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Jacques Heyman
Direttore del dipartimento di ingegneria a Cambridge fra il 1983 e il 1992
The Stone Skeleton, Cambridge University Press, 1982
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Criteri strutturali e strutture in muratura
1 Resistenza (sopportazione delle sollecitazioni)
Tipicamente le sollecitazioni massime in strutture in muratura sono 10‐20
volte inferiori alla resistenza del materiale (salvo picchi estremamente
localizzati) grazie alla notevole dimensione delle sezioni resistenti.
2 Rigidezza (limitazione le deformazioni)
Le deformazioni e gli spostamenti (esclusi, in alcuni casi, quelli provocate da
cedimenti delle fondazioni) sono in genere estremamente contenuti.
3 Stabilità (mantenimento della configurazione di equilibrio)
In molte strutture in muratura è questo il criterio di progettazione più
stringente. Non tanto nei confronti di fenomeni di instabilità euleriana (dato
che si tratta di elementi in genere piuttosto tozzi) quanto nei confronti di
meccanismi simili a quelli di ribaltamento (v. esempio).
4 Duttilità (deformabilità plastica prima della rottura)
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Esempio
Il progetto di un blocco di altezza prefissata su di un
piano di inclinazione prefissata è esclusivamente
geometrico (scelta della larghezza b), ipotizzando di
escludere lo scivolamento grazie, per esempio, ad
una sede scavata nel piano.
2b
b  h tan 
2h

Prima del ribaltamento resistenza e deformabilità
non sono un problema
u0
 id   adm
P

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Picchi di tensioni locali solo a ribaltamento incipiente causati dalla forza concentrata
2bcr
2h
 id ,loc  
P

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Dalle proporzioni geometriche alla resistenza
Le regole geometriche di proporzioni, fondate soprattutto sull’esperienza e su canoni
estetici, sono state alla base della progettazione di edifici in muratura sin dall’antichità
(con esempi prominenti in Antico Egitto, Grecia e Regni Ellenistici), nel mondo
romano, nel Medioevo e per tutto il Rinascimento.
Fra i primi Galileo propose il concetto di resistenza (nei “Discorsi e dimostrazioni
matematiche intorno a due nuove scienze”, 1638, dove discute proprio la resistenza
dei materiali e la dinamica).
QR
NR
QR
h
L
h
h
 QR  N R
QR L  N R
2
2L
NR
Con la formula di Navier abbiamo in realtà:
N bh 2
h
QR L   admW  R
 QR  N R
6L
bh 6
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Strutture iperstatiche
Per “risolvere” le strutture iperstatiche dobbiamo introdurre i
concetti di deformabilità e di legame costitutivo.
Se vale l’ipotesi di elasticità lineare si applica il teorema di
Kirchhoff sull’unicità della soluzione.
Tuttavia l’idea di conoscere lo stato di sollecitazione effettivo di
una struttura è illusorio. Infatti la soluzione è fortemente
dipendente dalle condizioni al contorno…
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In strutture iperstatiche piccole variazioni delle condizioni al contorno producono grandi variazioni nelle sollecitazioni
q
a

L
a
Mq = qL2/12
M = 6EJ/L2
L = 100 cm
a = 10 cm
 = 0.002 kgf/cm3
E = 400000 kgf/cm2
q = 2.0 kgf/cm
Mq = 1670 kgf cm
 = 0.01 cm
M = 2000 kgf cm
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Non è possibile conoscere lo stato effettivo di una struttura
I cedimenti vincolari sono inevitabili ma non prevedibili in maniera accurata e, d’altra parte influenzano grandemente la soluzione.
È impossibile conoscere lo stato “effettivo” di una struttura!
Teoria plastica
“Se due strutture molto simili che differiscono per piccole imperfezioni e sono dunque in stati tensionali molto diversi fra loro, vengono caricate progressivamente fino al collasso, il valore del carico ultimo nelle due strutture sarà lo stesso”
• Per questo nell’analisi limite delle strutture ci interessano i carichi ultimi e non lo stato della struttura (tensioni ammissibili).
• Il progetto elastico funziona nei materiali duttili perché se la struttura è verificata in una certa condizione, una condizione di poco variata darà sollecitazioni diverse ma lo stesso carico ultimo. • NB. Materiali fragili necessitano infatti di vincoli isostatici.
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Muratura
Caratteristiche del materiale:
• Non omogeneo
• Anisotropo
• Non isoresistente (resistenza a trazione trascurabile)
• Non lineare (anche in compressione)
• Parametri meccanici fortemente dispersi (o incogniti)
• c.c. di difficile determinazione
Materiale complesso: il comportamento su larga scala è fortemente influenzato da quello della microstruttura (geometria dei blocchi, interazioni fra blocchi e letti di malta, ecc.)
