Claudio Citrini
Misura
15/02/2011
Misura
(lezione n. 4 per il corso per i licei classici – 15 febbraio e 5 aprile 2011)
Materiale per proposte
Dimostrare
1)
Dimostrare che
2 = 1 + ( 2 – 1)
2)
2 è irrazionale partendo dalle seguenti “banali” osservazioni:
2 −1 =
1
2 +1
Dimostrare che il rapporto aureo è irrazionale
ϕ = 1/x , con x soluzione della proporzione 1 : x = x : (1 – x)
(traccia: ϕ = 1 + 1/ϕ …)
3)
Dimostrare che la serie geometrica di ragione q, con |q| < 1:
1 + q + q2 + q3 + … + qn + … ha come somma il numero 1/(1–q).
Traccia: la somma di una progressione geometrica 1 + q + q2 + q3 + … + qn è data da …
4)
Enunciare e dimostrare la regola per risalire da un numero periodico alla sua frazione
generatrice
Traccia: ragionare come su questo esempio.
23,432(73) = 23,43273737373… = 23432/1000 + 73/10000 {1 + 1/100 + 1/1002 + …} =
= (2343273 – 23432)/99000 = 2318841/99000
(23432 = antiperiodo; 73 = periodo).
Verificare con qualche numero ottenuto da una frazione nota, per esempio 8/3 o 17/7, e con numeri periodici
scelti a caso, come 0,(71) o 1,2(3) ecc.
5)
Adattare la regola precedente a una base b qualsiasi e utilizzarla per dimostrare che:
0,(220) in base 3 = 12/13
0,(110) in base 3 = 6/13
0,(110) in base 2 = 6/7 0,(110) in base b = (b2 + b) / (b3 – 1)
6)
Disegnare la “scala del diavolo”
Questo è il nome popolare della cosiddetta “funzione di Vitali” f(x), costruita a partire dall’insieme di Cantor
e così definita:
• se x ∈ C, f(x) è il valore y espresso in base 2 a partire dalla rappresentazione di x in base 3, come
descritto nei lucidi; per esempio f(12/13) = 6/7;
• se x ∉ C, e quindi appartiene a uno degli intervalli aperti esclusi durante la costruzione, f(x) è costante
per tutto l’intervallo e pari al valore assunto agli estremi.
Per esempio, nell’intervallo (1/3, 2/3) risulta f(x) ≡ 1/2, in (1/9, 2/9) risulta f(x) ≡ 1/4, ecc.
Questa funzione, pur avendo “quasi ovunque” derivata nulla, non è costante!
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7)
Misura
15/02/2011
Dimostrare il “Lemma” di Archimede
Si chiama diametro di una parabola una parallela all’asse.
(chiamo “triangolo massimale inscritto” – t.m.i. – in una parabola ogni triangolo inscritto in cui il vertice
coincide col punto di tangenza della tangente parallela alla corda – come il triangolo ABT in figura).
Lemma: Dato un t.m.i. ABT, il t.m.i. TVB avente per base un lato del t.m.i. ha area uguale a 1/8 del
t.m.i. dato.
Traccia (con riferimento alla figura) (dimostrare a, b analiticamente, c, d sinteticamente):
a) tagliando una parabola con un fascio di rette parallele, tutte le corde AB sono bisecate dal diametro TM
passante per il punto di contatto T della retta del fascio che risulta tangente alla parabola;
b) la lunghezza del segmento di diametro compreso tra una tangente e la parabola (UV) cresce come il
quadrato della distanza del diametro dal punto di tangenza (T);
c) I due triangoli AMT e MBT sono equivalenti;
d) VW = UZ – WZ – UV.
8)
Pi greco
Detta Fn l’area del poligono regolare di n lati circoscritto a una circonferenza di raggio generico R,
ed fn quella del poligono inscritto, esse soddisfano le seguenti relazioni:
f 2n =
f n Fn (prop I) e F2 n =
f n Fn
f n + f n Fn
(prop. V)
Grégoire de Saint Vincent (Bruges 1584, Gand 1667)
Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, Anversa 1647.
