
vCd_alpha
= deriv1(valpha_r_Cd,vCd_exp);
% Smoothing (polinomial fitting)
n1 = 15;
valpha_d_s = linspace(-5,7,n1);
valpha_d_s = valpha_d_s’;
vCmexp_s=polyval( ...
polyfit(valpha_exp_Cm(6:17),vCm_exp(6:17),1), ...
valpha_d_s);
vCl_s=polyval( ...
polyfit(valpha_exp_Cl(8:22),vCl_exp(8:22),1), ...
valpha_d_s);
vCd_s=polyval( ...
polyfit(valpha_exp_Cd(5:16),vCd_exp(5:16),4), ...
valpha_d_s);
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clc; clear all; close all
load ’alpha_Cd_Cl_Cmc4_exp_n4415.mat’ % curve di Cd e Cl sperimentali
6
Dispensa 6 Determinazione del centro aerodinamico sulla base di dati sperimentali
Profilo NACA 4415
6
C`˛ 4
(rad 1 )
2
0
senza smoothing
con smoothing
2
16
12
8
4
0
4
8
12
16
20
ı
˛( )
Profilo NACA 4415
0;8
senza smoothing
con smoothing
0;6
Cd˛ 0;4
(rad 1 )
0;2
0
12
8
4
0
4
8
12
˛ (ı )
Profilo NACA 4415
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0;5
Cm˛;c=4
0
(rad 1 )
0;5
senza smoothing
con smoothing
1
12
8
4
0
4
8
12
16
ı
˛( )
Figura 6.5 Derivate delle funzioni tabellari
˚
˚
˛; C`˛ i , ˛; Cd˛ i ed ˛; Cm˛;exp i (per
i D 1; : : : ; n), rappresentate nelle figure 6.2, 6.3 e 6.4. Sono riportati i valori ottenuti applicando
direttamente le formule alle differenze finite alle misure sperimentali ed anche (curve tratteggiate)
le derivate ottenute succesivamente allo smoothing dei dati con le funzioni interpolanti approssimate.
˚
D. P. Coiro, A. De Marco
6.1 Centro aerodinamico di un profilo alare
7
Profilo NACA 4415
0;4
0;3
0;2
0;1
0
xac =c
0;1
senza smoothing
con smoothing
0;2
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
˛ (ı )
Profilo NACA 4415
0;4
senza smoothing
con smoothing
0;2
zac =c
0
0;2
0;4
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
ı
˛( )
10
3
Profilo NACA 4415
0;5
zac =c
0
0;5
1
0;2455
con smoothing
0;246
0;2465
xac =c
Figura 6.6 Posizione del centro aerodinamico .xac =c; zac =c/. Le curve tratteggiate non rappresen-
tano l’interpolazione approssimata delle curve continue, ma sono calcolate in base all’equazione
(6.4) applicata alle derivate delle curve di fitting dei dati sperimentali originali (si veda la figura 6.5).
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1
8
Dispensa 6 Determinazione del centro aerodinamico sulla base di dati sperimentali
% derivatives of
valpha_r_s
=
vCmexp_alpha_s =
vCl_alpha_s
=
vCd_alpha_s
=
vCmexp_alpha_s =
vCl_alpha_s
=
vCd_alpha_s
=
fitted functions
valpha_d_s*pi/180.;
zeros(n1,1);
zeros(n1,1);
zeros(n1,1);
deriv1(valpha_r_s,vCmexp_s);
deriv1(valpha_r_s,vCl_s);
deriv1(valpha_r_s,vCd_s);
% Calculate aerodinamic center
xexp = 0.25; % experimental reference point
zexp = 0.;
% NB: valpha_exp_XX(i) are stepped by 1 deg
valpha_r = [-8:8]*pi/180.;
n = length(valpha_r);
valpha_exp = valpha_r*180./pi;
for i=1:n-1
% eq. (6.5)-(6.8)
mA(1,1) = vCl_alpha(i)*cos(valpha_r(i))-vCl_exp(i)*sin(valpha_r(i)) ...
+vCd_alpha(i)*sin(valpha_r(i))+vCd_exp(i)*cos(valpha_r(i));
mA(1,2) = -vCd_alpha(i)*cos(valpha_r(i))+vCd_exp(i)*sin(valpha_r(i)) ...
+vCl_alpha(i)*sin(valpha_r(i))+vCl_exp(i)*cos(valpha_r(i));
mA(2,1) = vCl_alpha(i+1)*cos(valpha_r(i+1))-vCl_exp(i+1)*sin(valpha_r(i+1)) ...
