Dispensa 5
Determinazione del coefficiente di
momento di un profilo
È meglio conoscere alcune delle domande che tutte le risposte.
– James Thurber
Indice
.
.
.
.
.
. 3
. 3
. 13
. 18
. 24
Al giorno d’oggi esistono diversi modi per generare la geometria di un profilo alare e
di calcolarne le caratteristiche aerodinamiche. Un esempio è dato dall’applet chiamata
JavaFoil, un’applicazione in Java sviluppata da Martin Hepperle e liberamente scaricabile
dal sito http://www.mh-aerotools.de [5.1]. Due schermate di JavaFoil sono riportate
nella figura 5.1 nella pagina seguente.
Un altro esempio è costituito dal programma XFLR5 di André Deperrois, disponibile per il sistema operatico Windows e liberamente scaricabile dal sito http://xflr5.
sourceforge.net [5.2]. Approfondiremo nel seguito alcuni dettagli sull’uso di questa
applicazione, che integra le funzionalità del popolare programma XFoil di Mark Drela and
Harold Youngren [5.3].
D’altra parte, anche i dati sperimentali di molte famiglie di profili alari sono oggi
facilmente reperibili. Oltre al testo di Abbott e von Doenhoff [5.4], che rappresenta il
volume di riferimento per i profili della serie NACA, non mancano raccolte di caratteristiche sperimentali di profili di nuova generazione liberamente disponibili su internet. Un
esempio è il rapporto tecnico di Selig e McGranahan [5.5], che fornisce dettagliate analisi
delle prestazioni di profili alari basate su esperienze in galleria del vento.
Nel seguito sceglieremo un profilo alare e ne calcoleremo i coefficienti di resistenza, di portanza e di momento di beccheggio per alcune condizioni di funzionamento. In
particolare, confronteremo i valori dei suddetti coefficienti calcolabili a partire dalle distribuzioni sperimentali del coefficiente di pressione con quelli calcolati da programmi
come JavaFoil ed XFoil.
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
5.1 Il profilo NACA 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Il programma XFLR5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Coefficienti di pressioni sperimentali e coefficienti aerodinamici
5.4 Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici con Matlab . . .
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
2
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
Figura 5.1 Schermate dell’applicazione JavaFoil [5.1], con la quale si è generata la geometria del
profilo NACA 4415 raffigurata nella figura 5.2.
D. P. Coiro, A. De Marco
5.1 Il profilo NACA 4415
3
Profilo NACA 4415
0;4
0;2
z=c
0
0;2
0;4
0
0;2
0;4
0;6
0;8
1
x=c
Figura 5.2 Geometria del profilo NACA 4415 e della sua linea media.
5.1
Il profilo NACA 4415
Si consideri il profilo NACA 4415 rappresentato nella figura 5.2 insieme con la sua linea
media. Un insieme di punti appartenenti alla geometria del dorso e del ventre può essere
generato agevolmente con JavaFoil. Nel pannello di configurazione della geometria basta
specificare opportunamente la curvatura della linea media e lo spessore percentuale.
Analogamente, gli utenti di XFLR5 hanno a disposizione la possibilità di generare le
geometrie dei profili delle famiglie NACA attraverso un apposito pannello di selezione.
Nel paragrafo successivo vengono spiegati i dettagli di questa operazione.
Il programma XFLR5
XFLR5 è un’applicazione dotata di una ricca interfaccia grafica, pensata per l’analisi di
un’ala finita, eventualmente integrata con una fusoliera e con degli impennaggi di coda.
L’utente ha la possibilità di analizzare preliminarmente le caratteristiche aerodinamiche delle diverse sezioni alari e di scegliere a piacimento la distribuzione dei profili lungo
l’apertura. In particolare, XFLR5 permette di configurare e mandare in esecuzione un modulo di calcolo delle prestazioni dei profili. Tale componente non è altro che una funzione
derivata dal popolare software XFoil di Mark Drela and Harold Youngren [5.3].
