Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"
Facoltà di Ingegneria
Tesi di Laurea in Ingegneria Gestionale
SOLUZIONE APPROSSIMATA PER UN
MODELLO DI REVENUE MANAGEMENT
Relatore
Candidato
Ing. Daniele Carnevale
Marco Gioia
Correlatore
Prof. Paolo Mancuso
Ing. Sergio Galeani
Anno accademico 2009/2010
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
INDICE :
Introduzione---------------------------------------------------------------------- 4
CAPITOLO 1
1.1 Modello classico di domanda ------------------------------------------------- 5
1.2 Revenue management ---------------------------------------------------------- 8
1.3 Approccio dinamico alla domanda ------------------------------------------- 9
1.3.1 Prezzo di riferimento ----------------------------------------------------- 9
1.3.2 Funzione di domanda --------------------------------------------------- 10
1.3.3 Trend e stagionalità----------------------------------------------------- 14
1.4 Fatturato e profitto per un singolo periodo ------------------------------- 17
1.5 Massimizzazione del fatturato e del profitto su più periodi ------------- 18
1.6 Calibrazione del modello ---------------------------------------------------- 22
CAPITOLO 2
2.1 Modello continuo di domanda ----------------------------------------------- 25
2.2 Fatturato e profitto ------------------------------------------------------------ 29
2.3 Calibrazione del modello ----------------------------------------------------- 31
2.4 Modello dinamico ------------------------------------------------------------- 33
CAPITOLO 3
3.1 Algoritmi di ottimizzazione per programmazione non lineare --------- 35
3.2 Algoritmi per la risoluzione di problemi non vincolati ------------------ 36
3.2.1 Algoritmo della discesa ripidissima ( o metodo del gradiente )--- 36
3.2.2 Algoritmo di Newton ---------------------------------------------------- 37
3.3 Algoritmi per la risoluzione di problemi vincolati ------------------------ 38
3.3.1 Algoritmo di Zoutendijk per problemi con vincoli lineari ---------- 38
3.3.2 Algoritmo di Zoutendijk per problemi con vincoli non lineari----- 40
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3.3.3 Algoritmo SQP (sequential quadratic programming )-------------- 41
3.4 Ricerca probabilistica -------------------------------------------------------- 42
3.4.1 Probabilità di successo in una prova Bernoulliana ----------------- 43
3.4.2 Algoritmo di ricerca probabilistica ------------------------------------ 45
CAPITOLO 4
4.1 Provenienza dati e classificazione ------------------------------------------ 48
4.2 Calibrazione del modello ---------------------------------------------------- 50
4.2.1 Trend ----------------------------------------------------------------------- 51
4.2.2 Stagionalità -------------------------------------------------------------- 52
4.2.3 Altri parametri ----------------------------------------------------------- 53
4.3 Range di prezzo e range del prezzo di riferimento ----------------------- 56
4.4 ottimizzazione ------------------------------------------------------------------ 58
4.4.1 Massimizzazione del fatturato ------------------------------------------ 59
4.4.2 Massimizzazione del profitto ------------------------------------------- 60
4.4.3 Massimizzazione multi obiettivo --------------------------------------- 62
4.5 Prevedibilità della politica di prezzo --------------------------------------- 63
4.6 Sensibilità alla periodicità della soluzione ottima ------------------------ 64
4.7 Surplus del consumatore ----------------------------------------------------- 66
Conclusioni-------------------------------------------------------------------------- 67
Bibliografia-------------------------------------------------------------------------- 68
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INTRODUZIONE
Nel presente elaborato vogliamo illustrare un modello economico di
revenue management caratterizzato da una dipendenza dinamica della
domanda (di beni di largo consumo, non facilmente deperibili) dal prezzo.
La dipendenza dinamica è introdotta attraverso il prezzo di riferimento
ovvero il prezzo che il consumatore medio ha in mente per il bene
considerato.
Nell‟analisi vengono inclusi anche il trend e la stagionalità che
modificano la domanda sistematicamente al trascorrere del tempo,
indipendentemente dal prezzo applicato.
Studiamo quindi come la successione dei prezzi applicati in un intervallo
di tempo comprendente più periodi modifica una funzione obiettivo scelta
come il profitto , il fatturato o una combinazione convessa di questi due .
Illustriamo, quindi, una serie di metodologie deputate alla ricerca di una
soluzione ottima per problemi convessi, non convessi, privi di vincoli o
vincolati in una regione qualsiasi (politopo o convessa).
Infine descriviamo un algoritmo che, facendo uso della ricerca
probabilistica, è in grado di trovare la soluzione ottima del problema della
massimizzazione del fatturato (ovvero di massimizzazione del profitto)
con un grado di confidenza piccolo a piacere.
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CAPITOLO 1
1.1
MODELLO CLASSICO DI DOMANDA
Il modello classico “Domanda-Offerta” è sicuramente il più diffuso
all‟interno della letteratura economica; In questo modello la domanda (D),
ossia la quantità di un bene richiesta dal mercato, è una funzione del
prezzo (P) del bene, fissato un periodo di riferimento t :
Senza perdere di generalità continueremo la trattazione considerando la
forma più semplice di relazione tra domanda e offerta, ossia una
dipendenza di tipo lineare :
QUANTITA( UNITA)
dove a e b sono due costanti; a>0, b>0 (in generale).
domanda
PREZZO
Figura 1.1 funzione di domanda nel modello classico
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Il parametro b assume generalmente valori negativi ad indicare una
diminuzione della domanda all‟aumentare del prezzo; vi sono, tuttavia,
casi in cui questo può non essere vero; nei beni di Giffen, una particolare
categoria di beni, si verifica un aumento della domanda all‟aumentare del
prezzo. Si tratta, comunque, di eccezioni molto rare e particolari.
Il fatturato (F) è dato dal prodotto della quantità di bene scambiata
moltiplicata per il relativo prezzo:
ed può essere rappresentato graficamente come un rettangolo sotteso alla
curva di domanda con base pari al prezzo di scambio e altezza uguale alla
quantità di bene scambiata .
Il fatturato calcolato al netto dei costi sostenuti dal rivenditore per entrare
in possesso del bene (cv), è definito profitto (π):
Graficamente è dato da un rettangolo di altezza pari alla domanda del
bene e base uguale alla differenza tra il prezzo P di scambio del bene e cv.
Ci chiediamo a questo punto come dovrebbe agire un rivenditore nello
scenario appena presentato per massimizzare il profitto o il fatturato :
ovvero quale prezzo dovrebbe imporre per rendere massima l‟area del
rettangolo A ovvero del rettangolo B o ancora di una combinazione
convessa di queste due misure .
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Procedendo con i calcoli il prezzo da imporre per massimizzare il fatturato
(rispettivamente il profitto) è ottenibile derivando F (π) rispetto a P ed
uguagliando a 0 il risultato :
una strategia di prezzi, ossia un insieme di prezzi da applicare in
successione, tale da rendere massima una data funzione obiettivo può
essere ottenuta ripetendo su ogni periodo il calcolo del prezzo ottimo
raccogliamo tutti i prezzi ottimi, quindi, nel vettore
;
.
Ne risulta che un commerciante che volesse massimizzare una propria
funzione obiettivo ( ad esempio il fatturato totale) , nell‟arco di 3 periodi
(ad esempio 3 giorni ), data la domanda
dovrebbe imporre il prezzo
il primo giorno
di ogni singolo periodo
il secondo giorno e
il terzo giorno.
Ipotizziamo la domanda costante nell‟arco di tempo da analizzare (questa
ipotesi è del tutto ragionevole nei casi in cui il periodo di riferimento sia
di molto inferiore all‟anno solare : nella realtà , infatti il processo di stima
della domanda non viene effettuato che poche volte all‟anno):
reiterando la procedura appena vista peri il calcolo del vettore ottimo dei
prezzi
, poniamo uguale a 0 le derivate dei fatturati dei singoli periodi
rispetto alla variabile P; in questo modo otteniamo un vettore
con tutte
componenti uguali in quanto le derivate dei tre periodi risultano tutte
identiche.
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Volendo massimizzare il proprio fatturato nell‟arco dei tre periodi il
commerciante dovrebbe imporre la successione di prezzi:
1.2 REVENUE MANAGEMENT
Il Revenue Management è il processo di comprendere , anticipare ed
influenzare il comportamento dei consumatori al fine di massimizzare il
fatturato o i profitti.
