GEOTECNICA
LEZIONE 11
PROBLEMI DI STABILITA’
ANALISI LIMITE
SPINTA DELLE TERRE
Ing. Alessandra Nocilla
1
PROBLEMI DI STABILITA’
OPERE DI SOSTEGNO
2
OPERE DI SOSTEGNO
RIGIDE
La stabilità è legata al peso W dell’opera stessa
o al peso WT del terreno che grava sulla suola di
fondazione.
FLESSIBILI
La stabilità è assicurata dalla mobilitazione della
resistenza passiva nella parte infissa e dalla
eventuale presenza di altri vincoli come, ad
esempio, un sistema di ancoraggio.
In entrambi i casi l’entità e la distribuzione delle azioni che il terreno esercita sull’opera sono legate all’entità
e al tipo di movimento che essa manifesta, e pertanto la determinazione di tali azioni richiede l’analisi
dell’interazione terreno-struttura. La complessità del problema è però tale che solo per le opere flessibili (e
in determinate circostanze) si risolvano schemi di interazione secondo procedure sofisticate. Nella maggior
parte dei casi si ricorre a soluzioni approssimate (come quelle ricavabile dell’equilibrio limite globale), la cui
validità applicativa ha avuto riscontro in osservazioni del comportamento di strutture in scala reale o modelli.
3
OPERE DI SOSTEGNO
RIGIDE
Muro a gravità
Dimensionati
in
modo tale che la
risultante R non
produca in alcuna
sezione tensioni di
trazione.
Muro a
gravità
semi-
Per ridurre la
massa di
calcestruzzo
consente di
armare
debolmente
Muro a mensola
Soluzione
ricorrente ed
economica fino a
6-7m.
Muro a contrafforti
Soluzione a
mensola per
H > 6-7m.
Muro cellulare
Elementi
prefabbricati
riempiti da
materiale
drenante. 4
PROBLEMI CONNESSI ALLA MECCANICA DELLE TERRE
DEVONO TENERE CONTO
EQUAZIONI DI CAMPO
LEGAMI COSTITUTIVI
-Equazioni di equilibrio
-Descrivono il comportamento
-Equazioni di conservazione della massa
tenso-deformativo del
terreno.
L’uso di relazioni generali è già complesso
nel caso di mezzi monofase, a maggior
ragione nella Meccanica delle Terre dove
abbiamo a che fare da materiali costituiti da
almeno due fasi (mezzi saturi).
La sua definizione con validità generale è praticamente impossibile in
quanto i terreni:
- Comportamento non lineare già a piccole deformazioni.
- Attrito: comportamento influenzato non solo dallo sforzo deviatorico ma
anche da quello normale.
- In CD manifestano ∆V, in CND manifestano ∆u.
- Anisotropia (per la struttura intrinseca e per lo stato di consolidazione)
- Instabilità (presenza della dilatanza e caduta post picco).
- Comportamento dipendente dalla variabile tempo (creep, etc)
NECESSITA’ DI SEMPLIFICAZIONI
(a) I problemi vengono suddivisi in:
PROBLEMI DI STABILITA’
Condizione di equilibrio limite
PROBLEMI DI DEFORMAZIONE
(b) Leggi costitutive semplificate
ANALISI DI STABILITA’
Mezzo rigido perfettamente plastico
CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI
(c) Spesso sono soddisfatte solo in parte le equazioni di campo
Condizione di esercizio
Modello elastico-lineare-isotropo
5
PROBLEMI DI STABILITA’
METODI DISPONIBILI PER LA RISOLUZIONE
METODI DELL’ANALISI
LIMITE
L’analisi limite ricerca mediante un metodo cinematico e un metodo
statico rispettivamente il limite superiore e un limite inferiore del
carico di collasso reale. È basato fondamentalmente su due teoremi:
-Teorema del limite inferiore
- Teorema del limite superiore
È così articolato:
METODO DELL‘ EQUILIBRIO LIMITE
GLOBALE
1) Individua, tramite diversi tentativi, la superficie di
scorrimento più critica.
2) Assume una distribuzione di tensioni lungo tale
superficie
3) Risolve il problema mediante un’equazione di equilibrio
globale del terreno considerato come corpo rigido
all’interno della superficie di scorrimento.
METODO DELLE
CARATTERISTICHE
Basato sul presupposto che in una massa di terreno in incipiente stato
di collasso devono essere soddisfatti sia il criterio di rottura che le
condizioni di equilibrio.
Equazioni di Kotter (1903)
6
PROBLEMI DI STABILITA’
ANALISI LIMITE
(testo di riferimento: CRAIG)
7
SPINTA DELLE TERRE
INTRODUZIONE
Come valutare l’intensità e la distribuzione della spinta laterale su una struttura?
Anche se si assume la condizione di deformazione piana, la trattazione rigorosa di questo problema, considerando cioè
sia lo stato tensionale che deformativo, necessiterebbe il coinvolgimento della conoscenza delle equazioni appropriate
definenti i legami costitutivi del terreno e la soluzione delle equazioni di equilibrio e di congruenza per le date
condizioni al contorno.
È possibile determinare gli spostamenti con il metodo degli elementi finiti utilizzando un software idoneo se si è in
grado di fornire valori realistici dei parametri di deformabilità del materiale. Ad ogni modo, è la condizione di rottura
quella che interessa e, in questo contesto, considerando che lo stato deformativo non è richiesto, è possibile utilizzare
il concetto di rottura plastica. In questo senso i problemi di stabilità saranno considerati come problemi nella plasticità.
Si assuma che allora il legame costitutivo del terreno sia del tipo rigido-perfettamente plastico, come mostrato in
figura. Questa assunzione implica il raggiungimento dello snervamento e della rottura allo stesso istante. Raggiunto
tale livello tensionale, un flusso plastico indefinito prende il via. L’ammasso di terreno è detto in condizioni di equilibrio
plastico se lo sforzo di taglio in ogni punto all’interno dell’ammasso raggiunge il valore rappresentato dal punto Y’.
