Concetti legati all’incertezza statistica
• Modello deterministico: ogni risposta è una
funzione dell’input che inserisco. Ossia ad un
determinato input corrisponde un preciso output,
secondo una funzione del tipo y = f(x). Modello
astratto non presente in natura.
• Modello stocastico: ad un determinato input
corrisponde un “qualche” output. Esempio: Se
gioco all’enalotto ho una probabilità su un milione
di vincere. Con questo sistema valuto la probabilità
che il mio modello funzioni, ossia dato x quale
probabilità per f(x)? Modello più vicino alla realtà.
Concetti legati all’incertezza statistica
• Variabile aleatoria: una variabile w assume un
insieme di valori wi. In un modello stocastico noi
possiamo conoscere la probabilità di avere un
determinato valore di w.
• Gli indici di dispersione (range, scarto medio
assoluto, varianza, deviazione standard) ci danno
un’idea dell’incertezza di come si distribuisce una
certa variabile aleatoria.
La probabilità
La probabilità è un modo per valutare il grado
di incertezza di un determinato risultato
La probabilità si esprime su una scala da 0 a 1
p = 0 (il risultato è impossibile)
p=0,5 (il risultato si avverrà nel 50% dei casi)
p=1 (il risultato è sicuro)
Quale definizione per probabilità?
Il calcolo delle probabilità nasce dallo studio dei “giochi di sorte”.
In questo caso il numero di casi possibili è comunque finito e i casi in condizioni regolari (senza
trucchi) sono equiprobabili (condizione di simmetria). Da questo tipo di approccio nasce
 la definizione matematica o a priori e di probabilità
Condizioni:
1)
Casi in numero finito o comunque ridotto - limitato
2)
Casi equiprobabili (implica la conoscenza a priori della probabilità di un determinato evento)
Ossia la definizione classica di probabilità:
P(E) = n°casi favorevoli / n°dei casi possibili
Esempi:
a)
Probabilità Testa o Croce
b)
Probabilità Dado
c)
Probabilità di estrarre una determinata carta
d)
il 13 nella ruota di Venezia
Vale la regola: 0 ≤ P(E) ≤ 1
P(E) = 0 Evento impossibile
P(E) = 1 Evento certo
Quale definizione per probabilità?
Però se, ad esempio, il 13 non esce sulla ruota di Venezia da un po’ di tempo, si tende ad affermare che
la probabilità della sua uscita è più elevata. Su cosa si basa questa nostra affermazione?

Definizione delle probabilità a posteriori o frequentista
Nel caso in cui si parli di probabilità frequentista, vengono meno le condizioni della definizione a priori
della probabilità, ossia il numero dei casi non è più finito e non esistono più le condizioni di
equiprobabilità! Si passa dallo studio delle probabilità nei giochi a sorte in quello demografico, sociale,
biologico…
Frequenza relativa di un fenomeno:
fr(E) = k/n
Ossia un evento E si presenta k volte in n prove (nelle stesse condizioni). La sua frequenza relativa varia
tra 0 e 1.
Si parla anche della Stabilità della frequenza relativa ossia per un insieme molto numeroso di
osservazioni empiriche di prove effettuate in modo indipendente, sotto condizioni identiche la frequenza
relativa presenta una sorta di quasi stabilità.
Esempio: Avere i capelli neri è equiprobabile ad avere i capelli rossi? Le mie informazioni si basano
sulla mia esperienza passata e attuale.
Quale definizione per probabilità?
Evidentemente con un numero basso di prove la frequenza relativa mal si adegua, variando in
modo molto sensibile.
Definizione frequentista di probabilità o di probabilità a posteriori: “Il limite della frequenza
relativa quando n (n prove), tende ad infinito (o comunque è molto grande) si chiama probabilità a
posteriori dell’evento considerato”.
PROBABILITA’
Esempio:
Lancio moneta 40.000 volte e la testa si presenta 20.520 volte.
