Campi magnetici nella materia
26 novembre 2014
Campo B nella materia
Correnti di magnetizzazione, modello di Ampère
Momenti angolari e magnetici dell’elettrone
Teorema di Larmor
Momento magnetico atomico indotto e permanente
Diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo
Intensità di magnetizzazione M, campo H
Eqq. di Maxwell nella materia
Onde e.m. in un dielettrico
Campo B nella materia
• Nonostante la grande complessità della struttura della
materia, è possibile sviluppare il magnetismo nella materia
in modo coerente e semplice
• Consideriamo un circuito percorso da corrente nel vuoto,
che generi un campo induzione magnetica B0(r)
• Il circuito venga poi “immerso” in una sostanza, che
supporremo per semplicità omogenea e isotropa, il campo
induzione magnetica generato sia ora B(r)
• Il rapporto B B0  r è una grandezza adimensionale detta
permeabilità magnetica relativa (al vuoto) della sostanza
considerata
2
Permeabilità magnetica
• Se la sostanza è omogenea r è uno scalare uniforme
nello spazio, altrimenti dipende dalla posizione spaziale
r(r)
• Se la sostanza non è isotropa r non è uno scalare ma
un tensore
• Si introduce anche la grandezza    r 0 detta
permeabilità magnetica della sostanza considerata,
avente le stesse dimensioni fisiche della permeabilità del
vuoto 0
3
Campo B nella materia
• A parità di circuiti elettrici e correnti che li percorrono, la
presenza di un mezzo altera il valore del campo da essi
generato
• Se il mezzo è omogeneo, isotropo e riempie tutto lo spazio,
tale variazione è assai semplice
• Il campo B si può infatti calcolare per
mezzo della prima formula di Laplace,
sostituendo 0 con 
• Inoltre la forza che tale campo esercita su
un circuito immerso in esso si trova
introducendo tale campo nella seconda
formula di Laplace
 
  dl  r
B
i 3
4
r
 

F  i  dl  B
4
Magnetizzazione
• La presenza del mezzo provoca una variazione del
modulo di B pari a B  B0  r B0  B0  r  1B0  cB0
• Ove si è introdotta la suscettibilità magnetica c
• In un mezzo è come se oltre alle correnti presenti nei
circuiti che generano il campo B0 ci fosse una corrente
aggiuntiva che genera un campo Bmag = cB0 :
B  B0  cB0  B0  Bmag
• Questa corrente non è fittizia, ma dovuta alla comparsa
nel mezzo di correnti di origine atomica, generate a loro
volta dalle correnti che producono il campo B0

• Tali correnti si chiamano correnti di magnetizzazione
5
Magnetizzazione, modello di
Ampère
• La magnetizzazione della materia è dovuta a
correnti microscopiche all’interno della materia
stessa
• Oggi sappiamo che queste correnti sono dovute
al moto orbitale degli elettroni all’interno
dell’atomo e al loro spin
• Il modello suppone che questi moti siano
equivalenti a microscopiche spire percorse da
corrente (vedi il teorema di equivalenza di
Ampère)
6
Momento magnetico
• Siccome ogni mezzo materiale è costituito di atomi (o
molecole), per trovare il momento magnetico totale M di una
quantità macroscopica di materia, dobbiamo sommare
(vettorialmente) tutti i momenti atomici
• Il momento atomico è, a sua volta, la somma (vettoriale) di
tutti i momenti magnetici orbitali e intrinseci dei suoi elettroni
(bisogna usare la meccanica quantistica)
• Basterà dire che alcuni di questi momenti si elidono tra loro a
coppie, per cui in atomi con un numero pari di elettroni il
momento risultante potrà, in generale, annullarsi, mentre per
un numero dispari di elettroni il momento magnetico atomico
sarà diverso da zero
7
Assenza di campo B esterno
• Nel caso in cui i momenti atomici siano
nulli, sarà nullo anche il momento totale
• Nel caso in cui i momenti atomici non
siano nulli, il momento totale è
generalmente (ma non nel
ferromagnetismo) ancora nullo in quanto i
momenti elementari sono orientati a caso
e in media la loro somma è zero
8
Presenza di campo B esterno
• Indichiamo con B* la somma del campo induzione magnetica
B0 dovuto ai circuiti elettrici percorsi da corrente e del campo
dovuto alle molecole del mezzo, con l’esclusione di quello
della molecola stessa: B* è quindi il campo in cui la molecola
che stiamo indagando è immersa
• L’azione di B* produce un momento magnetico dovuto al
primo o a entrambi dei seguenti fenomeni:
1) comparsa di un momento magnetico indotto, dovuto alla
precessione di Larmor, che riguarda tutti gli atomi
2) orientamento degli atomi che posseggono un momento
magnetico permanente, nella direzione del campo esterno
9
1) Momento indotto
• Una quantità macroscopica di materiale contiene un
gran numero N di atomi orientati diversamente
• Possiamo allora definire il momento magnetico indotto
totale del materiale e medio degli atomi come


