Appunti del Corso di
Geometria Superiore
Elementi di Teoria delle Curve Algebriche
Massimo Giulietti
Indice
Prefazione
4
Capitolo 1. Generalità sulle varietà algebriche
1. Varietà affini
2. Proprietà locali
3. Il caso delle curve
4. Varietà proiettive
5. Mappe razionali
6. Alcuni richiami sulle estensioni di campi
5
5
8
12
14
16
20
Capitolo 2. Richiami sulle curve algebriche piane
1. Definizioni
2. Punti semplici e singolari
3. Risultante di due polinomi
4. Intersezione di due curve in senso esteso
5. Molteplicità di intersezione e valutazioni
23
23
24
26
27
28
Capitolo 3. Valutazioni, Divisori, Zeri e Poli
1. DVR di campi di funzioni algebriche
2. La corrispondenza punti-valutazioni
3. Valutazioni e mappe razionali
4. Immagini di mappe razionali
5. Trasformazioni quadratiche di curve piane
6. Espansione in serie di Laurent
7. Zeri e poli
8. Divisori
30
30
31
32
36
37
39
44
47
Capitolo 4. Genere, Divisori canonici, Teorema di Riemann-Roch, Semigruppo di Weierstrass
1. Genere e Teorema di Riemann
2. Il genere di una curva piana non singolare
3. Caratterizzazione delle curve di genere 0 e 1
4. Derivazioni, differenziali, divisori canonici
5. Teorema di Riemann-Roch
51
51
52
57
59
70
Capitolo 5. Ricoprimenti
1. L’uguaglianza fondamentale
2. Il teorema di Hurwitz
3. Automorfismi di una curva e ricoprimenti di Galois - Curve Quoziente
71
71
72
75
Capitolo 6. Curve in dimensione superiore
1. Serie lineari
2. Divisori, equivalenze birazionali e immersioni
3. Invarianti Hermitiani
4. Sequenza degli ordini
82
82
84
85
86
3
INDICE
5. Divisore di ramificazione
6. L’iperpiano osculatore
Bibliografia
4
89
91
92
Prefazione
Queste note raccolgono il materiale oggetto di alcune lezioni del Corso di Geometria Superiore (del Corso di Laurea
Magistrale in Matematica, Università degli Studi di Perugia, Anno Accademico 2010/2011).
L’argomento portante del corso sono le curve algebriche, intese come varietà algebriche proiettive di dimensione 1. I
prerequisiti del corso sono stati affrontati, oltre che nei corsi di Algebra e Geometria del primo biennio, nei corsi di
Geometria 4 (curve algebriche piane), Algebra 3 (insiemi algebrici e varietà, anello delle funzioni regolari, Teorema degli
Zeri di Hilbert) e Geometria 6 (spazio tangente ad una varietà algebrica, dimensione di una varietà algebrica). Tali
prerequisiti sono qui riportati in modo molto sintetico nei Capitoli 1 e 2.
L’approccio allo studio delle curve seguito in questo Corso è essenzialmente birazionale, ovvero tenderemo a considerare
due curve birazionalmente equivalenti come lo stesso oggetto. Le principali conseguenze di questa scelta sono due. Da
un lato, siccome ogni curva è birazionalmente equivalente a una curva piana, buona parte del corso verterà sullo studio
delle curve piane. Dall’altro, dato che due curve sono birazionalmente equivalenti se e solo se i loro campi di funzioni
sono isomorfi, molti dei concetti e dei risultati che vedremo saranno di natura essenzialmente algebrica.
I libri di testo che contengono il materiale di questi appunti sono molti. Lo studente è invitato in particolare a consultare
il libro di Reid [7] per quanto attiene agli aspetti generali sulle varietà, i testi di Fulton [4] (disponibile online) e OrzechOrzech [6] per gli aspetti geometrici della teoria delle curve, i testi di Chevalley [2] e Stichtenoth [9] per un approccio
puramente algebrico. Per quanto riguarda gli argomenti finali più specifici, quali il gruppo di automorfismi di una curva
algebrica, un ottimo riferimento è la recente monografia di Hirschfeld-Korchmáros-Torres [5]. I punti salienti del percorso
di queste dispense sono i seguenti:
• Proprietà locali delle curve algebriche affini. Un punto è semplice se e solo se il suo anello locale è un DVR.
Proprietà generali dei DVR e delle valutazioni associate.
• Mappe razionali dominanti e pull-back. Caratterizzazione dell’immagine di un punto mediante anelli locali.
• Curve birazionalmente equivalenti. Teorema dell’elemento primitivo e conseguenze.
• Richiami sulla molteplicità di intersezione di due curve piane. Valutazione in un punto semplice di una curva
piana espressa tramite la molteplicità di intersezione. Teorema degli zeri per curve piane non singolari.
• Caratterizzazione dei DVR di un campo di funzioni algebriche.
• Il concetto di centro di un DVR.
• Mappe razionali di curve viste come mappe fra i DVR delle curve.
• Come “concretizzare” i DVR centrati in un punto: le trasformazioni quadratiche.
• Espansione in serie di Laurent. DVR come classi di monomorfismi nel campo delle serie di Laurent.
• Teorema di indipendenza e prima parte del Teorema degli zeri.
• Divisori. Proprietà generali. Conclusione del Teorema degli zeri.
• Genere e Teorema di Riemann. Genere di una curva piana non singolare.
• Derivazioni e differenziali. Divisori canonici. Genere come grado di un divisore canonico.
• Teorema di Riemann-Roch (senza dimostrazione). Applicazioni al semigruppo di Weierstrass.
• Ramificazione. L’uguaglianza fondamentale per mappe razionali.
• Il Teorema di Hurwitz.
• Mappe razionali di Galois. Formula del differente di Hilbert (senza dimostrazione).
• Gruppi finiti di automorfismi di una curva.
5
CAPITOLO 1
Generalità sulle varietà algebriche
1. Varietà affini
Sia K un campo algebricamente chiuso e sia An (K) = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ K} lo spazio affine n-dimensionale su K.
Sia I un ideale di K [X1 , . . . , Xn ]. Si definisce insieme algebrico affine associato ad I il sottoinsieme V (I) di An (K)
V (I) = {(a1 , . . . , an ) ∈ An (K) | f (a1 , . . . , an ) = 0 ∀ f ∈ I} .
Ricordiamo che un anello commutativo R si dice Noetheriano se ogni ideale di R è generato da un numero finito di
elementi di R. Si può dimostrare che R è Noetheriano se e solo se per ogni catena ascendente di ideali I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ . . .
in R, esiste n ≥ 1 tale che In+1 = In+2 = In+3 = . . . . Un campo K è sempre Noetheriano dato che K non contiene ideali
non banali.
Teorema 1.1 (Teorema della Base di Hilbert). Sia R un anello Noetheriano. Allora l’anello dei polinomi R[X] è
Noetheriano.
Corollario 1.2. Sia K un campo. Allora K[X1 , . . . , Xn ] è Noetheriano.
Dimostrazione. Si usi il Teorema della Base di Hilbert, e si proceda per induzione su n.
Ogni ideale di K[X1 , . . . , Xn ] ammette quindi un insieme finito di generatori. Scriveremo I = hf1 , . . . , fm i quando I è
generato dai polinomi f1 , . . . , fm ∈ K[X1 , . . . , Xn ].
Nota 1. Se I = hf1 , . . . , fm i, allora V (I) è l’insieme delle soluzioni delle equazioni polinomiali
f1 (X1 , . . . , Xn ) = f2 (X1 , . . . , Xn ) = . . . fm (X1 , . . . , Xn ) = 0 .
Dimostrazione. Sia Z = {(a1 , . . . , an ) ∈ An (K)|fi (a1 , . . . , an ) = 0 ∀ i = 1, . . . , m}. Chiaramente si ha Z ⊂ V (I).
D’altro canto, siccome ogni f ∈ I è uguale a g1 f1 + . . . + gn fn per qualche gi ∈ K[X1 , . . . , Xn ], f (a1 , . . . , an ) = 0 segue
da fi (a1 , . . . , an ) = 0 per ogni i = 1, . . . , m.
Pertanto ogni insieme algebrico affine può esser visto come il luogo degli zeri di un insieme finito di polinomi.
Proposizione 1.3. Siano V1 , V2 insiemi algebrici affini. Allora sia V1 ∪ V2 che V1 ∩ V2 sono insiemi algebrici affini.
Dimostrazione. Sia V1 = V (hf1 , . . . , fm i),
V (hf1 , . . . , fm , g1 , . . . , gh i). Affermiamo inoltre che
V2
=
V (hg1 , . . . , gh i).
È immediato che V1 ∩ V2
=
V1 ∪ V2 = W = V (hf1 g1 , f1 g2 , . . . , f1 gh , f2 g1 , . . . , fm gh i) .
Infatti fi gj (a1 , . . . , an ) = 0 per ogni i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , h implica che o fi (a1 , . . . , an ) = 0 per ogni i = 1, . . . , m,
oppure gj (a1 , . . . , an ) = 0 per ogni j = 1, . . . , m. Questo dimostra che W ⊂ V1 ∪ V2 , da cui W = V1 ∪ V2 dato che l’altra
inclusione è ovvia.
Può capitare che per due ideali distinti I, J ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] gli insiemi algebrici affini V (I) e V (J) coincidano. Per
esempio V (hf i) = V (hf 2 i) per ognif ∈ K[X1 , . . . , Xn ].
Definizione 1.4. Sia V ⊂ An (K) un insieme algebrico affine. Allora l’ideale di V si definisce come
I(V ) = {f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] | f (a1 , . . . , an ) = 0, ∀(a1 , . . . , an ) ∈ V } .
6
1.
VARIETÀ AFFINI
7
Un’ovvia relazione fra I e I(V (I)) è che I ⊂ I(V (I)). Più precisamente, vale il seguente famoso teorema di Hilbert.
Teorema 1.5 (Hilbert Nullstellensatz).
√
I(V (I)) = I = {f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] | f m ∈ I per qualche m ∈ Z, m ≥ 1} .
Si noti che tale risultato non vale se K non è algebricamente
chiuso. Per esempio, se K = R e I = hx2 + 1i ⊂ R[x], l’ideale
√
I(V (I)) coincide con l’intero R[x] ma f (x) = 1 ∈
/ I.
Vale anche la seguente proposizione (ricordiamo che K[X1 , . . . , Xn ] è un UFD).
Proposizione 1.6. Sia I = hf i. Se f = f1r1 · · · fhrh è fattorizzazione di f , allora
√
I = hf1 · · · fh i
Proposizione 1.7. V = V (I(V ))
Dimostrazione. Dalla Definizione 1.4, V ⊂ V (I(V )). Sia V = V (I), e si assuma che esista (a1 , . . . , an ) ∈ V (I(V )) \
V . Allora f (a1 , . . . , an ) 6= 0 per qualche f ∈ I. Ma questo è impossibile dato che I ⊂ I(V (I)) = I(V ) e (a1 , . . . , an ) ∈
V (I(V )).
Definizione 1.8. Un insieme algebrico V ⊆ An (K) si dice riducibile se V = V1 ∪ V2 con V1 , V2 ⊆ An (K) insiemi algebrici
affini diversi da V . Si dice irriducibile altrimenti.
Proposizione 1.9. V ⊆ An (K) è irriducibile se e solo se I(V ) è un ideale primo.
Dimostrazione. Sia V = V (I) irriducibile. Siano f, g ∈ K[X1 , . . . , Xn ] tali che f g ∈ I(V ). Si noti che V =
(V ∩ V (hf i)) ∪ (V ∩ V (hgi)), con V ∩ V (hf i), V ∩ V (hgi) insiemi algebrici affini dalla Proposizione 1.3. Allora o V =
V ∩ V (hf i) oppure V = V ∩ V (hgi), da cui f o g appartiene I(V ).
Viceversa, supponiamo che I(V ) sia primo e che V = V (I1 ) ∪ V (I2 ). Dobbiamo provare che V = V (I1 ) oppure V = V (I2 ).
Sia I1 = hf1 , . . . , fr i e I2 = hg1 , . . . , gs i. Possiamo assumere che esistano i0 , j0 tali che fi0 , gj0 ∈
/ I(V ), altrimenti V = V (I1 )
o V = V (I2 ), dato che tutti gli fi o tutti gli gj appartengono a I(V ). Ma fi0 gj0 si annullano in tutti i punti di V , da cui
fi0 gj0 ∈ I(V ), una contraddizione.
Definizione 1.10. Un insieme algebrico affine irriducibile si dice varietà affine.
Proposizione 1.11. Ogni insieme algebrico V ⊆ An (K) si può scrivere come unione finita
V = V1 ∪ . . . ∪ Vm ,
dove ogni Vi è una varietà affine.
Per la dimostrazione si veda ad esempio [3, Theorem 2, p. 201].
1.1. Anello delle coordinate affini e campo delle funzioni razionali.
Definizione 1.12. Sia V una varietà affine. Allora si dice anello delle coordinate affini di V l’anello quoziente K [V ] =
K [X1 , . . . , Xn ] /I(V ).
Un generico elemento α di questo anello è una classe di equivalenza α = f + I(V ), con f ∈ K [X1 , . . . , Xn ]. Si ha che
(1)
f + I(V ) = g + I(V ) ⇔ f − g ∈ I(V ).
Pertanto è ben definita l’applicazione
α̃ : V → K, α̃(a1 , . . . , an ) = f (a1 , . . . , an ).
Dalla Proposizione 1.9 si ha che K [V ] è un dominio di integrità.
1.
VARIETÀ AFFINI
8
Definizione 1.13. Sia V una varietà affine. Si definisce campo delle funzioni razionali K (V ) di V il campo dei quozienti
di K [V ], ovvero
f + I(V )
K(V ) =
| f, g ∈ K [X1 , . . . , Xn ] , g ∈
/ I(V ) ,
g + I(V )
f2 + I(V )
f1 + I(V )
=
se e solo se f1 g2 − f2 g1 ∈ I(V ).
dove
g1 + I(V )
g2 + I(V )
Osserviamo che se V ⊆ An (K) è una varietà affine allora
K(V ) = K(x̄1 , . . . , x̄n ),
dove x̄i := xi + I(V ). Infatti, sia α ∈ K(V ), α =
K [V ], α =
f (X1 , . . . , Xn ) + I(V )
. Allora dalla definizione di somma e prodotto in
g(X1 , . . . , Xn ) + I(V )
f (x̄1 , . . . , x̄n )
. Questo prova K(V ) ⊆ K(x̄1 , . . . , x̄n ). L’altra inclusione è banale.
g(x̄1 , . . . , x̄n )
Definizione 1.14. Una funzione razionale α ∈ K (V ) si dice definita (o regolare) in P = (a1 , . . . , an ) ∈ V se esistono
f + I(V )
f, g ∈ K [X1 , . . . , Xn ] tali che α =
e g(a1 , . . . , an ) 6= 0. In questo caso è ben definito il valore di α in P :
g + I(V )
f (a1 , . . . , an )
.
α(P ) =
g(a1 , . . . , an )
X + X 2 + hF i
, e sia P = (0, 0).
Y + hF i
−Y 2 − Y 3 + hF i
=
Apparentemente, α non è regolare in P , ma siccome X + X 2 + hF i = −Y 2 − Y 3 + hF i, α =
Y + hF i
2
−Y − Y + hF i
. Quindi α è definita in P e α(P ) = 0.
1 + hF i
Esempio 1.15. Sia F (X, Y ) = X + X 2 + Y 2 + Y 3 , e sia X = V(hF i). Sia α ∈ K(X ), α =
1.2. Dimensione di una varietà affine. Esistono diverse definizioni equivalenti di dimensione di una varietà affine,
alcune delle quali probabilmente già incontrate in corsi precedenti. Daremo qui la definizione più utile per gli scopi del
corso.
Richiamiamo un importante concetto di Algebra.
Sia L : K un’estensione di campi finitamente generata, e siano a1 , . . . , as ∈ L. Gli elementi a1 , . . . , as sono detti
algebricamente indipendenti su K se non esiste un polinomio non nullo P ∈ K[X1 , . . . , Xs ] tale che P (a1 , . . . , as ) = 0. Si
noti che un singolo elemento a ∈ L è algebricamente indipendente se e solo se non è algebrico su K (nel caso in cui K è
algebricamente chiuso, se e solo se a ∈
/ K). Se L : K è algebrica, allora nessun sottoinsieme finito di L è algebricamente
indipendente. Altrimenti diremo che una base di trascendenza di L : K è un insieme finito di elementi di L algebricamente
indipendenti massimale rispetto all’inclusione. Valgono le seguenti proprietà:
1) Ogni due basi di trascendenza hanno lo stesso numero di elementi, chiamato grado di trascendenza di L : K.
2) Se L = K(a1 , . . . , as ), allora esiste una base di trascendenza di L : K contenuta in {a1 , . . . , as }.
Definizione 1.16. Sia V una varietà affine. La dimensione di V è il grado di trascendenza di K(V ) su K.
Richiamiamo la definizione più intuitiva, senza dimostrare l’equivalenza delle due definizioni.
Proposizione 1.17. Sia V una varietà affine di dimensione r. Allora r + 1 è la massima lunghezza di una catena di
varietà affini
V0 ( V1 ( . . . ( Vr
con V0 = ∅ e Vr = V .
Definizione 1.18. Una curva affine è una varietà affine di dimensione 1.
Esercizio 1. Si dimostri che se V ⊂ An (K) allora dim(V ) ≤ n. (Suggerimento: si usi K(V ) = K(x̄1 , . . . , x̄n )).
Proposizione 1.19. Sia V ⊂ A2 (K), V = V (hf i) con f irriducibile. Alllora V è una varietà e dim(V ) = 1.
2. PROPRIETÀ LOCALI
9
Dimostrazione. L’ideale I = hf i è primo dato che f è irriducibile. Pertanto dal Nullstellensatz segue I(V ) = I, e
V è una varietà. Cerchiamo una base di trascendenza B di K(V ) = K(x̄1 , x̄2 ) su K. Siccome K è algebricamente chiuso,
possiamo assumere x̄1 ∈ B. In realtà {x̄1 } = B dato che f (x̄1 , x̄2 ) = 0 dà una relazione di dipendenza algebrica fra x̄1 e
x̄2 .
Nota 2. È immediato che una varietà affine V ha dimensione zero se e soltanto se è costituita da un unico punto. In
virtù della Proposizione 1.17 si ha allora che le uniche varietà affini proprie contenute in una curva affine sono i singoli
punti. Di conseguenza, ogni insieme algebrico affine propriamente contenuto in una curva affine o è vuoto, o è costituito
da un numero finito di punti.
2. Proprietà locali
2.1. Spazio tangente in un punto. Per studiare le proprietà locali dei punti di una varietà affine V definiamo
innanzitutto lo spazio tangente a V in un punto P , concetto che lo studente potrebbe aver già incontrato in altri corsi.
Iniziamo trattando le varietà definite da un ideale principale (le cosiddette ipersuperfici). Sia f ∈ K[X1 , . . . , Xn ], f
irriducibile e non costante, e sia V = V (hf i). Sia P = (a1 , . . . , an ) ∈ V , e sia ` una retta per P . Sia ` costituita
dall’insieme di punti {P + tQ | t ∈ K}, con Q = (b1 , . . . , bn ) tale che P + Q sia punto di ` (diverso da P ). Si ponga
g(t) = f (P + tQ) ∈ K[t].
Si osservi che 0 è radice di g(t).
Proposizione 1.20. Il polinomio g(t) ammette 0 come radice multipla se e solo se ` è contenuta nel sottospazio affine
di equazione
n
X
∂f
(P ) · (Xi − ai ) = 0.
∂X
i
i=1
Dimostrazione. Si ha che 0 è radice multipla di g(t) se e solo se la derivata (formale) di g(t) si annulla in 0. Per
la regola della catena (valida anche per le derivate formali di polinomi) si ha
n
dg X ∂f
=
(P + tQ) · bi = 0.
dt
∂Xi
i=1
Quindi dg (0) = 0 se e solo se
Pn ∂fdt
i=1 ∂Xi (P ) · (Xi − ai ) = 0.
Pn
Il sottospazio affine di equazione
∂f
i=1 ∂Xi (P )
· bi = 0, ovvero se e solo se ogni punto R = P + tQ di ` appartiene a
Pn
∂f
i=1 ∂Xi (P ) · (Xi
− ai ) = 0 si dice lo spazio tangente a V in P e si denota con TP (V ).
Consideriamo ora una varietà affine generica V . Sia P = (a1 , . . . , an ) ∈ V . Si definisce lo spazio tangente a V in P come
il sottospazio lineare
!
n
\
X
∂f
(P ) · (Xi − ai ) = 0 .
TP (V ) =
∂Xi
i=1
f ∈I(V )
Pn ∂f
Osserviamo che se f1 , . . . , fm sono generatori di I(V ), allora per ogni f ∈ I(V ) si ha che i=1 ∂X
(P ) · (Xi − ai ) è
i
Pn ∂fj
combinazione lineare dei polinomi lineari i=1 ∂Xi (P ) · (Xi − ai ). Infatti, dalla regola di derivazione del prodotto, se
f = g1 f1 + . . . + gm fm allora
X
m m
X
∂gj
∂fj
∂fj
∂f
(P ) =
(P ) · f (P ) + gj (P ) ·
(P ) =
gj (P ) ·
(P ).
∂Xi
∂X
∂X
∂X
i
i
i
j=1
j=1
Pertanto la definizione di TP (V ) si può semplificare come segue:
TP (V ) =
m
\
j=1
!
n
X
∂fj
· (Xi − ai ) = 0 .
∂Xi
i=1
2. PROPRIETÀ LOCALI
10
Si noti allora che TP (V ), con P = (a1 , . . . , an ), coincide con
(a1 , . . . , an ) + (c1 , . . . , cn ) | JP · (c1 , . . . , cn )T = (0, . . . , 0)T ,
sottospazio affine di An (K), dove JP è la matrice Jacobiana di f1 , . . . , fm , di tipo m × n, valutata in P .
Proposizione 1.21. Per ogni intero non negativo r si definisca
S(r) = {P ∈ V | dim(TP (V )) ≥ r}.
Allora S(r) è un sottoinsieme algebrico di V .
Dimostrazione. Un punto P appartiene a S(r) se e soltanto se la matrice Jacobiana JP ha rango minore o uguale
di n − r. Questo accade precisamente quando tutti i minori di JP di ordine maggiore o uguale di n − r + 1 sono nulli. Se
si immagina P variabile, questi minori sono polinomi nelle coordinate di P . Questo dimostra l’asserto.
Corollario 1.22. Esiste un intero r per cui la dimensione dello spazio tangente è uguale a r sui punti di V , tranne al
più quelli di un sottoinsieme algebrico proprio.
Dimostrazione. Per definizione si ha
V = S(0) ⊇ S(1) ⊇ S(2) ⊇ . . . ⊇ S(n) ⊇ S(n + 1) = ∅
Sia r il minimo intero per cui S(r + 1) ( V . Per ogni punto P di V \ S(r + 1) allora si ha dim(TP (V )) = r.
Proposizione 1.23. L’intero r del corollario precedente coincide con la dimensione di V .
Non riportiamo in questa sede la dimostrazione della Proposizione 1.23 (probabilmente fatta in altri corsi). Ci limitiamo
ad osservare che l’asserto vale nel caso di varietà di tipo V (hf i), con f ∈ K[X1 , . . . , Xn ], f irriducibile. In tal caso
lo spazio tangente ha dimensione n − 1 tranne per quei punti P che annullano sia f che tutte le sue derivate prime.
Naturalmente questi punti costituiscono un sottoinsieme algebrico proprio di V . Infatti, per banale confronto di gradi si
ha che ∂f /∂Xi ∈ hf i se e solo se ∂f /∂Xi ≡ 0; ma ∂f /∂Xi ≡ 0 per ogni i implicherebbe f riducibile (lo studente rifletta
su questa affermazione, specialmente nel caso in cui la caratteristica di K sia positiva). Quindi r = n − 1. D’altro canto
sappiamo che K(V ) = K(x̄1 , . . . , x̄n ). Supponiamo senza restrizione che f contenga l’indeterminata X1 . Allora è facile
vedere che x̄2 , . . . , x̄n sono algebricamente indipendenti in K(V ). Inoltre l’estensione K(V ) : K(x̄2 , . . . , x̄n ) è algebrica
semplice, e quindi il grado di trascendenza di K(V ) su K è n − 1.
Definizione 1.24. Un punto P di V si dice singolare se
dim(TP (V )) > dim(V ),
semplice se
dim(TP (V )) = dim(V ).
Esercizio 1. Sia f = X 2 − Y 2 Z 2 + Z 3 ∈ C[X, Y, Z]. Si provi che I = hf i è primo e si calcoli la dimensione di TP (V (I))
nei punti P di V (I).
Esercizio 2. Sia f come nell’esercizio precedente e sia g = X + Y + Z ∈ C[X, Y, Z]. Si provi che I = hf, gi è primo e si
calcoli la dimensione di TP (V (I)) nei punti P di V (I). (Suggerimento: si sfrutti il fatto che g(−Y −Z, Y, Z) è irriducibile.)
Esercizio 3. Siano f = Y 2 − X 3 − 1, g = Z 2 − X 5 − X 2 polinomi di C[X, Y, Z]. Si provi che V (hf, gi) è riducibile, si
scriva V come unione di un numero finito di varietà, e si calcoli la dimensione tali varietà.
2. PROPRIETÀ LOCALI
11
2.2. Anello locale in un punto. Il prossimo obiettivo è quello di dare una visione intrinseca dello spazio tangente.
Definizione 1.25. Sia V ⊆ An (K) una varietà affine e sia P un punto di V . L’anello locale di V in P è
K[V ]P := {α ∈ K (V ) : α è regolare in P } .
Richiamiamo alcuni concetti di Algebra.
Le seguenti condizioni sono equivalenti per un anello commutativo unitario R:
1) L’insieme degli elementi non invertibili di R forma un ideale.
2) Esiste un (unico) ideale proprio (massimale) di R che contiene tutti gli ideali propri di R.
L’affermazione segue dal fatto che ogni ideale contenente un elemento invertibile deve coincidere con l’intero anello. Un
anello che soddisfa le condizioni appena descritte si dice anello locale.
Proposizione 1.26. L’anello K[V ]P è un dominio locale Noetheriano.
Dimostrazione. Sia P = (a1 , . . . , an ). Ovviamente K[V ]P è un dominio di integrità essendo contenuto nel campo
K(V ). Per provare che è Noetheriano fissiamo un ideale I di K[V ]P e poniamo J = I ∩ K [V ]. J è banalmente un ideale
di K [V ], il quale essendo quoziente di un anello Noetheriano è a sua volta Noetheriano. Si ha quindi J = hg¯1 , . . . , g¯s i,
f + I(V )
con gi ∈ K [X1 , . . . , Xn ] e g¯i = gi + I(V ) per ogni i = 1, . . . , s. Fissiamo α ∈ I, α =
con g(a1 , . . . , an ) 6= 0;
g + I(V )
β
possiamo anche scrivere α = , con β, γ ∈ K [V ] e γ(a1 , . . . , an ) 6= 0, da cui si ha γα ∈ J. Dato che J = hg¯1 , . . . , g¯s i, si
γ
δ1
δs
δi
ha γα = δ1 g¯1 + . . . + δs g¯s , per qualche δ1 , . . . , δs ∈ K [V ]. Segue allora α = g¯1 + . . . + g¯s con
∈ K[V ]P per ogni
γ
γ
γ
i = 1, . . . , s. Avendo quindi scritto α come combinazione lineare di g¯1 , . . . , g¯s a coefficienti in K[V ]P , possiamo concludere,
per l’arbitrarietà di α, che I è finitamente generato su K[V ]P .
Proviamo ora che K[V ]P è un anello locale. Sia
MP = {α ∈ K[V ]P | α(P ) = 0} .
Banalmente MP è un ideale proprio. Proviamo che contiene ogni altro ideale proprio di K[V ]P . Supponiamo per assurdo
che esista un ideale proprio J non contenuto in MP , e sia β ∈ J \ MP . Allora β risulta invertibile in K[V ]P , essendo
β(P ) 6= 0; pertanto hβi coincide cib l’anello K[V ]P . Ma questo contraddice hβi ⊂ J ( K[V ]P .
L’insieme delle funzioni di K[V ]P che si annullano in P sarà denotato con MP (V ) (o brevemente con MP nel caso in cui
V sia chiara dal contesto). Dalla dimostrazione precedente MP (V ) è un ideale massimale di K[V ]P .
Definizione 1.27. Lo spazio K-lineare MP /MP2 , dove MP2 è l’ideale generato da {f g | f, g ∈ MP }, è chiamato spazio
cotangente a V in P.
Teorema 1.28. Sia V una varietà affine e P un punto di V. Allora
dim(TP (V )) = dim(MP /MP2 ).
Dimostrazione.
• Premesse. Sia I(V ) = hg1 , . . . , gm i.
Assumeremo per semplicità che il punto P sia il punto di coordinate (0, 0, . . . , 0). In questo modo TP (V ) è
un sottospazio vettoriale di K n .
È inoltre immediato verificare che un qualunque elemento di MP è di tipo g(x̄1 , . . . , x̄n )/h(x̄1 , . . . , x̄n ) dove
g è un polinomio privo di termine noto, mentre h(0, . . . , 0) 6= 0; pertanto MP è generato (come ideale di K[V ]P )
dagli elementi x̄1 = X1 + I(V ), . . . , x̄n = Xn + I(V ).
Di conseguenza gli elementi di MP2 sono di tipo g(x̄1 , . . . , x̄n )/h(x̄1 , . . . , x̄n ) dove g è un polinomio privo di
termine noto e di parte lineare, e h(0, . . . , 0) 6= 0.
2. PROPRIETÀ LOCALI
12
Dimostreremo che
TP (V )∗ ∼
= MP /MP2 ,
dove l’isomorfismo è inteso come isomorfismo fra spazi vettoriali su K. L’asserto sarà quindi una banale
conseguenza di questo fatto.
• Sia M l’ideale di K[X1 , . . . , Xn ] generato da X1 , . . . , Xn . Allora TP (V )∗ è isomorfo a M/(M2 + I(V )).
Pn ∂f
Osserviamo che per ogni polinomio f ∈ K[X1 , . . . , Xn ], la sua “parte lineare” f (L) = i=1 ∂X
(P ) · Xi può
i
n ∗
˜
essere vista come elemento dello spazio vettoriale duale (K ) , diciamo f . Per ogni f ∈ M definiamo D(f )
come la restrizione a TP (V ) di f˜. È facile verificare che l’applicazione
D : M → TP (V )∗
risulta K-lineare e suriettiva. Proviamo che Ker(D) = M2 + I(V ).
Un polinomio appartiene a M2 se e solo se è privo di termine noto e di parte lineare. Pertanto ogni
f ∈ M2 + I(V ) è tale che f (L) è la parte lineare di un polinomio in I(V ). Per definizione di TP (V ) allora f (L) si
annulla su tutti i punti di TP (V ), e questo significa che D(f ) = 0. Questo dimostra che M2 + I(V ) ⊆ Ker(D).
Pn ∂f
Sia ora f ∈ Ker(D). Allora i=1 ∂X
(P ) · bi = 0 per ogni Q = (b1 , . . . , bn ) ∈ TP (V ). Questo è vero se e
i
Pn ∂f
solo se il polinomio lineare i=1 ∂Xi (P ) · Xi è combinazione lineare a coefficienti in K degli m polinomi lineari
Pn ∂gj
i=1 ∂Xi (P ) · Xi . Si scriva
n
m
n
X
X
X
∂f
∂gj
(P ) · Xi =
(P ) · Xi ,
cj
∂X
∂X
i
i
i=1
j=1
i=1
cj ∈ K.
Uguagliando i coefficienti delle indeterminate Xi , i = 1, . . . , n, si ha
m
X ∂gj
∂f
cj
(P ) =
(P ),
∂Xi
∂Xi
j=1
per ogni i = 1, . . . , n.
Allora
Pm
∂ f − j=1 cj gj
∂Xi
(P ) = 0
Pm
per ogni i = 1, . . . , n. Pertanto f − j=1 cj gj ∈ M2 , e quindi f ∈ M2 + I(V ).
• M/(M2 + I(V )) è isomorfo a MP /MP2 .
Si consideri il morfismo naturale da M su MP , e lo si componga con la proiezione naturale MP → MP /MP2 .
In altre parole, ad ogni polinomio f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] privo di termine noto si associ la classe f (x̄1 , . . . , x̄n )+MP2 .
Tale applicazione è evidentemente K-lineare.
Osserviamo che il nucleo di tale applicazione lineare è dato precisamente dai polinomi dell’ideale M2 +I(V ).
Infatti è evidente che un polinomio in M2 + I(V ) appartiene al nucleo. Viceversa, se f (x̄1 , . . . , x̄n ) ∈ MP2 , allora,
per quanto osservato nelle premesse,
f + I(V ) =
g + I(V )
h + I(V )
per qualche g ∈ M2 e h(P ) 6= 0. Pertanto f h ∈ M2 + I(V ). Si scriva h = h0 + h1 + . . . + hv , con hi omogeneo
di grado i. Da h(P ) 6= 0 segue h0 ∈ K ∗ . Inoltre,
f h = f (h0 + . . . + hv ) = f h0 + g̃, con g̃ ∈ M2 .
Pertanto f h0 appartiene a M2 + I(V ). L’affermazione vale chiaramente anche per f , essendo h0 una costante
non nulla.
Resta da provare la suriettività, ovvero che ogni elemento di MP si scrive come immagine di un polinomio,
a meno di un elemento in MP2 . Un generico elemento di MP /MP2 è chiaramente di tipo
n
X
i=1
ci
x̄i + MP2
h(x̄1 , . . . , x̄n )
3. IL CASO DELLE CURVE
13
per qualche ci ∈ K, h(P ) 6= 0. Con calcoli diretti si vede che
n
X
i=1
n
n
X
X
ci
h(P ) − h(x̄1 , . . . , x̄n )
x̄i
x̄i =
x̄i +
.
ci
ci
h(x̄1 , . . . , x̄n )
h(P
)h(x̄
,
.
.
.
,
x̄
)
h(P
)
1
n
i=1
i=1
Evidentemente il primo addendo del secondo membro appartiene a MP2 (i numeratori non hanno termine noto),
P
mentre il secondo addendo è chiaramente di tipo
di x̄i con di ∈ K, cioè è immagine di un polinomio.
3. Il caso delle curve
3.1. Anello locale in un punto semplice. Se P è un punto semplice di una curva affine X , allora lo spazio
tangente ha dimensione 1, ovvero il rango della matrice Jacobiana JP è uguale a n − 1. Per semplicità continuiamo a
supporre P = (0, 0, . . . , 0) e a identificare TP (X ) con un sottospazio vettoriale di K n . Consideriamo un sottospazio π
descritto da un’equazione di tipo Xi0 = 0 di K n che non contiene TP (X ). Per semplicità di notazione supponiamo i0 = n.
Siccome la forma lineare associata a Xn non si annulla su TP (X ), e siccome TP (X )∗ ha dimensione 1, si ha che tale forma
lineare costituisce una base di TP (X )∗ . Dalla dimostrazione del Teorema 1.28 segue allora che x̄n + MP2 è una base dello
spazio MP /MP2 .
Nella prossima proposizione si dimostra che in realtà x̄n è anche un generatore di MP , inteso come ideale di K[X ]P .
Proposizione 1.29. Sia P un punto semplice di una curva affine X . Allora l’ideale MP è principale.
Dimostrazione. Supponiamo ancora che P = (0, . . . , 0) e che π : Xn = 0 non contenga TP (X ). Ricordiamo che
K(X ) = K(x̄1 , . . . , x̄n ) ha grado di trascendenza 1 su K. Dato che Xn non contiene TP (X ) si ha ovviamente che x̄n è
diverso da 0. Pertanto x̄n 6= c per ogni c ∈ K, e quindi x̄n è trascendente su K. Per ogni i = 1, . . . , n − 1, esiste pertanto
un polinomio fi in due variabili a coefficienti in K e non banale tale che fi (x̄i , x̄n ) = 0. Pertanto, fi (Xi , Xn ) ∈ I(V ).
Questo implica che il termine noto di fi (Xi , Xn ) è pari a zero. Inoltre, dato che π non contiene TP (X ), si ha che la parte
lineare di fi non può essere multiplo di Xn . Pertanto, a meno di un fattore di proporzionalità in K non nullo, possiamo
supporre che
0 = fi (x̄i , x̄n ) = x̄i + cx̄n + gi (x̄i , x̄n )
con gi (Xi , Xn ) costituito da monomi di grado almeno 2.
Proveremo che x̄i è multiplo di x̄n in K[X ]P . Questo è evidentemente sufficiente a provare l’asserto. D’ora in avanti per
semplicità scriveremo f per fi , ȳ per x̄i +cx̄n , e x̄ per x̄n . Si scriva allora f (x̄, ȳ) = ȳh(ȳ)+x̄s(x̄, ȳ) con s(0, 0) = 0, h(0) = 0.
Allora f (x̄, ȳ) = 0 implica
s(x̄, ȳ)
.
ȳ = −x̄
1 + h(ȳ)
s(x̄, ȳ)
Si noti che
∈ K[X ]P siccome h(0) = 0, pertanto ȳ ∈ hx̄i e quindi x̄i ∈ hx̄n i. La dimostrazione è cosı̀ conclusa. 1 + h(ȳ)
Definizione 1.30. Sia P punto semplice di una curva affine X . Un parametro locale di X in P è un generatore di MP .
Il risultato seguente segue dalla Proposizione 1.29, ma non sarà dimostrato nei dettagli.
P
Corollario 1.31. Sia X una curva affine, e P ∈ X un punto semplice. Sia l :
ai Xi = b un piano per P , non
P
contenente la retta tangente a X in P . Allora t = ai x̄i − b è un parametro locale di X in P .
Definizione 1.32. Un dominio di integrità R si dice anello di valutazione discreta (DVR) se:
•
•
•
•
A non è un campo,
A è locale,
A è Noetheriano,
l’ideale massimale di A è principale.
3. IL CASO DELLE CURVE
14
3.2. La funzione valutazione associata ad un punto semplice. Parametri locali. La seguente proposizione
spiega come ad un punto semplice P di una curva affine sia possibile associare una funzione valutazione (detta anche
funzione ordine) su K(X ).
Proposizione 1.33. Sia X una curva algebrica affine e sia t un parametro locale di X in P . Allora per ogni α ∈ K[X ]P ,
α 6= 0, esiste un unico m ∈ Z, m ≥ 0, e un unico u ∈ K[X ]P invertibile, tali che α = utm .
Dimostrazione. Supponiamo che tali m e u non esistano. Ciò implica che se α = uti , i ≥ 0, u ∈ K[X ]P , allora u
non è invertibile, i.e. u ∈ MP . In particolare, α ∈ MP dato che α = αt0 . Definiamo induttivamente una sequenza di
elementi ui ∈ K[X ]P . Sia u1 ∈ K[X ]P con α = u1 t, e per i > 1 sia ui ∈ K[X ]P tale che ui−1 = ui t. Un tale ui esiste dato
che α = ui−1 ti−1 , e quindi ui−1 ∈ MP . Si noti che hui−1 i $ hui i, altrimenti ui = βui−1 = βui t per qualche β ∈ K[X ]P ,
e t sarebbe invertibile essendo βt = 1. Pertanto la catena ascendente di ideali
hu1 i $ hu2 i $ . . . $ hui i $ . . .
dà luogo a una contraddizione essendo K[X ]P Noetheriano.
Per provare l’unicità si assuma utm = vts with m < s. Pertanto u = vts−m ∈ MP , che contraddice il fatto che u è
invertibile in K[X ]P .
Corollario 1.34. Sia X una curva algebrica affine, e sia t un parametro locale in un suo punto semplice P . Allora per
ogni α ∈ K(X ), α 6= 0, esiste un unico m ∈ Z, e un unico u ∈ K[X ]P invertibile, tali che α = utm .
β
con β, γ in K[X ]P . Dalla Proposizione
γ
1.33, β = utm , γ = vts per due interi m, s e per due elementi invertibili u, v ∈ K[X ]P . Pertanto α = (uv −1 )tm−s .
L’unicità può essere dimostrata come nella dimostrazione della Proposizione 1.33.
Dimostrazione. Ogni α ∈ K[X ]P , α 6= 0, si può scrivere come quoziente
Esercizio 4. Si provi che l’intero m del Corollario 3.2 non dipende dalla scelta del parametro locale t.
Definizione 1.35. Sia P punto semplice di una curva algebrica affine X , e sia α ∈ K(X ), α =
6 0. L’ ordine ordP (α)
di α in P è l’intero m tale che α = utm , con u invertibile in K[X ]P e t parametro locale in P . Per α = 0 si ponga
ordP (0) = ∞.
Si noti che K[X ]P coincide con l’insieme {α ∈ K(X ) | ordP (α) ≥ 0}, mentre MP = {α ∈ K(X ) | ordP (α) > 0}.
Gli ordini di funzioni razionali hanno le seguenti proprietà elementare, la cui dimostrazione è lasciata come esercizio.
Proposizione 1.36. Sia X una curva algebrica affine, e sia P un punto semplice di X . Allora
(1) ordP (αβ) = ordP (α) + ordP (β) per ogni α, β ∈ K(X ) (e quindi ordP (αm ) = m · ordP (α) per ogni intero m);
(2) ordP (α + β) ≥ min{ordP (α), ordP (β)} per ogni α, β ∈ K(X ); se ordP (α) 6= ordP (β) allora vale l’uguaglianza;
(3) ordP (a) = 0 per ogni a ∈ K.
Esercizio 5. Si generalizzino i risultati precedenti ad DVR un qualunque. Precisamente, dato un DVR R con campo di
quozienti L, si definisca una funzione ord su L con le stesse proprietà delle funzioni ordP della Proposizione 1.36.
Definizione 1.37. Un punto P di una curva algebrica non singolare X è detto zero di molteplicità m per α ∈ K(X ) se
ordP (α) = m > 0, polo di molteplicità −m se ordP (α) = m < 0.
Esempio 1.38. Sia X : Y = 0. I punti affini di X sono Pa = (a, 0), dove a varia in K. Sia α = X 2 + hF i ∈ K(X ).
Chiaramente α è definito in Pa per ogni a, e α(Pa ) = a2 . Pertanto tra i punti Pa , l’unico zero di α è P0 . Per il corollario
1.31 la funzione t = X + hF i è parametro locale in P0 . Dato che α = t2 , si ha ordP0 (α) = ordP0 (t2 ) = 2ordP0 (t) = 2, cioè
P0 è uno zero di α di molteplicità due.
4. VARIETÀ PROIETTIVE
15
X(X − 1)2 + hF i
. Calcoliamo gli ordini di α nei punti
(Y − 1)2 + hF i
X − 1 + hF i
. Dato che X è definita in P1 e X(P1 ) = 1, si ha che
P1 = (1, 0) e P2 = (0, 1). Si scriva α = Xu2 , dove u =
Y − 1 + hF i
ordP1 (X) = 0. Per calcolare ordP1 (u) si noti che in K(X ) si ha:
Esempio 1.39. Sia K = C e sia X : X 2 + Y 2 − 1 = 0. Sia α =
(X − 1)(X + 1) + hF i
Y 2 + hF i
=
,
(Y − 1)2 + hF i
(Y − 1)2 + hF i
Y + hF i
Y + hF i
, h2 =
. Per il Corollario 1.31 sia h1 che h2 sono parametri locali in
Y − 1 + hF i
X + 1 + hF i
P1 , e pertanto ordP1 (α) = ordP1 (X) + 2ordP1 (h1 h2 ) = 0 + 2 + 2 = 4, cioè P1 è uno zero di α di molteplicità 4.
ovvero u = h1 h2 dove h1 =
Per il Corollario 1.31 x̄ è un parametro locale in P2 . Si noti che
(Y − 1)(Y + 1) + hF i
X 2 + hF i
=
,
2
(X − 1) + hF i
(X − 1)2 + hF i
X + hF i
X + hF i
, g2 =
. Possiamo usare di nuovo il Corollario 1.31 per affermare
X − 1 + hF i
Y + 1 + hF i
che sia g1 che g2 sono parametri locali in P2 . Riassumendo, ordP2 (α) = ordP2 (X) + ordP2 (g1−2 g2−2 ) = 1 − 2 − 2 = −3.
Pertanto P2 è un polo di α di molteplicità 3.
cioè u−1 = g1 g2 dove g1 = −
3.3. Punti associati a DVR. Siamo ora nella posizione di poter invertire la Proposizione 1.29.
Proposizione 1.40. Sia X una curva algebrica affine e sia P ∈ X . Se K[X ]P è un DVR, allora P è semplice.
Dimostrazione. Sia t un generatore dell’ideale massimale MP . Osserviamo che MP2 è generato da t2 .
Ad ogni α ∈ MP associamo l’elemento (α/t)(P ) ∈ K (osserviamo che α/t è definita in P dato che α = utm con u definita
in P - e invertibile in K[X ]P - e m ≥ 1). In questo modo è chiaramente definito un omomorfismo, diciamo η, di spazi
vettoriali su K. Il nucleo di tale omomorfismo è costituito dagli α tali che α/t ∈ MP , ovvero da quegli α per cui m ≥ 2.
Pertanto Ker(η) = MP2 . Essendo evidentemente η suriettivo, risulta che MP /MP2 è isomorfo a K, e dunque lo spazio
tangente in P ha dimensione 1 e P è un punto semplice.
Pertanto per le curve affini vale la seguente caratterizzazione: un punto è semplice se e solo se MP è principale.
Esercizio 6. Sia X la curva piana di equazione Y = 0. Allora K[X ] = K[X, Y ]/hY i è isomorfo a K[X], e pertanto
K(X ) è identificabile con il campo delle funzioni razionali K(X). Sia
A = {g(X)/h(X) | deg(g) ≤ deg(h)} ⊆ K(X).
Si dimostri che A è un DVR. Si osservi inoltre che A non coincide con K[X ]P per nessun punto P di X .
4. Varietà proiettive
Ricordiamo la definizione di spazio proiettivo n-dimensionale.
Definizione 1.41. Lo spazio proiettivo n-dimensionale su K si denota con Pn (K) ed è l’insieme di tutte le (n + 1)uple (x0 , . . . , xn ) ∈ An+1 (K) con almeno una componente xi non nulla, modulo la seguente relazione di equivalenza:
