ELETTROSTATICA NELLA MATERIA
•Polarizzazione della materia posta in un campo
elettrico;
•Il vettore polarizzazione;
•Il vettore spostamento elettrico;
•Isolanti in campo elettrico (suscettività e
permettività elettrica della materia), legge di Gauss
per il vettore spostamento elettrico, legge di Curie
per la suscetttività;
•La capacità elettrica;
• Applicazioni (i condensatori: cond. a facce piane
parallele);
• Energia del campo elettrico.
POLARIZZAZIONE DELLA MATERIA
Nella materia non conduttrice

neutralità elettrica a livello
macroscopico.
A livello microscopico:
(i) i baricentri della cariche positiva
e negativa coincidono;

Dipoli microscopici statici
(ii) i baricentri della cariche
positiva e negativa non coincidono.

Solo dipoli microscopici indotti
I dipoli elettrici della materia posti
in un campo elettrico
E=0
E
E
Nei materiali costituiti da dipoli microscopici
in assenza di campo elettrico esterno
i dipoli sono orientati in modo casuale
Se il materiale è immerso in un campo esterno,
i dipoli cominciano ad orientarsi
nella direzione del campo elettrico

Effetto elettrico macroscopico

Polarizzazione
Materiali privi di dipoli elettrici microscopici
Materiali privi di dipoli elettrici microscopici
(baricentro della carica positiva coincide con
il baricentro della carica negativa),
se posti in un campo elettrico esterno,
manifestano uno spostamento in senso opposto
dei baricentri delle due cariche.
Questo provoca la creazione di dipoli elettrici
microscopici orientati in direzione del campo
elettrico esterno, che creano un effetto elettrico
macroscopico.
Il vettore polarizzazione
Se inseriamo un parallelepipedo
di materiale non conduttore
(dielettrico) in un campo
elettrico, la sua polarizzazione
crea la comparsa di una
carica positiva da un lato e
una carica negativa dall’altro.
Definiamo la POLARIZZAZIONE P di un
materiale come il vettore che indica il momento
di dipolo per unità di volume.
Se p è il momento di dipolo indotto negli atomi
o quello molecolare, e n è il numero di dipoli
elementari per unità di volume
P=np
in genere (per materiali isotropi) la Polarizzazione
è parallela al campo elettrico.
Se la lastra di materiale ha spessore l
e superficie S, posta perpendicolarmente al
campo E, la polarizzazione parallela a E è
perpendicolare a S.
Il momento di dipolo totale è P per volume:
P(Sl)= (PS)l
l è la distanza tra le due cariche sulle superfici
del parallelepipedo.
Dalla definizione di momento di dipolo
(carica per distanza) P(Sl) = Ql
abbiamo PS=Q cioè la carica sulle superfici S.
Possiamo generalizzare il risultato:
la carica per unità di superficie di un pezzo di
materiale polarizzato è uguale alla componente
della polarizzazione P nella direzione della normale
alla superficie del corpo.
 
  P  un

un
versore normale
alla superficie
Vettore spostamento elettrico
Se inseriamo tra due piani
carichi con uguale densità
di carica LIB una lastra di
dielettrico, sulle sue superfici
affacciate ai piani carichi
viene indotta una carica di
polarizzazione per unità
di area pari a
POL=P
Il campo elettrico dentro alla lastra sarà il risultato
della carica totale nei piani e sulle facce della lastra:
 = LIB + POL = LIB - P
Quindi il campo E vale:

1
E
 ( LIB  P)
0 0
 LIB   0 E  P
Si può definire un vettore Spostamento Elettrico D,
tale per cui la componente di D lungo la normale alla
superficie di un conduttore immerso in un dielettrico
è uguale alla densità di carica libera superficiale sul
conduttore
 LIB
 
 D  un
 LIB   0 E  P
Da cui, generalizzando il
risultato in forma
vettoriale

 
D  0E  P
L’unità di misura dello spostamento elettrico
nel S.I. è
[D] = C m -2
(la stessa della polarizzazione P)
Essendo
 LIB
 
 D  un
il flusso del vettore spostamento elettrico
attraverso una superficie chiusa è uguale alla
carica “libera” totale entro la superficie
qLIB
 