M L   mLk
k

 ML 1

mL 
  mLk
N
N k
10
2) Momento permanente
• Una quantità macroscopica di materiale
contiene un gran numero N di atomi orientati
diversamente
• Possiamo allora definire il momento magnetico
permanente totale del materiale e medio degli
atomi come

 Mo 1



mo 
  mok
M o   mok
N
N k
k
11
Magnetizzazione M
• Detto M il momento magnetico totale








M  M L  M o   mLk   mok   mLk  mok    mk
k
k
k
k
• Definiamo (l’intensità di) magnetizzazione M come il momento
magnetico per unità di volume
 M
1 
N 1


M
  mk 
mk  nm

V
V k
V N k
• Se il momento magnetico del materiale non è uniforme,
bisogna usare la definizione differenziale


  dM
dM dN   
M r  

 mr nr 
dV
dN dV
• Dimensioni
A
• Unità u M  
m
3
2
1
M

n
m

L
I
L

I
L
    
 
12
Momento magnetico orbitale
dell’elettrone
• Per semplicità usiamo un modello classico per
rappresentare il moto di un elettrone in un atomo
• L’elettrone percorrerà un’orbita circolare di raggio
R e area A in un tempo T, moto che produce una
corrente
e e0
i 
T 2
• e un momento magnetico orbitale morb  iA
• Tale momento è dell’ordine di grandezza di un
magnetone di Bohr  B  9.26 10 24 J / T
13
Momento magnetico orbitale
dell’elettrone
• Introducendo il momento angolare orbitale l il
momento magnetico è
e0 2 e
e
e
morb 
R  vR 
Rmv 
l
2
2
2m
2m
e 
e 

morb 
l 
l
2m
2m
• morb risulta opposto in verso a l, a causa della
carica negativa dell’elettrone
• Tale calcolo è classico, non quantistico, ma il
risultato è corretto
14
Momento magnetico intrinseco
dell’elettrone
• Oltre al momento angolare orbitale l, l’elettrone possiede
un MA intrinseco s (o spin) indipendente dal moto orbitale
• Tale momento non è descrivibile classicamente, ma solo
quantisticamente
• Per visualizzare il fenomeno si immagina l’elettrone come
una sfera che ruota su se stessa
• Essendo l’elettrone carico, in tal modo si “giustifica” la
comparsa del momento magnetico intrinseco
e 
e 

mspin  s   s
m
m
15
Teorema di Larmor
• Non lo dimostreremo rigorosamente (bisognerebbe
usare la meccanica quantistica)
• Se si immerge il materiale in un campo B, si genera una
fem indotta che accelera o decelera gli elettroni atomici
• La velocità angolare orbitale degli elettroni (0 in
assenza di campo) cambia per una quantità
(precessione di Larmor)
e 

