CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
Definizione e proprietà
Rappresentazioni e parametri della funzione di
trasferimento
Risposta allo scalino
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
1
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DEFINIZIONE E PROPRIETÀ
Definizione e interpretazioni
Sistema lineare e stazionario (u 2 R m , x 2 Rn , y
2 Rp )
x_ (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Trasformazione di Laplace
sX (s) ; x(0) = AX (s) + BU (s)
Y (s) = CX (s) + DU (s)
+
X (s) = (sI ; A);1BU (s) + (sI ; A);1x(0)
;
Y (s) = C (sI ; A);1 B + D U (s) + C (sI ; A);1x(0)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
2
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Funzione di trasferimento
G(s) = C (sI ; A);1 B + D
?
rappresentazione ingresso–uscita (esterna)
Y (s) = G(s)U (s)
antitrasformata ) movimento forzato y f
Funzione di trasferimento e risposta all’impulso
? u(t) = imp(t) ) U (s) = 1
Z
t
y(t) = gy (t ; )u( )d
0
L[y(t)] = Y (s) = G(s)
funzione di trasferimento = trasformata di Laplace della
risposta all’impulso
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
3
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Struttura della funzione di trasferimento
Elementi di (sI ; A);1 : funzioni razionali in s
?
?
?
?
denominatore di grado n di '(s)
numeratore dell’elemento (j; i): polinomio di grado al pi ù
n;1
combinazione lineare attraverso
numeratore di grado n
C e B ; if D 6= 0 then
eventuali cancellazioni ) funzione razionale con denominatore di grado < n
Sistemi SISO (
= 1)
+ ;1 s ;1 + : : : + 1 s + 0
N
(
s
)
s
G
G(s) = D (s) = s + s ;1 + : : : + s + G
;1
1
0
?
?
grado relativo = grado(den) ; grado(num)
iff grado(num) > grado(den) then sistema improprio
Poli e zeri (reali o complessi coniugati a coppie)
? s^ zero: NG (^s) = 0
? s^ polo: DG (^s) = 0 () autovalore di A)
? sistemi MIMO: s^ polo se annulla il denominatore di almeno
una delle funzioni razionali
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
4
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Invarianza della funzione di trasferimento
Trasformazione di stato
^ (t)
x^_ (t) = A^x^(t) + Bu
^ (t)
y(t) = C^ x^(t) + Du
A^ = TAT ;1 B^ = TB C^ = CT ;1 D^ = D
+
;
;1
;
1
;
1
;
1
^
^
^
^
^
G(s) = C (sI ; A) B + D = CT sI ; TAT
TB + D
; ;1
;1
;
1
;
1
= C sT IT ; T TAT T B + D = C (sI ; A);1B
= G(s)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
5
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RAPPRESENTAZIONI E PARAMETRI DELLA
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
Forme fattorizzate
Q
Q
2 + 2i ni s + 2 )
(
s
+
z
)
(
s
i
i
i
G(s) = sg Q (s + p ) Q (s2 + 2 ! s + !ni2 )
i i
i ni
ni
i
Q
Q
2)
Qi (1 + is) Qi (1 + 2is=ni + s2 =ni
g
2
G(s) = s
?
?
?
?
?
i (1 + Ti s) i (1 + 2i s=!ni + s
=!ni )
: costante di trasferimento
g: tipo
;zi 6= 0: zeri reali
;pi 6= 0: poli reali
ni > 0: pulsazioni naturali delle coppie di zeri complessi
coniugati
? !ni > 0: pulsazioni naturali delle coppie di poli complessi
coniugati
? i (jij < 1) smorzamenti delle coppie di zeri complessi
coniugati
? i (jij < 1) smorzamenti delle coppie di poli complessi
coniugati
?
?
?
: guadagno
i 6= 0: costanti di tempo degli zeri reali
Ti 6= 0: costanti di tempo dei poli reali
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
6
CONTROLLI AUTOMATICI
Q
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Q
2
z
i
ni
i
i
= Q p Q !2
i i i ni
i = z1
i
Q
Q
2
!
i
ni
i
i
= Q T Q 2
i i i ni
Ti = p1
i
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
7
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Guadagno
Sistema asintoticamente stabile: G(s) (g
?