(x0 , . . . , xn ) ∼ (y0 , . . . , yn ) se esiste una costante λ ∈ K∗ tale che xi = λyi per ogni i = 0, . . . , n.
Una classe di equivalenza {(λa0 , . . . , λan ) | λ ∈ K∗ } la indicheremo con (a0 : . . . : an ), e a0 , . . . , an saranno chiamate le
coordinate omogenee del punto corrispondente in Pn (K).
Definizione 1.42. Un polinomio F ∈ K [X0 , . . . , Xn ] si dice omogeneo di grado d se F (λX0 , . . . , λXn ) = λd F (X0 , . . . , Xn )
per ogni λ ∈ K.
Definizione 1.43. Un ideale I di K [X0 , . . . , Xn ] si dice omogeneo se è generato da polinomi omogenei.
4. VARIETÀ PROIETTIVE
16
Ad ogni ideale omogeneo I di K [X0 , . . . , Xn ] possiamo associare un sottoinsieme V = V (I) di Pn (K),
V (I) = {P ∈ Pn (K) | F (P ) = 0 per ogni F ∈ I omogeneo} .
Si dice insieme algebrico proiettivo un qualunque insieme V = V (I), con I ideale omogeneo di K [X0 , . . . , Xn ]. Se V è un
insieme algebrico proiettivo, l’ideale omogeneo di V denotato con I(V ) è l’ideale in K [X0 , . . . , Xn ] generato da
{F ∈ K [X0 , . . . , Xn ] | F omogeneo, F (P ) = 0, per ogni P ∈ V } .
Analogamente al caso affine possiamo dare la seguente definizione di varietà proiettiva.
Definizione 1.44. Un insieme algebrico proiettivo si dice riducibile se V = V1 ∪ V2 con V1 , V2 ⊆ Pn (K) insiemi algebrici
diversi da V. Si dice irriducibile altrimenti. Un insieme algebrico proiettivo irriducibile si dice varietà proiettiva.
Proposizione 1.45. Un insieme algebrico proiettivo V è irriducibile se e solo se I(V ) è un ideale primo.
Come nel caso affine si può definire l’anello delle coordinate omogenee come
K [V ] = K [X0 , . . . , Xn ] /I(V ),
mentre come campo delle funzioni razionali si prende un sottoinsieme del campo dei quozienti di K [V ]:
F + I(V )
| F, G polinomi omogenei, deg(F ) = deg(G), G ∈
/ I(V ) .
K (V ) =
G + I(V )
Inoltre se V è una varietà proiettiva e P ∈ V , una funzione razionale α ∈ K(V ) si dice regolare in P se esistono
F + I(V )
F, G ∈ K [X0 , . . . , Xn ], omogenei dello stesso grado tali che α =
, con G(P ) 6= 0. Pertanto possiamo anche
G + I(V )
definire l’anello locale K[V ]P come in 1.25.
Vediamo ora il legame che c’è tra insiemi algebrici affini e proiettivi. Ricordiamo che è sempre possibile rivedere lo spazio
affine An (K) come sottoinsieme dello spazio proiettivo Pn (K). Basta infatti considerare le mappe ϕi : An (K) → Ui ,
definite da (a1 , . . . , an ) 7→ (a1 : . . . : ai−1 : 1 : ai+1 : . . . : an ), con Ui := {P = (X0 : . . . : Xn ) ∈ Pn (K) | Xi 6= 0}. Per
semplicità di notazione fissiamo i = 0. Osserviamo allora che Pn (K) \ U0 è l’iperpiano H0 = {(X0 : . . . : Xn ) | X0 = 0}.
Inoltre, se f ∈ K [x1 , .. . , xn ] si definisce
il polinomio omogeneizzato di f rispetto a X0 come f ∗ ∈ K [X0 , . . . , Xn ],
X1
Xn
f ∗ (X0 , . . . , Xn ) = X0d f
,...,
, dove d è il grado di f . Analogamente, se F ∈ K [X0 , . . . , Xn ] si definisce il
X0
X0
polinomio disomogeneizzato di F rispetto a X0 come F∗ ∈ K [X1 , . . . , Xn ], F∗ (X1 , . . . , Xn ) = F (1, X1 , . . . , Xn ).
Definizione 1.46. Sia V ⊆ An (K) una varietà affine. Si dice chiusura proiettiva V̄ di V l’insieme algebrico proiettivo
V (I), dove I ⊆ K [X0 , . . . , Xn ] è l’ideale omogeneo generato da {F ∗ | F ∈ I(V )}.
Proposizione 1.47. Sia V una varietà affine. Allora:
(1) V̄ è irriducibile;
(2) V = V̄ ∩ An (K);
F∗ + I(V )
F + I(V̄ )
=
è ben definita. Inoltre ϕ è un isomorfismo che induce
(3) la mappa ϕ : K(V̄ ) → K(V ), ϕ
G∗ + I(V )
G + I(V̄ )
un isomorfismo di anelli tra K[V̄ ]P e K[V ]P , se P ∈ V .
Inoltre la corrispondenza V 7→ V̄ definisce una biiezione tra gli insiemi delle varietà affini di An (K) e delle varietà
proiettive di Pn (K) non contenute in H0 .
Non daremo la dimostrazione di questo risultato. Lo studente è invitato a ricostruire per esercizio la funzione inversa
ϕ−1 .
Naturalmente la Proposizione 1.47 vale sostituendo H0 con uno qualsiasi degli iperpiani Hi , cambiando adeguatamente
la definizione della mappa V 7→ V̄ .
Definizione 1.48. La dimensione di una varietà proiettiva V è il grado di trascendenza dell’estensione di campi K(V ) : K.
Si dice curva proiettiva una varietà proiettiva di dimensione 1.
5. MAPPE RAZIONALI
17
Naturalmente dalla Proposizione 1.47 segue immediatamente che la dimensione di una varietà proiettiva è la stessa di
una sua parte affine.
4.1. Proprietà locali delle varietà proiettive. Come corollario della proposizione 1.47 si ha che anche per una
varietà proiettiva V l’anello K[V ]P è dominio locale noteheriano. Indicheremo ancora con MP il suo ideale massimale.
La proposizione 1.47 permette di definire le proprietà locali di varietà proiettive in termini delle loro parti affini. Ad
esempio, se V è una varietà proiettiva lo spazio tangente di V in P ∈ V è la chiusura proiettiva dello spazio tangente di
V ∩ An (K) in P , dove An (K) è identificato con uno qualsiasi degli iperpiani Hi non contenenti P . Che tale definizione non
dipenda da i non viene dimostrato in questa sede. Osserviamo soltanto che in virtù della Proposizione 1.47 e del Teorema
1.28 si ha che lo spazio tangente di una varietà proiettiva V in un suo punto P ha la stessa dimensione di MP /MP2 , e che
pertanto per calcolarla non è necessario ricondursi ad una parte affine di V .
Un punto di una varietà proiettiva V è semplice (risp. singolare) se e solo se è un punto semplice (resp. singolare) di una
sua qualsiasi parte affine. Che la definizione non dipenda dalla parte affine scelta segue proprio dalla Proposizione 1.47,
essendo tale condizione equivalente a dim(MP /MP2 ) > dimV .
Sempre come conseguenza della Proposizione 1.47 e dei risultati della sezione precedente si ha allora che un punto di una
curva proiettiva è semplice se e solo se MP è un ideale principale.
Nota 3. La Proposizione 1.17 vale anche per le varietà proiettive. In particolare, un sottoinsieme algebrico proprio di
una curva proiettiva è necessariamente costituito da un numero finito di punti.
5. Mappe razionali
Definizione 1.49. Sia V1 ⊆ Pn (K) varietà proiettiva. Una mappa razionale di V1 in Pm (K) è un elemento
ϕ = (α0 : . . . : αm ) ∈ Pm (K(V1 )) .
Si osservi che (α0 : . . . : αm ) e (λα0 : . . . : λαm ), per λ ∈ K(V1 ), λ 6= 0, danno luogo alla stessa mappa razionale. Si noti
inoltre che una mappa razionale φ di V1 in Pm (K) non è necessariamente una funzione definita su tutti i punti di V1 ,
perché possono esistere punti P di V1 dove non tutte le αi sono definite.
Con un piccolo abuso di notazione scriveremo comunque ϕ : V1 → Pm (K) per indicare una mappa razionale di V1 in
Pm (K).
Si osservi che talvolta è possibile valutare ϕ(P ) in punti P di V1 dove alcuni αi non sono regolari, rimpiazzando αi con
λαi per un opportuno λ ∈ K(V1 ).
Definizione 1.50. Una mappa razionale
ϕ : V1 → Pm (K),
ϕ = (α0 : . . . : αm )
si dice regolare (o definita) in P ∈ V1 se esiste λ ∈ K(V1 ) tale che
(i) ogni λαi è regolare in P ,
(ii) per qualche i0 = 0, . . . , m si ha (λαi0 )(P ) 6= 0.
Se tale λ esiste, si pone
ϕ(P ) = ((λα0 )(P ) : . . . : (λαm )(P )).
Si noti che nella definizione precedente può essere necessario considerare λ diversi per punti diversi.
Definizione 1.51. Date due varietà proiettive V1 ⊆ Pn (K), V2 ⊆ Pm (K), una mappa razionale di V1 in V2 (in simboli
ϕ : V1 → V2 ) è una mappa razionale di V1 in Pm (K) tale che per ogni P dove ϕ è regolare si abbia ϕ(P ) ∈ V2 .
Definizione 1.52. Una mappa razionale
ϕ : V1 → V2 ,
ϕ = (α0 : . . . : αm )
regolare in ogni punto P ∈ V1 è detta morfismo di V1 in V2 .
5. MAPPE RAZIONALI
18
Esercizio 7. Sia V = V (hX2 i) ⊆ P2 (K). Sia x̄1 = X1 + I(V )/X0 + I(V ), e sia
φ : V → P3 (K),
φ = (x̄1 : x̄21 : x̄31 : x̄41 ).
Stabilire in quali punti di V la mappa razionale φ è regolare.
5.1. Composizone di mappe razionali e birazionalità. Siano φ : V1 → V2 e ψ2 : V2 → V3 mappe razionali fra
varietà proiettive. Anche se φ e ψ non sono in generale vere e proprie funzioni, la mappa razionale composta ψ◦φ : V1 → V3
risulta definita in modo naturale.
Definizione 1.53. Sia φ = (α0 : . . . : αm ) una mappa razionale di V1 in V2 , e sia ψ : (β0 : . . . : βr ) una mappa razionale
di V2 in V3 . Siano Fi , Gi polinomi tali che
βi = Fi + I(V2 )/Gi + I(V2 ).
Se Gi (α0 , . . . , αm ) 6= 0 per ogni i, si pone
ψ ◦ φ = (γ0 : . . . : γr )
dove γi = Fi (α0 , . . . , αm )/Gi (α0 , . . . , αm ).
Nel caso in cui Gi0 (α0 , . . . , αm ) = 0 per qualche i0 , allora ψ ◦ φ non è definita.
Per controllare che la definizione non dipende dalla scelta di αi , βi , Fi , Gi sostituiamo αi con λαi , βj con µβj , Fi e Gi con
F̄i e Ḡi , in modo tale che che λ ∈ K(V1 )∗ , µ = H1 + I(V2 )/H2 + I(V2 ) ∈ K(V2 )∗ , e βi = F̄i + I(V2 )/Ḡi + I(V2 ).
Consideriamo la (r + 1)-pla
H1 (λα0 , . . . , λαm )/H2 (λα0 , . . . , λαm ) · F̄1 (λα0 , . . . , λαm )/Ḡ1 (λα0 , . . . , λαm ),
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H1 (λα0 , . . . , λαm )/H2 (λα0 , . . . , λαm ) · F̄r (λα0 , . . . , λαm )/Ḡr (λα0 , . . . , λαm ).
Occorre dimostrare che tale (r + 1)-pla è uguale a (γ0 , . . . , γr ) a meno di un fattore di proporzionalità ρ ∈ K(V1 )∗ . È
evidente che λ non influisce, dato che sia H1 , H2 che F̄i , Ḡi sono coppie di polinomi omogenei dello stesso grado. Si può
inoltre porre
ρ = H1 (α0 , . . . , αm )/H2 (α0 , . . . , αm ).
Basterà quindi ragionare su
F̄i (α0 , . . . , αm )/Ḡi (α0 , . . . , αm )
e
Fi (α0 , . . . , αm )/Gi (α0 , . . . , αm )
sapendo che F̄i Gi − Fi Ḡi ∈ I(V2 ).
Supponiamo senza restrizione che αi = (Li + I(V1 ))/(L + I(V1 )), cioè che le αi abbiano lo stesso denominatore. Ora è
evidente che l’insieme dei punti P di V1 dove L(P ) = 0 o dove tutti gli Li si annullano è un insieme algebrico proprio di
V1 , diciamo S. Pertanto, per P che varia in V1 \ S si ha (α0 (P ) : . . . : αm (P )) ∈ V2 , e quindi
F̄i (α0 (P ), . . . , αm (P ))Gi (α0 (P ), . . . , αm (P )) = Fi (α0 (P ), . . . , αm (P ))Ḡi (α0 (P ), . . . , αm (P )).
Tenendo conto dell’omogeneità di Fi , F̄i , Gi , Ḡi , e del fatto che deg(Fi ) = deg(Gi ) e deg(F̄i ) = deg(Ḡi ), si ha allora che
per ogni P ∈ V1 \ S,
F̄i (L0 (P ), . . . , Lm (P ))Gi (L0 (P ), . . . , Lm (P )) = Fi (L0 (P ), . . . , Lm (P ))Ḡi (L0 (P ), . . . , Lm (P )).
Visto che V1 non può essere unione di insiemi algebrici propri, si ha che la precedente uguaglianza è vera per ogni P , e
quindi il polinomio
F̄i (L0 , . . . , Lm )Gi (L0 , . . . , Lm ) − Fi (L0 , . . . , Lm )Ḡi (L0 , . . . , Lm ) ∈ I(V ).
Ciò implica facilmente che
F̄i (α0 , . . . , αm )/Ḡi (α0 , . . . , αm ) = Fi (α0 , . . . , αm )/Gi (α0 , . . . , αm ),
e la dimostrazione è pertanto conclusa.
5. MAPPE RAZIONALI
19
Lasciamo allo studente osservare come, se φ è definita in P e φ(P ) = Q, e ψ è definita in Q e ψ(Q) = R, allora (ψ ◦ φ)
è definita in P e (ψ ◦ φ)(P ) = R. In altri termini, nei punti dove ha senso chiederselo, ψ ◦ φ si comporta come l’usuale
funzione composta.
Definizione 1.54. Siano V1 e V2 varietà proiettive. Una mappa razionale φ : V1 → V2 si dice birazionale se esiste una
mappa razionale ψ : V2 → V1 tale che ψ ◦ φ = idV1 e φ ◦ ψ = idV2 . Una mappa birazionale φ si dice isomorfismo se sia φ
che φ−1 sono morfismi.
Due varietà proiettive V1 e V2 si dicono birazionalmente equivalenti (risp. isomorfe) se esiste una mappa birazionale (risp.
un isomorfismo) di V1 in V2 .
È facile verificare che l’equivalenza birazionale e l’isomorfismo definiscono relazioni di equivalenza.
Esempio 1.55. Sia V = V (hX2 i) ⊆ P2 (K), W = V (hX2 X0 − X12 i) ⊆ P2 (K). Sia
φ : V → W,
φ = (1 : x̄1 : x̄21 )
Allora φ è un isomorfismo, con φ−1 = (1 : x̄1 : 0) con x̄1 =
con x̄1 =
X1 + I(V )
.
X0 + I(V )
X1 +I(W )
X0 +I(W ) .
Esempio 1.56. Sia V = V (hX2 i) ⊆ P2 (K), W = V (hX22 X0 − X13 i) ⊆ P2 (K). Sia
φ : V → W,
φ = (1 : x̄21 : x̄31 )
con x̄1 =
Allora φ è un’equivalenza birazionale, con φ−1 = (1 : x̄2 /x̄1 : 0) con x̄i =
nella prossima sezione che però φ non è un isomorfismo.
X1 + I(V )
.
X0 + I(V )
Xi +I(W )
X0 +I(W ) .
Inoltre φ è un morfismo. Mostreremo
Esempio 1.57. Sia V = V (hX2 i) ⊆ P2 (K), W = V (hX22 X0 − X13 − X03 i) ⊆ P2 (K). Sia
φ : W → V,
φ = (1 : x̄1 : 0)
con x̄1 =
X1 + I(W )
.
X0 + I(W )
Allora φ è una mappa razionale, ma non è un’equivalenza birazionale. Mostreremo nei prossimi capitoli che in realtà non
può esistere una mappa razionale non costante di V in W .
5.2. Mappe razionali dominanti.
Definizione 1.58. Una mappa razionale φ : V1 → V2 di dice dominante se non esiste un sottonsieieme algebrico proprio
di V2 che contiene l’insieme delle immagini di φ.
Chi ha familiarità con la topologia di Zariski può osservare come una mappa razionale è dominante se e solo se l’insieme
delle immagini è denso in V2 (rispetto alla topologia di Zariski).
Ricordando che ogni sottoinsieme algebrico proprio di una curva è necessariamente finito, lo studente può svolgere
facilmente il seguente esercizio.
Esercizio 8. Si dimostri che
• se V2 è una curva, allora una mappa razionale φ : V1 → V2 è dominante precisamente quando l’insieme delle
immagini è infinito;
• se inoltre V1 è una curva, allora φ è dominante se e solo se è non costante. (Suggerimento: se φ = (1 : α1 : . . . , αm )
è non costante, allora esiste i con αi non costante; allora per ogni c ∈ K i punti P di V1 con αi (P ) = c formano
un sottoinsieme algebrico proprio, e pertanto sono in numero finito; questo implica che i valori di c per cui esiste
un punto (1 : . . . : c : . . .) nell’insieme delle immagini di φ sono infiniti).
Proposizione 1.59. La composizione di due mappe razionali dominanti è dominante.
Dimostrazione. Siano φ : V1 → V2 e ψ : V2 → V3 mappe razionali dominanti. Supponiamo per assurdo che ψ ◦ φ
abbia immagine contenuta in un sottoinsieme algebrico proprio W di V2 . Le controimmagini di questo insieme mediante
ψ, unite ai punti dove ψ non è definita, formano un sottoinsieme algebrico Z di V2 . In realtà Z è un sottoinsieme proprio,
perchè altrimenti ψ non sarebbe dominante. Siccome φ è dominante, esiste quindi P con φ(P ) non in Z (si osservi che
per definizione di Z si ha che ψ è definita in φ(P )). Pertanto ψ(φ(P )) non è in W , contro la definizione di W .
5. MAPPE RAZIONALI
20
5.3. Pull-back di una mappa razionale dominante. Sia φ : V1 → V2 una mappa razionale dominante di due
varietà proiettive V1 e V2 . In questa sezione vedremo come si possa associare a φ un omomorfismo di campi di K(V2 ) in
K(V1 ).
Il primo passo è osservare che, data una varietà proiettiva V , esiste una biiezione hV fra gli elementi di K(V ) e le mappe
razionali di V in P1 (K) che non siano la mappa costante (0 : 1). La definizione di hV è molto naturale: per ogni α ∈ K(V )
si pone
hV (α) = (1 : α).
È facile vedere come hV sia effettivamente una biiezione. A tale scopo è utile notare come ogni mappa razionale (0 : α)
sia in realtà uguale alla mappa costante (0 : 1).
Definizione 1.60. Sia φ : V1 → V2 una mappa razionale dominante, e sia β ∈ K(V2 ). Il pull-back di β mediante φ si
definisce come
φ∗ (β) = h−1
V1 (hV2 (β) ◦ φ)).
Proviamo che la definizione è ben posta. L’unico controllo necessario è che (hV2 (β) ◦ φ) non sia la funzione costante di
V1 in (0 : 1). Se hV2 (β) è non costante, questo segue dalla Proposizione 1.59 e dal fatto che P1 (K) è una curva (si ricordi
l’Esercizio 8). Se hV2 (β) è costante, allora per definizione questa costante è di tipo (1 : a); chiaramente anche (hV2 (β) ◦ φ)
è la costante (1 : a), e quindi il controllo è superato.
Proviamo a dare una visione più concreta del pull-back di una funzione razionale: se φ = (α0 : . . . : αm ), e se β =
F + I(V2 )/G + I(V2 ), allora φ∗ (β) è uguale a
F (α0 , . . . , αm )/G(α0 , . . . , αm ).
Tenendo conto di questa relazione, la dimostrazione della seguente proposizione è un semplice esercizio di calligrafia
matematica.
Proposizione 1.61. Sia φ : V1 → V2 una mappa razionale dominante. Allora il pull-back
φ∗ : K(V2 ) → K(V1 )
è omomorfismo di campi non banale. Se inoltre V2 non è contenuta nell’iperpiano H0 allora φ = (1 : α1 : . . . : αm ) e φ∗ è
l’unico omomorfismo di campi di K(V2 ) in K(V1 ) che fissa K elemento per elemento, e che per ogni i = 1, . . . , m manda
x̄i = Xi + I(V )/X0 + I(V ) in αi .
Viceversa, dato un omomorfismo γ di campi da K(V2 ) in K(V1 ) che fissa K elemento per elemento è possibile associare
una mappa razionale dominante φ di V1 in V2 con γ = φ∗ . Supponiamo per semplicità che V2 non sia contenuta in H0 ,
cosicchè K(V2 ) = K(x̄1 , . . . , x̄m ) con xi = Xi + I(V2 )/X0 + I(V2 ). Si ponga allora φ = (1 : γ(x1 ) : . . . : γ(xn )). La verifica
che φ è mappa razionale dominante di V1 in V2 è lasciata allo studente. È poi evidente che φ∗ = γ, dato che φ∗ ed γ
hanno lo stesso comportamento su K e x̄i , i = 1, . . . , m.
É un facile esercizio provare le seguenti proprietà funtoriali del pull-back.
Proposizione 1.62. Sia idV l’identità di una varietà proiettiva V . Siano φ : V1 → V2 , ψ : V2 → V3 mappe razionali
dominanti.
• (idV )∗ è l’automorfismo identico di K(V );
• (ψ ◦ φ)∗ = φ∗ ◦ ψ ∗ .
Corollario 1.63. Due varietà V1 e V2 sono birazionalmente equivalenti se e solo se i loro campi di funzioni K(V1 ) e
K(V2 ) sono K-isomorfi (ovvero isomorfi mediante un isomorfismo che fissa K elemento per elemento).
Il pull-back ci permette di interpretare una mappa razionale come mappa definita sugli anelli locali, oltre che sui punti.
Precisamente vale la seguente proposizione.
Proposizione 1.64. Sia φ : V1 → V2 , φ = (α0 : . . . : αm ), una mappa razionale dominante di due varietà proiettive.
Allora, dati P ∈ V1 e Q ∈ V2 le seguenti condizioni sono equivalenti:
6. ALCUNI RICHIAMI SULLE ESTENSIONI DI CAMPI
21
(i) φ è definita in P e φ(P ) = Q.
(ii) K[V1 ]P contiene φ∗ (K[V2 ]Q ), e MP contiene φ∗ (MQ ).
Dimostrazione. Proviamo separatemente le due implicazioni.
• (i) ⇒ (ii). Sia β una funzione razionale di V2 definita in Q. Ricordiamo che φ∗ (β) è, per definizione,
F (α0 : . . . : αm )/G(α0 : . . . : αm ), dove β = F + I(V2 )/G + I(V2 ).
Chiaramente si ha che φ∗ (β) è definita in P . Se inoltre β(Q) = 0, allora φ∗ (β)(P ) = β(Q) = 0.
• (ii) ⇒ (i). Possiamo supporre Q sia “affine”, ovvero Q = (1 : b1 : . . . : bm ) (in caso contrario basta “spostare”
oppurtunamente l’1). Pertanto V2 non è contenuta in H0 , e quindi possiamo assumere anche α0 = 1.
Denotiamo come al solito, per ogni i = 1, . . . , m, x̄i = Xi + I(V2 )/X0 + I(V2 ). Siccome x̄i è definita in Q si
ha che φ∗ (xi ) è definita in P , e siccome x̄i − bi è definita e si annulla in Q, si ha che φ∗ (x̄i − bi ) = φ∗ (x̄i ) − bi è
definita e si annulla in P .
Ricordiamo che φ∗ (x̄i ) per definizione non è altro che αi . Allora αi è definita in P per ogni i = 1, . . . , m, e
αi (P ) − bi = 0. Questo significa precisamente che φ(P ) = (1 : b1 : . . . : bm ) = Q.
La dimostrazione del seguente corollario è immediata.
Corollario 1.65. Sia φ : V1 → V2 un isomorfismo di due varietà proiettive. Allora per ogni P ∈ V1 si ha φ∗ (K[V2 ]φ(P ) ) =
K[V1 ]P e φ∗ (Mφ(P ) ) = MP . In particolare gli anelli locali in P e φ(P ) sono isomorfi.
Una conseguenza del corollario precedente è che non può esistere un isomorfismo fra varietà prive di punti singolari
e varietà con almeno un punto singolare. Ciò prova che il morfismo φ dell’Esempio 1.56, pur essendo un’equivalenza
birazionale, non può essere un isomorfismo.
6. Alcuni richiami sulle estensioni di campi
Il pull-back di una mappa razionale dominante φ : V1 → V2 è uno strumento molto utile per lo studio delle proprietà
birazionali delle varietà algebriche. Per questo motivo è necessario aprire una parentesi relativa alle proprietà algebriche
delle estensioni di campi.
Ricordiamo che ogni omomorfismo non banale di campi è iniettivo. Pertanto φ∗ (K(V2 )) è un campo isomorfo a K(V2 )
contenuto in K(V1 ). Nel seguito tratteremo proprietà generale delle estensioni L : F . Spesso applicheremo tali proprietà
al caso L = K(V1 ) e F = φ∗ (K(V2 )).
6.1. Estensioni separabili e inseparabili. Data un’estensione algebrica di campi L : F , un elemento α di L si
dice separabile se il polinomio minimo di α su F non ha radici multiple (nella chiusura algebrica di L). L’estensione si
dice separabile se ogni elemento α ∈ L lo è.
Ricordiamo che un polinomio ha radici multiple in F se e solo se ha un fattore comune in F [T ] con la propria derivata
formale. Dato che per definizione ogni polinomio minimo è irriducibile su F [T ], ne segue che un elemento è separabile
se e solo se la derivata formale del suo polinomio minimo non è identicamente nulla. Pertanto in caratteristica 0 ogni
estensione algebrica è separabile.
Un esempio di estensione non separabile è il seguente. Sia F un campo algebricamente chiuso di caratteristica p > 0, e
sia z un elemento non appartenente a F . Allora F (z) : F (z p ) è non separabile, in quanto il polinomio minimo di z su
F (z p ) divide T p − z p , che ha una sola radice contata p volte.
Data una torre M ⊇ L ⊇ F di estensioni algebriche, risulta che M : F è separabile se e solo se lo sono M : L e L : F .
È inoltre possibile dimostrare che data una estensione algebrica L : F esiste sempre un campo intermedio S tale che S : F
r
è separabile mentre L : S è tale che il polinomio minimo su S di un qualunque elemento di L \ S è di tipo T p − α, essendo
p la caratteristica di F . In particolare, l’insieme degli elementi di L separabili su F costituisce un sottocampo di S.
6. ALCUNI RICHIAMI SULLE ESTENSIONI DI CAMPI
22
Un campo si dice perfetto se ogni sua estensione algebrica è separabile. Sono perfetti ovviamente tutti i campi di
caratteristica 0. In generale un campo F di caratteristica p > 0 è perfetto se e solo se per ogni α ∈ F esiste β ∈ F con
α = β p . Infatti in tal caso ogni polinomio in F [T ] con derivata formale nulla è potenza p-ma di un polinomio in K[T ], e
quindi è riducibile. Pertanto sono perfetti tutti i campi algebricamente chiusi, ed anche tutti i campi finiti.
i
i
Esercizio 9. Dato un campo F di caratteristica p, e dato un intero positivo i, si definisca F (p ) = {αp | α ∈ F }. Si
i
i
dimostri che F (p ) è sottocampo di F , e che se tale sottocampo è proprio, allora F : F (p ) non è separabile.
6.2. Il Teorema dell’elemento primitivo e le sue conseguenze.
Teorema 1.66. Sia L : F un’estensione finita e separabile. Allora esiste γ ∈ L tale che L = F (γ).
Dimostrazione. Essendo L : F finita e separabile, si ha L = F (α1 , . . . , αn ), con ogni αi algebrico su F .
Se F è finito, allora lo è anche L, e allora possiamo prendere γ come un qualunque generatore del gruppo moltiplicativo
(ciclico) di L. Quindi possiamo assumere che F sia infinito.
Possiamo inoltre supporre n = 2, dato che con una semplice induzione è possibile ricondurre il caso generale al caso n = 2.
Quindi sia L = F (α, β), con α, β algebrici su K e separabili.
Definiamo un sottoinsieme finito S di F . Sia f il polinomio minimo di α su F , e g il polinomio minimo di β su F .
Estendiamo L a un campo M dove sia f che g si spezzano completamente. Allora definiamo S come l’insieme degli
elementi di F di tipo
α0 − α
β0 − β
0
0
essendo α ∈ M una radice di f e β 6= β una radice di g in M .
Si fissi λ ∈ F \ S e si ponga γ = α + λβ. Mostreremo che L = F (γ). Sarà sufficiente provare che l’estensione semplice
F (γ) contiene β, e quindi anche α = γ − λβ. A tale scopo mostreremo che il polinomio minimo di β su F (γ) non può
avere grado maggiore o uguale di 2.
Notiamo innanzitutto che β soddisfa f (γ − λβ) = 0; ciò significa che β è una radice del polinomio h ∈ F (γ)[T ] definito da
h(T ) = f (γ − λT ).
Pertanto il polinomio minimo di β su F (γ) divide sia g che h. Supponiamo che un massimo comun divisore di h e g abbia
grado maggiore o uguale di 2. Allora g e h hanno una radice comune β 0 6= β in M . Si noti che questo è il punto in cui
stiamo usando l’ipotesi di separabilità. Allora si ha che h(β 0 ) = f (γ − λβ 0 ) = 0 e quindi
γ − λβ 0 = α0
per qualche radice α0 di f . Ricordandoci che γ = α + λβ abbiamo quindi che
α + λ(β − β 0 ) = α0 ,
in contraddizione con λ ∈
/ S.
Esercizio 10. Usare il metodo della dimostrazione del Teorema 1.66 per trovare un elemento primitivo di
√
3
Q(i, 2) : Q.
Un risultato importante per gli scopi del corso, di cui non daremo la dimostrazione, è il seguente.
Teorema 1.67. Sia K un campo algebricamente chiuso, e sia L = K(α1 , . . . , αn ). Allora esiste un sottoinsieme
αi1 , . . . , αik di α1 , . . . , αn tale che
• αi1 , . . . , αik è base di trascendenza di L : K;
• L : K(αi1 , . . . , αik ) è separabile.
Esercizio 11. Sia p > 2 la caratteristica di K, e sia V = V (< Y 2 + X p + 1 >) ⊆ A2 (K). Si dimostri che V è irriducibile.
Si consideri poi il campo K(V ) = K(x̄, ȳ), con x̄ = X + I(V ), ȳ = Y + I(V ). Si dimostri che sia {x̄} che {ȳ} sono basi
di trascendenza di K(V ) su K. Si determini se K(V ) : K(x̄) e K(V ) : K(ȳ) sono separabili.
6. ALCUNI RICHIAMI SULLE ESTENSIONI DI CAMPI
23
Il seguente corollario giustifica la parentesi puramente algebrica appena chiusa.
Corollario 1.68. Sia X una curva proiettiva di Pn (K). Allora
• K(X ) = K(ξ, η) per qualche ξ, η in K;
• X è birazionalmente equivalente a una curva piana.
Dimostrazione. Supponiamo senza restrizione che X non sia contenuta nell’iperpiano H0 . Sappiamo allora che
K(X ) coincide con K(x̄1 , . . . , x̄n ). Allora dal Teorema 1.67 esiste i intero compreso fra 1 e n con K(X ) : K(x̄i ) finita e
separabile. Pertanto, dal Teorema dell’elemento primitivo, esiste η con K(X ) = K(x̄i )(η) = K(x̄i , η). Il primo asserto
quindi si ottiene ponendo ξ = x̄i .
Dato che η e ξ sono algebricamente dipendenti, esiste un polinomio f ∈ K[X, Y ] tale che f (ξ, η) = 0. Naturalmente
è possibile assumere f irriducibile. Sia allora Y la curva piana di equazione V (hf ∗ (X0 , X1 , X2 )i). È evidente che
K(ξ, η) ∼
= K(Y). Pertanto X e Y sono birazionalmente equivalenti dal Corollario 1.63.
Definizione 1.69. Sia X una curva proiettiva di Pn (K). Un elemento ξ ∈ K(X ) \ K si dice separante se K(X ) : K(ξ) è
separabile.
CAPITOLO 2
Richiami sulle curve algebriche piane
In questo capitolo richiameremo alcuni concetti sulle curve in senso esteso, ovvero sulle curve algebriche piane non
necessariamente irriducibili, che in larga parte lo studente dovrebbe ricordare dai corsi della Laurea Triennale. La parola
curva sarà quindi usata - solo in questo capitolo - con un’accezione diversa dal capitolo precedente (dove, una curva affine
o proiettiva è stata definita come un insieme algebrico affine irriducibile di dimensione 1).
1. Definizioni
Le definizioni e le proprietà fondamentali riguardanti le curve in senso esteso reali o complesse dovrebbero essere già note
allo studente dai corsi della Laurea Triennale. In questa sezione tali nozioni saranno rapidamente riviste in un contesto
più genererale, ovvero quello delle curve algebriche definite su un campo qualsiasi.
Anche in questo capitolo K denoterà un campo algebricamente chiuso. Per curva in senso esteso definita su K intenderemo
una classe di proporzionalità di polinomi omogenei in tre indeterminate a coefficienti in K. Per indicare che la curva in
senso esteso X è rappresentata dal polinomio F (X0 , X1 , X2 ) scriveremo usualmente
X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 .
L’idea intuitiva di curva intesa come insieme di punti si realizza nella definizione di supporto.
Definizione 2.1. Sia X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 una curva in senso esteso defnita su K. Il supporto di X si definisce come
l’insieme dei punti del piano proiettivo P2 (K) le cui coordinate omogenee (X0 : X1 : X2 ) soddisfano l’equazione
F (X0 , X1 , X2 ) = 0 .
Si noti che due curve in senso esteso distinte possono avere lo stesso supporto; si pensi ad esempio alle curve
Y : X12 = 0 .
X : X1 = 0,
Osserviamo che essendo le coordinate di un punto definite a meno di proporzionalità , l’omogeneità di F è necessaria
altrimenti si potrebbe avere
F (X0 , X1 , X2 ) = 0, F (λX0 , λX1 , λX2 ) 6= 0 .
Con abuso di linguaggio spesso indicheremo il supporto di una curva in senso esteso X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 con lo stesso
simbolo X ; inoltre con l’espressione punto di una curva in senso esteso X intenderemo il concetto di punto del supporto
di una curva in senso esteso X .
Definizione 2.2. Sia X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 una curva in senso esteso. Il grado d del polinomio F si dice ordine di X .
Definizione 2.3. Una curva in senso esteso si dice irriducibile se è definita da un polinomio F irriducibile su
K[X0 , X1 , X2 ].
Si noti che il supporto di una curva in senso esteso irriducibile è una curva algebrica nel senso del Capitolo 1.
Supponiamo ora che X : F (X0 , X1 , X2 ) non sia irriducibile. Ricordiamo che K[X0 , X1 , X2 ] è dominio a fattorizzazione
unica, e scriviamo il polinomio F come prodotto di potenze di fattori irriducibilli (a due a due non proporzionali)
F = F1r1 · F2r2 · · · Fsrs .
24
2. PUNTI SEMPLICI E SINGOLARI
25
Diremo allora che le curve in senso esteso Xi : Fi (X0 , X1 , X2 ) = 0 sono le componenti irriducibili di X , e che ri è la
molteplicità di Xi come componente di X . Chiaramente l’insieme dei punti di X è l’unione degli insiemi dei punti delle
curve Xi .
Per praticità di calcolo, si preferisce in molte situazioni fare uso di coordinate non omogenee per i punti e di polinomi
non omogenei per le curve.
Concludiamo questa sezione osservando che le proiettività di P2 (K) agiscono in modo naturale sulle curve in senso esteso.
Sia φ la proiettività φ indotta dalla matrice A, e sia X : F (X0 , X1 , X2 ) una curva in senso esteso. Allora definiamo φ(X )
come la curva in senso esteso definita dal polinomio
F A (X0 , X1 , X2 ) := F ((X0 , X1 , X2 ) · A−1 ).
Osserviamo che i punti di φ(X ) sono i trasformati dei punti di X mediante φ. Infatti, se
(Y0 , Y1 , Y2 ) = (X0 , X1 , X2 ) · A
con (X0 : X1 : X2 ) ∈ X , allora
F A (Y0 , Y1 , Y2 ) = F ((Y0 , Y1 , Y2 ) · A−1 ) = F ((X0 , X1 , X2 ) · A · A−1 ) = F (X0 , X1 , X2 ) = 0,
e quindi (Y0 : Y1 : Y2 ) ∈ φ(X ).
2. Punti semplici e singolari
Sia X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 una curva in senso esteso di ordine d definita su K, e sia P = (x0 : x1 : x2 ) un punto di X .
Sia ` una qualunque retta passante per P che non sia una componente di X . Se Q = (y0 : y1 : y2 ) è un qualunque punto
di ` distinto da P , avremo che il generico punto di ` avrà coordinate omogenee
(λx0 + µy0 : λx1 + µy1 : λx2 + µy2 ) , λ, µ ∈ K, (λ, µ) 6= (0, 0).
Sia FP,Q (λ, µ) il polinomio omogeneo
FP,Q = F (λx0 + µy0 : λx1 + µy1 : λx2 + µy2 ) .
Chiaramente gli zeri di FP,Q corrispondono ai punti comuni di X e `. Si noti che FP,Q non può essere identicamente nullo
in quanto ` non è contenuta in X . Pertanto FP,Q ha grado d. Essendo K algebricamente chiuso si avrà
FP,Q = aΠdi=1 (ai λ − bi µ) ,
per qualche ai , bi ∈ K, i = 1, . . . , d. Si noti quindi che le coppie non proporzionali di zeri di FP,Q sono al massimo d, e
pertanto i punti comuni a X e ` saranno al più d. Si è pertanto provata la seguente proposizione.
Proposizione 2.4. Una curva in senso esteso di ordine d e una retta che non sia una sua componente si incontrano in
al più d punti.
Definizione 2.5. Si definisce molteplicità di intersezione di X e ` nel punto P il massimo intero m per cui µm divide
FP,Q .
Si può dimostrare che tale intero m non dipende dalla scelta di Q ma solo da ` e P . Inoltre, se ` è componente di X ,
diremo che la molteplicità di intersezione di X e ` nel punto P è infinita.
Nel caso in cui il punto P sia affine, i calcoli si possono semplificare di molto. Sia X : F (X, Y ) = 0 e sia P = (x, y) un
punto affine di X . Sia ` una retta per P . Se Q = (a, b) è un altro punto affine di `, il generico punto affine di ` avrà
coordinate affini
(x + t(a − x), y + t(b − y)) .
La molteplicità di intersezione di X e ` nel punto P si può allora calcolare come molteplicità di t = 0 come radice del
polinomio in t
F (x + t(a − x), y + t(b − y)) .
Esercizio 12. Con K = C, sia X : XY 2 + 3X 2 + 2X 2 Y 2 , P = (0, 0), ` : X + 3Y = 0. Si calcoli la molteplicità di
intersezione di X e ` nel punto P .
2. PUNTI SEMPLICI E SINGOLARI
26
Esercizio 13. Con K = C, sia X : X03 +3X02 X1 +2X13 −4X1 X22 , P = (0 : 0 : 1), ` : X0 +X1 = 0. Si calcoli la molteplicità
di intersezione di X e ` nel punto P .
Vale il seguente teorema.
Teorema 2.6. Sia P un punto di una curva in senso esteso X di ordine d. Allora esiste un intero s, 1 ≤ s ≤ d, tale che:
• la generica retta per P incontra X in P con molteplicità maggiore o uguale di s;
• esistono al più s rette per P che incontrano X in P con molteplicità maggiore s.
L’intero s del Teorema precedente si indica con mP (X ). Se mP (X ) = 1, allora P si dice punto semplice di X . Altrimenti,
P si dice punto singolare di molteplicità mP (X ). Le rette per P che incontrano la curva X con molteplicità maggiore di
mP (X ) in P si dicono tangenti principali (o semplicemente tangenti) di X in P .
Esercizio 14. Si dimostri che il punto affine O = (0, 0) è punto semplice di una curva X : F (X, Y ) = 0 se e solo se il
grado minimo dei monomi di F è esattamente 1.
L’esercizio precedente si può generalizzare nel seguente modo. Sia X : F (X, Y ) = 0 una curva in senso esteso di ordine d
passante per O = (0, 0). Si scriva
F (X, Y ) = Fd (X, Y ) + Fd−1 (X, Y ) + . . . + Fm (X, Y ),
con Fi (X, Y ) polinomio omogeneo di grado i. Allora mO (X ) = m. Inoltre, scrivendo φm come prodotto di m polinomi di
primo grado (non necessariamente distinti), si ha che le tangenti principali di X in O sono le rette corrispondenti a tali
polinomi.
Per la ricerca dei punti singolari di una curva in senso esteso si danno i seguenti criteri.
Teorema 2.7. Sia X : F (X, Y ) = 0 una curva in senso esteso e sia P = (a, b) un punto di X . Allora P è singolare se e
solo se
FX (a, b) = FY (a, b) = 0 .
Se P è semplice, un’equazione della retta tangente a X in P è
FX (a, b)(X − a) + FY (a, b)(Y − b) = 0 .
La versione in coordinate omogenee è la seguente.
Teorema 2.8. Sia X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 una curva in senso esteso e sia P = (a : b : c) un punto di X . Allora P è
singolare se e solo se
FX0 (a, b, c) = FX1 (a, b, c) = FX2 (a, b, c) = 0 .
Se P è semplice, un’equazione della retta tangente a X in P è
FX0 (a, b, c)X0 + FX1 (a, b, c)X1 + FX2 (a, b, c)X2 = 0 .
Si noti che se la caratteristica del campo base è 0, allora la condizione che P = (a : b : c) sia un punto della curva è
automaticamente soddisfatta se (a, b, c) annulla le tre derivate parziali di F . Ciò segue dal Teorema di Eulero sui polinomi
omogeneei di grado m: mF = X0 FX0 + X1 FX1 + X2 FX2 .
Esempio 2.9. Sia K un campo di caratteristica 2 e sia X : X12 X2 − X03 + X02 X2 . In tal caso FX0 = X02 , FX1 = 0,
FX2 = X12 − X02 = (X1 − X0 )2 . Pertanto P = (a : b : c) è singolare se e solo se a = 0, b = a. Quindi P = (0 : 0 : 1) è
l’unico punto singolare di X .
Esempio 2.10. Sia X : X05 + X15 + X25 . Si vede che FX0 = 5X04 , FX1 = 5X14 , FX2 = 5X24 . Se la caratteristica p di K è
diversa da 5, allora X è non singolare. Altrimenti, ogni punti di X è singolare. Per p = 5, X è infatti riducibile essendo
F = (X0 + X1 + X2 )5 .
3. RISULTANTE DI DUE POLINOMI
27
Esempio 2.11 (quartica di Klein). Sia K di caratteristica 2, e sia X : X03 X1 +X13 X2 +X23 X0 . Si vede che FX0 = X02 X1 +X23 ,
FX1 = X12 X2 + X03 , FX2 = X22 X0 + X13 . Assumiamo che P = (a : b : c) sia singolare. Allora (i) a2 b = c3 e (ii)
a3 b + b3 c + c3 a = 0 implicano b3 c = 0. Se b = 0, allora (i) implica c = 0 e quindi (iii) FX1 (P ) = 0 a sua volta implica
a = 0. Se c = 0, allora b = 0 da (i), e di nuovo a = 0 da (iii). Ciò significa che X è non singolare.
Esempio 2.12 (curva Hermitiana ). Sia X la curva definita su Fq da F = X0q X2 + X0 X2q − X1q+1 . Siccome FX0 = X2q ,
FX1 = −X1q e FX2 = X0q , la curva X è non singolare.
3. Risultante di due polinomi
Ricordiamo rapidamente la definizione e le principali proprietà del risultante di due polinomi.
Sia D un dominio a fattorizzazione unica, e sia D[T ] l’anello dei polinomi su D. Siano f (T ) = a0 + a1 T + . . . + an T n e
g(T ) = b0 +b1 T +. . .+bm T m due polinomi a coefficienti in D di grado rispettivo n e m (ovvero supponiamo che an bm 6= 0).
Si definisce risultante di f e g l’elemento di D calcolato come determinante della seguente matrice (m + n) × (m + n)


