CONFIGURAZIONI TIPICHE DI ROTORI DI
MOTORI SINCRONI IBRIDI
web
materiale amagnetico
q
d
d
q
link
link
materiale
ferromagnetico
web
magneti permanenti
La permeanza lungo l’asse d (assi dei poli N-S della fmm di eccitazione al traferro) vista
dalla fmm di indotto è più bassa (μr magneti≈ μ0) di quella vista lungo l’asse q  Xd<Xq
ANALISI A VUOTO
flusso e riluttanza al traferro
B
Fg
A
B
q
g
A
Fy /2
Fr
F
m
L
B
Fy /2
Lm
Φy/2  Bs yL
y: altezza del link
per simmetria, queste linee devono
assunta μFe=∞, il contorno verde è

essere al potenziale di riferimento
tutto al potenziale di riferimento
(punto B del circuito magnetico)
F
g
U1
m
link saturigeneratori di flusso
Fm
Fr
A
U1
Fy
U1 
L
g
Φr  Φy
Λm  Λg
Λg  μ0
 Φg  ΛgU1  Λg
α π r1L
p g'
Λm  μrμ0
μ
μ Φr  Φy
Bg  0 U1  0
g'
g' Λm  Λg
p: n° coppie polari
α: rapporto tra arco coperto dal magnete
e quello corrispondente ad un passo polare
r1: raggio al traferro
D=2r1: diametro al traferro
Φr  Φy
Λm  Λg
A'm
lm
A'm  w'm L
 απ
απ 



θ

 2p

2p


L: profondità del pacco
g': traferro corretto con il fattore di Carter
w‘m=wm+lm/2: larghezza del magnete corretta
per tenere conto dei flussi dispersi
FEM INDOTTA A VUOTO
Bg
q
α180°
angolo elettrico
-180°
-150°
-120°
-90°
-60°
-30°
0°
30°
60°
90°
120°
150°
Eq  jωΨd
180°
Ψd
d
π
4 α
4
απ
val max fondamentale induzione al traferro
BM1   2 Bgcos θ dθ  sin
Bg  K1Bg
π 0
π
2
2
π r L B DL
val max fondamentale flusso traferro
ΦM1  BM1 1  M1
π
p
p
α π r1L
Φg  Bg
2
π r1 L 2 4
α π π r1 L α
8
απ
 BM1

sin
Bg
 Φg
sin
p
π
p
ππ
2
p α
2
απ2
Eq 
kw1NphΦM1
2πf
 kw1  Nph  ΦM1  ω
 ωΨd
2
2


f: frequenza, ω: pulsazione
Nph:n° spire in serie per fase
kw1: fattore di avvolgimento per
la fondamentale
Ψd: valore efficace del flusso concatenato (diretto
lungo l’asse d per definizione)
Eq: valore efficace della fem indotta a vuoto in una
fase (diretta lungo l’asse q in quanto in
quadratura rispetto a Ψd)
REAZIONE DI INDOTTO LUNGO L’ASSE d
link saturipermeabilità μ0
distribuzione sinusoidale di fmm
A
blocco A alla stessa tensione magnetica U’1 incognita
magnete smagnetizzato (conserva la sua permeabilità)
B
per simmetria, queste linee devono essere al potenziale zero

assunta μFe=∞, il contorno verde (B) è tutto al potenziale zero
induzione con rotore
tutto in ferro
ˆ
3 4 Nph I
kw1cos(p  θ)  Uˆ s cos(p  θ)
tensione magnetica (linea blu): u(θ) 
2 π 2 p
μ0U’1/g’
(si considera solo la fondamentale
ˆ
bg (θ)
3 Nph I
ˆ
del campo rotante di armatura)
Us 
kw1
π p
μ
induzione al traferro: bg (θ)  0 (Uˆ s cos(p  θ) - U'1 )
induzione effettiva
g'
flusso per polo (integrale di bg al traferro):
-π/2p
απ/2p
μ DL
π
π
Φp 
bg (θ)r1Ldθ  0 (Uˆ s sin(α ) - U'1 α )  (Uˆ skad - U'1 )Λg
pg'
2
2
- απ/2p

flusso per polo (che attraversa il magnete):
Φp  U'1 Λm  Φy
0
π/2p
π
π
kad  sin(α ) (α )
2
2