P*(E) = 20.520/40.000 = 0.513  P(E) =1/2 =0.5
N° EVENTI
Quale definizione per probabilità?
1.
2.
3.
Definizione classica (Bernoulli, 1713): la probabilità,
P(E), di un evento E è il rapporto tra il numero di casi
favorevoli (al manifestarsi di E) e il numero di casi
possibili, giudicati ugualmente possibili.
Definizione frequentista (Von Mises, 1928): la
probabilità di une evento è il limite cui tende la
frequenza relativa di successo, su un numero di prove
giudicato sufficientemente elevato.
Definizione soggettiva (De Finetti, inizio 1900): la
probabilità di un evento E, secondo l’opinione di un dato
individuo, è il prezzo p che egli stima equo attribuire ad
un importo unitario esigibile al verificarsi di E.
Quale definizione per probabilità?
Definizione soggettiva: la quota di scommessa che un
individuo, in base alle sue informazioni e opinioni, giudica
equo pagare (farsi pagare) per riscuotere (pagare) l’importo
unitario se si verifica E e nulla se si verifica non E.
Esempio: Scommesse sui cavalli.
Statistica Bayesana e l’implementazione delle informazioni
personali!
Statistica inferenziale
Probabilità
Campione
Popolazione
Statistica inferenziale
Campionamento
La generazione di inferenze valide richiede
l’utilizzo di un campione casuale:
– Dove ogni individuo appartenente alla
popolazione ha la stessa probabilità di selezione
– La probabilità di selezionare un determinato
individuo è uguale per ogni fase del
campionamento
• Campionamento con sostituzione
• Irrilevante per popolazioni grandi
Probabilità e distribuzioni di frequenza
f
QI
65
75
85
95
105
115
125
135
La distribuzione di frequenza di
una popolazione descrive tutti i
possibili esiti di un processo di
campionamento casuale.
3
2,75
2,5
2,25
N. studenti
Dalla distribuzione di frequenza è
possibile calcolare la probabilità di
selezionare
un
individuo
caratterizzato da un determinato
valore.
1
1
1
2
3
1
1
0
2
1,75
1,5
1,25
1
0,75
p(X=95) = 2/11
0,5
0,25
0
65
75
85
95
105
Q.I.
115
125
135
Campionamento
Probabilità e distribuzioni di frequenza
f
QI
1
1
1
2
3
1
1
0
3
2,75
2,5
2,25
N. studenti
Con lo stesso metodo è
possibile calcolare la
probabilità di selezionare
un individuo con X
superiore (o inferiore) ad
un valore soglia
65
75
85
95
105
115
125
135
2
1,75
1,5
1,25
1
p(X>125)
0,75
0,5
0,25
0
65
75
85
95
105
Q.I.
115
125
135
Principali distribuzioni di probabilità
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Distribuzione binomiale (cenni)
Distribuzione di Poisson
Distribuzione uniforme
Distribuzione geometrica
Distribuzione ipergeometrica
Distribuzione normale
Distribuzione normale standardizzata
Distribuzione rettangolare
Distribuzione esponenziale
Distribuzione F di Scenedecor
Distribuzione t di Student
Distribuzione di chi-quadro
Distribuzioni di probabilità
Poiché la somma delle probabilità di tutti gli
eventi alternativi (e possibili) è (e deve essere)
pari a 1 e poiché la probabilità di ciascun
evento è maggiore di zero [P(E) > 0, escluso
l’evento nullo che ha P(E)=0], possiamo
considerare queste probabilità come valori di
una distribuzione di dati e costruire la
distribuzione di probabilità di quel fenomeno.
PROBABILITA’
La distribuzione normale
-σ
+σ
M = media
σ = Deviazione St.
VALORI ASSUNTI DALLA VARIABILE ALEATORIA
La distribuzione normale o distribuzione
Gaussiana è la distribuzione di probabilità più
importante. Ha un andamento campanulare
simmetrico.