a0 a1 . . .
an 0 . . .
0
 0 a0 a1 . . .
an 0 . . .
0 


 .
.. 
 ..
. 




a0 a1 . . .
an 
 0 ...
RT (f, g) = det 

 b0 b1 . . .
bm 0 . . .
0 


 0 b0 b1 . . .
bm 0 . . .
0 


 ..
.. 
 .
. 
0
...
b0
b1
...
bm
le cui prime m righe sono i coefficienti a0 , . . . , an , mentre le successive n righe sono formate dai coefficienti b0 , . . . , bn .
Teorema 2.13. Esistono un polinomio p1 di grado minore o uguale di m e un polinomio p2 di grado minore o uguale di
n, entrambi a coefficienti in A, non entrambi nulli, tali che
RT = p 1 f + p 2 g .
Dimostrazione. Notiamo che per ogni a ∈ A, due polinomi p01 di grado minore o uguale di m e p02 di grado minore
o uguale di n tali che
a = p01 f + p02 g .
corrispondono alle un sistema lineare a coefficienti in A, le cui incognite sono i coefficienti di p01 e p02 e la cui matrice ha
come determinante proprio RT (f, g).
Se RT (f, g) = 0, il rango della matrice del sistema omogeneo
0 = p01 f + p02 g
è minore di (m + n), per cui tale sistema ha una soluzione non nulla nel campo dei quozienti di A. Eliminando i
denominatori si ottiene la relazione voluta.
Supponiamo quindi che RT (f, g) 6= 0. Il sistema
1 = p01 f + p02 g .
ha una e una sola soluzione p01 , p02 nel campo dei quozienti di A. Ponendo p1 = RT (f, g)p01 e p2 = RT (f, g)p02 si ha che p1
e p2 hanno coeffienti in A per la regola di Cramer. Chiaramente RT = p1 f + p2 g, e la dimostrazione è conclusa.
Siano ora F, G polinomi in r indeterminate a coefficienti in un campo K, diciamo F, G ∈ K[X1 , X2 , . . . , Xr ]. Ponendo
A = K[X1 , . . . , Xr−1 ], è possibile vedere F e G come polinomi in A[Xr ], e quindi calcolarne il risultante RXr (F, G), che
sarà un elemento di K[X1 , . . . , Xr−1 ]. Si noti in virtù del Teorema 2.13, per ogni r-pla (a1 , . . . , ar ) di elementi di K che
annulla sia F che G, si ha che (a1 , . . . , ar−1 ) annulla RXr (F, G).
4. INTERSEZIONE DI DUE CURVE IN SENSO ESTESO
28
4. Intersezione di due curve in senso esteso
Per studiare l’intersezione di due curve in senso esteso X e Y definite su un campo K iniziamo dal considerare la parte
affine delle due curve. Sia quindi X : F (X, Y ) = 0, Y : G(X, Y ) = 0.
Teorema 2.14. L’insieme dei punti affini comuni a due curve in senso esteso prive di componenti comuni è un insieme
finito.
Dimostrazione. Si calcoli RY (F, G), polinomio in K[X]. Se RY (F, G) è identicamente nullo allora dal Teorema
2.13 segue che
p1 (X)F (X, Y ) = p2 (X)G(X, Y )
per due polinomi p1 , p2 non identicamente nulli. Essendo G ed F senza fattori in comune, ne segue che G(X, Y ) divide
p1 (X) e F (X, Y ) divide p2 (X). Quindi sia F che G sono polinomi in X privi di radici in comune, e l’asserto segue
immediatamente.
Supponiamo allora che RY (F, G) non sia identicamente nullo. Sia quindi
RY (F, G) = aΠri=1 (X − ai ) .
Per quanto detto alla fine della sezione precedente, ogni punto di intersezione di X e Y dovrebbe trovarsi su una retta di
equazione affine X = ai per qualche i. Ma allora, ancora grazie alla Proposizione 2.4, il numero di punti comuni a X e Y
sarebbe al più dr, ove d è l’ordine di X .
Corollario 2.15. I punti comuni a due curve in senso esteso prive di componenti comuni sono in numero finito.
Dimostrazione. L’asserto segue immediatamente dal teorema precedente e dalla Proposizione 2.4 applicata alla
retta `∞ .
Il concetto di molteplicità di intersezione di una curva in senso esteso e una retta si generalizza grazie al teorema seguente.
Teorema 2.16. Esiste ed è unica una applicazione I che associa a due curve in senso esteso X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 e
Y : G(X0 , X1 , X2 ) = 0 e ad un punto P un elemento I(P, X ∩ Y) ∈ Z≥0 ∪ {∞} con le seguenti proprietà :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
I(P, X ∩ Y) è un intero non negativo se e solo se X e Y non hanno componenti comuni passanti per P ;
I(P, X ∩ Y) = 0 se e solo se P ∈
/ X ∩ Y;
I(P, X ∩ Y) = 1 se X e Y sono rette distinte per P ;
I(P, X ∩ Y) = I(P, Y ∩ X );
Se P è affine, I(P, X ∩ Y) = I(P, X ∩ Z), dove Z : HF∗ + G∗ = 0 per qualche H ∈ K[X, Y ];
Se Z : GH = 0, allora I(P, X ∩ Z) = I(P, X ∩ Y) + I(P, X ∩ Y 0 ), dove Y 0 : H = 0;
I è invariante per proiettività .
Non ci preoccuperemo della dimostrazione di questo risultato, ma piuttosto del ricordare un efficiente procedimento di
calcolo dell’intero I(P, X ∩ Y).
A meno di proiettività , è possibile supporre che le curve in senso esteso prive di componenti comuni X : F (X, Y ) = 0 e
Y : G(X, Y ) = 0 ed il punto P soddisfino le seguenti proprietà :
•
•
•
•
P = (a, b) sia affine;
Y∞ = (0 : 0 : 1) non sia punto nè di X , nè di Y;
su ogni retta di equazione X = a vi sia al più un punto di X ∩ Y;
nessuna tangente a X o Y in un punto di X ∩ Y sia di equazione X = a.
Allora I(P, X ∩ Y) è la molteplicità di a come radice del risultante RY (F, G).
Talvolta il calcolo di I(P, X ∩ Y) può risultare semplificato. Si può infatti dimostrare questo teorema.
5. MOLTEPLICITÀ DI INTERSEZIONE E VALUTAZIONI
29
Teorema 2.17. Siano X e Y due curve in senso esteso prive di componenti in comune. Allora
I(P, X ∩ Y) ≥ mP (X )mP (Y);
inoltre l’uguaglianza vale se e solo se ogni tangente a X in P non è tangente a Y in P .
Un metodo ancora più veloce per il calcolo di I(P, X ∩ Y) si può descrivere nel caso in cui P sia un punto semplice di
una delle due curve, diciamo X . Sia X : F (X, Y ) = 0 e Y : G(X, Y ) = 0. A meno di proiettività possiamo supporre che
P coincida con O = (0, 0), e che la tangente di X in O sia la retta di equazione X = 0. Se tale retta non è tangente
principale di Y in O, allora possiamo utilizzare il teorema precedente e concludere che I(O, X ∩ Y) = mO (Y). Altrimenti,
si avrà :
F (X, Y ) = Fd (X, Y ) + . . . + F2 (X, Y ) + X,
G(X, Y ) = Ge (X, Y ) + . . . + XGm−1 (X, Y )
dove d è l’ordine di X , e è l’ordine di Y, m = mO (Y), Fi (risp. Gj ) è omogeneo di grado i (risp. j). Ora, poniamo
H = G − Gm−1 F e consideriamo la curva in senso esteso Z : H = 0. Dalla proprietà 6 della molteplicità di intersezione
segue che
I(O, X ∩ Y) = I(O, X ∩ Z) .
Scriviamo H come somma di polinomi omogenei di grado decrescente:
H = Hl + . . . + Hm0 .
Per costruzione, m0 > m. A questo punto avremo due possibilità . Se X non divide Hm0 , allora possiamo concludere
dal Teorema 2.17 che I(O, X ∩ Z) = m0 . Se invece X divide Hm0 , allora iteriamo il procedimento. L’algoritmo dovrà
concludersi dopo un numero finito di passi in quanto è noto a priori che I(O, X ∩ Y) è finito, e ad ogni passo cresce l’intero
m tale che I(O, X ∩ Y) > m.
Esercizio 15. Con K = C, si calcoli la molteplicità di intersezione nel punto (0, 0) delle seguenti coppie di curve:
• X : Y 3 − X 2 = 0, Y : 6Y 5 − 2Y 5 X + 4X 2 − 2Y 2 + 2X = 0;
• X : 3X 2 + 2XY − 3X, Y : X 3 + 5X 3 Y − 6Y 4 .
Concludiamo questa sezione riportando il famoso Teorema di Bézout, di cui omettiamo la dimostrazione.
Teorema 2.18. Due curve in senso esteso prive di componenti comuni di ordine rispettivo m e n si incontrano in
esattamente mn punti, contati con molteplicità .
5. Molteplicità di intersezione e valutazioni
In questa ultima sezione del capitolo torniamo a trattare le curve in senso stretto, ovvero le varietà algebriche (affini o
proiettive) di dimensione 1. In particolare vedremo come nel caso in cui la curva sia piana, la valutazione di una funzione
razionale in un suo punto singolare possa essere calcolata facendo riferimento alla molteplicità di intersezione di curve in
senso esteso.
Teorema 2.19. Sia X = V (hF (X, Y )i) una curva piana affine, e sia P un punto non singolare di X . Sia α ∈ K(X )∗ .
Si scriva α come classe di un quoziente di due polinomi:
α=
G + hF i
.
H + hF i
Siano inoltre Y e Z le curve in senso esteso di equazione Y : G(X, Y ) = 0, Z : H(X, Y ) = 0. Allora
ordP (α) = I(P, Y ∩ X ) − I(P, Z ∩ X ) .
(con il simbolo X si abbiamo indicato sia la curva V (hF i) che la curva in senso esteso definita da F ).
5. MOLTEPLICITÀ DI INTERSEZIONE E VALUTAZIONI
30
Dimostrazione. Sia aX + bY + c = 0 l’equazione di una retta passante per P non tangente a X in P , e sia
t = aX + bY + c + hF i il parametro locale di X in P corrispondente. Si ponga inoltre m = ordP (α). Per definizione di
ordine, esiste u ∈ K[X ]P , u invertibile, tale che α = tm u. Dall’invertibilità di u segue che
u=
G1 + hF i
H1 + hF i
per qualche G1 , H1 che non si annullano in P . Da
α=
G1 (aX + bY + c)m + hF i
H1 + hF i
segue che F divide GH1 − G1 HG1 (aX + bY + c)m , ovvero esiste un polinomio Q ∈ K[X, Y ] tale che
QF + G1 H(aX + bY + c)m = GH1 .
Dalla proprietà 5 della molteplicità di intersezione segue che
I(P, X ∩ {GH1 = 0}) = I(P, X ∩ {G1 H(aX + bY + c)m = 0}),
e quindi dalla proprietà 6 si ha che I(P, X ∩ {G = 0}) + I(P, X ∩ {H1 = 0}) coincide con
I(P, X ∩ {G1 = 0}) + I(P, X ∩ {H = 0}) + mI(P, X ∩ {aX + bY + c = 0}).
Dato che l’equazione aX + bY + c = 0 rappresenta una retta per P non tangente, si ha I(P, X ∩ {aX + bY + c = 0}) = 1.
Inoltre, dato che G1 , H1 che non si annullano in P , si ottiene I(P, X ∩ {G1 }) = I(P, X ∩ {H1 }) = 0. Pertanto l’asserto è
dimostrato.
La versione proiettiva del Teorema 2.19 è la seguente
Teorema 2.20. Sia α una funzione razionale non nulla della curva algebrica piana proiettiva X = V (hF (X0 , X1 , X2 )i),
e sia P un punto non singolare di X . Si scriva α come classe di un quoziente di due polinomi omogenei dello stesso
grado:
G + hF i
.
α=
H + hF i
Siano inoltre Y e Z le curve in senso esteso di equazione Y : G(X0 , X1 , X2 ) = 0, Z : H(X0 , X1 , X2 ) = 0. Allora si ha
che
ordP (α) = I(P, Y ∩ X ) − I(P, Z ∩ X ) .
Teorema 2.21. Sia X una curva algebrica piana proiettiva non singolare. Allora ogni funzione α ∈ K(X ) non nulla ha
lo stesso numero di zeri e di poli, contati con molteplicità .
Dimostrazione. L’asserto segue dal Teorema precedente e dal Teorema di Bézout.
Nel prossimo capitolo generalizzeremo il Teorema 2.21 a curve con punti singolari.
CAPITOLO 3
Valutazioni, Divisori, Zeri e Poli
1. DVR di campi di funzioni algebriche
In questo capitolo K indicherà sempre un campo algebricamente chiuso.
Definizione 3.1. Sia F : K un’estensione di campi tale che F è un’estensione finita di K(x) per qualche x trascendente
su K. Allora F è detto campo di funzioni algebriche su K.
In virtù dei risultati del Capitolo 1 i campi di funzioni algebriche sono precisamente i campi di funzioni razionali delle
curve algebriche.
Iniziamo col provare una proprietà dei campi di funzioni algebriche che sarà usata spesso nel seguito.
Lemma 3.2. Sia F un campo difunzioni algebriche su K. Sia y ∈ F \ K. Allora F : K(y) è finita.
Dimostrazione. Sia x tale che F : K(x) è finita.
Osserviamo che F : K(x, y) è finita, dato che K(x, y) contiene K(x).
Ma anche K(x, y) : K(y) è finita. Infatti il grado di trascendenza di F : K è pari a uno, e quindi x e y sono algebricamente
indipendenti. Ciò significa in particolare che y è radice di un polinomio a coefficienti in K(x).
Consideriamo quindi la catena di estensioni di campi
K(y) ⊆ K(x, y) ⊆ F.
Dalla transitività delle estensioni finite segue allora l’asserto.
Proposizione 3.3. Sia F un campo di funzioni algebriche su K. Sia O un DVR di F contenente K, e sia M il suo
ideale massimale. Allora
∼ K.
O/M =
Dimostrazione. La mappa naturale ψ : K → O/M definita da c 7→ cM è evidentemente un omomorfismo di campi
non banale, e quindi un monomorfismo.
Proviamo che l’estensione [O/M : ψ(K)] è finita.
Sia t parametro locale di O. Siano z1 M, . . . , zn M in O/M linearmente indipendenti su ψ(K). Dimostriamo che z1 , . . . , zn
sono linearmente indipendenti su K(t). Sia
n
X
ηi (t) ∈ K(t).
ηi (t)zi = 0,
i=1
Senza restrizione assumiamo che ηi (t) siano polinomi in t, non tutti divisi da t. Cioè
ηi (t) = ai + tgi (t),
ai ∈ K,
ai 6= 0 per qualche i.
Risulta chiaramente ηi (t)M = ai M . Pertanto in O/M
0=
n
n
X
X
(ηi (t)M )(zi M ) =
(ai M )(zi M ),
i=1
i=1
in contraddizione con z1 M, . . . , zn M in O/M linearmente indipendenti su ψ(K). Pertanto se l’estensione [O/M : ψ(K)]
non fosse finita, non lo sarebbe neanche [F : K(t)], ma ciò è impossibile in virtù del Lemma 3.2.
31
2. LA CORRISPONDENZA PUNTI-VALUTAZIONI
32
Osserviamo ora che ψ(K) è algebricamente chiuso, essendo chiaramente isomorfo a K. Siccome abbiamo appena provato
che [O/M : ψ(K)] è finita, e quindi algebrica, l’unica possibilità è che O/M = ψ(K).
Definizione 3.4. Data una curva X , con l’espressione DVR di K(X ) intenderemo un DVR contenuto in K(X ), contenente
K, il cui campo dei quozienti sia K(X ). Analogamente, dato un campo F di funzioni algebriche su K, con l’espressione
DVR di F intenderemo un DVR contenuto in F , contenente K, il cui campo dei quozienti sia F .
Lemma 3.5. Siano O1 , O2 DVR di un campo di funzioni algebriche F . Allora non è possibile che O1 ( O2 .
Dimostrazione. Proviamo che O1 è un sottoanello proprio massimale di F . Per convincersene basta provare che
per ogni elemento z appartenente a F ma non a O1 , l’anello O1 [z] generato dal O1 e da z coincide in realtà con l’intero
F : un qualunque elemento x del campo, moltiplicato per una opportuna potenza di z a esponente negativo, diventa un
elemento di O1 , e questo prova che x è un’espressione polinomiale in z con coefficienti in O1 .
2. La corrispondenza punti-valutazioni
Dal primo capitolo sappiamo che l’anello locale in un punto semplice di una curva è un DVR. In generale, gli anelli locali
nei punti semplici non esauriscono tutti i DVR del campo delle funzioni razionali della curva. Il seguente teorema è di
cruciale importanza in quanto descrive la relazione fra i DVR di K(X ) e i punti di X .
Teorema 3.6. Sia O un DVR di K(X ), e sia M l’ideale massimale di O. Allora
(a) esiste un unico punto P di X tale che
K[X ]P ⊆ O,
K[X ]P ∩ M = MP .
Tale punto P si dice il centro del DVR O.
(b) Se P è un punto semplice di X , allora K[X ]P è l’unico DVR di K(X ) centrato in P .
Dimostrazione. Dimostreremo il teorema per una curva di P2 (K), di equazione F (X0 , X1 , X2 ) = 0 (o equivalentemente F? (X, Y ) = 0). La dimostrazione nel caso generale è analoga, ed è lasciata per esercizio. Supponiamo senza
restrizione che X non sia una delle rette Xi = 0, i = 0, 1, 2.
(a) Unicità: Supponiamo per assurdo che esistano due punti distinti P e Q con K[X ]P ∩ M = MP e K[X ]Q ∩ M =
MQ . Scegliamo α ∈ K(X ) tale che α è definita sia in P che in Q, α(P ) = 0, α(Q) 6= 0 (è facile vedere che tale
α esiste). Allora dato che α ∈ MP si ha α ∈ M . Ma del resto α ∈ K[X ]Q \ MQ implica α ∈
/ M.
Esistenza: Denotiamo con vO la valutazione associata ad O. Sia N il massimo delle valutazioni vO (αi,j ),
essendo αi,j = Xi + hF i/Xj + hF i, i, j = 0, 1, 2. Senza restrizione supponiamo che N = vO (αj,0 ). Allora per
ogni i si ha
Xj + hF i Xi + hF i
vO (αi,0 ) = vO
·
= N − vO (αj,i ) ≥ 0.
X0 + hF i Xj + hF i
X1 +hF i
2 +hF i
Pertanto O contiene le funzioni x̄ = X
e ȳ = X
X0 +hF i , e quindi tutto K[X ].
0 +hF i
Poniamo ora J = M ∩ K[X ]. Osserviamo che J non può essere l’ideale nullo, altrimenti ogni elemento non
nullo di K[X ] sarebbe un elemento invertibile in O, e quindi l’intero K(X ) sarebbe contenuto in O. D’altro
canto J non può essere l’intero K[X ], altrimenti avremmo che vO (1) > 0, il ché è palesemente assurdo essendo
1 invertibile. Quindi 0 6= J 6= K[X ].
Osserviamo che J è ideale primo: da vO (αβ) = vO (α) + vO (β) segue facilmente che αβ ∈ M implica α ∈ M
o β ∈ M.
Consideriamo ora J 0 = {g + sF∗ | [g] ∈ J, s ∈ K[X, Y ]}, ideale di K[X, Y ] contenente hF∗ i e tale che
0
π(J ) = J, essendo π la proiezione canonica π : K[X, Y ] → K[X ]. Mostriamo che anche J 0 è primo. Se gh ∈ J 0
allora π(g)π(h) ∈ J, e quindi π(g) o π(h) appartiene a J. Supponiamo che π(g) ∈ J. Allora per costruzione
g ∈ J 0.
Pertanto l’insieme degli zeri di J 0 è una varietà irriducibile non vuota contenuta propriamente in X . L’unica
possibilità è che corrisponda a un punto (affine) P di X .
3. VALUTAZIONI E MAPPE RAZIONALI
33
Proviamo ora che la tesi vale per P . Dimostriamo che MP ⊆ K[X ]P ∩ M . Fissiamo α in MP . Sia
α = g + hF∗ i/h + hF∗ i con g(P ) = 0, h(P ) 6= 0. Chiaramente g ∈ J 0 , quindi g + hF∗ i ∈ J ⊆ M . D’altro canto
h+hF∗ i ∈ K[X ]\J, e quindi h+hF∗ i ∈ O\M . Ma allora 1/(h+hF∗ i) ∈ O, e quindi α = g+hF∗ i·1/(h+hF∗ i) ∈ M .
Proviamo adesso che K[X ]P ∩ M ⊆ MP , o equivalentemente che ogni elemento di K[X ]P \ MP non puó
appartenere a M . Un elemento α di K[X ]P \ MP si può scrivere come α = g + hF∗ i/h + hF∗ i con g(P ) 6= 0,
h(P ) 6= 0. Allora sia g + hF? i che h + hF∗ i appartengono a O \ M , e quindi α ∈
/ M.
Mostriamo infine che K[X ]P è sottoinsieme di O. Supponiamo per assurdo che esista α ∈ K[X ]P \ O. Dato
che MP ⊆ M , si ha che α è necessariamente invertibile in K[X ]P . Pertanto 1/α ∈
/ MP e quindi 1/α ∈
/ M . Ma
siccome α ∈
/ O implica 1/α ∈ M otteniamo una contraddizione.
(b) Se P è un punto semplice di X , chiaramente K[X ]P è DVR centrato in P . Sia O un altro DVR centrato in P .
Allora O = K[X ]P in virtù del Lemma 3.5.
Una interessante conseguenza della Proposizione 3.6 è data dal seguente corollario.
Corollario 3.7. Se X è una curva non singolare, allora la corrispondenza P 7→ K[X ]P definisce una biiezione da X
nell’insieme dei DVR di K(X ).
3. Valutazioni e mappe razionali
Iniziamo questa sezione presentando una caratterizzazione dei DVR di un campo di funzioni algebriche.
Proposizione 3.8. Sia F un campo di funzioni algebriche su K. Allora un sottoanello O di F avente le seguenti proprietà:
(a) K ( O ( F ,
(b) per ogni α ∈ F si ha α ∈ O oppure 1/α ∈ O,
è un DVR di F (e viceversa).
Divideremo la dimostrazione in 3 Lemmi.
Lemma 3.9. Sia O come nella Proposizione 3.8. Allora O è locale e il suo ideale massimale è principale.
Dimostrazione.
• O è un anello locale. Sia M l’insieme degli elementi non invertibili di O.
Sia x ∈ M , z ∈ O. Allora xz non è invertibile, altrimenti x lo sarebbe essendo x(z(xz)−1 ) = 1. Pertanto
xz ∈ M .
Siano ora x, y ∈ M . Senza restrizione, da (b), possiamo assumere che x/y ∈ O. Allora 1 + x/y ∈ O e
pertanto x + y = y(1 + x/y) ∈ M .
Questo prova che M è un ideale, e quindi che O è locale.
• M è principale. Ragioniamo per assurdo assumendo che che M non sia principale.
Sia x1 in M , x1 6= 0. Siccome M non è principale, esiste x2 ∈ M \ hx1 i. Quindi x2 x−1
/ O. Da (b) segue
1 ∈
che x−1
2 x1 appartiene a O ma non è invertibile in O; ovvero (x1 /x2 ) ∈ M .
Ripetendo il processo costruiamo una successione x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . tale che (xi /xi+1 ) ∈ M per ogni
i ≥ 1. Ne segue (xi /xj ) ∈ M per ogni i < j. Mostriamo che una tale successione non può esistere.
Proveremo che per ogni n, gli elementi x1 , x2 , x3 , . . . , xn sono linearmente indipendenti su K(x1 ). Questo
sarà sufficiente, essendo in contraddizione con il fatto che F |K(x1 ) è finita (si osservi che x1 ∈ M esclude che
x1 ∈ K).
Si ponga per semplicità x = x1 . Supponiamo che esista una combinazione lineare non banale
n
X
i=1
φi (x)xi = 0,
con φi (x) ∈ K(x).
3. VALUTAZIONI E MAPPE RAZIONALI
(2)
34
Possiamo assumere che tutti gli φi siano polinomi in x, e che x non li divida tutti. Sia ai = φi (0), e si definisca
j come l’indice per cui aj 6= 0 ma ai = 0 per ogni i > j. Otteniamo
X
−φj (x)xj =
φi (x)xi .
i6=j
Osserviamo che φi (x) ∈ O dato che in partenza x = x1 ∈ M ⊆ O. Ricordiamo poi che xi ∈ xj M per i < j e
φi (x) = xgi (x) per i > j, con gi ancora polinomio in x. Dividendo (2) per xj otteniamo
X
X
−φj (x) =
φi (x)xi /xj +
gi (x)x/xj · xi .
i<j
i>j
Tutti gli addendi a secondo membro appartengono a M , pertanto anche φj (x) ∈ M . D’altro canto φj (x) =
aj + xgj (x), con aj ∈ K, aj 6= 0. Pertanto aj = φj (x) − x1 jj (x) ∈ M , che è ovviamente impossibile.
Lemma 3.10. Sia O come nella Proposizione 3.8. Sia t un generatore di M . Allora ogni elemento z di F ∗ ha un’unica
rappresentazione z = tn u con u invertibile in O e n ∈ Z.
Dimostrazione. In virtù di (b), possiamo assumere senza restrizione z ∈ O. Se z è invertibile in O, allora basta
scrivere z = t0 z. Altrimenti z ∈ M .
Mostriamo che non è possibile che z ∈ tn O per ogni n. Se cosı̀ fosse, ponendo
x1 = z, x2 = tn−1 , x3 = tn−2 , . . . , xn = t
si avrebbero sequenze arbitrariamente lunghe di elementi xi tali che x1 = z e xi ∈ xi+1 M . Nella dimostrazione del Lemma
precedente abbiamo provato come tali sequenze non possano esistere.
Sia allora m il massimo intero positivo tale che z ∈ tm O. Si scriva z = tm u con u ∈ O. Se u non fosse invertibile si
avrebbe u = tu0 e quindi z = tm+1 u, che è assurdo.
La dimostrazione dell’unicità della rappresentazione è lasciata allo studente come esercizio.
Lemma 3.11. Sia O come nella Proposizione 3.8. Allora O è Noetheriano.
Dimostrazione. Proveremo in realtà una proprietà più forte, ovvero che O è un dominio a ideali principali. Sia I
un ideale non nullo di O, e sia t un generatore di M . L’insieme
Λ = {r ∈ N | tr ∈ I}
è non vuoto. Infatti, se x ∈ I, x 6= 0, scrivendo x = tr u si ha subito tr = xu−1 ∈ I. Sia n il minimo elemento di Λ.
Banalmente si ha che htn i ⊆ I. Viveversa, per ogni y ∈ I non nullo si scriva y = ts w con w invertibile in O. Allora ts ∈ I
e quindi s ≥ n. Questo dimostra che y = tn ts−n w ∈ htn i. Pertanto I = htn i.
Che un DVR abbia le proprietà (a) e (b) segue facilmente dall’Esercizio 5. Pertanto la dimostrazione della Proposizione
3.8 è conclusa.
Esercizio 16. Si dimostri la seguente generalizzazione della Proposizione 1.33: Un dominio di integrità R che non sia
un campo è un DVR se e solo se esiste un elemento irriducibile t ∈ R tale che ogni elemento non nullo z ∈ R può essere
scritto in un unico modo come z = utn , con u invertibile in R e n un intero non negativo.
È possibile interpretare le mappe razionali fra curve in termini di valutazioni. Siano X e Y due curve irriducibili, e sia
φ : X → Y una mappa razionale dominante.
Proposizione 3.12. Siano X e Y curve proiettive, e sia φ : X → Y una mappa razionale non costante. Allora K(X ) :
φ∗ (K(Y)) è un’estensione finita.
Dimostrazione. Per ogni α ∈ K(Y)\K si ha che φ∗ (α) ∈ φ∗ (K(Y))\K. Dal Lemma 3.2 segue che K(X ) : K(φ∗ (α))
è finita. Questo ovviamente è sufficiente per dedurre che anche K(X ) : φ∗ (K(Y)) lo è.
3. VALUTAZIONI E MAPPE RAZIONALI
35
Proposizione 3.13. Sia φ : X → Y una mappa razionale dominante. Allora per ogni O DVR di K(X ) l’anello
φ̂(O) = (φ∗ )(−1) (O ∩ φ∗ (K(Y))) ⊆ K(Y)
è un DVR di K(Y) il cui ideale massimale M è tale che
Mφ̂(O) = (φ∗ )(−1) (MO ∩ φ∗ (K(Y)))
(dove Mφ̂(O) e MO sono gli ideali massimali di φ̂(O) e O, rispettivamente).
Dimostrazione. Tenendo conto del fatto che φ∗ è un isomorfismo dei campi K(Y) e φ∗ (K(Y)) sarà sufficiente
provare che
i) O0 = O ∩ φ∗ (K(Y)) è DVR di φ∗ (K(Y));
ii) MO0 = MO ∩ φ∗ (K(Y)).
Per dimostrare che O0 è DVR di K(Y) utilizzeremo la Proposizione 3.8. La condizione (b) della Proposizione 3.8 è
banalmente verificata. Per quanto riguarda la condizione (a), è evidente che K ⊆ O0 . Mostreremo che O0 contiene
propriamente K provando che
(∗) esiste α ∈ φ∗ (K(Y)) con ordO (α) 6= 0.
Assumiamo che questa affermazione sia falsa e scegliamo t ∈ K(X ) con ordO (t) > 0. Essendo l’estensione [K(X ) :
φ∗ (K(Y))] algebrica c’è un’equazione
n
X
ci ti = 0,
ci ∈ φ∗ (K(Y)), c0 6= 0, cn 6= 0.
i=0
Se fosse ordO (ci ) = 0 per ogni i, si avrebbe ordO (ci ti ) = i · ordO (t); quindi, per la disuguaglianza triangolare delle
valutazioni, si otterrebbe ordO (0) = n, una contraddizione.
Per concludere che O0 è un DVR di φ∗ (K(Y)) basta osservare che O0 è contenuto propriamente in φ∗ (K(Y)); se cosı̀ non
fosse allora φ∗ (K(Y)) ⊆ O, e quindi per ogni α ∈ K(Y) \ K si avrebbe φ∗ (α), φ∗ (α)−1 ∈ O \ K, in contraddizione con (*).
Proviamo ora ii). Per un elemento z in φ∗ (K(Y)) si ha
z ∈ MO0 ⇔ 1/z ∈
/ O0 ⇔ 1/z ∈
/ O ⇔ 1/z ∈ MO ,
da cui l’asserto.
Corollario 3.14. Sia φ : X → Y una mappa razionale dominante. Allora per ogni P punto semplice di X la mappa φ
è definita in P .
Dimostrazione. Basta applicare la Proposizione 3.13 al caso O = K[X ]P e tener conto della Proposizione 1.64 e
del Teorema 3.6 applicato a (φ∗ )(−1) (O ∩ φ∗ (K(Y))).
Proposizione 3.15. Sia P punto semplice di X , e Q punto di Y. Allora φ(P ) = Q se e soltanto se φ̂(K[X ]P ) è un DVR
di K(Y) centrato in Q.
Dimostrazione. Osserviamo preliminarmente che se φ(P ) = Q allora, φ∗ (MQ ) = MP ∩ φ∗ (K[Y]q ). Che φ∗ (MQ ) ⊆
MP ∩ φ∗ (K[Y]q ) è già noto dalla Proposizione 1.64. Sia allora z ∈ φ∗ (K[Y]Q ) ∩ MP . Allora - supponendo come di
g(x̄1 ,...,x̄m )
consueto φ = (1 : α1 : . . . : αm ) e P, Q affini - si ha che z = φ∗ (η), con η = h(x̄
e h polinomio tale che h(Q) 6= 0.
1 ,...,x̄m )
Pertanto z =
z ∈ φ∗ (MQ ).
g(α1 ,...,αm )
h(α1 ,...,αm ) .
Dato che z ∈ MP si ha g(α1 , . . . , αm )(P ) = 0, ovvero g(Q) = 0. Questo prova η ∈ MQ , e quindi
Pertanto dalla Proposizione 1.64 segue
φ(P ) = Q
⇔
[φ∗ (K[Y]Q ) ⊆ K[X ]P
e
φ∗ (MQ ) = MP ∩ φ∗ (K[Y]Q )].
Chiaramente la condizione si può anche scrivere come
φ∗ (K[Y]Q ) ⊆ K[X ]P ∩ φ∗ (K(Y)
e
φ∗ (MQ ) = (MP ∩ φ∗ (K(Y))) ∩ φ∗ (K[Y]Q ).
3. VALUTAZIONI E MAPPE RAZIONALI
36
Applicando (φ∗ )(−1) si ottiene allora che φ(P ) = Q se e solo se
K[Y]Q ⊆ φ̂(K[X ]P )
e
MQ = (φ∗ )(−1) (MP ∩ φ∗ (K(Y))) ∩ K[Y]Q .
Tenendo conto che in virtù della Proposizione 3.13 (φ∗ )(−1) (MP ∩ φ∗ (K(Y))) è l’ideale massimale di φ̂(K[X ]P ), la
condizione è chiaramente equivalente al fatto che Q sia il centro di φ̂(K[X ]P ).
Nei prossimi tre esempi vedremo alcune possibili comportamenti di una mappa razionale rispetto a punti singolari di
una curva. Come già ricordato puó capitare che una mappa razionale non sia definita in un punto singolare. Questo
“inconveniente” si può superare in due passi: (1) individuare i DVR centrati nel punto singolare (2) calcolare le immagini
di tali DVR e i loro centri.
Esempio 3.16. Sia
X : Y 2 − X 2 − X 3 = 0.
Lo studente può verificare facilmente che X è irriducibile. Il punto (1 : 0 : 0) è doppio e ammette due tangenti principali
distinte. L’intuizione suggerisce che per questo motivo potrebbero essere due i DVR centrati nel punto. E infatti le cose
stanno proprio cosı̀ (approfondiremo meglio questa intuizione nella Sezione 5).
Consideriamo la curva Y : X = 0, chiaramente non singolare, e costruiamo una mappa razionale da Y in X :
φ : Y → X,
φ = (1 : x̄2 − 1 : x̄(x̄2 − 1)).
La mappa è ben definita dato che chiaramente (x̄(x̄2 − 1))2 − (x̄2 − 1)2 − (x̄2 − 1)3 = 0. Inoltre è birazionale dato che
ψ : X → Y,
ψ = (1 : 0 : ȳ/x̄)
è una sua inversa.
È evidente che φ(1 : 0 : 1) = φ(1 : 0 : −1) = (1 : 0 : 0). Pertanto sono almeno due i DVR di K(X ) ∼
= K(Y) centrati in
(1 : 0 : 0) (vedremo nella Sezione 5 che in realtà sono esattamente due).
Osserviamo infine che la mappa razionale di X in P1 (K) definita da (1 : x̄ȳ ) non è definita in (1 : 0 : 0). Ma vista
come funzione sui DVR centrati in (1 : 0 : 0), è definita, e precisamente ha come immagine del DVR corrispondente a
(1 : 0 : 1) ∈ Y il DVR di P1 (K) centrato in (1 : 1), mentre come immagine del DVR corrispondente a (1 : 0 : −1) ∈ Y il
DVR di P1 (K) centrato in (1 : −1).
Esempio 3.17. Sia
X : Y 2 − X 3 = 0.
Lo studente può verificare facilmente che X è irriducibile. Il punto (1 : 0 : 0) è doppio e ammette una sola tangente
principale. L’intuizione suggerisce che per questo motivo potrebbe unco il DVR centrato nel punto. Le cose in questo
esempio stanno cosı̀ ma nel prossimo esempio vedremo come questo non è un fatto generale.
Consideriamo di nuovo la curva Y : X = 0, chiaramente non singolare, e costruiamo una mappa razionale da Y in X :
φ : Y → X,
φ = (1 : x̄2 : x̄3 ).
La mappa è ovviamente ben definita. Inoltre è birazionale dato che
ψ : X → Y,
ψ = (1 : 0 : ȳ/x̄)
è una sua inversa.
È evidente che φ(1 : 0 : 0) = (1 : 0 : 0). Pertanto se O indica il DVR di K(Y) centrato in (1 : 0 : 0), allora φ∗ (O) è DVR
di K(X ) centrato in (1 : 0 : 0).
Potrebbero esistere altri DVR di K(X ) centrati in (1 : 0 : 0)? No. Infatti un altro DVR centrato in (1 : 0 : 0) dovrebbe
corrispondere a un DVR O0 di K(Y). Siccome Y è non singolare, O0 dovrebbe coincidere con K[Y]Q per qualche Q. In
tal caso allora si avrebbe φ(Q) = (1 : 0 : 0). Ma è immediato controllare che φ(Q) = (1 : 0 : 0) si verifica soltanto per
Q = (1 : 0 : 0) e quindi O0 = O.
4. IMMAGINI DI MAPPE RAZIONALI
37
Esempio 3.18. Sia p 6= 2, 3 la caratteristica di K. Sia
X : −X 2 + X 4 + Y 6 = 0.
Lo studente può verificare che X è una curva irriducibile.
Mostreremo che nonostante vi sia un’unica tangente principale in (1 : 0 : 0), i DVR di K(X ) centrati in (1 : 0 : 0) sono
almeno due.
Consideriamo la curva X : X 6 + Y 6 − 1 = 0. La verifica che H è una curva non singolare (e quindi irriducibile) è
immediata. Si osservi che l’ipotesi che la caratteristica non sia 2 o 3 è necessaria.
Costruiamo una mappa razionale φ : H → X ponendo φ = (1 : x̄3 : x̄ȳ).
Controlliamo che per ogni punto P ∈ H si ha φ(P ) ∈ X . Se P è affine, allora P = (1 : a : b) con a6 + b6 − 1 = 0, e quindi
φ(P ) = (1 : a3 , ab). Ma allora
−(a3 )2 + (a3 )4 + (ab)6 = a6 (−1 + a6 + b6 ) = 0,
ovvero φ(P ) è un punto affine di X . La verifica nel caso P non affine è lasciata per esercizio.
Osserviamo che i punti affini P di H con φ(P ) = (1 : 0 : 0) sono sei, e precisamente i punti (1 : 0 : ω i ), con ω radice
primitiva sesta dell’unità e i = 1, . . . , 6. Dimostriamo che i DVR O1 e Oω di H centrati rispettivamente in (1 : 0 : 1) e
in (1 : 0 : ω) hanno restrizioni in φ∗ (K(X )) = K(x̄3 , x̄ȳ) entrambe ovviamente centrate in (1 : 0 : 0), ma distinte. Infatti
3
∗
ȳ 3 − 1 = (x̄ȳ)
x̄3 − 1, elemento di φ (K(X )), appartiene a O1 e al suo ideale massimale, ma non all’ideale massimale di Oω .
Analogamente ȳ 3 − ω 3 = ȳ 3 + 1 =
(x̄ȳ)3
x̄3
+ 1 appartiene a Oω e al suo ideale massimale, ma non all’ideale massimale di O1 .
Osserviamo infine che la mappa razionale di X in P1 (K) definita da (1 : x̄ȳ ) non è definita in (1 : 0 : 0). Ma vista come
funzione sui DVR centrati in (1 : 0 : 0), è definita, e precisamente ha come immagine di ((φ∗ )−1 )(O1 ∩ φ∗ (K(X ))) il DVR
di P1 (K) centrato in (1 : 1), mentre come immagine di ((φ∗ )−1 )(Oω ∩ φ∗ (K(X ))) il DVR di P1 (K) centrato in (1 : −1).
4. Immagini di mappe razionali
In questa breve sezione proveremo il seguente risultato, facile conseguenza della teoria sviluppata nel Capitolo 1.
Proposizione 3.19. Sia X una curva proiettiva, e sia φ : X → Pm (K) una mappa razionale non costante. Allora esiste
una curva proiettiva Y di Pm (K) tale che φ è mappa razionale dominante di X in Y.
Dimostrazione. Sia h il minimo intero tale che esiste una varietà proiettiva V di Pm (K) tale che φ è mappa razionale
di X in V . Tale intero ovviamente esiste ed è minore o uguale di m.
Vogliamo provare innanzitutto che per ogni tale V si ha che φ : X → V è dominante. Se cosı̀ non fosse esisterebbe un
sottoinsieme algebrico proprio di V , diciamo W , tale che le immagini di X sono tutte contenute in W . Se W è irriducibile,
ciò è assurdo dato che dim(W ) < h. Supponiamo allora W = W1 ∪ W2 con Wi sottoinsiemi algebrici propri. Osserviamo
che gli insiemi V1 = φ−1 (W1 ) e V2 = φ−1 (W2 ) sono sottoinsiemi algebrici di V . Mostreremo che le immagini di φ devono
essere contenute o in W1 o in W2 . In questo modo procedendo per induzione troveremmo una varietà proiettiva di
dimensione minore di h che contiene tutte le immagini di X , in contraddizione con la definizione di h. Supponiamo quindi
che le immagini di φ non siano contenute né in W1 né in W2 . Ciò significa precisamente che che gli insiemi V1 e V2 sono
sottonsiemi propri, distinti e non vuoti di X \ S, essendo S l’insieme (algebrico e finito) dei punti dove φ non è definita.
Ma allora scrivendo X = (V1 ∪ S) ∪ (V2 ∪ S) si ottiene una contraddizione con l’irriducibilità di X .
Ora è facile concludere che V deve essere una curva (o, equivalentemente, che h = 1): essendo φ : X → V dominante e
non costante, si ha che φ∗ (K(V )) è un sottocampo di K(X ) diverso da K. Ciò implica che il grado di trascendenza di
K(V ) su K è 1.
Si lascia come esercizio la dimostrazione del fatto che esiste un’unica curva Y come nella Proposizione 3.19.
Definizione 3.20. Sia X una curva proiettiva, e sia φ : X → Pm (K), una mappa razionale non costante. La curva Y
della Proposizione 3.19 si dice la curva immagine di X mediante φ.
5. TRASFORMAZIONI QUADRATICHE DI CURVE PIANE
38
5. Trasformazioni quadratiche di curve piane
5.1. Trasformazioni quadratiche locali. Sia X una curva piana passante per O = (1 : 0 : 0) e tale che la retta
X1 = 0 non sia tangente a X in O. Sia F (X, Y ) = 0 un’equazione affine di X . Sia inoltre x̄ = X1 + I(X )/X0 + I(X ) e
ȳ = X2 + I(X )/X0 + I(X ).
La mappa razionale φ : X → P2 (K), φ = (1 : x̄ : x̄ȳ ) si dice trasformazione quadratica locale di X .
Lemma 3.21. Se O è un punto r-plo di X , allora F 0 (X, Y ) = F (X, XY )/X r è un polinomio irriducibile. Sia Y è la curva
piana di equazione affine F 0 (X, Y ) = 0. Allora φ è una mappa birazionale di X in Y.
Dimostrazione. Si osservi innanzitutto che
F (X, Y ) = Fr (X, Y ) + Fr+1 (X, Y ) + . . . + Fv (X, Y )
con Fi omogeneo per i = r, . . . , v e con Fr non nullo e non diviso da X. Pertanto
1
F 0 (X, Y ) = F (X, XY )/X r = r X r Fr (1, Y ) + X r+1 Fr+1 (1, Y ) + . . . + X v Fv (1, Y )
X
è un polinomio, e precisamente
(3)
F 0 (X, Y ) = Fr (1, Y ) + XFr+1 (1, Y ) + . . . + X v−r Fv (1, Y ).
Proviamo quindi che F 0 è irriducibile. Supponiamo che F 0 (X, Y ) = G(X, Y )H(X, Y ) con G(X, Y ), H(X, Y ) polinomi non
costanti. Inizialmente esaminiamo la possibilità che H(X, Y ) = h(X). Si osservi che necessariamente h(0) 6= 0, altrimenti
X dividerebbe F 0 , cosa che non può verificarsi per (3). Allora F (X, XY ) = X r h(X)G(X, Y ). Ponendo Y = Z/X si ha
F (X, Z) = X r h(X)G(X, Z/X).
Scriviamo G(X, Z/X) individuando il minimo comun denominatore: sia G(X, Z/X) = L(X, Z)/X d . Osserviamo che per
minimalità si ha che X d−1 G(X, Z/X) non è un polinomio. Inoltre d ≤ r, altrimenti F (X, Z) non sarebbe un polinomio
(per affermare questo stiamo usando il fatto che h(0) 6= 0).
Si ha quindi
F (X, Z) = X r−d h(X)L(X, Z)
Dato che F (X, Y ) contiene Y , si ha che F (X, Z) deve contenere Z e di conseguenza L non è una costante. Pertanto
l’irriducibilità di F è contraddetta.
Escludiamo adesso la possibilità che sia H(X, Y ) che G(X, Y ) contengano Y . Se cosı̀ fosse, allora
F (X, Z)
=
X r G(X, Z/X)H(X, Z/X)
=
[X m G(X, Z/X)][(X r−m H(X, Z/X)],
dove entrambi i fattori fra parentesi quadre sono polinomi. Ma sono entrambi non costanti, dato che contengono Z, e ciò
contraddice l’irriducibilità di F .
Proviamo adesso che Y è l’immagine di X mediante φ. Ma questo segue immediatemante dalla definizione di F 0 : per ogni
punto P = (1 : a : b) di X con a 6= 0 si ha φ(P ) = (1 : a : b/a) e F 0 (a, b/a) = a1r F (a, b) = 0.
La birazionalità di φ si vede immediatamente osservando che φ∗ (K(Y)) = K(x̄, ȳ/x̄) = K(x̄, ȳ) = K(X ).
Nel caso in cui O sia un punto r-plo ordinario, la trasformazione quadratica locale assume un significato geometrico
interessante. Sia infatti
r
Y
F (X, Y ) =
(Y − mi X) + Fr+1 (X, Y ) + . . . + Fv (X, Y ).
i=1
con m1 , . . . , mr a due a due distinti. Allora
F 0 (X, Y ) =
r
Y
(Y − mi ) + X(G(X, Y )).
i=1
Chiaramente i punti affini di Y appartenenti alla retta X = 0 sono i punti (1 : 0 : mi ), in corrispodenza biunivica con le
tangenti principali a X in O. Si osserva facilmente che sono punti semplici di Y, e pertanto individuano precisamente r
5. TRASFORMAZIONI QUADRATICHE DI CURVE PIANE
39
DVR di K(Y). I corrispondenti DVR di K(X ) sono precisamente i DVR di K(X ) centrati in O, che quindi si trovano in
corrispondenza biunivoca con le tangenti di X in P . Più in generale, nel caso in cui O non sia necessariamente un punto
ordinario, vale la seguente proposizione.
Proposizione 3.22. Sia φ come in Lemma 3.21. Il pull-back φ∗ della trasformazione quadratica locale φ definisce una
biiezione fra i DVR di X centrati in O e i DVR di K(Y) centrati nei punti affini di Y appartenenti alla retta X = 0.
Dimostrazione.
(1) Proviamo innanzitutto un fatto generale: Un DVR O di una curva piana C è centrato
nel punto P = (1 : a : b) se e solo se vO (x̄ − a) > 0, vO (ȳ − b) > 0. Osserviamo che x̄ − a e ȳ − b appartengono
a MP . Pertanto se O è centrato in P , allora x̄ − a e x̄ − b appartengono anche all’ideale massimale M di O, e
quindi vO (x̄ − a) > 0, vO (ȳ − b) > 0. Viceversa, supponiamo vO (x̄ − a) > 0, vO (ȳ − b) > 0. Osserviamo che
vO (x̄) = vO ((x̄ − a) + a) è uguale a 0 se a 6= 0, ed è maggiore di 0 se a = 0. Similmente vO (ȳ) ≥ 0. Allora dalla
dimostrazione della Proposizione 3.6 segue che il centro di O è un punto affine, diciamo (1 : c : d). Per quanto
dimostrato in precedenza allora vO (x̄ − c) > 0, vO (ȳ − d) > 0. Ma allora vO (c − a) = vO ((x̄ − a) − (x̄ − c)) > 0
e vO (d − b) = vO ((ȳ − b) − (ȳ − d)) > 0, e questo è possibile solo per a = c e b = d.
(2) Osserviamo che essendo φ birazionale, φ∗ : K(Y) → K(X ) è un K-isomorfismo di campi, e pertanto stabilisce
una biiezione dai DVR di K(Y) nei DVR di K(X ). Basterà allora provare che: (a) ogni DVR OY di K(Y)
centrato in un punto (1 : 0 : b) è tale che φ∗ (OY ) è centrato in (1 : 0 : 0); (b) ogni DVR OX di K(X ) centrato
in (1 : 0 : 0) è tale che (φ∗ )−1 (OX ) è centrato in un punto (1 : 0 : b) per qualche b.
(a) Se OY è centrato in (1 : 0 : b), allora vOY (x̄) > 0, vOY (ȳ −b) > 0. Quindi vφ∗ (OY ) (φ∗ (x̄)) > 0, vφ∗ (OY ) (φ∗ (ȳ −
b)) > 0. Dato che φ∗ (x̄) = x̄ e φ∗ (ȳ) = ȳ/x̄, abbiamo che
vφ∗ (OY ) (x̄) > 0,
vφ∗ (OY ) ((ȳ − bx̄)/x̄) > 0 ⇒ vφ∗ (OY ) (ȳ − bx̄) > vφ∗ (OY ) (x̄) > 0.
Sia b 6= 0. Se fosse vφ∗ (OY ) (ȳ) ≤ 0, allora vφ∗ (OY ) (ȳ) sarebbe strettamente minore di vφ∗ (OY ) (bx̄), e quindi
vφ∗ (OY ) (ȳ − bx̄) ≤ 0. Pertanto vφ∗ (OY ) (ȳ) > 0. La stessa conclusione vale chiaramente anche per b = 0.
Pertanto in virtù del punto (1), OY è centrato in (1 : 0 : 0).
(b) Se OX è centrato in (1 : 0 : 0), allora vOX (x̄) > 0, vOX (ȳ) > 0.
Proviamo che vOX (x̄) ≤ vOX (ȳ). Questo dipende dal fatto che X = 0 non è tangente di X in (1 : 0 : 0).
Supponiamo per assurdo che vOX (x̄) > vOX (ȳ) > 0. Allora ogni monomio x̄i ȳ j di grado i + j ≥ r è tale che
vOX (x̄i ȳ j ) = ivOX (x̄) + jvOX (ȳ) ≥ rvOX (ȳ) = vOX (ȳ r ),
(4)
dove vale sempre la disuguaglianza stretta, a parte che nel caso i = 0, j = r.