Il collasso plastico si verifica dopo che lo stato di equilibrio plastico è stato
raggiunto in una parte dell’ammasso di terreno. Raggiungimento di
meccanismo instabile: quella parte infatti scivola relativamente alla parte
restante dell’ammasso di terreno.
Il sistema di carico applicato, incluse le forze di massa, sono chiamate, in
questa condizione, carico al collasso. La determinazione del carico al
collasso (carico a rottura) usando al teoria di plasticità è un’operazione
complessa e richiederebbe che l’equazioni di equilibrio, il criterio di
snervamento, e la legge di flusso fossero soddisfatte nella zona plastica: le
relazioni di congruenza non sarebbero coinvolte a meno che specifiche
condizioni di deformazione non venissero imposte. Ad ogni modo, è
possibile considerare un’analisi più semplice anche all’interno della
8 teoria
della plasticità.
SPINTA DELLE TERRE
TEOREMI DELL’ANALISI LIMITE
I teoremi limite della plasticità possono essere utilizzati per calcolare i limiti superiore e inferiore del reale carico
al collasso. In alcuni casi, l’applicazione dei due teoremi distinti, determina un risultato identico, che rappresenta
quindi il valore esatto del carico a rottura. I teroremi sono di seguito enunciati:
TEOREMA DEL LIMITE INFERIORE (metodo statico)
Se è possibile individuare uno stato tensionale interno che in nessun punto violi il criterio di rottura del
terreno e che è in equilibrio con il sistema di forze esterne (includendo in queste anche il peso del terreno),
allora il collasso non si verifica: le forze esterne costituiscono un limite inferiore del carico di collasso reale.
TEOREMA DEL LIMITE SUPERIORE (metodo cinematico)
Se è possibile individuare un meccanismo di collasso plastico tale che, ad un incremento dello
spostamento, il lavoro svolto dalle forze esterne uguaglia l’energia dissipata dalle tensioni interne, allora si
verifica la rottura: le forze esterne costituiscono un limite superiore del carico di collasso reale.
Nell’approccio con il limite inferiore le condizioni di equilibrio e di snervamento sono soddisfatte, ma non vi è
alcuna considerazione sulla modalità di deformazione. Inoltre l’approccio considera il criterio di rottura di MohrCoulomb.
Nell’approccio con il limite superiore viene ipotizzato un meccanismo di rottura scegliendo una superficie di
scivolamento e il lavoro svolto dalle forze esterne è posto uguale alla perdita di energia delle tensioni agenti
lungo la superficie di scivolamento, senza considerare l’equilibrio. Il cinematismo scelto non deve coincidere
necessariamente con il meccanismo reale ma deve essere cinematicamente ammissibile (ad esempio lo
scivolamento di un ammasso di terreno deve essere compatibile con la sua continuità e con qualsiasi condizione
9
al contorno).
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI RANKINE
La teoria di Rankine (1857) considera lo stato tensionale di una massa di terreno in condizioni di equilibrio limite
ovvero al momento della rottura. La teoria soddisfa la soluzione del teorema di plasticità del limite inferiore.
Inviluppo di rottura
dove si ricorda che:
1 + sin ϕ ′
ϕ′ 

= tan 2  45 + 
1 − sin ϕ ′
2

cos ϕ ′ = 1 − sin 2 ϕ ′
La rottura avviene lungo un piano che forma un angolo di (45° +φ’/2) rispetto al piano principale maggiore.
10
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI RANKINE- SPINTA ATTIVA
Si immagini una massa di terreno (omogeneo e isotropo) semi-infinita con superficie orizzontale e per superficie limite
verticale un muro liscio che si estende fino ad una profondità semi-infinita. Un elemento di terreno alla profondità z è
sottoposto ad una tensione verticale totale σv (= σz) e una tensione orizzontale σh (= σx). Non ci sono sforzi di taglio, x e
z rappresentano piani principali per il problema in esame.
Se immaginiamo un movimento del muro verso l’esterno (linea rossa), il valore di
sh diminuirà fino al raggiungimento dello stato di equilibrio plastico, stato che è
detto “attivo ”(σha). Dal momento che questo stato si è raggiunto con la
diminuzione di σh allora questo deve essere lo sforzo principale minore σ3.
t
sha s3
s1
shp
s
(*)
Lo stato tensionale totale verticale è calcolabile essendo litostatico:
e ponendo:
la (*) diventa:
pa = σ ha = K a γ z − 2c K a
(1)
Quando la tensionale orizzontale raggiunge il valore della pressione attiva il terreno si trova nello stato tensionale
attivo di Rankine, in cui esistono due famiglie di piani di rottura inclinati di (45° +φ’/2) rispetto all’orizzontale.
11
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI RANKINE- SPINTA PASSIVA
Si immagini una massa di terreno (omogeneo e isotropo) semi-infinita con superficie orizzontale e per superficie limite
verticale un muro liscio che si estende fino ad una profondità semi-infinita. Un elemento di terreno alla profondità z è
sottoposto ad una tensione verticale totale σv (= σz) e una tensione orizzontale σh (= σx). Non ci sono sforzi di taglio, x e z
rappresentano piani principali per il problema in esame.
Se immaginiamo un movimento del muro verso l’interno (linea verde), il valore di σh
aumenterà fino al raggiungimento dello stato di equilibrio plastico, stato che è detto
“passivo”(σhp). Dal momento che questo stato si è raggiunto con l’aumento di σh allora
questo deve essere lo sforzo principale maggiore σ1.
