W. Grassi -Termoenergetica e Risparmio Energetico in Edilizia –Cap. II Le traiettorie solari
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Capitolo II – I diagrammi solari
II.1 L’irraggiamento solare diretto e le traiettorie solari
Angolo
orario
Traiettoria
giornaliera del sole
ω
θ
N
α
n
(90°-i)
Azimut
solare
az
Piano orizzontale
tangente alla terra in
un punto
γ
S
Azimut della
superficie
Figura II-1 – Angoli formati da una superficie piana comunque orientata.
Esaminiamo più in dettaglio l’effetto della dinamica solare su un osservatore in un punto di un
piano orizzontale, rivolto a Sud. In particolare si cerchi l’andamento dell’angolo di altezza solare in
funzione dell’azimut, az (eventualmente corretto, come detto), per una latitudine di 40°N e con
riferimento al 21 Giugno. Nella figura II-1, per comodità sono indicati tutti gli angoli formati da una
superficie piana comunque orientata. Si ricorda anche che, se i=0, si ha:
cos θ = senδ senφ + cos δ cos φ cos ω = senα
In questo modo si ottiene un grafico come quello di figura II-2, in cui sono contrassegnate anche la
ore del giorno (caselle bianche sul grafico).
80
pomeriggio
12
13
mattina
11
70
14
10
60
15
α (°)
()
50
16
17
9
8
40
30
7
20
18
6
10
5
19
0
-120 -110 -100 -90
-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120
az (°)
Figura II-2 Andamento dell’altezza solare in funzione dell’azimut solare il 21
Giugno ad una latitudine di 40°N
Dal grafico di figura si comprende come un osservatore rivolto a sud, non vedrebbe, se non
girandosi un po’ ad est, la mattina, e ad ovest, il pomeriggio il sole, poiche l’angolo solido della
visuale normale consente di coprire valori più ridotti.
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Diagramma cilindrico
Proiezioni delle
traiettorie del sole su
cilindro con asse
verticale passante per
il punto
dell’osservatore
Ore 10
SUD
Traiettorie
del sole
Proiezioni delle
traiettorie del
sole sul piano
orizzontale
Diagramma
stereografico
Posizione
dell’osservatore
Figura II-3 Diagrammi cilindrico e stereografico delle traiettorie solari
Generializziamo, ora, le considerazioni fatte, riferendoci alla figura II-3. Si consideri un osservatore
posto su un piano orizzontale che segua il movimento del sole. Egli, quindi, vede delle traiettorie
simile a quelle indicate in rosso in figura. Si ottengono i seguenti diagrammi di utilizzo pratico.
Diagramma cilindrico
Si consideri ora di porre una superficie laterale di un cilindro circolare retto, con base sul piano
orizzontale, in modo che le traiettorie si possano immaginere poste fra l’osservatore e la superficie
cilindrica. Si proiettino le traiettorie su quest’ultima. Queste proiezioni appariranno come le linee
tratteggiate in rosso nella figura.
In tal modo un primo diagramma ottenibile è il cosiddetto “diagramma solare cilindrico”, in cui per
ogni giorno dell’anno (valore fissato della declinazione) si ottiene una curva continua che fornisce
l’angolo di altezza solare in funzione dell’azimut.
Se, successivamente, per evidente comodità, si apre il cilindro facendolo coincidere con una
superficie piana (foglio) si ottiene un grafico come quello della figura II-4. In esso, in ordinate sono
posti i valori dell’angolo α ed in ascisse quelli dell’azimiut az. In particolare sono evidenziate le
curve relative ai solstizi d’estate e d’inverno ed agli equinozi. Si nota immediatamente come il sole
sia “più alto” sull’orizzontale nei mesi estivi, rispetto a quelli invernali.
Diagramma stereografico
L’altro tipo di diagramma, detto stereografico (o mappa stereografica), consente di proiettare le
traiettorie solari su un piano orizzontale, seguendo un procedimento un po’ più complesso che
discutiamo in appendice al capitolo. Esso si presenta come in figura II-5, in cui ci si riferisce ad una
latitudine di 44°Nord e a giorni dell’anno convenzionali. Il diagramma fornisce l’angolo di altezza
solare, α, sull’asse verticale. Ad ogni angolo corrisponde un cerchio: ad esempio, al cerchio più
esterno (corrispondente alla circonferenza interna della corona circolare colorata) corrisponde un
angolo di 0°, mentre al centro dei cerchi va associata un’altezza solare di 90°. La corona circolare
riporta gli angoli di azimut solare, mentre i valori delle ore de giorno (linee orarie) sono posti in
prossimità della curva di dicembre (ore 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15) e di quella di giugno (ore 6, 7, 8 e
16, 17 e 18). La tabella sulla destra in alto della figura
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OVEST
EST
80
12
21 giugno
70
10
14
60
21 marzo
50
21 settembre
16
8
40
30
21 dicembre
6
20
18
10
0
-120
-105
21-gen
-90
-75
21-feb
-60
21-mar
-45
-30
21-apr
-15
21-mag
0
15
21-giu
30
21-lug
45
21-ago
60
75
21-set
90
21-ott
105
21-nov
120
21-dic
SUD
Figura II-4 Diagramma cilindrico delle posizioni del sole per una latitudine di 40° Nord.