e 
L  
B
B
2m
2m
16
Dimostrazione classica
• Consideriamo un modello classico molto semplice: un
elettrone che percorre un’orbita circolare nel campo
coulombiano del nucleo in assenza di campo magnetico
• L’eq. del moto e` k eQ rˆ  k e Q  rˆ   m 2 r  rˆ 
0
r2
r2
eQ
• Da cui si ricava la velocita` angolare  0   k
mr 3
• Il segno indica i due possibili versi di rivoluzione
• Se ora accendiamo il campo, avremo una variazione di
velocità e anche la comparsa
di una forza di Lorentz


ev  B  erBrˆ  e rB rˆ 
2
2
m

r

e
B

r

m

r
• e l’eq. del moto diventa
0
17
Dimostrazione classica
• Affinche’ l’eq. sia soddisfatta occorre che la velocita`
angolare soddisfi l’equazione di 2o grado
eB
 
  02   2  2 L  02  0
m
2
e
• ove si e` definita la frequenza di Larmor  L 
B
2m
• L’eq. ha le soluzioni
1, 2  L  L2  02  L  0
B
B
0
L
r
L
v
r
FL
FL
v
0
18
Dimostrazione classica
B
• La soluzione 0  L corrisponde ad
un aumento del modulo della velocita`
angolare
• La soluzione  0  L corrisponde ad
una diminuzione del modulo della
velocita` angolare
v
• In entrambi i casi compare una
velocita` angolare aggiuntiva,
equiversa al campo 
e 
L 
2m
B
0
L
r
FL
v
B
L
r
FL
0
19
Momento indotto
• Per un elettrone immerso in un campo B, la
precessione di Larmor è associabile ad una corrente
elettronica aggiuntiva (positiva o negativa) rispetto a
quella dovuta al moto in assenza di campo e
e2
iL 
L
2

4m
• ed a un momento magnetico, il cui modulo e`

B
e2 A
mL  iL A 
B
4m
• e il cui verso e` opposto a  L e quindi e` sempre
opposto al campo
e2 A 