5.2.1
La modalità di lavoro XFoil Direct Analysis
La figura 5.3 mostra alcune schermate di XFLR5 che illustrano come iniziare a lavorare
su un profilo, a partire da un progetto vuoto. Il programma mette a disposizione diverse
modalità di lavoro, selezionabili dal menu a tendina Application. Selezionando la voce
XFoil Direct Analysis si ha la possibilità di analizzare le caratteristiche di un profilo con
XFoil. Dal menu a tendina Design è possibile generare la geometria di un profilo NACA
e decidere il numero di nodi con cui discretizzarne la forma. Nella sessione di lavoro
rappresentata nella figura 5.3 l’utente ha selezionato la forma del profilo NACA 4415 ed
un numero di nodi pari a 100.
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
5.2
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
4
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
Figura 5.3 Schermate di XFLR5 che illustrano la selezione della modalità XFoil Direct Analysis,
la scelta del profilo e del numero di nodi con cui discretizzarne la geometria.
Una volta generata la geometria del profilo, si ottiene una schermata come quella
riportata in alto nella figura 5.4. A questo punto, come mostrato nella stessa figura, nella
schermata in basso, è possibile calcolare le caratteristiche aerodinamiche del profilo con
XFoil attraverso il menu a tendina Polars. Tramite la voce Run Batch Analysis l’utente
può selezionare un dato numero di condizioni operative (cioè combinazioni di angoli
d’attacco e di numero di Mach della corrente asintotica, M1 D V1 =a1 ) e per ciascun
operating point effettuare l’analisi aerodinamica, sia in ipotesi di fluido non viscoso che in
ipotesi di fluido viscoso (per diversi numeri di Reynolds Re D V1 c=1 ). In quest’ultimo
caso, per quanto riguarda gli strati limiti sul dorso e sul ventre, l’utente potrà specificare
un modello di stima dei punti di transizione dal regime laminare a quello turbolento o
imporre dei punti di transizione forzata.
D. P. Coiro, A. De Marco
Figura 5.4 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis. Una volta generata la geome-
tria del profilo è possibile calcolarne le caratteristiche aerodinamiche con XFoil. Dal menu Polars
si può selezionare un dato numero di condizioni operative, cioè di angoli d’attacco, tramite la voce
Run Batch Analysis. Per ciascun operating point si può effettuare un’analisi aerodinamica sia in
ipotesi di fluido non viscoso che viscoso.
La figura 5.5 mostra la finestra di dialogo che compare selezionando la voce Run Batch
Analysis. Per il profilo alare selezionato, attraverso questa finestra di configurazione è
possibile richiedere all’applicazione XFoil di effettuare analisi aerodinamiche per diversi
numeri di Reynolds e diversi angoli d’attacco della corrente asintotica. Nel caso mostrato
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
5
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
5.2 Il programma XFLR5
6
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
si è scelto un solo valore del numero di Reynolds, pari a 3106 , una condizione subsonica
(numero di Mach nullo) ed un insieme di valori dell’angolo d’attacco che va da 5° a 10°,
intervallati di 1°.
Figura 5.5 Finestra di dialogo di XFLR5. Essa compare in modalità XFoil Direct Analysis, se-
lezionando dal menu a tendina Polars la voce Run Batch Analysis. È possibile effettuare analisi
aerodinamiche per diversi numeri di Reynolds e per diversi angoli d’attacco della corrente asintotica. Nel caso mostrato si è scelto un solo valore del numero di Reynolds, pari a 3 106 , un
numero di Mach nullo (regime subsonico) ed un insieme di valori dell’angolo d’attacco che va da
5° a 10°, intervallati di 1°.
D. P. Coiro, A. De Marco
5.2 Il programma XFLR5
5.2.2
7
Analisi degli operating point di un profilo
Nelle schermate di XFLR5 riportate nella figura 5.6 si vedono i risultati di tre analisi
aerodinamiche. Sono mostrate le distribuzioni del coefficiente di pressione
p p1
p1
D
1
qN 1
V2
2 1 1
p
(5.1)
nei punti del profilo NACA 4415, calcolate con XFoil per tre diversi operating point,
corrispondenti agli angoli d’attacco: ˛1 D 4°, ˛2 D 2° ed ˛3 D 8°. Tutte le condizioni
operative sono state calcolate ad un Re D 3 106 e un M1 D 0.