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15/02/2011
Calcolare
9)
Calcolare MCD(492, 768), MCD(598, 754)
10)
Utilizzando la tabelle delle derivate, calcolare i seguenti integrali:
3
a)
x 3 dx
b)
0
Risposte: a) 9
3
4
x 2 dx
b) 60
c)
2
Risolvere i seguenti problemi:
a)
Per quali valore di b l’integrale
b
(3x
)
1
− 6 x + 1 dx
2
0
d)
1
dx
2
0 1+ x
d) π/4
c) –15
11)
(x
2
)
− 6 x − 4 dx è nullo?
[Risp: b = 0, –1, 4]
0
bn
b)
Come devono essere scelti i numeri bn in modo che gli integrali In =
progressione aritmetica?
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dx
siano in
x
1
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15/02/2011
Leggere (e tradurre!)
12)
Epigrafe all’ingresso dell’accademia platonica
13)
Pi greco
Qual è ‘l geometra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige, ...
14)
Par. XXXIII, 133-135
Pi greco
colei che gl'
intelletti apre e sublima, / e col valor di finte cifre il vero / valor de'corpi immaginati estima; / colei che li
misura, e del primiero / compasso armò di Dio la destra, quando / il grand'
arco curvò dell'
emispero / e spinse in giro i
soli, incoronando / l'
ampio creato di fiammanti mura,
V. Monti, Mascheroniana, I, 31-38
15)
Archimede
colui che strinse ne'suoi specchi arditi / di mia luce gli strali e fe'parere / cari a Marcello di Sicilia i liti; / primo quadrò
la curva dal cadere / de'proietti creata, e primo vide / il contener delle contente sfere.
V. Monti, Mascheroniana, I, 85-90
16)
Moti browniani
così si veggion qui diritte e torte, / veloci e tarde, rinovando vista, / le minuzie d'
i corpi, lunghe e corte, / moversi per lo
raggio onde si lista / talvolta l'
ombra che, per sua difesa, / la gente con ingegno e arte acquista.
Par. XIV, 112-117
17)
Brano famosissimo… chi sono i personaggi?
Io quando il monumento / vidi ove posa il corpo / […] di chi vide / sotto l'
etereo padiglion rotarsi / piú mondi, e il Sole
irradîarli immoto, / onde all'
Anglo che tanta ala vi stese / sgombrò primo le vie del firmamento:
18)
Galileo
Parmi, oltre a ciò, di scorgere nel Sarsi ferma credenza, che nel filosofare sia necessario appoggiarsi all'
opinioni di
qualche celebre autore, sì che la mente nostra, quando non si maritasse col discorso di un altro, ne dovesse in tutto
rimenere sterile e infeconda; e forse stima che la filosofia sia un libro e una fantasia d'
uomo, come l'
Iliade e l'
Orlando
Furioso, libri ne'quali la meno importante cosa è che quello che vi è scritto sia vero. Sig. Sarsi, la cosa non istà così. La
filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'
universo), ma
non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, a conoscere i caratteri, ne'quali è scritto. Egli è scritto
in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a
intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente in un oscuro laberinto.
[Il Saggiatore, n 6]
19)
Il pensiero di Galileo
… poi che la pietra lavagna, sopra la quale si disegnano le figure geometriche, era la pietra del paragone delli ingegni, e
quelli che non riuscivano a tal cimento si potevano licenziare non solo come inetti al filosofare, ma com'
inabili ancora a
qualunque maneggio o esercizio nella vita civile.