Dal fatto che X non divide Fr (X, Y ) si può scrivere
Fr (X, Y ) = aY r + XL(X, Y ),
a 6= 0, L omogeneo , deg(L) = r − 1,
Da F (x̄, ȳ) = 0 segue allora
r
−aȳ = x̄L(x̄, ȳ) +
v
X
Fi (x̄, ȳ),
i=r+1
e quindi
r
vOX (−aȳ ) = vOX
x̄L(x̄, ȳ) +
v
X
!
Fi (x̄, ȳ) .
i=r+1
Ma questo non è possibile per la disuguaglianza triangolare delle valutazioni: da (4) a secondo membro
compaiono tutti addendi con valutazione strettamente maggiore del primo membro.
Quindi
v(φ∗ )−1 (OX ) ((φ∗ )−1 (x̄)) > 0,
v(φ∗ )−1 (OX ) ((φ∗ )−1 (x̄)) ≤ v(φ∗ )−1 (OX ) ((φ∗ )−1 (ȳ)).
Dato che (φ∗ )−1 (x̄) = x̄ e (φ∗ )−1 (ȳ) = ȳx̄, abbiamo che
v(φ∗ )−1 (OX ) (x̄) > 0,
v(φ∗ )−1 (OX ) (x̄) ≤ v(φ∗ )−1 (OX ) (x̄ȳ).
Ne segue v(φ∗ )−1 (OX ) (ȳ) ≥ 0. Quindi il centro di (φ∗ )−1 (OX ) è sicuramente affine, e di tipo (1 : 0 : b)
essendo v(φ∗ )−1 (OX ) ((φ∗ )−1 (x̄)) > 0.
6. ESPANSIONE IN SERIE DI LAURENT
40
Sappiamo quindi che in un punto singolare r-plo ordinario sono centrati esattamente r DVR. E che se un punto singolare
r-plo ha m ≤ r tangenti principali, allora sono almeno m i DVR centrati nel punto. In generale, il problema di stabilire
il numero esatto di DVR centrati in un punto singolare non è banale.
Un utile strumento in tal senso è il seguente teorema.
Teorema 3.23. Ogni curva piana proiettiva è birazionalmente equivalente a una curva piana con sole singolarità
ordinarie.
Non daremo la dimostrazione del Teorema 3.23. Diremo soltanto che è una dimostrazione costruttiva, nel senso che
esistono algoritmi che consentono di costruire esplicitamente la mappa birazionale da una curva piana arbitraria in una
curva piana con sole singolarità ordinarie.
Forse questo è il momento di citare un altro teorema fondamentale, la cui dimostrazione esula dagli scopi del corso.
Teorema 3.24. Ogni curva proiettiva è birazionalmente equivalente a una curva proiettiva non singolare (non
necessariamente piana).
6. Espansione in serie di Laurent
6.1. Serie formali di potenze. Sia K[[T ]] l’insieme degli elementi della forma
a0 + a1 T + a2 T 2 + . . . + an T n + . . . , ai ∈ K,
nel quale due operazioni, somma e prodotto, sono definite come segue:
(a0 + a1 T + a2 T 2 + · · · ) + (b0 + b1 T + b2 T 2 + · · · )
= (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )T + (a2 + b2 )T 2 + · · · ;
(a0 + a1 T + a2 T 2 + · · · ) × (b0 + b1 T + b2 T 2 + · · · )
= a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )T + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )T 2 + · · · .
Allora (K[[T ]], +, ×) è un anello commutativo unitario i cui elementi sono chiamati serie formali di potenze. L’unità è
rappresentata dall’elemento 1 + 0X + 0Y + · · · , mentre lo zero da 0 + 0X + 0Y + · · · . Una serie formale di potenze può
essere scritta nella forma
F = F0 + F1 + F2 + · · · ,
dove Fi è un polinomio omoteneo in T di grado i. Con questa convenzione, se
G = G0 + G1 + G2 + · · · ,
allora
(5)
F +G =
(6)
F G =
(F0 + G0 ) + (F1 + G1 ) + · · · ,
(F0 G0 ) + (F0 G1 + F1 G0 ) + · · · .
Se F = Fr + Fr+1 + · · · , con Fr 6= 0, allora r è detto l’ordine o sottogrado of F. L’elemento 0 = 0 + 0X + 0Y + · · ·
chiaramente non ha un ordine; la convenzione è scrivere ord(0) = ∞. Allora, per F, G ∈ K[[T ]],
ord(F + G) ≥ min{ord(F ), ord(G)},
ord(F G)
= ord(F ) + ord(G).
Dato che K[[T ]] è un dominio di integrità, ha un campo dei quozienti
K((T )) = {F/G | F, G ∈ K[[T ]], G 6= 0},
chiamato campo dei quozienti delle serie formali di potenze, o anche campo delle serie formali di Laurent.
6. ESPANSIONE IN SERIE DI LAURENT
41
Pn
Dati F1 , F2 , . . . ∈ K[[T ]], la definizione di i=0 Fi segue dalla definizione della somma di due serie formali di potenze,
P∞
(5). È possibile anche definire una somma infinita i=0 Fi , a patto che ord(Fi ) → ∞ per i → ∞. Sia Fi = Fi0 + Fi1 +
· · · + Fij + · · · , e si supponga che ord(Fi ) → ∞ per i → ∞; allora si definisca
∞
X
Fi =
i=0
∞
X
Fi0 +
i=0
∞
X
Fi1 + · · · .
i=0
P∞
Ciò ha senso, dato che ogni somma i=0 Fij è in realtà una somma finita (per ogni j esiste ī tale che se i ≥ ī allora
ord(Fi ) > j, e quindi Fij = 0). Valgono le seguenti proprietà:
∞
X
(7)
Fi +
i=0
F
(8)
∞
X
i=0
∞
X
Gi
Gi
=
=
i=0
∞
X
i=0
∞
X
(Fi + Gi );
F Gi .
i=0
Teorema 3.25. Gli elementi invertibili in K[[T ]] sono le serie formali di potenze di ordine 0.
Dimostrazione. Sia F invertibile in K[[T ]]. Allora esiste G ∈ K[[T ]] tale che F G = 1; pertanto 0 = ord(1) =
ord(F G) = ord(F ) + ord(G). Dato che ord(F ) e ord(G) sono non negativi, si ha ord(F ) = ord(G) = 0.
Viceversa, sia ord(F ) = 0; allora, con a0 6= 0,
F
= a0 + a1 T + a2 T 2 + · · ·
a2
a1
= a0 (1 + T + T 2 + · · · )
a0
a0
= a0 (1 − G(T )),
con ord(G(T )) > 0. Scriviamo
F = a0 (1 − G).
(9)
i
Si noti che se ord(G) = r, allora ord(G ) = ir e quindi ord(Gi ) → ∞ per i → ∞. Pertanto
P∞
moltiplicando (9) per 0 Gi otteniamo:
P∞
0
Gi ha senso. Quindi,
F (1 + G + G2 + · · · + Gi + · · · )
= a0 (1 − G)(1 + G + G2 + · · · + Gi + · · · )
∞
X
= a0 (1 − G)
Gi
i=0
= a0
∞
X
(1 − G)Gi
i=0
= a0
∞
X
(Gi − Gi+1 )
i=0
= a0 (1 − G + G − G2 + · · · )
= a0 .
Dividendo per a0 si ottiene
F (a0 −1 (1 + G + G2 + · · · + Gi + · · · )) = 1;
vale a dire, F è invertibile con inversa a0 −1 (1 + G + G2 + · · · + Gi + · · · ).
Per F ∈ K[[T ]] con ord(F ) = r scriviamo d’ora in poi
F = T r (ar + ar+1 T + · · · ) = T r E(T )
con E(T ) invertibile.
Proposizione 3.26. L’anello delle serie formali di potenze K[[T ]] è un DVR.
6. ESPANSIONE IN SERIE DI LAURENT
42
Dimostrazione. Già sappiamo che K[[T ]] è un dominio di integrità. Dalla Proposizione precedente segue che K[[T ]]
è locale con ideale massimale principale, dato che gli elementi non invertibili sono precisamente i multipli di T . Resta da
mostrare che K[[T ]] è noetheriano. Sia I un ideale di K[[T ]]. Come nel Lemma 3.11 dimostreremo che I è principale.
Consideriamo l’insieme
Λ = {r ∈ N | T r ∈ I}.
Tale insieme è non vuoto. Infatti, se F ∈ I, F 6= 0, scrivendo F = T r E(T ) si ha subito T r = F E −1 ∈ I. Sia n il minimo
elemento di Λ. Banalmente si ha che hT n i ⊆ I. Viveversa, per ogni G ∈ I non nullo si scriva G = T s L con L invertibile.
Allora T s ∈ I e quindi s ≥ n. Questo dimostra che G = T n T s−n L ∈ hT n i. Pertanto I = hT n i.
Il campo delle serie formali di Laurent (ovvero il campo dei quozienti di K[[T ]]) si può descrivere come
K((T ))
= {F/G | F, G ∈ K[[T ]], G 6= 0}
s
T E1 (T )
s−r
m
=
=T
E(T ) = T E(T ) ,
T r E2 (T )
con E1 (T ), E2 (T ), E(T ) invertibili in K[[T ]] e m un intero. La definizione di ord(F ) si estende a K((T )): quando
F = T m E(T ) ∈ K((T )) con E(T ) invertibile in K[[T ]], allora ord(F ) = m.
Se τ ∈ K[[T ]], τ 6= 0 with ord(τ ) ≥ 1, allora la sostituzione T 7→ τ è la funzione
(10)
K[[T ]] → K[[T ]],
P∞
P∞
i
i
i=0 ci T 7→
i=0 ci τ .
L’ordine della sostituzione è l’ordine di τ . È immediato che una tale mappa è un K-monomorfismo di K[[t]].
Riportiamo il seguente teorema senza dimostrazione (si veda [5, p. 66]).
Teorema 3.27.
(i) I K-monomorfismi di K[[T ]] sono precisamente le sostituzioni T 7→ τ .
(ii) Un K-monomorfismo di K[[T ]] è un K-automorfismo se e solo se la sostituzione associata ha ordine 1.
(iii) Ogni K-monomorfismo di K((T )) induce un K-monomorfismo di K[[T ]], e viceversa.
6.2. Espansione di una funzione razionale. Sia O un DVR di K(X ) e sia t un parametro locale di O. Possiamo
usare t per costruire un’immersione φt di O (resp. K(X )) nell’anello delle serie formali di potenze K[[T ]] (resp. nel campo
delle serie formali di Laurent K((T ))).
Sappiamo dalla Proposizone 3.3 che K è isomorfo a O/hti. Per ogni α ∈ O allora esiste un unico c0 in K tale che
con α1 ∈ O.
α = c0 + α1 t,
Iterando il processo si vede facilmente che per ogni intero positivo i esistono e sono unici c0 , c1 , . . . , ci ∈ K tali che
α = c0 + c1 t + . . . + ci ti + αi+1 ti+1 ,
αi+1 ∈ O.
La mappa φt è innanzitutto definita sugli elementi α di O da
φt (α) =
∞
X
ci T i .
i=0
Proposizione 3.28. La mappa φt è un K-monomorfismo iniettivo di anelli. Inoltre per ogni α in O si ha ordO (α) =
ord(φt (α)).
Dimostrazione. Se φt (α) = φt (β), allora ordO (α − β) ≥ n per ogni n, cioè α − β = 0. Questo prova che φt è
iniettiva. Naturalmente φt fissa K[t] elemento per elemento, e quindi ovviamente K elemento per elemento. Mostriamo
che φt è un omomorfismo di anelli. Sia
α = a0 + a1 t + . . . + ai ti + αi+1 ti+1 ,
αi+1 ∈ O,
β = b0 + b1 t + . . . + bi ti + βi+1 ti+1 ,
βi+1 ∈ O.
e
6. ESPANSIONE IN SERIE DI LAURENT
43
Allora
α + β = a0 + b0 + (a1 + b1 )t + . . . + (ai + bi )ti + (αi+1 + βi+1 )ti+1 ,
αi+1 + βi+1 ∈ O.
Questo dimostra che i primi i termini di φt (α + β) sono gli stessi di φt (α) + φt (β). Per arbitrarietà di i si ha allora
φt (α + β) = φt (α) + φt (β).
Si ha inoltre
αβ = (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 )t + . . . + (a0 bi + . . . + ai b0 )ti + γti+1
con
γ = a0 βi+1 + a1 bi + . . . + ai b1 + αi+1 a0 ∈ O
e quindi vale anche che i primi i termini di φt (αβ) sono gli stessi di φt (α)φt (β), per cui di nuovo dall’arbitrarietà di i
segue φt (αβ) = φt (α)φt (β).
Infine è immediato verificare che ordO (α) = ord(φt (α)).
Per estendere φt a K(X ) basta osservare che K(X ) è il campo dei quozienti di O, e pertanto φt : O → K[[T ]] si estende in
modo naturale a un K-monomorfismo di campi da K(X ) al campo dei quozienti di K[[T ]], ovvero K((T )). La definizione
esplicita di φt per α ∈ K(X ) può essere data in modo molto semplice scrivendo
α = tr u,
r ∈ Z,
u ∈ O \ M,
da cui
φt (α) = T r φt (u) ∈ K((T )),
ord(φt (u)) = 0.
Pertanto ogni parametro locale di un DVR di K(X ) determina un’immersione di K(X ) nel campo delle serie formali di
Laurent. Due domande naturali si pongono: è vero che ogni immersione di K(X ) nel campo delle serie formali di Laurent
è di tipo φt per qualche parametro locale? quando due immersioni sono associate a parametri locali dello stesso DVR?
Proposizione 3.29. Sia η : K(X ) → K((T )) un K-monomorfismo di campi. Allora esiste t ∈ K(X ), parametro locale
di un DVR di K(X ), tale che η = φt se e solo se T ∈ Im(η).
Dimostrazione. La condizione necessaria segue banalmente da φt (t) = T .
Supponiamo quindi che T ∈ Im(η), e sia inoltre t ∈ K(X ) tale che η(t) = T . Sia
O = {α ∈ K(X ) | η(α) ∈ K[[T ]]}.
Proviamo che O è DVR di K(X ) utilizzando la Proposizione 3.8.
La condizione (a) è banalmente soddisfatta: K ⊂ O, t ∈ O \ K, 1/t ∈ K(X ) \ O essendo η(1/t) = 1/T .
Sia quindi α ∈ K(X ) \ O. Allora η(α) ∈
/ K[[T ]], e quindi η(1/α) ∈ K[[T ]]. Si ha pertanto 1/α ∈ O. Questo dimostra che
la condizione (b) vale, e pertanto O è un DVR di K(X ).
L’ideale massimale di O è dato dagli elementi non invertibili di O. Sia allora α ∈ O, α non invertibile in O. Scriviamo
α
α=t· .
t
Per dimostrare che t è un parametro locale di O basta provare che α/t ∈ O. Ciò è equivalente a ord(η(α/t)) =
ord(η(α)/T ) ≥ 0, o anche ord(η(α)) > 0.
Chiaramente η(1/α) è l’inverso di η(α) in K((T )). Se fosse ord(η(α)) = 0 allora anche ord(η(1/α)) = 0, cioè 1/α ∈ O,
ma ciò è impossibile perché α era stato scelto non invertibile in O.
A questo punto resta da dimostrare che η = φt . Basta provare che η e φt coincidono su O, perchè in tal caso ovviamente
coincidono anche le estensioni al campo dei quozienti di O. Sia allora α ∈ O con
α = a0 + a1 t + . . . + ai ti + αi+1 ti+1 ,
αi+1 ∈ O.
Risulta φt (α) = a0 + a1 T + . . . + ai T i + φt (αi+1 )T i+1 , ord(φt (αi+1 )) ≥ 0. D’altro canto, dato che η fissa K e η(t) = T ,
si ha η(α) = a0 + a1 T + . . . + ai T i + η(αi+1 )T i+1 . Da αi+1 ∈ O segue ord(η(αi+1 )) ≥ 0, e quindi η(α) e φt (α) coincidono
nei primi i termini. Per arbitrarietà di i si ha η(α) = φt (α).
6. ESPANSIONE IN SERIE DI LAURENT
44
Proposizione 3.30. Siano t, t0 parametri locali dei DVR O, O0 di K(X ), rispettivamente. Allora O = O0 se e solo se
esiste un K-automorfismo σ : K((T )) → K((T )) tale che φt = σ ◦ φt0 .
Dimostrazione. Supponiamo O = O0 e consideriamo la mappa σ̄ = φt ◦ φ−1
t0 , K-omomorfismo di φt (K(X )) in
0
0
K((T )). Dato che ordO (t ) = 1 si ha evidentemente che σ̄(T ) = φt (t ) è una serie di potenze di ordine 1. Proviamo che
P∞
per ogni G(T ) ∈ φt (K(X )) si ha σ̄(G(T )) = G(σ̄(T )). Sia G(T ) = n=0 an T n . Allora per ogni i ≥ 0 possiamo scrivere
G(T ) = a0 + a1 T + · · · + ai T i + E(T )T i+1 ,
E(T ) ∈ K[[T ]] ∩ φt0 (K(X )).
(si osservi che E(T ) ∈ φt0 (K(X )) dato che appartengono a φt0 (K(X )) gli elementi G(T ), T , le loro potenze e le loro
combinazioni a coefficienti in K). Dato che σ̄ è un K-omomorfismo abbiamo allora che
σ̄(G(T )) = a0 + a1 σ̄(T ) + · · · + ai (σ̄(T ))i + σ̄(E(T ))(σ̄(T ))i+1 .
Osserviamo che σ̄ conserva gli ordini, dato che sia φt che φ−1
t0 lo fanno. Pertanto σ̄(E(T )) ∈ K[[T ]]. Quindi i primi i
termini di σ̄(G(T )) e di G(σ̄(T )) coincidono. Dall’arbitrarietà di i segue allora σ̄(G(T )) = G(σ̄(T )). In altri termini, σ̄ è
la restrizione a φt0 (K(X )) dell’automorfismo σ di K((T )) definito dalla sostituzione T 7→ σ̄(T ) (si consideri il Teorema
3.27).
Viceversa, se esiste un K-automorfismo σ : K((T )) → K((T )) tale che φt = σ ◦ φt0 , allora per il Teorema 3.27 esiste una
serie di potenze F (T ) di ordine 1 tale che
(φt (α))(T ) = σ(φt0 (α)(T )) = (φt0 (α))(F (T )).
In particolare φt (t0 ) = F (T ). Ciò implica che ordO (t0 ) = 1, e quindi O = O0 .
6.3. Rami di una curva algebrica (cenni). Sia P = (a0 : . . . : an ) un punto di X , curva di Pn (K). Per semplicità
supporremo a0 6= 0, e quindi dividendo se necessario le coordinate omogenee di P per a0 , possiamo assumere a0 = 1. Si
ponga come di consueto x̄i = Xi + I(X )/X0 + I(X ) per ogni i = 0, . . . , r. Sia O un DVR di K(X ) centrato in P e sia t
un paramatro locale di O. Allora
φt (x̄1 ), φt (x̄2 ), . . . , φt (x̄n )
sono serie di potenze, che per comodità scriveremo
x̄1 (T ), x̄2 (T ), . . . , x̄n (T ).
Proposizione 3.31. Per ogni F ∈ I(X ) si ha
F∗ (x̄1 (T ), x̄2 (T ), . . . , x̄n (T )) = 0.
Dimostrazione. Si ha
F∗ (x̄1 (T ), x̄2 (T ), . . . , x̄n (T )) = F∗ (φt (x̄1 ), φt (x̄2 ), . . . , φt (x̄n )).
Dato che φt è K-omomorfismo di campi si ha
F∗ (x̄1 (T ), x̄2 (T ), . . . , x̄n (T )) = φt (F∗ (x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n )).
Tenendo conto del fatto che F ∈ I(X ), si ha che F∗ (x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n ) = 0, da cui l’asserto.
Nel caso in cui K è il campo dei numeri complessi, le serie di potenze formali possono essere anche serie di potenze
sostanziali. In particolare, nel caso in cui il minimo raggio di convergenza delle serie x̄1 (T ), x̄2 (T ), . . . , x̄n (T ) sia strettamente positivo, per ogni z ∈ C per cui le serie convergono in z si ha che Pz = (1 : x̄1 (z) : . . . : x̄n (z)) è un punto di Pn (C).
In virtù della precedente Proposizione Pz è in realtà un punto di X .
Quindi ogni DVR centrato in P determina una sorta di parametrizzazione analitica di una porzione di curva (costituita
da infiniti punti). Questa è la nozione intuitiva di ramo di una curva algebrica complessa. Una trattazione rigorosa
dell’argomento si può trovare in [1].
7. ZERI E POLI
45
7. Zeri e poli
Si ricorda che uno zero (resp. polo) di una funzione razionale α ∈ K(X ) è un DVR O di K(X ) tale che ordO (α) > 0
(resp. < 0). Nel caso di curva non singolare i DVR di K(X ) sono precisamente gli anelli locali K[X ]P . In tal caso per
comodità si puó chiamare zero (polo) il punto P invece del DVR K[X ]P .
7.1. Esistenza degli zeri. La prima parte di questa sezione è dedicata a dimostrare qualcosa di apparentemente
ovvio: ogni funzione razionale non costante ha almeno uno zero. Sembra ovvio perchè se X è birazionalmente equivalente
alla curva piana f (X, Y ) = 0 allora una funzione razionale G + hf i/H + hf i apparentemente si annulla in tutti i puinti
comuni alle curve f (X, Y ) = 0 e G(X, Y ) = 0. Ma che succede al denominatore? Che succede se i punti di intersezione
sono tutti singolari?
Proviamo il seguente lemma.
Lemma 3.32. Sia R un sottoanello di K(X ) contenente K, e sia I un suo ideale proprio. Allora esiste O DVR di K(X )
tale che
R ⊆ O,
I ⊆ M,
dove M indica l’ideale massimale di O.
Dimostrazione. Consideriamo l’insieme
F = {S sottoanello di K(X ) contenente R e tale che IS 6= S}.
Si ha che R ∈ F, pertanto F è non vuoto. Proviamo che F è induttivamente ordinato dall’inclusione, o in altri termini
che ogni sottoinsieme totalmente ordinato H possiede un maggiorante. Ovviamente il candidato a essere maggiorante di
H è
T = ∪{S | S ∈ H}.
Chiaramente T è un sottoanello di K(X ) contenente R. Dobbiamo provare IT 6= T . Se ciò non fosse vero, allora
1=
d
X
aν sν ,
aν ∈ I, sν ∈ T.
ν=1
Dato che H è totalmente ordinato, esiste S0 ∈ H con s1 , . . . , sd ∈ S0 , e quindi si avrebbe 1 ∈ IS0 , una contraddizione.
Dal Lemma di Zorn allora F contiene un elemento massimale, cioè esiste O ∈ F tale che R ⊆ O ⊆ K(X ), IO 6= O, e O
massimale rispetto a tali proprietà. Vogliamo provare che O è DVR di K(X ).
Osserviamo che dato che I è ideale proprio di O, l’anello O non può essere un campo e quindi O ( K(X ); inoltre I non
contiene elementi invertibili di O. Si ha poi K ⊂ R, e quindi K ( O.
Per concludere la dimostrazione basta escludere che esista z ∈ K(X ) con z ∈
/ O e 1/z ∈
/ O. Supponiamo per assurdo che
ciò sia vero. Allora per massimalità di O si avrebbe
IO[z] = O[z],
IO[z −1 ] = O[z −1 ].
Pertanto 1 ∈ IO[z] ∩ IO[z −1 ], ed esisterebbero a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm ∈ IO con
1 = a0 + a1 z + . . . + an z n = b0 + b1 z −1 + . . . + bm z −m .
Chiaramente n ≥ 1, m ≥ 1 altrimenti 1 ∈ IO. Possiamo assumere senza restrizione che n e m siano minimali e che m ≤ n.
Allora moltiplicando le due relazioni precedenti per (1 − b0 ) e per an z n rispettivamente otterremmo
(1 − b0 ) = (1 − b0 )a0 + (1 − b0 )a1 z + . . . + (1 − b0 )an z n
e
an z n = an z n b0 + an b1 z n−1 + . . . + an bm z n−m ,
da cui, sommando le due equazioni, una relazione di tipo
1 = c0 + c1 z + . . . + cn−1 z n−1 ,
contro la minimalità di n.
ci ∈ IO,
7. ZERI E POLI
46
Corollario 3.33. Ogni funzione α ∈ K(X ) \ K ha almeno uno zero.
Dimostrazione. Si applichi il precedente Lemma a R = K[α] e I = hαi. Ciò è possibile essendo I ( R (altrimenti
1 = α · g(α) implicherebbe α algebrico su K). È evidente allora che O è uno zero di α.
Di interesse indipendente è anche il seguente corollario.
Corollario 3.34. Ogni punto P di una curva proiettiva X è centro di almeno un DVR di K(X ).
Dimostrazione. Si applichi il Lemma 3.32 al caso R = K[X ]P e I = MP . Esiste quind un DVR O con K[X ]P ⊆ O
e MP O 6= O. Dato che MO contiene tutti gli ideali propri di O, si ha MP ⊆ MO e quindi MP ⊆ MO ∩ K[X ]P . Inoltre
MP contiene tutti gli ideali propri di K[X ]P , e pertanto MP = MO ∩ K[X ]P .
7.2. Il Teorema di indipendenza. Il senso del prossimo teorema è il seguente: se O1 , . . . , On sono DVR distinti
di K(X ), e α ∈ K(X )∗ , allora conoscere le valutazioni di α in O1 , . . . , On−1 non dà nessuna informazione su ordOn (α).
Teorema 3.35. Dati O1 , . . . , On DVR di K(X ), x1 , . . . , xn ∈ K(X ), r1 , . . . , rn ∈ Z, esiste x ∈ K(X ) con
ordOi (x − xi ) = ri ,
per i = 1, . . . , n.
Dimostrazione. La dimostrazione è abbastanza tecnica e per questo sarà divisa in 4 passi. Per semplicità scriveremo
vi al posto di ordOi .
1. Esiste u ∈ K(X ) con v1 (u) > 0, vi (u) < 0 per i = 2, . . . , n.
Ragioniamo per induzione su n. Sia n = 2. Ricordiamo che per il Lemma 3.5 non si possono avere due DVR
distinti di cui uno contenuto nell’altro; pertanto esistono y1 ∈ O1 \ O2 e y2 ∈ O2 \ O1 . L’elemento u = y1 /y2 ha
la proprietà desiderata.
Sia n > 2. Per ipotesi induttiva abbiamo y con v1 (y) > 0 e vi (y) < 0 per i = 2, . . . , n−1. Se anche vn (y) < 0
la dimostrazione è conclusa. In caso contrario scegliamo z con v1 (z) > 0 e vn (z) < 0, e poniamo u = y + z r .
Qui r ≥ 1 è scelto in modo tale che r · vi (z) 6= vi (y) per i = 1, . . . , n − 1. Ne segue
v1 (u) > 0,
vi (u) = min{vi (y), r · vi (z)} < 0 per i = 2, . . . , n.
2. Esiste w ∈ K(X ) con v1 (w − 1) > r1 , vi (w) > ri per i = 2, . . . , n.
Si scelga u come nel passo 1 e si ponga w = (1 + us )−1 . Per s abbastanza grande si ha
us
v1 (w − 1) = v1 −
= sv1 (u) > r1 ,
1 + us
e
vi (w) = −svi (u) > ri , per i = 2, . . . , n.
3. Dati y1 , . . . , yn ∈ K(X ) esiste z ∈ K(X ) con vi (z − yi ) > ri per i = 1, . . . , n.
Scegliamo s ∈ Z tale che vi (yj ) ≥ s per ogni i, j. Dal passo 2 esistono w1 , . . . , wn con
vi (w1 − i) > ri − s,
vi (wj ) > ri − s per i 6= j.
Pn
Allora z = j=1 yj wj ha le proprietà desiderate.
4. Conclusione.
Dal passo 3 possiamo trovare z tale che vi (z − xi ) > ri , i = 1, l . . . , n. Scegliamo poi zi con vi (zi ) = ri . Di
nuovo dal passo 3 esiste z 0 con vi (z 0 − zi ) > ri per i = 1, . . . , n. Ne segue che
vi (z 0 ) = vi ((z 0 − zi ) + zi ) = min{vi (z 0 − zi ), vi (zi )} = ri .
Poniamo x = z + z 0 . Allora
vi (x − xi ) = vi ((z − xi ) + z 0 ) = min{vi (z − xi ), vi (z 0 )} = ri .
7. ZERI E POLI
47
7.3. Sul numero di zeri di una funzione razionale. Abbiamo visto in una delle sezioni precedenti che ogni
funzione razionale non costante ha almeno uno zero. Grazie al Teorema di Indipendenza siamo in grado ora di dare una
limitazione superiore al numero di zeri che una funzione razionale può avere. In particolare mostreremo che tale numero
è finito. Questo risultato sarà precisato ulteriormente con il Teorema 3.45.
Proposizione 3.36. Sia x ∈ K(X ) \ K. Sia Z l’insieme dei DVR O di K(X ) per cui ordO (x) > 0. Allora
X
ordO (x) ≤ [K(X ) : K(x)].
O∈Z
Dimostrazione. Osserviamo preliminarmente che il grado [K(X ) : K(x)] è finito, in virtù del Lemma 3.2. Scriviamo
P
d = [K(X ) : K(x)], e supponiamo per assurdo che O∈Z ordO (x) > d. Esistono quindi O1 , . . . , Or zeri di x con
r
X
(11)
ni > d.
i=1
dove ni = ordOi (x).
Utilizziamo il Teorema di Indipendenza. Osserviamo che per ogni i = 1, . . . , r esiste una funzione razionale ti con le
seguenti proprietà:
ordOi (ti ) = −1,
ordOj (ti ) = 0 per ogni j 6= i, 1 ≤ j ≤ r.
La contraddizione a cui giungeremo. Proveremo che gli elementi
tki ,
1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ k ≤ ni
sono linearmente indipendenti su K(X ). Questo naturalmente contraddice (11).
Se le funzioni tki fossero dipendenti su K(X ), allora si avrebbe
ni
r X
X
φi,k · tki = 0,
per qualche φi,k ∈ K(x).
i=1 k=1
Dopo aver eventualmente eliminato i denominatori si può ottenere una relazione dello stesso tipo con φi,k ∈ K[x]. Dopo
aver messo in evidenza x col massimo grado possibile possiamo anche supporre che x non divida φi,k per almeno una
coppia i, k. In altri termini possiamo supporre
fi,k ∈ K, gi,k ∈ K[x],
φi,k = fi,k + xgi,k (x),
Pertanto
ni
r X
X
fi,k · tki + x
i=1 k=1
ni
r X
X
fi,k non tutti nulli .
gi,k · tki = 0.
i=1 k=1
Siano ora i0 e k0 tali che fi0 ,k0 6= 0, e k0 sia il massimo per cui ciò accade. Ovviamente dall’uguaglianza precedente segue
immediatamente che
!
!
ni
ni
r X
r X
X
X
k
k
ordOi0
fi,k · ti = ordOi0 x
gi,k · ti .
i=1 k=1
i=1 k=1
Ora, da un lato
ordOi0
ni
r X
X
!
fi,k · tki
< 0,
i=1 k=1
dato che (1) per i 6= i0 ordOi0 (fi,k tki ) ≥ 0, (2) ordOi0 (fi0 ,k0 tki00 ) = −k0 , e (3) per k 6= k0 i valori ordOi0 (fi0 ,k tki0 ) sono
maggiori di −k0 sia nel caso in cui fi0 ,k 6= 0, che nel caso in cui fi0 ,k = 0.
Ma d’altro canto
ordOi0
dato che (1) per i 6= i0 ordOi0 (xgi,k tki ) ≥ 0, (2)
x
ni
r X
X
!
gi,k · tki
i=1 k=1
ordOi0 (xgi0 ,k tki0 )
≥ 0,
≥ ordOi0 (x) − k = ni0 − k ≥ 0.
Le due conclusioni sono in contraddizione, e ciò prova allora che gli elementi tki sono linearmente indipendenti su K(X ).
8. DIVISORI
48
Corollario 3.37. Il numero di zeri e di poli di una funzione razionale x ∈ K(X )∗ è finito.
Dimostrazione. L’asserto è ovvio se x ∈ K ∗ . È già stato osservato nella dimostrazione della Proposizione 3.36 che
se x ∈ K(X ) \ K allora il grado [K(X ) : K(x)] è finito. Quindi l’asserto vale per il numero di zeri. Per quanto riguarda
il numero di poli, basta osservare che i poli di x coincidono con gli zeri di 1/x ∈ K(X ) \ K.
Corollario 3.38. Il numero di DVR centrati in un punto P di X è finito.
Dimostrazione. Sia α ∈ MP , α 6= 0. Allora per ogni DVR O centrato in P si ha ordO (α) > 0, ovvero O è uno zero
di α. L’asserto segue dal fatto che il numero di zeri di α è finito.
8. Divisori
Sia X una curva algebrica piana non singolare. Sia P l’insieme dei DVR di K(X ). Diversamente dalle sezioni precedenti,
ricordando che nel caso in cui X sia non singolare i DVR di K(X ) sono in biiezione con in punti di X , un elemento di P
sarà denotato con la lettera P . Inoltre negli esempi riguardanti curve non singolari i punti di X e i DVR corrispondenti
potranno essere indicati con lo stesso simbolo (in altri termini P indicherà sia un punto di X che K[X ]P ).
Il gruppo abeliano libero generato dai DVR di K(X ) è chiamato il gruppo dei divisori di X . I suoi elementi sono detti
P
divisori di X . In altre parole, un divisore D è una somma formale finita di elementi di P, ovvero D = P ∈P np P , dove
nP è un intero, diverso da 0 solo per un numero finito di elementi di P.
P
P
Il supporto di D si definisce come supp(D) := {P ∈ P | nP 6= 0}. Due divisori D = P ∈P np P e D0 = P ∈P n0p P si
sommano in modo naturale
X
D + D0 :=
(np + n0P )P .
P ∈P
L’elemento neutro del gruppo dei divisori è
P
P ∈P nP P con nP = 0 per ogni P ∈ P. Sarà denotato come 0.
Un ordine parziale nel gruppo dei divisori è definito da
D ≤ D0 ⇔ nP ≤ n0P per ogni P ∈ P.
Se nP ≥ 0 per ogni P ∈ P diremo che D è positivo o effettivo. Il grado di D è la somma degli interi nP , ovvero
P
deg(D) = P ∈P np .
P
Ad ogni funzione razionale f non nulla si associa in modo naturale un divisore: (f ) :=
ordP (f )P . Tale divisore è il
divisore nullo se e solo se f è costante. Se viceversa f ∈
/ K, allora (f ) si può scrivere come differenza di due divisori effettivi:
P
P
(f ) = (f )0 − (f )∞ , dove (f )0 = ordP (f )>0 ordP (f )P è il divisore degli zeri di f , e (f )∞ = ordP (f )<0 −ordP (f )P è il
divisore dei poli di f .
Esempio 3.39. Siano X e f definiti come nell’Esempio 1.38. Allora (f ) = 2P0 − 2P∞ .
Due divisori D e D0 sono detti linearmente equivalenti se D − D0 = (f ) per qualche funzione razionale f .
P
Il concetto che introduciamo adesso giocherà un ruolo cruciale nel seguito. Dato un divisore D =
np P , l’insieme di
tutte le funzioni razionali f tali che ordP (f ) ≥ −nP in ogni DVR P (comprendente anche la funzione nulla), si dice spazio
associato a D e si denota con L(D). In altri termini,
L(D) = {f ∈ K(X )∗ | (f ) + D ≥ 0} ∪ {0}.
Per un divisore effettivo D, L(D) consiste di quelle funzioni f tali che tutti i poli di f appartengono al supporto di D, e
la molteplicità di ogni polo P di f è minore o uguale di nP . Si verifica facilmente che L(D) è uno spazio vettoriale su K,
la cui dimensione si indica con `(D).
Si denoti con DX il gruppo dei divisori di X . Proveremo il seguente lemma.
Lemma 3.40. Sia D ∈ DX .
(1) Se D0 è linearmente equivalente a D, allora L(D) è isomorfo a L(D0 ) (come spazio vettoriale su K);
(2) L(0) = K.
8. DIVISORI
49
Dimostrazione.
(1) Siccome D e D0 sono equivalenti esiste z ∈ K(X ) tale che D = D0 + (z). Si definisca
l’applicazione ϕ : L(D) → K(X ), x 7→ xz. Chiaramente ϕ è K-lineare e la sua immagine è contenuta in
L(D0 ): ordP (xz) = ordP (x) + ordP (z) ≥ −nP + ordP (z) = −n0P per ogni P ∈ P. Inolte ϕ è biiettiva dato che
ψ : L(D0 ) → L(D), x 7→ xz −1 è una sua inversa.
(2) Chiaramente K è contenuto in L(0). D’altro canto ogni elemento in L(0) non ha poli, e quindi è necessariamente
costante.
Dimostriamo una limitazione superiore alla dimensione di L(D).
Proposizione 3.41. Sia D un divisore effetivo. Allora
dimK (L(D)) ≤ deg(D) + 1 .
Dimostrazione. Proviamo l’asserto per induzione su deg(D). Se deg(D) = 0, allora D ≥ 0 implica D = 0. Dal
Lemma 3.40 segue dunque che
dimK (L(D)) = dimK (L(0)) = dimK (K) = 1 = deg(D) + 1 .
Supponiamo allora che deg(D) > 0. Allora esiste P ∈ P tale che nP > 0. Sia D0 = D − P . Essendo D0 ≥ 0 e deg(D0 ) =
deg(D) − 1, per ipotesi induttiva si ha dimK (L(D0 )) ≤ deg(D). Per completare la dimostrazione rappresenteremo L(D0 )
come nucleo di una applicazione lineare di L(D) in K. Sia t parametro locale di K(X ) in P . Osserviamo che per ogni α
in L(D) si ha ordP (tnP α) = nP + ordP (α) ≥ 0, ovvero tnP α appartiene al DVR P . Pertanto l’applicazione
α 7→ (tnP α)(P ) := φt (tnP α)(0)
Φ : L(D) → K,
è ben definita (si ricordi che φt è l’espansione in serie lineari di potenze rispetto a t). Si verifica immediatamente che Φ è
K-lineare. Inoltre, α ∈ Ker(Φ) se e solo se P è uno zero di tnP α, ovvero
ordP (tnP α) > 0 ⇔ ordP (α) ≥ (nP − 1) ⇔ (α) + D0 ≥ 0.
Pertanto, Ker(Φ) coincide con L(D0 ). Essendo
dimK (L(D)) = dimK (Ker(Φ)) + dimK (Im(Φ))
l’asserto segue da dimK (Ker(Φ)) ≤ deg(D) e dimK (Im(Φ)) ≤ 1.
Proposizione 3.42. Sia D = D1 − D2 , con D1 e D2 effettivi. Allora
dimK (L(D)) ≤ deg(D1 ) + 1 .
Dimostrazione. È sufficiente osservare che L(D) ⊆ L(D1 ), e quindi applicare la Proposizione 3.41.
Esempio 3.43. Esaminiamo la curva X definita su F2 da X13 + X23 + X03 . Sia D = 2P , con P = (1 : 0 : 1) ∈ X .
Cerchiamo elementi in L(D), ovvero funzioni razionali che hanno un polo di molteplicità al più 2 in P , e che sono definite
in tutti gli altri punti. Chiaramente ogni costante è contenuta in L(D). Esistono funzioni razionali non costanti in L(D)?
Osserviamo che la retta tangente a X in P è la retta X0 + X2 = 0; tale retta incontra X nel solo punto P , con molteplicità
3. Osserviamo allora che ogni funzione di tipo
α=
L(X0 , X1 , X2 )
,
X0 + X2
con L polinomio di primo grado, ha polo solo in P , e tale polo ha molteplicità al massimo 3. Per far sı̀ che ordP (α) sia
maggiore o uguale di −2 basterà fare in modo che L rappresenti una retta passante per P diversa dalla tangente. Ad
esempio, si ha che
X1
α:
∈ L(D) .
X2 + X0
Dato che α e 1 sono chiaramente linearmente indipendenti su K, la dimensione di L(D) è almeno 2. Vedremo in seguito
che in realtà vale l’uguaglianza.
8. DIVISORI
50
Esempio 3.44. Sia X : F (X0 , X1 , X2 ) = 0 una curva algebrica non singolare di ordine d > 3. Sia D∞ il divisore
X
I(P, X ∩ `∞ )P .
D∞ =
P ∈`∞
Si ponga W = (d − 3)D∞ . Si osservi che il grado di W è d(d − 3). Inoltre, ogni funzione
αi0 ,i1 ,i2 =
X0i0 X1i1 X2i2
= x̄i1 ȳ i2
X0d−3
con i0 , i1 , i2 non negativi, i0 + i1 + i2 = d − 3, appartiene a L(W ). Le possibilità per gli indici i0 , i1 , i2 sono in numero di
(d − 1)(d − 2)
.
2
Inoltre le funzioni αi0 ,i1 ,i2 sono linearmente indipendenti su K, altrimenti F dovrebbe dividere un polinomio di grado
d − 3. Pertanto la dimensione di L(W ) è almeno (d−1)(d−2)
. Vedremo in seguito che vale l’uguaglianza.
2
1 + 2 + . . . + (d − 2) =
Concludiamo il capitolo dimostrando finalmente un risultato preciso sul numero di zeri di una funzione razionale.
Teorema 3.45. Sia x ∈ K(X ) \ K. Allora
deg((x)0 ) = [K(X ) : K(x)].
Dimostrazione. Sia d = [K(X ) : K(x)]. Dalla Proposizione 3.36 sappiamo che deg((x)0 ) ≤ d. Proviamo allora che
deg((x)0 ) ≥ d. Sia y1 , . . . , yd una base di K(X ) su K(x). Introduciamo il divisore effettivo
C=
d
X
(yj )∞ .
j=1
Fissiamo un intero m ≥ 1 e consideriamo le funzioni razionali
x−i yj ,
0 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ d.
P
−i
Proviamo che questi elementi sono linearmente indipendenti su K. Se fosse
i,j aij x yj = 0 allora si avrebbe
P
P
−i
∈ K(x). Dal fatto che yj sono linearmente indipendenti su K(x) segue allora
j bj (x)yj = 0, con bj (x) =
i aij x
bj (x) = 0, e quindi, dato che x è trascendente su K, ai,j = 0 per ogni i, j.
Si osservi per ogni 0 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ d si ha x−i ∈ L(m(x)0 ) e yj ∈ L(C). Pertanto
x−i yj ∈ L(m(x)0 + C).
Ne segue
`(m(x)0 + C) ≥ d(m + 1).
Ma d’altro canto
`(m(x)0 + C) ≤ 1 + deg(m(x)0 ) + deg(C) = m · deg((x)0 ) + deg(C) + 1,
e quindi
d(m + 1) ≤ m · deg((x)0 ) + deg(C) + 1.
Pertanto
m(deg((x)0 ) − d) ≥ d − deg(C) − 1.
Se fosse (deg((x)0 ) − d) < 0, allora m ≤
d−deg(C)−1
deg((x)0 )−d ,
in contraddizione con l’arbitarietà di m.
Corollario 3.46. Ogni divisore principale ha grado 0. Inoltre 2 divisori equivalenti hanno sempre lo stesso grado.
Dimostrazione. Data x ∈ K(X ), si ha che l’asserto è ovvio se x ∈ K ∗ . Se x ∈ K(X ) \ K, allora il divisore dei poli
di x coincide con il divisore degli zeri di 1/x. Dal Teorema 3.45 segue che il grado d di (x)∞ è il grado dell’estensione
K(X ) : K(1/x). Ma siccome K(x) = K(1/x), ancora dal Teorema 3.45 si ha che d è uguale al grado di (x)0 . Per cui il
grado di (x) è zero.
8. DIVISORI
51
.
Corollario 3.47. Se deg(D) < 0, allora L(D) = {0}.
Dimostrazione. Supponiamo che esista x ∈ L(D) con x 6= 0. Essendo deg(x) = 0, si ha che D0 ha lo stesso grado
di D. Allora D0 := D + (x) è effettivo e linearmente equivalente a D. Pertanto 0 ≤ deg(D0 ) = deg(D), in contraddizione
con l’ipotesi.
Siamo anche in grado di precisare la Proposizione 3.42.
Corollario 3.48. Sia deg(D) ≥ 0. Allora
dimK (L(D)) ≤ deg(D) + 1 .
Dimostrazione. Se dimK (L(D)) = 0, allora l’asserto è chiaramente vero. Se dimK (L(D)) > 0, allora esiste
x ∈ L(D), x 6= 0. Sia D0 = D + (x). Dalla Proposizione 3.41 si ha che dimK (L(D0 )) ≤ deg(D0 ) + 1. Essendo deg(x) = 0,
si ha che D0 ha lo stesso grado di D. Inoltre L(D) è isomorfo a L(D0 ), essendo D e D0 equivalenti. Pertanto
dimK (L(D)) = dimK (L(D0 )) ≤ deg(D0 ) + 1 = deg(D) + 1.
Esercizio 17. Sia X : Y n + X m (1 + Xf (X)) = 0, con n > m una curva piana irriducibile. Si osservi che P = (1 : 0 : 0)
è un punto singolare m-plo per X , con una sola tangente principale. Si dimostri che se (n, m) = 1, allora in P è centrato
un unico DVR O di K(X ), tale DVR è l’unico zero di x̄ e di ȳ, e inoltre valgono
ordO (x̄) = n,
ordO (ȳ) = m
CAPITOLO 4
Genere, Divisori canonici, Teorema di Riemann-Roch, Semigruppo di
Weierstrass
1. Genere e Teorema di Riemann
In questa sezione prepareremo il terreno per uno dei risultati fondamentali sulle curve, il Teorema di Riemann-Roch.
Nel corso del capitolo X indicherà come di consueto una curva algebrica proiettiva.
Teorema 4.1 (Teorema di Riemann). Esiste un intero non negativo γ, dipendente solo da X , tale che per ogni divisore
D di X si ha
`(D) ≥ deg(D) + 1 − γ.
Dimostrazione. Per ogni divisore D definiamo s(D) = deg(D) + 1 − `(D). Il compito è trovare un intero γ tale che
s(D) ≤ γ per ogni D.
0. Premessa: s è monotona non decrescente. Dalla dimostrazione della Proposizione 3.42 abbiamo che per ogni
divisore D si ha `(D − P ) ≥ `(D) − 1. Se ne deduce immediatamente che, in generale, se E è effettivo allora
`(D − E) ≥ `(D) − deg(E).
Proviamo allora che
D1 ≤ D2 ⇒ s(D1 ) ≤ s(D2 ).
Sia D2 = D1 + E con E effettivo. Allora `(D1 ) = `(D2 − E) ≥ `(D2 ) − deg(E) = `(D2 ) − deg(D2 ) + deg(D1 ).
1. Proviamo l’asserto per i divisori di tipo m(x)0 , x ∈
/ K fissata. Sia x ∈ K(X ) \ K e sia m ≥ 1 intero. Nella
dimostrazione del Teorema 3.45 abbiamo provato che esiste un divisore effettivo C con
`(m(x)0 + C) ≥ deg((x)0 )(m + 1).
Dal passo 0, si ha
`(m(x)0 + C) ≤ `(m(x)0 ) + deg(C).
Ne segue
`(m(x)0 ) ≥ deg((x)0 )(m + 1) − deg(C),
ovvero
s(m(x)0 ) = m · deg((x)0 ) + 1 − `(m(x0 )) ≤ deg(C) − deg((x)0 ) + 1.
Pertanto possiamo definire l’intero
γx = max{s(m(x)0 ) | m ≥ 1}.
2. Proviamo che dato un arbitrario divisore D, esistono D1 , A e un intero m ≥ 0 con
D ≤ D1 ∼ A ≤ m(x)0 .
Scegliamo D1 effettivo e con D1 ≥ D. Allora per m sufficientemente grande si ha
`(m(x)0 − D1 ) ≥ `(m(x)0 ) − deg(D1 ) ≥ deg(m(x)0 ) − γx + 1 − deg(D1 ) > 0.
Pertanto esiste z ∈ L(m(x)0 − D1 ). Si ponga A = D1 − (z). Allora D1 ∼ A, A ≤ m(x)0 , come desiderato.
52
2. IL GENERE DI UNA CURVA PIANA NON SINGOLARE
53
3. Conclusione Dalla monotonia di s si ha
deg(D) − `(D) ≤ deg(D1 ) − `(D1 )
e
deg(A) − `(A) ≤ deg(m(x)0 ) − `(m(x0 )).
Pertanto, essendo deg(D1 ) − `(D1 ) = deg(A) − `(A), si ha
deg(D) − `(D) + 1 ≤ deg(m(x)0 ) − `(m(x0 )) + 1 ≤ γx .
L’asserto quindi vale per γ = γx .
Definizione 4.2. Il genere g di X è definito da
g = max{deg(D) − `(D) + 1 | D divisore di K(X )}.
Naturalmente la definizione ha senso in virtù del Teorema di Riemann. Inoltre chiaramente il genere di una curva è
sempre non negativo dato che per esempio deg(0) − `(0) + 1 = 0. Il genere è senza dubbio il più importante invariante
birazionale delle curve algebriche.
Teorema 4.3. Sia X una curva di genere g. Allora esiste un intero c(X ), dipendente solo da K(X ), tale che per ogni
divisore D con deg(D) ≥ c(X ) si ha
`(D) = deg(D) + 1 − g.
Dimostrazione. Sia D0 un divisore tale che s(D0 ) = g. Si ponga c(X ) = deg(D0 ) + g. Se deg(D) ≥ c(X ), allora
dalla definizione di g segue
s(D − D0 ) ≤ g,
ovvero
`(D − D0 ) ≥ deg(D) − deg(D0 ) − g + 1 ≥ c(X ) − deg(D0 ) − g + 1 = 1.
Pertanto esiste 0 6= z ∈ L(D − D0 ). Sia D0 = D + (z). Allora D0 ≥ D0 e pertanto, dalla monotonia della funzione s,
s(D0 ) ≤ s(D0 ).
L’asserto allora segue da s(D0 ) = g e da s(D0 ) = s(D) ≤ g.
2. Il genere di una curva piana non singolare
In questa sezione mostreremo come il genere di una curva piana non singolare sia determinato dal suo ordine.
Lemma 4.4. Una funzione razionale β definita in tutti i punti di una curva piana affine X = V (hf (X, Y )i) è polinomiale.
Dimostrazione. Sia I l’ideale di K[X, Y ] generato da f e da tutti i possibili denominatori di β, cioè tutti i polinomi
h ∈ K[X, Y ] per cui esiste g ∈ K[X, Y ] con β = g + hf i/h + hf i. Dal Teorema della Base di Hilbert I è finitamente
generato. Sia I = hf, h1 , . . . , hr i. Se I fosse un ideale proprio, V (I) sarebbe non vuoto, e quindi esisterebbe un punto P̄
di X dove si annullano tutti i denominatori di β. Ciò vorrebbe dire che β non è definita in P̄ . Allora 1 ∈ I:
1 = vf + v1 h1 + . . . + vr hr ,
vi ∈ K[X, Y ].
Siano gi ∈ K[X, Y ] tali che β = gi + hf i/hi + hf i. Allora
β = (g1 + hf i) · (1 + hf i)/(h1 + hf i) =
= g1 (vf + v1 h1 + . . . + vr hr ) + hf i/h1 + hf i =
r
X
=
(g1 vi hi + hf i/h1 + hf i) .
i=1
2. IL GENERE DI UNA CURVA PIANA NON SINGOLARE
54
Tenendo conto che per ogni i > 1 si ha gi h1 − g1 hi ∈ hf i, si ha allora
β=
r
X
(gi vi h1 + hf i/h1 + hf i) =
i=1
r
X
gi vi + hf i.
i=1
Dato che gi e vi sono polinomi, si ha che β ∈ K[X ].
Teorema 4.5. Sia X = V (hF (X0 , X1 , X2 )i) una curva algebrica piana proiettiva non singolare di ordine d e di genere
g. Allora
(d − 1)(d − 2)
g=
.
2
Dimostrazione. Sia ` una retta che incontra X in d punti distinti. Supponiamo senza restrizione che sia ` : X0 = 0.