MOLTI MODELLI DISPONIBILI
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Modello di Heyman
Ipotesi:
1) Assenza di resistenza a trazione
• La malta, quando presente, si deteriora nel tempo
• L’ipotesi è comunque a favore di sicurezza
2) Resistenza a compressione infinita
• Ci possono essere schiacciamenti locali ma in genere non causano effetti globali
• È interessante stimare la resistenza di un materiale come l’altezza massima di una colonna: h = fc/ = 400 kgf cm‐2 / 0.002 kgf cm‐3 = 2 km
3) Assenza di scorrimento
• La compressione è necessaria per attivare la resistenza per attrito
• È un’ipotesi che talvolta deve essere verificata a posteriori
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Esempio: effetto dei pinnacoli nell’aumentare la resistenza per attrito
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“Master safe theorem”
Per l’ipotesi di non resistenza a trazione, la curva delle pressioni deve essere interamente contenuta nella geometria della struttura.
Teorema:
“La struttura è stabile sotto un certo carico se e solo se è possibile trovare una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura.”
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Corollario 1: Lesioni che non alterano sostanzialmente la geometria non compromettono la stabilità
La struttura stava in piedi prima delle lesioni
Esiste una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura
La geometria non è variata in modo sostanziale
La struttura è ancora stabile
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S. Maria del Fiore: quadro fessurativo
principale
zona di trazione
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Corollario 2: “teorema dei 5 minuti”
Una struttura in muratura che appena tolte le centine sta in piedi per 5 minuti (dopo la rimozione delle centine), resterà in piedi per 500 anni (decadimento dei materiali).
In realtà le fondazioni possono avere anche grandi cedimenti che alterano la geometria della struttura tanto da comprometterne la stabilità. Il teorema diventa allora “dei 20 anni” con riferimento ai tempi dei cedimenti viscosi del terreno.
Tuttavia esiste un’altra eccezione: le condizioni del terreno possono cambiare (e.g. variazioni del livello dell’acqua nelle falde).
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Corollario 3: I modelli in scala funzionano
Poiché la stabilità dipende solo dalla geometria una variazione di scala non altera le proporzioni e di conseguenza la stabilità.
Contrariamente, dove la verifica dipende dalla resistenza i modelli in scala non sono significativi.
Verifica:
ft >  = P / A =  a3 / d2 = a3/d2
d
(raddoppiando la scala raddoppiano gli sforzi!) a
a
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Catenaria inversa (Hooke, 1675)
La forma di una fune che sostiene il proprio peso in trazione è la stessa dell’arco ideale che sostiene il proprio peso in compressione.
La forma dipende dalla lunghezza della fune e dalla distanza delle imposte.
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Un arco incastrato (iperstatico) contiene infinite curve delle pressioni corrispondenti al proprio peso
• Il solo equilibrio non è sufficientee a determinare quale sia quella effettiva.
• La soluzione elastica (Navier, 1826) è unica (Teorema di Kirchhoff) tuttavia è fortemente dipendente dalle condizioni al contorno.
Una possibile curva delle pressioni in un arco semicircolare
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Movimenti fra blocchi
I blocchi non possono scorrere l’uno sull’altro né compenetrarsi, dunque sono possibili solo rotazioni rispetto ai punti di contatto all’intradosso o all’estradosso che si comportano allora come cerniere. Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Fessurazione dovuta al cedimento delle imposte
Le fessure si formano sempre (anche se nella realtà possono essere richiuse dalla deformazione elastica dei blocchi).
Si forma un arco a tre cerniere:
esiste soluzione isostatico
basata sul solo equilibrio
La curva delle pressioni è univocamente determinata e passa per le zone di contatto.
Spinta orizzontale minima e indipendente dall’entità del cedimento.
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Cerniera all’intradosso
(fessurazione con schiacciamento)
cerniera effettiva
cerniera ideale
Il punto di rotazione relativa effettivo è in realtà arretrato interno all’arco
che si comporta come se avesse uno spessore inferiore
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Arco semicircolare: spinta attiva e passiva
Allontanamento delle imposte
V
Avvicinamento delle imposte
(ad esempio a causa della spinta di archi adiacenti)
V
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Arco di spessore minimo
Esiste un’unica curva delle pressioni interamente contenuta nella geometria dell’arco.
La spinta massima e minima coincidono.
tmin ≈ R/10
È possibile definire un fattore di sicurezza basato su proporzioni geometriche:
t/tmin > 2
Le regole di progettazione basate sulla geometria ritornano!
