7
IL PROGETTO DI TRAVI
IN C.A.P. IPERSTATICHE
7.1
Il sistema equivalente alla precompressione
La valutazione delle caratteristiche della sollecitazione nelle travi
in c.a.p. può essere condotta, in alternativa all’applicazione diretta
della formula di Navier per la pressoflessione, utilizzando il
concetto di sistema equivalente alla precompressione.
Quest’ultimo costituisce un sistema di forze staticamente
equivalenti alla precompressione che dipende solamente dalla
geometria del cavo e dallo sforzo normale N. In particolare detto R
il raggio di curvatura locale del cavo, la presenza di una trazione N
in esso genera come noto una pressione pn e una componente
tangenziale pt:
pt  f c
N
R
pn 
N
R
dove fc è il coefficiente d’attrito cavo-guaina.
Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Figura 7.1 – Forze agenti sul
cavo
Figura 7.2 – Sistema di forze sulla
trave in c.a.p.
Di conseguenza le reazioni che il cavo applica alla trave in
calcestruzzo sono costituite da una coppia di forze orizzontali Nn e
verticali V nelle testate e un sistema di forze distribuite verticali py
orientate verso l’alto e orizzontali px agenti lungo l’asse della
trave. Esse hanno l’espressione seguente:
Forze in testata
N n  N cos  0
V  N sin  0
Forze distribuite
p y (  )  pn cos   pt sin 
p x (  )  pt cos   pn sin 
Normalmente si trascurano le componenti verticali delle forze
distribuite in quanto l’angolo 0 è considerato piccolo, sicché il
sistema di forze equivalenti diviene:
Forze in testata
Nn  N
V  N 0
Forze distribuite
N
R
px  0
py 
La legge di variazione di py dipende dalla legge di variazione del
raggio di curvatura locale R e dall’andamento dello sforzo
normale N. Trascurando le perdite d’attrito lungo il cavo si ha che
N=cost e conseguentemente py dipenderebbe solamente dalla
forma del cavo. Nel caso generale, N varia con la seguente legge,
dove fc è il coefficiente d’attrito guaina-cavo :
N    N  0 e  f c 
La precedente espressione si può approssimare in genere con una
curva del secondo ordine, sicché la legge di variazione di py
dipenderebbe sia dall’entità dell’attrito e dalla forma del cavo (R).
Normalmente però l’andamento del cavo viene considerato di
forma quadratica e dunque con curvatura R costante; in tal caso py
dipende solamente dall’andamento di N. Utilizzando come sistema
di riferimento quello con origine nella mezzeria del cavo e con
asse x tangente al cavo in quel punto, l’equazione del cavo è la
seguente.
y
4f 2
1
8f
8f
x 
 y' '  2  p y  2 N
R
L2
L
L
Nella precedente f è la freccia della parabola mentre L è la
lunghezza totale della trave.
Trascurando le perdite d’attrito, il carico distribuito avrà
ovviamente un andamento costante e il sistema equivalente sarà
quindi costituito da forze di estremità e da un carico verticale
diretto verso l’alto, uniformemente ripartito, come illustrato nella
figura 7.3.
Nel caso in cui il cavo subisca anche una brusca variazione della
tangente in un punto (cuspide), detto  l’angolo che le tangenti
alla cuspide formano tra loro, per l’equilibrio il conglomerato
dovrà esercitare sul cavo una forza concentrata F pari a 2N sin
(/2). Ciò si ottiene isolando la porzione di cavo nell’intorno della
cuspide e applicano l’equilibrio lungo l’asse verticale dove
agiscono le componenti verticali dello sforzo normale pari a
ognuna a N sin(/2). La figura 7.4 mostra il sistema equivalente
alla precompressione in presenza discontinuità del cavo.
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Figura 7.3 – Sistema equivalente alla precompressione (SEP)
N
2Nsin/2
N
Figura 7.4 – Sistema equivalente alla precompressione di una trave
appoggiata con cavo rettilineo inclinato
Esempio 7.1: Si consideri la trave semplicemente appoggiata di
figura con sezione di area A e modulo di resistenza a flessione
relativo alla fibra inferiore Wi. Il cavo è disposto linearmente con
eccentricità costante e.
Si calcoli la tensione nella fibra inferiore della sezione di mezzeria
della trave utilizzando sia la formula di Navier sia il metodo del
sistema equivalente alla precompressione.
Per il calcolo delle tensioni si può, come noto, utilizzare
l’equazione di Navier:
i 
N N e