mL  
B
4m
20
Diamagnetismo
• Queste correnti elettroniche orbitali aggiuntive, sono
dette correnti di magnetizzazione o amperiane
• N.B. Le correnti elettroniche non comportano alcun
effetto Joule
• Queste correnti sono distribuite nel volume e sulla
supeficie del materiale
• Questo fenomeno è detto diamagnetismo ed è comune a
tutti i materiali
• Non dipende da T
• È evidente nelle sostanze prive di momenti magnetici
atomici permanenti
21
Campo magnetico totale
• I momenti indotti generano un campo induzione
magnetica Bmag  cB0 che va a diminuire il campo
esterno B0, poiché essi sono sempre opposti a
quest’ultimo
• Questo fatto si puo` esprimere dicendo che la
suscettivita` magnetica di una sostanza
diamagnetica e` negativa c  0 (ovvero r <1)
• E quindi il campo risultante e` minore del campo in
assenza di materia
B  B0  cB0  B0  c B0  B0
22
Momento permanente
• Per atomi dotati di momento magnetico permanente,
avviene il fenomeno di orientamento del momento lungo
la direzione del campo esterno (magnetizzazione per
orientamento)
• All’azione orientatrice del campo si oppone l’agitazione
termica che tende a disorientare gli atomi in tutte le
direzioni
• All’equilibrio termico, gli atomi disposti nel verso del
campo sono un po’ più numerosi degli altri
• Questo fenomeno è detto paramagnetismo
23
Campo magnetico totale
• In questo caso il campo induzione magnetica
generato dal materiale Bmag  cB0 va ad
aumentare il campo esterno B0
• Questo si puo` esprimere dicendo che la
suscettivita` magnetica di una sostanza
paramagnetica e` positiva c  0 (ovvero r >1)
• E quindi il campo risultante e` maggiore del campo
in assenza di materia
B  B0  cB0  B0
24
Paramagnetismo
• Il paramagnetismo è dovuto ai dipoli magnetici
atomici, prodotti dalle correnti elettroniche
orbitali e di spin (correnti amperiane)
• Anche nelle sostanze paramagnetiche è
presente il diamagnetismo
• Questo, però, è più che compensato dal
paramagnetismo dovuto ai momenti magnetici
atomici permanenti
25
Confronto fra energia magnetica e
termica
• L’analisi statistica dell’orientamento dei momenti molecolari si
basa sul confronto tra la differenza di energia tra i due stati
estremi in cui i dipoli possono trovarsi U mag  2mB
3
• e l’energia termica media U th  kT
2
• A temperatura ambiente l’energia magnetica è piccola rispetto
all’energia termica e per conseguenza il numero di dipoli
orientati nel verso del campo sarà solo di poco superiore a
quello di dipoli orientati in verso opposto
• Quindi la variazione di campo induzione magnetica dovuta al
paramagnetismo è generalmente piccola
• Per aumentarla è necessario andare a basse temperature
26
Confronto fra energia magnetica e
termica
• Energia magnetica del dipolo è dell’ordine di
U mag  mB
• Il valore tipico del momento di dipolo magnetico
è
24
 B  9.26 10 J T
• In un campo intenso (1 T) otteniamo
U mag  9.27 10
24
J T 1T  10 J
23
27
Confronto fra energia magnetica e
termica
• Energia termica di un atomo è dell’ordine di
Uth  3 2kT
• A temperatura ambiente (300 K) otteniamo
U th  3 21.38  10 23 J K 300K 6  10 21 J
 di due ordini di grandezza maggiore
• Cioè più
dell’energia magnetica
• Forti magnetizzazioni sono possibili solo a
basse temperature
28
Paramagnetismo
• In campi deboli M è
proporzionale al campo
e inversamente
proporzionale a T (legge
di Curie)
1 mB0
M
3 kT
Magnetizzazione in funzione
del campo B0 esterno
M
Ms
Ms
• In campi molto forti M
tende al valore di
saturazione Ms
(indipendente dal
campo)
B0
29
Diamagnetismo
Paramagnetismo
sostanza c (x 10-5)
bismuto
-16,6
oro
-3,6
argento
-2,6
diamante
-2,1
piombo
-1,8
rame
-1,0
sostanza c (x 10-5)
uranio
40
platino
26
tungsteno
6,8
alluminio
2,2
magnesio
1,2
ossigeno
0,19
30
Ferromagnetismo
• È presente in un numero limitato di elementi (o
loro leghe): ferro, cobalto, nichel, gadolinio,
disprosio
• È dovuto all’allineamento dei momenti magnetici
atomici
• Un debole campo B0 esterno è capace di
produrre un altro grado di allineamento dei
momenti magnetici atomici
• Il campo B indotto può essere migliaia di volte
più forte di quello esterno
• Questo allineamento può persistere anche dopo
che è stato soppresso il campo esterno:
magnetizzazione residua
31
Ferromagnetismo
• Il materiale è costituito da un insieme di domini (domini di
Weiss) al cui interno i dipoli si allineano parallelamente fra
loro lungo una direzione preferenziale
• La direzione dei domini varia invece da dominio a dominio
• Sotto l’influenza del campo esterno alcuni dipoli al confine tra
domini cambiano orientamento, aumentando l’estensione dei
domini allineati al campo a spese di quelli non allineati
• Esiste una temperatura critica al di sopra della quale
l’agitazione termica è abbastanza grande da sopprimere
questo allineamento: temperatura di Curie (per il ferro vale
1043 K)
• Sopra tale temperatura le sostanze diventano
paramagnetiche
32
Domini di Weiss
•
Magnetic domains (Weiss domains) in a
piece of ferromagnetic material, revealed in a
Kerr micrograph. The metal is composed of
microcrystalline grains. The magnetic
domains are the red and green stripes
within each grain. Due to its magnetic
anisotropy, the crystal lattice of each grain
has an "easy" preferential direction of
magnetization, so the domains within each
grain are oriented parallel to this easy axis.
The magnetization of red and green domains
is in opposite directions parallel to the long
axis of the domain.
Tratto da http://en.wikipedia.org/wiki/File:Weiss-Bezirke1.png
33
Ferromagnetismo
• Prendiamo ferro ricotto,
con M=0 e aumentiamo il
campo B esterno partendo
da 0 (punto O)
• L’appiattimento della curva
vicino ad A indica che M
tende ad un valore di
saturazione Ms
M
Ms
A
O
B0
34
Ferromagnetismo
• Se ora diminuiamo B0 e lo
portiamo a 0, M non ritorna a 0
• La variazione dei domini di
Weiss non è completamente
reversibile
• Il valore di M quando B0 è 0 è
detto magnetizzazione residua
Mr ed è il principio fisico del
magnete permanente
• Se si diminuisce ancora B0
(valori negativi), M diminuisce e
si annulla nel punto C per un
valore del campo Bc detto
campo di coercizione
M
Mr
Ms
A
C
O
B0
Bc
35
Ferromagnetismo
• Diminuendo B0 ulteriormente
si arriva alla saturazione nel
verso opposto (punto D)
• Se ora aumentiamo il campo,
M non seguirà la curva già
percorsa ACD, ma ne
percorrerà un’altra DC’A
formando complessivamente
un ciclo, il ciclo di isteresi
• M dipende quindi dalla storia
precedente della sostanza e
non è legata a B0 da una
relazione semplice
M
A
C
C’
O
B0
D
-Ms
36
Ferromagnetismo
• L’area racchiusa dal ciclo di isteresi è proporzionale
all’energia dissipata nella trasformazione irreversibile
magnetizzazione/smagnetizzazione
• Materiali dolci
– l’area del ciclo (e la perdita di energia) è piccola, M
residua è piccola
– Questi materiali sono usati per i nuclei dei trasformatori
per evitare di avere grandi perdite di energia quando B
varia alternativamente
• Materiali duri
– la perdita del ciclo è grande, M residua è grande
– Questi materiali sono usati per costruire magneti
permanenti
37
Circuitazione di M
• Si puo` dimostrare che la circuitazione di M è uguale alle
correnti di magnetizzazione del materiale
  conc
 M  dl  imag
• Ed in forma differenziale
  