Fu introdotto per la prima volta da Robert Chairman, CEO dell‟American
Airlines e applicato alla vendita dei posti a sedere negli aerei della
compagnia . Il successo ottenuto dall‟iniziativa ha spinto in seguito molti
altri settori a percorrere la stessa strada cosicché il Revenue management
ha trovato applicazione nell‟affitto delle camere di Albergo , delle auto ,
degli appartamenti nonché nella vendita di beni di largo consumo; ne è un
esempio virtuoso la catena di negozi per articoli da casa BeauMax che ha
incentrato la propria attività su questa tecnica integrando il sistema
informativo con la raccolta di dati finalizzati alla previsione dinamica
della domanda; l‟esperimento ha ottenuto buoni risultati sotto il profilo
dell‟aumento di profitto e di fatturato .
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1.3
APPROCCIO DINAMICO ALLA DOMANDA
1.3.1 PREZZO DI RIFERIMENTO
Prendiamo in considerazione un mercato di beni di largo consumo , non
facilmente deperibili di cui trascuriamo il prezzo di immagazzinamento ed
il cui valore si mantenga costante nell‟arco del tempo.
Definiamo il prezzo di riferimento (Rp) come il prezzo che un
consumatore si figura in mente per un dato bene: è ragionevole pensare
che si tratti di un parametro dinamico che varia nel tempo al variare di
tutti i prezzi precedenti, e quindi al variare della politica di prezzi adottata
fino al periodo preso in considerazione .
Proseguiremo quindi esprimendo
come combinazione convessa delle
due grandezze
,
:
esplicitando
nelle sue componenti
e
e continuando a
ritroso fino al periodo zero ovvero il periodo in cui decidiamo di
cominciare la politica di prezzi , otteniamo una dipendenza da tutti i
prezzi applicati e dal prezzo di riferimento iniziale
possiamo dire, quindi che il prezzo di riferimento di un periodo t è
determinato dalla politica di prezzi adottata dal periodo 0 al periodo t e dal
prezzo di riferimento iniziale comunicato dal rivenditore; la rapidità con
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cui il prezzo di riferimento insegue il prezzo è data dal parametro a:
maggiore è il valore di a, più velocemente il prezzo di riferimento si
adagerà sul prezzo del periodo ( per a = 1 il prezzo di riferimento non
risente della politica di prezzi ) .
1.3.2 FUNZIONE DI DOMANDA
L‟introduzione del prezzo di riferimento, permette di modellare il
comportamento del consumatore nei due casi in cui si trovi ad acquistare
un bene ad un prezzo maggiore ovvero minore del relativo prezzo di
riferimento.
Nel primo caso il consumatore si trova di fronte un bene il cui costo è
superiore a quello che aveva in mente; avrà quindi la percezione di un
rincaro e sarà portato ad acquistare un quantitativo minore rispetto a
quanto avrebbe fatto normalmente .
Il secondo scenario è invece quello di un compratore che percepisce un
guadagno nell‟acquisto di un quantitativo maggiore del bene poiché si
trova di fronte ad un bene il cui prezzo è ribassato rispetto alle sue
aspettative. Si tratta di una situazione speculare alla precedente dove il
compratore vede uno sconto piuttosto che un rincaro.
Aggiungendo il meccanismo appena descritto al modello classico di
domanda otteniamo le equazioni relative ai due differenti scenari :
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QUANTITA ( UNITA DI PRODOTTO)
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D(t)
PREZZO (€/100)
Figura 1 curva di domanda per Rp > P
Figura 1.3 curva di domanda Rp>P al variare di Rp e P
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QUANTITA ( UNITA DI PRODOTTO )
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D(t)
PREZZ0 (€/100)
Figura1.4 funzione di domanda Rp<P
Figura 1.5 curva di domanda Rp<P al variare di Rp e P
,
,
> 0,
<0,
< .
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Il vincolo relativo a
vincoli
>0 e
e
segue dalla trattazione precedentemente fatta ; i
>0 sono invece una conseguenza del meccanismo che
abbiamo descritto nei precedenti paragrafi; un aumento percepito del
prezzo genera una diminuzione della domanda, una diminuzione percepita
ne genera un aumento .
Un
discorso
a
parte
va
aperto
per
il
vincolo
< :
la relazione di disuguaglianza equivale a supporre che , fissata una somma
di denaro k , la diminuzione di domanda generata da un aumento del
prezzo del bene di k, sia minore dell‟aumento di domanda susseguente ad
una diminuzione del prezzo, sempre di k; questa ipotesi è stata introdotta a
seguito di numerose osservazioni su diversi mercati analoghi a quello
preso in considerazione. Il meccanismo descritto può essere spiegato dalla
seguente osservazione : in un periodo di promozione si verifica l‟ingresso
nel mercato di nuovi consumatori, i quali non erano disposti ad acquistare
il
bene
<
in
promozione
al
precedente
prezzo
superiore
.
è una condizione necessaria affinché una politica ottima risulti
essere dinamica, ovvero il vettore
non abbia tutte le componenti
uguali; questo perché, se cosi non fosse, l‟aumento di domanda nei periodi
di promozione non sarebbe sufficiente a compensarne la diminuzione nel
successivo periodo percepito come “periodo di rincaro” e una politica
dinamica dei prezzi non genererebbe alcun vantaggio per il rivenditore.
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1.3.3 TREND E STAGIONALITA‟
Un ulteriore passo in avanti nella descrizione del modello con i prezzi di
riferimento consiste nel prendere in considerazione due fenomeni che
modificano sistematicamente la domanda nel tempo, indipendentemente
dal prezzo di riferimento e dal prezzo applicato : trend e stagionalità .
Il primo termine è caratterizzato da un andamento ciclico nella
componente temporale,ne genera una aumento o una diminuzione a
seconda del periodo e per questo viene introdotto sottoforma di sinusoide;
la scelta della sinusoide è una scelta del tutto arbitraria; è possibile, infatti,
scegliere forme più complesse e articolate qualora l‟andamento della
domanda del mercato lo richiedesse .
Il termine con cui consideriamo la stagionalità nella domanda è :
>0 , 0<ϕ<2π, ω ϵ R.
Il trend genera un continuo e sistematico aumento del prezzo del bene nel
corso del tempo e viene tenuto in considerazione mediante la seguente
componente :
ϵ R.
Con l‟aggiunta di trend e stagionalità, abbiamo concluso la descrizione
del modello di domanda con i prezzi di riferimento .
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Riepilogando, la domanda in funzione del prezzo è data da :
Nel caso in cui
Se
;
.
Figura 1.6 curve di domanda Rp>P (blu) e Rp<P (verde)
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Figura 1.7 curve di domanda Rp>P (blu) e Rp<P (verde) al variare di P e Rp
figura 1.8 curva di domanda totale (rosso) del modello con prezzi di riferimento
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1.4
FATTURATO E PROFITTO PER UN SINGOLO PERIODO;
Facendo riferimento al modello di domanda con i prezzi di riferimento
riportiamo di seguito le equazioni relative al profitto e al fatturato per un
singolo periodo.
Fatturato e profitto nei periodi in cui il prezzo del bene è inferiore al
prezzo di riferimento :
Fatturato e profitto nei periodi in cui il prezzo del bene è superiore al
prezzo di riferimento
Relativamente alle equazioni appena riportate si possono fare alcune
osservazioni interessanti :
1.
nel singolo periodo l‟andamento delle singole funzioni è di tipo
parabolico ; dato il vincolo
<0, quindi, come in precedenza ammette un
unico massimo globale;
2.
l‟introduzione dei prezzi di riferimento lega tra loro il periodo preso
in considerazione a tutti i periodi ad esso precedenti attraverso i relativi
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prezzi ;
l‟osservazione 2 risulta evidente esplodendo il prezzo di
riferimento nelle sue componenti :
3.
considerando l‟andamento congiunto delle due funzioni (fino Rp
prendiamo la prima , da Rp in poi la seconda ), non troviamo più una
parabola ma le funzioni di profitto e fatturato hanno un andamento
differente come vedremo tra poco.
1.5 MASSIMIZZAZIONE
DEL
FATTURATO
E
DEL
PROFITTO SU PIU‟ PERIODI .
Riprendiamo ora l‟analisi dinamica del sistema: cerchiamo un vettore di
prezzi
tale da rendere massima una data funzione obiettivo
mantenendo l‟ipotesi di domanda costante nell‟arco di tutti i periodi.
Con il modello dei prezzi di riferimento, il commerciante che volesse
massimizzare il proprio fatturato nell‟arco di 3 giorni, dovrebbe procedere
con una analisi tout court su tutte le possibili combinazioni di prezzi
nell‟arco dei 3 periodi. Una tale soluzione è decisamente troppo onerosa
per essere percorsa.
