Lo spazio matematico dell’arte
Servizi Educativi del Museo e del Territorio della Soprintendenza
Beni Architettonici Paesaggio Patrimonio Storico Artistico Etnoantropologico di CA e OR
Classe 3^ E scuola secondaria primo grado “Porcu+Satta” Quartu S’Elena
anno scolastico 2005/2006
Motivazioni
Il progetto didattico LO SPAZIO MATEMATICO DELL’ARTE nasce
dall’esigenza di individuare il rapporto tra la rappresentazione dello spazio
calcolato matematicamente e la cultura del periodo storico in cui opera l’artista
e dall’esigenza di capire l’armonia nell’arte, sia essa un dipinto, un
monumento, la pianta di una città.
Numero Aureo e Sezione Aurea, Rettangolo aureo, Prospettiva sono gli elementi
sui quali ci siamo soffermati dando una risposta alle nostre esigenze.
Per comunicare le conoscenze acquisite e le esperienze effettuate abbiamo
progettato e realizzato dei pannelli con disegni, immagini e testi.
L’attività è stata presentata in occasione della manifestazione “Quartu
Monumenti Aperti” il 13 e 14 maggio 2006 nella chiesa di San Benedetto in Via
Marconi.
l power point che vediamo è scaturito dalle nostre relazioni, i nostri disegni, le
nostre considerazioni e approfondimenti.
Numero aureo e Sezione aurea
Disegno di Leonardo da
Vinci che illustra le
regole di Vitruvio della
sezione aurea: il
rapporto tra l’altezza
dell’uomo e la distanza
del suo ombelico da
terra risulta uguale a
1,618
L’aggettivo “aureo” fu
attribuito dai matematici
pitagorici al numero 1,618,
numero magico che indica il
rapporto tra due parti dove la
maggiore, chiamata parte
aurea o sezione aurea, è
media proporzionale tra
l’intero e la parte rimanente.
Rettangolo aureo
Leonardo da Vinci chiamò
aureo il rettangolo avente i
due lati in rapporto aureo
l’uno con l’altro, cioè il lato
più lungo è 1,618 volte più
grande dell’altro.
m
La facciata
del
Partenone,
tempio più
importante
che sorge
sull’Acropoli
di Atene, si
può
racchiudere
in un
rettangolo
aureo.
M
m
M
m
M
=1,618
Prospettiva
È l’arte di disegnare un oggetto a
tre dimensioni in modo che la
rappresentazione che se ne dà
corrisponda alla propria
percezione visiva.
Evidenzia la profondità, la
posizione degli oggetti e la forma
della realtà.
Obiettivi
 Saper leggere un’opera d’arte in rapporto alla concezione dello
spazio della cultura che l’ha prodotta
 Acquisire conoscenze sul patrimonio culturale relative all’aspetto
tecnico-costruttivo e alle regole matematiche che le
determinano
 Saper individuare il legame tra forma e funzione
 Saper individuare le regole della sezione aurea
 Saper applicare le regole della sezione aurea
 Saper individuare le regole della prospettiva
 Saper applicare le regole della prospettiva per poter disegnare
la figura umana nello spazio
Abbiamo presentato il nostro lavoro nella Chiesa di San Benedetto, in
occasione della manifestazione Quartu Monumenti Aperti , 13 e 14
maggio 2006
ci siamo preparati a
raccontare in pubblico le
fasi del lavoro.
In questi pannelli è
sintetizzata
l’attività
laboratoriale
relativa a :
Numero aureo e
sezione aurea
Rettangolo aureo
Prospettiva
descriviamo le fasi del lavoro al pubblico presente
spieghiamo il significato dei disegni e delle immagini
Conoscendo
l’altezza di una
pelike, anfora
dalla
imboccatura
larga,
abbiamo ricavato
la misura della
base applicando le
regole del
rettangolo aureo.
I genitori seguono con
attenzione
l’intervento della
professoressa Mariella
Mereu
altri interventi
Dott.ssa Antonia Giulia Maxia, l’esperta
che ci ha fatto capire quale notevole
lavoro c’è dietro ad un’opera d’arte
Dott.ssa Anna Paola Loi, assessore ai
Beni Culturali del Comune di Quartu,
esprime i suoi complimenti per l’attività
svolta e augura un’efficace
prosecuzione.