  M  J mag
38
Circuitazione di M
• Questa relazione ci permette di estendere la legge di
Ampère in presenza di materia
• A tal fine riscriviamo tale legge inserendo oltre alle
correnti circolanti nei conduttori elettrici, che generano il
campo B0, anche le correnti di magnetizzazione che
generano il campo Bmag : in totale otterremo il campo B


 


conc
conc
 B  dl  0icndt  0imag   B0  dl  0  M  dl

 

• ovvero:
 B  B0  0 M  dl  0


39
Circuitazione di M
• Data l’arbitrarieta` della linea di circuitazione ne segue
•
•
 

B  B0   0 M
  
E poiche’
B

B

B
0



 mag
Abbiamo Bmag   0 M e anche cB0   0 M
• Dall’equazione
 
conc
conc
B

d
l


i


i
0 cndt
0 mag

• si deduce la forma differenziale:
 
 conc
 conc
  B  0 J cndt  0 J mag
40
Campo H
 
 
  B  0 J  J mag


• Dall’equazione:
• dividendo entrambi i membri
 per0 e sostituendo la
relazione tra M e Jmag : J
  M
mag
• Otteniamo

1     
 B  J   M
0
 B
 
    M   J
 0


• Introducendo il vettore campo magnetico
  
• si ottiene l’eq.   H  J
H
B
0
M
• Cioè il rotore di H dipende solo dalle correnti di
conduzione e non da quelle di magnetizzazione