Per la prima condizione di funzionamento, scorrendo la superficie del profilo dal bordo d’attacco verso il bordo d’uscita, si può osservare il picco di espansione sulla parte
ventrale nella regione prodiera. Tale situazione è tipica per angoli d’attacco negativi e
profili a curvatura positiva. Il picco di espansione ventrale è seguito da una compressione
fino al bordo d’uscita, verso un livello di pressione pari a quello della scia che si distacca dal profilo. Sul dorso, viceversa, si ha un picco di compressione ed una succesiva,
graduale compressione dorsale, all’incirca fino al 30% della corda. La curva del Cp sul
dorso presenta poi una graduale espansione fino al bordo d’uscita verso lo stesso livello
di pressione del ventre in quella regione.
La figura 5.7 aiuta a visualizzare la distribuzione delle pressioni sul profilo nella condizione di funzionamento all’angolo d’attacco ˛1 . I vettori rappresentati nella figura hanno
il significato di vettori forza per unità di lunghezza. Essi sono applicati localmente agli
elementi curvilinei appartenenti al profilo ed hanno intensità proporzionali alla differenza
p p1 , tra la pressione statica locale e quella della corrente indisturbata. Come è noto
dall’Aerodinamica, l’integrale di linea di questa distribuzione di vettori lungo la forma
del profilo fornisce il contributo alla forza aerodinamica risultante dovuto all’azione della
pressione del fluido. Le aree sottese dalle due curve nel piano .x=c; Cp / per questo particolare angolo d’attacco sono pressoché identiche in valore assoluto e di segno opposto.
La loro somma algebrica è pari all’incirca al coefficiente di portanza C` .˛1 / D 0;026.
Il valore ˛1 è molto vicino all’angolo di portanza nulla ˛0` del profilo. Per questa condizione di funzionamento, XFoil fornisce una stima del coefficiente di resistenza pari a
Cd .˛1 / D 0;0068 e del coefficiente di momento pari a Cmc=4 .˛1 / D 0;102.
Nella seconda condizione di funzionamento, l’angolo d’attacco ˛2 è di piccola entità
e ben all’interno dell’intervallo di linearità della legge C` .˛/. Dalla distribuzione del
coefficiente di pressione (immagine centrale nella figura 5.6) si possono osservare delle
leggi di graduale espansione sia sul dorso che sul ventre. Tale situazione è tipica per angoli
d’attacco di valore paragonabile a quello formato con l’orizzontale dalla retta tangente alla
linea media nel bordo d’attacco. Le espansioni sono seguite da graduali ricompressioni,
fino al bordo d’uscita, verso un livello di pressione pari a quello della scia che si distacca
dal profilo.
La figura 5.8 mostra la distribuzione dei vettori pressione lungo la forma del profilo
nella condizione di funzionamento all’angolo d’attacco ˛2 . Questo tipo di rappresentazione mostra con più efficacia la zona di compressione nella regione prodiera che abbraccia il bordo d’attacco. In tale regione si trova il punto di ristagno anteriore. La figura
mette anche in evidenza la predominanza dell’espansione dorsale su quella ventrale. Il
coefficiente di portanza predetto da XFoil in questa condizione è C` .˛2 / D 0;707. Il
coefficiente di resistenza è pari a Cd .˛2 / D 0;0061 ed il coefficiente di momento è pari a
Cmc=4 .˛2 / D 0;104.
Nella terza condizione di funzionamento, l’angolo d’attacco ˛3 è di non piccola entità.
Esso è superiore all’angolo ˛ ? del profilo, cioè è esterno all’intervallo di linearità della
legge C` .˛/. Dalla distribuzione del coefficiente di pressione (immagine in basso nella
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
Cp D
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
8
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
Figura 5.6 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis. Sono rappresentate le di-
stribuzioni del coefficiente di pressione sul profilo NACA 4415 per tre diversi operating point,
corrispondenti agli angoli d’attacco: ˛1 D 4°, ˛2 D 2° ed ˛3 D 8° (Re D 3 106 , M1 D 0).