V. Viviani, Racconto istorico della vita del Sig.r Galileo Galilei, 1654
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20)
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15/02/2011
La scodella di Galileo
SALV - […] Figurandoci poi il semidiametro CF […] immobile, intendiamo intorno a quello girarsi tutta questa figura: è
manifesto che dal rettangolo ADEB verrà descritto un cilindro, dal semicircolo AFB una mezza sfera, e dal triangolo
CDE un cono. Inteso questo, voglio che ci immaginiamo esser levato via l’emisferio, lasciando però il cono e quello che
rimarrà del cilindro, il quale, dalla figura che riterrà simile a una scodella, chiameremo pure scodella: della quale e del
cono prima dimostreremo che sono eguali; e poi, un piano tirato parallelo al cerchio che è base della scodella, […] si
proverà, la base ancora del medesimo cono, cioè il cerchio il cui diametro HL, esser eguale a quella circolar superficie
che è base della parte della scodella, che è come se dicessimo un nastro di larghezza quanta è la linea GI (notate intanto
che cosa sono le definizioni de i matematici, che sono una imposizion di nomi, o vogliam dire abbreviazioni di parlare,
ordinate ed introdotte per levar lo stento tedioso che voi ed io sentiamo di presente per non aver convenuto insieme di
chiamar, v.g., questa superficie, nastro circolare, e quel solido acutissimo della scodella rasoio rotondo): or comunque
vi piaccia chiamargli, bastivi intendere che il piano prodotto per qualsivoglia distanza, pur che sia parallelo alla base,
[…] taglia sempre i due solidi, cioè la parte del cono CHL e la superior parte della scodella, eguali tra di loro, e
parimente le due superficie basi di tali solidi, cioè il detto nastro e ’l cerchio HL, pur tra loro eguali. Del che ne segue la
maraviglia accennata: cioè, che se intenderemo il segante piano successivamente inalzato verso la linea AB, sempre le
parti de i solidi tagliate sono eguali, come anco le superficie, che son basi loro, pur sempre sono eguali; e finalmente,
alzando e alzando tanto li due solidi (sempre eguali) quanto le lor basi (superficie pur sempre eguali), vanno a terminare
l’una coppia di loro in una circonferenza di un cerchio, e l’altra in un sol punto, ché tali sono l’orlo supremo della
scodella e la cuspide del cono. Or mentre che nella diminuzione de i due solidi si va, sino all’ultimo, mantenendo
sempre tra essi la egualità, ben par conveniente il dire che gli altissimi ed ultimi termini di tali menomamenti restino tra
di loro eguali, e non l’uno infinitamente maggior dell’altro: par dunque che la circonferenza di un cerchio immenso
possa chiamarsi eguale a un sol punto […] li quali perché non si devon chiamare eguali, se sono le ultime reliquie e
vestigie lasciate da grandezze eguali?
[Galilei, 1638 = Discorsi…], Giornata I, p. 38-40
21)
Le derivate secondo Newton
Si può obiettare che l’ultimo rapporto di due quantità evanescenti è nullo, perché, prima che esse svaniscano il loro
rapporto non è l’ultimo, e allorché sono svanite non ne hanno più alcuno. …
Ma con lo stesso argomento si potrebbe sostenere che un corpo il quale giunga […] a un certo luogo in cui la sua
velocità è nulla, non ha una velocità ultima. …
L’ultimo rapporto di quantità evanescenti […] s’intende come il rapporto di dette quantità non già prima che siano
svanite, e nemmeno dopo, ma nell’istante stesso in cui svaniscono. […] E poiché tale limite è certo e definito, spetta
alla Geometria determinarlo. …
Si potrà ancora obiettare che se è dato l’ultimo rapporto di due quantità evanescenti, saranno anche date le ultime
grandezze di tali quantità; così che ogni quantità risulterebbe composta di Indivisibili, al contrario di ciò che Euclide ha
dimostrato circa gli Incommensurabili nel X degli Elementi. …
Le ultime ragioni che hanno fra loro le quantità evanescenti non sono le ragioni delle ultime quantità o di certe quantità
determinate e indivisibili, ma i limiti cui si avvicinano le ragioni delle quantità infinitamente decrescenti, limiti le cui
ragioni possono differire meno di qualsiasi differenza assegnata. …
I.Newton
22)
Maria Gaetana Agnesi
GUD - Che libro vi ha richiesto? CAR - Certo libro italiano / Che tratta delle Analisi, venuto da Milano. / GUD - Han
giovinette ancora le femmine olandesi / Di tai studi difficili i loro geni accesi? / CAR - Voi vi maravigliate che la
padrona mia / Inclini al dolce studio della geometria? / Stupitevi piuttosto, che con saper profondo / Prodotto abbia una
donna un sì gran libro al mondo. / È italiana l’autrice, signor, non è olandese, / Donna illustre, sapiente, che onora il suo
paese.
C. Goldoni, Il medico Olandese, Atto I, sc. 2.
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23)
Misura
15/02/2011
Peano secondo Lalla Romano
Peano legge nell’introduzione alla Critica della Ragion Pura “il primo che dimostrò il triangolo isoscele” e
Prese un foglio e, con la sua bella scrittura forte, nervosa, legata scrisse: «Kant, Critica, … p. 17. Non si dimostra il
triangolo isoscele; se ne possono enumerare le proprietà, e dimostrare, cioè dedurle da proposizioni precedenti (teoremi,
postulati, assiomi). Il traduttore cita Euclide 1. 5. Kant però aveva detto triangolo equilatero.»
