Università degli Studi di Brescia
ciclo 2014-2015
TdS (Prof. R. Leonardi )
appello del 26/08/15
Cognome e Nome: ..................................................... Matricola: ..................................
ISTRUZIONI
Svolgere il compito cercando di rispettare i tempi indicati.
Per superare l’esame bisogna avere conseguito almeno 5 punti su 18 in ciascuna delle 2 parti (deterministica
e stocastica), quindi almeno 10 punti in totale su 36. Se lo studente non si sente in grado di acquisire il
punteggio minimo necessario, può sosituirlo rispondendo in non più di una facciata ad UNA SOLA delle
domande di teoria proposte per la parte corrispondente.
La domanda di Matlab è da svolgersi solo per coloro che non hanno superato l’attività di laboratorio in
itinere.
ESERCIZIO
L’Università si propone di operare nello sviluppo di tecnologie per la salute ed il benessere. In quest’ottica
viene proposto al termine del corso di Teoria dei Segnali di costruire un modello per la rappresentazione del
segnale ECG (elettrocardiografico) in una persona sana. Un tipico segnale di battito cardiaco b(t) è ben
descritto dalla forma d’onda o(t), denominata complesso P QRST e graficata in Fig. 1, che viene ripetuta
periodicamente con periodo di un secondo.
Si ipotizzi in prima approssimazione che:
• l’onda P , il segmento P R, il complesso QRS, il segmento ST e l’onda T abbiano tutti stessa durata
pari a 0.1 secondi;
• le onde di tipo P e T abbiano forma parabolica con valore massimo 1 e aventi valore 0 al bordo del
proprio segmento che ne costituisce pertanto il supporto;
• il complesso QRS abbia simmetria pari, valore massimo pari a 5 e valore minimo pari a −1 ai bordi
del supporto dello stesso complesso, e possa pertanto essere rappresentato da un impulso triangolare
di durata 1/10 al quale viene sottratta la costante 1 nello stesso supporto.
Figura 1: Singolo battito cardiaco o(t).
Parte deterministica [tempo indicativo: 75 min, 18 punti]
1. Si proponga l’espressione analitica del segnale p(t) associate alle onde di tipo P e T . [0.5 punti]
2. Utilizzando il segnale p(t) e gli impulsi triangolare tri(t) e rettangolare rect(t) opportunamente riscalati,
proporre un’espressione dell’onda o(t) rappresentante un complesso P QRST , che si ipotizzi centrato
in t = 0s. Caratterizzare il segnale o(t) in termini di simmetria. Calcolarne l’energia Wo . [2 punti]
3. Esprimere il segnale di battito cardiaco b(t) rispetto al segnale o(t). Calcolarne il valor medio temporale
b e la potenza Pb . [2 punti]
4. Calcolare lo spettro O(f ) del segnale o(t). [3 punti]
5. Calcolare lo spettro B(f ) del segnale b(t). Lo spettro del segnale O(f ) è riportato in Fig. 2 e in dettaglio
in Fig. 3; a partire da tale andamento disegnare lo spettro del segnale B(f ) in sovrapposizione con
Fig. 3. [2.5 punti]
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
Figura 2: Spettro O(f ) dell’impulso base ECG.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−21−20−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Figura 3: Dettaglio dello spettro O(f ) dell’impulso base ECG.
6. Calcolare la componente di prima armonica del segnale b(t), ed indicare il decadimento dei coefficienti
di tale sviluppo in serie all’aumentare del numero di ordine dell’armonica k. [1.5 punti]
7. Fornire lo sviluppo in serie di Fourier della funzione di autocorrelazione ϕb (τ ) del segnale b(t). [1.5
punto]
8. L’ospedale vuole registrare in formato numerico i vari segnali di battito cardiaco. Ipotizzando appropriato il modello proposto, proporre le caratteristiche di uno schema di conversione analogica-numerica
(filtraggio di guardia, frequenza di campionamento adeguata, tipo di quantizzazione, numero di bit del
quantizzatore) che assicuri un rapporto segnale-rumore di quantizzazione di almeno 90 dB. [3 punti]
9. Siano dati i segnali q1 (t) = rect(10t) e q2 (t) = rect(10t)∗{δ(t−1/5)+δ(t+1/5))}. Costruire e disegnare
l’approssimazione ai minimi quadrati ô(t) del segnale o(t) rispetto ad un sotto-spazio vettoriale S di
dimensione 2, avente come base Φ = {q1 (t), q2 (t)}. [2 punti]
Teoria sostitutiva (PASS=5 punti / FAIL)
