PLS 2013-2014
Tratto da :
‘Sistemi di scelte sociali: il Teorema di Arrow ‘ di Dario Palladino
e ‘Il paradosso del gelataio e altri problemi delle votazioni’ di Alberto Saracco
Nomenclatura
 K: insieme finito di alternative
 x, y, z: alternative possibili (elementi di K)
 C: insieme degli individui (ognuno, secondo le sue
preferenze, proporrà un ordinamento totale tra le
varie alternative possibili)
 Diremo xPy se x è preferito a y nella graduatoria
collettiva
 Diremo xPhy se x è preferito a y dal cittadino h
ESEMPIO
Opzioni:
 Sanità pubblica (SaP)
 Scuola pubblica (ScP)
 Pensione (P)
 Servizi: strade, carabinieri per sicurezza pubblica,
fognature, etc… (Se)
Le preferenze possibili saranno:
x: si SaP, si ScP, si P, si Se
y: no SaP, si ScP, no P, si Se etc….
ESEMPIO
K: è l’insieme di tutte le possibili alternative di
preferenza.
Ovvero K={x, y, …}
C: è l’insieme di tutti i cittadini, o elettori
Se Francesco appartiene a C avrà delle sue
preferenze, per esempio:
x (si SaP, si ScP, si P, si Se) > y(no SaP, si ScP, no P, si Se)
> z(no SaP, si ScP, si P, si Se) > t(si SaP, si ScP, no P, si Se)
……………………………..
Legge di Benessere Sociale
 Una legge di benessere sociale è una funzione che,
assegnate le preferenze individuali dei cittadini, identifica
una preferenza sociale.
 Osserviamo che deve essere possibile assegnare una
legge di preferenza sociale qualunque siano le scelte dei
cittadini, questo per garantire la libertà di voto.
Quali proprietà deve avere una legge di benessere
sociale per essere ritenuta democratica?
 P1: Proprietà di completezza.
In corrispondenza di ogni possibile n-pla di graduatorie
individuali, la legge di benessere sociale deve indicare
una ed una sola graduatoria sociale:
Quali proprietà deve avere una legge di benessere
sociale per essere ritenuta democratica?
 P2: Proprietà di sovranità dei cittadini.
Per ogni coppia di elementi x, y, se nella graduatoria
collettiva xPy esiste una n-pla di graduatorie individuali per
cui xPhy.
Ovvero non può accadere che nella legge di benessere
sociale x sia preferito ad y se nessun individuo particolare
preferisce x a y.
Quali proprietà deve avere una legge di benessere
sociale per essere ritenuta democratica?
 P3: Proprietà di correlazione positiva.
Se, per una certa n-pla di graduatorie individuali, la legge
di benessere sociale associa una graduatoria collettiva per
cui xPy, allora, per tutte le altre n-ple di graduatorie
individuali che differiscono dalla precedente solo perché, in
alcune graduatorie individuali x ha migliorato la sua
posizione rispetto ad y, nella graduatoria collettiva ancora
xPy.
Ovvero non può accadere che x migliori la sua posizione nel gradimento dei
cittadini, ma peggiori la sua posizione nel gradimento della legge di
benessere sociale.
Quali proprietà deve avere una legge di benessere
sociale per essere ritenuta democratica?
 P4: Proprietà di invarianza delle alternative
irrilevanti.
Se, per una certa n-pla di graduatorie individuali, la
legge di benessere sociale associa una graduatoria
collettiva per cui xPy, allora, per tutte le altre n-ple di
graduatorie individuali in ciascuna delle quali la
relazione di preferenza tra x e y non è mutata, nella
graduatoria collettiva deve ancora essere xPy.
Ovvero se preferisco x a y non deve dipendere da quanto mi piace z.
Quali proprietà deve avere una legge di benessere
sociale per essere ritenuta democratica?
 P5: Proprietà di non dittatorialità
La legge di benessere sociale non associa ad ogni
n-pla di graduatorie quella di un particolare individuo:
non esiste un individuo h tale che, per ogni x e y, se
xPhy, allora xPy
Questo individuo, se esistesse, sarebbe un dittatore
Proprietà di Pareto
Se valgono le proprietà P2, P3 e P4 allora possiamo dire che:
Se per ogni h (da 1 a n), xPhy, allora xPy.
Ovvero: se tutti preferiscono x a y, anche nella legge di benessere
sociale x deve essere preferito ad y.
Dimostrazione: Sia data una n-pla di graduatorie individuali tale che, per ogni
h, xPhy. Per P4 possiamo limitare le nostre considerazioni alle due
sole alternative x e y (trascurando tutte le altre).
Per P2 si verifica che xPy se vi è una n-pla di graduatorie individuali, le cui
relazioni di preferenza indichiamo con Ph’, tale che nella corrispondente
graduatoria collettiva x è preferito a y (xP’y).
Ma, nel nostro caso, (P) in tutte le graduatorie individuali, x è preferito a y, e
quindi x ha migliorato la posizione che aveva rispetto ad y in P’, quindi per
l’assioma P3, nella corrispondente graduatoria collettiva x continua, a maggior
ragione, ad essere preferito a y. Quindi xPy come si voleva dimostrare.
Insiemi decisivi
Insiemi decisivi
Si dice che un insieme D di individui (D  C) è
decisivo per l’alternativa x rispetto all’alternativa y
se e solo se,
se per tutti gli h  D vale xPhy, allora xPy
(ossia se basta che gli individui di D preferiscano x a y affinché nella
graduatoria collettiva x sia preferito a y).