Dott.ssa Marcella Serreli,
responsabile Servizi Educativi,
evidenzia la fattiva collaborazione
tra Soprintendenza e Scuola
Come siamo arrivati al prodotto finale:
attività svolta in classe alla presenza dell’esperta e dei docenti
esperto
docente
alunno
Proietta le immagini delle
opere d’arte
Espone il quadro storico,
artistico e sociale dell’
opera d’arte
Invita alla lettura
dell’immagine
Pone domande
Stimola all’osservazione e
alla discussione
Spiega alcuni passaggi
con l’utilizzo della lavagna
e di materiale didattico
Fornisce foto
Fornisce materiale
bibliografico
Promuove la discussione
Coordina gli interventi
Valorizza tutti gli
interventi
Crea collegamenti con il
programma scolastico
svolto
Fa riferimento alle
attività già realizzate
Aiuta nella comprensione
dei termini scientifici con
domande finalizzate
Prende appunti
Pone domande che creano
aperture di discorso
Apprende la cultura del
periodo studiato
Individua problemi
Formula ipotesi
Utilizza i suoi
prerequisiti per arrivare
a nuove conoscenze
Disegna con l’uso della
riga, compasso e matita
Apprende e applica le
regole prospettiche in
elaborati personali
Verifica sulle
riproduzioni di alcuni
dipinti, l’applicazione
delle regole prospettiche
Svolge calcoli matematici
Costruisce il rettangolo
aureo
Percorso di apprendimento
 Lettura dell’opera d’arte sotto l’aspetto storico, artistico e
sociale del periodo
 Successione numerica di Fibonacci.
 Origine del rapporto aureo e della sezione aurea
 Rettangolo aureo: armonia ed equilibrio di linee
 Prospettiva come riproduzione dello spazio visivo
tridimensionale su un piano per conseguire l’immagine della realtà
 Esercitazioni: riscontro pratico sull’applicazione dei canoni
matematici nelle riproduzioni delle opere d’arte.
Lettura storica, artistica e sociale di opere d’arte alla
ricerca del legame tra forma e funzione:




Pianta di Mileto
Teatro di Epidauro
Tempio greco
Anfora greca
Progettazione dello spazio urbano
Città di Mileto, risalente al V secolo a.C., fu progettata da Ipodamo di Mileto:
costituita da un reticolo regolare di strade su cui si allineano gli edifici,
evidenzia un aspetto elegante ed ordinato.
Gli edifici pubblici sono situati al centro.
Mileto era una città
commerciale dotata
di più porti.
Le torri in prossimità
dei porti, servivano
da faro per i
naviganti.
L’impianto della città
era funzionale anche
alla difesa della
città.
Anfiteatro di Epidauro, IV secolo a.C.
venivano rappresentate commedie e tragedie per educare l’uomo attraverso
la visione e l’ascolto. In tali occasioni l’attività lavorativa si fermava per
permettere a tutti di partecipare.
Situato presso un tempio ha una
struttura concava che sfrutta l’
andamento del terreno in armonica
integrazione con l’ambiente naturale
La forma concava permetteva
un’acustica ottimale ed evitava il
rimbombo.
Si componeva di tre parti con
diverse funzioni:
Orchestra, area circolare
destinata alla danza e al coro,
Càvea o koilon gradinata a
semicerchio addossata al pendio
naturale
Scena, il fondale architettonico
del teatro
Tempio greco: costruito per contenere la statua della divinità nell’unica
cella posta al centro. Ad esso si accedeva mediante dei gradini salendo
i quali si svolgeva il rituale della preghiera.
Era circondato da
colonne di forma
rastremata, cioè
rigonfie nella parte
centrale per
creare un effetto
ottico che faceva
sembrare più
leggera e più alta
l’intera struttura.
Le colonne laterali erano leggermente più piccole per
compensare l’effetto della luce che le avrebbe rese più
grandi
Rapporto tra forma e funzione
La pelike è un vaso a due anse,
rigonfio nella parte inferiore e
con l’imboccatura larga adatto
a contenere sostanze solide.
il rapporto altezza - larghezza
corrispondono a precise regole
matematiche.
pelike
h. cm 42,5
350 – 340 a. C.
pittore di Marsia
Nella parte centrale con
figure rosse su sfondo nero, è
rappresentata la dea Teti che
avendo rifiutato la corte di
Zeus, fu costretta a sposare
Peleo, un mortale che l’aveva
rapita.