Un possibile algoritmo, proposto da V. De Simone in “Strumenti di
controllo ottimo per il revenue management”,
con cui approcciare il
problema è il seguente :
1.
prima di tutto è necessario limitare il range in cui il prezzo
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può variare imponendo un prezzo massimo e un prezzo minimo
ammissibili :
può essere posto, ad esempio, pari al costo di approvvigionamento
(cv) del bene preso in considerazione; il prezzo massimo, invece, è
calcolabile direttamente dalla curva di domanda completa e corrisponde
al punto in cui questa va incrociare l‟asse delle ascisse nel caso di prezzo
di riferimento minimo ( evitiamo di considerare domande negative ) o
equivalentemente al prezzo massimo imposto nella serie storica
considerata nella calibrazione del modello .
Figura 1.9 range di prezzi ammissibili
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2.
la variabile prezzo viene quindi discretizzata e il range suddiviso in
Q intervalli tutti di uguale dimensione: la scelta migliore in questo caso è
quella di porre la dimensione dell‟intervallo pari a 1/100 di euro ovvero la
minima variazione di prezzo ammissibile .
Figura 1.10 intervalli di prezzi quantizzati
3.
Infine si procede ad una enumerazione di tutti i possibili vettori di
partenza ( che in questo caso risultano di numero finito ) e si calcola per
ognuno di essi il corrispondente fatturato . Il vettore cui corrisponde il
massimo fatturato viene classificato come
e contiene nelle sue
componenti la politica ottima da adottare.
Nella procedura appena presentata , l‟insieme dei punti di partenza cresce
esponenzialmente con il numero di periodi presi in considerazione .
Il tempo necessario al completamento della ricerca seguendo una
procedura brute force (nella quale vengono enumerate una ad una tutte le
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possibili soluzioni) è proporzionale al numero di periodi moltiplicato per
il numero di intervalli di quantizzazione ( compresi nel range del prezzo )
elevato al numero di periodi meno uno:
La complessità computazionale non risulta particolarmente stringente
rispetto alla scelta della dimensione dell‟intervallo di quantizzazione ma
limita notevolmente il numero di periodi che possono essere presi in
considerazione. Ovvero possiamo considerare variazioni più piccole di
1/100 di euro ma non ottimizzare su 20 periodi .
Per effettuare l‟ottimizzazione di un intero anno solare, quindi,
si è
supposto che la soluzione ottima avesse un andamento periodico e si è
limitata la ricerca della politica ad un numero limitato di periodi; il vettore
cosi ottenuto è stato riprodotto ciclicamente per tutto l‟anno.
Questo approccio può essere problematico nel caso in cui la stagionalità
del prodotto abbia un andamento confrontabile con l‟anno ( o comunque
di molto superiore rispetto al numero di periodi considerati ); In questo
caso, infatti, limitare l‟analisi ad un numero ristretto di periodi non
consente di includere il trend nella ricerca della soluzione ottima e
introduce una distorsione (un disturbo) nel sistema e nella soluzione da
esso restituita .
Abbiamo visto, infatti, come il trend abbia un andamento ciclico; prendere
in considerazione pochi periodi e riprodurli su tutto l‟anno, modifica la
domanda complessiva ( aumentandola o diminuendola a seconda della
porzione
di
trend
in
cui
si
è
condotto
l‟ottimizzazione
).
Si può, con questo approccio, comunque procedere alla ricerca di un sub
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ottimo (la migliore soluzione per il problema considerato) che, tuttavia
non coincide con la soluzione ottima del problema originale.
Nel seguente capitolo presentiamo una modifica al modello di domanda
con i prezzi di riferimento che, senza modificarne la validità, consentirà
di estendere l‟analisi ad un numero di periodi molto maggiore. Tale
variazione consente di includere nella ricerca della strategia ottima anche
il trend e rimuovere la distorsione appena descritta.
1.6
CALIBRAZIONE DEL MODELLO
Prima di concludere, è lecito chiedersi come si procede al calcolo di tutti i
parametri fino ad ora presentati :
,
,
,
,
,
,ω,ϕ,a.
Cominciamo con i parametri caratteristici dei fenomeni di trend e
stagionalità che , come abbiamo visto , non dipendono direttamente dal
prezzo o dal prezzo di riferimento iniziale e devono quindi essere
preventivamente filtrati per non distorcere la stima degli altri parametri.
Si sta cercando , infatti di trovare una correlazione diretta tra il prezzo ed
il prezzo di riferimento iniziale con la domanda del mercato di
riferimento; le componenti che dipendono esclusivamente dal tempo,
quindi, vengono considerati come disturbi del sistema e non devono
rientrare all‟interno della stima dei parametri caratteristici del modello .
Il trend genera un continuo aumento della domanda al progredire del
tempo; consideriamo quindi la domanda come una funzione lineare con
pendenza positiva :
>0
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da questa procediamo con una regressione lineare rispetto ai dati
consuntivi e riportiamo i coefficienti cost e
che minimizzano lo scarto
quadratico medio.
Per il calcolo della stagionalità , è possibile procedere alla stessa maniera
salvo considerare un andamento ciclico della domanda anziché una
andamento lineare :
una volta stimati tutti i parametri di trend e stagionalità filtriamo la
domanda da questi disturbi .
Attraverso una regressione multivariata sui dati filtrati possiamo trovare i
valori di
e
che meglio di tutti approssimano la domanda del
mercato di riferimento.
Il motivo della scelta di una regressione multivariata sta nel fatto che tutti
i parametri, contestualmente, concorrono a determinare il comportamento
della domanda .
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CAPITOLO 2
INTRODUZIONE : MODELLO DI DOMANDA CONTINUO
L‟idea alla base della modifica che verrà proposta è quella di rendere il
modello con i prezzi di riferimento trattabile analiticamente, ovvero
derivabile con continuità almeno nell‟intervallo di riferimento ;
Cosi facendo saremo in condizione di applicare algoritmi molto efficienti
che si basano sul calcolo della derivata prima e della derivata seconda
della funzione di domanda per la ricerca del vettore
dei prezzi che
forniscono la strategia ottima per massimizzare la funzione obiettivo
nell‟intervallo di tempo preso in considerazione.
Prima di tutto presenteremo il modello modificato , quindi procederemo
ad una illustrazione di alcune tecniche di risoluzione esatta prese dalla
letteratura che abbiamo analizzato nel tentativo di risolvere il problema;
infine procederemo con l‟esposizione di un algoritmo di ricerca
probabilistica che è in grado di fornire una soluzione con un grado di
approssimazione piccolo a piacere all‟aumentare del tempo di calcolo .
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2.1 MODELLO DI DOMANDA CONTINUO
Osservando l‟andamento della funzione di domanda totale (ottenuta
sovrapponendo la 1.3.2 con la 1.3.3 ) notiamo come in essa venga sempre
selezionata la curva cui corrisponde il valore maggiore in ordinata :
- da 0 a (
- da (
- ) coincide con 1.3.2.
- ) segue l‟andamento di 1.3.3.
Figura 2.1 curva di domanda totale nel modello con prezzi di riferimento
La funzione
al crescere del valore di k,
approssima per eccesso il massimo tra la funzione a (
e la funzione b
; Si tratta di una funzione continua e derivabile in tutto R e di classe
( quindi derivabile con continuità all‟∞) che approssima con grande
precisione le curve di partenza all‟aumentare di k .
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Figura 2.2 curva di domanda continua (rosso)
Nel caso in cui si abbia a che fare con funzioni le cui pendenze sono
molto differenti e si scende velocemente sotto lo 0, come è il nostro caso,
è necessario introdurre un ulteriore cambiamento: la rapida discesa a
valori negativi della funzione con pendenza maggiore, infatti, fa si che da
un certo punto in poi (quando la funzione con pendenza maggiore assume,
in modulo, valori maggiori alla funzione positiva), prima della fine
dell‟intervallo ammissibile, venga comunque selezionata questa curva,
nonostante si trovi al di sotto di quella con pendenza minore(b).
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Figura 2.1 errore dell’approssimazione con il massimo
Questo perché la funzione 2.1.1 prende in considerazione le due curve
trascurandone il segno ( l‟esponente a cui vengono elevate è pari); il
problema può comunque essere risolto facilmente innalzando entrambe le
curve di un valore
che andrà poi sottratto al di fuori del segno di radice:
È possibile quindi scrivere la domanda con i prezzi di riferimento come :
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dove le due curve
di domanda sono rispettivamente date da :
al crescere di k , la curva
si adagia sempre meglio sulla curva di
domanda reale fino quasi a coincidervi per k molto elevati (nel seguito
quantificheremo k per un caso reale e lo porremo uguale a 40).
Riportiamo di seguito un esempio ottenuto con i valori :
k= 50; a=0.8;
=100;
= -1;
=10;
=1;
= 110.
Figura 2.4 curva di domanda continua corretta
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2.2 FATTURATO E PROFITTO
Riportiamo adesso le equazioni che permettono di determinare profitto e
fatturato di un singolo periodo; quindi analizziamo a livello grafico
l‟andamento delle funzioni modello continuo con i prezzi di riferimento in
relazione ad un singolo periodo ed a due periodi consecutivi considerando
i costi di approvvigionamento (cv) costanti nel tempo.