+vCd_alpha(i+1)*sin(valpha_r(i+1))+vCd_exp(i+1)*cos(valpha_r(i+1));
mA(2,2) = -vCd_alpha(i+1)*cos(valpha_r(i+1))+vCd_exp(i+1)*sin(valpha_r(i+1)) ...
+vCl_alpha(i+1)*sin(valpha_r(i+1))+vCl_exp(i+1)*cos(valpha_r(i+1));
% eq. (6.4)
ac_E(i,:) = inv(mA)*[-vCmexp_alpha(i); -vCmexp_alpha(i+1)];
%
ac_E(i,1) = xexp + ac_E(i,1);
ac_E(i,2) = zexp + ac_E(i,2);
% first column -> xac/c, second column -> zac/c
end
% same calculation, but with smoothed data
for i=1:n1-1
mA_s(1,1) = vCl_alpha_s(i)*cos(valpha_r_s(i))-vCl_s(i)*sin(valpha_r_s(i)) ...
+vCd_alpha_s(i)*sin(valpha_r_s(i))+vCd_s(i)*cos(valpha_r_s(i));
mA_s(1,2) = -vCd_alpha_s(i)*cos(valpha_r_s(i))+vCd_s(i)*sin(valpha_r_s(i)) ...
+vCl_alpha_s(i)*sin(valpha_r_s(i))+vCl_s(i)*cos(valpha_r_s(i));
mA_s(2,1) = vCl_alpha_s(i+1)*cos(valpha_r_s(i+1))-vCl_s(i+1)*sin(valpha_r_s(i+1)) ...
+vCd_alpha_s(i+1)*sin(valpha_r_s(i+1))+vCd_s(i+1)*cos(valpha_r_s(i+1));
mA_s(2,2) = -vCd_alpha_s(i+1)*cos(valpha_r_s(i+1))+vCd_s(i+1)*sin(valpha_r_s(i+1)) ...
+vCl_alpha_s(i+1)*sin(valpha_r_s(i+1))+vCl_s(i+1)*cos(valpha_r_s(i+1));
ac_s(i,:) = inv(mA_s)*[-vCmexp_alpha_s(i); -vCmexp_alpha_s(i+1)];
%
ac_s(i,1) = xexp + ac_s(i,1);
ac_s(i,2) = zexp + ac_s(i,2);
end
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Listato 6.2 La funzione Matlabderiv1, che calcola la derivata numerica di una funzione tabellare.
function r = deriv1(x,y)
n = length(x);
r = zeros(n,1);
for i=2:n-1 % central derivative formula
r(i)=1/(x(i+1)-x(i-1)) ...
*( ...
((x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i))*(y(i+1)-y(i))) ...
+((x(i+1)-x(i))/(x(i)-x(i-1))*(y(i)-y(i-1))) ...
);
end
% forward derivative formula for the first point
r(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*(x(2)-x(1)));
% backward derivative formula for the last point
r(n)=(3*y(n)-4*y(n-1)+y(n-2))/(2*(x(n)-x(n-1)));
Listato 6.3 I vettori di dati sperimentali contenuti nel file alpha_Cd_Cl_Cmc4_exp_n4415.mat.
>>[valpha_exp_Cl vCl_exp]
ans =
-16.0000
-0.8698
-15.0000
-0.8993
-14.0000
-0.9047
-13.0000
-0.8835
-12.0000
-0.8342
-11.0000
-0.7319
-10.0000
-0.6123
-9.0000
-0.5046
-8.0000
-0.4021
-7.0000
-0.2987
-6.0000
-0.1952
D. P. Coiro, A. De Marco
6.1 Centro aerodinamico di un profilo alare
-5.0000
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
0
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
7.0000
8.0000
9.0000
10.0000
11.0000
12.0000
13.0000
14.0000
15.0000
16.0000
17.0000
18.0000
9
-0.0936
0.0062
0.1061
0.2080
0.3116
0.4160
0.5204
0.6237
0.7255
0.8254
0.9233
1.0188
1.1112
1.1951
1.2617
1.3124
1.3618
1.4122
1.4211
1.4010
1.3768
1.3401
1.3007
1.2669
>> [valpha_exp_Cm vCm_exp]
ans =
-12.0000
-0.0856
-11.0000
-0.0970
-10.0000
-0.1040
-9.0000
-0.1023
-8.0000
-0.0999
-7.0000
-0.0987
-6.0000
-0.0979
-5.0000
-0.0969
-4.0000
-0.0963
-3.0000
-0.0965
-2.0000
-0.0970
-1.0000
-0.0970
0
-0.0964
1.0000
-0.0953
2.0000
-0.0943
3.0000
-0.0938
4.0000
-0.0934
5.0000
-0.0923
6.0000
-0.0901
7.0000
-0.0870
8.0000
-0.0835
9.0000
-0.0803
10.0000
-0.0754
11.0000
-0.0667
12.0000
-0.0590
13.0000
-0.0612
14.0000
-0.0700
15.0000
-0.0751
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
>> [valpha_exp_Cd vCd_exp]
ans =
-12.0000
0.0127
-11.0000
0.0115
-10.0000
0.0105
-9.0000
0.0096
-8.0000
0.0090
-7.0000
0.0085
-6.0000
0.0082
-5.0000
0.0080
-4.0000
0.0078
-3.0000
0.0077
-2.0000
0.0076
-1.0000
0.0075
0
0.0074
1.0000
0.0074
2.0000
0.0075
3.0000
0.0075
4.0000
0.0077
5.0000
0.0084
6.0000
0.0099
7.0000
0.0125
8.0000
0.0165
9.0000
0.0223
10.0000
0.0301
11.0000
0.0403
12.0000
0.0531
10
Dispensa 6 Determinazione del centro aerodinamico sulla base di dati sperimentali
6.2
Centro aerodinamico di un velivolo
L’esercizio svolto nel caso precedente di un profilo alare può applicarsi in maniera analoga
per il calcolo del punto neutro di un velivolo (o anche “fuoco di un velivolo”).