1. Classificazione dei sistemi.
2. Funzione di cross-/auto-correlazione e di densità inter-/spettrale di segnali periodici.
3. Distribuzione di Dirac e sue proprietà.
Parte stocastica [tempo indicativo: 75 minuti, 18 punti]
A
I segnali ECG delle varie persone possono essere adeguatamente modellate come realizzazioni di un processo stocastico. La differenza tra le diverse realizzazioni corrisponde ad un termine di fase distribuito
uniformemente sul periodo di un secondo.
1. Disegnare 2 realizzazioni B1 (t) e B2 (t) rappresentative del processo B(t). Calcolarne il valor medio
temporale e la potenza. [1 punto]
2. Precisare perchè il processo stocastico può essere considerato stazionario ed ergodico in senso lato
relativamente alla statistica del secondo ordine. [1 punto]
2
del processo stocastico. [1 punto]
3. Calcolare il valor medio µB e la varianza σB
4. Calcolare la funzione di autocorrelazione RB (τ ) e la densità spettrale di potenza del processo φB (f ).
[1 punto]
5. Calcolare la statistica marginale fB(t) (α) del processo. [3 punti]
B
Le varie realizzazioni vengono approssimate in modo da produrre una ripetizione periodica con periodo
1 del segnale ô(t) (definito al punto 9 della parte deterministica) traslati del valore di fase associato alla
realizzazione.
1. Disegnare 2 realizzazioni B10 (t) e B20 (t) rappresentative del processo ottenuto. Caratterizzarne la
statistica marginale fB 0 (t) (α). [2 punti]
2. Calcolare l’espressione analitica dell’autocorrelazione RB 0 (τ )del processo. [3 punti]
C
Per tentare di ottenere un modello più accurato dei segnali ECG reali, le realizzazioni sono ottenute azzerando
con probabilità p = 1/10 alcuni battiti presenti nel segnale B(t). Il processo cosı̀ risultante B 00 (t) viene
sommato ad un processo di rumore N (t) di tipo AWGN (Additive White Gaussian Noise) con banda W =
1kHz, valor medio 0 e varianza 1/100, definendo cosı̀ un processo più realistico V (t).
1. Disegnare una realizzazione del processo B 00 (t). A quale tipo di famiglia di processi appartiene?
Calcolarne la funzione di autocorrelazione RB 00 (τ ). [2 punti]
2. Calcolare la densità spettrale di potenza φV (f ) del processo V (t). [2 punti]
3. Ipotizzando di filtrare una realizzazione Vk (t) con un filtro passa-basso ideale avente frequenza di
taglio ft = 10Hz, calcolare approssimativamente la caratteristica della densità spettrale di potenza
della realizzazione in uscita Vk0 (t) e precisare se è migliorato il rapporto segnale-rumore senza degrado
sostanziale del segnale ECG. [2 punti]
Teoria sostitutiva (PASS=5 punti / FAIL)
1. Caratterizzazione della somma e differenza di variabili casuali (caso VC indipendenti e non).
2. Valori attesi condizionati.
3. Filtraggio LTI di processi stocastici.
Matlab [tempo indicativo: 30 min - 10 punti]
A
Si scriva la funzione div3 che accetti in ingresso un numero scalare e fornisca in uscita il numero di volte
per le quali tale numero è divisibile per 3. Ad esempio, se l’ingresso fosse 9, l’uscita sarebbe 2; se l’ingresso
fosse 12, l’uscita sarebbe 1; se l’ingresso fosse 14, l’uscita sarebbe 0. L’uscita per un numero non intero o
negativo deve essere 0.
B
Si supponga di avere una funzione myrand, con la stessa sintassi di rand, che generi valori secondo una
certa pdf (non ha importanza quale, si supponga però che abbia supporto compreso in [−1, 1]). Scrivere il
codice che generi la variabile A con 10000 valori ottenuti con myrand e disegni la funzione di distribuzione
(cdf) dei campioni, FA (α) [si ricorda che FA (α) = P (A < α)].