ingresso costante u
) U (s) = u=s
= 0, T i > 0, i > 0)
u
y = tlim
y
(
t
)
=
lim
sG
(
s
)
!1
s!0
s
u
;
1
= slim
s
C
(
sI
;
A
)
B
+
D
!0
s
= G(0)u = (;CA;1B + D)u
;
? = G(0) = y=u (guadagno statico)
Guadagno generalizzato
g G(s)
= slim
s
!0
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
8
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Derivatore ideale
g < 0 (asintotica stabilità) ) y = 0
? G(s) = s: derivatore ideale
Integratore
G(s) = 1s ) A = 0, CB = 1
x_ (t) = u(t)
y(t) = x(t)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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Costanti di tempo
Poli reali ;pi = ;1=Ti , ingresso impulsivo ) uscita = combinazione lineare dei modi t j e;t=Ti , j = 0; 1; : : : ; i ; 1 (i :
molteplicità)
?
i modi si estinguono tanto pi ù velocemente quanto pi ù i poli
sono lontani dall’origine del piano complesso (costanti di
tempo piccole)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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Pulsazione naturale e smorzamento
Coppia di poli complessi coniugati
p
a = ;!n
b = !n 1 ; 2
×
Im
wn
jwn÷1 – x
2
q
0
Re
×
-xwn
? !n : modulo dei poli
8
=1
>
>
>
<0 < < 1
? = cos (): > = 0
>
>
: ;1 < < 0
= ;1
reali e coincidenti nel punto ;! n
a parte reale negativa
a parte reale nulla
a parte reale positiva
reali e coincidenti nel punto ! n
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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?
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sistema con solo una coppia di poli complessi coniugati
( = 1): risposta all’impulso
p
!
n
;
!
t
y(t) = p
e
sin !n t 1 ; 2
2
1;
n
modo si estingue tanto pi ù velocemente quanto pi ù è elevato
il valore di !n > 0
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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RISPOSTA ALLO SCALINO
Sistemi dinamici sollecitati con segnali costanti per lunghi periodi di tempo
?
scalino unitario (attenzione linearizzazione)
Sistemi del primo e del secondo ordine
?
?
funzione di trasferimento di un sistema di ordine qualunque
= somma di funzioni di trasferimento di sistemi del primo
o del secondo ordine
risposta = buona approssimazione di quella di sistemi di
ordine più elevato
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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Valore iniziale e finale
Sistema asintoticamente stabile (m n)
m + m;1 sm;1 + : : : + 0
s
m
G(s) = sn + sn;1 + : : : + n
n;1
0
?
valore iniziale della risposta allo scalino
m + m;1 sm;1 + : : : + 0 1
s
m
y(0) = slim
!1 s n sn + n;1 sn;1 + : : : + 0 s
8
m<n
<0
= : m
m=n
n
? m < n, y(0) = 0
y_ (0) = slim
!1 s (sY (s) ; y(0))
m + m;1 sm;1 + : : : + 0 1
s
m
2
= slim
!1 s n sn + n;1 sn;1 + : : : + 0 s
8
m<n;1
<0
= : m
m=n;1
n
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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Risposta ad altri segnali canonici
Ingresso u(t): segnale canonico
L[y(t)] = Y (s) = G(s)U (s) = G(s)L[u(t)]
Trasformata di Laplace dell’integrale
G(s)L
?
?
Z
0
t
u( )d = G(s) U s(s) = L[ys(t)] = L
Z
0
t
y( )d
risposta alla rampa = integrazione della risposta allo scalino
risposta alla parabola = doppia integrazione della risposta
allo scalino
Trasformata di Laplace della derivata (u(0 ; ) = 0, y (0; ) = 0)
;
du
(
t
)
G(s)L dt = G(s) sU (s) ; u(0;)
dy
(
t
)
dy
(
t
)
= sL[y(t)] = L dt + y(0; ) = L dt
?
risposta all’impulso = derivazione della risposta allo scalino
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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Caratteristiche della risposta allo scalino
Parametri di sistema asintoticamente stabile ( > 0)
?
valore di regime y1 : valore dell’uscita a transitorio esaurito
n
y1 = 0
?
g<0
valore massimo ymax : massimo valore assunto dall’uscita
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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CONTROLLI AUTOMATICI
?
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sovraelongazione massima percentuale S %: ampiezza, in
percentuale, della sovraelongazione massima rispetto al valore di regime
S % = 100 ymaxy ; y1
1
?
?
?