D. P. Coiro, A. De Marco
5.2 Il programma XFLR5
9
Figura 5.7 Vettori pressione calcolati con XFoil per il profilo NACA 4412, per un angolo d’attacco
Figura 5.8 Vettori pressione calcolati con XFoil per il profilo NACA 4412, per un angolo d’attacco
˛ D ˛2 D 2° ed in condizioni subsoniche (Re D 3 106 , M1 D 0).
figura 5.6) si può osservare una repentina espansione sul dorso in prossimità del bordo
d’attacco. Il picco di espansione sul dorso è seguito da una ricompressione fino al bordo
d’uscita, verso il livello di pressione pari a quello della scia che si distacca dal profilo.
Sul ventre, viceversa, si osserva un picco di compressione nella regione prodiera ed una
successiva espansione fino al bordo d’uscita, verso lo stesso livello di pressione del dorso
in quella regione.
La figura 5.9 mostra la distribuzione dei vettori pressione lungo la forma del profilo
nella condizione di funzionamento all’angolo d’attacco ˛3 . La rappresentazione mostra
che la zona di forte compressione nella regione prodiera, nell’intorno del punto di ristagno
anteriore, è spostata dalla parte del ventre e non abbraccia il bordo d’attacco. La figura
mette anche in evidenza la forte espansione dorsale, certamente più intensa della compressione ventrale. Da ciò deriva la nota interpretazione della portanza, come un’azione
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
˛ D ˛1 D 4° ed in condizioni subsoniche (Re D 3 106 , M1 D 0). Le intensità locali dei
vettori sono proporzionali a qN 1 Cp , cioè alla differenza p p1 , tra la pressione statica locale e
quella della corrente indisturbata. L’integrale di linea di questa distribuzione di vettori lungo la
forma del profilo fornisce il contributo alla forza aerodinamica risultante dovuto all’azione della
pressione del fluido.
10
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
Figura 5.9 Vettori pressione calcolati con XFoil per il profilo NACA 4412, per un angolo d’attacco
˛ D ˛3 D 8° ed in condizioni subsoniche (Re D 3 106 , M1 D 0).
che “tira dall’alto” il profilo anziché “spingere dal basso”. Il coefficiente di portanza predetto da XFoil in questa condizione è C` .˛3 / D 1;336. Il coefficiente di resistenza è pari
a Cd .˛3 / D 0;0093 ed il coefficiente di momento è pari a Cmc=4 .˛3 / D 0;097.
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
5.2.3
Altre caratteristiche ed alcune funzioni di utilità
La figura 5.10 mostra delle schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis, ottenute impostando la visualizzazione delle curve di funzionamento del profilo (tasto di
scelta rapida F8). La selezione del tipo di grafici che si desidera visualizzare può essere
effettuata dal menu a tendina Polars, selezionando la voce View.
Come è noto, le curve di funzionamento più importanti sono: la polare, cioè il luogo
delle coppie .Cd ; C` /, la curva del C` in funzione di ˛ e la curva del Cmc=4 in funzione
di ˛. Per un profilo NACA 4415, un Re D 3 106 e un M1 D 0, queste tre curve sono
riportate nella figura 5.10.
Dalla successiva figura 5.11 si osserva che l’utente ha la possibilità di esportare i dati
ottenuti con XFoil. L’applicazione permette di esportare i dati relativi ad intere curve di
funzionamento dal menu a tendina Polars, selezionando la voce Current Polar e quindi
Export. Inoltre, per ciascun operating point è possibile esportare i risultati di una singola
analisi aerodinamica. A tale scopo l’utente può usare il menu a tendina Operating Point
e selezionare la voce Export Current. Questa operazione è mostrata nell’immagine in
alto della figura 5.11. Il menu a tendina Operating Point offre una seconda possibilità di
esportazione attraverso il sotto-menu Current XFoil Results e la voce Export to File.
Per ottenere semplicemente la discretizzazione del profilo sotto forma di sequenza
di coppie di coordinate, l’utente può fare click con il pulsante destro del mouse nella
finestra in cui è rappresentata la geometria (visualizzabile con il tasto di scelta rapida F5),
selezionare la voce Current Foil dal menu contestuale e quindi scegliere Export. Questa
operazione è mostrata nell’mmagine in basso della figura 5.11.
Secondo la convenzione fissata dagli sviluppatori di XFoil, le coordinate verranno
salvate in un file di estensione “.dat” ed ordinate scorrendo il profilo in senso antiorario,
a partire dal bordo d’uscita dalla parte del dorso, passando poi per il bordo d’attacco,
finendo sul bordo d’uscita dalla parte del ventre.