τ
(**)
σha
σ3
σ1
σhp
σ
Lo stato tensionale totale verticale è calcolabile essendo litostatico:
e ponendo:
la (**) diventa:
p p = σ hp = K p γ z + 2c K p (2)
Quando la tensionale orizzontale raggiunge il valore della pressione passiva il terreno si trova nello stato
tensionale passivo di Rankine, in cui esistono due famiglie di piani di rottura inclinati di (45° +φ’/2) rispetto al
12
piano verticale.
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE
La figura mostra l’orientazione delle superficie di rottura negli stati limite di Rankine
(a) Stato attivo. (b) Stato passivo.
13
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE
La figura mostra i percorsi della sollecitazioni per il raggiungimento della rottura negli stati limite di Rankine.
14
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE
La figura (Craig) mostra la relazione tra la deformazione
laterale e i coefficienti di spinta attiva e passiva.
La figura (Colleselli) mostra la relazione tra la deformazione
laterale e i coefficienti di spinta attiva e passiva.
Prove di laboratorio e prove sperimentali hanno indicato che gli spostamenti necessari per raggiungere le due condizioni limite sono
profondamente diversi fra loro. Per la mobilitazione della spinta attiva è necessario uno spostamento della sommità del muro
dell’ordine 0,1-0,2% della sua altezza. Mentre, nel caso passivo, 2-8% per le sabbie dense, 5-20% sabbie sciolte. Scelta dell’angolo di
attrito in funzione delle deformazioni. SABBIE: Per attiva, φp. Per passiva, intermedio tra picco e ultima.
Il valore di K0 può essere determinato soltanto attraverso prove di laboratorio (prove triassiali) imponendo la condizione di
deformazione laterale impedita. Esistono diverse relazioni empiriche che legano il valore di K0 ai parametri di resistenza.
15
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE
pa = σ ha = K a γ z − 2c K a
p p = σ hp = K p γ z + 2c K p
z0 rappresenta la profondità alla
quale si annulla il valore della
spinta attiva pa.
Spessore z0: eventuale presenza di
TENSION CRACKS. Se si formano,
si annulla il triangolo delle tensioni
negative.
La figura mostra le distribuzioni delle pressioni attive
e passive.
N.B. in presenza di più strati,
ogni strato va considerato a se,
con i valori di K, c e φ relativi.
16
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE. CASO DEL SOVRACCARICO DISTRIBUITO
pa = σ ha = K a (γ z + q ) − 2c K a
+
p p = σ hp = K p (γ z + q ) + 2c K p
+
La figura mostra le distribuzioni delle pressioni attive e passive in presenza di
sovraccarico distribuito.
17
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE. PRESENZA D’ACQUA. CONDIZIONE IDROSTATICA
W.T.
Ka =
pw = γ w H w
+
p'a = σ 'ha = K a (γ ' z ) − 2c' K a
+
Hw
1 − sin ϕ ′
1 + sin ϕ ′
Hw
Kp =
1 + sin ϕ ′
1 − sin ϕ ′
p' p = σ 'hp = K p (γ ' z ) + 2c' K p
+
pw = γ w H w
+
Hw
La figura mostra le distribuzioni delle pressioni attive e passive in presenza di acqua in condizioni idrostatiche
18 in
(assenza di moti di filtrazione). La pressione idrostatica va aggiunta alla pressione attiva o passiva calcolate
relazione ai parametri efficaci.
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE. PRESENZA D’ACQUA. CONDIZIONE NON DRENATA.
Nelle espressioni vanno introdotti i parametri non drenati.
W.T.
Ka =
1 − sin ϕu
=1
1 + sin ϕu
CND φu= 0
pa = K a [γ sat H w + γ ( H − H w )] − 2Cu K a
Hw
Kp =
1 + sin ϕu
=1
1 − sin ϕu
CND φu= 0
p p = K p [γ sat H w + γ ( H − H w )] + 2Cu K p
19
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE: ESEMPI
20
SPINTA DELLE TERRE
SPINTE DI RANKINE: ESEMPI
21
PROBLEMI DI STABILITA’
EQUILIBRIO LIMITE GLOBALE
(testo di riferimento principali CRAIG, Colleselli)
22
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI COULOMB
INTRODUZIONE: Rispetto alla teoria di Rankine, nella realtà, il movimento di un muro di sostegno può produrre un cambiamento
negli sforzi solo nelle vicinanze della causa disturbatrice, mentre per il resto il terreno rimane in equilibrio elastico. Pertanto stati
locali di equilibrio plastico possono essere prodotti da differenti processi di deformazione; gli sforzi corrispondenti nella zona
plastica e la forma della zona stessa dipenderanno principalmente dal tipo di deformazione e dalla ruvidezza della superficie di
contatto tra terra e struttura. Sono state così proposte varie teoria e soluzioni riguardanti la spinta delle terre per le diverse ipotesi
che si possono formulare e per le diverse situazioni che si possono presentare.
COULOMB (1776): Tra le varie soluzioni, Coulomb ha suggerito, per i problemi di stabilità dei muri di sostegno, un metodo basato
sullo studio dell’equilibrio limite globale del sistema, formato dal muro e dal prisma di terreno omogeneo retrostante il muro, e
coinvolto nella rottura nell’ipotesi di parete ruvida.
LA ROTTURA SI MANIFESTA, nell’ipotesi di COULOMB, CON IL DISTACCO DI UN CUNEO DI TERRENO CHE SCORRE VERSO
L’ESTERNO e VERSO IL BASSO SU UNA SUPERFICIE DI ROTTURA PIANA E INCLINATA.
La forza (Pa o Pp) che agisce sul muro di sostegno è determinata
considerando l’equilibrio alla rottura, nella condizione di equilibrio
limite. Nell’analisi viene considerata un valore dell’attrito muroterreno δ. Il valore di δ può essere correttamente valutato in
laboratorio con prove di taglio diretto.