Lalla Romano, Una Giovinezza inventata / XVII
Zio Giuseppe aveva inventato un'
altra lingua universale, che chiamò Interlingua o Latino sine flexione. Non era certo
bella come il latino, ma aveva una sua eleganza – un po'«legnosa» a mio parere – di contro alle goffaggini delle altre.
Anche radici greche abbondavano nelle lingue colte; lui mi propose di contribuire a questa ricerca.
Prese un foglio e scrisse:
cosmographo graphe cosmo
poi, in colonna:
geographo graphe ge
e così via. Mi piacque specialmente:
heliotropio trepe antho eis helio
e anche, in quanto la sua scelta era una spia dei suoi gusti, l'
elenco dei vegetali:
acacia, amarantho, anemone, asparago, basilico, borace, cacto, cedro, cichoria, mentha, ... es botane.
Continuai l'
elenco, con la mia sottile puntuta scrittura:
Abysso cale abysso
e lo zio vi affiancò, con la sua calligrafia forte, elegante: Psalmo XII 8 e Plauto, Ps. 41.7. ( Abyssus abyssum vocat ).
In fondo al mio elenco su tre fogli - continuato per conto mio nella mia camera al pensionato - lo zio aggiunse:
Andre game gyne.
Mi sembrò una galanteria. [ Ibid. ]
24)
Cilindro e sfera
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Plutarco, Vita di Marcello, 17, 12
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Archimede, Dimensio circuli 1.140.9 to 1.140.11
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27)
Misura
L’unità è un numero o no?
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Il numero per Euclide
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I concetti matematici
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Diofanto, Arithmeticorum libri sex 12.19 to 12.20
Item continet memoria numerorum dimensionumque rationes et leges innumerabiles, quarum nullam corporis
sensus inpressit, quia nec ipsae coloratae sunt aut sonant aut olent aut gustatae aut contrectatae sunt. Audivi sonos
verborum, quibus significantur, cum de his disseritur, sed illi alii, istae autem aliae sunt. Nam illi aliter graece, aliter
latine sonant, istae vero nec graecae nec latinae sunt nec aliud eloquiorum genus. Vidi lineas fabrorum vel etiam
tenuissimas, sicut filum araneae; sed illae aliae sunt, non sunt imagines earum, quas mihi nuntiavit carnis oculus: novit
eas quisquis sine ulla cogitatione qualiscumque corporis intus agnovit eas. Sensi etiam numeros omnibus corporis
sensibus, quos numeramus; sed illi alii sunt, quibus numeramus, nec imagines istorum sunt et ideo valde sunt. Rideat
me ista dicentem, qui non eos videt, et ego doleam ridentem me.
32)
S. Agostino, Conf. X, 12
Il principio di induzione
(P13) Omnis quadratus, cum impari sequente coniunctus, constituit quadratum sequentem.
Ex aggregatione imparium numerorum ab unitate per ordinem successive sumptorum construuntur quadrati numeri
continuati ab unitate, ipsisque imparibus collaterales.
Nam per P13, unitas imprimis cum impari sequente, facit quadratum sequentem, scilicet 4.
Et ipse 4 quadratus secundus, cum impari tertio, scilicet 5, facit quadratum tertium, scilicet 9.
Itaque 9 quadratus tertius, cum impari quarto, scilicet 7, facit quadratum quartum, scilicet 16.
Et sic deinceps in infinitum semper P13 repetitum propositum demonstratur.
Francesco Maurolico [Arithmeticorum libri duo - 1575]
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33)
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15/02/2011
I numeri secondo Newton
Per numerum non tam multitudinem unitatum, quam abstractam quantitatem cuiusvis ad aliam eiusdem generis
quantitatem, quae pro unitate habetur, rationem intelligimus. Estque triplex: Integer, Fractus et Surdus. Integer quem
unitas metitur, fractus quem unitatis pars submultiplex metitur, et surdus cui unitas est incommensurabilis.