Se tale insieme decisivo si riduce ad avere un solo
elemento, si dice che tale elemento è un dittatore per
l’alternativa x rispetto all’alternativa y.
Un dittatore è un individuo che da solo determina un
insieme decisivo rispetto a qualsiasi coppia di
alternative.
Insiemi decisivi
L’insieme C di tutti gli individui
è decisivo
per x rispetto a y.
Insiemi decisivi
Lemma1: Se valgono P2, P3 e P4, condizione
necessaria e sufficiente affinché un insieme D sia
decisivo per x rispetto a y è che si abbia:
(( h D, xPhy) e ( h D yPhx) )(xPy)
Devo cioè dimostrare che le due proposizioni:
A=( h D xPhy) (xPy)
e
B=(( h D, xPhy) e ( h D, yPhx)) (xPy)
sono equivalenti
Insiemi decisivi
Condizione Necessaria: A B
Se è vero che ( h D xPhy) (xPy) a maggior ragione è vero
anche che (( h D, xPhy) e ( h D, yPhx)) (xPy)
Es. ‘Se prendi 6 nel prossimo compito ti do 6’
‘ Se prendi 6 nel prossimo compito e mi fai questi 50
esercizi ti do 6’
In quanto più restrittiva, se sono disposta a darti 6 se
prendi 6 nel prossimo compito a maggior ragione lo farò
se fai anche degli esercizi in più.
Insiemi decisivi
Condizione Sufficiente: B A
Se è vero che (( h D, xPhy) e ( h D, yPhx)) (xPy) voglio
dimostrare che è vero anche ( h D xPhy) (xPy)
 xPhy in tutte le graduatorie individuali dei cittadini facenti parte
dell’insieme D e yPhx per tutti i cittadini che non fanno parte di D.
 Per P4 la posizione di x e y nella graduatoria collettiva dipende
solo dalle posizioni di x e y nelle graduatorie individuali.
 Se abbiamo una n-pla di graduatorie individuali in cui (almeno)
gli elementi di D preferiscono x a y, tale n-pla si può pensare
ottenuta da quella in cui solo gli elementi di D preferiscono x a y
(ossia per cui vale l’ipotesi di B), migliorando la posizione di x.
 Per P3 non cambia la posizione di x e y nella graduatoria
collettiva e x è preferito a y. Quindi D è decisivo.
Insiemi decisivi
Lemma2: Se un insieme D è decisivo per l’alternativa x rispetto all’alternativa y,
allora è decisivo per qualsiasi altra coppia ordinata di alternative:
(supponiamo vere P1, P2, P3, P4 che useremo implicitamente)
Dimostrazione: Per ipotesi D è decisivo per la coppia ordinata (x, y). Per dimostrare che
D è decisivo rispetto alle altre coppie procediamo per casi.
a) Sia z un’alternativa diversa da x e da y. Consideriamo una qualsiasi n-pla di
graduatorie individuali tale che:
 h D, xPhy e yPhz (e quindi anche xPhz),
 h  D, yPhz e zPhx (e quindi anche yPhx).
Dato che D è decisivo per (x, y), nella graduatoria collettiva si ha xPy.
Poiché, per ogni h  C, yPhz, per la proprietà di Pareto, nella graduatoria collettiva
si ha yPz. Da xPy e yPz segue xPz per la proprietà transitiva.
Vale quindi: (( h  D, xPhz ) e ( h  D zPhx))  xPz. Per il Lemma1, ne segue
che D è decisivo per la coppia (x, z) con z qualsiasi.
Analogamente si può dimostrare che D è decisivo anche per le coppie (z, z’) e (z,x) con
z e z’ qualsiasi, quindi è decisivo per tutte le coppie.
Conseguenza
Se un individuo è un dittatore per la coppia (x,y)
allora
è un dittatore
e la legge di benessere sociale è dittatoriale
Teorema di Arrow
Se l’insieme C contiene almeno 2 cittadini e K almeno tre diverse
possibili scelte non è possibile che la legge di benessere sociale
soddisfi tutte le proprietà P1, P2, P3, P4 e P5.
Data (x, y), coppia di alternative. C è decisivo (per cond. Pareto).
Quindi  D insieme decisivo minimale per la coppia (x,y). D non può avere un solo
elemento perché per il teorema precedente sarebbe un dittatore. Si può allora
suddividere D in due sottoinsiemi disgiunti non vuoti D’ e D”.
Date tre alternative x, y e z, consideriamo una qualsiasi n-pla di graduatorie individuali
tale che:
  h D’, xPhy e yPhz (e quindi anche xPhz)
  h D’’, zPhx e xPhy (e quindi anche zPhy)
  h  D, yPhz e zPhx (e quindi anche yPh x)
Deve essere xPy dato che l’insieme D è decisivo per coppia (x, y).
Nella graduatoria collettiva non può essere zPy, altrimenti D” sarebbe decisivo per
la coppia (z, y) (e quindi per tutte le coppie), contro l’ipotesi che D sia decisivo
minimale.
Se fosse yPz, allora da xPy seguirebbe xPz e D’ sarebbe decisivo per la coppia
(x,z), contro la minimalità di D. Non può nemmeno essere yIz, poiché da xPy e yIz
seguirebbe xPz e D’ sarebbe decisivo per la coppia (x,z). Si ha quindi l’assurdo che
le alternative y e z non possono essere ordinate nella graduatoria collettiva (non
può valere nessuna delle tre condizioni yPz, zPy e yIz).