La presenza di attrito (δ≠0) determina una superficie di rottura
curvilinea (più accentuata nel caso di spinta passiva). Angolo (+)
quando componente tangenziale della spinta è verso il basso.
In ogni punto del muro agisce uno sforzo tangenziale che
τn che dipende dalla sforzo normale applicato. Valori di
coesione cw possono assumersi in presenza di contatto
muro-argille.
τ n = cw + pn tan δ
Nella teoria di Coulomb le superfici di scivolamento
vengono assunte piane in tutti i casi (sia attivo che passivo).
Nel caso di spinta attiva, l’errore è piccolo, nel caso di spinta
passiva (per δ >φ/3) l’errore può essere consistente a
sfavore di sicurezza perché a favore della rottura.
La teoria soddisfa la soluzione del teorema di plasticità del
limite superiore.
N.B. quando δ=0 la soluzione da identici valori ottenuti da
Rankine. Il che vuole dire che limite inferiore e limite
superiore coincidono e che la soluzione è esatta. 23
SPINTA DELLE TERRE
METODO DI COULOMB
1)
Individua, tramite diversi tentativi, la superficie di scorrimento più critica.
2)
Assume una distribuzione di tensioni lungo tale superficie
3)
Risolve il problema mediante un’equazione di equilibrio globale del terreno considerato come
corpo rigido allinterno della superficie di scorrimento.
24
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI COULOMB. CASO SPINTA ATTIVA
CASO c’=0, β =0, α=90°°, S=0 (terreno asciutto), δ=0 (assenza di attrito)
H cotgθ
H
Pa
Consideriamo un cuneo in condizioni di
equilibrio limite attivo e il relativo poligono delle
forze.
W (γd)
Pa
T
θ
T = N ' tan ϕ ′
r r r
R = N +T
N’
R
θ−φ’
max
Bisogna trovare il θ per cui la spinta Pa abbia valore massimo.
Pa = W tan (θ − ϕ ′)
Pa
1
Pa = γ d H 2 cot gθ tan (θ − ϕ ′)
2
1
W = γ d H 2 cot gθ
2
Peso dell’unità di volume del cuneo
∂P
=0
∂θ
θ R = 45° +
ϕ'
1
ϕ′ 

Pa = γ d H 2 tan 2  45° − 
2
2
2

K a = K a (ϕ ′)
CASO c’=0, β =0, α=90°°, S=0 (terreno asciutto), δ≠0 (presenza di attrito)
δ
Pa
T
θ
N’
R
R
θR
θ
1
Pa = γ d H 2 K a
2
Soluzione di Rankine
Ka
1
tan (θ − ϕ ′)
Pa = γ d H 2 cot gθ
2
cos δ + senδ tan (θ − ϕ ′)
δ
Pa
W (γd)
W
R
1
Pa = γdH2 Ka
2
W
θ−φ’
K a = K a (ϕ ′, δ )
25
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI COULOMB. EFFETTO DELL’ATTRITO
CASO 1 c’=0, β =0, α=90°°, S=0 (terreno
asciutto), δ=0 (assenza di attrito)
1
Pa = γ d H 2 K a
2
γd= 1,8 t/m3
φ’ = 35°
H= 6m
CASO 2 c’=0, β =0, α=90°°, S=0 (terreno asciutto),
δ≠0 (presenza di attrito). δ= 2/3 φ’
1
Pa = γ d H 2 K a
2
K a = K a (ϕ ′)
K a = K a (ϕ ′, δ )
K a = 0,27
K a = 0,246
Pa = 7,9 t / m
E ' = Pa cos δ = 7,3 t / m
Pa = 8,7 t / m
FORZE A SFAVORE DI
SICUREZZA
X = Pasenδ = 2, 9 t / m
La presenza dell’attrito fra muro e terreno, a parità di parametri geometrici e meccanici, diminuisce il
valore della spinta Pa cioè è a favore di sicurezza.
26
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI COULOMB. CASO SPINTA ATTIVA
CASO c’=0 RIEMPIMENTO INCOERENTE, β≠0,
α≠90°°, S=0 (terreno asciutto), δ≠0 (con attrito)
Nella condizione di equilibrio limite il poligono
delle forze si chiude. La forza R è risultante degli
sforzi tangenziali e normali sulla superficie di
rottura
Di tutte le superfici di rottura possibili,
iterativamente si cerca quella per la quale il valore
della spinta P è massimo:
ovvero:
Pa =
1
Ka γ H 2
2
∂P
=0
∂θ
dove:
N.B. quando δ=0 la soluzione da identici valori ottenuti con la
soluzione di Rankine.
CASO c’≠
≠0, RIEMPIMENTO COESIVO, β≠0,
α≠90°°, S=0 (terreno asciutto), δ≠0 (con attrito)
Anche in questo caso, nella condizione di equilibrio limite il
poligono delle forze si chiude. La forza R è risultante degli sforzi
tangenziali e normali sulla superficie di rottura
Si cerca analogamente il valore della spinta P massimo.
27
SPINTA DELLE TERRE
TEORIA DI COULOMB. CASO SPINTA PASSIVA
CASO c’=0, RIEMPIMENTO INCOERENTE, , β≠0,
α≠90°°, S=0 (terreno asciutto), δ≠0 (con attrito)
Pp
180°°- α + δ
Pp
δ
R
φ
ovvero:
Pp =
W
R
θ+φ
Nella condizione di equilibrio limite il poligono
delle forze si chiude. La forza R è risultante degli
sforzi tangenziali e normali sulla superficie di
rottura
Di tutte le superfici di rottura possibili,
iterativamente si cerca quella per la quale il valore
della spinta P è minimo:
1
KP γ H 2
2
∂P
=0
∂θ
dove:
N.B. quando δ=0 la soluzione da identici valori ottenuti con la soluzione di Rankine.
