a
13
lezione di laboratorio
Laurea Specialistica
in
Ingegneria Matematica
Ingegneria dei Sistemi Energetici
a.a. 2007-2008
Interfaccia grafica pdetool
Digitando il comando pdetool in CW si apre la seguente
schermata:
Esercizio 1
Risolvere il seguente problema ellittico con condizioni al
contorno miste Dirichlet/Neumann

 u  1
in 

su  0
u  0
 u

 sin( x ) su  1
 n
u
dove
n
Si assume
è la derivata nella direzione normale uscente da
   1,1   1,1 ,
1   x  1,  1  y  1 , 0   \ 1 .
.
Sessione di lavoro del pdetool
La sessione di lavoro si divide in sei fasi:
1) Descrizione del dominio (Draw Mode)
2) Descrizioni delle condiz. al c. (Boundary Mode)
3) Descrizione del problema (PDE Mode)
4) Generazione della mesh (Mesh Mode)
5) Soluzione del problema (Solve PDE)
6) Visualizzazione della soluzione (Plot
Solution)
Queste procedure sono accessibili dal menu della finestra sotto le
opzioni Draw, Boudary, PDE, Mesh, Solve e Plot oppure dalla
toolbar
Options Menu
Grid
Grid Spacing
visualizza la griglia nell’area del disegno on/off;
permette di scegliere quanto deve essere fitta la griglia;
l’oggetto che viene disegnato è costretto ad aderire alla griglia, se
questa opzione è selezionata;
Axes Limits
permette di selezionare la lunghezza dell’intervallo x e
della y;
Axes Equal
impone la stessa scala per x e y;
…..
Application
permette di scegliere l’applicazione; quella predefinita
è Generic Equation, ma ve ne sono altre come
l’equazione stazionaria del calore (Heath Equation).
Snap
Draw Mode
Disegna un rettangolo/quadrato a partire dall’angolo
Disegna un rettangolo/quadrato a partire dal centro
Disegna un ellisse/cerchio a partire dall’angolo
Disegna un ellisse/cerchio a partire dal centro
Disegna un poligono
Draw Mode
Si selezioni l’icona
. Si porti il cursore ne punto di coordinate
(-1,1) e tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, si porti il
cursore nel punto di coordinate (1,-1) e poi si rilasci; si otterrà:
Si può memorizzare
il file relativo per
utilizzarlo in altri
contesti con lo stesso
dominio andando in
menu file con
l’opzione save
Boundary Mode
Le condizioni al
contorno
possono essere
definite
andando a
selezionare
l’icona
Colori:
rosso indica una condizione di D.
blu indica una condizione di N.
verde indica una condizione di tipo misto
Condizioni al contorno
PDE Mode
Per impostare il tipo di problema da risolvere si può selezionare
direttamente l’icona
Mesh Mode
Per generare la triangolazione (mesh) si seleziona l’opzione mesh
dal menu e poi Initialize Mesh oppure cliccando
direttamente l’icona
Mesh Mode
Si può decidere di raffinare la mesh, cioè di generare triangoli
più piccoli ciccando sull’icona
Si possono
modificare i
parametri che
controllano la
generazione
della mesh
selezionando
Parameters
dal menu Mesh.
Solve Mode
Per calcolare la soluzione del problema si selezioni l’icona
La soluzione
può essere
esportata nel
workspace
come un
vettore
selezionando
l’apposita
opzione dal
menu
solve.
Plot solution
Si può modificare la presentazione
del risultato selezionando l’opzione
Plot e poi Parameters dal menu
oppure cliccando l’icona
Verrà aperta la finestra:
Color
consente di graficare la grandezza desiderata (in genere la soluzione
approssimata) con una superficie colorata;
Contour visualizza la grandezza desiderata usando le curve di livello;
Arrows disegna delle frecce per indicare l’andamento del campo vettoriale;
Deformed Mesh dà una rappresentazione deformata del dominio, la
deformazione dipende dal modulo del gradiente;
Height
di default disegna la superficie (x,y,u), tuttavia è possibile scegliere
la grandezza che si desidera rappresentare sull’asse delle z
utilizzando il menu a tendina;
Contour plot levels indica quante curve di livello disegnare;
Show mesh
rappresenta la griglia nel grafico;
Colormap
indica quali colori usare per la rappresentazione grafica.
Per salvare il
modello del
problema studiato e
la corrispondente
soluzione si seleziona
dal menu file
l’opzione save.
Esercizio 2
Risolvere il seguente problema
 u  2 y  1  y   2 x  1  x  in 

su 
u  0
con    0,1   0,1 .
Sapendo che la soluzione è:
u  x, y   xy 1  x 1  y  ,
calcolare l’errore assoluto e
verificare se, con successivi
raffinamenti della mesh,
l’errore diminuisce.
Boundary Mode
PDE Mode
u  2 y 1  y   2 x 1  x  in 
Mesh Mode
Rappresentazione della soluzione
Errore
Err=
abs(u-(x.*y.*(1-x)
.*(1-y)))
Errore dopo aver raffinato la mesh
Esercizio 3
Sia dato il seguente problema
 u  ( x 2  y 2 )u  0

x
u
x
,
0

1,
u
x
,
1

e





 u 0, y  1, u 1, y  e  y

 
 
con    0,1   0,1 .
Calcolare l’errore assoluto
sapendo che la soluzione è:
u  x, y   e  xy .
in 
x   0, 1
y   0, 1
Boundary Mode
PDE Mode
u  ( x 2  y 2 )u  0
in 
Mesh Mode
Rappresentazione della soluzione
Errore
Err=
abs(u-exp(-x.*y))
Esercizio 4
Risolvere il seguente problema di tipo iperbolico:
  2u
 t 2  u  u  1 in  , t   0, 3

u  0
su 

 u  x , y, 0   sin  x  y 

 u '  x , y, 0   x  y
dove  è il dominio
mostrato in figura, ed è dato
dall’unione di due
circonferenze C1 e C2 di
raggio unitario e di centro
rispettivamente (-0.5,0) e
(0.5,0).
N.B. t varia in [0,3] con
passo 0.2.
Boundary e PDE Mode
 2u
 u  u  1 in , t   0, 3
2
t
Mesh Mode
Solve Mode
  2u
 t 2  u  u  1 in  , t   0, 3

u  0
su 

 u  x , y, 0   sin  x  y 

 u '  x , y, 0   x  y
Risultati visibili in Command Window quando
si fa calcolare la soluzione
341 successful steps
18 failed attempts
720 function evaluations
1 partial derivatives
70 LU decompositions
719 solutions of linear systems
Rappresentazione della soluzione
Time=3 Color: u Height: u
Time=0 Color: u Height: u
1
0.8
0.8
0.6
1.5
0.6
1
1
0.4
0.4
0.2
0.5
0.5
0.2
0
0
-0.5
-0.2
-1
1
-0.4
0
-0.2
0
-0.4
1
-0.6
-0.5
0.5
2
1
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-0.6
-0.8
0
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1
-0.8
Animazione
Soluzione per t=0 e sue derivate parziali
Time=0 Color: u Height: u
0.8
0.6
1
0.4
0.2
0.5
0
-0.2
0
-0.4
1
-0.5
-0.6
0
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-0.8
-1
Time=0 Color: ux Height: ux
Time=0 Color: uy Height: uy
4
2
5
0
0
2
5
0
-2
0
-5
-4
-5
-10
-6
-2
-4
-6
-10
-8
-8
-15
1
0.5
2
-10
0
-0.5
-1
-1
-2
-10
0.5
1
0
-15
1
-12
2
1
0
-12
0
-0.5
-1
-1
-2
-14