Progetto di travi inflesse
Se sulla trave è presente momento flettente (ed eventualmente taglio) ma
non sforzo normale, allora il momento flettente è limitato superiormente da
un valore limite,
M ≤ M0
M 0 = σ maxWl
dipende dalla geometria della sezione
tensione normale che non si
vuole superare nel materiale
σ max
σ0
=
γM
σ0 tensione di snervamento, o di “rottura”, o …
γM fattore di riduzione valutato in base alla teoria
dell’affidabilità
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Wl ha diverse definizioni a seconda dello stato limite
Stato limite elastico, We, σmax = σsner
Stato limite plastico, Wp, σmax = σsner
Stato limite di rottura, Wu, σmax = σpeak
…
P.es. per sezioni rettangolari
b h2
We =
6
b h2
Wp =
4
h
b
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Il criterio M < M0 consente il progetto dell’elemento prismatico:
1. Si determina il momento massimo agente sulla trave
2. Si sceglie la sezione in modo tale che
We ≤
M max
σ max
3. Fra tutte le sezioni che hanno un modulo di resistenza
accettabile, si seleziona quella con il minore peso per unità di
lunghezza per motivi economici.
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Sample Problem 5.8
SOLUTION:
• Considering the entire beam as a freebody, determine the reactions at A and
D.
A simply supported steel beam is to
carry the distributed and concentrated
loads shown. Knowing that the
allowable normal stress for the grade
of steel to be used is 160 MPa, select
the wide-flange shape that should be
used.
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• Develop the shear diagram for the
beam and load distribution. From the
diagram, determine the maximum
bending moment.
• Determine the minimum acceptable
beam section modulus. Choose the
best standard section which meets this
criteria.
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Sample Problem 5.8
• Considering the entire beam as a free-body,
determine the reactions at A and D.
∑ M A = 0 = D(5 m ) − (60 kN )(1.5 m ) − (50 kN )(4 m )
D = 58.0 kN
∑ Fy = 0 = Ay + 58.0 kN − 60 kN − 50 kN
Ay = 52.0 kN
• Develop the shear diagram and determine the
maximum bending moment.
V A = Ay = 52.0 kN
VB − V A = −(area under load curve) = −60 kN
VB = −8 kN
• Maximum bending moment occurs at
V = 0 or x = 2.6 m.
M max = (area under shear curve, A to E )
= 67.6 kN
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Sample Problem 5.8
• Determine the minimum acceptable beam
section modulus.
Smin =
M max 67.6 kN ⋅ m
=
σ all
160 MPa
= 422.5 × 10 − 6 m3 = 422.5 × 103 mm3
• Choose the best standard section which meets
this criteria.
Shape
S , mm3
W410 × 38.8
637
W360 × 32.9
474
W310 × 38.7
549
W250 × 44.8
535
W200 × 46.1
448
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W 360 × 32.9
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Progetto di travi inflesse in presenza di
sforzo normale
Se sulla trave è presente sforzo normale e momento flettente (ed
eventualmente taglio) allora in ciascuna sezione il momento flettente e lo
sforzo normale devono soddisfare una disequazione, espressa graficamente
mediante domini nel piano M,N.
N 0 = σ 0bh
N/N0
1
bh 2
M0 = σ0
6
0.75
0.5
0.25
-1.5
-1
-0.5
0.5
-0.25
1
1.5
M/M0
-0.5
-0.75
-1
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10 kN
100 mm
L
80
500
h
100
400
150
(mm)
300
σ0=15
MPa
200
100
1000
2000
3000
4000
5000
L (mm)
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80
500
100
400
150
300
80
100
150
200
peso
100
1000
2000
3000
4000
5000
L (mm)
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x
L
a
p
A
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B
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p L2 − 2 La
VA =
2 L−a
p L2
VB =
2 L−a
p L2 − 2 La
z2
M ( z) =
z− p
2 L−a
2
L2 − 2 La
M ( x) = 0 ⇒ x =
L−a
L−x
⇒ a =L
2L − x
x
L
a
L=4m
x = 2 m a = 1.33 m
x = 2.5 m a = 1.09 m
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