  D  dS
S
Suscettività e permettività elettrica
In molti materiali (ma non è sempre vero) il
vettore polarizzazione è parallelo al vettore
campo elettrico risultante nel materiale:


P   0 e E
Dove e è una costante adimensionata detta
suscettività elettrica, che dipende dal materiale.
Quindi se riprendiamo la definizione di vettore
spostamento elettrico otteniamo:




D   0 E   0  e E  (1   e ) 0 E


D  E
La costante =(1+E)0 è detta
permettività o costante dielettrica del mezzo.
La costante r=(1+E)
è detta
permettività relativa o costante dielettrica relativa.
Riprendendo la legge di Gauss per il vettore D
qLIB
 
 
  D  dS   E  dS
S
S
  qLIB
 E  dS 
S

N.B. nel caso in cui non si consideri la costante
dielettrica relativa, la legge di Gauss deve tenere conto
sia delle cariche libere che di quelle di polarizzazione
  q LIB  q POL
 E  dS 
S
0
  q LIB
 E  dS 

S
Per una carica puntiforme q il campo nel
vuoto risulta
E0 
q
40 r 2
La stessa carica in un dielettrico ha campo
E
q
40 r r 2
Cioè smorzato di un
fattore r rispetto al
vuoto.
Lo smorzamento del campo elettrico di una carica
in un mezzo, rispetto alla stessa carica nel vuoto,
è una conseguenza degli effetti di schermatura
dei dipoli elettrici indotti o orientati dal campo
elettrico sorgente.
CAPACITÀ ELETTRICA E CONDENSATORI
Se prendiamo un conduttore isolato su cui si
trova la carica Q si può dimostrare che qualunque
sia la geometria
la carica Q è proporzionale al potenziale V
Q  CV
La costante C è detta capacità elettrica del conduttore.
ESEMPIO: prendiamo una sfera metallica
di raggio R con carica Q:
V
Q
4R
E quindi:
C  4R
La capacità si misura in FARAD [F]=CV-1 nel S.I.
Quando prendiamo due conduttori isolati
su cui abbiamo posto due cariche Q uguali
in modulo ma di segno opposto
abbiamo un CONDENSATORE
e si può dimostrare che qualunque sia la
geometria del sistema
Q  CV
Dove V è la diff. di pot. tra i metalli
e C dipende solo dalla geometria e dal
dielettrico in cui il condensatore è immerso.
Il condensatore a facce piane e parallele
DATI:
area facce S;
carica Q;
densità di carica
LIB=Q/S
Q  LIB
E

S

 LIB d Q  d
V1  V2  E  d 


S 
Q
C
V
Senza dielettrico tra le
piastre risulterebbe
C
S
C0 
d

 0 r S
d
0S
d
La Capacità C di un condensatore risulta
incrementata di un fattore r rispetto all’assenza di
dielettrico (vuoto tra le piastre)
ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO
Se cerchiamo di caricare un condensatore a facce
piane parallele di capacità C, il lavoro fatto
per portare la carica dq sulle facce vale:
dL  Vdq
Ma V è la diff. di pot. tra le armature
q
V
C
Per il caricamento totale si fa un lavoro
V0
Q
V0
V0
2
q
1Q
L   Vdq   dq 
C
2 C
0
0
1
2
L   Vdq   Vd (CV )  CV0
2
0
0
Dove va a finire il lavoro L del generatore per
caricare il condensatore ?
Nella costruzione del campo elettrico dentro
il condensatore.
Quindi diventa energia del campo elettrostatico.
Vediamo di calcolare questa energia in funzione
di E per un condensatore a facce piane e parallele:
1
2
L  CV0  W en. campo elettr.
2
S
ma ricordando : C  ; V0  Ed
d
1 S
1 2
2
W  ( )( Ed )  E ( Sd )
2 d
2
Introducendo il concetto di densità di energia del
campo elettrostatico:
W
1 2
w
 E
( Sd ) 2
Si può dimostrare che il risultato è generalizzabile a
qualsiasi campo elettrostatico.
•Serie e paralleli di condensatori
capacità in serie
capacità in parallelo
1

Ceq

C eq 
1
Ci
C
i