I.Newton [Arithmetica Universalis - 1707]
Quantitates vel Affirmativae sunt, seu nihilo maiores, vel Negativae, seu nihilo minores. Sic in rebus humanis
possessiones dici possunt bona positiva, debita verum bona negativa. Et ad eundem modum in Geometria, si linea
versus plagam quamvis ducta affirmativa habeatur, negativa erit quae versus plagam oppositam ducitur.
I.Newton [Arithmetica Universalis - 1707]
34)
I “Principia” di Newton secondo Halley
IN VIRI PRÆSTANTISSIMI
ISAACI NEWTONI
OPUS HOCCE
MATHEMATHICO-PHYSICUM
SECULI GENTISQUE NOSTRÆ DECUS EGREGIUM
En tibi norma poli, & divæ libramina molis,
computus en Jovis; & quas, dum primordia rerum
pangeret, omniparens leges violare creator
nolit, atque operum quæ fundamenta locârit.
Intima panduntur victi penetralia cæli,
Nec latet extremos quæ vis circumrotat orbes.
Sol solio residens ad se iubet omnia prono
Tendere descensu, nec recto tramite currus
Sidereos patitur vastum per inane moveri;
sed rapit immotis se centro, singula gyris.
Jam patet, horrificis quæ sit via flexa cometis;
Jam non miramur barbati phænomena astri.
…
Quæ toties animos veterum torsere sophorum,
Quæque scholas frustra rauco certamine vexant,
Obvia conspicimus, nubem pellente Mathesi.
Jam dubios nullâ caligine prægravat error
Queis superûm penetrare domos, atque ardua cæli
Scandere, sublimis genii concessit acumen.
Surgite, mortales, terrenas mittite curas;
…
Talia monstrantem mecum celebrate camænis,
vos ô cælicolûm gaudentes nectare vesci,
NEWTONUM clausi reserantem scrinia veri,
NEWTONUM Musis charum, cui pectore puro
Phœbus adest, totoque incessit numine mentem:
Nec fas est propius mortali attingere divos.
35)
I limiti secondo Newton
•
[…] dein puncta A, B ad invicem accedant, & coeant; dico, quod angulus BAD, sub chorda & tangente
contentus, minuetur in infinitum, & ultimo evanescet.
•
Iisdem positis: dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis ad invicem est ratio æequalitatis.
I.Newton
(De rationibus primis ultimisque e Libro primo principiorum, Lemmi VI e VII)
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36)
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15/02/2011
… e le osservazioni di Berkeley
If a Man by Methods, not geometrical or demonstrative, shall have satisfied himself of the usefulness of certain Rules;
which he afterwards shall propose to his Disciples for undoubted Truths; which he undertakes to demonstrate in a
subtile manner, and by the help of nice and intricate Notions; it is not hard to conceive that such his Disciples may, to
save themselves the trouble of thinking, be inclined to confound the usefulness of a Rule with the certainty of a Truth,
and accept the one for the other; especially if they are Men accustomed rather to compute than to think.
G. Berkeley [Berkeley, 1734 = The Analyst; or a Discourse addressed to an Infidel Mathematician], X
But it should seem that this reasoning is not fair or conclusive. For when it is said, let the Increments vanish, i. e. let the
Increments be nothing, or let there be no Increments, the former Supposition that the Increments were something, or
that there were Increments, is destroyed, and yet a Consequence of that Supposition, i. e. an Expression got by virtue
thereof, is retained.
[Berkeley, 1734], XIII
I repeat it again: You are at liberty to make any possible Supposition: And you may destroy one Supposition by another:
But then you may not retain the Consequences, or any part of the Consequences of your first Supposition so destroyed.
[Berkeley, 1734], XV
And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent
Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the
Ghosts of departed Quantities?
[Berkeley, 1734], XXXV
37)
L’accelerazione secondo Newton
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
[Principia … ]
38)
L’integrazione secondo Newton
Ex Fluxionibus invenire Fluentes Problema difficilius est, & solutionis primus gradus æquipollet Quadraturæ
Curvarum; de qua sequentia olim scripsi.
Epistula posterior D. Isaaci Newtoni, Matheseos professoris in celeberrima Academia Cantabrigiensi,
ad D. Henricum Oldenburg, Regalis societatis Londinii Secretarium, 24 ott. 1676
39)
Il progresso scientifico secondo Newton
What Des-Cartes did was a good step. […] If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants”
(lettera a Hooke, 5 febbraio 1676).