D. P. Coiro, A. De Marco
Figura 5.10 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis e visualizzazione delle curve
di funzionamento del profilo NACA 4415, per Re D 3 106 e M1 D 0.
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
11
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
5.2 Il programma XFLR5
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
12
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
Figura 5.11 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis. Possibilità di esportazione
delle grandezze fluidodinamiche locali e della geometria del profilo.
La figura 5.12 mostra un tipico grafico ottenibile utilizzando direttamente il programma XFoil e le sue funzioni di uscita grafica. Nella stessa figura sono state rappresentate:
la forma del profilo, la forma dello strato limite e quella della scia turbolenta; le leggi del
coefficiente di pressione, sul dorso, sul ventre e nella scia.
Si evidenzia la diversità tra le curve del Cp ottenute in ipotesi di fluido non viscoso
e quelle ottenute modellando opportunamente il flusso nello strato limite (con transizione da regime laminare a regime turbolento). Nel primo caso (curve tratteggiate della
figura 5.12) esiste necessariamente un punto di ristagno posteriore, in corrispondenza del
bordo d’uscita. Ciò determina una non realistica compressione del flusso nell’intorno di
D. P. Coiro, A. De Marco
5.3 Coefficienti di pressioni sperimentali e coefficienti aerodinamici
NACA 4415
Re
D 10 106
˛
D 8ı
C`
D 1;3511
Cd
D 0;008 66
Cmc=4 D 0;1006
Cp
2;0
1;5
1;0
13
flusso non viscoso
ventre
0;5
dorso
0;0
0;5
1;0
Figura 5.12 Distribuzioni del coefficiente di pressione sul ventre, sul dorso e nella scia viscosa di
un profilo NACA 4415, calcolate con XFoil.
questo punto, sia sul ventre che sul dorso. Al contrario, come si vede dalle curve continue
della figura 5.12, il modello che tiene conto della presenza dello strato limite fornisce
delle leggi del coefficiente di pressione più realistiche. Ciò si verifica sia nella regione
poppiera del profilo, in prossimità del distacco della scia, sia nella regione prodiera, dove
vi è necessità di non sovrastimare il picco di espansione dorsale.
Distribuzioni sperimentali del coefficiente
di pressione e coefficienti aerodinamici
Relativamente al profilo preso in considerazione, un NACA 4415, sono disponibili almeno
due rapporti tecnici della NASA [5.7, 5.6] che riportano le distribuzioni sperimentali dei
coefficienti di pressione superficiali, per diversi angoli d’attacco e per diversi numeri di
Mach e di Reynolds.
La figura 5.13 nella pagina successiva riporta i valori delle grandezze Cp;u e Cp;l
(“u” sta per upper o dorso, “l” sta per lower o ventre), misurati in corrispondenza di un
dato numero di stazioni lungo la corda, per i tre diversi angoli d’attacco precedentemente
considerati: ˛1 , ˛2 e ˛3 . A titolo di esempio, la figura 5.14 nella pagina 15 mette a confronto i valori sperimentali del coefficiente di pressione e quelli ricavati numericamente
con XFoil.
Le tecniche sperimentali per la misura del coefficiente di pressione in corrispondenza
della superficie di un profilo possono essere di vario tipo. La più utilizzata si basa sulla
presenza di appositi orifici, praticati opportunamente nelle pareti solide dell’articolo di
prova. Una rappresentazione schematica in vista esplosa del modello di un profilo alare
è quella della figura 5.15 nella pagina 15. Per questo tipo di sperimentazioni l’articolo di
prova è costituito da un’ala dritta di allungamento opportuno. Essa non è che un corpo di
forma cilindrica e sezione corrispondente alla forma del profilo. Il modello viene installato opportunamente nella camera di prova di una galleria del vento, in modo da garantire
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
5.3
14
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
Profilo NACA 4415, ˛ D
4;0ı
dorso
ventre
2
1
Cp
0
1
0
0;1
0;2
0;3
0;4
0;5
0;6
0;7
0;8
0;9
1
x=c
Profilo NACA 4415, ˛ D 2;0ı
dorso
ventre
2
1
Cp
0
1
0
0;1
0;2
0;3
0;4
0;5
0;6
0;7
0;8
0;9
1
x=c
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
Profilo NACA 4415, ˛ D 8;0ı
dorso
ventre
2
1
Cp
0
1
0
0;1
0;2
0;3
0;4
0;5
0;6
0;7
0;8
0;9
1
x=c
Figura 5.13 Coefficienti di pressione misurati sperimentalmente sulla superficie di un profilo
NACA 4415, per tre valori distinti dell’angolo d’attacco (si veda il rapporto tecnico della NACA
[5.7]).