Figura 2.5 andamento del fatturato
Figura 2.6 andamento del profitto
Figura 2.7 Andamento fatturato e profitto
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Figura 2.8 andamento fatturato considerando 2 periodi di prezzo consecutivi
Figura 2.9 andamento profitto considerando due periodi di prezzo consecutivi
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Notiamo come la forma del profitto del singolo periodo, a differenza del
modello classico non contenga un solo ottimo locale, ma due ottimi locali
all‟interno del range di prezzi ammissibile. Questo è dato dal fatto che la
curva di profitto completa è data dalla somma delle due curve di profitto
singole
( relativa a
) e
(relativa a
) e quindi assume
l‟andamento di una doppia parabola con concavità rivolta verso il basso.
Il numero di ottimi locali aumenta all‟aumentare delle dimensioni
(periodi) presi in considerazione nell‟analisi.
2.3 CALIBRAZIONE DEL MODELLO
Abbiamo visto nel capitolo 1 come possono essere stimati i valori di
,
,
,
,
nuovi parametri:
,
, ϕ, ω. Nel precedente paragrafo abbiamo introdotto i
e k:
Vediamo adesso, quindi, come procedere per la stima di questi ultimi due.
k)
Incrementando il valore di k, generiamo due risposte :

aumentiamo la bontà della stima (intesa come la capacita della
funzione continua di adagiarsi sulla funzione di partenza) .

incrementiamo il tempo di calcolo necessario alla stima della
domanda
ci troviamo,quindi, di fronte un trade off tra precisione e rapidità di
calcolo: al migliorare dell‟una
inevitabilmente si verifica un
peggioramento dell‟altra.
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Prima di determinare k dobbiamo effettuare una scelta sul grado di
precisione desiderato e il massimo tempo di calcolo ammissibile per la
risoluzione :
Un possibile approccio è quello di determinare a priori l‟errore massimo
di approssimazione che si è disposti a commettere. Occorre, quindi,
costruire una tabella che contenga punto per punto le differenza tra il
modello continuo e il modello con i prezzi di riferimento originale; da qui
con il componente aggiuntivo di Microsoft Excel „Ricerca obiettivo‟ si
stima il k minimo che garantisca un errore massimo pari a quello fissato in
precedenza.
In alternativa si può fissare il tempo di calcolo massimo per ottenere la
risposta al problema e agire di conseguenza per la stima dell‟esponente.
È da segnalare, comunque, che il limite computazionale imposto dal k
non è molto stringente a patto di utilizzare programmi specifici di calcolo
simbolico per cui è possibile scegliere k molto alti ( con errori molto
bassi) ed essere comunque in grado di risolvere il problema in tempi
ragionevoli.
)
Attraverso il secondo parametro
dobbiamo evitare che la curva con
pendenza maggiore vada a finire “troppo” al di sotto dell‟asse delle
ascisse;
agisce innalzando entrambe le curve di un valore costante tale
da soddisfare la condizione che il valore raggiunto dalla curva con
pendenza
maggiore
nel
punto
estremo
superiore
dell‟intervallo
considerato sia maggiore di 0.
∀tϵ[
, Rp ϵ [
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, > 0.
Pagina 32
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2.4 MODELLO DINAMICO
Come nel capitolo 1 , riportiamo le equazioni dinamiche di
,
,
:
- prezzo di riferimento :
- fatturato
il fatturato è dipendente, al tempo t, dai prezzi imposti dal rivenditore fino
al periodo t e da
(il prezzo di riferimento iniziale) comunicato ad
inizio periodo .
- profitto :
il profitto è una funzione dipendente da tutti i prezzi esposti dal periodo
uno al periodo t, da
e dai costi di approvvigionamento relativi al
prodotto nei periodi compresi tra 1 e t .
Supponendo questi costi costanti, ovvero identici da periodo a periodo, le
variabili libere che influenzano il profitto sono le stesse che determinano
il fatturato .
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Pagina 33
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
CAPITOLO 3
INTRODUZIONE : ALGORITMI DI OTTIMIZZAZIONE
Definito un modello di domanda continuo e differenziabile, analizziamo
adesso alcuni algoritmi utili alla ricerca della strategia ottima che possono
essere implementati su tale modello .
Cominceremo con l‟esporre due algoritmi di ricerca lineare (line search)
per la risoluzione di problemi non vincolati molto diffusi nella letteratura
e largamente utilizzati nella pratica: l‟algoritmo del Gradiente e
l‟algoritmo di Newton.
Estenderemo la trattazione anche ai problemi vincolati, prima con vincoli
lineari , quindi con vincoli qualsiasi accennando al funzionamento
dell‟algoritmo di Zoutendijk e dell‟algoritmo SQP (Sequential Quadrati
Programming).
Procederemo, quindi, alla presentazione di una procedura in grado, sotto
determinate condizioni , di stimare la probabilità di aver trovato l‟ottimo
di un problema Bernoulliano al quale siamo in grado di ricondurre il
problema di revenue management presentato, con una probabilità di errore
fissata (δ) ed una incertezza ( ) piccole a piacere.
A partire da questa procedura costruiremo un algoritmo finalizzato alla
ricerca dell‟ottimo globale di un problema con le caratteristiche del
modello presentato nel paragrafo precedente .
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Pagina 34
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
3.1 ALGORITMI DI OTTIMIZZAZIONE PER PROBLEMI DI
PROGRAMMAZIONE NON LINEARE
Presentiamo in questi ultimi paragrafi alcuni algoritmi selezionati dalla
letteratura e largamente utilizzati nella pratica per la risoluzione di
problemi di ottimizzazione non lineari.
Gli algoritmi verranno presentati in ordine di generalità del problema cui
fanno riferimento:
-
i primi sono deputati alla risoluzione di problemi non vincolati e
costituiscono le fondamenta di tutti gli altri.
-
Segue un algoritmo per la risoluzione di problemi confinati in una
regione ammissibile delimitata da vincoli lineari.
-
Con i successivi la trattazione verrà estesa a istanze contenti vincoli
qualsiasi (lineari, non lineari, di uguaglianza, di disuguaglianza).
-
Infine presenteremo i fondamenti teorici dei cosiddetti algoritmi
probabilistici e procederemo con l‟illustrazione di un algoritmo utile per
la risoluzione di problemi con vincoli qualsiasi che contengono numerosi
ottimi locali.
Tutte le procedure che esporremo sono strutturate nella seguente maniera:
dopo un passo di inizializzazione troviamo la ricerca delle direzioni di
maggior guadagno della funzione obiettivo (search direction); segue la
ricerca lungo la direzione precedente del punto ottimale per il problema
(line search). Se necessario , volta per volta , aggiungeremo alla struttura
descritta passi o routine di preparazione.
Tutti gli algoritmi in elenco fanno uso nella fase di ricerca della direzione
della valutazione, della derivata prima e seconda della funzione obiettivo
e, ove presenti, anche delle derivate dei vincoli del problema.
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Pagina 35
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
3.2 ALGORITMI PER PROBLEMI NON VINCOLATI
La programmazione non vincolata si occupa di problemi con funzioni
obiettivo non lineari in assenza di vincoli. Sebbene la maggior parte dei
problemi sia vincolata, questi algoritmi risultano molto importanti per
diversi motivi: moltissimi problemi vincolati, ad esempio, possono essere
ricondotti a problemi non vincolati ( tramite moltiplicatori di Lagrange o
altre procedure). Inoltre costituiscono l‟ossatura per tutta una famiglia di
metodi utile a risolvere istanze vincolate.
3.2.1 ALGORITMO DELLA DISCESA RIPIDISSIMA O
METODO DEL GRADIENTE
L‟algoritmo del gradiente fa uso della proprietà dell‟omonimo operatore
di indicare la direzione di massima crescita di una generica funzione
.
Ove si richiedesse di massimizzare, quindi, l‟algoritmo procederebbe al
calcolo del gradiente della funzione obiettivo e ne imporrebbe
l‟annullamento per andare alla ricerca di una direzione migliorante,
avanzando fino all‟ottimo locale più vicino muovendosi lungo la direzione
di massima decrescita. Talvolta si rende necessario introdurre un criterio
di arresto espresso come :
Ovvero ci si accontenta di punti arbitrariamente ( ) vicini al punto di
annullamento del gradiente .
In generale il metodo appena esposto risulta essere molto semplice da
implementare ma non altrettanto efficiente :
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Pagina 36
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converge globalmente all‟ottimo locale, ma la convergenza, che nelle
prime iterazioni risulta essere molto buona , nei pressi della soluzione è
lineare e non superlineare .