28
OPERE DI SOSTEGNO
SOVRACCARICO DISTRIBUITO
IPOTESI: terrapieno in sabbia (c’=0), con superficie orizzontale (β=0), muro liscio (δ=0).
Falda in condizioni idrostatiche
Soluzione: Rankine e Coulomb coincidono
29
OPERE DI SOSTEGNO
SUPERFICIE INCLINATA
IPOTESI: terrapieno in sabbia (c’=0), con superficie inclinata (β≠0), muro liscio (δ=0).
β
β
30
OPERE DI SOSTEGNO
CARICO LINEARE
IPOTESI: terrapieno in sabbia (c’=0), con superficie orizzontale (β=0), muro liscio (δ=0).
Soluzione: stato tensionale valutato con la teoria
dell’elasticità (teoria di Boussinesque).
31
OPERE DI SOSTEGNO
CARICO PUNTUALE
IPOTESI: terrapieno in sabbia (c’=0), con superficie orizzontale (β=0), muro liscio (δ=0).
Soluzione: stato tensionale valutato con la teoria
dell’elasticità (teoria di Boussinesque).
32
OPERE DI SOSTEGNO
RANKINE e COULOMB
Superfici di scorrimento PIANE
Ma quando δ≠0, ovvero nei casi reali in cui c’è interazione fra la parete dell’opera di
sostegno ed il terreno, ci sono degli effetti sulla forma della superficie di scorrimento,
di cui bisogna tenere conto.
Se non lo si fa, si SOVRASTIMA LA PP, ed essendo quest’ultima UNA FORZA
RESISTENTE, si esegue un’analisi A SFAVORE DI SICUREZZA.
La SOLUZIONE fu ottenuta per via numerica da CAQUOT-KERISEL (1948) e NAVFAC (1982)
accoppiando le teorie di Rankine e di Boussinesq.
33
OPERE DI SOSTEGNO
SUPERFICI DI SCIVOLAMENTO CURVILINEE
Da considerarsi per evitare errori
grossolani a svantaggio di sicurezza per
la spinta passiva!
IPOTESI: con superficie inclinata (β≠0), parete ruvida (δ ≠ 0).
Soluzione: Navfac (1982) , con superficie di
scorrimento formata da una spirale logaritmica.
IPOTESI: con superficie orizzontale (β=0), parete ruvida (δ ≠
0), muro verticale (λ=0 o α=90°)
Soluzione: tabelle di Caquot e Kerisel (1948) , con parametri
diversi
34
OPERE DI SOSTEGNO
SUPERFICI DI SCIVOLAMENTO CURVILINEE
CONVENZIONI SUI SEGNI per L’UTILIZZO DELLE TABELLE
SPINTA ATTIVA 0 < δ < + φ
Il terreno si ABBASSA rispetto alla parete
SPINTA PASSIVA –φ’ < δ < 0
Il terreno SALE rispetto alla parete
VALORI DI δ
PARETI INTONACATE δ =
φ /4
PARETI IN MURATURA o CEMENTO ARMATO NON LISCIATE 2/3 φ’ < δ < φ /2
35
OPERE DI SOSTEGNO
INFLUENZA di KA e kP dal VALORE DI δ
β=0°, λ=0°, φ’= 30°
KaeKpinfunzionediδ
δ
KaeKp
7
KP
6
5
4
3
2
KA
1
0
0
5
10
15
20
25
30
Angolodia ritoδtrapareteeterreno
Si osserva che in condizioni di spinta attiva il coefficiente Ka varia poco, ovvero è poco
influenzato dalla rugosità della parete. In condizioni di spinta passiva viceversa, la
dipendenza è molto più pronunciata.
36
OPERE DI SOSTEGNO
INFLUENZA di KA e kP dal VALORE DI β
β
λ=0°, φ’= 30°, δ=+φ’° (spinta attiva)
e δ= -φ’° (spinta passiva)
δ
Kainfunzionediβ
Kpinfunzionediβ
1
18
0,9
16
0,8
14
0,7
12
10
0,6
8
0,5
6
0,4
4
0,3
2
0,2
-30
-20
-10
0
0
10
20
Angolodiinclinazionedelpianocampagnaβ
30
-30
-20
-10
0
10
20
30
Angolodiinclinazionedelpianocampagnaβ
Il valore dei coefficienti di spinta, sia attiva
che passiva, cresce con β, poiché AUMENTA
il volume di terreno coinvolto nella rottura.
β
δ
37
OPERE DI SOSTEGNO
INFLUENZA di KA e kP dal VALORE DI λ
β=0°, φ’= 30°, δ=+φ’° (spinta attiva)
e δ= -φ’° (spinta passiva)
−λ
+λ
Kpinfunzionediλ
Kainfunzionediλ
-90
-70
-50
-30
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-10
60
50
40
30
20
10
0
10
30
Angolodiinclinazionedellapareteλ
50
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Angolodiinclinazionedellapareteλ
Il valore del coefficiente di spinta attiva CRESCE passando da valori di λ negativi verso valori di λ positivi
VICEVERSA, Il valore del coefficiente di spinta passiva DECRESCE molto rapidamente passando da valori
di λ negativi verso valori di λ positivi
38
OPERE DI SOSTEGNO
INFLUENZA di KA e kP dall’angolo φ’ e dal rapporto |δ/φ
δ/φ’|
δ/φ
β=0°, (terrapieno orizzontale)
PA
e λ= 0° (parete verticale)
Kpinfunzionediφ'e|δ
δ/φ'|
Kainfunzionediφ'e|δ
δ/φ'|
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
80
δ/φ = 0
60
δ/φ = 2/3
50
δ/φ =1
40
5
δ/φ = 1
70
δ/φ =1/3
0
PP
δ/φ =2/3
30
10
15
20
25
30
35
40
45
Angolodia ritoφ'
50
20
δ/φ = 1/3
10
δ/φ =0
0
0
10
20
30
40
Angolodia ritoφ'
50
Il rapporto δ/φ’ è positivo in condizioni di spinta attiva e negativo in condizioni di spinta passiva.