D. P. Coiro, A. De Marco
5.3 Coefficienti di pressioni sperimentali e coefficienti aerodinamici
15
Profilo NACA 4415, ˛ D 8;0ı
sperimentale, ventre
sperimentale, dorso
soluzione numerica con XFoil
3
2
Cp
1
0
1
0
0;1
0;2
0;3
0;4
0;5
0;6
0;7
0;8
0;9
1
x=c
Figura 5.14 Profilo NACA 4415. Confronto tra la i valori sperimentali del coefficiente di pressione
e quelli ricavati numericamente con XFoil.
orifici dorsali
n
nello strato limite la pressione locale
è costante nel senso normale alla parete
orifici ventrali
Figura 5.15 Orifici sul dorso e sul ventre di un modello di profilo alare per prove in galleria del
vento. Attraverso dei piccoli tubi flessibili, la pressione locale in corrispondenza della superficie
del profilo viene misurata da appositi sensori.
condizioni di flusso bidimensionale lungo gran parte dell’apertura. Nella figura 5.15 si
evidenziano due file di fori, l’una lungo il dorso e l’altra lungo il ventre. Ciascun orificio
è collegato ad un misuratore di pressione tramite un tubo flessibile. I tubi sono alloggiati
all’interno del modello e trasmettono ai sensori il medesimo livello di pressione che regna
all’estremità esposta alla corrente. In questi punti, la pressione è quella locale dello strato
limite, costante per tutta la sua estensione nel senso normale alla parete del profilo. Nota
la pressione p1 e le altre caratteristiche della corrente indisturbata, dalla misura della p
superficiale si risale al coefficiente Cp attraverso la relazione (5.1).
Un esempio di apparato sperimentale per la misura delle caratteristiche dei profili
alari è rappresentato schematicamente nella figura 5.16 nella pagina seguente. I supporti
che permettono di alloggiare il profilo alare nella camera di prova sono attrezzati con
sistemi di misura delle forze e dei momenti esercitati dalla corrente sul modello alle varie
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
ai sensori di pressione
16
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
presa d’aria
camera di prova
condotto di scarico
ventola
diffusore
(a) Vista esterna di una galleria aerodinamica a ciclo aperto.
cella di carico della portanza
fulcro
leva
contrappeso di taratura
sonde di scia
guide di scorrimento
verticale
sensore di ˛
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
motore per la rotazione del profilo
cella di carico del momento
asta di collegamento
(b) Dettaglio della camera di prova e dei sensori di misura delle forze e delle pressioni.
fulcro
portanza
molla di
pre-carico
cella di
carico
contrappeso
peso del profilo
(c) Dettaglio del sistema di misura della portanza.
Figura 5.16 Esempio di apparato sperimentale per la misura delle caratteristiche dei profili alari
[5.5]. Le celle di carico sono sensori capaci di misurare delle forze e permettono di valutare la
portanza ed il momento di beccheggio. Le sonde di scia sono dei tubi di Pitot posti in posizioni
variabili nella regione a valle del profilo. Esse sono capaci di misurare le pressioni e le velocità
in seno al fluido e, attraverso metodi di calcolo indiretti, permettono di valutare la resistenza con
sufficiente accuratezza.