3.2.2 ALGORITMO DI NEWTON
L‟algoritmo di Newton pluridimensionale è una estensione dell‟algoritmo
di ricerca omonimo ad una dimensione .
Tale procedura può essere considerata una variante del metodo di discesa
ripidissima appena presentato dove, al posto del gradiente, si considera
come direzione di ricerca dell‟ottimo locale il gradiente deflesso tramite
moltiplicazione per la matrice inversa dell‟Hessiano della funzione
obiettivo .
Tale modo di operare è motivato dall‟intento di determinare una direzione
di crescita che dipenda da una approssimazione quadratica (Q(x)) della
funzione obiettivo :
In generale, tutti i metodi che fanno uso dell‟Hessiano non sono molto
indicati per problemi di grandi dimensione in quanto molto onerosi a
livello computazionale .
L‟algoritmo di Newton, tuttavia, presenta il grande vantaggio di una
convergenza quadratica in un intorno della soluzione ottima.
Si potrebbe quindi pensare ad una procedura che, partendo da una
soluzione dell‟algoritmo del gradiente implementi il metodo di Newton
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Pagina 37
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
per arrivare all‟ottimo più rapidamente di quanto i due algoritmi non
farebbero distintamente.
3.3 ALGORITMI PER PROBLEMI VINCOLATI
Il principio generale di funzionamento di questi algoritmi è lo stesso
adottato per la risoluzione di problemi non vincolati facendo attenzione, in
questo caso, a non fuoriuscire, nella ricerca dell‟ottimo, dalla regione
ammissibile.
.
Si distingueranno , pertanto , dai precedenti nelle fasi di line search e di
search direction nelle quali sarà necessario introdurre la condizione che il
punto incrementato al passo generico k+1 si trovi nella regione
ammissibile .
3.3.1 ALGORITMO DI ZOUTENDIJK PER PROBLEMI CON
VINCOLI LINEARI
All‟interno di un problema non lineare vincolato è possibile distinguere
tra vincoli di uguaglianza (E) e vincoli di disuguaglianza (A).
Per determinare una direzione ammissibile bisogna fare attenzione a
rispettare le seguenti condizioni necessarie e sufficienti di ammissibilità
della direzione trovata:
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Dove
è l‟insieme dei vincoli di disuguaglianza attivi (ovvero rispettati
all‟uguaglianza) ,E è l‟insieme dei vincoli di uguaglianza e d la direzione
migliorante selezionata. Se le condizioni 3.6.1 e 3.6.2 sono rispettate, d è
una direzione ammissibile.
Inoltre, se si verifica :
Allora d risulta essere anche una direzione migliorante del punto di
partenza x‟e la fase di search direction può considerarsi conclusa.
Nella fase di line search bisogna fare attenzione a non uscire fuori dalla
regione ammissibile (delimitata nella figura 3.1 dalle rette blu) al
momento della scelta del punto x‟‟ verso cui muoversi; si devono cioè
rispettare le seguenti condizioni:
Figura 3.1 regione ammissibile per l’ottimizzazione: il punto di massimo globale si trova al di
fuori della regione ammissibile.
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
3.3.2 ALGORITMO DI ZOUTENDIJK PER PROBLEMI CON
VINCOLI NON LINEARI
È possibile estendere la trattazione del paragrafo 3.3.1 a problemi
contenenti vincoli qualsiasi: in questo caso non siamo più in possesso di
una condizione necessaria e sufficiente di direzione ammissibile e
migliorante ma, bensì, di una condizione solo sufficiente .
Sia f(x) un problema di massimizzazione, soggetto ai vincoli
; sia
una soluzione ammissibile e G l‟insieme dei vincoli attivi nel punto x‟;
inoltre siano
differenziabili per k ϵ G e siano
e
continue in tutto R per k non appartenente a G.
Allora se si verifica :
∀
; è una direzione ammissibile e migliorante .
Intuitivamente le due condizioni sopraelencate garantiscono che nella
direzione scelta, la funzione obiettivo migliori e, contestualmente , che i
vincoli attivi non vengano oltrepassati (si rimane , quindi, all‟interno della
regione ammissibile) .
Come nel caso di soli vincoli lineari ,infine, al momento della line search
bisogna prestare attenzione a non uscire dalla regione ammissibile.
Il criterio di arresto dell‟algoritmo è legato al verificarsi delle condizioni
di Fritz-John, condizioni che garantiscono l‟ottimalità del punto in cui
vengono rispettate .
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
3.3.3 ALGORITMO SQP (SEQUENTIAL QUADRATIC
PROGRAMMING)
L‟algoritmo SQP rappresenta uno dei metodi più efficienti per risolvere
problemi di ottimizzazione vincolata contenenti vincoli di ogni genere:
numerosi esperimenti hanno dimostrato come sia in grado di raggiungere
l‟ottimo locale del problema in un numero di passi inferiore rispetto ad
ogni algoritmo sopraelencato .
Riportiamo di seguito, senza scendere nel dettaglio, il principio di
funzionamento della procedura:
ad ogni iterazione viene calcolata una approssimazione della matrice
Hessiana
del
problema
Lagrangiano
corrispondente
all‟istanza
considerata; questa viene poi utilizzata per generare una approssimazione
quadratica del problema la cui risoluzione fornisce la direzione di ricerca
per la line search .
Il successivo passo è regolato dalla ricerca di un sufficiente decremento di
una funzione di merito che tenga conto della funzione obiettivo e di tutti i
vincoli opportunamente penalizzati.
Il segreto dell‟algoritmo SQP risiede nel fatto che simula con molta
precisione il comportamento dell‟algoritmo di Newton non vincolato
garantendo una convergenza superlineare nell‟intorno degli ottimi locali
del problema ed evitando di uscire dalla regione ammissibile delimitata
dai vincoli.
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
3.4 RICERCA PROBABILISTICA
Tutti gli algoritmi fino ad ora esposti funzionano molto bene per la
ricerca di ottimi locali; trovano molte difficoltà, e soprattutto non
dispongono di un criterio per determinare la bontà ( intesa come
lontananza dal valore dell‟ottimo globale) della soluzione trovata, quando
il problema presenta numerosi punti di ottimo locale.
L‟obiettivo, tuttavia, è quello di trovare l‟ottimo globale di una istanza;
numerose varianti agli algoritmi fino ad ora esposti sono state proposte nel
corso degli anni per evitare che, durante la ricerca, ci si fermi su ottimi
non globali ma nessuna è mai arrivata a definire una procedura esatta per
la risoluzione del problema.
Figura 3.2 Curva con numerosi massimi locali
Riportiamo di seguito una legge statistica ed un algoritmo da essa derivato
che è in grado di restituire la probabilità di aver trovato la soluzione
ottima del problema con una data confidenza ed una incertezza
rispettivamente grande e piccola a piacere.
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
3.4.1 PROBABILITA DI SUCCESSO IN UNA PROVA
BERNOULLIANA
È possibile distinguere tra due differenti categorie di probabilità: la
probabilità
empirica
( )
e
la
probabilità
in
senso
lato
(P).
Per quanto riguarda la prima, questa è calcolabile come il numero di
successi ottenuti in un esperimento diviso per le dimensioni dello spazio
campionario (numero di lanci) :
Ad esempio , lanciando una moneta 100 volte , se si ottengono 52 teste e
48 croci, la probabilità empirica risultante dell‟evento testa è di
52/100=0.52 ; in maniera del tutto equivalente la probabilità empirica
dell‟evento croce è 0.48.
Per quanto riguarda, invece, la probabilità in senso lato, questa viene
definita come la probabilità empirica calcolata per un numero infinito di
lanci :
Si tratta ovviamente di un esperimento ideale : di fatto P(A) rappresenta la
probabilità intrinseca di un evento ( in una moneta non truccata P(testa) =
0.5).
È lecito domandarsi quanto differisca , dato un esperimento e un risultato
“testa” A , la prima grandezza dalla seconda , ovvero quanto è distante il
risultato
(A) ottenuto a valle di un esperimento di m lanci dalla
probabilità P(A).
Introduciamo allora una costante
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piccola a piacere e poniamo:
Pagina 43
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
Siamo in grado adesso di dividere lo spazio degli esperimenti in un
insieme di esperimenti buoni tali che
esperimenti cattivi tali che
e un insieme di
.
Quanto è probabile che, facendo un esperimento di m lanci , otteniamo
una prova cattiva ?
Bernoulli dimostro che un lower bound a tale quantità è dato da
;
questo risultato è stato ulteriormente incrementato nel tempo : ad oggi la
migliore approssimazione trovata si deve a Chernoff e vale
.