Si osserva che al CRESCERE dell’angolo di resistenza al taglio φ’ il coefficinete di spinta attiva KA decresce
lentamente, mentre il coefficiente di spinta passiva KP cresce molto rapidamente.
Come già visto, la dipendenza dal valore di δ, a parità del valore di φ’, è più sensibile per il coefficiente di
spinta passiva. Tale sensibilità aumenta tanto più aumenta il valore dell’attrito parete-terreno. 39
OPERE DI SOSTEGNO
SPINTA DOVUTA ALL’ACQUA
In presenza d’acqua occorre considerare tutto in termini di tensioni efficaci e aggiungere la pressione
dell’acqua. In condizioni idrostatiche o in presenza di moto di filtrazione.
CONDIZIONE IDROSTATICA
40
OPERE DI SOSTEGNO
SPINTA DOVUTA ALL’ACQUA
CONDIZIONE IN PRESENZA DI MOTO DI
FILTRAZIONE STAZIONARIO
Influenza della presenza di un
dreno che abbatte le pressioni
interstiziali, alla base e le annulla in
parete.
41
OPERE DI SOSTEGNO
SPINTA DOVUTA ALL’ACQUA
SISTEMI DI DRENAGGIO
42
PARATIE
43
OPERE DI SOSTEGNO
FLESSIBILI
La stabilità è legata alla mobilitazione della resistenza passiva nella zona della paratia infissa.
CALCOLO DI PROGETTO:
PARATIE
- Profondità di infissione D
H
Profondità zR del puntodi
rotazione
attorno al quale la
paratia ruota nel cinematismo
possibile di rottura.
zR
EQUAZIONI A DISPOSIZIONE:
R
D
- Equazioni di equilibrio della
statica
Occorre conoscere la distribuzione delle forze sulla paratia (sia a monte che a valle)e quindi le forze che agiscono.
44
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 1
FLESSIBILI
DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI SULLA PARATIA
HP: terreno incoerente (c’=0, φ’≠0), asciutto (S=0, γ = γd), attrito muro terreno nullo (δ=0), si raggiunge la condizione limite
in tutti i punti nello stesso momento, per la stessa rotazione. Rankine.
arctg Ka γd
PARATIE
arctg Kp γd
Spinta attiva
Spinta passiva
H
zR
R
D
Occorre conoscere la distribuzione delle forze sulla paratia (sia a monte che a valle)e quindi le forze che agiscono.
45
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 1
FLESSIBILI
AZIONI SULLA PARATIA
H + zR
H + zR
 z2 
Pa1 = ∫ K aγ d z dz = K aγ d  
 2 0
0
PARATIE
H
zR
 z2 
1
2
Pp2 = ∫ K pγ d z dz = K pγ d   = γ d K p z R
2
 2 0
0
zR
Pa1
zR
D
1
= γ d K a ( H + zR )2
2
Pp2
pa = K a γ d z R
OR
p p = K p γ d (H + z R )
Pp1
Pa2
p p = K pγ d (H + D )
pa = K a γ d D
[
Pp1 = γ d K p ( H + z R ) + γ d K p
Pa2 = [γ d K a z R + γ d K a D ]⋅
(D − z R )
( H + D )]⋅
2
(D − z R )
2
EQUAZIONI D’EQUILIBRIO
1. Traslazione orizzontale
2. Rotazione attorno ad O.
INCOGNITE
zR e D
46
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 1
FLESSIBILI
BRACCIO DELLE AZIONI
 H + zR 
b1 = 

3


PARATIE
H
b2 =
Pa1
zR
b2
Pp2
OR
zR
3
b1
b=?
Per trovare i bracci delle altre due azioni, occorre scomporre la singola azione (singolo
trapezio) in due (1 triangolo+ 1 rettangolo).
47
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 1
FLESSIBILI
BRACCIO DELLE AZIONI
pa = Kaγ d zR
b5
D- zR
b6
Pp1R
Pa2R
b3
b3 =
b4
Pp1T
Pa2T
pa = Kaγ d D
Pp1R = γ d K p ( H + z R ) ⋅ (D − z R )
pp = K pγ d (H + zR )
Pa2T = (γ d K a D − γ d K a z R ) ⋅
2
] (D −2 z )
[
R
2
b4 = ⋅ (D − z R )
3
b5 = b3 =
(D − z R )
2
Pp1T = γ d K p ( H + D ) − γ d K p ( H + z R ) ⋅
pp = K pγ d (H + D)
Pa2 R = γ d K a z R ⋅ (D − z R )
(D − z R )
(D − z R )
2
b6 = b4 =
2
⋅ (D − z R )
3
48
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 1
FLESSIBILI
EQUAZIONI DI EQUILIBRIO
1. Traslazione orizzontale
Pa1 + Pp1 = Pp2 + Pa2
2. Rotazione attorno ad O
Pa1 ⋅ b1 + Pa2 R ⋅ b5 + Pa2T ⋅ b6 = Pp2 ⋅ b2 + Pp1R ⋅ b5 + Pp1T ⋅ b6
2 equazioni in 2 incognite
49
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 2
FLESSIBILI
DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI SULLA PARATIA
HP: terreno incoerente (c’=0, φ’≠0), acqua (S=1, γ = γsat), condizione idrostatica. Attrito muro terreno nullo (δ=0), si
raggiunge la condizione limite in tutti i punti nello stesso momento, per la stessa rotazione. Rankine.
arctg Ka γ’
PARATIE
arctg
Kp γ ’
Spinta attiva
Spinta passiva
H
Spinta dell’acqua
zR
R
D
Spinte autoequilibrate Procedura identica al CASO 1.