Siano P̄1 , . . . , P̄d i punti di X ∩ `. Supponiamo inoltre senza restrizione che P̄i = [0 : 1 : mi ]. Poniamo Pi = K[X ]P̄i .
Sia D = P1 + P2 + . . . + Pd . Proveremo che
d(2n + 3 − d)
.
2
Questo sarà sufficiente in quanto dal Teorema 4.3 per n sufficientemente grande si ha `(nD) = n · deg(D) − g + 1 e quindi
g = nd + 1 − d(2n + 3 − d)/2 = (d − 1)(d − 2)/2.
(12)
se n > d,
allora `(nD) =
1. Se α ∈ L(nD), allora α ∈ K[X ]. Essendo X non singolare, ogni α ∈ L(nD) è definita in tutti i punti affini di
X . L’affermazione allora segue dal Lemma 4.4.
2. Per α ∈ K[X ], sia α = G(X0 , X1 , X2 ) + hF i/X0u + hF i, con u minimo. Allora α ∈ L(nD) se e solo se u ≤ n.
Osserviamo che, per ogni i, la retta X0 = 0 passa per il punto semplice P̄i ∈ X e non è tangente. Pertanto,
ordPi (α) = si − u,
essendo si la moletplicità di intersezione di X e di G(X0 , X1 , X2 ) = 0 in P̄i .
Se u ≤ n allora si − u ≥ −n, quindi α ∈ L(nD).
Viceversa, se α ∈ L(nD), allora per ogni i risulta si − u ≥ −n. Quindi u ≤ n + si . Se fosse u > n si avrebbe
si > 0 per ogni i, e quindi G(X0 , X1 , X2 ) = 0 passerebbe per tutti i punti P̄1 , . . . , P̄d . Scriviamo
G = G0 (X1 , X2 )X0u + G1 (X1 , X2 )X0u−1 + . . . + Gu (X1 , X2 ),
F = F0 (X1 , X2 )X0d + F1 (X1 , X2 )X0d−1 + . . . + Fd (X1 , X2 )
con Gj e Fj omogenei di grado j. Ricordiamo che P̄i = (0 : 1 : mi ). Allora si può assumere (moltiplicando
eventualmente F per una costante) che
Fd =
d
Y
(X2 − mi X1 ).
i=1
Si noti che Gu 6= 0 per minimalità di u. Inoltre, dal fatto che la curva G(X0 , X1 , X2 ) = 0 passa per tutti i
punti P̄i segue
Fd (X1 , X2 ) | Gu (X1 , X2 ).
Si scriva Gu (X1 , X2 ) = Hu−d (X1 , X2 )Fd (X1 , X2 ). Allora
G + hF i = G0 X0u + G1 X0u−1 + . . . + Gu−1 X0 + Hu−d (F0 X0d + . . . + Fd−1 X0 ) + hF i,
e quindi
α = G0 X0u−1 + . . . + Gu−1 + Hu−d (F0 X0d−1 + . . . + Fd−1 ) + hF i/X0u−1 + hF i,
contro la minimalità di u. Pertanto si = 0 per qualche i, e u ≤ n.
3. Conclusione Dobbiamo dimostrare (12). Osserviamo che i polinomi in X1 , X2 di grado u ≤ n formano uno
spazio vettoriale Vn su K di dimensione (n + 1)(n + 2)/2. In virtù del passo 2 la dimensione `(nD) coincide con
la dimensione dell’immagine di Vn secondo la proiezione canonica di K[X1 , X2 ] in K[X ]. Questa dipende dal
nucleo della proiezione, che coincide con Vn ∩ hf i, essendo f il disomogeneizzato di F rispetto a X0 . È ovvio che
2. IL GENERE DI UNA CURVA PIANA NON SINGOLARE
55
i multipli di f in Vn sono in corrispondenza biiettiva con i polinomi di grado ≤ n − d. Pertanto la dimensione
su K di Vn ∩ hf i è precisamente (n − d + 1)(n − d + 2)/2. Da cui segue che
(n + 1)(n + 2) (n − d + 1)(n − d + 2)
−
.
2
2
L’espressione coincide con d(2n + 3 − d)/2, e quindi la dimostrazione è conclusa.
`(nD) = dimK Vn − dimK (Vn ∩ hf i) =
Nota 4. Il risultato precedente non vale per curve singolari, dato che per una curva singolare possono esistere funzioni
non polinomiali i cui poli sono tutti centrati in punti della retta X0 = 0. Si consideri ad esempio X : X 3 + Y 3 + X 2 = 0.
Nel punto P̄ = (1 : 0 : 0) è centrato un unico DVR O di K(X ). Per tale DVR si ha ordO (x̄) = 3 e ordO (ȳ) = 2 (si applichi
l’Esercizio 17). Allora β = ȳ 2 /x̄ ha valutazione non negativa in O, pur non essendo polinomiale e pur non essendo definita
in P̄ .
Esercizio 18. Si dimostri che per una curva piana arbitraria si ha
(d − 1)(d − 2)
.
2
(Suggerimento: si ripercorra la dimostrazione del Teorema 4.5 tenendo conto della Nota 4).
g≤
2.1. Divisori one-point. In questa sezione consideriamo divisori di tipo D = mP , m > 0, allo scopo di determinare
per essi un intero c tale che per ogni m > c si abbia `(mP ) = m − g + 1. Le funzioni di L(D) sono quelle f ∈ K(X ) tali
che (f )∞ = lP , l ≤ m. Sia H(P ) il seguente insieme di interi non negativi:
H(P ) := {l| esiste f ∈ K(X ) con (f )∞ = lP }.
Si vede facilmente che H(P ) è un semigruppo (cioè un insieme chiuso rispetto alla somma), chiamato il semigruppo di
Weierstrass in P . Gli elementi di H(P ) sono chiamati non-gaps di P , mentre ogni intero s ∈ N \ H(P ) è detto gap.
Lemma 4.6. Un intero i è un non-gap in P se e solo se
L((i − 1)P ) $ L(iP )
Dimostrazione. Chiaramente ogni α per cui (α)∞ = −iP appartiene a L(iP ) ma non a L((i − 1)P ).
In virtù della dimostrazione della Proposizione 3.42, vale anche la caratterizzazione seguente.
Lemma 4.7. Un intero i è un non-gap in P se e solo se
`((i − 1)P ) = `(iP ) − 1 .
Proposizione 4.8. La dimensione di L(mP ) coincide con il numero di non-gaps in P minori o uguali di m.
Dimostrazione. Si consideri la catena di spazi vettoriali L(0) ⊆ L(P ) ⊆ L(2P ) ⊆ . . . ⊆ L(mP ). Dal lemma
precedente, per ogni i, 0 ≤ i ≤ m, la differenza `(iP ) − `((i − 1)P ) è al più 1. Inoltre da (3) del Lemma 3.40 si ha che
dimL(0) = 1. Questo completa la dimostrazione.
Proposizione 4.9. Siano i0 = 0, i1 , . . . , ir tutti i non-gaps in P minori o uguali di m. Siano f0 , f1 , . . . , fr ∈ K(X ) tali
che ordP (fi ) = −ii . Allora f0 , f1 , . . . , fr costituiscono una base di L(mP ).
Dimostrazione. Dalla dimostrazione della proposizione precedente segue
L(0) $ L(i1 P ) $ L(i2 P ) $ . . . $ L(ir P ) = L(mP ) ,
dove `(ij P ) = `(ij−1 P ) + 1. Pertanto, dato che fj ∈ L(ij P ) \ L(ij−1 P ), si ha L(ij P ) = hL(ij−1 P ), fj i. Segue allora che
f0 , f1 , . . . , fr sono linearmente indipendenti, e che
L(mP ) = hf0 , f1 , . . . , fr i .
L’asserto è dunque provato.
2. IL GENERE DI UNA CURVA PIANA NON SINGOLARE
56
Proposizione 4.10. Ci sono esattamente g gaps in ogni DVR P di K(X ).
Dimostrazione. Sia c come da Teorema 4.3. Allora, per ogni m maggiore o uguale di c, si ha `(mP ) = m − g + 1.
Dalla Proposizione 4.8 il numero di non-gaps in P che sono minori o uguali di m è m − g + 1. Pertanto, il numero di gaps
in P minori o uguali di m è g. Dall’arbitrarietà di m segue l’asserto.
Corollario 4.11. Se g ≥ 1 allora esiste almeno un gap in ogni DVR P di K(X ). Inoltre 1 è un gap in ogni P ∈ X .
Proposizione 4.12. Ogni intero i ≥ 2g è un non-gap in ogni DVR P di K(X ).
Dimostrazione. Sia N il massimo gap in P . Proveremo che N ≤ 2g − 1. Osserviamo che se i è un non-gap minore o
uguale di N , allora necessariamente N − i è un gap (minore o uguale di N ), altrimenti N = i + (N − i) ∈ H(P ). Pertanto
è ben definita l’applicazione
{i | 0 ≤ i ≤ N, i non-gap in P } → {i | 0 ≤ i ≤ N, i gap in P },
i 7→ N − i.
L’applicazione è chiaramente iniettiva. Inoltre, dalla Proposizione 4.10, il codominio ha cardinalità pari a g. Ciò implica
che il dominio ha cardinalità minore o uguale di g, ovvero
N + 1 − g ≤ g,
da cui l’asserto.
Corollario 4.13. Sia D un divisore one-point. Se deg(D) ≥ 2g − 1, allora `(D) = deg(D) − g + 1.
Dimostrazione. Sia D = mP . Dalle Proposizioni 4.10 e 4.12, l’ipotesi m ≥ 2g − 1 implica che il numero di gap
minori o uguali m è uguale a g. Pertanto `(D) = m + 1 − g.
Vedremo che il Corollario 4.13 in realtà vale in generale, come conseguenza del Teorema di Riemann-Roch.
Esempio 4.14. Fissiamo le notazioni come nell’Esempio 3.43. Siccome il genere di X è uguale 1, il solo gap in P è 1.
Dalla Proposizione 4.8 segue `(2P ) = 2.
2.2. La curva Hermitiana. Sia X : X1q+1 − X2q X0 − X0q X2 = 0 curva definita sopra la chiusura algebrica del campo
finito Fq . Tale curva è chiamata curva Hermitiana, e gioca un ruolo molto importante nella teoria delle curve algebriche
in caratteristica positiva. In questa sezione ne vedremo alcune proprietà preliminari.
Si verifica facilmente che X è non singolare. Il suo genere g è quindi uguale a q(q − 1)/2. Si vede anche direttamente che
l’unico punto di X appartenente alla retta `∞ : X0 = 0 è il punto P∞ = (0 : 0 : 1). Si vede facilmente che la tangente a
X in P∞ è proprio la retta all’infinito `∞ , e che
I(P∞ ; X ∩ `∞ ) = q + 1 .
Osserviamo che
ordP∞ (x̄) = I(P∞ ; X ∩ X1 = 0) − I(P∞ ; X ∩ `∞ ) = 1 − (q + 1) = −q,
e
ordP∞ (ȳ) = I(P∞ ; X ∩ X2 = 0) − I(P∞ ; X ∩ `∞ ) = 0 − (q + 1) = −q − 1.
Inoltre dato che X0 non si annulla in nessun altro punto di X si ha che x̄ e ȳ hanno un unico polo in P∞ ; pertanto
(x̄)∞ = qP∞ ,
(ȳ)∞ = (q + 1)P∞ .
Proposizione 4.15. Sia r un intero positivo. Una base di L(mP∞ ) è costituita dalle funzioni
{x̄i ȳ j | iq + j(q + 1) ≤ m, i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1} .
2. IL GENERE DI UNA CURVA PIANA NON SINGOLARE
57
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che due elementi dell’insieme {x̄i ȳ j | iq + j(q + 1) ≤ m, i ≥ 0, 0 ≤ j ≤
q − 1} hanno ordine diverso in P∞ . Infatti, se fosse iq + j(q + 1) = i0 q + j 0 (q + 1), supponendo senza restrizione j 0 ≥ j, si
avrebbe
(j 0 − j)(q + 1) = (i − i0 )q .
Essendo j 0 − j un intero minore di q, ed essendo M CD(q, q + 1) = 1, non è possibile che q divida il primo membro a meno
che j = j 0 , nel qual caso si deve però anche avere i = i0 .
Basterà ora provare che il semigruppo di Weierstrass H(P∞ ) coincide con l’insieme
{iq + j(q + 1) | i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1} .
A tale scopo, osserviamo intanto che nell’insieme {iq + j(q + 1) | i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ q − 1} si trovano almeno (q 2 − q)/2 = g
elementi e minori o uguali di 2g − 1 = q(q − 1) − 1 = q 2 − q − 1. Ciò dipende dal fatto che le somme iq + j(q + 1) con
0 ≤ i + j ≤ q − 2 sono in numero di (q 2 − q)/2.
Resta quindi da dimostrare che ogni intero n maggiore di 2g − 1 = q 2 − q − 1 si può esprimere come combinazione di q e
q + 1. Procediamo per induzione su n. Se n = iq + j(q + 1) con i > 0, allora n + 1 = (i − 1)q + (j + 1)(q + 1); se n = j(q + 1)
con j = q − 1, allora n + 1 = q 2 = iq con i = q (se n = j(q + 1) con j < q − 1, allora n ≤ (q − 2)(q − 1) < 2g − 1).
Esercizio 19. Sia X la curva Hermitiana X27 X0 + X2 X07 − X18 . Sia P = (0 : 0 : 1). Si trovino basi degli spazi L(10P ),
L(20P ) e L(30P ).
Esercizio 20. Si consideri la quartica di Klein in caratteristica p = 2, ovvero la curva algebrica di equazione affine
X : X 3 Y + Y 3 + X = 0 definita su K = F̄2 . Sia P = (0, 0). Si calcoli una base dello spazio L(nP ) per ogni intero positivo
n. Suggerimento: si calcoli innanzitutto l’ordine in P delle funzioni x̄ e ȳ; successivamente si considerino le funzioni ȳ i /x̄j
con j > i ≥ 0 e si determini il semigruppo H(P ).
Esercizio 21. Si calcoli esplicitamente la dimensione dello spazio L(nP ) per la curva Hermitiana per q = 4 e P = (0 :
0 : 1).
Esercizio 22. Sia X : X 7 + Y 7 − 1 = 0 definita su K = F̄2 . Sia P = (0, 1). Si calcoli L(nP ) per ogni intero n.
Suggerimento: si considerino le funzioni
x̄i ȳ j
.
(ȳ + 1)i+j
2.3. Applicazioni alla Teoria dei codici (cenni).
2.3.1. Sottospazi vettoriali di Fnq come codici correttori di errore. Sia C un sottospazio vettoriale di Fnq di dimensione
k. Per ogni v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Fnq si definisca w(v) = #{i | vi 6= 0}. Si ponga
d = d(C) = min{w(c) | c ∈ C, c 6= (0, 0, . . . , 0)}.
Allora C puó essere interpretato come un linguaggio di q k parole di n lettere su un alfabeto di cardinalità q, avente la
seguente proprietà: se nella trasmissione di una parola si verificano al più (d − 1)/2 errori, allora questi errori possono
essere corretti dal destinatario (il lettore interessato può consultare a questo proposito un qualsiasi testo introduttivo di
Teoria dei Codici).
Uno dei parametri che misurano la qualità di un codice correttore è la somma fra il tasso di informazione R(c) = k/n e
la distanza relativa δ(C) = d/n. Si dimostra che R(C) + δ(C) ≤ 1 + n1 . È auspicabile che tale somma sia la più grande
possibile.
2.3.2. Punti Fq -razionali e funzioni Fq -razionali di curve definite su Fq . Sia K = F̄q e sia X ⊆ Pr (K) una curva
algebrica proiettiva non singolare definita su Fq (ovvero tale che I(X ) sia generato da polinomi a coefficienti in Fq ).
Allora definiamo X (Fq ) come l’insieme dei punti P di X rappresentabili come P = (P0 : . . . : Pr ) con Pi ∈ Fq , e Fq (X )
come l’insieme delle funzioni razionali su X rappresentate da rapporti di polinomi a coefficienti in Fq . Si osservi che la
cardinalità di X (Fq ) è finita. Vale il seguente risultato, del quale omettiamo la dimostrazione.
Proposizione 4.16. Sia D un divisore con supporto contenuto in X (Fq ). Allora L(D) ammette una base di elementi in
Fq (X ).
In altri termini, lo spazio vettoriale su Fq definito dall’intersezione L(D) ∩ Fq (X ) ha dimensione su Fq pari a `(D).
3. CARATTERIZZAZIONE DELLE CURVE DI GENERE 0 E 1
58
2.3.3. Codici correttori associati a divisori one-point. Sia X definita su Fq e non singolare. Sia P0 ∈ Fq (X ). Sia
X (Fq ) = {P0 , P1 , . . . , Pn }. Fissato m intero positivo consideriamo la seguente applicazione:
ev : L(mP0 ) ∩ Fq (X ) → Fnq ,
α 7→ (α(P1 ), . . . , α(Pn )).
Si osserva facilmente che ev è ben definita e Fq -lineare. Pertanto Cm = Im(ev) è un sottospazio vettoriale di Fnq .
Proposizione 4.17. Sia n > m > 2g − 2. Allora il sottospazio Cm , interpretato come codice correttore, ha parametri
n = #X (Fq ) − 1,
k = `(mP0 ) = m − g + 1,
d ≥ n − m.
Dimostrazione. Dato che n > m, la mappa ev risulta iniettiva: ogni α ∈ Ker(ev) avrebbe almeno n zeri, ma al
più m poli. Pertanto k = `(mP0 ). Essendo m > 2g − 2 si ha quindi che k = m − g + 1. Sia c ∈ Cm , c diverso dal vettore
nullo, e sia w il peso di c. Se c = ev(α), allora α ha almeno n − w zeri, da cui n − w ≤ m. Pertanto w ≥ n − m. L’asserto
su d segue dall’arbitrarietà di c.
Corollario 4.18. Sia n > m > 2g − 2. Allora R(Cm ) + δ(Cm ) ≥ 1 −
g−1
n .
Dal corollario precedente segue che le curve buone per la Teoria dei Codici Correttori sono quelle con tanti punti razionali
rispetto al loro genere.
2.3.4. Il Teorema di Hasse-Weil. Un risultato fondamentale della Geometria Algebrica su campi finiti è il seguente
Teorema, provato da Hasse per g = 1 e da Weil nel caso generale.
Teorema 4.19. Sia X una curva proiettiva non singolare definita su Fq . Allora
√
| #X (Fq ) − (q + 1) |≤ 2g q.
√
In particolare, #X (Fq ) ≤ q+1+2g q. Se una curva soddisfa l’uguaglianza viene detta Fq -massimale. La curva hermitiana
è un esempio di curva Fq2 -massimale. Le curve massimali sono in un certo senso le migliori per la teoria dei codici.
3. Caratterizzazione delle curve di genere 0 e 1
3.1. g = 0.
Teorema 4.20. Sia X ⊆ Pr (K) una curva algebrica proiettiva di genere g = 0. Allora X è birazionalmente equivalente
alla retta proiettiva P1 (K).
Dimostrazione. Essendo g = 0, il semigruppo di Weierstrass in ogni DVR O di K(X ) coincide con Z≥0 . Pertanto
esiste αinK(X ) con (α)∞ = O, e quindi deg((α)∞ ) = 1. Ne segue che il grado dell’estensione K(X ) : K(α) è uguale a 1,
e pertanto K(X ) = K(α).
Consideriamo la mappa razionale ϕ : X → P1 (K), ϕ = [1 : α]. Allora ϕ? (K(P1 (K))) = K(α) coincide con K(X ). Questo
dimostra che ϕ è birazionale.
3.2. g = 1.
Teorema 4.21. Sia X ⊆ Pr (K) una curva algebrica proiettiva di genere g = 1, e sia O un punto non singolare di X .
Allora esiste una mappa birazionale ϕ di X in una curva piana proiettiva C : f (X, Y ) = 0 con f (X, Y ) = Y 2 + a1 XY +
a3 Y − (X 3 + a2 X 2 + a4 X + a6 ) = 0, tale che ϕ(O) = [0 : 0 : 1].
Dimostrazione. Dato che il genere di X è uguale a 1, risulta che in ogni DVR di X il semigruppo di Weierstrass
coincide con Z≥0 \ {1}. Pertanto dim(L(nO)) = n. In particolare esiste x ∈ K(X ) tale che {1, x} è una base di L(2O).
Si noti che ordO (x) = −2. Infatti ordO (x) < 0, altrimenti x sarebbe costante e quindi linearmente dipendente con 1.
Inoltre ordO (x) 6= −1, altrimenti x ∈ L(O) implicherebbe 1 ∈ H(O).
Dato che L(2O) ⊂ L(3O) e dim(L(3O)) = 3, esiste una base B di L(3O) contenente {1, x}, diciamo B = {1, x, y}. Si
noti che ordO (y) = −3, altrimenti ordO (y) > −3 implicherebbe y ∈ L(2O).
3. CARATTERIZZAZIONE DELLE CURVE DI GENERE 0 E 1
59
Adesso consideriamo L(6O). Si noti che 1, x, y, xy, x2 , y 2 , x3 appartengono a L(6O). Essendo dim(L(6O)) = 6, queste
funzioni sono linearmente dipendenti su K, ovvero esistono Ai ∈ K, i = 0, . . . , 6 con
A0 + A1 x + A2 x2 + A3 x3 + A4 xy + A5 y + A6 y 2 = 0 .
Si noti che A3 A6 6= 0, altrimenti ordO (A0 + A1 x + A2 x2 + A3 x3 + A4 xy + A5 y + A6 y 2 ) sarebbe un intero negativo, dato
che gli ordini in O di tutti i termini non nulli sarebbero a due a due distinti. Rimpiazzando x, y con −A3 A6 x e A23 A6 y, e
dividendo per A43 A36 si ottiene una relazione di tipo
(13)
y 2 + a1 xy + a3 y − (x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ) = 0 ,
per qualche ai ∈ K.
Sia C = V (< f >) con f (X, Y ) = Y 2 + a1 XY + a3 Y − (X 3 + a2 X 2 + a4 X + a6 ). Si noti che f (x, y) = y 2 + a1 xy + a3 y −
(x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ) = 0, quindi la mappa razionale ϕ : X ∈ C, ϕ = [1 : x : y] è ben definita.
Sia t un parametro locale di X in O. Si scriva ϕ = [1 : x : y] = [t3 : t3 x : t3 y]. Chiaramente ordO (t3 x) = 1 e ordO (t3 y) = 0,
da cui ϕ(O) = [0 : 0 : 1].
Proviamo che ϕ è birazionale. È sufficiente provare che ϕ? (F̄q (C)) coincide con K(X ). Si noti che ϕ? (F̄q (C)) = F̄q (x, y).
Si ha inoltre [K(X ) : K(x)] = 2 e [K(X ) : K(y)] = 3. D’altro canto,
[K(X ) : K(x)] = [K(X ) : K(x, y)][K(x, y) : k(x)] ,
[K(X ) : K(y)] = [K(X ) : K(x, y)][K(x, y) : K(y)] ,
vale a dire [K(X ) : K(x, y)] divide sia 2 che 3. Pertanto [K(X ) : K(x, y)] = 1, e quindi K(X ) = K(x, y).
Una proprietà interessante delle curve non singolari di genere g = 1 è che l’insieme dei suoi punti può essere dotato in modo
naturale della struttura di gruppo abeliano. Ciò rende le curve di genere 1 definite sopra campi finiti particolarmente
adatte alle applicazioni alla crittografia.
Sia Div0 (X ) = {D ∈ Div(X ) con deg(D) = 0}. Chiaramente Div0 (X ) è un sottogruppo del gruppo dei divisori Div(X ).
Sia inoltre P il sottogruppo dei divisori principali di X , ovvero P = {(α) | α ∈ K(X )∗ }. Dato che per ogni α ∈ K(X )∗ si
ha deg(α) = 0, risulta ben definito il gruppo quoziente
P ic0 (X ) = Div0 (X )/P.
Esula dagli scopi di questo corso studiare la natura di varietà algebrica (in particolare di varietà abeliana di dimensione
g) di P ic0 (X ). Per noi quindi P ic0 (X ) rappresenta semplicemente un gruppo abeliano.
Teorema 4.22. Sia X una curva algebrica proiettiva di genere 1 e sia P0 un DVR di X . Allora l’applicazione Φ : P →
P ic0 (X ), P 7→ (P − P0 ) + P, è biiettiva. Pertanto P eredita in modo naturale da P ic0 (X ) la struttura di gruppo abeliano.
Dimostrazione. Proviamo l’iniettività di Φ. Siano P, Q ∈ P, con P 6= Q, e si assuma Φ(P ) = Φ(Q), ovvero
(P − P0 ) − (Q − P0 ) ∈ P. Pertanto esiste α ∈ K(X ) tale che (α) = (P − P0 ) − (Q − P0 ) = P − Q. In particolare 1 ∈ H(Q),
e quindi H(Q) = Z≥0 , ma ciò è impossibile essendo g = 1.
P
Dimostriamo ora la suriettività. Sia D + P ∈ P ic0 (X ). Scriviamo D =
nP P = D1 − D2 con D1 ≥ 0, D2 ≥ 0,
deg(D1 ) = deg(D2 ), supp(D1 ) ∩ supp(D2 ) = ∅. Supponiamo inoltre senza restrizioni che P0 non appartenga al supporto
di D (in caso contrario si sostituisca D con il divisore equivalente D + (t−nP0 ), dove t è un parametro locale in P0 ).
La dimensione di (L(D + P0 )) è almeno 1, essendo g = 1. Quindi esiste α ∈ K(X ) con (α) ≥ −D − P0 . Si ha
(α) = (α)0 − (α)∞ ≥ D2 − (D1 + P0 ) ,
e pertanto
(α)0 ≥ D2 ,
(α)∞ ≤ D1 + P0 .
Proviamo che
(*) esiste P in P con D + (α) = P − P0 .
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
60
Esaminiamo innanzitutto il caso (α)0 = D2 . Allora deg((α)∞ ) = deg(D2 ) = deg(D1 ), e quindi esiste P con (α)∞ + P =
D1 + P0 . Ne segue (*).
Se invece (α)0 > D2 allora risulta deg(D1 ) = deg(D2 ) < deg((α)∞ ) ≤ deg(D1 ) + 1, e quindi deg((α)∞ ) = deg((α)0 ) =
deg(D1 ) + 1 = deg(D2 ) + 1. Pertanto (α)∞ = D1 + P0 , ed esiste P ∈ P con (α)0 = D2 − P . Di nuovo ne segue (*).
Infine, da (*) chiaramente segue che D + P = (P − P0 ) + P = Φ(P ).
Supponiamo che X sia una curva piana non singolare di equazione y 2 + axy + by = x3 + cx2 + dx + e con a, b, c, d, e ∈ K. È
pertanto lecito identificare P con l’insieme dei punti di X . Ponendo P0 = (0 : 0 : 1) nel Teorema 4.22, la struttura di gruppo
abeliano sui punti di X è definita come segue. Siano P e Q due punti di X , e sia ` : L = 0 la retta per P e Q se P 6= Q, la
retta tangente a X in P in caso contrario. Chiamiamo T il terzo punto dell’intersezione ` ∩ X , e sia `0 : L0 = 0 la retta per
T e (0 : 0 : 1). Sia infine S il terzo punto nell’intersezione `0 ∩ X . Si noti che (P + Q − 2P0 ) − (S − P0 ) = P + Q − S − P0
L + I(X )
è il divisore principale (α), dove α = 0
. Questo vuol dire che (P + Q − 2P0 ) − (S − P0 ) appartiene a P, ovvero
L + I(X )
che nel gruppo P ic0 (X ) si ha
((P − P0 ) + P) + ((Q − P0 ) + P) = (S − P0 ) + P .
Nella struttura di gruppo ereditata dal supporto di X si ha allora che la somma di P e Q è proprio S.
Esercizio 23. Si provi che l’opposto di un punto P è il terzo punto di X appartenente alla retta passante per P e per
P0 .
Esercizio 24. Si provi che tre punti P, Q, R di X sono allineati se e solo se la loro somma è l’elemento neutro del gruppo.
4. Derivazioni, differenziali, divisori canonici
In questa sezione R è un anello commutativo contenente K, e M è un R-modulo.
Definizione 4.23. Una K-derivazione di R in M è una mappa K-lineare D tale che
per x, y ∈ R.
D(xy) = xD(y) + yD(x)
Denotiamo l’insieme di tutte le K-derivazioni di R in M come DerK (R, M ). È immediato da questa definizione che
D(1) = 0, da cui D(b) = 0 per ogni b in K.
Si osservi inoltre che se x1 , . . . , xn sono elementi di R e D è una derivazione di R in M , allora per ogni polinomio
F ∈ K[X1 , . . . , Xn ] si ha
n
X
∂F
D(F (x1 , . . . , xn )) =
(x1 , . . . , xn )D(xi ).
∂X
i
i=1
P
Questo si dimostra facilmente per i monomi X1s1 · · · Xnsn ragionando per induzione su
si . Il passaggio dai monomi ai
polinomi segue dalla linearità di D.
Esempio 4.24. Sia R = M = K[[T ]], l’anello delle serie formali di potenze su K. Allora
D:
∞
X
n=0
an T n 7→
∞
X
nan T n−1
n=0
è una K-derivazione. La verifica è un facile esercizio.
Proposizione 4.25. Sia D una K-derivazione di R su M . Supponiamo inoltre di trovarci in uno dei seguenti casi:
(1) R è un dominio e T è il campo dei quozienti di R.
(2) R è un campo e T è un’estensione finita e separabile di R.
Se M è anche un T -modulo, allora D si estende in un unico modo a una K-derivazione D0 di T su M .
Dimostrazione.
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
61
(1) Osserviamo che
x
yD(x) − xD(y)
D
=
y
y2
0
è l’unica possibile definizione di D , dato che
x
x
x
D(x) = D0
y = D(y) + yD0
.
y
y
y
0
È facile poi dimostrare che D0 definisce in effetti una derivazione su T .
(2) Sia T = R(y). Ogni elemento di T è allora di tipo f (y), con f ∈ R[X]. Di nuovo c’è un’unica possibile definizione
di D0 : se f (X) = e0 + e1 X + . . . + en X n allora
D0 (f (y)) =
n
X
(D(ei )y i + ei D0 (y i )),
i=1
e
D0 (y i ) = y i−1 D0 (y),
da cui
D0 (f (y)) = f 0 (y)D0 (y) +
n
X
D(ei )y i .
i=1
Pn
Resta da stabilire chi è D (y). Per comodità si scriva f (X) = i=1 D(ei )X i . Sia ora g(X) il polinomio minimo
di y su R. Allora
0 = D0 (0) = D0 (g(y)) = g D (y) + g 0 (y)D0 (y).
0
D
Pertanto
D0 (y) = −
g D (y)
.
g 0 (y)
Si osservi che g 0 (y) non è nullo perchè l’estensione è separabile. È lasciata allo studente volenteroso la verifica
che
g D (y)
+ f D (y)
D0 (f (y)) = −f 0 (y) 0
g (y)
è una buona definizione, e che la mappa D0 cosı̀ definita è una K-derivazione.
Esempio 4.26. Sia R = K[[T ]], e sia T = M = K((T )) il campo delle serie formali di Laurent su K. Dalla Proposizione
4.25, la K-derivazione D definita nell’esempio 4.24 si estende in modo unico a una K-derivazione D0 : K((T )) → K((T )).
Sia α = E(T )/T r ; allora
T r D(E(T )) − rT r−1 E(T )
T D(E(T ) − rE(T ))
D0 (α) = D0 (E(T )/T r ) =
=
.
T 2r
T r+1
P∞
P
∞
In forma più esplicita, se α = n=−r an T n = ( n=0 an−r T n )/T r , allora
D0 (α) = T −r−1
∞
X
(n − r)an−r T n =
n=0
da cui
D0 (α) =
∞
X
(n − r)an−r T n−r−1
n=0
∞
X
nan T n−1 .
n=−r
Esempio 4.27. Sia L = K(x, y) con x trascendente su K e L : K(x) finita e separabile. Sia D la K-derivazione standard
X
D : K[x] → L,
D
ai xi = iai xi−1 .
Dalla Proposizione 4.25 D si estende in modo unico a una K-derivazione D0 : L → L, dato che K(x) è il campo dei
quozienti di K[x], ed L è un’estensione finita e separabile di K(x). Si osservi che D0 (x) = 1.
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
62
Esempio 4.28. Sia X una curva algebrica proiettiva. Sia P un DVR di K(X ), e sia t un parametro locale di P . Allora
ricordiamo che esiste un omomorfismo di campi
φt : K(X ) → K((T ))
in virtù del quale è possibile identificare K(X ) con un sottocampo di K((T )). Sia D0 la K-derivazione di K((T )) definita
nell’esempio 4.26. Allora la mappa D̄ : K(X ) → K((T )) definita da
D̄(α) = D0 (φt (α))
è una K-derivazione di K(X ) in M = K((T )). Si osservi che D̄(t) = 1.
P
Vogliamo adesso definire i differenziali di R come elementi di forma xi dyi , xi , yi ∈ R che si comportino in modo analogo
ai differenziali dell’analisi. A tale scopo sarà necessario definire preliminarmente una sorta di K-derivazione universale
per un anello commutativo R contenente K.
Sia F l’R-modulo libero generato dagli elementi [x], al variare di x ∈ R. Non c’è nessun significato sostanziale nel simbolo
[x]: vada interpretato come una lettera associata all’elemento x. L’R-modulo F consiste di tutti gli elementi di tipo
X
ai [xi ],
ai ∈ R
sommati tra loro e moltiplicati agli elementi di R in modo simbolico.
Si consideri il sottomodulo N di F generato dai seguenti insiemi di elementi:
(i) {[x + y] − [x] − [y] | x, y ∈ R};
(ii) {[λx] − λ[x] | λ ∈ K, x ∈ R};
(iii) {[xy] − x[y] − y[x] | x, y ∈ R}.
Sia ΩK (R) = F/N il modulo quoziente. Sia dx l’immagine dell’elemento [x] in F/N , e sia
d : R → ΩK (R)
la mappa che manda x in dx. Il modulo ΩK (R) è detto il modulo dei differenziali di R su K. È facile controllare che
d : R → ΩK (R) è una K-derivazione.
Lemma 4.29. Per ogni R-modulo M e ogni K-derivazione D : R → M esiste un unico omomorfismo di R-moduli
φ : ΩK (R) → M tale che D = φ ◦ d.
P
P
Dimostrazione. Definiamo φ̄ : F → M ponendo φ̄( xi [yi ]) =
xi D(yi ). Abbiamo cosı̀ un omomorfismo di
R-moduli. È evidente che ogni elemento di N ha come immagine l’elemento nullo, pertanto φ̄ induce un omomorfismo φ
di F/N in M . È immediato verificare che D = φ ◦ d.
Consideriamo adesso situazioni meno generali, legate alle curve algebriche e ai loro campi di funzioni.
Sia R = K[x1 , . . . , xn ]. Da
d(F (x1 , . . . , xn )) =
n
X
∂F
(x1 , . . . , xn )dxi
∂Xi
i=1
segue subito che ΩK (R) è generato come R-modulo dai differenziali dx1 , . . . , dxn .
Nel caso in cui L = K(x1 , . . . , xn ), campo dei quozienti di K[x1 , . . . , xn ], si ha
GdF − F dG
,
G2
e quindi di nuovo ΩK (L) è generato come L-spazio dai differenziali dx1 , . . . , dxn .
d(F (x1 , . . . , xn )/G(x1 , . . . , xn )) =
Proposizione 4.30. Sia L = K(X ). Allora ΩK (L) è non nullo. In particolare,
1. Per ogni x ∈ K(X ) \ K tale che K(X ) : K(x) è separabile si ha dx 6= 0.
2. Per ogni t ∈ K(X ) parametro locale si ha dt 6= 0.
Dimostrazione.
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
63
1. Dall’Esempio 4.27 sappiamo che esiste una derivazione D : L → L con D(x) = 1. Dal Lemma 4.29 esiste esiste
un omomorfismo di L-moduli φ : ΩK (L) → L tale che D = φ ◦ d. Pertanto 1 = D(x) = φ(dx) e quindi dx 6= 0.
2. Dall’Esempio 4.28 sappiamo che esiste una derivazione D : L → K((T )) con D(t) = 1. Dal Lemma 4.29 esiste
esiste un omomorfismo di L-moduli φ : ΩK (L) → K((T )) tale che D = φ ◦ d. Pertanto 1 = D(t) = φ(dt) e
quindi dt 6= 0.
Proposizione 4.31. Sia L = K(X ). Allora ΩK (L) è uno spazio vettoriale di dimensione 1 su L.
Dimostrazione. Che la dimensione di ΩK (L) sia almeno uno segue dalla Proposizione 4.30. Proviamo allora che
tale dimensione è minore o uguale di 1.
Nel Capitolo 1 abbiamo visto che esistono sempre x, y ∈ K(X ), con K(X ) = K(x, y) e con K(X ) : K(x) separabile. La
discussione che precede la Proposizione 4.30 ci assicura inoltre che dx e dy generano ΩK (L) su L. Sia H(X, Y ) ∈ K[X, Y ]
polinomio tale che H(x, y) = 0. Si può assumere che H(x, X) coincida con il polinomio minimo di y su K(x), moltiplicato
per un opportuno elemento di K[x] al fine di non far comparire la x in nessun denominatore. Dalla separabilità di y segue
allora ∂H/∂Y (x, y) 6= 0.
D’altro canto da d(H(x, y)) = 0 segue
0=
da cui
∂H
∂H
(x, y)dx +
(x, y)dy,
∂X
∂Y
∂H
dy = − ∂X
∂H
∂Y
(x, y)
(x, y)
dx.
Dalle Proposizioni precedenti segue allora che se x è un elemento separante o un parametro locale, allora per ogni
α ∈ K(X ) esiste un unico v ∈ K(X ) tale che dα = vdx. Diremo che v è la derivata di α rispetto a x, e scriveremo
v = dα/dx.
Di particolare interesse sono le derivate fatte rispetto a parametri locali.
Proposizione 4.32. Sia t un parametro locale di K(X ), e sia φt : K(X ) → K((T )) l’omomorfismo di campi associato.
Allora per ogni α ∈ K(X ) si ha
dα
φt
= D0 (φt (α)),
dt
dove D0 indica la K-derivazione standard in K((T )) (come da Esempio 4.26).
Dimostrazione.
- Sia D̄ = D0 ◦ φt come da Esempio 4.27.
- Sia φ : ΩK (K(X )) → K((T )) come da Lemma 4.29 l’omomorfismo di K(X )-spazi tale che D̄ = φ ◦ d.
- Sia v = dα/dt.
Da dα = vdt segue ovviamente φ(dα) = φ(vdt). Dato che φ è omomorfismo di K(X )-spazi, si ha φ(vdt) = φt (v)φ(dt)
(attenzione! ricordiamo che K((T )) è visto come K(X )-spazio mediante l’identificazione indotta da φt ). Quindi
φ(dα) = φt (v)φ(dt).
Ma allora
D̄(α) = φt (v)D̄(t).
0
Dato che D̄(t) = 1, ricordando che D̄ = D ◦ φt e che v = dα/dt, la dimostrazione è conclusa.
Corollario 4.33. Sia O un DVR di K(X ), e sia t un parametro locale in O. Allora
α∈O⇒
dα
∈ O.
dt
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
64
Dimostrazione. Dato che α ∈ O, si ha che φt (α) ∈ K[[T ]], e quindi anche D0 (φt (α)) ∈ K[[T ]]. Dalla Proposizione
dα
0
4.32 segue quindi che φt dα
dt = D (φt (α)) ∈ K[[T ]], e pertanto dt ∈ O.
Concludiamo la sezione osservando che un parametro locale è necessariamente separante.
Proposizione 4.34. Ogni parametro locale t è separante in K(X ).
Dimostrazione. Sia y ∈ K(X ) \ K(t). Sia g(Y ) ∈ K(t)[Y ] il polinomio minimo di y su K(t). Si scriva
g(Y ) = Y n +
an−1 (t) n−1
a1 (t)
a0 (t)
Y
+ ... +
Y +
,
bn−1 (t)
b1 (t)
b0 (t)
con ai (t), bi (t) ∈ K[t], (ai (t), bi (t)) = 1.
Moltiplicando per il minimo comune multiplo h(t) dei denominatori possiamo scrivere
h(t)g(Y ) = h(t)Y n + cn−1 (t)Y n−1 + . . . + c1 (t)Y + c0 (t),
con ci (t) ∈ K[t].
Sia ḡ(Y ) = h(t)g(Y ) ∈ K(t)[Y ]. Naturalmente ḡ(Y ) è irriducibile su K(t) ed inoltre ḡ 0 (Y ) ≡ 0 se e solo se g 0 (Y ) ≡ 0.
Denotiamo con F (X, Y ) ∈ K[X, Y ] il polinomio definito da
F (X, Y ) = h(X)g(Y ) = h(X)Y n + cn−1 (X)Y n−1 + . . . + c1 (X)Y + c0 (X).
1. F è irriducibile. Chiaramente F (t, y) = 0. Se fosse F (X, Y ) = U (X, Y )V (X, Y ) si avrebbe allora U (t, y) = 0
oppure V (t, y) = 0. Assumiamo senza restrizioni U (t, y) = 0. Allora il grado di U in Y è n, perchè n è il grado
del polinomio minimo di y su K(t). Ciò implica che il grado di Y in V è 0, ovvero V (X, Y ) = V (X). Ma per
costruzione non esistono polinomi in X che siano fattori di tutti gli addendi di F (X, Y ).
2. ∂F/∂Y (t, Y ) ≡ 0 se e solo se g 0 (Y ) ≡ 0. Si ha chiaramente che ∂F/∂Y (t, Y ) = ḡ 0 (Y ). Abbiamo già osservato
che ḡ 0 (X) ≡ 0 se e solo se g 0 (X) ≡ 0, da cui l’asserto.
3. y è separabile su K(t) se e solo se ∂F/∂Y (t, Y ) ≡ 0. In generale un elemento è separabile se e solo se la derivata
del suo polinomio minimo non è identicamente nulla. L’asserto quindi segue da 2.
4. Conclusione. Si ha
0 = d(F (t, y)) = ∂F/∂X(t, y)dt + ∂F/∂Y (t, y)dy
Se y non fosse separabile, allora si avrebbe 0 = ∂F/∂X(t, y)dt. Dato che dt 6= 0, si avrebbe allora ∂F/∂X(t, y) =
0. Ma ∂F/∂X(t, y) = ∂F/∂Y (t, y) = 0 implicherebbe che ogni punto della curva irriducibile di equazione
F (X, Y ) = 0 sarebbe singolare, una contraddizione.
4.1. Divisori canonici. Denotiamo d’ora in avanti per comodità con Ω e non con ΩK (K(X )) il modulo dei differenziali di K(X ) su K. Per ω ∈ Ω, ω 6= 0, e per un DVR P di K(X ) definiamo l’ordine di ω in P , ordP (ω), come segue:
si scelga un parametro locale t in P , si scriva ω = αdt con α ∈ K(X ) e si ponga ordP (ω) = ordP (α).
Per controllare che sia una buona definizione supponiamo che t0 sia un altro parametro locale in P , e che αdt = βdt0 . Sia
dt0 = vdt. Dal Corollario 4.33 si ha che ordP (v) ≥ 0. Allora ordP (α) = ordP (βv) ≥ ordP (β). Analogamente si dimostra
che ordP (β) ≤ ordP (α).
Esercizio 25. Si dimostri che dati ω ∈ Ω, ω 6= 0, e γ ∈ K(X ) si ha
ordP (γω) = ordP (γ) + ordP (ω).
Dato ω = dx, è possibile calcolare ordP (ω) utilizzando la Proposizione 4.32. Si consideri la serie di potenze G(T ) = φt (x).
Allora dx/dt ha come immagine mediante φt la serie di potenze derivata D0 (G(T )) = G0 (T ). Pertanto φt (dx/dt) =
G0 (T ), e quindi ordP (dx) = ord(G0 (T )). Dato che ordP (x) = ord(G(T )) potrebbe sembrare che se ordP (x) > 0 allora
ordP (dx) = ordP (x) − 1. Ma questo non sempre è vero in caratteristica positiva p > 0: si pensi ad esempio al caso
G(T ) = T p + T p+1 .
Lemma 4.35. Sia ω ∈ Ω, ω 6= 0. Allora ordP (ω) = 0 tranne che per al più un numero finito di DVR di K(X ).
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
65
Dimostrazione. Senza restrizione supponiamo che X sia piana e diversa dalla retta X0 = 0. Sia f (X, Y ) = 0
un’equazione di X . Supponiamo senza restrizione che X + hf i 6= 0 sia separante in K(x, y). Scriviamo x̄ = X + hf i e
ȳ = Y + hf i.
Osserviamo che sono finiti i DVR di K(X ) centrati nei punti di X
- che sono singolari,
- che appartengono alla retta X0 = 0,
- che sono semplici affini e hanno tangente verticale (questo perchè i punti semplici affini con tangente verticale
soddisfano ∂f /∂Y (X, Y ) = 0, e ∂f /∂Y (X, Y ) non può essere identicamente nulla essendo x̄ separante).
Pertanto possiamo limitarci a considerare i DVR di tipo K[X ]Q , con Q punto semplice e affine di X con tangente non
verticale.
Sia ω = γdx̄. Osserviamo che se Q = (a, b), allora t = x̄ − a è un parametro locale in Q. Pertanto
dx̄ = dx̄ − da = d(x̄ − a) = dt
e quindi dx̄/dt = 1 e ordK[X ]Q (dx̄) = 0. Da cui segue ordK[X ]Q (ω) = ordK[X ]Q (γ), e quindi l’asserto dato che γ ha un
numero finito di zeri e di poli.
Dato ω ∈ Ω, ω 6= 0, si definisce div(ω) come div(ω) =
P
P ∈P
ordP (ω)P.
Definizione 4.36. Sia ω ∈ Ω, ω 6= 0. Allora
W = div(ω) =
X
ordP (ω)P
P ∈P
si dice divisore canonico di K(X ).
Proposizione 4.37. Due divisori canonici differiscono per un divisore principale.
Dimostrazione. Siano ω, ω 0 ∈ Ω, ω, ω 0 6= 0. Sia W = div(ω), W 0 = div(ω 0 ). Siccome ω è una base di Ω su K(X ) si
ha ω 0 = γω, con γ ∈ K(X ). Da cui
W 0 = (γ) + W.
Proposizione 4.38. Un divisore che differisce da un divisore canonico per un divisore principale è canonico.
Dimostrazione. La dimostrazione è lasciata come esercizio.
Assumiamo adesso che la curva X sia piana e non singolare. Supponiamo che X sia diversa dalla retta X0 = 0. Sia
f (X, Y ) = 0, con deg(f ) = d ≥ 3, un’equazione di X . Supponiamo senza restrizione che X + hf i =
6 0 sia separante in
K(x, y), e che i punti di X sulla retta X0 = 0 siano d punti distinti P1 , . . . , Pd . Scriviamo x̄ = X + hf i e ȳ = Y + hf i.
Proposizione 4.39. Sia X piana e non singolare di ordine d, e siano P1 , . . . , Pd come sopra. Allora il divisore
W̄ = (d − 3)(P1 + P2 + . . . + Pd ).
è un divisore canonico.
Dimostrazione. Supponiamo senza restrizione che (0 : 0 : 1) non sia punto di X . Si ponga
fx =
∂f
(x̄, ȳ),
∂X
fy =
∂f
(x̄, ȳ).
∂Y
Sia ω = dx. Mostreremo che
div(ω) = div(fy ) + W̄ .
- Sia P un punto affine con tangente non verticale. In tal caso abbiamo provato nella dimostrazione del Lemma
4.35 che ordP (ω) = 0. Inoltre è evidente che P non è né zero né polo di fy , e che il peso di P in W̄ è zero.
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
66
- Sia P = (a, b) un punto affine con tangente verticale. Dato che il peso di P in W̄ è zero, dobbiamo mostrare
che ordP (dx̄) = ordP (fy ). Da f (x̄, ȳ) = 0 segue fx dx̄ + fy dȳ = 0, da cui dx̄ = −(fy /fx )dȳ. Naturalmente la
tangente in P non è orizzontale, per cui t = ȳ − b è parametro locale in P , ed inoltre P non è zero di fx . Pertanto
ordP (dx̄) = ordP (−fy ) − ordP (fx ) + ordP (dȳ/dt) = ordP (fy ).
- Sia P = Pi per qualche i. La funzione t = 1/x̄ = X0 + hf ∗ i/X1 + hf ∗ i è un parametro locale in Pi dato che
Pi 6= (0 : 0 : 1). Da d(1/x̄) = (x̄)−2 (−dx̄) segue dx̄/dt = −x̄2 , e quindi ordPi (dx) = −2. Occorre quindi
dimostrare che
ordPi fy = −d + 1.
Sia f = f0 + . . . + fd , con fi omogeneo di grado d. Allora
∂f /∂Y = ∂f1 /∂Y + . . . + ∂fd /∂Y.
L’espressione omogenea di fy allora è
X0d−1 ∂f1 /∂Y (X1 , X2 ) + . . . + ∂fd /∂Y (X1 , X2 ) + hf ∗ i
.
X0d−1 + hf ∗ i
Dato che X0 = 0 non è tangente a X in Pi , per provare l’asserto basta dimostrare che la curva di equazione
X0d−1 ∂f1 /∂Y (X1 , X2 ) + . . . + ∂fd /∂Y (X1 , X2 ) = 0
non passa per Pi , o equivalentemente che la curva ∂fd /∂Y (X1 , X2 ) = 0 non passa per Pi . Se cosı̀ fosse, i polinomi
omogenei in due indeterminate fd e ∂fd /∂Y avrebbero un fattore di primo grado in comune. Ma dal Teorema
di Eulero seguirebbe che tale fattore è comune anche a ∂fd /∂X. Da cui si può dedurre che fd ha almeno un
fattore di primo grado di molteplicità maggiore di 1 (la dimostrazione è lasciata allo studente per esercizio). Ma
questo è in contraddizione col fatto X0 = 0 incontra X in d punti distinti.
La dimostrazione è pertanto conclusa.
Corollario 4.40. Sia X piana e non singolare di grado d ≥ 3. Allora il grado di un divisore canonico è 2g − 2 ed inoltre
`(W ) ≥ g.
Dimostrazione. Dalla Proposizione 4.39 segue che il grado di un divisore canonico è
(d − 1)(d − 2)
− 2 = 2g − 2.
d(d − 3) = 2
2
Sia D il divisore canonico D = (d − 3)(P1 + P2 + . . . + Pd ). Nell’Esempio 3.44 si è dimostrato che `(D) ≥
cui l’asserto.
In realtà il Corollario precedente vale per una curva qualsiasi.
dimostrazione.
(d−1)(d−2)
,
2
da
Riportiamo questo fondamentale risultato senza
Teorema 4.41. Sia X curva di genere g. Il grado di un divisore canonico è 2g − 2 ed inoltre `(W ) ≥ g.
Nota 5. Nel caso in cui K = C e X sia piana e non singolare è possibile dare un’interpretazione più concreta di Ω. Per
ogni punto P di X , sia VP lo spazio vettoriale di dimensione 1 su K corrispondente alla retta tangente TP (X ). Possiamo
considerare allora l’insieme