Uskad Λg  Φy Uskad  Φy Rg

U'1 Λm  Φy  (Uskad - U'1 )Λg  U'1 

Λm  Λg
1  ΛmRg
CIRCUITO MAGNETICO RELATIVO ALLA REAZIONE LUNGO L’ASSE d
Fg
Rg
A
bg (θ)
Fm
U’1
Fy
Lm
^
k adUs
+
Bgd1
-π/2p
bgd1 (θ)
0
π/2p
B
Una volta ricavato U’1, è noto l’andamento dell’induzione al traferro bg(θ):
μ 
bg (θ)  0 (Us cos(p  θ) - U'1 )
g'
È quindi possibile ricavare, dallo sviluppo in serie di Fourier – per via analitica o numerica – la
componente fondamentale dell’induzione al traferro bgd1(θ)=Bgd1cos(p∙θ):
2p
Bgd1 
π
π/2p
π/2p
- π/2p
- π/2p
2p


b
cos
p

θ
dθ

 g
π



μ0 ˆ
Us cos(p  θ)  U'1 cos p  θ dθ
g'
Si definisce un traferro equivalente g”d come quel traferro costante che, a fronte di una
fmm Ûscos(p∙θ), determina un’induzione al traferro pari alla bgd1(θ), cioè:
μ0 
bgd1 (θ)  Bgd1cos(p  θ) 
Us cos(p  θ)
g"d
REATTANZA LUNGO L’ASSE d
FLUSSO PER POLO DOVUTO ALLA REAZIONE LUNGO L’ASSE d
ˆ
ˆ
2
π DL μ0 ˆ DL μ0 3 Nph I
DL 3 μ0DL kw1Nph I
 gd1  Bgd1

Us

kw1

π
2 p
g"d
p
g"d π p
p
π g"d
p2
ˆ
3 Nph I
ˆ
Us 
kw1
π p
FLUSSO CONCATENATO ED INDUTTANZA LUNGO L’ASSE d (inclusa la dispersione)
2
2
ψgd1
3 μ0DL  kw1Nph  ˆ
3 μ0DL  kw1Nph 
ψgd1  kw1Nph gd1 
I  Ld 
 Lσ 
 Lσ



ˆ
π g"d 
p
π
g"
p
I
d 



REATTANZA LUNGO L’ASSE d
2
tiene conto dei flussi dispersi (alle
cave, al traferro, alle testate, ecc.)
2
μ0DL  kw1Nph 
μ0DLf  kw1Nph 
3
Xd  ωLd  2π f
 Xσ  6
 Xσ



π
g"d 
p
g"
p
d 


Xσ  ωLσ
REAZIONE DI INDOTTO LUNGO L’ASSE q
link saturipermeabilità μ0
distribuzione sinusoidale di fmm
blocco A alla stessa tensione magnetica U’1 incognita
magnete smagnetizzato (conserva la sua permeabilità)
B
B
per simmetria, queste linee devono essere al potenziale zero

assunta μFe=∞, il contorno verde (B) è tutto al potenziale zero
ˆ
3 4 Nph I
u(θ) 
kw1cos(p  θ)  Uˆ s cos(p  θ)
tensione magnetica traccia blu:
2 π 2 p
(si considera solo la fondamentale)
Nph Iˆ
3
Uˆ s 
kw1
induzione ideale (niente linee di flusso nei link)
π p
induzione effettiva
induzione al traferro (ideale):
0 θ1  kπ/p  θ  θ2  kπ/p k  0,1,2,...

bg (θ)   μ0 ˆ
 g' Us cos(p  θ) altrove

-π/2p
0
π/2p
TRAFERRO EQUIVALENTE LUNGO L’ASSE q
bg (θ)
Bgq1
-π/2p
bgq1 (θ)
- θ2 - θ1 0 θ1
θ2
π/2p
Dallo sviluppo in serie di Fourier – per via analitica o numerica – si ricava la componente
fondamentale dell’induzione al traferro bgq1(θ)=Bgq1cos(p∙θ):
4p
Bgq1 
π
θ1

0
μ0Uˆ s

k1q
g'
4p
μ0Uˆ s
cos 2 p  θ dθ 
g'
π
con k1q  1 -
π/2p

θ2
μ0Uˆ s
cos 2 p  θ dθ 
g'
2pθ2  θ1   sin(2pθ2 )  sin(2pθ1 )
π
nel caso ideale
Si definisce un traferro equivalente g”q come quel traferro costante che, a fronte della fmm
Ûscos(p∙θ), determina un’induzione al traferro pari alla bgq1(θ), cioè:
g'
μ0 
bgq1 (θ)  Bgq1cos(p  θ) 
Us cos(p  θ)  g"q 
g"q
k1q
REATTANZA LUNGO L’ASSE q
FLUSSO PER POLO DOVUTO ALLA REAZIONE LUNGO L’ASSE q
ˆ
ˆ
2
π DL μ0 ˆ DL μ0 3 Nph I
DL 3 μ0DL kw1Nph I
 gq1  Bgq1