?
tempo di massima sovraelongazione T M : primo istante in
cui y = ymax
tempo di salita Ts : tempo richiesto perché l’uscita passi per
la prima volta dal 10% al 90% del suo valore di regime
tempo di ritardo Tr : tempo necessario perché l’uscita raggiunga la prima volta il valore 0:5y 1
tempo di assestamento T a : tempo necessario perché la differenza tra l’uscita e il valore di regime y 1 rimanga definitivamente al di sotto di %, cioè l’uscita sia nell’intervallo
[(1 ; 0:01)y1 ; (1 + 0:01)y1 ]
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CONTROLLI AUTOMATICI
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Sistemi del primo ordine
Sistema strettamente proprio (T
> 0)
G(s) = 1 +Ts
?
uscita
?
parametri caratteristici
y1
y(t) = 1 ; e;t=T
Ts
' 2:2T
Tr
' 0:7T
Ta5
' 3T
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
t0
Ta1
' 4:6T
18
CONTROLLI AUTOMATICI
Sistema proprio (T
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> 0)
s)
G(s) = 1(1++Ts
?
uscita
y(t) = 1 + ( ; 1)e;t=T
?
t0
tempo di assestamento
Ta = T ln j10:;01 j
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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CONTROLLI AUTOMATICI
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Sistemi del secondo ordine
Sistema con solo poli reali (poli distinti)
G(s) = (1 + T s)(1
+ T2 s)
1
?
T1 > T2 > 0
risposta
y(t) = 1 ; T T;1 T e;t=T1 + T T;2 T e;t=T2
1
2
1
2
?
risposta per T1
t0
= 2, T2 = 1
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
20
CONTROLLI AUTOMATICI
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? parametri caratteristici
y1
Ts
Tr
' 3:36T ' 1:68T
Ta5
' 4:74T
Ta1
' 6:64T
? T1 T2 (t ' 4 5T2 )
y(t) ' (1 ; e;t=T1 )
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
21
CONTROLLI AUTOMATICI
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Sistema con solo poli reali (poli coincidenti)
G(s) = (1 +Ts)2
?
T >0
risposta
y(t) = 1 ; e;t=T ; Tt e;t=T
t0
qualitativamente non diverso dal precedente (valori espliciti
dei parametri)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
22
CONTROLLI AUTOMATICI
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Sistema con poli reali e uno zero
+ s)
G(s) = (1 + T(1s)(1
+ T2 s)
1
?
T1 6= ; T2 6= risposta
y(t) = 1 ; TT1;;T e;t=T1 + TT2;;T e;t=T2
1
2
1
2
t0
? < 0 (sottoelongazione o risposta inversa)
? risposta per T1 = 2, T2 = 1
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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CONTROLLI AUTOMATICI
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? T1 > T2
? risposta per T1 = 2, T2 = 1
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
24
CONTROLLI AUTOMATICI
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? ' T1 T2
y(t) ' 1 ; e;t=T2
?
t0
risposte per T1 = 1, T2 = 0:05, = 0:92 (linea continua:
sistema esatto; linea tratteggiata: sistema approssimato)
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
25
CONTROLLI AUTOMATICI
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? T1 > > T2
? risposta per T1 = 2, T2 = 1
? ' T2
y(t) ' 1 ; e;t=T1
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
t0
26
CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Bruno SICILIANO
? T1 > T2 > > 0
? risposta per T1 = 2, T2 = 1
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
27
CONTROLLI AUTOMATICI
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Sistema con solo poli complessi coniugati
2
!
n
G(s) = s2 + 2! s + !2
n
n
?
!n > 0; j j < 1
risposta
1
y(t) = 1 ; p
1;
!
p
;
!
nt
2 + arccos( )
1
;
!
t
e
sin
n
2
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
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CONTROLLI AUTOMATICI
?
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istanti di stazionarietà (0 < tk =
< 1)
k
!n 1 ; 2
y(tk ) = k 2 N+
p
p
1 ; (;1)k e;k= 1;2
+
p
ymax = 1 + e;= 1;2
!n 1 ; 2
p1;2
;
=
S % = 100e
TM =
p
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
29
CONTROLLI AUTOMATICI
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?
risposta
?
parametri caratteristici
y1
S%
p
100e;= 1;2
TM
p
!n 1 ; 2
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
stima di Ta
; !1 ln0:01
n
30
CONTROLLI AUTOMATICI
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Sistema con poli complessi coniugati e uno zero
2 (1 + s)
!
n
G(s) = s2 + 2! s + !2
n
n
= G~ (s) + sG~ (s)
+
"
#
"
#
~ (s)
~ (s)
G
dy~(t)
G
;
1
;
1
+
L
s
=
y
~
(
t
)
+
y(t) = L
s
s
dt
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori
31