A Wi
In alternativa è possibile applicare il metodo del sistema
equivalente alla precompressione. A tale scopo è necessario
valutare il sistema di forze equivalenti alla precompressione e le
relative caratteristiche della sollecitazione per ogni sezione. Note
le caratteristiche della sollecitazione si può determinare la tensione
utilizzando di nuovo la formula di Navier. Poiché il cavo è
rettilineo, non è presente alcun carico distribuito, mentre sono
presenti solo forze di estremità. Nella generica sezione agiranno
quindi lo sforzo di precompressione N e il momento di trasporto
M=Ne (Fig. 7.5). Sicché la tensione al lembo inferiore vale:
i 
N M N N e

 
A Wi A Wi
Tale risultato è del tutto equivalente a quello ottenuto prima con
l’applicazione diretta dell’equazione di Navier. Ciò dimostra come
i due approcci siano alternativi.
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Figura 7.5 – Confronto tra le soluzioni ottenute con la formula di
Navier e con il SEP per una trave appoggiata con cavo orizzontale
eccentrico
Esempio 7.2: Si consideri una trave con sezione rettangolare di
area A e modulo di resistenza inferiore Wi (armatura trascurata),
con lunghezza L=25m e altezza della sezione h=1.30m. Il cavo è
disposto con eccentricità variabile parabolicamente con freccia
massima f=1m e con copriferro minimo d=10 cm. Si calcoli la
tensione nella fibra inferiore della sezione di mezzeria della trave.
A tale scopo si utilizzi sia la formula di Navier che il metodo del
sistema equivalente.
L’utilizzo diretto della formula di Navier per il calcolo dello stato
tensionale nella fibra inferiore della sezione di mezzeria
presuppone la conoscenza, oltre che dello sforzo normale N, anche
del momento in mezzeria. Quest’ultimo si può calcolare, una volta
nota l’eccentricità del cavo nella sezione stessa. Essendo in
mezzeria il copriferro d=10 cm e l’altezza della sezione h=1.30 m,
l’eccentricità risulta essere la seguente:
e=1.3/2 – 0.1 = 0.55 cm
La tensione nella fibra inferiore varrà quindi:
i 
N 0.55 N

A
Wi
Il sistema equivalente alla precompressione della trave analizzata è
costituito da un carico uniformemente ripartito di intensità pari a:
py 
8f
L2
N 
8 1
25 2
N  0 .0128 N
e da due forze orizzontali di intensità N applicate alle estremità
della trave con eccentricità e=0.45 m. E’ presente in realtà anche
una forza verticale N0, la quale, però, agendo direttamente sul
vincolo non produce alcuna sollecitazione nella trave. Di
conseguenza le sollecitazioni in mezzeria dovute al sistema
equivalente alla precompressione sono :
NN
M
p y L2
8
 0.45N 
0.0128N  252
 0.45N  0.55N
8
Lo stato tensionale risulta quindi quello già valutato mediante
l’applicazione diretta della formula di Navier.
Figura 7.6 – Confronto tra le soluzioni ottenute con la formula di
Navier e con il SEP per una trave appoggiata con cavo parabolico
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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7.2
Il calcolo delle reazioni iperstatiche dovute alla
precompressione
Nel caso di strutture iperstatiche il sistema equivalente alla
precompressione mostra tutte le sue potenzialità. Una volta
individuato, esso permette di trattare la precompressione come una
serie di carichi distribuiti e concentrati al pari dei carichi esterni,
potendo così applicare i classici metodi della scienza delle
costruzioni per risolvere il sistema.
Occorre però osservare che in un sistema iperstatico la presenza di
uno stato di coazione (sistema a risultante nulla), come ad esempio
la precompressione, da luogo, in generale, a reazioni iperstatiche.
Ciò significa che il momento in ogni sezione dovuto alla
precompressione non è semplicemente dato, al contrario delle travi
isostatiche, dal prodotto tra lo sforzo di precompressione e
l’eccentricità del cavo risultante (M1=Ne), ma al contrario
occorre determinare il momento flettente dovuto all’iperstaticità
che indicheremo in seguito con il termine M2, da sommare al
termine (Ne), per trovare il momento flettente globale M3=M1 +
M2