Le raffigurazioni sui vasi
avevano la funzione di far
conoscere i miti greci .
Successione numerica di Fibonacci
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55…………
ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti
alla successione di Fibonacci è legata la spirale
logaritmica
In natura è possibile verificare la presenza di questa
successione: osserviamo per esempio il numero di
spirali di una pigna e contiamole: sono 8 in senso
orario, 13 in senso antiorario.
.
Fibonacci ( Leonardo
Pisano) figlio di un
mercante arabo, fu il
matematico più
originale ed abile del
mondo medievale:
visse tra il 1180 e il
1250; nel 1202
pubblicò il “Liber
Abaci”
Il rapporto tra due numeri successivi di questa serie si avvicina
rapidamente e poi si assesta sul numero 1,618.
1,618 viene chiamato numero d’oro, numero aureo, rapporto aureo
La ricerca di una relazione armoniosa tra le
dimensioni di un oggetto è innata nell’uomo
Prendiamo un segmento e lo dividiamo
in due parti diverse, tale che il
rapporto tra l’intero segmento e la
parte maggiore sia uguale al rapporto
tra la parte maggiore e la parte
minore.
A
C
B
AB = 100cm
AB : AC = AC : CB
Per ottenere questo risultato occorre
moltiplicare l’intero segmento per
0,618.
AC = 100 cm *0,618 = 61,8 cm
CB = 38,2 cm
AC è la sezione aurea
La relazione tra i numeri costituisce la
proporzione aurea.
Costruzione del rettangolo aureo: nascita della spirale.
Il rettangolo che Leonardo da Vinci chiamò “aureo” ha le dimensioni in
rapporto aureo l’uno con l’altro.
•
Costruiamo un rettangolo, una dimensione è 1,618 volte più grande
dell’altra, ovvero quest’ultima è 0,618 volte più piccola dell’altra;
•
Tracciamo un quadrato all’interno: osserviamo, rimane un rettangolo, nel
quale a sua volta possiamo tracciare un quadrato;
• Osserviamo: rimane un rettangolo
nel quale possiamo tracciare un
quadrato, ecc.
Ciò significa che se a un
rettangolo aureo si sottrae un
quadrato, la parte che rimane è
ancora un rettangolo aureo.
Costruiamo, ora, con il compasso gli archi di circonferenza aventi come
raggi i lati dei quadrati ad essi tangenti, otteniamo una curva chiamata
spirale.
L’armonia delle dimensioni e la regolarità delle forme che notiamo nelle
opere del periodo classico sono già presenti in natura dove tutto cresce
secondo un ritmo a spirale.
nautilus
Osserviamo il nautilus, un mollusco che popola i fondali degli oceani, la sua conchiglia
cresce secondo la curva logaritmica cioè quella che incontra tutte le rette uscenti da un
centro con un angolo costante e i cui raggi, dal centro ai vari giri successivi, sono in
progressione geometrica. La curva logaritmica si costruisce con il rettangolo aureo. I
greci la utilizzavano per ottenere le spirali dei capitelli ionici.
La conchiglia, per la forma perfetta, è stata utilizzata come amuleto.
L’uomo ha impiegato secoli per capire che c’è una ciclicità nel divenire delle cose, che il
ritmo è alla base della vita e che è armonia. I filosofi greci Eraclito, Pitagora e Platone,
già nel IV secolo a.C., hanno codificato questi concetti fondamentali.
La prospettiva è un metodo usato dai pittori
del Rinascimento per rappresentare lo
spazio tridimensionale su un piano.
I pittori hanno introdotto le leggi
matematiche per individuare le linee
d’orizzonte e i punti di fuga dove
concorrono i prolungamenti di tutte le linee
orizzontali.
Raffaello - Lo sposalizio della Vergine 1504
La prospettiva veniva usata anche per
progettare nuove città – le città ideali –
perché l’idea di città rispecchia gli ideali di
armonia e di geometria tipici del pensiero e
dell’arte del Rinascimento.
Raffaello costruisce lo spazio
pittorico secondo le regole del
rapporto aureo e della
prospettiva centrale per
richiamare l’attenzione sul
tempio e sui protagonisti della
scena.