Unica differenza: diagrammi inclinati di arctg Ka γ’ o arctg Kp γ’
50
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 3
FLESSIBILI
DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI SULLA PARATIA e CALCOLO SEMPLIFICATO
HP: terreno incoerente (c’=0, φ’≠0), acqua (S=1, γ = γsat), moto di filtrazione. Attrito muro terreno nullo (δ=0), si raggiunge
la condizione limite in tutti i punti nello stesso momento, per la stessa rotazione. Rankine.
PARATIE
Problema più complesso. Si devono conoscere le pressioni interstiziali
u sulla paratia attraverso il reticolo idrodinamico. In alternativa si può
fare una semplificazione considerando la cadente media im della sola
particella d’acqua filtrante a tergo della paratia.
H
Filtrazione
stazionaria
APPROCCIO
SEMPLIFICATO
im =
zR
R
D
(sx) VALLE
(dx) MONTE
σ ′v = γ ′ z− imγ wz
σ ′v = γ ′ z+ imγ w z
H
H + 2D
(*)
In entrambi i casi (approccio semplificato o reticolo) non possiamo conoscere i valori di σ’v perché dipendono da una incognita
(D).Non possiamo tracciare i diagrammi delle tensioni efficaci perché, per esempio, σ’ha =Ka σ’v.
PROCEDURA PER TENTATIVI:
1)
Si ipotizza inizialmente che ci sia una distribuzione idrostatica delle pressione interstiziale (dove im =0 e σ’h=γ’z). Ovviamente in
questo caso la soluzione coincide con la soluzione del CASO 2, e quindi troveremo risolvendo il sistema D1 e zR1 di primo
tentativo.
2)
Grazie ai valori di D1 e zR1 trovati calcolo im1 e ottengo il valore di σ’v1 (come da espressioni (*)).→ σ’h1 → azioni efficaci sulla
paratia. A cui vanno sommate le pressioni derivanti dall’acqua in moto di filtrazione. Poi con l’approccio semplificato, nel caso di
cadente media: u = γ w z − im1γ w z (monte) u = γ w z + im1γ w z
(valle). Con la nuova distribuzione si potrà risolvere il
sistema e ricavare D2 e zR2 di 2° tentativo.
3)
D2 → im2 → σ’v2 → σ’h2 → azioni efficaci sulla paratia. Nuovo equilibrio → D3 e zR3 di 3° tentativo.
4)
La procedura va iterata fino a quando la differenza percentuale fra due valori di D trovati (uno con il suo precedente) risulta < 2%.
51
OPERE DI SOSTEGNO
Ka = K p = 1
CASO 4: CND
FLESSIBILI
DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI SULLA PARATIA IN CONDIZIONI NON DRENATE
HP: terreno incoerente (c’=0, φ’≠0), acqua (S=1, γ = γsat), CONDIZIONE NON DRENATA. Attrito muro terreno nullo
(δ=0), si raggiunge la condizione limite in tutti i punti nello stesso momento, per la stessa rotazione. Rankine.
2Cu 2Cu
arctg γsat
PARATIE
arctg γsat
H
pa = γ sat z − 2Cu
p p = γ sat z + 2Cu
Punto F
2Cu
2Cu
zR
R
D
z0 =
2Cu
PROFONDITA’ ALLA QUALE
SI ANNULLA LA Pa.
γ sat
Affinché ci sia l’equilibrio a fondo scavo,
cioè nel punto F , deve essere:
p pF − paF > 0
ovvero:
H<
2Cu − (γ sat H − 2Cu ) > 0
4Cu
γ sat
La profondità di scavo non
deve superare questo valore per
avere uno scavo in equilibrio
senza protezione.
La zona di tensioni negative (tension cracks) genera fessurazioni. Questa parte del diagramma può essere trascurato. Al suo
posto può considerarsi la spinta idrostatica dell’acqua che va a riempire le fessure.
52
OPERE DI SOSTEGNO
CASO 5
FLESSIBILI
PARATIE ANCORATE
HP: terreno incoerente (c’=0, φ’≠0), terreno asciutto (S=0, γ = γd). Attrito muro terreno nullo (δ=0), si raggiunge la condizione
limite in tutti i punti nello stesso momento, per la stessa rotazione. Rankine.
arctg Kpγd
H
arctg Kaγd
T
Le incognite in questo caso sono D e T.
La profondità di rotazione è nota perché è il
punto in cui è stata vincolata la paratia mediante
il tirante.
Nelle equazioni di equilibrio occorrerà considerare
oltre alle risultanti dei tre diagrammi delle spinte
attiva (1) e passive (2) anche la forza T del tirante
incognita, necessaria a vincolare la paratia.
R
D
Esistono due tipologie di ancoraggi:
1)
ATTIVO
il tirante viene preteso. Si esercita un’azione ancora prima che la
parete possa muoversi.
2)
PASSIVO
va in funzione solo quando si verifica uno spostamento della parete.
Verifiche opportune allo sfilamento.
53
VERIFICHE SLU
54
VERIFICHE DI STABILITA’
Pa
Wt
Wm
Ppv
Pav
Pao
Ppo
Pp
SLU:
Rv
R
Ro
1)
Scorrimento (o traslazione orizzontale)
2)
Ribaltamento
3)
Carico limite (o capacità portante)
4)
Stabilità globale
55
VERIFICHE DI STABILITA’
VECCHIA NORMATIVA
D.M. 11/03/1988
TRASLAZIONE ORIZZONTALE
Pa
Wt
Wm
Pav
Pao
∑F
∑F
h − stab
Ppv
h − scorr
Ppo
Pp
Rv
R
La Ro è al contatto muro e terreno,
dipende da questo attrito di cui non si
sa molto (dipende da come è fatto il
muro). Ad ogni modo considerando i
valori efficaci:
Ro ≅ Rv′ tan ϕ m
Ro
Ro
≥ 1,3
Pao
1 2
tan ϕ m = tan δ = ÷ tan ϕ
3 3
=
Ppo + Ro
Pao
=
Ro
≥ 1,3
Pao
In genere si trascura il contributo orizzontale
della spinta passiva, sia per la profondità della
fondazione (ci sarebbe solo terreno vegetale)
sia per il fatto che per mobilitarsi interamente
occorrerebbero spostamenti elevati del muro.