Siamo in grado , adesso , di rispondere alla domanda precedente : la
probabilità ( ) di prove cattive è :
Da qui possiamo ricavare il numero di lanci m necessari ad ottenere una
confidenza di
con una incertezza di
che la probabilità
restituita
dall‟esperimento sia uguale a P : esprimendo rispetto a m la disequazione
3.9.4 otteniamo :
Per essere certi al 99% che la probabilità empirica sia in un intervallo di
±5% dalla probabilità intrinseca dell‟evento sono necessari 1060 lanci di
una moneta .
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3.4.2 ALGORITMO DELLA RICERCA PROBABILISTICA
La disuguaglianza 3.9.5 ha fornito lo spunto per la creazione di un
algoritmo deputato alla ricerca dell‟ottimo globale per un problema di
programmazione non lineare con vincoli qualsiasi, in grado di trovarlo
sotto le ipotesi di incertezza e confidenza di cui abbiamo discusso in
precedenza.
L‟idea di base è quella di condurre una serie di ottimizzazioni che vadano
a terminare in ottimi locali a partire da m punti iniziali distinti e distribuiti
in modo casuale nello spazio. Con una certa probabilità, crescente al
crescere di m, una delle ottimizzazioni terminerà nell‟ottimo globale del
problema .
Seguendo il criterio per la numerosità di m , costruiamo un esperimento
bernoulliano del tipo :
Dove
è il risultato del generico lancio i e L è una costante idoneamente
scelta.
Definito tale esperimento, generiamo m vettori
(=
di p
variabili aleatorie i.i.d. (nel nostro caso potremo generare numeri pseudo
casuali).
i.i.d).
A partire da ognuno di questi vettori conduciamo una ottimizzazione
mediante uno degli algoritmi di ricerca esposti in questo capitolo ed
otteniamo
un
vettore
R
contenente
i
risultati
(
delle
varie
ottimizzazioni.
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Pagina 45
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
Calcoliamo a questo punto la probabilità empirica dell‟esperimento in
relazione
a
uno
dei
due
eventi
ovvero
.
La probabilità empirica dell‟esperimento relativa all‟evento
risulterà essere pari a:
Per come avremo costruito l‟esperimento (per come avremo scelto m) , la
probabilità empirica ottenuta sarà compresa in un intervallo di ± centrato
nella probabilità intrinseca con una confidenza pari a
.
Un aspetto fondamentale della 3.9.5 è che il numero di prove m rimane
invariato all‟aumentare delle dimensioni del problema: m è indipendente
dalle
dimensioni
dello
spazio
in
cui
vive
il
problema
.
Nell‟ottica dell‟ottimizzazione di profitto o fatturato , quindi , non importa
se stiamo considerando 5 o 50 periodi ; il numero di vettori di prezzo in
ingresso, a parità di e
sarà identico.
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
CAPITOLO 4
INTRODUZIONE: CASO REALE
Una volta terminata la fase di descrizione teorica del modello, vediamo
ora cosa avviene testandola su un caso reale.
Nei paragrafo 4.1e 4.2 illustreremo le procedure di raccolta dei dati e
calibrazione dei parametri del modello di domanda; successivamente
limiteremo il range dei prezzi e dei prezzi di riferimento ad un intervallo
ammissibile.
Procederemo, infine, con il confronto tra la politica dal rivenditore e la
politica restituita dall‟ottimizzazione con il metodo brute force ed i
metodi analitici del capitolo 3 confrontando i risultati ottenuti nella ricerca
della massimizzazione del fatturato e massimizzazione del profitto.
La politica di prezzi adottata viene supposta in entrambe le
massimizzazioni ciclica, ripetibile quindi nei periodi successivi.
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
4.1
PROVENIENZA DEI DATI E CLASSIFICAZIONE
Abbiamo a disposizione una serie di dati di vendita ( giorno, quantità
venduta
e fatturato) di un particolare tipo di pasta relativi ad un
ipermercato Conad. I dati coprono un periodo si 1225 giorni : dal 1
gennaio 2007 al 9 maggio 2010.
Raccolti i dati, per prima cosa è stato calcolato il prezzo unitario del bene,
giorno per giorno , dividendo il fatturato per la quantità venduta; quindi
abbiamo completato la serie ponendo i prezzi dei giorni per cui i dati non
erano disponibili pari al prezzo medio della relativa settimana.
È possibile notare una maggiore sensibilità alle promozioni nel periodo
che va dal 1 gennaio 2008 fino al 05 Maggio 2010 a seguito di un
innalzamento dei prezzi rispetto al primo periodo.
Senza indagare le ragioni sottostanti questo cambiamento abbiamo
preferito ridurre l‟analisi solamente al secondo periodo; la serie di dati,
infatti, è comunque sufficientemente elevata ( 850 giorni) per calibrare
140
PREZZO
120
100
80
60
40
20
0
1
35
69
103
137
171
205
239
273
307
341
375
409
443
477
511
545
579
613
647
681
715
749
783
817
PREZZO(EURO/100) ; QUANTITA (UNITA)
correttamente il modello di domanda .
GIORNO
Figura 4.1 Domanda e prezzi consuntivi del rivenditore
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
È presente un forte rumore di fondo, dovuto alla notevole aleatorietà della
domanda giornaliera; questa distorsione non può essere semplicemente
filtrata, in quanto tale procedimento comprometterebbe l‟analisi e la stima
del modello .
Una possibile soluzione è quella di considerare costante l‟andamento dei
prezzi nell‟arco di 7 giorni facendo corrispondere ad ogni settimana un
prezzo ottenuto dalla media dei prezzi dei giorni considerati.
Questo modo di operare rende più robusto il modello esponendolo meno
all‟aleatorietà dei singoli giorni che si compensa nell‟arco della settimana.
La modifica appena descritta risulta essere molto ragionevole, in quanto
spesso i prezzi vengono fatti variare proprio da una settimana all‟altra e
non giorno per giorno : questo perche è lecito ipotizzare che, per i beni di
largo consumo che stiamo considerando, l‟acquisto avvenga solo una
volta per periodo (una volta a settimana).
Considerare il prezzo fisso nei 7 giorni, inoltre semplifica notevolmente
l‟ottimizzazione del modello che deve analizzare un numero di periodi di
molto inferiore .
400
QUANTITA(UNITA) ;
PREZZO(EURO/100)
350
300
250
200
150
PREZZO
100
QUANTITA
50
1
8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
78
85
92
99
106
113
120
0
SETTIMANA
Figura 4.2 Domanda e prezzi consuntivi su base settimanale
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4.2 CALIBRAZIONE DEL MODELLO
La calibrazione del modello rappresenta una delle fasi più importanti e
delicate dell‟analisi: l‟obiettivo è quello di rendere il modello quanto più
possibile vicino alla serie storica dei dati del prodotto di riferimento in
nostro possesso.
Per fare ciò è stata scelta una stima ai minimi quadrati il cui obiettivo è
quello di rendere minima la somma dei quadrati delle distanze euclidee tra
la domanda restituita dal modello
e i valori storici
:
La calibrazione è stata portata a termine in tre passi consecutivi:
- filtraggio di trend e stagionalità ( parametri
- calcolo dei parametri caratteristici
,
,
- stima dei parametri del modello continuo
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, ϕ, ω );
,
,
;
,k.
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
4.2.1 TREND
Durante l‟anno è possibile mettere in evidenza un costante aumento del
prezzo all‟avanzare del tempo; questo fenomeno (trend) può essere
modellato ipotizzando la domanda come una funzione lineare nel tempo
del tipo :
ϵ R.
cost >0 ,
400
DOMANDA ( UNITA)
350
300
250
trend
200
QUANTITA
150
100
50
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109
115
121
0
SETTIMANA
Figura 4.3 Domanda in funzione del trend
Conduciamo a questo punto una stima ai minimi quadrati della funzione
ed otteniamo i coefficienti che minimizzano la funzione 4.2.1:
da cui risulta : cost=98.5 ;
= 0.025
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
Non siamo interessati al valore della costante ma solamente al coefficiente
angolare della retta
che sarà l‟unico parametro presente nella
formulazione finale della domanda.
4.2.2 STAGIONALITA
La stagionalità è una variazione della domanda di tipo periodico ( si ripete
a intervalli regolari di tempo) che non dipende né dal prezzo né dal
prezzo di riferimento, ma solamente dal tempo.
Nel presente elaborato questa verrà introdotto sottoforma di sinusoide (si
noti che la scelta della cosinusoide sarebbe stata equivalente e avrebbe
generato solamente uno spostamento del punto iniziale di un quarto di
periodo).
Supponiamo quindi la domanda di tipo sinusoidale con l‟aggiunta di una
costante e procediamo alla stima dei parametri :
Per il calcolo di questi parametri è stato utilizzato il componente
aggiuntivo di Microsoft Excel “Risolutore” che opera minimizzando lo
scarto quadratico medio tra il modello sinusoidale e quello consuntivo. I
risultati ottenuti sono :
Il periodo di tale sinusoide è dato da
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= 60 settimane.