La distribuzione normale
(misurazione delle altezze)
f
0
0
0
3
4
4
2
1
0
Distribuzione frequenza altezza
4,5
4
3,5
3
N. studenti
Altezza (cm)
140-145
146-150
151-155
156-160
161-165
166-170
171-175
176-180
181-185
s
186-190
2,5
f
2
1,5
1
0,5
0
140- 146- 151- 156- 161- 166- 171- 176- 181- 186145 150 155 160 165 170 175 180 185 190
Altezza
La distribuzione normale
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Molti fenomeni naturali/sociali sono caratterizzati da una
distribuzione normale
Fenomeni determinati da gran numero di concause
Ogni concausa contribuisce (in modo diverso e
indipendente) ai valori osservati
Altamente improbabile che tutte le concause diano il
massimo possibile contributo
Altamente improbabile che tutte le concause diano il
minimo possibile contributo
Di conseguenza i valori si concentrano lontani dagli
estremi
La Distribuzione Normale Standardizzata
Il fatto che la distribuzione normale contenga le due variabile
m e 2 rendono scomoda e praticamente impossibile la sua
tabulazione. Per questo si ricorre alla distribuzione normale o
standardizzata che non contiene nessun parametro.
Concetto di variabile standardizzata: sostituiamo alle nostre
variabili x1, x2, x3, x4,…, xn, delle nuove variabili che
chiameremo standardizzate u1, u2, u3, u4,…, un che avranno la
caratteristica di avere la media pari a zero e la Varianza
unitaria.
La Distribuzione Normale Standardizzata
La
curva
normale
standardizzata è unica ossia
è rappresentata da una sola
curva, mentre la funzione
normale “generale” descrive
una famiglia infinita di
curve (in funzione del
valore medio e della
varianza).
Proprio
per
questo la normale non è
tabulabile,
mentre
la
normale standardizzata si.
Tavola della Distribuzione Normale Standardizzata
Tavola della Distribuzione
Normale Standardizzata: ci
fornisce
l’informazione
areale della probabilità totale
compresa tra due limiti
qualunque u1 e u2. In
generale vista la simmetria
della distribuzione la tavola
contiene solamente i valori
delle probabilità comprese
tra lo zero e l’ascissa +u.
Tavola della Distribuzione Normale Standardizzata
Tavola della Distribuzione Normale Standardizzata
Avendo a disposizione
una tavola relativa alla
probabilità
totale
compresa tra due limiti
qualunque u1 e u2
(corrispondente
alla
aree) ed essendo la
curva simmetrica, posso
calcolare agevolmente
la probabilità che una
misura cada tra due
valori qualunque.
Tavola della Distribuzione Normale Standardizzata
z e la distribuzione normale
• In una distribuzione normale
esiste
un
rapporto
ben
determinato fra il valore di z e il
numero di osservazioni con X
entro una determinata distanza
dalla media
• Tabella dei valori
• Utilizzando la distribuzione
normale è possibile calcolare la
probabilità che un’osservazione
abbia un valore superiore (o
inferiore) ad una determinata
soglia.
34,13%
13,59%
-2
+2
-1

2,28%
+1
INFERENZA STATISTICA
L’inferenza statistica: dal campione quali
considerazioni posso fare sulla popolazione di
provenienza? Si chiama inferenza statistica
quel processo che sulla base di informazioni
contenute in un campione, permette di
giungere a conclusioni relative alla
popolazione dalla quale proviene il campione.
Campioni e Popolazione
TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
Il Teorema del Limite Centrale afferma che:
1.
2.
3.
La distribuzione di MC (Medie Campionarie) sarà
approssimabile alla Distribuzione Normale.
La Media di MC è uguale alla media della popolazione
d’origine:
MCm = m
La Deviazione Standard di MC è l’Errore Standard calcolato
sulla popolazione (funzione sia della Deviazione Standard della
popolazione sia della numerosità del campione):
X 

n
Il teorema del limite centrale
L’errore di campionamento diminuisce in rapporto
alla radice quadrata di n.