Us

kw1

π
2 p
g"q
p
g"q π p
p
π g"q
p2
ˆ
3 Nph I
ˆ
Us 
kw1
π p
FLUSSO CONCATENATO ED INDUTTANZA LUNGO L’ASSE q (inclusa la dispersione)
2
2
ψgq1
3 μ0DL  kw1Nph  ˆ
3 μ0DL  kw1Nph 
ψgq1  kw1Nph gq1 
I  Lq 
 Lσ 
 Lσ



ˆ
π g"q 
p
π
g"
p
I
q 



REATTANZA LUNGO L’ASSE d
2
tiene conto dei flussi dispersi (alle
cave, al traferro, alle testate, ecc.)
2
μ0DL  kw1Nph 
μ0DLf  kw1Nph 
3
Xq  ωLq  2π f
 Xσ  6
 Xσ



π
g"q 
p
g"
p
q 


Xσ  ωLσ
L’analisi delle espressioni sin qui riportate mostra che, nelle
configurazioni di applicazione pratica, si ha Xq>Xd
Φqw
bg (θ)
EFFETTO DELLA SATURAZIONE DEL WEB
Bs
B'gq1
b'gq1 (θ)
- θ2 - θ1 0 θ1 θ2
Lr ξπ
2θ
Φqw  2Lr1 θ1Bs  1 Bs
ξ 1
p
π/p
-π/2p
Se il web è saturo (induzione Bs), il flusso Φqw da esso
uscente sarà costante e quindi anche il contributo in
termini di fem, che verrà indicato con Edw (il pedice d
è motivato dal fatto che il concatenamento del flusso
uscente dal web è massimo in corrispondenza del
passaggio dell’asse q, il fasore Edw - sfasato di 90° - è
quindi allineato con l’asse d ma di verso opposto).
π/2p
 π
ξπLr1Bs sin ξ 
2 Lπr1 4
8
 2


 qw 
B
cos
pθ
dθ

s
π p π 
ξp
π2
0
θ1
kw1Nph qw
2πf
 π

Φqw sin ξ 
Edw  
kw1Nph qw  ωΨqw
Ψqw 
2
2
2
 2
π ξ
Supponendo che la porzione rotorica sopra i magneti non sia satura, potremo considerare
l’induzione ed il flusso corrispondenti proporzionali alla corrente b’gq1(θ)=B’gq1cos(p∙θ):
π/2p
4p
μ0Uˆ s
μ0Uˆ s
2θ2  sin(2θ2 )


B'gq1 
cos
p

θ
dθ

k'
con
k'

1
1q
1q
π 
g'
g'
π
θ2
caso particolare di k1q per θ1=0
g'
Si ha ora un traferro equivalente g”’q pari a: gq 
k'1q
2
k
N


μ0DLf  w1 ph 
 Xσ
a cui corrisponde, con i soliti passaggi, la reattanza: X'q  ωL'q  6

gq 
p

8
DIAGRAMMI VETTORIALI
WEB NON SATURO
WEB SATURO
V  Eq  RI  jXqIq  jXd Id
V  Eq  RI  Edw  jX'q Iq  jXdId
jXqIq
jXdId
RI
V
jX'q Iq Edw
q
jXdId
RI
Eq  jωΨd
V
I
φ
γ
Iq
δ
Id
Id  Isinγ Iq  Icosγ
Vd  Vsinδ Vq  Vcosδ
Eq  jωΨd
I
φ
Ψd
q
γ
d
Iq
δ
Ψd
d
Id
N.B.: γ e δ vengono misurati in
senso antiorario a partire
dall’asse q; γ>0Id<0, δ>0Vd<0
EQUAZIONI DELLA TENSIONE
POTENZA CONVERTITA IN MECCANICA
WEB SATURO
V  Eq  RI  Edw  jX'q Iq  jXdId
<0 !!!

V  Eq  RI  jXqIq  jXd Id

Vd  RId  XqIq
Vd  RId  Edw  X'q Iq
Vq  Eq  RIq  XdId
 
WEB NON SATURO
Vq  Eq  RIq  Xd Id
POTENZA ATTIVA (per una fase)

Pem1f  Re V I  Re Eq I  RI I  Edw I  jX'q Iq I  jXdId I


perdite per effetto joule (in una fase)

Pem1f  VdId  VqIq  EqIq  RI2  Xd  Xq IqId

Pem1f  VdId  VqIq  EqIq  RI2  Edw Id  Xd  X'q IqId WEB SATURO
potenza convertita da elettrica in meccanica
Pem  3 Pem1f
WEB NON SATURO
potenza convertita da elettrica
in meccanica (x 1 fase)
COPPIA ELETTROMAGNETICA
Pem 3p
Cem 