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
400
QUANTITA(UNITA)
350
300
250
200
STRAGIONALITA
150
QUANTITA
100
50
1
8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
78
85
92
99
106
113
120
0
SETTIMANA
Figura 4.4 Domanda in funzione della stagionalità
Esattamente come in precedenza, non siamo interessati al valore della
costante ma solamente ai parametri
.
Riassumendo, i termini di trend e stagionalità che compariranno nel
modello completo saranno dati da :
4.2.3 ALTRI PARAMETRI
Una volta determinati trend e stagionalità, i dati possono essere filtrati da
queste due componenti in modo tale che la domanda restante dipenda
solamente dalle variabili „prezzo‟ e „prezzo di riferimento iniziale‟.
Attraverso il componente aggiuntivo “Strumenti di analisi dati” di
Microsoft Excel è possibile condurre una stima ai minimi quadrati tra
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Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
modello e domanda consuntiva; I parametri
cosi ottenuti
sono espressi in funzione di a .
Risulta pertanto necessario ottimizzare questo parametro in modo tale che
la stima risulti il più coerente possibile con la serie storica dei dati;
come driver di somiglianza scegliamo
, quindi facciamo variare „a‟ tra
0.1 e 0.9 a intervalli di 0.01 alla ricerca dell‟
massimo.
Riportiamo di seguito i risultati ottenuti :
Come era prevedibile possiamo evidenziare una grande differenza tra
ovvero sussiste une differenza di atteggiamento da parte del
consumatore di fronte a sconti o rincari.
Rimangono da calibrare i parametri relativi al modello continuo: k e
.
Preliminarmente occorre decidere il massimo errore percentuale che si è
disposti ad accettare nell‟approssimazione non lineare della domanda: in
tal senso ci siamo dichiarati disposti ad accogliere un errore massimo del
4% ( l‟errore , ove presente, è tutto in eccesso poiché l‟approssimazione
maggiora il modello).
Compiuto il primo passo si procede con la il calcolo di k e
necessari
per validarlo.
Ancora una volta è stata condotta una stima ai minimi quadrati tra il
modello con i prezzi di riferimento classico e quello approssimato tramite
il componente aggiuntivo “Risolutore” di Microsoft Excel ed i valori
riscontrati sono:
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.
Pagina 54
Marco Gioia – Soluzione approssimata per un modello di revenue management
quantità(unità di prodotto)
400
350
300
250
200
150
quantità consuntive
100
modello continuo
50
1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
105
113
121
0
settimana
Figura 4.5 Stima del modello sulla domanda consuntiva
Figura 4.6 Stima della domanda continua sulla domanda con i prezzi di riferimento
Si noti come la domanda restituita dal modello (blu) ricalchi molto bene i
picchi di domanda relativi ai periodi di sconto mentre approssima con
meno precisione i periodi non di promozione tra un picco e l‟altro .
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4.3 RANGE DI PREZZO E PREZZO DI RIFERIMENTO
Abbiamo mostrato in precedenza che il modello è valido solamente
all‟interno di un range di prezzi ben delimitato i cui estremi sono dati dal
prezzo minimo che il bene ha raggiunto nel corso della serie storica
considerata (0.52 €)
e il prezzo al di sopra del quale la domanda
assumerebbe valori negativi (0.85 €), ovvero il prezzo massimo
riscontrato nel periodo preso in considerazione nella calibrazione.
Al di fuori di questo intervallo il modello perde in affidabilità e l‟analisi
porta a risultati non corretti.
Con il prezzo risulta vincolato automaticamente anche il prezzo di
riferimento che ne segue la dinamica per tutti i periodi successivi al
primo. È quindi necessario imporre una condizione anche sul prezzo di
riferimento iniziale:
Partendo da
, nei periodi successivi il prezzo di riferimento seguirà
l‟andamento dei prezzi con un ritardo di 1 periodo.
L‟ultimo vincolo al problema è dato dal fatto che siamo alla ricerca di una
soluzione ciclica, ripetibile ad intervalli regolari nel tempo. Per questo
motivo è necessario specificare che il prezzo di riferimento del periodo
successivo all‟ultimo deve risultare equivalente al prezzo di riferimento
(
) del primo periodo :
In questo modo a partire da n+1, è possibile reiterare la medesima politica
di prezzi nei periodi successivi.
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È possibile scegliere di ottimizzare una politica ciclica di un numero di
periodi a piacere. Ad esempio, con una politica ottima di 7 periodi si
ottiene il seguente andamento di prezzo e prezzo di rifermento :
Figura 4.7 Andamento dei prezzi e prezzi di riferimento periodico ripetuto 2 (periodo 7)
Esiste, comunque, un numero limitato di politiche periodiche ottime per
tutto il problema a ciascuna delle quali corrisponde uno specifico prezzo
di riferimento iniziale tale che
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=
.
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4.4 OTTIMIZZAZIONE
Andiamo a confrontare i risultati ottenuti dall‟algoritmo presentato nel
capitolo 2 raffrontato alla politica perseguita dal rivenditore nonché alla
politica trovata dal metodo brute force di cui abbiamo discusso alla fine
del capitolo 1 .
La politica adottata dal rivenditore non presenta una ciclicità costante;
il metodo brute force ,invece, viene ottimizzato su base sei settimane ed i
risultati
ottenuti
vengono
normalizzati
ad
un
anno
;
la soluzione per il metodo continuo, invece, viene ricercata su un periodo
di 60 settimane (periodo caratteristico della stagionalità) mentre i risultati
riportati in tabella sono rapportati a un periodo di 52 settimane .
Per quanto riguarda l‟affidabilità e il grado di incertezza , sono stati scelti
i valori:
la soluzione trovata (probabilità di aver individuato l‟ottimo globale) è
quindi quella ottima in un intervallo di ±0.1 con una probabilità del 90%.
Al fine di presentare un confronto comprensibile, i risultati riportati in
tabella sono normalizzati ad un intervallo di 52 settimane ( un anno
solare). È possibile ovviamente senza compromettere l‟analisi scegliere
periodi di differente durata.
A valle delle tabelle di confronto è riportata nei grafici 4.8, 4.9 e 4.10 la
successione di prezzi adottata dal modello continuo.
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Analizzeremo gli scenari derivanti dalla massimizzazione del fatturato e
dalla
massimizzazione
del
profitto
(considerando
i
costi
di
approvvigionamento costanti) accennando alla procedura per una
massimizzazione multi obiettivo di una combinazione convessa delle due
grandezze.
I parametri utilizzati nelle ottimizzazioni sono quelli presentati nei
precedenti paragrafi :
Le funzioni di fatturato e profitto vengono calcolate come descritte nelle
formule 2.4.3 e 2.4.5:
4.4.1 MASSIMIZZAZIONE DEL FATTURATO
Cominciamo con il confrontare le varie politiche ipotizzando di perseguire
la massimizzazione del fatturato ed analizziamo come questo incida su :
fatturato , profitto, quantità venduta, prezzo medio applicato, prezzo di
riferimento medio applicato. Nell‟ultima riga , ove presente, riportiamo il
periodo con cui si ripete la politica ottimale di prezzi.
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rivenditore
Modello
Con Rp
Differenza (%)
Rp-Rivenditore
Modello continuo
Differenza(%)
continuo-Rp
FATTURATO
3395
4566,5
+ 34,5 %
4954,9
+ 8,5 %
PROFITTO
(cv=40)
1535
1248
- 18,7 %
1419,7
+ 13,7 %
PROFITTO
(cv=50)
1070
351
- 67 %
535,9
+ 52,7 %
QUANTITA‟
4651
8431
+ 81 %
8838
+ 4,8 %
P MEDIO
73
65
- 10,9 %
68
+ 4,6 %
PR MEDIO
73
65
- 10,9 %
68
+ 4,6 %
PERIODO
-
6
-
2
-
Tabella 4.1 Massimizzazione del fatturato su base annua
Figura 4.8 Politica di prezzi per la massimizzazione del fatturato su 60 periodi
4.4.2 MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO
Ipotizziamo che si voglia conseguire la massimizzazione del profitto
occorre introdurre una ulteriore variabile, ovvero il costo sostenuto dal
rivenditore per entrare in possesso del bene (costo di approvvigionamento
cv).
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Non essendo a conoscenza di tale valore abbiamo condotto il confronto
fissandolo rispettivamente pari a 0.40 € e 0.50€ .