41
Campo B nella materia
• Nelle sostanze paramagnetiche e
ferromagnetiche M ha lo stesso verso di B0
• In quelle diamagnetiche ha verso opposto
• Nelle sostanze para- e dia- M è proporzionale
a B0 (se questo è abbastanza piccolo)
B0
M c
0
• Dove c è la suscettività magnetica
B  B0  0 M  B0 1 c  r B0

42
Campo B nella materia
• Diamagnetismo: r < 1
– c è una piccola costante negativa indipendente dalla
temperatura
• Paramagnetismo: r > 1
– c è una piccola costante positiva che dipende dalla
temperatura
• Ferromagnetismo: r >> 1
– c è una funzione di B0 che dipende dalla temperatura
e dallo stato precedente di magnetizzazione. Assume
valori molto elevati (103-104)
– Formalmente si può scrivere anche in questo caso
B  r B0 B0
43
Campo B nella materia
• Il campo B all’interno della materia risulta
proporzionale al campo nel vuoto tramite la
permeabilità magnetica relativa
B  r B0
• L’equazione è simile a quella per il campo E
nella materia
E0
E
r
44
Relazioni tra B, M e H
• Eliminando M dalle relazioni
H
• Otteniamo

B
0

M c
M

B

B

B0
0


B
c
H
c
 1 
0
0  r 0   r
• cioè

H

B0 

B
r

B 1

 
 0  r

B

45
Campi nella materia
• Come nel caso elettrico è stato introdotto il
campo ausiliario spostamento elettrico D



D  E   0 r E
• così nel caso magnetico abbiamo introdotto il
campo ausiliario magnetico

H
 B
H 

B
0  r
• Questi campi non servono nel vuoto, ma sono
utili nello studio delle proprietà e.m. della
materia
46
Eqq. di Maxwell nella materia
• Le equazioni
così
 di Maxwell si riscrivono

( D)  Q int
( B)  0

  conc d( D)
C H  dl  i  dt

 
d ( B)
C E  dl   dt
• Ove per carica deve intendersi solo quella libera sui
conduttori e non quella di polarizzazione
• e per corrente deve intendersi solo quella circolante nei
circuiti elettrici e non quella di magnetizzazione
• A queste vanno aggiunte le relazioni tra campi


D  E

H

B

47
Eqq. di Maxwell nella materia
• Nella materia le equazioni assumono la forma

 
B
 E  
t
 
D  
 
 B  0

   D
 H  J 
t
• In un dielettrico le ultime due equazioni
divengono

 
  D
 D  0
 H 
t
48
Eqq. di Maxwell nella materia
• Sostituendo le espressioni per D e H (supposto il
dielettrico omogeneo e isotropo) 


 B
D  E
H

• otteniamo
 
   
 
  D    E    E  0
 



  B  1    E
E
       B 

t
t
 
 
 E  0

 
E
  B  
t
49
Eqq. di Maxwell nella materia
• Quindi otteniamo esattamente le stesse
equazioni trovate nel vuoto, con la sola
differenza che la costante nell’ultima equazione
invece che 0 0 ora è
r r
  0 0  r  r  2
c
• Per un dielettrico trasparente, ripetendo la
derivazione delle onde e.m., troviamo

l’equazione
2
2 
 E
 E   2  0
t
50
Eqq. di Maxwell nella materia
• La velocità delle onde nel dielettrico è quindi
1
c
v


r r
• Quindi la teoria di Maxwell predice che l’indice di
rifrazione di un dielettrico è uguale a
c
n   r r
v
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Eqq. di Maxwell nella materia
• Per i dielettrici n  r r   r
• Ma il confronto tra indice di rifrazione e costante
dielettrica relativa dà
materiale
n
r
acqua
1.334
80
etanolo
1.365
25
• La discrepanza è dovuta al fatto che la costante
dielettrica dipende dalla frequenza dell’onda: il
valore riportato è relativo al caso statico, non al
campo elettrico di frequenza ottica
52