Appunti sul galleggiamento a cura di E. Giordano e S. Rossi Tirocinio Formativo Attivo – Classe A059 – a.a 2014/2015 Galleggiare/affondare di un oggetto Prima di tutto diamo una definizione condivisa del termine “galleggiare”: un corpo galleggia se, immerso completamente in un liquido, torna a galla e, dopo essersi fermato, rimane a galla. Questa definizione ci permette di distinguere gli oggetti che tornano a galla da quelli che stanno a galla se poggiati in modo opportuno e lo fanno per ragioni diverse Consideriamo quindi la regola generale che permette di prevedere il comportamento (tornare a galla/andare a fondo) di un oggetto immerso in un liquido, prima di eseguire l’esperimento: la legge di Archimede. Si è verificato che tale legge è spesso imparata a memoria, senza essere né compresa né sperimentata. Al fine di far emergere le variabili in gioco e le loro relazioni, proponiamo la seguente riformulazione: “un oggetto immerso in acqua (o altro liquido/fluido) riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del volume di acqua (o altro liquido/fluido) che si può immaginare corrispondere allo spazio occupato dalla parte immersa dell’oggetto” Per prevedere il comportamento di un oggetto in acqua, quindi, si confronta la spinta di Archimede con il peso dell’oggetto: se la prima è maggiore del secondo, il corpo torna a galla e vi rimane (parzialmente immerso e parzialmente fuori dall’acqua); se si verifica la situazione opposta allora il corpo affonda. Se le due forze sono uguali il corpo rimane nel liquido nella posizione in cui lo si lascia. Da un punto di vista operativo, questo confronto può essere fatto prendendo una quantità di acqua il cui volume è uguale al volume dell’oggetto (vedi appunti sul volume) e confrontandone il peso con il peso dell’oggetto. I pesi possono essere confrontati usando una bilancia da cucina digitale oppure in modo diretto con una bilancia a bracci (una gruccetta appendiabiti e due bicchierini posti ai suoi estremi diventa una bilancia a bracci artigianale, ma abbastanza sensibile). Nel caso in cui la bilancia stia in equilibrio, i due pesi sono uguali e quindi l’oggetto rimane laddove è stato immerso. Quando la bilancia pende dalla parte dell’acqua, l’oggetto torna a galla, mentre va a fondo se pende dalla parte dell’oggetto. Da un punto di vista didattico, per individuare le variabili in gioco invitiamo a sperimentare utilizzando liquidi e oggetti diversi, sia fatti dello stesso materiale sia con materiali vari. Piccoli contenitori di uguali dimensioni (come i porta rullini di un tempo o i contenitori delle sorprese degli ovetti) possono essere una buona base per sperimentare cosa accade quando oggetti di ugual volume, ma peso e materiale diverso, vengono immersi in un liquido. Al termine della sperimentazione, si potrà notare che se un oggetto fatto di un unico materiale galleggia, allora tutti gli oggetti fatti di quel materiale galleggeranno. Si giungerà a un’analoga conclusione per il caso dell’oggetto che va a fondo. Se il confronto è fatto tra due o più liquidi, si noterà che un liquido galleggia sull’altro stando sopra la superfice di separazione. Galleggiare/affondare di un materiale Seguendo le indicazioni date sopra, con le studentesse di scienze della formazione abbiamo misurato il peso di oggetti fatti dello stesso materiale al variare del volume e ripetuto l’esperienza per materiali diversi. I dati ottenuti sono riportati nelle tabelle seguenti: Nylon Volume (cm3) 22 25 81 152 Peso (g) 20 23 76 135 Alluminio Volume (cm3) 11 11,7 19 22 Peso (g) 30 34 50 55 Plexiglass Volume (cm3) 40 50 150 Peso (g) 45 57 183 Acqua rubinetto Volume (cm3) 50 80 100 150 200 Peso (g) 46 80 95 146 196 Legno Volume (cm3) 20 30 50 60 Peso (g) 10 15 27 32 Sughero Volume (cm3) Peso (g) 25 4 Sono stati considerati anche olio e alcool, utilizzando i dati riportati in rete. Olio Volume (cm3) Peso (g) 1 0,9 Alcool Volume (cm3) Peso (g) 1 0,8 Se in un quadrante cartesiano riportiamo sull’asse delle ascisse il volume e su