[
Y

Ē :=
VP∗  ,
S⊂X , S finito
dove
VP∗
P ∈X \S
indica lo spazio duale di VP (lo spazio delle forme lineari VP → K).
Per ogni δ in Ē sia δP la forma lineare di VP∗ corrispondente (quando esiste). Sia E l’insieme ottenuto da Ē identificando
due elementi δ1 e δ2 per cui (δ1 )P = (δ2 )P per tutti tranne al più un numero finito di punti di X .
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
67
La prima osservazione è che ogni α ∈ K(X ) individua un elemento di Ē. Se S è l’insieme dei poli di α, allora per ogni
P ∈ X \ S è definita dαP : VP → K come segue. Senza restrizione sia P = (a, b) affine, e sia λX + µY = 0 lo spazio VP .
Sia α = F (x̄, ȳ)/G(x̄, ȳ) con G(a, b) 6= 0; allora si ponga
dα =
G(x̄, ȳ)(FX (x̄, ȳ)dx̄ + FY (x̄, ȳ)dȳ) − F (x̄, ȳ)(GX (x̄, ȳ)dx̄ + GY (x̄, ȳ)dȳ)
G(x̄, ȳ)2
e, per ogni (U, V ) ∈ VP ,
dαP (U, V ) =
G(a, b)(FX (a, b)U + FY (a, b)V ) − F (a, b)(GX (a, b)U + GY (a, b)V )
.
G(a, b)2
Un elemento di tipo βdα, con α, β ∈ K(X ), individua un elemento di Ē in modo naturale ponendo
(βdα)P (U, V ) = β(P ) · dαP (U, V )
per ogni P che non sia polo né di β né di α.
Un elemento di E si dice 1-forma differenziale razionale se è equivalente a un elemento di Ē della forma βdα. Si può
dimostrare che i differenziali razionali sono in corrispondenza biiettiva con gli elementi di Ω. Una 1-forma differenziale
razionale è detta regolare se è definita in ogni punto P ∈ X . Le 1-forme regolari costituiscono uno spazio vettoriale su K
isomorfo allo spazio L(W ), essendo W un divisore canonico. Infatti, se W = (dα), risulta βdα regolare se e solo se per
ogni P si ha ordP (βdα) ≥ 0 e quindi se e solo se β ∈ L(W ).
Pertanto il genere di una curva può essere interpretato come la dimensione dello spazio delle 1-forme differenziali definite
su tutti i punti della curva. È anche interssante notare che mentre non esistono funzioni razionali definite ovunque (a
parte le costanti), esistono 1-forme differenziali razionali definite ovunque e formano uno spazio vettoriale di dimensione
g su K.
Riportiamo infine, ancora una volta senza dimostrazione, il seguente risultato relativo alle curve piane con sole singolarità
ordinarie.
Teorema 4.42. Sia X piana. Siano P1 , . . . , Pr i suoi punti singolari. Se ogni Pi è ordinario, allora
r
g=
(d − 1)(d − 2) X ri (ri − 1)
−
.
2
2
i=1
dove ri indica la molteplicità di Pi .
4.2. Esempi di calcolo del genere di curve singolari. In questa sezione vedremo alcuni esempi relativi al calcolo
del grado di un divisore canonico per curve piane singolari. Supponiamo X : f (X, Y ) = 0 con x̄ = X + hf i separante, e
consideriamo ω = dx̄. I DVR O per cui x̄ − a è un parametro locale per qualche a ∈ K sono tali che ordO dx̄ = 0. Dalla
dimostrazione della Proposizione 4.39 siamo in grado di calcolare ordO dx̄ per DVR centrati in punti affini non singolari:
se la tangente è non verticale ordO dx̄ = 0, altrimenti ordO dx̄ = ordO (fy ).
Esempio 4.43. Sia char(K) = 0. Sia X : Y m − X q − X, con q primo e m divisore proprio di q + 1. Si lascia allo studente
la verifica che X è irriducibile. Si vede facilmente che i punti affini sono tutti non singolari. Quelli con tangente verticale
sono i punti Pa di coordinate affini (a, 0) con aq + a = 0, per i quali la tangente è X − a = 0. Tali punti sono in numero
di q. Un parametro locale per Pa è quindi ȳ = Y + hf i. Dato che fy = mȳ m−1 si ha ordPa dx̄ = m − 1.
Veniamo adesso ai punti all’infinito. Esiste un unico punto Q∞ della curva sulla retta X0 = 0, vale a dire Q∞ = (0 : 0 : 1).
Si vede facilmente che Q∞ è un punto singolare di molteplicità q −m. C’è una sola tangente principale, vale a dire X0 = 0.
Il primo problema è scoprire quanti DVR sono centrati in Q∞ . Sia O un DVR centrato in Q∞ per cui vO x̄ < 0. Un tale
DVR esiste altrimenti x̄ non avrebbe poli. Allora
ordO (ȳ m ) = ordO (x̄q + x̄),
e quindi per le proprietà delle valutazioni
m · ordO (ȳ) = q · ordO (x̄).
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
68
Dato che q é primo e non divide m, si ha che q divide ordO (ȳ). È evidente che [K(x̄, ȳ) : K(ȳ)] ≤ q, pertanto ȳ ha al
massimo q poli contati con molteplicità. Ne segue
ordO (ȳ) = −q
e quindi
ordO (x̄) = −m.
Se esistesse un ulteriore DVR centrato in Q∞ non sarebbe polo né di x̄ nè di ȳ, ma in questo caso sarebbe centrato in un
punto affine. Pertanto O è l’unico DVR centrato in Q∞ .
Calcoliamo ordO (dx̄). Dato che la caratteristica è 0 si ha allora che ordO (x̄) = −m implica ordO (dx̄) = −m − 1.
Pertanto deg(dx̄) = −m − 1 + q(m − 1), e quindi
g=
(q − 1)(m − 1)
.
2
Esercizio 26. Si svolga l’esercizio precedente in caratteristica arbitaria. Quando continua a valere che il genere della
curva è (q − 1)(m − 1)/2?
Esempio 4.44. Sia char(K) 6= 2 e sia h ≥ 4 un intero. Sia X : f (X, Y ) = 0 con
f (X, Y ) = Y 2 − g(X),
con
g(X) =
h
Y
(X − αi ),
i=1
dove αi 6= αj per 1 ≤ i ≤ j ≤ h. Si lascia allo studente la verifica che X è irriducibile.
Dato che le radici di g sono distinte, i punti affini di X sono tutti semplici. Quelli a tangente verticale sono i punti
Pαi = (αi , 0). In tali punti fy = 2ȳ e quindi ordPαi dx̄ = 1.
L’unico punto all’infinito di X è Q∞ = (0 : 0 : 1). È un punto singolare di molteplicità h − 2, e la sua unica tangente
principale è X0 = 0.
- Se h è dispari, si può dimostrare come nell’esempio precedente che esiste un unico DVR O centrato in Q∞ per
il quale ordO ȳ = −h, ordO x̄ = −2. Pertanto 2g − 2 = h − 3 e g = (h − 1)/2.
- Sia h pari. Sia O1 DVR centrato in Q∞ per cui ordO1 x̄ < 0. da cui
2 · ordO1 ȳ = h · ordO1 x̄,
da cui
h
· ordO1 x̄
2
e quindi h/2 divide ordO1 ȳ Si presentano due casi: (a) ordO1 ȳ multiplo proprio di h/2, (b) ordO1 ȳ = −h/2.
Il caso (a) in realtà non può verificarsi: dato che ȳ ha h poli si avrebbe ordO1 ȳ = −h e ordO1 x̄ = −2; ma
allora, analogamente al caso h dispari, si avrebbe g = (h − 1)/2; ciò è impossibile perché (h − 1)/2 non è intero.
Nel caso (b) ordO1 ȳ = −h/2 e ordO1 x̄ = −1. Questo dimostra che deve esserci un altro polo di x̄ e di ȳ.
Tale DVR non può che essere centrato in Q∞ , e pertanto esiste O2 con ordO2 ȳ = −h/2 e ordO2 x̄ = −1. Si ha
ordO1 ȳ =
ordO1 dx̄ = −2,
ordO2 dx̄ = −2
e quindi
2g − 2 = h − 4 ⇒ g =
h−2
.
2
Proposizione 4.45. Per ogni intero positivo g, esiste una curva algebrica proiettiva di genere g.
Dimostrazione. Dimostreremo l’asserto solo per p 6= 2. Sia h = 2g + 1. Dall’Esempio 4.44, ogni curva di equazione
Y2 =
h
Y
(X − ai ),
ai ∈ K,
ai 6= j se i 6= j
i=1
ha genere g.
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
69
Esempio 4.46. Sia char(K) 6= 2, 3, e sia X : −X 2 − X 4 + Y 6 = 0. I punti singolari affini sono tutti semplici tranne
P0 = (0, 0), che è un punto doppio. Abbiamo mostrato nell’Esempio 3.18 che i DVR di K(X ) centrati in (0, 0) sono
almeno due, diciamo O1 , O2 . Naturalmente sia O1 che O2 sono zeri di entrambe le funzioni razionali x̄ e ȳ. Pertanto
2 · ordOi x̄ = 6 · ordOi ȳ,
e quindi
ordOi x̄ = 3 · ordOi ȳ,
Quindi 3 | ordOi x̄, ma non è possibile che ordOi x̄ ≥ 6 altrimenti x̄ avrebbe 12 zeri. Pertanto
ordOi (x̄) = 3,
ordOi (ȳ) = 1
e dato che p 6= 3 si ha ordOi dx̄ = 2. Evidentemente non possono essevi altri DVR centrati in P0 .
I punti semplici con tangente verticale sono P1 = (1, 0) e P2 = (−1, 0). Si ha fy = 6ȳ 5 , e quindi in questi punti si ha
ordPi dx̄ = 5.
Restano da esaminare i DVR centrati nei punti all’infinito. L’unico punto all’infinito è R∞ = (0 : 1 : 0). È un punto
singolare doppio con un’unica tangente principale, X0 = 0. Sia O un DVR centrato in R∞ che sia polo di x̄. Allora
4 · ordO x̄ = 6 · ordOi ȳ,
e quindi
2 · ordO x̄ = 3 · ordOi ȳ.
Due sono le possibilità: (a) O è l’unico DVR centrato in R∞ (b) Esistono almeno due DVR centrati in R∞ . Esaminiamo
le due possibilità separatamente.
(a) In tal caso ordO x̄ = −6 e ordO dx̄ = −7. Si avrebbe allora
2g − 2 = 2 · 2 + 2 · 5 − 7
il che implicherebbe g non intero, una contraddizione.
(b) In tal caso ordO x̄ = −3 e quindi
2g − 2 = 2 · 2 + 2 · 5 + 2 · (−4),
da cui
g = 4.
Esercizio 27. Lo studente provi a svolgere l’esercizio precedente per p = 3. Si osservi subito che dx̄ = 0.
4.3. Curve iperellittiche. Una curva X si dice iperellittica se ha genere g maggiore di 1 ed inoltre
(14)
esiste α ∈ K(X ) con deg((α)∞ ) = 2.
Esercizio 28. Si dimostri che ogni curva di genere 0 o 1 soddisfa la proprietà (14).
Esercizio 29. Si dimostri la curva dell’Esempio 4.44 è iperellittica per ogni h ≥ 4.
Proposizione 4.47. Ogni curva X di genere g = 2 è iperellittica.
Dimostrazione. Sia W un divisore canonico di X . Dato che `(W ) ≥ 2, esiste un divisore W 0 equivalente a W
ed effettivo. Sappiamo dunque che anche W 0 è canonico, e quindi `(W 0 ) ≥ 2. Pertanto in L(W 0 ) esiste una funzione
razionale non costante, diciamo α. Risulta quindi
(α) + W 0 ≥ 0,
e in particolare
deg (−(α)∞ + W 0 ) ≥ 0.
Essendo deg(W 0 ) = 2g − 2 = 2, si ha deg((α)∞ ) ∈ {0, 1, 2}. Si noti che deg((α)∞ ) 6= 0, essendo α non costante. Inoltre
se fosse deg((α)∞ ) = 1, allora X avrebbe genere 0. Per cui deg((α)∞ ) = 2.
4. DERIVAZIONI, DIFFERENZIALI, DIVISORI CANONICI
70
Nel caso di caratteristica diversa da 2 daremo la seguente classificazione delle curve iperellittiche (e quindi delle curve di
genere g = 2).
Proposizione 4.48. Sia char(K) 6= 2. Allora ogni curva iperellittica di genere g è birazionalmente equivalente ad una
curva piana di equazione
2g+1
Y
Y2 =
(X − ai ),
ai ∈ K,
ai =
6 j se i 6= j.
i=1
Dimostrazione. Sia x come da proprietà (14). Dato che deg((x)∞ ) = 2, risulta [K(X ) : K(x)] = 2. Dato che
char(K) 6= 2, l’estensione K(X ) : K(x) è separabile e pertanto - in virtù del Teorema dell’Elemento Primitivo - esiste
y0 ∈ K(X ) con K(X ) = K(x, y0 ).
Dato che il polinomio minimo di y0 su K(x) è 2, y0 soddisfa una relazione di tipo
y02 +
b1 (x)
b3 (x)
y0 +
= 0,
b2 (x)
b4 (x)
con bi (x) ∈ K[x].
Eliminando i denominatori si ottiene
c0 (x)y02 + c1 (x)y0 + c2 (x) = 0,
per qualche ci (x) ∈ K[x].
Si ponga y1 = c0 (x)y0 e si osservi che K(X ) = K(x, y0 ) = K(x, y1 ). Inoltre
y12 + c1 (x)y1 + c0 (x)c2 (x) = 0.
Ora si definisca y2 = y1 + 21 c1 (x). Si osservi che K(X ) = K(x, y1 ) = K(x, y2 ), ed inoltre
y22 + h(x) = 0,
Qs
Si scriva h(x) = a
essere scritto come
j=1 (x
con h(x) ∈ K[x].
− uj )rj con a ∈ K ∗ , rj ∈ Z>0 , uj ∈ K, uj 6= uj 0 per j 6= j 0 . Allora è evidente che h(x) può
h(x) = ag(x)2
h
Y
(x − ai ).
i=1
Si ponga y3 = y2 /g(x) e si osservi che K(X ) = K(x, y2 ) = K(x, y3 ). Inoltre
y32
+a
h
Y
(x − ai ) = 0.
i=1
Finalmente, si consideri e ∈ K con e2 = −a e si ponga y = ey3 . Ovviamente vale K(X ) = K(x, y3 ) = K(x, y). Inoltre
y2 =
h
Y
(x − ai ).
i=1
Il fatto che h appartenga a {2g + 1, 2g + 2} segue dall’Esercizio 4.44.
Se h = 2g + 2, è necessario operare un’ulteriore trasformazione, ponendo
x0 =
1
,
x − a1
y 0 = yx0
g+1
.
Allora facilmente si ha K(X ) = K(x0 , y 0 ), ed inoltre
2
y 0 = y 2 x0
2g+2
=
2g+2
Y
x0 (x − ai )
i=2
Tenendo conto che x =
1
x0
+ a1 si ha allora
2
y0 =
2g+2
Y
(1 + (a1 − ai )x0 ).
i=2
5. TEOREMA DI RIEMANN-ROCH
71
5. Teorema di Riemann-Roch
Il Teorema di Riemann-Roch è uno dei teoremi più famosi della Geometria Algebrica.
Teorema 4.49 (Teorema di Riemann-Roch). Dato un divisore D di una curva algebrica X ,
`(D) = deg(D) + 1 − g + `(W − D)
dove W è un qualsiasi divisore canonico.
Calcolare `(W − D) in generale non è facile. Se però il grado di D è sufficientemente grande, tale intero risulta essere
uguale a zero
Corollario 4.50. Per ogni divisore D tale che deg(D) ≥ 2g − 1, si ha
`(D) = deg(D) + 1 − g
Dimostrazione. Dal Teorema di Riemann-Roch segue `(D) = deg(D) + 1 − g + `(W − D), essendo W un divisore
canonico. Siccome deg(D) ≥ 2g − 1 e deg(W ) = 2g − 2, abbiamo che deg(W − D) < 0. Da (2) del Lemma 3.40 segue che
`(W − D) = 0, da cui l’asserto.
Lemma 4.51. Sia D tale che deg(D) = 0. Allora `(D) ≤ 1.
Dimostrazione. L’asserto segue dalla Proposizione 3.42.
Esempio 4.52. Sia q una potenza di un primo, e sia X : F = 0, F = X2 , K = F¯q . Conserviamo la notazione usata
nell’Esempio 1.38. Per un intero k, 1 ≤ k ≤ q, sia D = (k − 1)P∞ . Proveremo che L(D) coincide con lo spazio vettoriale
f (X0 , X1 ) + hF i
V =
|
f
(X
,
X
)
∈
F
[X
,
X
],
omogeneo,
deg(f
)
=
k
−
1
.
0
1
q
0
1
X0k−1 + hF i
Mostriamo innanzitutto che V ⊆ L(D). Per una funzione f ∈ V si scriva
f = (a0 X0k−1 + a1 X1 X0k−2 + . . . + ak−1 X1k−1 ) + hF i/X0k−1 + hF i.
Allora f = a0 f0 + a1 f1 + . . . + ak−1 fk−1 , dove fi = (X1 /X0 )i . Siccome per il Corollario 1.31 f1−1 è un parametro locale
in P∞ , la Proposizione 1.36 implica ordP∞ (f ) = −i0 , essendo
i0 = max{0 ≤ i ≤ k − 1 | i 6= 0} .
Tenendo conto del fatto che f è definita in ogni punto di X diverso da P∞ , si ha che (f )∞ = −i0 P∞ , e pertanto f ∈ L(D).
Per provare l’asserto ora è sufficiente mostrare che dim(V ) = `(D). Chiaramente dim(V ) = k. Siccome il genere di X è
uguale a 0, per il Corollario 4.50 si che anche `(D) è uguale a k.
Esempio 4.53. Sia X come nell’esempio 4.52. Siano P1 = (1 : a1 : 0), . . . , Pn = (1 : an : 0) punti distinti di X . Per n
elementi non nulli v1 , v2 , . . . , vn di Fq , sia U ∈ Fq [X] tale che deg(U ) ≤ n − 1 e U (ai ) = vi per ogni i, 1 ≤ i ≤ n. Si
scriva U = u0 + u1 X + . . . + un−1 X n−1 ; sia u la funzione razionale su X definita da u = (u0 X0n−1 + u1 X1 X0n−2 + . . . +
un−1 X1n−1 )/X0n−1 . Ora si consideri lo spazio L(D) con D = (k − 1)P∞ − (u). Affermiamo che l’insieme
uf0 , uf1 , . . . , ufk−1 ,
i
con fi = (X1 /X0 ) , costituisce una base di L(D). Dall’ Esempio 4.52 sappiamo che (fi ) = iP0 − iP∞ . Pertanto
(ufi ) + D = (u) + (fi ) + ((k − 1)P∞ − (u)) = iP0 + (k − 1 − i)P∞ ≥ 0
cioè ufi ∈ L(D) per ogni i, 0 ≤ i ≤ k − 1. Si lascia come esercizio dimostrare che le funzioni ufi sono linearmente
indipendenti. Per il Corollario 4.50, la dimensione di L(D) è uguale a k, e pertanto l’asserto è dimostrato.
CAPITOLO 5
Ricoprimenti
1. L’uguaglianza fondamentale
Sia φ : X → Y una mappa razionale non costante, e sia φ∗ : K(Y) → K(X ) il suo pull-back. Sia O un DVR di K(X ) e
sia O0 il DVR di K(Y) tale che φ∗ (O0 ) = O ∩ φ∗ (K(Y)). Ricordiamo che O0 è l’unico DVR di K(X ) tale che φ∗ (O0 ) ⊆ O.
In questo capitolo, quando φ è chiara dal contesto, scriveremo talvolta O | O0 in luogo di φ∗ (O0 ) ⊆ O. Diremo in tal caso
che O0 è coperto da O.
Ricordiamo che se O = K[X ]P e O0 = K[Y]Q , con P e Q punti semplici, allora questa condizione è equivalente a φ(P ) = Q.
Ricordiamo inoltre che è già stato dimostrato che φ∗ (MO0 ) ⊆ MO .
Lemma 5.1. Esiste un intero eO ≥ 1 tale che per ogni α ∈ K(Y) si ha
ordO (φ∗ (α)) = eO · ordO0 (α).
Dimostrazione. Si osservi che se u ∈ K(Y) è tale che ordO0 (u) = 0, allora φ∗ (u), φ∗ (u)−1 ∈ O, e quindi anche
ordO (φ∗ (u)) = 0. Adesso scegliamo un parametro locale t0 per O0 e poniamo eO = ordO (φ∗ (t0 )). Si ha allora eO ≥ 1 dato
che φ∗ (MO0 ) ⊆ MO . Sia quindi α = u(t0 )r . Si ha
φ∗ (α) = φ∗ (u) · φ∗ (t0 )r ,
da cui facilmente l’asserto.
Definizione 5.2. L’intero eO è detto indice di ramificazione di O su O0 . Diremo che O|O0 è ramificata (o che O è di
ramificazione) se eO > 1.
Dimostriamo ora che una mappa razionale non costante fra curve non singolari è sempre suriettiva.
Proposizione 5.3. Per ogni DVR O0 di K(Y) esiste almeno uno e comunque un numero finito di DVR O di K(X ) tali
che φ∗ (O0 ) ⊂ O.
Dimostrazione. Scegliamo α ∈ K(Y) tale che O0 sia l’unico zero di α; ciò è senz’altro possibile (lo studente provi
a dimostrarlo ragionando con il semigruppo di Weierstrass).
Dimostreremo che i DVR di K(X ) che ricoprono O0 sono tutti e soli gli zeri di φ∗ (α). L’asserto ne segue facilmente.
Se φ∗ (O0 ) ⊆ O, allora chiaramente ordO (φ∗ (α)) > 0. Viceversa, sia ordO (φ∗ (α)) > 0, e sia O00 il DVR coperto da O.
Allora ordO00 (α) > 0, e quindi O = O00 .
Teorema 5.4 (Uguaglianza fondamentale). Sia n = [K(X ) : φ∗ (K(Y))]. Sia O0 un DVR di K(Y), e siano O1 , . . . , Om
i DVR di K(X ) con Oi | O0 . Allora
m
X
n=
eOi .
i=1
Dimostrazione. Scegliamo α ∈ K(Y) tale che O0 sia l’unico zero di α. Allora, dalla dimostrazione precedente,
O1 , . . . , Om sono tutti e soli gli zeri di φ∗ (α).
Calcoliamo [K(X ) : φ∗ (K(α))] in due modi diversi. Da un lato
[K(X ) : φ∗ (K(α))] = [K(X ) : φ∗ (K(Y))][φ∗ (K(Y)) : φ∗ (K(α)))] = nv
72
2. IL TEOREMA DI HURWITZ
essendo v = ordO0 (α). Dall’altro [K(X ) : φ∗ (K(α))] = [K(X ) : K(φ∗ (α)] =
Pm
( i=1 eOi ) v.
73
P
O zero di φ∗ (α)
ordO (φ∗ (α)) =
Pm
i=1 (eOi v)
=
2. Il teorema di Hurwitz
Sia φ : X → Y una mappa razionale non costante separabile, e sia φ∗ : K(Y) → K(X ) il suo pull-back. Sia O un
DVR di K(X ) e sia O0 il DVR di K(Y) tale che φ∗ (O0 ) ⊆ O. Ricordiamo che se O = K[X ]P e O0 = K[Y]Q , con P e Q
punti semplici, allora questa condizione è equivalente a φ(P ) = Q. Ricordiamo inoltre che φ∗ (O0 ) = O ∩ φ∗ (K(Y)), e che
φ∗ (MO0 ) ⊆ MO .
Lemma 5.5. Per ogni α, x ∈ K(Y) con dx 6= 0 si ha:
dα = udx in ΩK (K(Y)) ⇒ d(φ∗ (α)) = φ∗ (u)dφ∗ (x) in ΩK (K(X )).
Dimostrazione. Esistono due K-derivazioni definite su φ∗ (K(Y)): una, diciamo d1 , a valori in ΩK (K(X )), indotta
˜ a valori in ΩK (φ∗ (K(Y))), indotta in modo naturale da
dalla restrizione di d : K(X ) → Ω(K(X )); l’altra, diciamo d,
˜ ∗ (α)) = φ∗ (u)d(φ
˜ ∗ (x)) in
d : K(Y) → ΩK (K(Y)). Osserviamo in particolare che se dα = udx in ΩK (K(Y)), allora d(φ
∗
ΩK (φ (K(Y))).
˜
Per il Lemma 4.29, esiste η omomorfismo di φ∗ (K(Y))-spazi vettoriali, η : Ω(φ∗ (K(Y))) → ΩK (K(X )), tale che d1 = η ◦ d.
˜ ∗ (α)) = φ∗ (u)d(φ
˜ ∗ (x)) in Ω(φ∗ (K(Y))).
Sia d1 (φ∗ (α)) = vd1 (φ∗ (x)) in ΩK (K(X )), e dα = udx in K(Y). Allora d(φ
Applicando η se ne deduce
˜ ∗ (α))) = η(φ∗ (u)d(φ
˜ ∗ (x))) = φ∗ (u)η(d(φ
˜ ∗ (x))),
η(d(φ
e quindi
d1 (φ∗ (α)) = φ∗ (u)d1 (φ∗ (x)).
Corollario 5.6. Sia φ : X → Y separabile. Se α ∈ K(Y) è tale che dα 6= 0 in ΩK (K(Y)), allora dφ∗ (α) 6= 0 in
ΩK (K(X )).
Dimostrazione. Sia x separante in K(Y). Allora φ∗ (x) è separante in K(X ); infatti l’estensione K(X ) : K(φ∗ (x))
è ottenibile come composizione delle estensioni separabili K(X ) : φ∗ (K(Y)) e φ∗ (K(Y)) : φ∗ (K(x)). Pertanto dφ∗ (x) 6= 0.
Allora dα = udx con u 6= 0. Dal Lemma 5.5 allora segue che d(φ∗ (α)) = φ∗ (u)d(φ∗ (x)) in ΩK (K(X )). Visto che φ∗ (u) e
dφ∗ (x) 6= 0 sono entrambi non nulli, ne segue d(φ∗ (α)) 6= 0.
Teorema 5.7 (Teorema di Hurwitz). Siano X e Y due curve algebriche proiettive. Sia g il genere di X e g 0 il genere di
Y. Sia φ : X → Y una mappa razionale non costante separabile di grado n. Allora
2g − 2 = n(2g 0 − 2) + Dif f,
dove Dif f =
P
O∈P
∗
0
ordO dφdt(t ) , essendo t (resp t0 ) parametro locale in O (resp. O0 ).
Dimostrazione. Sia x separante per K(Y) (e quindi φ∗ (x) è separante per K(X )). Allora
X
X
X
d(φ∗ (x)) d(φ∗ (tO0 ))
∗
∗
2g − 2 =
ordO d(φ (x)) =
ordO (d(φ (x))/dtO ) =
ordO
,
d(φ∗ (tO0 ))
dtO
O∈P
O∈P
O∈P
con tO (resp tO0 ) parametro locale in K(X ) (resp. K(Y)) di O (resp. O0 ). Osserviamo che d(φ∗ (tO0 )) 6= 0 perché dtO0 6= 0
(Corollario 5.6).
Quindi
2g − 2 =
X
ordO
O∈P
d(φ∗ (x))
d(φ∗ (tO0 ))
+
X
O∈P
0
ordO
d(φ∗ (tO0 ))
dtO
=
X
O∈P
ordO
d(φ∗ (x))
d(φ∗ (tO0 ))
Analizziamo la prima sommatoria. Indicando con P l’insieme dei DVR di K(Y), si ottiene:
X
X
X
d(φ∗ (x))
d(φ∗ (x))
ordO
=
ord
.
O
d(φ∗ (tO0 ))
d(φ∗ (tO0 ))
0
0
0
O∈P
O ∈P
O∈P,O|O
+ Dif f.
2. IL TEOREMA DI HURWITZ
74
Dal Lemma 5.5 segue che
d(φ∗ (x))
d(φ∗ (tO0 ))
è il pull-back di dx/dtO0 . Ne segue
X
X
d(φ∗ (x))
=
ordO
∗
d(φ (tO0 ))
0
0
O∈P
O ∈P
X
ordO0
O∈P,O|O 0
dx
dtO0
eO = n · deg(div(dx)) = n(2g 0 − 2).
In caratteristica 0, o in generale nel caso in cui la caratteristica p non divide nessun indice di ramificazione eO , esiste un
espressione molto semplice per l’intero Dif f .
Proposizione 5.8. Sia t (resp t0 ) parametro locale in O (resp. O0 ). Allora
ordO
dφ∗ (t0 )
≥ eO − 1.
dt
Inoltre se char(K) = 0 o se p non divide eO si ha
ordO
dφ∗ (t0 )
= eO − 1.
dt
Dimostrazione. Per definizione eO è l’ordine di φ∗ (t0 ) in O. Pertanto la serie di potenze G(T ) = φt (φ∗ (t0 )) è di
tipo
G(T ) = aT eO + . . . ,
a 6= 0.
La derivata di G(T ) è
G0 (T ) = eO aT eO −1 + . . .
∗
0
Dalla discussione che precede il Lemma 4.35 si ha che ordO dφdt(t ) = ordG0 (T ), da cui l’asserto.
Corollario 5.9. Se char(K) = 0, o se p non divide nessun indice di ramificazione eO , allora
X
2g − 2 = n(2g 0 − 2) +
(eO − 1).
O∈P
Corollario 5.10. Sia φ : X → Y mappa razionale non costante e separabile. Sia n = [K(X ) : φ∗ (K(Y))]. Allora per
tutti i DVR O0 di K(Y), tranne al più un numero finito di eccezioni, si ha
#{O DVR di K(X ) | O|O0 } = n.
Dimostrazione. Dal Teorema di Hurwitz segue che eO > 1 solo per un numero finito di O. L’asserto quindi segue
dall’uguaglianza fondamentale.
2.1. Esempi.
Esempio 5.11. Siano n, m primi tra loro ed entrambi non multipli della caratteristica di K. Consideriamo la curva
Y : Xn + Y m + 1 = 0
e calcoliamone il genere utilizzando il teorema di Hurwitz. Supponiamo senza restrizione n ≥ m (in caso contrario si
scambino X e Y ). Inoltre escludiamo il caso n = m perchè in tal caso Y è non singolare e il suo genere è già noto. Sia
X : X mn + Y mn + 1 = 0.
Dato che la caratteristica di K non divide mn si ha che X è una curva non singolare, e pertanto il suo genere è
g = (mn − 1)(mn − 2)/2.
Consideriamo la mappa razionale
φ : X → Y,
φ = (1 : x̄m : ȳ n ).
Indichiamo con x̃ e ỹ le funzioni coordinate affini di K(Y) (chiamarle come di consueto x̄ e ȳ genererebbe ambiguità con
le funzioni omologhe di K(X )). Allora φ∗ (x̃) = x̄m , φ∗ (ỹ) = ȳ n .
2. IL TEOREMA DI HURWITZ
75
Calcoliamo il grado di φ. Considerata la catena di sottocampi
φ∗ (K(Y)) = K(x̄m , ȳ n ) ⊆ K(x̄m , ȳ n )(x̄) ⊆ K(x̄m , ȳ n )(x̄)(ȳ) = K(X )
si vede subito che il grado di φ è minore o uguale di mn.
D’altro canto, fissato P = (a, b) punto di X con ab 6= 0, fissate η e ξ radici primitive rispettivamente n-me e m-me
dell’unità in K, l’insieme di punti
EP = {((η n )i a, (ξ m )j b) | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
ha cardinalità mn, è costituito da punti (semplici) di X , aventi tutti la stessa immagine (am , bn ). Pertanto il grado di φ
è uguale a mn.
Cerchiamo i punti di ramificazione di φ. Dal fatto che quando ab 6= 0 i punti di EP sono deg(φ) punti di X aventi la
stessa immagine di P , segue che gli unici punti di ramificazione possono essere i punti affini P = (a, b) con a = 0 o b = 0,
o i punti all’infinito.
Esaminiamo i diversi casi separatamente
• P = (0, b). Allora b 6= 0, altrimenti il punto non apparterrebbe alla curva X . Si ha φ(P ) = P 0 = (0, bn ), punto
semplice di Y con x̃ parametro locale. Allora
m = ordP (x̄m ) = ordP (φ∗ (x̃)) = eP · ordP 0 (x̃) = eP .
• P = (a, 0). Allora a 6= 0, altrimenti il punto non apparterrebbe alla curva X . Si ha φ(P ) = P 0 = (an , 0), punto
semplice di Y con ỹ parametro locale. Allora
n = ordP (ȳ n ) = ordP (φ∗ (ỹ)) = eP · ordP 0 (ỹ) = eP .
• P punto all’infinito. Esistono mn punti all’infinito Q1 , . . . , Qmn , di coordinate Qmn = (0 : µi λ : 1), i =
1, . . . , mn, con µ radice primitiva (mn)-ma dell’unità in K e con λ ∈ K con λmn + 1 = 0. Si ha ordQi (x̄) =
ordQi (ȳ) = −1. Pertanto, scrivendo
φ = (1/(ȳ n ) : (x̄m )/(ȳ n ) : 1)
deduciamo che φ(Qi ) = (0 : 0 : 1). Si dimostri per esercizio che esiste un unico DVR R di K(Y) centrato in
(0 : 0 : 1), e che per tale R valgono ordR (x̃) = −m, ordR (ỹ) = −n. Pertanto l’indice di ramificazione deve
necessariamente essere 1.
Pertanto
(nm − 1)(mn − 2)
2
− 2 = mn(2g 0 − 2) + mn(m − 1) + mn(n − 1),
n
e quindi, dividendo tutto per mn,
mn − 3 = 2g 0 − 2 + m + n − 2
e pertanto
mn + 1 − m − n
.
2
Esercizio 30. Si calcoli il genere della curva Y dell’esempio precedente senza utilizzare il Teorema di Hurwitz.
g0 =
Esempio 5.12. Sia X come nell’esempio 3.18. Sia Y : −X 2 + X 4 + Y 3 = 0 e sia
φ : X → Y,
φ = (1 : x̄ : ȳ 2 ).
Calcoliamo il genere g 0 di Y utilizzando il Teorema di Hurwitz.
Mostriamo che il grado di φ è 2. Si ha φ∗ (K(Y)) = K(c̄, ȳ 2 ) e quindi K(X ) = φ∗ (K(Y))(ȳ). Dato che ȳ è radice di
X 2 − ȳ 2 ∈ φ∗ (K(Y))[X] si ha subito che il grado è al massimo 2.
Indichiamo con x̃ e ỹ le funzioni coordinate affini di K(Y) (chiamarle come di consueto x̄ e ȳ genererebbe ambiguità con
le funzioni omologhe di K(X )). Allora φ∗ (x̃) = x̄, φ∗ (ỹ) = ȳ 2 . Se il grado della mappa razionale fosse minore di 2, allora
il polinomio X 2 − ỹ sarebbe riducibile, e quindi ỹ sarebbe un quadrato in K(Y). Ciò non è possibile, e questo lo si può
vedere considerando, per esempio, che V = (1 : 0) è un punto semplice di Y con tangente X = 1, e quindi ordV (ỹ) = 1.
3. AUTOMORFISMI DI UNA CURVA E RICOPRIMENTI DI GALOIS - CURVE QUOZIENTE
76
Cerchiamo di individuare i DVR di ramificazione di φ. Un punto affine semplice P = (a, b) è tale che φ(a, b) = φ(a, −b).
Pertanto se b 6= 0 P non può essere di ramificazione. I punti affini semplici con b = 0 sono due: P1 = (1, 0) e P2 = (−1, 0).
Le loro immagini mediante φ sono rispettivamente P10 = (1, 0) e P20 = (−1, 0), punti semplici di Y. Si ha ordPi0 (ỹ) =
ordPi (ȳ) = 1. Pertanto
2 = ordPi (ȳ 2 ) = ordPi (φ∗ (ỹ)) = ePi ordPi0 (ỹ) = ePi .
Quindi P1 e P2 sono punti/DVR di ramificazione con indice di ramificazione 2.
Gli altri unici possibili DVR di ramificazione sono quelli centrati in punti singolari o all’infinito. Abbiamo nell’Esempio
4.46 che questi DVR sono precisamente 4: due - diciamo O1 e O2 - centrati in (0, 0), e due - diciamo R1 e R2 - centrati
in R∞ = (0 : 1 : 0). Abbiamo anche visto che
ordOi (x̄) = 3,
Siano
Oi0
ordOi (ȳ) = 1,
(resp. Ri ) i DVR di K(Y) con
Oi |Oi0
(risp. Ri |
ordRi (x̄) = −3,
Ri0 ).
ordRi (ȳ) = −2.
quindi
3 = ordOi (x̄) = ordOi (φ∗ (x̃)) = eOi ordOi0 (x̃),
2 = ordOi (ȳ 2 ) = ordOi (φ∗ (ỹ)) = eOi ordOi0 (ỹ),
−3 = ordRi (x̄) = ordRi (φ∗ (x̃)) = eRi ordRi0 (x̃),
−4 = ordRi (ȳ 2 ) = ordRi (φ∗ (ỹ)) = eRi ordRi0 (ỹ).
Naturalmente dall’uguaglianza fondamentale segue che eO ∈ {1, 2}. La prima e la terza uguaglianza implicano che eOi e
eRi non possono essere pari. Pertanto non esistono DVR di ramificazione per φ oltre a P1 e P2 .
Da cui
2g − 2 = 2(2g 0 − 2) + 2(2 − 1) ⇒ g 0 = 2.
Esercizio 31. Si dimostri che se p 6= 2, 3 allora il genere di Y : −X 2 + X 4 + Y 3 = 0 è 2, senza utilizzare il Teorema di
Hurwitz.
Esempio 5.13. Sia X come nell’esempio 3.18. Ricalcoliamo il genere di X utilizzando il Teorema di Hurwitz. Sia
Y : −X + X 2 + Y 3 = 0. È una curva piana non singolare di grado 3, quindi il suo genere è g 0 = 1. Consideriamo
φ : X → Y,
φ = (1 : x̄2 : ȳ 2 ).
Indichiamo con x̃ e ỹ le funzioni coordinate affini di K(Y) (chiamarle come di consueto x̄ e ȳ genererebbe ambiguità con
le funzioni omologhe di K(X )). Allora φ∗ (x̃) = x̄2 , φ∗ (ỹ) = ȳ 2 .
Si dimostri per esercizio che il grado di φ è uguale a 4.
I punti di ramificazione semplici affini sono i punti P = (a, b) con a = 0 o con b = 0, diversi da (0, 0). Vale a dire i punti
(1, 0) e (−1, 0), che hanno la stessa immagine (1, 0). Si dimostri per esercizio che l’indice di ramificazione in questi due
punti è 2.
I due DVR di X centrati in (0, 0), diciamo O1 e O2 , sono gli unici DVR le cui immagini sono centrate nel punto semplice
(0, 0) di Y. Si dimostri per esercizio che l’indice di ramificazione in questi due DVR è 2.
I due DVR di X centrati in (0 : 1 : 0), diciamo R1 e R2 , sono gli unici DVR le cui immagini sono centrate nel punto
semplice (0 : 1 : 0) di Y. Si dimostri per esercizio che l’indice di ramificazione in questi due DVR è 2.
Pertanto
2g − 2 = 4(2 · 1 − 1) + 6(2 − 1) ⇒ g = 4.
3. Automorfismi di una curva e ricoprimenti di Galois - Curve Quoziente
Proposizione 5.14. Sia M : L un’estensione finita e separabile, e sia
Γ(M, L) = {σ : M → M | σ automorfismo, σ(l) = l per ogni l ∈ L}.
Allora
|Γ(M, L)| ≤ [M : L].
3. AUTOMORFISMI DI UNA CURVA E RICOPRIMENTI DI GALOIS - CURVE QUOZIENTE
77
Dimostrazione. Sia α tale che M = L(α). Tale α esiste per il Teorema dell’elemento primitivo. Sia f il polinomio