-7,5 0
10
20
30
120
40
-3,5
50
60
70
-1,5
-110
18
-100
O -90
-7,5
-5,5
17
-3,5
-1,5
80
+23°05’
17 LUGLIO
+21°11’
15 MAGGIO
+18°47’
16 AGOSTO
+13°27’
15 APRILE
+09°24’
15 SETTEMBRE +02°13’
-5,5
-120
11 GIUGNO
16 MARZO
–02°25’
15 OTTOBRE
-09°36’
16 FEBBRAIO
–12°57’
14 NOVEMBRE –18°54’
6
0,5
7
4,5
2,5
16
6,5
8
17 GENNAIO
-20°25’
10 DICEMBRE
-23°03’
90
0,5
-80
E
80
2,5
-70
-60
70
60
4,5
15
-50
14
13
-40
12
11
9
10
-20
-10
s
LAT 44°N
40
6,5
-30
50
10
20
30
Figura II-5 – Diagramma stereografico: nella tabella a destra in alto sono indicati i giorni dell’anno, con i relativi
valori della declinazione, in corrispondenza dei quali sono tracciate, nell’ordine, le proiezioni delle traiettorie
solari. Sull’asse verticale sono posti i valori dell’altezza solare, mentre sul bordo (corona circolare) sono dati gli
fornisce il giorno dell’anno e la rispettiva declinazione a cui sono tracciate le proiezioni sul piano
orizzontale delle traiettorie solari.
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Ad esempio: alle ore 14 del 15 Ottobre l’angolo di altezza solare è pari ad α=30°, mentre, alle 10
del 15 Settembre o 16 Marzo, esso vale 40°.
Col metodo esposto in appendice al capitolo è possibile costruire una mappa (o diagramma)
stereografica per ogni latitudine, per esempio usando un semplice programma excel, con cui è stato
realizzato il diagramma di figura.
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Appendice al Capitolo II – La costruzione del diagramma stereografico
Alla base di questo tipo di diagramma vi è il cosiddetto metodo della proiezione radiale che ha il
vantaggio, ad esempio, di ottenere sul piano orizzontale delle traiettorie circolari equidistanti i
corrispondenza di ciascun angolo di altezza solare, a differenza di altri possibili sistemi di
proiezione.
Per meglio chiarire quanto detto, mostriamo proprio come si procede per ottenere queste traiettorie, mentre per
l’ottenimento degli altri tipi di curve daremo unicamente le formule che devono essere utilizzate.
Con riferimento alla figura A.1 si consideri il cerchio dell’orizzonte (in basso a sinistra) di raggio R, pari al valore
attribuito anche ad un’ipotetica “volta celeste”. Sia P il punto in cui è posto l’osservatore ed α il generico angolo di
Volta
celeste
A
R
R
α
P
R
P’
A’
B
B’
O
AA’=Rsenα;
PA’=P’A’’=Rcosα
AA’’=OP=R
A’’
α
O
PB=A’’B’=rα
A’’B’:A’B=A’’A:A’A
Piano
orizzontale
rα:A’B=R: Rsenα
Figura A.1 – Metodo della proiezione radiale per ottenere, sul piano orizzontale, la
proiezione corrispondente agli angoli di altezza solare come cerchi equidistanti.
altezza solare. Il centro di proiezione, O, viene preso su una retta passante per P ed ortogonale al piano orizzontale ad
una distanza R da P. Da O si traccia una retta che interseca la volta celeste nel punto A, che coincide col punto
d’intersezione della retta che passa per il punto P, con pendenza pari ad α, e la volta celeste. Il segmento PB (in cui B è
è l’intersezione del segmento OA con l’orizzontale) definisce il raggio, rα, del cerchio corrispondente alla
corrispondente altezza del sole sul piano orizzontale. Ad esempio, costruendo, come in figura A.1, il parallelogramma
OPAA’’ e riferendoci ai triangoli simili B’AA’’ e BAA’ si ottiene il valore del segmento BA’ e, ricordando che
PB=PA’-BA’ si ottiene il valore del raggio rα come:
rα = R ⋅
cos α
1 + senα
(A.1)
Evidentemente per l’individuazione degli angoli di azimut basterà costruire una serie di raggi di un fascio avente per
centro il punto P.
Passiamo, quindi, a mostrare la costruzione delle proiezioni delle altre curve.
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Si descrive, nel seguito, la costruzione del diagramma stereografico riferendosi ad un esempio numerico eseguito
interamente con un programma Excel. Anzitutto si provvede a disegnare disegnare un cerchio di raggio arbitrario.
Normalmente si ricorre ad un raggio R di 7,5 o 15 cm. Nell’esempio considereremo il primo valore (7,5 cm). Si
prendono due diametri fra loro ortogonali, che indicano i punti cardinali. Il diametro Nord – Sud si prolunga verso il
Nord e, su tale prolungamento giacciono i centri degli archi delle proiezioni delle traiettorie solari sul piano orizzontale.