Rv′ = Rv − U b
Risultante delle u alla
base della fondazione
Nota se sono noti Wm e Wt
Per la verifica alla traslazione orizzontale con la vecchia normativa, una volta dimensionato il progetto dell’opera di sostegno,
si determinano Ro e Pao e si verifica che il loro rapporto sia maggiore di 1,3.
56
VERIFICHE DI STABILITA’
VECCHIA NORMATIVA
D.M. 11/03/1988
RIBALTAMENTO
La rotazione è piccola,
enfatizzata nel disegno.
Pa
Wt
Wm
Pav
Pao
stab
ba
Ppv
Ppo
Pp
∑M
∑M
≥ 1,5
rib
c
A
Alla piccola rotazione, non
c’è più contatto. R non c’è
più. Non è né stabilizzante
né instabilizzante.
Wm ⋅ am + Wt ⋅ at + Ppo ⋅ c
≥ 1, 5
Pao ⋅ ba − Pav ⋅ B
R
am
at
B
OSSERVAZIONI
1)
La componente di spinta passiva Ppv ha braccio nullo.
2)
La componente della spinta attiva Pav ha effetto stabilizzante.
3)
Sono noti i bracci am, at, B (base della fondazione).
4)
Non sono noti i bracci c e ba rispettivamente delle componenti orizzontali della spinta passiva e della spinta attiva.
5)
Generalmente si trascura la spinta passiva, per le stesse ragioni della traslazione orizzontale.
6)
Per il calcolo di ba (braccio della spinta attiva Pao), se siamo in condizioni drenate e idrostatiche o di terreno asciutto,
57
possiamo utilizzare Rankine→ b=1/3.
VERIFICHE DI STABILITA’
CARICO LIMITE
VECCHIA NORMATIVA
D.M. 11/03/1988
Pa
Wm
?
Wt
?
Qlim
≥2
Qes
È un altro tipo di verifica, non si tratta di confrontare le forze che
producono uno spostamento del muro con che quello che si
oppongono a tale spostamento (verifiche precedenti) ma di
verificare se una forza applicata complessivamente (Qes) possa
comportare la rottura del terreno di fondazione.
Il Qes è il carico d’esercizio ovvero il carico che agisce in direzione verticale sulla pianta delle fondazione. Può
essere eccentrico. Avviene quindi una parzializzazione della fondazione (che può perdere localmente il contatto
a causa di momenti di forze eccentriche B→B*). Solo una parte della fondazione reagisce ai carichi verticali.
Il Qlim è il carico limite che i terreni di fondazione possono sopportare. Va valutato in funzione dei parametri
di resistenza del terreno e dell’eventuale spinta dell’acqua. Il qlim (carico unitario) dipende chiaramente
anche dall’eventuale parzializzazione della fondazione (qlim= Qlim/B*)
58
VERIFICHE DI STABILITA’
STABILITA’ GLOBALE
VECCHIA NORMATIVA
D.M. 11/03/1988
F ≥ 1,3
Il muro non viene specificatamente tirato in ballo: la verifica prescinde dalle dimensioni del muro e dalle sue
caratteristiche. La sua presenza è avvertita solo come peso.
Si forma una superficie di scivolamento globale lungo la quale il pendio scivola (verifica di stabilità dei pendii).
La superficie che si forma è detta critica, perché ha valore del fattore di sicurezza minimo tra tutte le superfici che
danno cinematismi ipotizzabili. Le dimensioni dell ’ opera influiscono solo quando queste impediscono la
formazione di una superficie critica di scorrimento e consente cinematismi (e quindi relative superfici di
scorrimento) per i quali la verifica risulta soddisfatta.
59
VERIFICHE DI STABILITA’
NTC 2008
COEFFICIENTI PARZIALI (A1, A2, M1, M2)
60
VERIFICHE DI STABILITA’
NTC 2008
Le norme enunciate nel cap. 6 (§ 6.5) si applicano a: OPERE DI SOSTEGNO
Muri a gravità, a mensola, a contrafforti
Opere in terra rinforzata
Paratie
Azioni: Si considerano azioni sull’opera di sostegno quelle dovute al peso proprio del terreno e del
materiale di riempimento, ai sovraccarichi, all’acqua, ad eventuali ancoraggi pre-sollecitati, al moto
ondoso, ad urti e collisioni, alle variazioni di temperatura e al ghiaccio.
Muri di sostegno – Verifiche di sicurezza – SLU
GEO
EQU
61
OPERE DI SOSTEGNO
SCORRIMENTO
CARICO LIMITE
GEO
Almeno uno dei seguenti approcci:
Approccio 1:
-combinazione 1: (A1+M1+R1) STR
-combinazione 2: (A2+M2+R2) GEO
Approccio 2:
(A1+M1+R3)
RIBALTAMENTO
STABILITA’ GLOBALE
?
?
GEO
NTC 2008
EQU
EQU+M2
Non coinvolge la mobilitazione
della resistenza del terreno di
fondazione. Equilibrio di un corpo
rigido
GEO
Approccio 1:
-combinazione 2: (A2+M2+R2)
Approccio analogo alla vecchia
normativa DM88
62
PARATIE
NTC 2008
GEO
UPL
HYD
GEO
STR
GEO
γR=1,0
SCOMPARE L’APPROCCIO 2
63