quello delle ordinate il peso: -­‐ a ogni oggetto corrisponde un punto; -­‐ a oggetti fatti con lo stesso materiale corrispondono punti (quasi perfettamente) allineati tra loro e con l’origine degli assi. (Nota: Per i punti sperimentali può essere una buona base per parlare di interpolazione, precisione della misura ecc.) Tracciando la retta che interpola i punti relativi a oggetti dello stesso materiale si ottiene la retta che rappresenta quel particolare materiale nel piano (V, P) P (g) V (cm3) Nel grafico riportato, la retta gialla rappresenta il sughero, quella nera l’acqua pura e quella viola l’alluminio. Il grafico ci permette di ottenere numerose informazioni che riguardano sia i materiali sia gli oggetti fatti con materiali diversi. In generale: -­‐ tracciando una retta parallela all’asse delle ordinate, si ricava il peso di oggetti fatti con materiali diversi ma con lo stesso volume; -­‐ tracciando una retta parallela all’asse delle ascisse, si ottiene il volume di oggetti fatti con materiali diversi ma con lo stesso peso. Nel caso particolare, questo ci dice che: tutti gli oggetti di sughero, a parità di volume, hanno peso minore rispetto all’acqua; tutti gli oggetti in alluminio, a parità di volume, hanno peso maggiore rispetto all’acqua. Dalla legge di Archimede, deduciamo quindi che gli oggetti in sughero galleggiano in acqua, mentre quelli in alluminio affondano. Se consideriamo l’oggetto di alluminio rappresentato dal punto F = (10, 26), la spinta di Archimede che risente è rappresentata dall’ordinata del punto L = (10 , 10). Calcolando la differenza tra le due ordinate, ricaviamo infine il "peso" dell’oggetto quando è completamente immerso in acqua (senza toccare il fondo): 16 g. Tale valore corrisponde a quello che misurerebbe un dinamometro per l’oggetto e la situazione descritta. Se consideriamo l’oggetto di sughero rappresentato dal punto E = (50, 10), il volume immerso nell’acqua (quando sarà tornato a galla) è rappresentato dall’ascissa del punto L = (10, 10). Calcolando la differenza tra le due ascisse, ricaviamo infine il volume della parte di oggetto che rimane fuori dall’acqua: 40 cm3. Peso specifico di un materiale Cerchiamo ora di arrivare a una definizione formale di peso specifico di un materiale (per noi sinonimo di densità, visto che a questo livello di approfondimento consideriamo peso e massa sinonimi). Da un punto di vista intuitivo, il peso specifico di un materiale è dato dalla pendenza della retta che rappresenta il materiale nel piano (V, P). P (g) F D B A C E G V (cm3) Se consideriamo i triangoli rettangoli ABC, ADE e AFG, essi sono simili e hanno i lati corrispondenti in proporzione: AE : AC = DE : BC , AG : AC = FG : BC, AG : AE = FG : BC che, ritornando alla situazione fisica, significa confrontare tra loro i vari pesi e vedere che la stessa relazione vale per i volumi. Un' operazione abbastanza intuitiva. Se nella prima proporzione permutiamo gli estremi, otteniamo BC : AC = DE : AE e quindi BC / AC = DE / AE Questa relazione è valida nel caso generale in cui la relazione tra due grandezze è rappresentata da una retta passante per l’origine. La precedente uguaglianza in termini di peso e volume diventa: P1 / V1 = P2 / V2 Generalizzando, si può concludere che la relazione tra peso e volume di oggetti fatti dello stesso materiale è di proporzionalità diretta. Tale relazione ci permette di dare la seguente definizione formale: il peso specifico di un materiale è la costante di proporzionalità tra pesi e volumi di pezzi di quel materiale. Può essere data un’altra definizione, formalmente identica alla precedente ma lievemente diversa da un punto di vista concettuale: il peso specifico di un materiale è il peso del volume unitario di quel materiale espresso nelle opportune unità di misura (solitamente g/cm3 o kg/dm3) Possiamo quindi concludere che il peso specifico è la variabile che dobbiamo considerare per determinare se un oggetto fatto di un unico materiale (o un liquido) galleggia o affonda in un liquido: -­‐ se il peso specifico del materiale è minore del peso specifico del liquido, l’oggetto galleggia -­‐ se il peso specifico del materiale è maggiore del peso specifico del liquido, l’oggetto affonda. Alla stessa conclusione si può arrivare per via grafica, confrontando la pendenza delle rette dei vari materiali: -­‐ se la pendenza della retta del materiale è minore di quella della retta del liquido, l’oggetto galleggia (es. sughero e acqua) -­‐ se la pendenza della retta del materiale è maggiore di quella della retta del liquido, l’oggetto affonda (es. alluminio e acqua) A livello operativo, per determinare il peso specifico di un materiale per via grafica, si prende un punto qualsiasi sulla retta corrispondente al materiale (SUGGERIMENTO: nella soluzione dei problemi scegliere numeri "semplici" da maneggiare), si divide il numero dell’ordinata (nell'unità scelta, ad esempio g o multipli) per quello dell’ascissa (nell'unità scelta, ad esempio in cm3 o multipli) e si trova il risultato che sarà un numero che rappresenta il peso specifico in g/cm3 (o simili) oppure si considera l’ordinata corrispondente al volume unitario e si esprime il risultato in g/cm3 (o simili). Cosa accade se immergo in acqua un oggetto fatto in parte di alluminio e in parte di sughero? Per rispondere a questa domanda possiamo utilizzare la rappresentazione grafica. Supponiamo di conoscere il peso o il volume di uno dei due materiali presenti nell’oggetto. Per esempio, supponiamo che nell’oggetto ci siano 26 g di alluminio e che la rimanente parte sia fatta di sughero. Rappresentiamo nel piano (V, P) la retta del sughero, dell’alluminio e dell’acqua e individuiamo il punto F sulla retta dell’alluminio che rappresenta un oggetto di alluminio di peso 26 g, troviamo il volume corrispondente pari a 10 cm3. P (g) V (cm3) Tracciamo ora la retta parallela a quella del sughero passante per F, essa intersecherà la retta dell’acqua nel punto M = (30, 30). M rappresenta l’oggetto che immerso nell’acqua rimane nel posto in cui è stato messo e il cui volume e peso totali sono rispettivamente 30 cm3 e il peso 30 g. Usando le coordinate di F e di M, ricaviamo che la quantità di sughero necessaria per mantenerlo in tale posizione è 4 g, corrispondente a un volume di 20 cm3. Possiamo quindi concludere che il comportamento dell’oggetto in acqua dipende da quanto sughero è presente: se è minore di 4 g, l’oggetto affonda; se è maggiore di 4 g, l’oggetto galleggia. Il procedimento che abbiamo appena descritto ha valenza generale per grandezze direttamente proporzionali, quali ad esempio variabili spaziali e temporali nel moto, prezzi e pesi nei problemi di compravendita, forza e allungamento della molla nella taratura di un dinamometro o nel suo utilizzo, ecc. Per chi volesse approfondire la relazione tra matematica e fisica nella didattica della scuola secondaria di primo grado, con particolare attenzione alla rappresentazione grafica suggeriamo due lavori a cura di Enrica Giordano e Paola Bonelli Majorino, che inseriamo in bibliografia e rendiamo disponibili sulla piattaforma Moodle dedicata alla classe A059. Bibliografia Arcà M., Guidoni P. Guardare per sistemi, guardare per variabili, Emme ed 1989, in particolare capitolo 3 per la misura e capitolo 4 per il galleggiamento Giordano E., Bonelli Majorino P. (2006). Esempi di interferenze costruttive tra matematica e fisica nella scuola di base: studi di funzione. In: ORNELLA ROBUTTI; MIRANDA MOSCA. La matematica e la fisica nella scuola e nella formazione degli insegnanti. p. 105-­‐118, Milano: Ghisetti e Corvi, Giordano E., Bonelli Majorino P. (2009). Esempi di interferenze costruttive tra matematica e fisica
per il successo formativo nella scuola di base: la proporzionalità. In ROBOTTI O. (a cura di),
Curriculum e successo formativo in matematica e fisica. (pp. 304-317). Torino: Ambert.
Guidoni P. capitolo 5 del libro Gagliardi M., Giordano E. (a cura di) Metodi e strumenti per l'insegnamento e l'apprendimento della fisica, Edises 2014