Il raggio, r, di questi archi e la distanza, d, dei loro centri dal centro della circonferenza di raggio R sono dati
rispettivamente da:
cos δ
cos φ
; d = R⋅
.
(A.2)
senφ + senδ
senφ + senδ
Per una latitudine di 44°Nord (e con R=7,5 cm) si ottengono gli andamenti dei due parametri
riportati nel grafico di figura A.2 , da cui si vede come entrambe le grandezze diminuiscano
all’aumentare della declinazione. In figura A.3 si riportano gli archi corrispondenti rispettivamente
(dall’alto verso il basso) alle declinazioni di –23,45° (22 dicembre), 0° (21 settembre e 21 marzo) e
23,45° (22 giugno). Essi sono stati costruiti utilizzando le coordinate:
x = rsen(aus )
(A.3)
y = r cos(aus ) − d
essendo (aus) l’angolo ausiliario formato
LA T . 4 4 °N o r d
fra il raggio r e la retta verticale.
All’interno del cerchio e concentriche con
esso, si costruiscono le circonferenze che
corrispondono all’angolo di altezza solare
con raggio rα.
Infine si disegnano una serie di raggi (nel
caso in esame con distanza angolare di
10°), che rappresentano gli angoli di
azimut, con lo 0° in corrispondenza del Sud
e valutando positivamente gli angoli di
d ecl i naz i o ne ( °)
azimut verso Est e negativamente quelli ad
Ovest.
r = R⋅
26
24
r, d (cm)
22
20
r (c m)
18
d (c m)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Figura A.2 - Andamento di r e d con la declinazione
6,5
4,5
2,5
0,5
-7,5
-5,5
-3,5
-1,5
0,5
2,5
4,5
6,5
-1,5
R
r
d
-3,5
-5,5
-7,5
d
r
In tal modo si giunge alla figura A.4.
A questo punto non resta altro che tracciare le linee
orarie, cioè quelle curve che collegano i punti delle
proiezioni delle traiettorie solari corrispondenti ad
una data ora del giorno. Ancora si utilizza un
metodo che le approssima ad archi di cerchio.
Si traccia un segmento parallelo all’asse Est – Ovest
ad una distanza, h, dal centro del cerchio di raggio R
data da:
h = R ⋅ tan φ
(A.4)
Questo segmento costituisce il luogo dei centri degli
archi, che rappresentano le linee orarie. Il centro si
trova a destra o a sinistra del punto O di intersezione
del segmento con la perpendicolare ad esso passante
per il centro della circonferenza di raggio R, a
seconda che si considerino le ore del pomeriggio o
della mattina.
Figura A.3 - Costruzione degli archi, proiezione delle
traiettorie solari. Dal basso verso l’alto δ= 23,45°, 0° e
–23,45°. Polo sud sull’asse verticale, in alto.
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Con riferimento alla figura A.4 si hanno le seguenti relazioni:
y
l
SUD
0
30
-30
o
aus
6,5
r’
dicembre
60
4,5
-60
marzo e settembre
h
2,5
giugno
EST 90
6,5
4,5
0,5
-7 ,5
-5
,5
3- ,5
1- ,5
0 ,5
2 ,5
4
,5
6 5,
-90 OVEST
2,5
80
70
60
50
-3,5
40
-1,5
120
30
0,5
-7,5
-5,5
-3,5
R
-1,5
0,5
2,5
4,5
6,5
x
-1,5
-120
-3,5
-5,5
20
-5,5
10
-7,5
-7,5
Figura A.4 – A sinistra diagramma solare completo di angoli di altezza solare e di azimut. A
destra costruzione delle linee orarie (in figura è mostrato il tracciamento delle linee orarie
pomeridiane).
R
l=
cos φ ⋅ tan ω
(A.5)
R
r'=
cos φ senω
Calcoliamo, ad esempio, la linea dell’ora corrispondente alle 14 ( =-30°). Le coordinate x ed y dei punti della linea
oraria in questo caso (il centro dell’arco corrispondente si trova sulla sinistra dell’asse verticale) sono:
x = ± r 'cos(aus ) − l
y = h − r 'sen(aus )
(A.6)
In cui aus è l’angolo ausiliario fra il raggio r’ e la retta orizzontale e per la x il + vale per le ore pomeridiane (caso
dell’esempio) ed il – per quelle mattutine. Si hanno i seguenti valori (in cm):
h
l
r'
7,24
18,06
20,851
e
aus (°)
x
y
0,00
2,79
7,24
5,00
2,71
5,42
10,00
2,47
3,62
15,00
2,08
1,84
20,00
1,53
0,11
25,00
0,84
-1,57
30,00
0,00
-3,19
Da cui si ottiene la curva mostrata in figura A.5. Con procedimento simile si ottengono le altre linee orarie.
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8
y
6,5
Ore 15
4,5
2,5
0,5
-7,5
-5,5
-3,5
-1,5
0,5
2,5
4,5
6,5
x
-1,5
-3,5
-5,5
-7,5
Figura A.5 – Linea oraria tracciata sul diagramma
stereometrico
8