È comunque utile sottolineare che è possibile considerare, oltre ad altri
valori, una stima dinamica di tale parametro che tenga conto degli
andamenti del costo storico al fine di rendere l‟analisi più completa ma
allo stesso tempo complicata.
rivenditore
Modello
Con Rp
Differenza (%)
Rp-Rivenditore
Modello continuo
Differenza(%)
continuo-Rp
FATTURATO
3395
4104.5
+ 20 %
4240
+ 3.3 %
PROFITTO
1535
1685.9
+9.8 %
1857.6
+ 10.2 %
QUANTITA‟
4651
6046
+ 30 %
5957.8
- 1.4 %
P MEDIO
73
72
- 1.37 %
76
+ 5.5 %
PR MEDIO
73
72
- 1.37 %
76
+ 5.5 %
PERIODO
-
6
-
-
-
Tabella 4.2 Massimizzazione del profitto con CV=40 su base annua
Figura 4.9 politica di prezzi ottima per massimizzazione del profitto con CV=40 su 60 periodi
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rivenditore
Modello
Differenza (%)
Modello
Differenza(%)
Con Rp
Rp-Rivenditore
continuo
continuo-Rp
FATTURATO
3395
3617,2
+ 6,5 %
3851,4
+ 6,5 %
PROFITTO
1070
1146
+ 7,1 %
1304,8
+ 13,8 %
QUANTITA‟
4651
4941
+ 6,2 %
5093,1
+3%
P.MEDIO
73
75
+ 2,7 %
79
+ 5,3 %
PR MEDIO
73
75
+ 2,7 %
79
+ 5,3 %
PERIODO
-
6
-
-
-
Tabella 4.3 Massimizzazione del profitto con CV=50 su base annua
Figura 4.10 Politica dei prezzi per conseguire la massimizzazione del profitto con CV=50 su 60 peridi
4.4.3 MASSIMIZZAZIONE MULTIOBIETTIVO
Si può, infine, considerare il caso in cui l‟obiettivo non sia solamente uno
ma si ricerca di soddisfare più funzioni obiettivo contemporaneamente.
Ci troviamo in questo caso a risolvere un problema di ottimizzazione
multi obiettivo nel quale la funzione da massimizzare è data da una
combinazione convessa di funzioni obiettivo distinte; ad esempio se si
vuole massimizzare contemporaneamente fatturato e profitto si devono
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assegnare dei pesi (a,b) ai singoli obiettivi a seconda dell‟importanza che
rivestono e massimizzare la combinazione convessa dei due :
Ancora si potrebbe decidere di massimizzare solamente una delle due
funzioni sotto il vincolo di raggiungere un certo livello di fatturato (M) ;
in questo caso la seconda funzione diventerebbe solamente un vincolo alla
prima ed il problema assumerebbe la seguente forma :
4.5 PREVEDIBILITA‟ DELLA POLITICA DI PREZZO .
Osservando le politiche di prezzo adottate rispettivamente dal rivenditore ,
dal modello con i prezzi di riferimento e dal modello continuo, nell‟ottica
della massimizzazione del fatturato, si può notare come il primo risulti
molto meno prevedibile del secondo che , a sua volta, è molto meno
prevedibile dell‟ultimo .
Questo porta ad una considerazione : nei due modelli matematici il
cliente, dopo un periodo sufficientemente lungo di osservazione è in grado
di prevedere l‟andamento del prezzo. Deciderà quindi di acquistare
solamente nei periodi di sconto erodendo cosi il margine del rivenditore.
All‟interno del modello continuo , tuttavia , questo non è un problema in
quanto è possibile, rinunciando ad una piccola percentuale di guadagno,
trovare una politica molto più complessa e difficilmente prevedibile :
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come di può notare nella figura 4.8 la politica ottimale di fatturato è
caratterizzata da una periodicità di 2 periodi; ma nulla vieta di trovarne
una con periodicità maggiore ( fino anche a 52 settimane).
L‟aumento della periodicità genera una variazione dei prezzi nei periodi
compresi nell‟intervallo con complessità crescente al crescere del periodo
preso in analisi .
riportiamo di seguito una serie di ottimizzazioni condotto con periodicità
variabile da 2 fino a 52 periodi con i relativi risultati in termini di fatturato
profitto e una rappresentazione grafica delle variazioni di prezzo
corrispondenti .
4.6
SENSIBILITA‟
ALLA
PERIODICITA‟
DELLA
SOLUZIONE OTTIMA
Può accadere che il rivenditore non desideri attuare una politica con
periodicità pari ad un anno ma voglia massimizzare la propria funzione
obiettivo su un diverso arco
di tempo: analizziamo come questa
variazione influisce sul valore della funzione obiettivo e come,
conseguentemente si modifica la strategia di prezzi da implementare :
prendiamo in considerazione, in particolare la funzione obiettivo fatturato
e conduciamo l‟ottimizzazione su diversi insiemi di periodi senza
considerare trend ne stagionalità per non alterare i risultati; di seguito
riportiamo il valore del fatturato normalizzato ad un anno e gli andamenti
delle relative politiche di prezzo su periodi di 2,5,15,23 e 52 settimane:
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PERIODO
PERIODO POLITICA
FATTURATO ( 1 ANNO )
(settimane)
OTTIMA (settimane)
(euro)
2
2
4931
5
5
4901
15
15
4925
23
23
4920
52
2
4931
Tabella 4.4 Profitto ottimo su diversi periodi (2,5,15,23,52)
Figura 4.11 Politiche ottime di prezzi calcolate su diversi periodi (15,23,52)
Dal modello può anche essere rimossa l‟ipotesi di periodicità della
soluzione: questo può risultare utile qualora si voglia, ad esempio
chiudere l‟attività per cui non si ha bisogno di una politica da reiterare nel
corso del tempo ma si desidera solamente massimizzare il ricavato di
vendita fino al termine.
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4.7 SURPLUS DEL CONSUMATORE
Osserviamo ora come influisce l‟adozione di una politica dinamica sul
benessere del consumatore attraverso l‟analisi del surplus:
in tutti i casi in cui viene applicata una politica dinamica è
stato
riscontrato un aumento del surplus del consumatore in quanto a fronte di
un aumento del prezzo medio a cui il bene viene introdotto nel mercato ,
segue un aumento della quantità venduta più che proporzionale.
Il consumatore, al pari del rivenditore, trae quindi beneficio dall‟adozione
di una politica di tipo dinamico.
Aumentando i costi di approvvigionamento (cv), parte del surplus del
consumatore viene eroso; si verifica, quindi, che il disturbo arrecato al
rivenditore viene ribaltato direttamente anche sul consumatore erodendo i
ricavi del primo e il surplus del secondo.
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CONCLUSIONI
Abbiamo apportato una modifica ad un modello economico per un
mercato di beni di largo consumo che rende la funzione di domanda
continua e differenziabile due volte nella regione ammissibile .
Quindi abbiamo individuato una metodologia per la ricerca della strategia
ottima che un rivenditore dovrebbe applicare al fine di massimizzare la
propria funzione obiettivo. A riguardo sono stati riportati esempi di
massimizzazione del fatturato e massimizzazione del profitto.
Procedendo è stato analizzato come modificare la politica di prezzi
restituita, al fine di renderla meno prevedibile da parte del consumatore
rinunciando ad una parte del guadagno generato.
Infine abbiamo visto come una tale strategia sia favorevole non solamente
ad un generico rivenditore, ma anche ai consumatori che acquistano il
bene i quali vedono aumentare il proprio surplus a seguito dell‟adozione
di una politica di tipo dinamico.
Non nascondiamo i limiti dell‟analisi che si limita a studiare un solo
prodotto; perché il metodo presentato possa trovare applicazione
all‟interno di un contesto reale, si rende necessario introdurre nel modello
anche le conseguenze derivanti dalle strategie dei prodotti sostituti che
influenzano inevitabilmente la domanda del prodotto in analisi.
Il presente elaborato vuole solamente essere un passo nel percorso che
porta alla costruzione di un modello più completo, implementabile in un
mercato di beni di largo consumo come può essere un ipermercato.
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BIBLIOGRAFIA
[ 1 ] Richard A. Briesch, Lakshman Krishnamurthi, Tridib Mazumdar, S. P.
Raj - A Comparative Analysis of Reference Price Models - The Journal of
Consumer Research, Vol. 24, No. 2 (Sep., 1997), pp. 202-214.
[ 2 ] V. De Simone – Strumenti di controllo ottimo per il revenue management-
[ 3 ] E. A. Greenleaf - The Impact of Reference Price Effects on the
Profitability of Price Promotions - Marketing Science, 1995.
[ 4 ] P. K. Kopalle, A. G. Rao, J. L. Assunção - Asymmetric Reference
Price Effects and Dynamic Pricing Policies - Marketing Science,
1996
[ 5 ] S Ricciardelli – Lezioni di ottimizzazione 2010-2011 – Universitalia.
[ 6 ] M. Vidyasagar - Statistical Randomized Learning Theory and
Algorithms for Control.
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