minimo di α su L, e sia n il suo grado. Chiaramente [M : L] = n. É facile vedere che ogni automorfismo di M = L(α)
che fissa L elemento per elemento deve mandare α in una radice di f , ed inoltre l’immagine di α determina l’immagine di
ogni elemento di L(α). Pertanto il numero di tali automorfismi è al massimo il numero di radici di f in M , e cioè n. Un’estensione di campi finita e separabile M : L si dice di Galois se |Γ(M, L)| = [M : L].
Nota 6. Questa non è la definizione standard per un’estensione di Galois. Normalmente un’estensione di campi si dice
di Galois se è finita, separabile e normale. Si può dimostrare che le due definizioni sono equivalenti (per estensioni finite
e separabili).
Sia φ : X → Y una mappa razionale non costante, e sia φ∗ : K(Y) → K(X ) il suo pull-back. Per semplicità scriveremo
Γ(X , Y) in luogo di Γ(K(X ), φ∗ (K(Y))), ovvero
Γ(X , Y) = {σ : K(X ) → K(X ) | σ autom. con σ(α) = α ∀ α ∈ φ∗ (K(Y))}.
Definizione 5.15. La mappa razionale φ è detta di Galois se l’estensione di campi K(X ) : φ∗ (K(Y)) è di Galois, ovvero
se è separabile e se il gruppo Γ(X , Y) ha cardinalità pari al grado di φ. In tal caso Y viene detta curva quoziente di X
rispetto al gruppo Γ(X , Y) di automorfismi di K(X ).
Proviamo ora che ogni gruppo finito di automorfismi di K(X ) è Γ(X , Y) per qualche φ : X → Y di Galois.
Teorema 5.16. Sia G un gruppo finito di K-automorfismi di K(X ). Sia
L = {α ∈ K(X ) | σ(α) = α per ogni σ ∈ G}.
Allora l’estensione K(X ) : L è di Galois e Γ(K(X ), L) = G.
Dimostrazione.
1. L’estensione K(X ) : L è finita e separabile. Questo seguirà dal fatto che ogni elemento di K(X ) è algebrico
su L e che il suo polinomio minimo è separabile (lo studente rifletta sul perché in questo contesto estensione
algebrica implica estensione finita).
Sia quindi η ∈ K(X ) \ L. Sia σ1 , . . . , σr un insieme di elementi di G, contenente l’identità, tale che
σ1 (η), . . . , σr (η) sono distinti, massimale rispetto all’inclusione.
Si osservi che se σ ∈ G, allora σσ1 (η), . . . , σσr (η) è semplicemente una permutazione di σ1 (η), . . . , σr (η),
dato che il secondo insieme è massimale.
Sia
r
Y
f (X) =
(X − σi (η)).
i=1
Dato che i coefficienti di un polinomio monico sono polinomi simmetrici nelle sue radici, si ha che ogni coefficiente
di f è fissato da ogni σ ∈ G, e pertanto f ha coefficienti in L. Dato che f (η) = 0 questo prova che η è algebrico
su L. Inoltre, il polinomio minimo di η su L divide f , e pertanto è separabile.
2. |G| ≥ [K(X ) : L]. Dal punto 1. segue che per ogni η ∈ K(X ) si ha [L(η) : L] ≤ |G|. Dato che K(X ) : L è finita
e separabile, l’asserto segue dal Teorema dell’elemento primitivo.
3. Conclusione. G è chiaramente sottogruppo di Γ(K(X ), L), e dalla Proposizione 5.14 segue
|G| ≤ |Γ(K(X ), L)| ≤ [K(X ) : L].
Dal punto 2. segue allora
|Γ(K(X , L))| = [K(X ) : L].
Ovviamente si ha anche G = Γ(K(X ), L).
Corollario 5.17. I ricoprimenti di Galois di X , e quindi le curve quoziente di X , sono in biiezione con i sottogruppi
finiti di automorfismi di K(X ).
3. AUTOMORFISMI DI UNA CURVA E RICOPRIMENTI DI GALOIS - CURVE QUOZIENTE
78
Dato un gruppo finito G di automorfismi di K(X ), la curva quoziente di X rispetto al ricoprimento di Galois indotto da
G sarà denotata con X /G.
Il seguente lemma vale anche per mappe razionali non di Galois.
Lemma 5.18. Siano O DVR di K(X ) e O0 DVR di K(Y) con O|O0 , e sia σ ∈ Γ(X , Y). Allora
1.
2.
3.
4.
σ(O) è DVR di K(X );
ordσ(O) (y) = ordO (σ −1 (y));
σ(O) | O0 ;
eσ(O) = eO .
Dimostrazione.
1. Banale.
2. Segue facilmente dal fatto che σ è automorfismo, e che le valutazioni in un DVR dipendono esclusivamente dalle
proprietà algebriche di K(X ). In dettaglio: se t è parametro locale in O, allora σ(t) è parametro locale in σ(O), e se u è
invertibile in O allora σ(u) è invertibile in σ(O). Ovviamente da σ −1 (y) = tm u segue y = σ(t)m σ(u), da cui l’asserto.
3. Naturalmente σ(φ∗ (O0 )) = φ∗ (O0 ) perché σ fissa tutti gli elementi di φ∗ (K(X )). Pertanto φ∗ (O0 ) = σ(φ∗ (O0 )) ⊆
σ(O).
4. Sia t0 un parametro locale di O0 . Allora
eσ(O) = ordσ(O) (φ∗ (t0 )) = ordO (σ −1 (φ∗ (t0 ))) = ordO (φ∗ (t0 ))) = eO .
Vediamo un lemma preparatorio al Teorema chiave 5.20.
Lemma 5.19. Sia K(X ) : φ∗ (K(Y)) un’estensione di Galois. Allora
φ∗ (K(Y)) = {α ∈ K(X ) | σ(α) = α per ogni σ ∈ Γ(X , Y)}.
Dimostrazione. Si vede facilmente che
L = {α ∈ K(X ) | σ(α) = α per ogni σ ∈ Γ(X , Y)}
è un campo, che ovviamente contiene φ∗ (K(Y)).
Pertanto ogni automorfismo di K(X ) che fissa L elemento per elemento in realtà appartiene a Γ(X , Y). In altri termini
Γ(K(X ), L) ⊆ Γ(X , Y). D’altro canto, semplicemente per definizione di L, si ha che ogni elemento di Γ(X , Y) fissa tutti
gli elementi di L, e pertanto
Γ(K(X ), L) = Γ(X , Y).
Dalla Proposizione 5.14 si ha che n = |Γ(X , Y)| = [K(X ) : φ∗ (K(Y))] è minore o uguale di [K(X ) : L], e quindi L non
può che coincidere con φ∗ (K(Y)).
Teorema 5.20. Sia φ : X → Y di Galois. Sian O0 DVR di K(Y) o O1 e O2 tali che O1 | O0 e O2 | O0 . Allora esiste
σ ∈ Γ(X , Y) con O2 = σ(O1 ).
Dimostrazione. Assumiamo che l’asserto sia falso, e cioè che σ(O1 ) 6= O2 per ogni σ ∈ Γ(X , Y). Dal Teorema di
Indipendenza possiamo scegliere z ∈ K(X ) tale che ordO2 (z) > 0 e ordO (z) = 0 per ogni O | O0 , O 6= O2 . Sia
Y
α=
σ(z).
σ∈Γ(X ,Y)
Si ha quindi
ordO1 (α) =
X
σ∈Γ(X ,Y)
ordO1 (σ(z)) =
X
σ∈Γ(X ,Y)
ordσ−1 (O1 ) (z) = 0,
3. AUTOMORFISMI DI UNA CURVA E RICOPRIMENTI DI GALOIS - CURVE QUOZIENTE
79
dato che σ −1 (O1 ) | O0 ma σ −1 (O1 ) 6= O2 . Ovviamente, per calcoli analoghi,
ordO2 (α) > 0.
Il punto cruciale è che α = φ∗ (β), con β ∈ K(Y). Infatti, per definizione α è fissato da ogni elemento di Γ(X , Y), e quindi
appartiene a φ∗ (K(Y)) dal Lemma 5.19. Pertanto si deve avere sia
0 = ordO1 (α) = ordO1 (φ∗ (β)) = eO1 · ordO0 (β) ⇒ ordO0 (β) = 0,
che
0 < ordO2 (α) = ordO2 (φ∗ (β)) = eO2 · ordO0 (β) ⇒ ordO0 (β) > 0.
Le due conclusioni sono evidentemente in contraddizione.
Corollario 5.21. Sia φ : X → Y di Galois e di grado n, e sia O DVR di K(X ). Allora eO coincide con la cardinalità
dello stabilizzatore di O in Γ(X , Y).
Dimostrazione. Si indichi con Γ(X , Y)O lo stabilizzatore di O in Γ(X , Y). Sia O0 il DVR di K(Y) tale che O | O0 .
Osserviamo che dal Teorema 5.20 l’insieme E = {Ō ∈ P : Ō | O0 } è precisamente l’orbita di O sotto l’azione di Γ(X , Y).
Per il teorema dell’indice dello stabilizzatore si ha allora che
|E| = |Γ(X , Y)|/|Γ(X , cY )O | = n/|Γ(X , cY )O |.
Ma dall’uguaglianza fondamentale si ha che
X
n=
eŌ
Ō∈E
e quindi, dal Lemma 5.18(4),
n = |E|eO ,
da cui l’asserto.
Si indichi con Γ(X , Y)O lo stabilizzatore di O in Γ(X , Y). Dal Corollario 5.21, nel caso in cui p non divida |Γ(X , Y)|,
il genere della curva quoziente Y è completamente determinato dall’azione del gruppo |Γ(X , Y)| sui DVR di K(X ).
Applicando i Corollari 5.9 e 5.21 si ha infatti che se p non divide la cardinalità di Γ(X , Y)O per nessun O ∈ P, allora
X
(15)
2g − 2 = |Γ(X , Y)|(2g 0 − 2) +
(|Γ(X , Y)O | − 1).
O∈P
Si noti che, grazie a questa formula, è possibile in teoria calcolare il genere di una curva quoziente senza nemmeno
conoscerne un’equazione: tutto dipende dal gruppo e dalla sua azione su X .
Esercizio 32. Si dimostri che tutte le mappe razionali considerate negli esempi della Sezione 2.1 sono di Galois. Se ne
calcoli il gruppo Γ(X , Y). Si ricalcoli quindi il genere delle curve quozienti utilizzando la formula (15).
Il caso in cui p divida |Γ(X , Y)| sarà trattato nella prossima sezione.
3.1. Formula del Differente di Hilbert. Nel caso di mappe razionali di Galois esiste una formula (la cui dimostrazione esula dagli scopi del corso) che consente il calcolo dell’intero Dif f anche nel caso in cui la caratteristica
divida qualche indice di ramificazione.
Sia quindi φ : X → Y di Galois, e sia G = Γ(X , Y).
Definizione 5.22. Sia O|O0 . Sia t parametro locale in O. Allora, per ogni intero i ≥ 0 si definisce l’i-mo gruppo di
ramificazione di O|O0 il gruppo
Gi (O|O0 ) = {σ ∈ G | ordO (σ(t) − t) ≥ i + 1}.
Si può dimostrare che la definizione non dipende dalla scelta di t.
Teorema 5.23 (Teorema del Differente di Hilbert). Sia φ : X → Y una mappa razionale di Galois con G = Γ(X , Y). Sia
O|O0 , t parametro locale in O, t0 parametro locale in O0 . Allora
∞
ordO
dφ∗ (t0 ) X
=
(| Gi (O | O0 ) | −1) .
dt
i=0
3. AUTOMORFISMI DI UNA CURVA E RICOPRIMENTI DI GALOIS - CURVE QUOZIENTE
80
3.2. Esempi. Sia K di caratteristica p > 0, sia q = ph , e sia X : X q+1 − Y q − Y = 0, curva non singolare. Allora le
seguenti trasformazioni σa,b,c sono K-automorfismi di K(X ) = K(x̄, ȳ):
σa,b,c (x̄) = ax̄ + b, σa,b,c (ȳ) = aq+1 ȳ + bx̄ + c,
dove aq
2
−1
2
= 1, bq = b, cq + c = bq+1 .
Per provarlo basta osservare che σa,b,c è il pull-back della mappa birazionale φa,b,c : X → X definita da
φa,b,c = (1 : ax̄ + b : aq+1 ȳ + bx̄ + c).
Sia
L = {σa,b,c | aq
2
−1
2
= 1, bq = b, cq + c = bq+1 },
e sia
2
H = {σ1,b,c | bq = b, cq + c = bq+1 }.
Si può dimostrare che |H| = q 3 e che pertanto |G| = (q 2 − 1)q 3 . Dato che |H| è una potenza della caratteristica p, a
nessun sottogruppo di H è possibile applicare (15). Occorre pertanto utilizzare la formula del differente di Hilbert.
Osserviamo che ogni elemento di H diverso dall’identità agisce con orbite “lunghe” sui punti affini di X , mentre fissa
l’unico punto all’infinito P∞ = (0 : 0 : 1). A tale scopo è necessario calcolare per ogni elemento σ di H
ordP∞ (σ(t) − t),
essendo t un parametro locale in P∞ . Dato che ordP∞ (x̄) = −q e ordP∞ (ȳ) = −q − 1 (lo si dimostri per esercizio), una
possibile scelta per t è t = x̄/ȳ. Allora
σ1,b,c (x̄/ȳ) − (x̄/ȳ) =
x̄ + b
x̄
bȳ − bx̄2 − cx̄
− =
ȳ + bx̄ + c ȳ
ȳ(ȳ + bx̄ + c)
Quindi
b 6= 0 ⇒ σ1,b,c (x̄/ȳ) − (x̄/ȳ) = −2q − (−2q − 2) = 2,
e
b = 0, c 6= 0 ⇒ σ1,0,c (x̄/ȳ) − (x̄/ȳ) = −q − (2q − 2) = q + 2.
Dato G sottogruppo di H, si ponga G̃ = {σ1,b,c ∈ G | b = 0}. Allora
0
G0 (P∞ |P∞
)=G
0
G1 (P∞ |P∞
)=G
0
G2 (P∞ |P∞
) = G̃
..
.
0
Gq+1 (P∞ |P∞
) = G̃
0
Gq+2 (P∞ |P∞
) = {id}
..
.
Se |G̃| = pw e |G| = pv+w , allora
q 2 − q − 2 = 2g − 2 = pv+w (2g 0 − 2) + 2 · (pv+w − 1) + q · (pw − 1),
e pertanto il genere g 0 della curva quoziente di X rispetto a G è
g0 =
q 2 − qpw
.
2pv+w
3. AUTOMORFISMI DI UNA CURVA E RICOPRIMENTI DI GALOIS - CURVE QUOZIENTE
81
3.3. Il Gruppo degli Automorfismi di una curva: la limitazione di Hurwitz. Lo scopo di questa sezione è
dimostrare il seguente risultato, che dimostra come il genere di una curva abbia influenza sul suo gruppo di automorfismi.
Teorema 5.24. Sia G un gruppo finito di automorfismi di una curva di genere g ≥ 2. Se char(K) = 0, o se p =
char(K) > 0 non divide |G|, allora
|G| ≤ 84(g − 1).
Dimostrazione. Sia g 0 il genere della curva quoziente X /G. Dal Teorema di Hurwitz per ricoprimenti di Galois
sappiamo che
X
2g − 2 = |G|(2g 0 − 2) +
(|G0 | − 1) ,
O∈P
dove GO denota lo stabilizzatore di O in G. Possiamo anche scrivere
X
2g − 2 = |G|(2g 0 − 2) +
X
(|G0 | − 1) .
E orbita sotto G O∈E
Quindi
2g − 2 = |G|(2g 0 − 2) +
X
X
X
(|G|/|E| − 1) = |G|(2g 0 − 2) +
E orbita sotto G O∈E
(|G| − |E|),
E orbita sotto G
e pertanto
X
2g − 2 = |G| 2g 0 − 2 +
E orbita sotto G
|E|
1−
|G|
!
.
Siano E1 , . . . , Er le orbite di DVR sotto l’azione di G che hanno cardinalità minore di |G|. Denotiamo
|Ei |
di = 1 −
.
|G|
Pertanto
0
2g − 2 = |G| 2g − 2 +
r
X
!
di
.
i=1
(Se non esistono orbite corte, si intenda ovviamente
Pr
i=1
di = 0).
Visto che |Ei | divide propriamente |G|, si ha che di ≥ 1/2. In generale di assume valori di tipo (s − 1)/s per qualche
s ≥ 1 divisore di |G|.
1. Se g 0 ≥ 2, allora chiaramente |G| ≤ g − 1.
Pr
Pr
Pr
2. Se g 0 = 1, allora 2g − 2 = |G| i=1 di . Essendo g ≥ 2 necessariamente i=1 di > 0 e quindi i=1 di >
Pertanto |G| ≤ 4(g − 1).
3. Se g 0 = 0, allora
!
r
X
2g − 2 = |G| −2 +
di .
1
2.
i=1
Pr
Occorre quindi che i=1 di > 2, e quindi, essendo di < 2, necessariamente r > 2.
Pr
- r ≥ 5. Allora i=1 di ≥ 5/2 e pertanto |G| ≤ 4(g − 1).
Pr
- r = 4. Deve aversi di > 1/2 per qualche i. Ciò implica di ≥ 2/3, e quindi
i=1 di ≥ 13/6. Da cui
|G| ≤ 12(g − 1).
- r = 3. Ordiniamo gli indici in modo tale che d1 ≤ d2 ≤ d3 . Se d1 = 2/3 allora d3 ≥ 3/4. Ne segue
Pr
Pr
i=1 di ≥ 25/12 e quindi |G| ≤ 24(g − 1). Se d1 ≥ 3/4, allora
i=1 di ≥ 9/4 e quindi |G| ≤ 16(g − 1). Se
d1 = 1/2 e d2 ≥ 3/4, allora necessariamente e d3 ≥ 4/5; ragionando come sopra |G| ≤ 40(g − 1). Infine
supponiamo che d1 = 1/2 e d2 = 2/3. Allora necessariamente d3 ≥ 6/7 e |G| ≤ 84(g − 1).
Dalla dimostrazione appena conclusa si deduce che, nelle ipotesi del Teorema 5.24, si ha |G| = 84(g − 1) precisamente
quando G agisce con 3 sole orbite corte, di lunghezza |G|/2, |G|/3 e |G|/7.
3. AUTOMORFISMI DI UNA CURVA E RICOPRIMENTI DI GALOIS - CURVE QUOZIENTE
82
Esempio 5.25. La quartica di Klein: sia K = C e sia X : X 3 + Y + XY 3 = 0. Si vede facilmente che X è non singolare
e pertanto ha genere g = 3. Si può dimostrare che il suo gruppo di automorfismi ha cardinalità 168 = 84(g − 1).
Nota 7. È stato dimostrato che esistono infinite curve X definite su K = C per cui |Aut(X )| = 84(g − 1). Tuttavia la
quartica di Klein e una delle sole due curve per le quali sono note equazioni.
Esempio 5.26. Sia X come nella Sezione 3.2. La curva X ha genere g = q(q − 1)/2 ed un gruppo di automorfismi di
cardinalità q 3 (q 2 − 1) > 84(g − 1) per q sufficientemente grande. Questo prova che il Teorema 5.24 può non valere in
caratteristica positiva.
CAPITOLO 6
Curve in dimensione superiore
1. Serie lineari
Siano X una curva algebrica proiettiva non singolare definita su un campo K algebricamente chiuso ed E un divisore su
X . Si ponga
|E| := {D ∈ Div(X ) : D ≥ 0, D ∼ E } ,
ovvero
|E| = {E + div(f ) : f ∈ L(E) \ {0}} .
∗
Dato che per ogni f, h ∈ K(X ) , div(f ) = div(h) se e solo se esiste a ∈ K ∗ tale che f = ah, possiamo considerare
l’applicazione E + div(f ) 7−→ [f ] ∈ P(L(E)); si vede facilmente che tale applicazione è biiettiva, e pertanto scriveremo
|E| ∼
= P(L(E)).
Definizione 6.1. Una serie lineare D su X è un insieme di divisori
D := {E + div(f ) : f ∈ D0 \ {0}},
dove E è un divisore su X e D0 è un sottospazio vettoriale su K di L(E). La serie lineare D si dice completa se D = |E|.
Definiamo inoltre il grado e la dimensione di D rispettivamente gli interi d := deg (D) = deg (E) e r := dim (D) =
dimK (D0 ) − 1.
D’ora in avanti con gdr indicheremo una serie lineare su X di grado d e dimensione r, e in accordo con le notazioni precedenti
0
scriveremo D ∼
= P(D0 ). Inoltre una serie lineare D1 ∼
= P(D1 ) ⊆ |E1 | si dice sottoserie di D ⊆ |E| se L(E1 ) ⊆ L(E) e
0
D1 ⊆ D0 .
Ricordiamo che un morfismo φ : X → Pr (K) si dice non degenere se φ (X ) * H per ogni iperpiano H di Pr (K). In altri
termini, φ = (f0 : . . . : fr ) è non degenere se e solo se f0 , . . . , fr sono linearmente indipendenti.
Procediamo adesso alla costruzione di un morfismo non degenere associato ad una serie lineare D.
Definizione 6.2. Siano P ∈ X e i ∈ Z≥0 . Poniamo
Di (P ) := {D ∈ D : D ≥ iP } .
Banalmente risulta Di (P ) ⊇ Di+1 (P ) e Di (P ) = ∅ se i > d. Inoltre valgono i seguenti risultati di facile dimostrazione.
0
Lemma 6.3.
(1) Di (P ) è una serie lineare con Di := D0 ∩ L(E − iP );
(2) Di (P ) è una sottoserie di D;
(3) dim(Di (P )) ≤ dim(Di+1 (P )) + 1.
Definizione 6.4. Sia P ∈ X . Posto
b(P ) := min {vP (D) : D ∈ D} ,
sia B il divisore
B :=
X
b(P )P .
P ∈X
Ogni punto P ∈ Supp(B) si dice punto fisso di D. Inoltre, se B = 0, D si dice senza punti fissi.
Osserviamo che per definizione di serie lineare, D è senza punti fissi se e solo se per ogni P ∈ X esiste f ∈ D0 \ {0}
tale che vP (E + div(f )) = 0. Nel caso in cui B abbia dei punti fissi, essendo D0 ⊆ L(E − B) consideriamo DB :=
r
{D − B : D ∈ D} ⊆ |E − B|. Chiaramente DB è una serie lineare gd−deg(B)
senza punti fissi.
83
1. SERIE LINEARI
84
Lemma 6.5. Sia D ∼
= P(D0 ) ⊆ |E| una serie lineare con D0 = hf0 , . . . , fr i. Allora E è univocamente determinato da D,
ovvero
vP (E) = b(P ) − min {vP (f0 ), . . . , vP (fr )} .
Dimostrazione. Essendo D0 ⊆ L(E − B), vP (E) − b(P ) + vP (fi ) ≥ 0 per ogni i e per ogni P , da cui si ha vP (E) ≥
b(P ) − min {vP (f0 ), . . . , vP (fr )}. D’altra parte, dato che DB è senza punti fissi, per ogni P esiste (a0 : . . . : ar ) ∈ Pr (K)
P
tale che vP (E − B + div( ai fi )) = 0.
Costruiamo ora un morfismo associato alla serie lineare D.
Per ogni P ∈ X , si ha che D = Db(P ) (P ) ) Db(P )+1 (P ), da cui per il Lemma 6.3 otteniamo dim(Db(P )+1 ) = dim(D) − 1.
Risulta quindi ben definita la mappa
φD : X → D ∗ ∼
= P(D0 )∗ ,
P 7→ Db(P )+1 .
Sia {f0 , . . . , fr } una base su K di D0 , t un parametro locale in P e f ∈ D0 , f 6= 0. Allora vP (tvP (E)−b(P ) f ) ≥ 0, ed inoltre
E + div(f ) ∈ Db(P )+1 ⇔ vP (tvP (E)−b(P ) f ) ≥ 1 ⇔ (tvP (E)−b(P ) f )(P ) = 0.
Essendo f =
P
i
ai fi , con (a0 : . . . : ar ) ∈ Pr (K), abbiamo
)
(
r
X
vP (E)−b(P )
r
∼
ai (t
fi )(P ) = 0 .
Db(P )+1 = (a0 : . . . : ar ) ∈ P (K) :
i=0
Le funzioni razionali f0 , . . . , fr sono quindi le coordinate del morfismo φD . Si può anche osservare che tali coordinate
sono indipendenti dalla scelta di φD o φDB .
A questo punto vediamo invece come a partire da un morfismo è possibile definire in modo naturale una serie lineare
associata ad esso.
Sia φ : X → Pr (K) un morfismo di coordinate omogenee f0 , . . . , fr . Posto, per ogni P ∈ X ,
eP := −min {vP (f0 ), . . . , vP (fr )} ,
X
possiamo affermare che il divisore E =
eP P è ben definito e che fi ∈ L(E), per ogni i = 0, . . . , r. Ora basta
P ∈X
considerare il sottospazio D0 di L(E) generato da f0 , . . . , fr e definire la seguente serie lineare
Df0 ,...,fr := {E + div(f ) : f ∈ D0 \ {0}} ⊆ |E| ,
la quale, per definizione di E, risulta anche senza punti fissi.
Si può anche facilmente osservare che tale serie lineare è indipendente dalla scelta delle coordinate omogenee di φ.
Possiamo dunque enunciare il seguente risultato.
Lemma 6.6. Sia φ = (f0 : . . . : fr ) : X → Pr (K) un morfismo. Allora esiste una serie lineare Dφ ⊆ |E| senza punti fissi
associata ad esso, dove E è tale che vP (E) := −min {vP (f0 ), . . . , vP (fr )}.
Inoltre, se φ è non degenere allora dim(Dφ ) = r.
Vale quindi il seguente risultato.
Proposizione 6.7. Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle serie lineari senza punti fissi di dimensione
r e l’insieme delle classi di equivalenza dei morfismi non degeneri da X in Pr (K).
Dal punto di vista geometrico, se φ = (f0 : . . . : fr ) è un morfismo non degenere su X , dal Lemma 6.6 si ha
(
!
)
r
X
r
Dφ = E + div
ai fi : (a0 : . . . : ar ) ∈ P (K) .
i=0
2. DIVISORI, EQUIVALENZE BIRAZIONALI E IMMERSIONI
Dato che ogni r + 1-upla non nulla (a0 : . . . : ar ) definisce un iperpiano H in Pr (K) di equazione
85
r
X
ai Xi = 0, si definisce
i=0
in modo naturale il seguente divisore associato ad H:
∗
φ (H) = E + div
r
X
!
a i fi
i=0
dimodochè
Dφ = {φ∗ (H) : H iperpiano di Pr (K)} ,
(16)
2. Divisori, equivalenze birazionali e immersioni
In questa sezione determineremo divisori E per i quali il morfismo φ|E| è un’equivalenza birazionale e φ|E| (X ) è una curva
non singolare.
È necessario premettere una ulteriore condizione equivalente di non singolarità per un punto di X , la cui dimostrazione
è omessa.
Proposizione 6.8. Sia P = (P0 , . . . , Pr ) un punto di X ⊆ Pr (K). Allora P è punto singolare di X se e solo se si verifica
una delle seguenti condizioni:
(a) P è centro di almeno due DVR distinti di K(X );
(b) P è centro di un solo DVR O di K(X ), ma per ogni iperpiano a0 X0 + . . . + ar Xr passante per O e per ogni i0
con Pi0 6= 0 si ha
!
r
X
Xi + I(X )
>1
ordO
ai
Xi0 + I(X )
i=0
Esercizio 33. Si dimostri la condizione sufficiente: se vale una condizione fra (a) e (b), allora P è singolare.
Assumiamo che E abbia la seguente proprietà:
(I) E è effettivo, e per ogni P punto di X , dimK L(E − P ) = dimK L(E) − 1.
Lemma 6.9. Se il divisore E soddisfa la proprietà (I), allora |E| è priva di punti fissi.
Dimostrazione. Basta osservare che per ogni P punto fisso di E si avrebbe dimK L(E − P ) = dimK L(E).
Assumiamo ora
(II) per ogni P1 , P2 punti di X , dimK L(E − P1 − P2 ) = dimK L(E) − 2.
Lemma 6.10. Se il divisore E soddisfa le proprietà (I) e (II), allora φ|E| è un’equivalenza birazionale di X in φ|E| (X ).
Dimostrazione. Supponiamo che φ|E| non sia un’equivalenza birazionale. Allora per tutti i punti P di X , tranne
al più un numero finito di eccezioni, esiste un punto Q di P , distinto da P , con φ|E| (P ) = φ|E| (Q). Scegliamo P e
Q in modo tale che non appartengano al supporto di E. Allora per ogni f ∈ L(E) per cui f (P ) = 0 si ha anche
f (Q) = 0, ovvero L(E − P ) = L(E − P − Q). Ma ciò contraddice l’ipotesi, essendo dimK L(E − P ) = dimK L(E) − 1 e
dimK L(E − P ) = dimK L(E) − 2.
Lemma 6.11. Se il divisore E soddisfa le proprietà (I) e (II), allora φ|E| (X ) è una curva non singolare.
Dimostrazione. Sia P un punto singolare di φ|E| (X ). Sia L(E) = h1, f1 , . . . , fr i. Senza restrizione assumiamo che
P sia un punto affine di φ|E| (X ). Allora si presenta almeno una delle seguenti due situazioni:
• Esistono due DVR distinti di K(φ|E| (X )) centrati in P , diciamo O1 e O2 , corrispondenti a due punti P1 e P2 di
X.
3. INVARIANTI HERMITIANI
86
• Esiste un DVR di K(φ|E| (X )) centrato in P , diciamo O1 , corrispondente al punto P1 di X , con ordO1 (a0 +
a1 x̄1 + . . . + ar x̄r ) ≥ 2 per ogni iperpiano a0 X0 + . . . + ar Xr = 0 di Pr (K) passante per P .
Sia f ∈ L(E), f = a0 + a1 f1 + . . . + ar fr . Si noti che f è il pull-back di a0 + a1 x̄1 + . . . + ar x̄r mediante φ|E| . Osserviamo
che ordP1 (f ) > 0 se e solo se ordO1 (a0 + a1 x̄1 + . . . + ar x̄r ) > 0. Pertanto ordP1 (f ) > 0 implica che P appartiene
all’iperpiano a0 X0 + . . . + ar Xr = 0.
Quindi nel primo caso se ordP1 (f ) > 0, allora anche ordO2 (a0 + a1 x̄1 + . . . + ar x̄r ) > 0, e pertanto ordP2 (f ) > 0. In altri
termini, per ogni f ∈ L(E − P1 ) si ha che f si annulla anche in P2 , e quindi L(E − P1 ) = L(E − P1 − P2 )
Nel secondo caso ordP1 (f ) > 0 implica ordP1 (f ) ≥ 2, e quindi L(E − P1 ) = L(E − P1 − P1 ).-
3. Invarianti Hermitiani
Siano X una curva algebrica proiettiva definita su un campo K algebricamente chiuso, D ∼
= P(D0 ) ⊆ |E| una serie lineare
r
gd su X e P un punto della curva.
Definizione 6.12. Un intero j non negativo si dice (D, P )-ordine (o P -invariante Hermitiano), se Dj (P ) ) Dj+1 (P ).
Dal Lemma 6.3 deduciamo la seguente catena di inclusioni
∅ = Dd+1 (P ) ⊆ Dd (P ) ⊆ . . . ⊆ D0 (P ) = D.
(17)
Inoltre essendo dim(D) = r e dim(Dj (P )) ≤ dim(Dj+1 (P )) + 1, in (17) ci sono r + 1 inclusioni propositionrie e quindi
per ogni punto P della curva esistono r + 1 (D, P )-ordini detti
j0D (P ) < j1D (P ) < . . . < jrD (P ).
Per semplificare la notazione d’ora in poi sottointenderemo la dipendenza dalla serie lineare fissata.
Diamo ora una caratterizzazione più pratica degli invarianti Hermitiani. Sia ji un (D, P )-ordine. Allora per definizione
esiste un divisore D ∈ Dji (P )\Dji+1 (P ), ovvero esiste f ∈ D0 , tale che vP (E)+vP (f ) ≥ ji e vP (E)+vP (f ) < ji+1 . Allora
0
necessariamente vP (E) + vP (f ) = ji . Ora, dato che per ogni h ∈ Dji (P ) = D0 ∩ L(E − ji (P )), si ha vP (E) + vP (h) ≥ ji ,
risulta
n
o
0
ji = min vP (E) + vP (f ) : f ∈ Dji (P ) .
Dalla (17) notiamo che j0 (P ) coincide con b(P ), quindi D è senza punti fissi se e solo se j0 (P ) = 0 per ogni P ∈ X .
Inoltre essendo Di (P ) = ∅ per ogni i > d, si ha jr (P ) ≤ d.
Dalle considerazioni fatte è facile verificare le seguenti equivalenze.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
j è un invariante Hermitiano;
∃D ∈ D tale che vP (D) = j;
∃f ∈ D0 tale che vP (E) + vP (f ) = j;
∃f ∈ D0 tale che f ∈ L(E − jP ) \ L(E − (j + 1)P );
0
0
dimK (Dj (P )) = dimK (Dj+1 (P )) + 1;
dim(Dj (P )) = dim(Dj+1 (P )) + 1.
Sia φ = (f0 : . . . : fr ) un morfismo su X . Consideriamo la serie lineare associata Dφ . Allora j è un (Dφ , P )-ordine se e solo
P
P
se esiste (a0 : . . . : ar ) ∈ Pr (K) tale che vP (E) + vP ( i ai fi ) = j, ovvero se e solo se esiste un iperpiano H : i ai Xi = 0
tale che vP (φ∗ (H)) = j. In altri termini, j è un (Dφ , P )-ordine se e solo se esiste un iperpiano in Pr (K) tale che la sua
molteplicità di intersezione con φ(X ) in φ(P ) è j.
4. SEQUENZA DEGLI ORDINI
87
4. Sequenza degli ordini
Iniziamo questa sezione introducendo brevemente il concetto di derivata alla Hasse, rimandando per i particolari a [?,
Chapter 2, Section 1]. Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica p ≥ 0.
Definizione 6.13. Sia x un elemento trascendente sul campo K. Per i, j ∈ N0 si definisce l’i-esima derivata alla Hasse
su K [x] l’applicazione K-lineare Dxi , definita
j j−i
i j
Dx x :=
x .
i
Osserviamo che i! · Dxi xj coincide con la usuale derivazione i-esima. La scelta di lavorare con la derivata alla Hasse
piuttosto che con la derivata usuale dipende dal fatto che, se la caratteristica del campo è p > 0 e i ≥ p, allora la derivata
i-esima usuale di xi è nulla (mentre Dxi xi = 1).
Le propositionrietà fondamentali che questa applicazione soddisfa sono:
(H1) Dx0 = id;
i
(H2) Dx|K
= 0 per i ≥ 1;
i
X
(H3) Dxi (f g) =
Dxj f Dxi−j g , per f, g ∈ K [x];
j=0
(H4)
Dxi
◦
Dxj
=
i+j
Dxi+j .
i
Omettiamo la dimostrazione del fatto che la derivata alla Hasse si estende in modo naturale a K(x) e ad ogni estensione
finita e separabile di K(x). Ricordiamo inoltre che un elemento t di un campo di funzioni razionali K(X ) di una curva X
si dice variabile separante o elemento separante se l’estensione K(X ) : K(t) è separabile. È facile vedere che un qualunque
parametro locale in un un punto non singolare di X è sempre un elemento separante.
Sia X una curva proiettiva definita su un campo algebricamente chiuso K di caratteristica p ≥ 0.
Definizione 6.14. Si dice wronskiano su X una funzione razionale di tipo
,...,`r
Wf`00,...,f
:= det Dx`i fj ,
r ;x
dove `0 < . . . < `r è una sequenza di interi non negativi, x è un elemento separante di K(X )|K e f0 , . . . , fr ∈ K(X ).
Inoltre poniamo
n
o
0 ,...,mr
A(f0 , . . . , fr ; x) := (m0 , . . . , mr ) ∈ Nr+1
: m0 < . . . < mr ; Wfm0 ,...,f
6= 0 .
0
r ;x
Sia D ∼
= P(D0 ) ⊆ |E| una serie lineare gdr su X . Sia P ∈ X , t un parametro locale in P , e
(18)
j0 = j0 (P ) < . . . < jr = jr (P )
i (D, P )-ordini. Allora per le osservazioni fatte nella sezione precedente possiamo affermare che per ogni ` = 0, . . . , r esiste
f` ∈ K(X ) tale che
(19)
vP (tvP (E) f` ) = j` .
Tali funzioni razionali giocano un ruolo molto importante poiché in realtà, esse costituiscono una K-base per D0 . Per
provarlo essendo dim(D0 ) = r + 1 è sufficiente dimostrare che sono linearmente indipendenti su K; ma se per assurdo
P
P
esistessero a0 , . . . , ar ∈ K non tutti nulli tali che i ai fi = 0, avremmo vP ( i ai fi ) = ∞, e quindi necessariamente
esisterebbero due indici i 6= j tali che vP (fi ) = vP (fj ), contro (18) e (19).
Definizione 6.15. La K-base di D0 descritta sopra è detta (D, P )-base (o (D, P )-base Hermitiana).
0
Sia allora {f0 , . . . , fr } una (D, P )-base. Essendo Dji (P ) = D0 ∩ L(E − ji P ) per ogni i = 0, . . . , r, si ha
0
Dji (P ) = hfi , . . . , fr i ,
4. SEQUENZA DEGLI ORDINI
88
ovvero
(
Dji (P ) =
r
X
E + div
)
!
a` f`
: (ai : . . . : ar ) ∈ P
r−i
: (ai : . . . : ar ) ∈ P
r−i
(K) ,
`=i
da cui
(
ji = min vP
r
X
)
!
vP (E)
a` f` t
(K) .
`=i
Poniamo g` = tvP (E) f` per ogni ` = 0, . . . , r.
j`
Lemma 6.16. Se m0 < . . . < mr è una sequenza di interi non negativi tali che det(
) 6= 0 (mod p), allora
mi
(m0 , . . . , mr ) ∈ A(g0 , . . . , gr ; t). In particolare, (j0 , . . . , jr ) ∈ A(g0 , . . . , gr ; t).
Dimostrazione. Essendo vP (g` ) = j` scriviamo la sua espansione lineare in P : g` =
∞
X
c`s ts , con c`j` 6= 0. Posto
s=j`
allora C =
r
Y
c`j` 6= 0 si ha
`=0