Esempio: Una certa popolazione finita ha come σ(x)=100. La
distribuzione delle medie dei campioni costituita da n unità ha allora come
σ (x) (deviazione standard della media; x segnato) i seguenti valori:
n:
4
9
16
…
100
….
10.000
σ (x): 50
33.3
25
…
10
….
1.
Quando n è molto grande σ (x) è molto piccolo e al limite, per:
n che tende ad infinito, σ (x) tende a zero
L’errore standard come
misura di affidabilità
• Nella maggior parte degli studi si utilizza un
solo campione
• La dove l’errore standard è elevato è
probabile che diversi campioni produrranno
risultati diversi
– Simulazione: ripetizione degli esperimenti
• Lo studio dell’errore standard consente di
determinare l’affidabilità del campione
L’ ERRORE STANDARD
• L’errore standard ci offre da una parte
la possibilità di STIMARE la media
della popolazione, dall’altra ci
consente
di
determinare
l’AFFIDABILITA’ del campione.
Inferenza statistica e Teoria della Stima
Alla base della Statistica c’è la stima. Sulla base dei
risultati tratti da un campione, si effettua una stima
della variabile oggetto di studio o meglio una stima
della statistica che rappresenta quella variabile (ad
esempio media).
La stima fatta sulla base di un campione viene
validata con i metodi di Statistica inferenziale.
Stima puntuale VS Stima intervallare
Stima puntuale
Estraiamo un campione casuale di n osservazioni x1, x2, ..., xn e
stimiamo m con la media aritmetica delle n osservazioni.
Stima dell’intervallo (Neyman, 1935)
Determinare l’intervallo entro il quale ricade un valore e con quale
probabilità. Ad esempio: l’altezza dei residenti nella regione FriuliVenezia Giulia è compresa tra 1,70 e 1,85 con una probabilità del 75%.
Teoria della Stima intervallare
Si deve determinare un intervallo di xc che contenga con una certa
probabilità il valore incognito. Proprio per questo si introduce il concetto di
limiti di confidenza o limiti fiduciari: la probabilità che un valore cada
dentro un certo intervallo deve essere molto grande (per essere sicuri che il
valore vi ricada), per cui si definisce il coefficiente di confidenza:
Coefficiente di confidenza = 1 - 
Dove  sia molto piccolo. Gli statistici usano per convenzione quasi universale
1 = 0.05 = 5%
(2 = 0.01 = 1%)
per cui i limiti di confidenza
1 - 1 = 95%
(1- 2 = 99%)
Stima dell’intervallo di confidenza per la media
in popolazioni normali
Alcune considerazioni sull’intervallo che contiene u (la media standardizzata) con
una probabilità pari al 95%.
Pr [-u(α/2) < u < +u(α/2)] = 95%
Area compresa sotto la curva deve essere 95% ossia 0,95. Per individuare il valore
di u devo dividerla a metà (0,95/2= 0,475) e trovare sulla tabella il valore di u
corrispondente, che è 1,96.
Pr [-1,96 < u < +1,96] = 95%
Stima dell’intervallo di confidenza per la media
in popolazioni normali
Se vogliamo stimare l’intervallo di confidenza per la media in
popolazioni normali, il problema può essere posto nei
seguenti termini:
1. Da una popolazione distribuita in modo normale avente
come deviazione standard  (noto) si estrae un campione
casuale, costituito da n unità la cui media è MC (media
campionaria).
2. Si vuole determinare un intervallo attorno ad MC il quale
contenga, con una certa probabilità, la media ignota della
popolazione, m .
ESERCIZIO
Un campione casuale di n=100 osservazioni ha come media M = 50 e
proviene da una popolazione normalmente distribuita con deviazione
standard  = 10. Calcolare i limiti entro i quali è contenuta la media della
popolazione m al livello del 95%.
Al livello del 99%.