EqIq  Edw Id  Xd  X'q IqId  3p ΨdIq  Ψqw Id  Ld  L'q IqId
Ω
ω
Pem 3p
Cem 

EqIq  Xd  Xq IqId  3p ΨdIq  Ld  Lq IqId WEB NON SATURO
Ω
ω







interazione fra campo dei magneti e
componente in quadratura della fmm
(COPPIA “CILINDRICA”)









COPPIA DI RILUTTANZA (dovuta
all’anisotropia del circuito magnetico; ci
sarebbe anche senza magneti)
Dato che generalmente Xq>Xd Ld-Lq<0 e che deve essere Iq>0, per avere
un contributo positivo della coppia di riluttanza, deve essere Id<0 (γ>0)
asse magnetico
fmm armatura
d
q
d
Anche da questa figura si vede che, per avere
un contributo positivo della coppia di riluttanza,
la fmm di armatura deve precedere l’asse q, e
quindi con componente lungo l’asse d negativa
(smagnetizzante). In pratica, ruotando in senso
antiorario, si ha che il web tende ad allinearsi
con la fmm di armatura, riducendo la riluttanza
offerta alle linee di campo prodotte dalla fmm
stessa.
ANGOLO γ CHE MASSIMIZZA LA COPPIA
A PARITÀ DI CORRENTE
Cem  3pΨdIq  Ld  Lq IqId   3pΨd Icosγ  Lq  Ld I2 sinγ cosγ 
Lq  Ld
ILq  Ld 




Cem  3pΨd Icosγ 1 
Isinγ  3pΨd Icosγ1  ρ sinγ  con ρ 


Ψ
d


dCem
 0  sinγ  ρ cos 2 γ  sin 2 γ  sinγ  ρ 1  2sin 2 γ  0
dγ
ci interessa la radice positiva
2


1
1
1
1
1
 
 sin 2 γ 
sinγ   0  sinγ  
 
2ρ
2
4ρ
2
C/(3pIψd)
 4ρ 




1.5
Ψd
ρ=2
ρ=1
1.0 ρ=.5
0.5
γ
p
p






p


2
3
6
p
p
p






6
3
2
LUOGHI GEOMETRICI A CORRENTE,
TENSIONE E COPPIA COSTANTI
Ip.: Xq,Xd»R (caduta resistiva trascurabile), web non saturo
Id  I sinγ
Iq  I cosγ
Vd  XqIq
Vq  Eq  Xd Id
LUOGO A CORRENTE I COSTANTE (eq. parametriche in γ)
circonferenza con centro in O e raggio I
Iq 

Id 
V sinδ
Xq
V cosδ  Eq
Xd
LUOGO A TENSIONE V COSTANTE
(eq. parametriche in δ)
ellisse con centro in (-Eq/Xd=-Ψd/Ld,0) e
semiassi orizzontale e verticale di
lunghezza V/Xd e V/Xq rispettivamente;
NB: con V/Ω=cost si ottiene sempre la
stessa ellisse
Cem
Cem  3p ΨdIq  Ld  Lq IqId  Iq 
3p Ψd  Ld  Lq Id






 
LUOGO A COPPIA Cem COSTANTE: iperbole avente per asintoti le rette Iq=0 e
Id=Ψd/(Lq-Ld)>0 e passante per il punto (0,Cem/(3pΨd))
LUOGHI GEOMETRICI (in un riferimento Id ,Iq)
Iq
V4/Ω4>V3/Ω3
C4>C3
C1<Cn
C2<C1
Cn
C3>Cn
V3/Ω3>Vn/Ωn
V/Ω=Vn/Ωn
V=Vn,Ω1>Ωn
V=Vn,Ω2>Ω1
V
Xq
I=In
V  Eq
Ψ
 d
Ld
V
Xd
V=Vn,Ω=Ωmax
Xd
Id
CARATTERISTICA COPPIA-VELOCITÀ
C
Cn
V/Ω=cost
V=cost
Ω
Ωn
Ωmax
Iq
Cn
C3>Cn
V/Ω=Vn/Ωn
V
Xq
I=In
V  Eq
Ψ
 d
Ld
V
Xd
Xd
Id
V=Vn,Ω=Ωmax
osservare che il rapporto tra i semiassi dell’ellisse rossa e di quella verde
vale (supponendo di operare con V=Vn) Ωmax/Ωn, per cui, se si vuole
estendere il range di velocità Ωn÷Ωmax bisogna far sì che il centro
dell’ellisse venga a posizionarsi più vicino all’origine, riducendo il rapporto
Ψd/Ld (ad es., riducendo il flusso dei magneti).