40)
Infinitesimi e infiniti secondo Leibniz
Car au lieu de l’infini ou de l’infiniment petit on prend des quantités aussi grandes et aussi petites qu’il faut pour que
l’erreur soit moindre que l’erreur donné, de sorte que l’on ne diffère du style d’Archimède que dans les expressions, qui
sont plus directes dans notre méthode et plus conformes à l’art d’inventer.
C’est encore de la même façon qu’on conçoit des dimensions au delà de trois … le tout pour établir des idées propres à
abréger les raisonnements et fondées en realités. Cependant il ne faut point s’imaginer que la science de l’infini est
degradée par cette explication et réduite à des fictions; car il reste toujours un infini syncategorématique, comme parle
l’école, et il demeure vrai que 2 est autant que 1 + 1/2 + 1/4 … etc., ce qui est une série infinie … quoiqu’on n’y
emploie toujours que des nombres ordinaires et quoiqu’on n’y fasse point entrer aucune mention infiniment petite, ou
dont le dénominateur soit un nombre infini …
… je leur témoignai, que je ne croyais point qu’il y eût des grandeurs véritablement infinies ni véritablement
infinitesimales, que ce n’étaient que des fictions mais des fictions utiles pour abréger et pour parler universellement …
Mais comme M. le Marquis de l’Hospital croyait que par là je trahissais la cause, ils me prièrent d’en rien dire …
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15/02/2011
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http://fds.mate.polimi.it/index.php (il nostro sito!)
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html (un sito storico ricchissimo di biografie e dati)
http://primes.utm.edu/ (sui numeri primi)
http://mathworld.wolfram.com/ (un sito di alta ricerca matematica)
http://demonstrations.wolfram.com/topics.html (un sito collegato al precedente con quasi 7000 dimostrazioni on line)
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ (sito didattico del Politecnico di Torino)
http://la.wikipedia.org/wiki/Vicipaedia:Porta_communis (Wikipedia in latino)
http://ephemeris.alcuinus.net/index.php (un sito di cronaca in latino)
http://www.liberliber.it/home/index.php (un sito con numerosissimi testi anche rari)
Per approfondire
(un elenco assolutamente incompleto, ma tanto per cominciare..)
a) Storia della matematica
C. Boyer, Storia della matematica, (1968) Oscar Studio Mondadori, Milano 1980
U. Bottazzini, Il flauto di Hilbert, Storia della matematica moderna e contemporanea, Utet Libreria, Torino, 1990
Lucio Russo, La rivoluzione dimenticata (Il pensiero scientifico greco e la matematica moderna), Feltrinelli
G. Loria, Storia delle matematiche dall’alba delle civiltà al tramonto del secolo XIX, (1950) Cisalpino-Goliardica,
Milano, 1982
M. Kline, Storia del pensiero matematico, (1972) Einaudi, Torino, 2 voll., 1991
P. Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi, II ed. 1993
P. Zellini, La ribellione del numero, Adelphi, II ed. 1997
P. Zellini, Gnomon, Adelphi, 1999
G. Ifrah, Storia universale dei numeri, Mondadori (ora riproposto come Enciclopedia Universale dei numeri,
Mondadori, 2008)
Netz Reviel; Noel William, Il codice perduto di Archimede, Rizzoli
b) Testi originali (tradotti)
• C.F.Manara, G. Lucchini, Momenti del pensiero matematico (letture su aspetti e problemi delle scienze
matematiche), Mursia, disponibile anche in versione elettronica alla pagina
http://www.sba.unimi.it/Biblioteche/mat/5494.html
• U. Bottazzini, P. Freguglia, L. Toti Rigatelli, Fonti per la storia della matematica, Sansoni, 1992
• Collana “I Classici del Pensiero" Mondadori ( 12,90):
34 = Newton (Principia) 35-36 = Galileo 39 = Copernico 43 = Euclide
c) Introduzione al Calcolo infinitesimale (e a vari problemi matematici)
D. Berlinski, I numeri e le cose (un viaggio nel calcolo infinitesimale), BUR Rizzoli, 2001
R. Courant, H. Robbins, Che cos’è la matematica?, Einaudi, 1950
L. Cresci, Le curve celebri, Aries / II ed. F. Muzzio 2001
M. Livio, La sezione aurea, Rizzoli
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Data ultima stampa 12/04/2011 17.22