0 ,...,mr
Wgm0 ,...,g
r ;t

∞ X
s
= det 
c`s ts−mi 
m
i
s=j`


`
∞ X
P
s
c
s s
t
= Ct− i mi det 
`
m
c
i
j
`
s=j`
P
j`
= Cdet(
)t i (ji −mi ) + . . . 6= 0,
mi
da cui segue la tesi.
Fissato ` ∈ N0 consideriamo il vettore Dt` φ := (Dt` g0 , . . . , Dt` gr ); dato che ogni sua componente è definita in P possiamo
anche porre Dt` φ(P ) := (Dt` g0 (P ), . . . , Dt` gr (P )). Allora dal Lemma 6.16 e dalla Definizione 6.14 otteniamo che
(m0 , . . . , mr ) ∈ A(g0 , . . . , gr ; t) ⇔ Dtm0 φ, . . . , Dtmr φ sono K(X )-l.i..
(20)
Inoltre dalla dimostrazione del Lemma 6.16 deduciamo il seguente risultato.
Lemma 6.17.
(1) Posto j−1 := 0, per i = 0, . . . , r
n
o
j
ji = min s > ji−1 : Dtj0 φ (P ), . . . , Dt i−1 φ (P ), (Dts φ) (P ) sono l.i. ;
mr 0
(2) Siano m0 < . . . < mr0 interi non negativi con r0 ≤ r, tali che i vettori (Dtm0 φ) (P ), . . . , Dt
K-linearmente indipendenti. Allora ji ≤ mi per i = 0, . . . , r0 .
φ (P ) sono
Per la dimostrazione si rimanda a [?, Scholium 2.8].
Sapendo che A(g0 , . . . , gr ; t) è non vuoto definiamo E = (0 , . . . , r ) come il minimo di questo insieme secondo l’ordine
lessicografico, e osserviamo che gli i soddisfano le seguenti propositionrietà:
Lemma 6.18.
(1) 0 = 0;
(2) 1 = 1 se p non divide deg(D) − deg(B);
(3) Per i = 0, . . . , r,
i = min s > i−1 : Dt0 φ, . . . , Dt i−1 φ, Dts φ sono K(X )-l.i. .
4. SEQUENZA DEGLI ORDINI
89
Dimostrazione. Proviamo solo (1) dato che (2) e (3) si dimostrano in modo analogo. Supponiamo per assurdo
0 6= 0, allora (0, 1 , . . . , r ) < E e quindi per la sua minimalità, (0, 1 , . . . , r ) ∈
/ A(g0 , . . . , gr ; t), da cui per la (20) si ha la
1
r
0
lineare dipendenza di Dt φ, Dt φ, . . . , Dt φ. Esistono allora h1 , . . . , hr ∈ K(X ) non tutti nulli, tali che
Dt0 φ =
r
X
hj Dt j φ.
j=1
Sia ora k0 ∈ {1, . . . , r} tale che hk0 6= 0,
Dt k0


X
1  0
j 
hj Dt φ .
Dt φ −
=
hk0
j6=k0
Allora,
Dt0 φ, . . . , Dt k0 φ, . . . , Dtr φ
= Dt0 φ, Dt0 φ, . . . , Dt k0 −1 φ, Dt k0 +1 φ, . . . , Dtr φ ,
ed essendo Dt0 φ, . . . , Dt k0 φ, . . . , Dtr φ linearmente indipendenti, anche Dt0 φ , Dt0 φ , . . . , Dt k0 −1 φ , Dt k0 +1 φ, . . . , Dtr φ lo
sono; quindi per (20) si ha
(0, 0 , . . . , k0 −1 , k0 +1 , . . . , r ) ∈ A(g0 , . . . , gr ; t),
contro la minimalità di E.
Corollario 6.19.
i ≤ j i .
1. Sia (m0 , . . . , mr ) ∈ A(g0 , . . . , gr ; t). Allora per ogni i = 0, . . . , r, i ≤ mi . In particolare,
ji
2. Se 0 ≤ m0 < . . . < mr sono interi tali che det(
) 6= 0 (mod p), allora i ≤ mi per ogni i = 0, . . . , r.
m`
La propositionosizione che segue è di fondamentale importanza per definire la cosiddetta sequenza degli ordini. Infatti
permette di affermare che E dipende solo dalla serie lineare fissata.
P
Proposizione 6.20.
(1) Se hi = j aij gj , con (aij ) ∈ Mr+1 (K), allora
,...,r
,...,r
Wh00 ,...,h
= det((aij ))Wg00,...,g
;
r ;t
r ;t
(2) Se f ∈ K(X ), allora
,...,r
r+1
r
Wfg0 0,...,
Wg00,...,g
;
,...,f gr ;t = f
r ;t
(3) Sia x un elemento separante di K(X )|K. Allora
,...,r
Wg00,...,g
= Dx1 t
r ;x
Dimostrazione.
Pi i
,...,r
Wg00,...,g
.
r ;t
(1) La prima parte segue banalmente dal fatto che
X
Dt` hi =
aij Dt` gj .
j
Osserviamo inoltre che questo risultato non dipende dalla
(2) Consideriamo
 0
Dt (f g0 )
 Dt1 (f g0 )

r
Wfg0 0,...,
..
,...,f gr ;t = det 

.
Dtr (f g0 )
Essendo 0 = 0, la prima riga della matrice diventa
minimalità di E.
...
...
...
...
Dt0 (f gr )
Dt1 (f gr )
..
.
Dtr (f gr )
(f g0 , . . . , f gr ),
dalla quale è dunque possibile portare fuori f .
Inoltre per le regole di derivazione alla Hasse
1
X
Dt1 (f gj ) =
Dts f Dt1 −s gj = f Dt1 gj + . . . ,
s=0





5. DIVISORE DI RAMIFICAZIONE
90
dove la parte mancante è costituita da termini contenenti Dtk gj , con 0 ≤ k = 1 −s < 1 , quindi per la minimalità
di 1 , quei termini sono multipli delle componenti del vettore
(Dt0 g0 , . . . , Dt0 gr ).
Pertanto sostituendo alla seconda riga della matrice, la seconda meno un opportuno multiplo della prima,
otteniamo
(f Dt1 g0 , . . . , f Dt1 gr ),
da cui possiamo portare fuori un altro f . Ragionando in questo modo per ogni riga della matrice otteniamo
l’asserto.
(3) Omettiamo questa dimostrazione dato che è del tutto analoga alla precedente.
Corollario 6.21. E = (0 , . . . , r ) dipende solo dalla serie lineare D, ovvero è indipendente dalla scelta della base di D0
e dal punto P .
Dimostrazione. Siano P, Q ∈ X e t, s parametri locali in P e Q rispettivamente. Siano inoltre {f0 , . . . , fr } e
P
{h0 , . . . , hr } due basi di D0 , allora esiste A = (aij ) ∈ Mr+1 (K), invertibile tale che f` = j a`j hj , per ogni ` = 0, . . . , r.
Poniamo g` := tvP (E) f` , q` = svQ (E)h` . Sia µ = (µ0 , . . . , µr ) = minA(q0 , . . . , qr ; s). Allora per i primi due punti della
propositionosizione 6.20,
,...,µr
,...,µr
,...,µr
Wqµ00,...,q
= (svQ (E) )r+1 Whµ00,...,h
= (svQ (E) )r+1 det(A)Wfµ00,...,f
;
r ;s
r ;s
r ;s
A questo punto possiamo applicare anche il punto (3) della propositionosizione 6.20, perché, se per assurdo (µ0 , . . . , µr )
non fosse il minimo di A(f0 , . . . , fr ; s), esisterebbe (η0 , . . . , ηr ) ∈ A(f0 , . . . , fr ; s) e (η0 , . . . , ηr ) < (µ0 , . . . , µr ), tale che,
per quanto detto sopra, procedendo a ritroso, (µ0 , . . . , µr ) ∈ A(q0 , . . . , qr ; s) contro la minimalità di (µ0 , . . . , µr ) per
A(q0 , . . . , qr ; s). Allora, riprendendo la catena di uguaglianze, si ha
=
=
P
(svQ (E) )r+1 det(A)(Ds1 t)
P
(svQ (E) )r+1 det(A)(Ds1 t)
i
µi
,...,µr
Wfµ00,...,f
r ;t
i
µi
,...,µr
,
(t−vP (E) )r+1 Wgµ00,...,g
r ;t
dove si ragiona in maniera analoga nell’ultima uguaglianza.
In conclusione quindi, risulta (µ0 , . . . , µr ) =
minA(g0 , . . . , gr ; t), perché se fosse per assurdo (µ0 , . . . , µr ) > (0 , . . . , r ) ∈ A(g0 , . . . , gr ; t), dalle uguaglianze ottenute avremmo (0 , . . . , r ) ∈ A(q0 , . . . , qr ; s), contro l’ipotesi. Abbiamo cosı̀ dimostrato l’indipendenza del minimo
di A(g0 , . . . , gr ; t) dalla base di D0 e dal punto P .
Definizione 6.22. E si chiama la sequenza degli ordini di D. Inoltre si dice sequenza degli ordini di un morfismo φ,
quella associata alla serie Dφ .
5. Divisore di ramificazione
Un’importante applicazione della propositionosizione 6.20 e del Corollario 6.21 è la seguente definizione.
Definizione 6.23. Si chiama divisore di ramificazione di D,
,...,r
R = RD := div(Wh00 ,...,h
)+(
r ;x
r
X
i )div(dx) + (r + 1)E,
i=0
ove {h0 , . . . , hr } è una qualunque base di D0 , x una variabile separante di K(X )|K.
Inoltre il divisore di ramificazione di un morfismo φ è quello di Dφ .
Osserviamo che R dipende quindi solo da D.
Per capire come questo divisore si comporta localmente, basta applicare i risultati sopra citati: sia P ∈ X , t un parametro
locale in P , {f0 , . . . , fr } una (D, P )-base, g` = tvP (E) f` . Consideriamo la matrice del cambiamento di base (aij ) ∈
P
Mr+1 (K), tale che hi = j aij fj . Allora
,...,r
,...,r
,...,r
Wh00 ,...,h
= det(aij )Wf00,...,f
= det(aij )t−(r+1)vP (E) Wg00,...,g
r ;x
r ;x
r ;x
5. DIVISORE DI RAMIFICAZIONE
= det(aij )t−(r+1)vP (E) (Dx1 t)
P
i
i
91
,...,r
Wg00,...,g
,
r ;t
ovvero,
,...,r
Wh00 ,...,h
(Dt1 x)
r ;x
(21)
P
i
i (r+1)vP (E)
t
,...,r
= det(aij )Wg00,...,g
.
r ;t
Quindi per la (21),
,...,r
vP (R) = vP (Wg00,...,g
).
r ;t
Inoltre essendo g` regolare in P per ogni ` = 0, . . . , r, si ha che R è un divisore effettivo.
Teorema 6.24. In questo contesto,
vP (R) ≥
r
X
(ji (P ) − i ).
i=0
j` (P )
Inoltre vale l’uguaglianza se e solo se det(
) 6= 0 (mod p).
i
Dimostrazione. Dalla dimostrazione del Lemma 6.16, possiamo scrivere l’espansione lineare in P :
j` (P ) Pi (ji −i )
,...,r
Wg00,...,g
+ . . .,
=
Cdet(
)t
r ;t
i
con C ∈ K∗ , e quindi otteniamo la tesi.
Corollario 6.25. vP (R) = 0 se e solo se ji (P ) = i per ogni i = 0, . . . , r. In particolare, per tutti, tranne un numero
finito di punti P di X , gli (D, P )-ordini sono 0 , . . . , r .
Definizione 6.26. P ∈ X si dice D-punto di Weierstrass se P ∈ Supp(R), ovvero se ji (P ) 6= i per qualche i.
È dunque facile conoscere il numero dei D-punti di Weierstrass, che, contati con opportuna molteplicità, sono infatti pari
al grado di R:
r
X
i )(2g − 2) + (r + 1)d.
deg(R) = (
i=0
Definizione 6.27. La curva X si dice classica rispetto a D se gli D-ordini sono 0, 1, . . . , r. Inoltre, un morfismo φ è detto
classico se Dφ è classica.
Q
` (P )
Lemma 6.28. Se i>` ji (P )−j
6= 0 (mod p), allora
i−`
(1) D è classica;
r
X
(2) vP (R) =
(ji (P ) − i).
i=0
Dimostrazione. La dimostrazione, una volta osservato che
Y ji (P ) − j` (P )
ji (P )
det(
)=
,
`
i−`
i>`
è immediata conseguenza del Corollario 6.19 (2).
Corollario 6.29. Se p = 0 oppure p > d = deg(D), allora
(1) D è classica;
P
(2) per ogni P ∈ X , vP (R) = i (ji (P ) − i).
Corollario 6.30. Sia un D-ordine e sia µ un intero tale che
6= 0 (mod p).
µ
Allora anche µ è un D-ordine.
In particolare se è un D-ordine minore di p allora anche gli interi 0, 1, . . . , − 1 lo sono.
6. L’IPERPIANO OSCULAETORE
92
Interpretiamo il Corollario 6.25 partendo da una serie lineare associata ad un morfismo φ. Come abbiamo già osservato,
gli invarianti Hermitiani rappresentano la generica molteplicità di intersezione degli iperpiani con la curva immagine.
Quindi, questo risultato ci assicura che, fatta eccezione per un numero finito di punti, le molteplicità di intersezione con
φ(X ) al variare degli iperpiani sono costanti. In particolare, se X è classica, fissato un arbitrario punto P che non sia un
punto di Weierstrass, possiamo affermare che esiste un iperpiano che non incontra φ(X ) in φ(P ), ne esiste un altro che
incontra φ(X ) in quel punto con molteplicità 1, e cosı̀ via.
6. L’iperpiano osculatore
Sia D ∼
= P(D0 ) ⊆ |E| una serie lineare gdr senza punti fissi. Allora, se {f0 , . . . , fr } è una base di D0 ,
D = {φ∗ (H) : H iperpiano di Pr (K)} ,
dove φ = (f0 , . . . , fr ), e dal Lemma 6.5,
vP (E) = −min {vP (f0 ), . . . , vP (fr )} .
Sia P ∈ X con (D, P )-ordini j0 < . . . < jr .
Definizione 6.31. Per i = 0, . . . , r, definiamo Li (P ) := Lfi 0 ,...,fr (P ) come l’intersezione di tutti gli iperpiani H in Pr (K)
tali che vP (φ∗ (H)) ≥ ji+1 . Li (P ) è detto l’i-esimo spazio osculatore in P, rispetto alla base f0 , . . . , fr .
In particolare, L1 (P ) è detto retta tangente in P, e Lr−1 (P ) è detto iperpiano osculatore in P.
Banalmente risulta
L0 (P ) ⊆ L1 (P ) ⊆ . . . ⊆ Lr−1 (P ).
0
0
Lemma 6.32. Lfi 0 ,...,fr (P ) è uno spazio i-dimensionale generato dai vettori (Dtj0 φ )(P ), . . . (Dtji φ )(P ), dove t è un
0
parametro locale in P e φ = (tvP (E) f0 : . . . : tvP (E) fr ).
Rimandiamo per la dimostrazione di questo Lemma a [?, Theorem 1.1] e [?, Lemma 2.24].
Corollario 6.33. L’iperpiano osculatore in P ha equazione

X0
...
 (Dj0 g )(P ) . . .

t 0
det 
..

.
...

j
(Dt r−1 g0 )(P ) . . .
dove g` := tvP (E) f` per ogni ` = 0, . . . , r.
Xr
(Dtj0 gr )(P )
..
.
j
(Dt r−1 gr )(P )



 = 0,


Bibliografia
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[9] H. Stichtenoth, Algebraic Function Fields and Codes, Graduate Texts in Mathematics 254, Second Edition, Springer, Berlin-Heidelberg,
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93
Scarica
Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

Curva di apprendimento nucleare

Dispense - Dipartimento di Matematica e Informatica

Curva di apprendimento nucleare

curve circolari monometriche

DVR_OPN_09_04_2014

I diversi tipi di proposizione coordinata

ing. edmondo bianconi

L`offerta