M
N N e
N M  M2
N M

y 2 y   1
y  3 y
A
J
J
A
J
A
J
Esempio 7.3: Con riferimento alla trave incastro-appoggio dotata
di cavo di precompressione rettilineo con eccentricità costante e,
si calcoli la reazione nell’appoggio.
Il diagramma dei momenti dovuto alla precompressione è variabile
linearmente, al contrario della mensola incastrata che per lo stesso
andamento del cavo presenterebbe un momento costante. Ciò è
dovuto alla presenza della reazione iperstatica indicata in figura
con la lettera Ys
Figura 7.7 – Sistema equivalente alla precompressione in una trave
incastro-appoggio in presenza di cavo ad andamento rettilineo
Essa può essere così calcolata. Si individua il sistema equivalente
alla precompressione, identificato in tal caso da uno sforzo
normale centrato N e da un momento N  e. Utilizzando ad
esempio il metodo delle forze si può calcolare la reazione
iperstatica utilizzando come sistema principale la mensola
incastrata. Con riferimento all’asse x indicato in figura con origine
nell’appoggio il momento dovuto al sistema equivalente alla
precompressione ha l’espressione seguente:
Mp(x) = Ne
Il momento dovuto alla reazione iperstatica considerata ad
intensità unitaria vale:
M’(x) = x
Imponendo la congruenza nell’appoggio, ossia imponendo che lo
spostamento dovuto ai due momenti prima calcolati sia nullo si ha:
 
 
L
0
L
0
M p( x )
EJ
M ' ( x )dx  Y s
N e
xdx  Ys
EJ
L
0
L
0
M' ( x )
M ' ( x )dx  0
EJ
x
N  e L2
L3
xdx 
 Ys
0
EJ
EJ 2
3 EJ
9
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Dalla precedente è possibile infine calcolare la reazione iperstatica
Ys , e il momento flettente
Ys 
3 N e
2 L
M ( x)  N  e 
3 N e
 3 x
x  N  e1 

2 L
 2 L
e1
e1
e2
Esempio 7.4: Un caso diffuso di strutture precompresse è quello
di travi continue con cavo ad andamento parabolico. Si consideri
ad esempio la trave di figura 7.8 dove il cavo presenta eccentricità
e1 in campata ed eccentricità e2 in appoggio
Lt
L1
A
D
8f1 N/L2
1
Lt
L2
B
L1
8f1 N/L2
C
N
N
N e
N/L22
8f8f
1 2N/L
N e
Figura 7.8 – trave continua con cavo ad andamento parabolico
Il sistema equivalente alla precompressione alla precompressione
è costituito da carichi distribuiti, due in campata diretti verso il
basso e uno diretto verso l’alto in appoggio, oltre lo sforzo
normale centrato e il momento Ne applicati ad entrambi gli
appoggi terminali della trave.
I carichi distribuiti prima richiamati sono funzione delle frecce dei
singoli tratti di cavo ricavabili come segue. Ad esempio dette eA,
e1, eD rispettivamente l’eccentricità del cavo in corrispondenza
dell’appoggio A, del punto di flesso del cavo (1) e della mezzeria
(punto D), la freccia nel punto D ha l’espressione seguente:
f1  eD 
e A  e1
2
Analogamente la freccia del tratto di cavo a cavallo dell’appoggio
vale:
f 2  e B  e1
I carichi equivalenti distribuiti assumeranno quindi i valori
q1 
8 f1N
L1
q2 
2
8 f2N
L22
dove L1 ed L2 sono le lunghezze dei tratti di cavo considerati.
Considerando per semplicità, le seguenti condizioni di carico
distribuito, del tutto equivalenti ai carichi distribuiti indicati in
figura 7.8, la soluzione è immediata, una volta note le soluzioni in
forma chiusa dei singoli casi analizzati:
a
b
Figura 7.9 – Sistema equivalente alla precompressione della trave
continua
Considerando lo schema di carico (1), poiché il sistema è
simmetrico, il momento nell’appoggio centrale B e la reazione
nell’appoggio A valgono, come noto (la trave può essere
considerata come incastrata nell’appoggio B):
MB 
1
p1 L 2
8
RA 
3
p1 L
8
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Sicché l’espressione del momento è semplicemente:
M a ( x) 
3
1
p1 L x  p1 x 2
8
2
MD
dove x è l’ascissa contata a partire dall’appoggio in A.
MB
Figura 7.10 – Momento flettente dovuto al carico uniformemente
distribuito diretto verso l’alto.
La condizione di carico (2) produce invece un momento lineare
dall’appoggio al carico e un momento parabolico fino all’incastro:
RA x


M b ( x)  
x  a 2
R
x

p
A

2
0 xa
axL
dove RA è la reazione nell’appoggio A che vale
RA 
p1 ( L  a) 3  3L  a 