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Rapporto fra spessore minimo e raggio per un arco circolare in funzione dell’angolo di apertura
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Collasso di un arco semicircolare sottoposto ad un carico concentrato
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Modello meccanico
• Corpi rigidi separati da interfacce deformabili
• Azioni normali: letti di molle non resistenti a trazione
• Azioni di taglio: comportamento elastico – perfettamente plastico (attrito alla Coulomb)
• Piccole deformazioni delle interfacce
NI
y
n
vn
x
m
I
sI
un
I
Gn
MI
rI
VI
CI
CI
vm
um
Gm
2bI
[Salvatori e Spinelli, 2007]
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Esempio 1: Arco con forza concentrata
Confronto con modello analitico
[Lucchesi, Padovani, Pasquinelli, Zani, 1997]
Carico critico
Pcr  1.6580W
Posizione delle cerniere al collasso
1  15
 2  60
 3  105
R  4m
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Modello numerico
Parametri del modello costitutivo
kn  1.0 1012 N/m 3
k t  1.0 1017 N/m 3
c  0.0 N/m 2
  0.6
Discretizzazione in conci di 5°
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Simulazione
P
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Analisi statica
Effetto del peso proprio
P.p. + carico concentrato
(config. a collasso incipiente)
• Buona stima del carico critico (‐1.5% rispetto al modello teorico)
• Corretta stima della posizione delle cerniere (15°, 60°, 105°, 145°)
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Effetto di un cedimento vincolare
P.p. + cedimento + carico concentrato
(config. a collasso incipiente)
P.p. + cedimento
La presenza del cedimento non influenza il carico critico né il meccanismo di collasso Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Diagramma carico‐spostamento
5
7
x 10
6
P [N]
5
4
3
2
1
0
fixed abutments
settled abutment
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
 [m]
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
• Iniziale chiusura delle fessure dovute al cedimenti
• Stesso andamento e stesso carico critico del caso con vincoli non cedevoli
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Sollecitazioni dovute al peso proprio
(analisi elastica lineare)
Vincoli perfetti
min ≈ –1.5·102 kN/m2
Cedimento vincolare
min ≈ –1.5·104 kN/m2
1 cm
“Small initial imperfections, while leading to different initial states of the structure, do not affect its ultimate strength” – Jacques Heyman
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Il materiale di riempimento collabora al meccanismo resistente esercitando pressioni sull’arco vero e proprio, aumentando così la capacità portante
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Volte e cupole
ARCHI
VOLTE E CUPOLE
• 1D
• Inversione dei carichi di una fune infinitamente flessibile
• Una configurazione della fune è in equilibrio solo con il carico che la ha prodotta
• 2D
• Inversione dei carichi di una membrana infinitamente flessibile
• Una configurazione della membrana (se a doppia curvatura) è in grado di sostenere carichi differenti da quelli che la hanno prodotta purché non producano tensioni principali di compressione
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Cupola semisferica sotto peso proprio
 a
• Il peso proprio è l’azione dominante per gusci in muratura
• La stabilità, anche per gusci resistenti a trazione, non è un problema  cr  kE
t
a
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Membrana sferica
Nj
Nq
N jq
N jq
Nq
Nj
sollecitazioni membranali
coordinate sferiche
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Tensioni lungo i meridiani
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Tensioni lungo i paralleli
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Risultati analitici
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Fessurazione di una calotta sferica
Dopo la fessurazione ciascuno spicchio si comporta come un arco rampante:
• Nascono spinte orizzontali
• È necessario uno spessore minimo della muratura
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Arco piano a spessore variabile
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Studio di Poleni (1743)
per la cupola di S. Pietro a Roma
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Rapporto fra spessore minimo e raggio per una calotta sferica in muratura in funzione dell’angolo di apertura
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Calcolo della spinta orizzontale
H ≈ 0.196 W
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St. Paul a Londra (progettato nel 1668)
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Pantheon a Roma
Spessore del tamburo di circa 6 m per contrastare le spinte orizzontali
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Una calotta sferica in muratura non necessita di coronamento…
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… contrariamente ad un arco
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Iglù
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Cupola di S. Maria del Fiore a Firenze
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Una semi‐calotta è stabile
(se ha uno spessore minimo)
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Tensioni scambiate fra le due metà di una semisfera Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Semi‐calotta usata come controvento in alternativa o combinazione con volte
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Hagia Sofia a Istanbul
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Se una semicupola è stabile lo è anche una qualsiasi frazione compresa fra metà e l’intero
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Hagia Sofia nel 986 e 1346
In due occasioni è crollata una semicupola, facendo crollare un quarto
della cupola principale e lasciando in piedi gli altri tre quarti.
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