Esercitazioni
La pelike è stata
ricostruita partendo
dalla misura
dell’altezza, cm 42,5
Osserviamo il
rettangolo aureo, il
quadrato, il
rettangolo aureo
rimasto; l’attaccatura
delle anse, le fasce
decorate, la parte
dipinta, rientrano
nella costruzione del
rettangolo aureo.
Dal IV secolo a. C. l’uomo costruisce in proporzione. L’architetto
romano Vitruvio codificò le leggi sulla proporzione e sul
rettangolo aureo e L.B.Alberti nel De re aedificatoria del 1452
fissò le regole della progettazione e costruzione dello spazio con
la prospettiva. Queste regole matematiche erano conosciute da
tutti gli artisti.
Masaccio, nella famosa
Trinità di Santa Maria
Novella a Firenze ha
utilizzato le regole del
rettangolo aureo e della
prospettiva.
L’ardito scorcio della
cappella corrisponde alla
visione che ne avrebbe uno
spettatore il cui occhio
fosse posto in basso.
Nella cappella del SS. Crocefisso della Parrocchia di Sant’Elena a
Quartu, si può notare un Crocefisso attribuito alla scuola di G.A.Lonis.
Il suo inserimento in una nicchia che sembra costruita per contenerlo,
ricorda la Trinità di Masaccio nella ricerca di un elemento
architettonico in proporzione al Crocefisso.
Raffaello nel
famoso dipinto
lo sposalizio
della Vergine,
utilizza il
rapporto aureo
e la prospettiva
centrale per
costruire il
tempio e lo
spazio nel quale
agiscono i
personaggi sulla
scena.
Esempi di prospettiva
Approfondimenti
L’uomo misura di tutte le cose
Leonardo da Vinci: 1500
la statura di un corpo ben
proporzionato si ottiene
moltiplicando la misura della
distanza tra l’ombelico e il
terreno per il numero aureo
1,618
Le Corbusier: 1900
Modulor (modulo e numero
aureo) è un sistema
proporzionale di dimensioni
armoniche basata sulla
figura umana e sui rapporti
aurei che essa esprime.
SCUOLA PITAGORICA
Il poligono regolare ( lati ed angoli uguali) ha
ispirato fin dai tempi antichi costruzioni
architettoniche e decorazioni geometriche.
La costruzione del pentagono regolare con riga e
compasso risale alla Scuola Pitagorica: il simbolo di
questa scuola è proprio il pentagono regolare
stellato che già da allora fu avvolto da mistero e
venerazione.
È proprio il pentagono regolare fa nascere un numero d’oro.
Come?
Per costruire un pentagono regolare è più semplice
partire dalla costruzione del decagono regolare
Risulta da misurazioni che il lato del decagono
regolare è maggiore della metà del raggio; ma
di quanto è maggiore?
Quale è il rapporto tra il lato del decagono
regolare e il raggio?
Si è trovato che, misurando i lati del triangolo
isoscele avente gli angoli alla base doppi
dell’angolo al vertice, il rapporto tra la base e
il lato obliquo è circa 0,62, ovvero che il lato
del decagono è la sezione aurea del raggio,
così come il rapporto tra il lato del pentagono
regolare e il lato del pentagono stellato.
Nel Rinascimento quel rapporto viene ad assumere un’importanza
predominante: il matematico LUCA PACIOLI, nel 1503, nel suo De Divina
Proportione, illustrato da Leonardo da Vinci, conferma che la “divina
proporzione” è la lunghezza del segmento che si ottiene prendendo circa i
62
di un segmento dato.
100
Conclusioni
Il rapporto aureo ha avuto un’importanza notevole anche fuori dal
campo strettamente matematico.
Si osservò subito che un rettangolo le cui dimensioni sono l’una lo
0,618 dell’altra è più gradevole alla vista, crea una sensazione
piacevole e procura armonia.
Nel Rinascimento questo rapporto assume un’importanza
predominante sia in pittura che in scultura e architettura.
Lo studio viene approfondito. Qualcosa di così bello, di così
armonico, si è pensato, non può essere solo opera dell’uomo, si trova
anche in natura, nella disposizione delle foglie e dei petali dei fiori,
nella stella di mare; nell’uomo stesso. Sappiamo infatti che in una
persona adulta di statura media, l’ombelico divide il corpo in due
parti in rapporto aureo tra loro.
Gli autori: classe 3^ E