8
 L 
a è il tratto della trave scarico (Fig. 7.9).
Il momento totale è data dalla somma dei momenti Ma(x) ed Mb(x).
Per come disposto il cavo, il diagramma dei momenti assumerà la
forma seguente, la quale presenta una discontinuità nella derivata
nel punto di flesso del cavo di precompressione:
MD
MB
Figura 7.10 – Momento flettente dovuto alla somma delle tre
condizioni di carico
Tale momento rappresenta il momento M3 comprensivo degli
effetti dovuti all’eccentricità del cavo (M1) e all’iperstaticità del
sistema (M2).
Per il calcolo delle strutture precompresse è ovviamente possibile
utilizzare programmi agli elementi finiti come SAP2000 od altri
che trattano generalmente il cavo come parabolico e calcolano le
sollecitazioni dovute alla precompressione con l’ausilio del
sistema equivalente alla precompressione. Infatti una volta definita
la geometria del cavo, ogni elemento finito ha possiede un sistema
di forze esterno equivalente alla precompressione che tratta al pari
degli altri carichi. I carichi concentrati alle estremità vengono
ovviamente trattati come carichi di elemento e non come carichi
nodali.
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7.3
La linea delle pressioni e il progetto dell’andamento del
cavo
Nel paragrafo precedente si è dimostrato che in presenza di
elementi iperstatici precompressi il momento dovuto alla
precompressione in ogni sezione non è purtroppo, come per i
sistemi isostatici, coincidente con il prodotto dello sforzo normale
N per l’eccentricità e (M1=Ne). L’iperstaticità del sistema
introduce un momento secondario (M2) che sposta il centro (linea)
delle pressioni (CP), dando luogo ad momento risultante M3,
somma di M1 ed M2. Il rapporto M3/N individua la così detta linea
delle pressioni o luogo dei centri di pressione e rappresenta la
distanza dei centri di pressione rispetto al baricentro.
Si consideri ad esempio al trave continua illustrata nella figura
seguente. Scegliendo come sistema principale la trave appoggiata
ottenuta dalla trave continua sopprimendo l’appoggio intermedio,
e quindi avendo come reazione iperstatica la reazione R, il
momento secondario ha un andamento lineare, e il CP si sposta
verso l’alto (linea tratteggiata) di e’=M2/N.
Figura 7.11 – Linee delle pressioni e momento primario (M 1) e
secondario (M2)
Per la verifica o il progetto di strutture iperstatiche precompresse è
quindi necessario risolvere il sistema iperstatico in maniera tale da
poter valutare la posizione dei centri di pressione lungo la trave e
il conseguente stato tensionale.
A tale scopo un metodo utile per determinare la linea delle
pressioni è far ricorso al sistema equivalente alla precompressione,
come già ampiamente trattato nel paragrafo precedente.
Considerando la trave continua dell’esempio xxx, il sistema
equivalente alla precompressione è quello indicato in Figura 9.8.
Le reazioni verticali agli appoggi di estremità e intermedi sono
assorbite dagli appoggi stessi e non provocano sollecitazioni nella
trave. Le reazioni nell’appoggio intermedio contrastano invece la
reazione iperstatica. Infine il carico distribuito equivalente alla
precompressione è l’unico in grado di contrastare i carichi esterni.
Noto il momento flettente risultante M3 si conosce la posizione dei
centri di pressione lungo la trave e lo stato tensionale
corrispondente sezione per sezione.
Figura 7.12 – SEP relativo alla trave continua di figura 7.11
E’ interessante notare che per trasformazioni lineari1 il centro delle
pressioni dovuto alla sola precompressione non subisce variazioni.
Ciò è dovuto al fatto che in presenza di angoli piccoli il carico
distribuito
equivalente
alla
precompressione
dipende
1
Per trasformazione lineare si intende una rotazione rigida del cavo intorno al punto di
ancoraggio del cavo stesso in testata.
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esclusivamente dalla freccia del cavo, la quale appunto per
trasformazioni lineari, rimane inalterata assieme alla posizione del
centro di pressione.
Esempio 7.5: si consideri la trave dell’esempio 7.7, e si calcoli la
reazione all’appoggio per il cavo inclinato rispetto all’orizzontale
di un angolo .
Figura 7.13 – SEP di una trave incastro-appoggio con cavo rettilineo
inclinato di un angolo 
Essendo ora il cavo ruotato intorno all’estremo appoggiato di una
quantità , nasce ancora una reazione iperstatica Ys che viene però
ridotta di una quantità pari alla componente verticale dello sforzo
di precompressione V=Ntan()N. Essendo inoltre il cavo
rettilineo e quindi a freccia nulla, non sussiste alcun carico
verticale distribuito.
Osservazione: Applicando trasformazioni lineari risultante è
possibile progettare un tracciato del cavo che eviti la formazione
di reazioni iperstatiche, senza peraltro alterare il sistema
equivalente. Una tale disposizione del cavo viene denominata
“Cavo Concordante”.
Figura 7.14 – Posizione del cavo concordante per la trave di figura
7.13
Nel caso dell’esercizio 7.5, la reazione iperstatica Ys-V può essere
annullata a patto di applicare una particolare trasformazione
lineare ovvero scegliere l’angolo della d’inclinazione del cavo in
maniera che si annulli la reazione iperstatica Ys, e il sistema
equivalente sia ancora costituito da una forza di compressione N e
un momento M=Ne.
Poiché dall’esercizio 7.5 è risultato che Ys=3/2Ne/L, per annullare
quest’ultima basta imporre la condizione seguente:
3 N e
 N  0
2 L
Dalla quale si evince che affinché il cavo sia concordante deve
avere l’inclinazione seguente:

3 e
2L
Esempio 7.6: determinare il cavo concordante della trave
continua a due campate illustrata in figura dove il cavo in
entrambe le testate e nell’appoggio centrale passa per il
baricentro della sezione e possiede in mezzeria una freccia f=34.2
cm.
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R
Si procede risolvendo la struttura utilizzando il metodo delle forze.
Il sistema principale adottato è una trave semplicemente
appoggiata ottenuta dalla trave continua sopprimendo l’appoggio
centrale. La reazione (iperstatica) R dovuta ad un carico
uniformemente distribuito p vale, come noto, R=1.25pL. Tenendo
conto dell’espressione del carico distribuito equivalente alla
precompressione e che nell’appoggio intermedio la reazione
equivalente alla precompressione vale 2 N , si ha che per
annullare R utilizzando il cavo di precompressione si deve
rispettare la relazione seguente:
8 Nf
Nf

L  10
L
L2
Nf
5f
5  34 .2
1
2 N  10



L
L
2740
16
R  1 .25 pL  1 .25
Utilizzando il sistema di riferimento x,y indicato in figura per
descrivere la geometria del cavo, ne discende che partendo da una
posizione del cavo orizzontale, per annullare R esso dovrà essere
inclinato dell’angolo 
  
4f
1 4  34.2


 0.0125
L
16
2740
Infatti l’angolo d’inclinazione del cavo rispetto alla corda vale 4f/L
mentre l’angolo necessario per annullare la reazione iperstatica
vale .
Nel caso dell’esempio  = 0.0125 e quindi l’eccentricità del cavo
nell’appoggio varrà
e'  L  0.0125 2740cm  34.2 cm


f
4f/L

Figura 7.15 – L’angolo di inclinazione 
La disposizione del cavo concordante è in definitiva quella
indicata nella seguente figura dove in mezzeria l’eccentricità del
cavo, prima pari a 34.2 cm ora si è ridotta di 17.1 cm. Infatti il
cavo in mezzeria ad opera della trasformazione lineare si è
sollevato di  L/2= 17.1 cm, ed essendo la freccia costante e pari a
34.2 cm, l’eccentricità residua risulta pari a e=34.2-17.1=17.1 cm
Figura 7.16 – Disposizione del cavo concordante
Da quanto esposto in precedenza ne discende che per strutture
iperstatiche un metodo per progettare l’andamento del cavo
potrebbe essere quello di scegliere l’andamento dei centri di
pressione in maniera tale da contrastare opportunamente il carico
esterno e trovare successivamente la posizione del cavo
concordante, cioè quel cavo che annulla la reazione iperstatica.
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Fabrizio Paolacci – Progetto di travi in c.a.p
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Ad esempio, nel caso della trave continua illustrata
precedentemente, noto N e detto p il valore del carico distribuito
equivalente e p0 il carico distribuito esterno, la linea delle
pressioni può essere scelta imponendo che il carico esterno sia pari
al carico distribuito equivalente alla precompressione:
Nota la freccia f del cavo e fissati i punti di passaggio del cavo
nelle testate della trave è possibile calcolare il momento M3 e
quindi il luogo dei centri di pressione. Successivamente si può
ruotare il cavo affinché nell’appoggio intermedio sia nulla la
reazione iperstatica R, seguendo il procedimento prima illustrato.
Il metodo appena illustrato prende spunto dal metodo detto “della
compensazione dei carichi esterni” che fu proposto da Lin nel
1963 [Lin, 1963]
Per travi a geometria più complessa come le travi continua su più
appoggi la ricerca del cavo concordante può non essere attuabile in
quanto esistono termini di accoppiamento tra le reazioni
iperstatiche che le rendono interdipendenti. A meno di casi
particolari, ciò impedisce evidentemente l’esistenza di un cavo
concordante.