Nella tabella 6.1 riportiamo alcuni dati sperimentali ottenuti in galleria del vento per
un modello di velivolo ultraleggero.
Tabella 6.1 Risultati di prove in galleria del vento su un modello di velivolo completo. Le
componenti di forza .Xexp ; Zexp / sono quelle misurate dalla bilancia in un riferimento xz
appartenente al piano di simmetria del modello e solidale a quest’ultimo. L’asse x è parallelo alla
linea di galleggiamento della fusoliera ed orientato verso poppa. (si veda la figura 6.7).
prova
˛ (°)
Xexp (kgf )
Zexp (kgf )
Mexp (kgf m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1;875
0;881
0;118
1;122
2;165
3;156
4;111
5;118
6;080
7;112
8;157
2;754
5;339
7;970
11;012
14;032
17;119
20;054
23;090
26;023
28;858
31;359
1;134
1;128
1;032
0;827
0;625
0;365
0;011
0;399
0;877
1;433
1;816
1;356
1;178
0;998
0;767
0;512
0;274
0;017
0;267
0;551
0;860
1;223
Trasformate le forze misurate dalla bilancia secondo le relazioni
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
L D Zexp cos ˛ Xexp sin ˛
D D Xexp cos ˛ C Zexp sin ˛
(6.9)
sarà possibile calcolare le coordinate xN xac e zN zac estraendo le derivate numeriche
delle funzioni tabellari e processandole secondo quanto visto nell’esercizio precedente.
Si ottengono i diagrammi delle figure XX, YY, ZZ
TO DO: completare, inserendo l’esercizio del vecchio corso di Dinamica del Volo.
Bibliografia
[6.1] I. H. Abbott, A. E. von Doenhoff, Theory of Airfoil Sections. Dover, 1959.
[6.2] M. S. Selig, B. D. McGranahan, “Wind Tunnel Aerodynamic Tests of Six Airfoils
for Use on Small Wind Turbines”. National Renewable Energy Laboratory Report,
NREL/SR-500-34515, Golden, Colorado, USA, 2003 (Available electronically at
http://www.osti.gov/bridge).
[6.3] A. W. Carter, “Pressure distributions on a wing having NACA 4415 airfoil sections with trailing-edge flaps set at 0 deg and 40 deg”. NASA-TM-X-2225, NASA
Langley Research Center, 1971.
D. P. Coiro, A. De Marco
6.2 Bibliografia
11
L
z
xac
˛
Mexp
centro aerodinamico
zexp zac
D
˛
˛
x
xexp
polo delle misure sperimentali
Figura 6.7 Rappresentazione schematica di un modello di velivolo completo posto in galleria del
vento ad un assetto simmetrico rispetto alla corrente. La misura della portanza L, della resistenza
D e del momento di beccheggio Mexp è effettuata da un sistema opportuno di sensori. Il momento
è riferito ad un polo convenientemente scelto dagli sperimentatori nel piano di mezzeria, di coordinate .xexp ; zexp / nel sistema di riferimento xz, con origine al bordo d’attacco della corda di radice.
Il centro aerodinamico del velivolo, nella configurazione prescelta, ha coordinate .xac ; zac /.
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[6.4] D. J. Graham, G. E. Nitzberg, R. N. Olson, “A systematic investigation of pressure distributions at high speeds over five representative NACA low-drag and
conventional airfoil sections”. NACA-TR-832, NASA Ames Research Center,
1945.
Dispense di Manovre e Stabilità Statica