Stime per intervalli
Oltre al valore puntuale di una stima, è interessante conoscere
qual è il margine di errore connesso alla stima stessa.
Si possono stabilire dei limiti entro i quali si ha una confidenza
(1-) che vi sia compreso il vero valore del parametro nella
popolazione.
Questi limiti si chiamano LIMITI FIDUCIALI, e l’intervallo che
definiscono si chiama INTERVALLO FIDUCIALE o
INTERVALLO DI CONFIDENZA
Stime per intervalli
Una stima del parametro fatta da un campione, corredata dai
suoi limiti fiduciali, è detta STIMA PER INTERVALLI.
I valori usuali di  sono 0,01; 0,05; 0,1, che danno luogo a
intervalli fiduciali o intervalli di confidenza rispettivamente del
99; 95; 90%.
Per definire un intervallo di confidenza si utilizzano le
distribuzioni campionarie.
Intervallo di confidenza di una media ( noto)
Si estrae un campione di numerosità n per stimare la media.
Della popolazione si conosce la deviazione standard .
Facciamo riferimento alla distribuzione delle medie campionarie.
La media del campione appartiene alla popolazione di medie
campionarie che ha:
•distribuzione normale
•stessa media della popolazione di partenza
•deviazione standard = /n.
Si tratta, in questa distribuzione normale, di individuare
l’intervallo che esclude /2 per lato.
Questo intervallo avrà probabilità 1- di includere la vera media
della popolazione.
Intervallo di confidenza di una media ( noto)
Se  è noto si fa riferimento alla distribuzione z (= 0 e =1)
z
x
x
Con:
x 

n
Definito un grado di confidenza 1-,
poiché:
P [ - Z/2 (/n)  x   + Z/2 (/n)] = (1- )
Allora:
P [ x - Z/2 (/n)    x + Z/2 (/n)] = (1- )
Intervallo di confidenza di una media ( noto)
Se ad esempio il grado di confidenza 1- = 0,95
Z/2 = 1,96
Quindi l’intervallo di confidenza della media sarà:
P [ x - 1,96 (/n)    x + 1,96 (/n)] = 0,95
Valori critici usuali di Z/2 sono:
Z0.05 = 1.64
(per confidenza del 90%)
Z0.025 = 1.96
(per confidenza del 95%)
Z0.005 = 2.57
(per confidenza del 99%)
Intervallo di confidenza di una media ( noto)
Z/2 (/n) è la quantità che viene aggiunta e sottratta alla
media campionaria per avere l’intervallo. Si chiama massimo
errore di stima, ed è un indicatore della precisione della stima.
A parità di  i limiti fiduciali si restringono all’aumentare di:

(e quindi al diminuire del grado di confidenza) si esclude
un’area di curva maggiore ma aumenta la possibilità che i limiti
non contengano il vero 
n
non vi sono controindicazioni, se non il costo o l’onere di un
campione più grande
Intervallo di confidenza di una media ( ignoto)
Dal campione si deve stimare la media e la deviazione standard.
Non si può usare la distribuzione di z, poiché per usare z
occorre conoscere . Si usa quindi la distribuzione di t.
x
t 
sx
con:
sx 
s
n
Analogamente a quanto visto, i limiti fiduciali per una
confidenza 1- saranno dati da:
s
x  t 
2
n
Dove la distribuzione di t
è quella per (n-1) GL
Gli intervalli fiduciali saranno più “larghi” di quelli con  nota,
poiché vi sono due stime ( x e s) soggette a fluttuazioni
campionarie.
Intervallo di confidenza di una media ( ignoto)
ESEMPIO
Avendo rilevato produzioni di un pascolo si sono ottenuti i
seguenti valori (t ha-1 di sostanza secca): 3.6; 4.3; 4.8; 3.3;
3.2; 2.8; 4.1; 4.8; 3.3.
Calcolare la produzione media ed i suoi limiti fiduciali al
90%, al 95% e al 99%
Soluzione
media=
devianza=
stima varianza=
stima dev.standard=
Stima err. stand.=
3.80
4.240
0.530
0.728
0.243
Valori t tabulati
t9-1
alfa
0.1 1.860
0.05 2.306
0.01 3.355
Limiti fiduciali della media
alfa
limite inf limite sup
0.1
3.35
4.25
0.05
3.24
4.36
0.01
2.99
4.61
Intervallo di confidenza di una proporzione
Una distribuzione binomiale, se ci si riferisce alle
proporzioni di successi, è caratterizzata da:
Media (valore atteso): =p
Varianza: 2= p(1-p)
La proporzione di successi del campione, se n è
sufficiente, è una variabile casuale con distribuzione
approssimativamente normale e:
Media = p
Varianza = p(1-p)/n
Intervallo di confidenza di una proporzione
Se n è sufficientemente grande:
z
pˆ  p
p(1  p) n
Ha distribuzione della normale standardizzata
Dove p̂ è la proporzione campionaria di successi,
trovata con un campione di numerosità n.
Definita una confidenza 1-  posso quindi calcolare
l’intervallo di confidenza come:
pˆ  z 2
pˆ (1  pˆ )
n
(sostituendo la stima di p
nella formula)
Esempio intervallo di confidenza di una
proporzione
In un sondaggio elettorare su 150 intervistati 84 (cioè
56%) hanno dichiarato di votare per il partito A.
Si vuole costruire l’intervallo di confidenza al 99%.
0,56(1  0,56)
0,56  2,57
 0,56  0,104
150
Il limite inferiore sarà 0,456 e quello superiore 0,664