D. P. Coiro, A. De Marco
5.3 Coefficienti di pressioni sperimentali e coefficienti aerodinamici
17
condizioni di funzionamento. Questi sistemi di misura comprendono dei sensori detti
celle di carico, capaci di misurare delle forze e delle coppie. Nella pratica è possibile
valutare con precisione solo la portanza ed il momento di beccheggio di un profilo. Per
misurarne la resistenza in maniera accettabile è necessario utilizzare un metodo di misura
alternativo, introducendo delle sonde di scia. Queste ultime sono costituite da tubi di
Pitot posizionati in diversi punti nella regione a valle del profilo e servono ad acquisire le
pressioni e le velocità locali nel fluido. Tali misure, attraverso metodi di calcolo indiretti,
permettono di valutare la resistenza del profilo con sufficiente accuratezza.
I coefficienti sperimentali di portanza, di resistenza e di momento di beccheggio, quest’ultimo rispetto al polo convenzionale posto ad un quarto della corda del profilo, sono
riportati nelle figure 5.17, 5.18 e 5.19 nelle pagine seguenti. I diagrammi mettono a confronto i valori sperimentali con quelli predetti numericamente dai codici di calcolo XFoil
e JavaFoil. Dalla figura 5.17 si osserva che questi programmi sovrastimano il valore del
C`˛ del profilo nella regione lineare. La figura 5.18 conferma il fatto che le curve del coefficiente di resistenza sono notoriamente quelle più sensibili alle variazioni del numero di
Reynolds. Infatti, i valori sperimentali del Cd sono riferiti ad un numero di Reynolds non
precisato nel rapporto tecnico [5.7] ma certamente compreso tra 106 e 2 106 . D’altra
parte, le curve del Cd ottenute numericamente sono riferite ad un numero di Reynolds
pari a 3 106 e forniscono valori evidentemete inferiori a quelli sperimentali. Il confronto tra le curve del Cmc=4 proposto dalla figura 5.19 mette in evidenza la diversità tra i
risultati di XFoil e quelli di JavaFoil. Entrambi forniscono valori accettabilmente accurati
del coefficiente di momento in un ampio intervallo di incidenze. Al crescere di ˛ XFoil
fornisce delle stime più vicine ai valori sperimentali e ne segue meglio l’andamento.
Profilo NACA 4415
2;5
1;5
C`
1
0;5
0
0;5
1
1;5
15
10
5
0
5
10
15
20
ı
˛( )
Figura 5.17 Valori numerici e sperimentali del coefficiente di portanza C` di un profilo
NACA 4415. Si osserva che il valore ˛ D 8;0° è al di fuori della regione di linearità della
funzione C` .˛/.
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
2
soluzione numerica con JavaFoil
soluzione numerica con XFoil
integrale dei Cp sperimentali
valori sperimentali
18
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
3
10
Profilo NACA 4415
2
soluzione numerica con JavaFoil
soluzione numerica con XFoil
valori sperimentali
2;5
2
106 < Re < 2 106
Cd
1;5
1
0;5
Re D 3 106
0
15
10
5
0
5
10
15
ı
˛( )
Figura 5.18 Valori numerici e sperimentali del coefficiente di resistenza Cd di un profilo
NACA 4415. Per la resistenza non ha senso mostrare i valori ottenuti per integrazione della distribuzione superficiale del coefficiente di pressione: essi sono inaccurati e vanno ricavati per via
indiretta.
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
5.4
Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici con
Matlab
Nelle figure 5.17, 5.18 e 5.19, prese in considerazione in precedenza, compaiono anche
dei punti le cui ordinate sono ottenute per integrazione delle distribuzioni superficiali del
coefficiente di pressione. Illustriamo tale procedimento al fine di chiarire la genesi dei
coefficienti aerodinamici.
Se si conoscesse una distribuzione continua del coefficiente di pressione sulla superficie del profilo, si potrebbero esprimere i coefficienti di resistenza, di portanza e di
momento di beccheggio secondo le formule seguenti
Z
Z
1
1
Cd D
Cp .sl / n.sl / i1 dsl
Cp .su / n.su / i1 dsu
(5.2)
c
c
Õ
Õ
Cl
Cu
C` D
Cmc=4
1
D 2
c
1
c
Z
Õ
Cl
Z
Cp .sl / n.sl / k1 dsl
ÕS Õ
Cl Cu
1
c
Õ
Cu
Cp .s/ n.s/ k x.s/
Z
Cp .su / n.su / k1 dsu
c
4
Cp .s/ n.s/ i z.s/
(5.3)
(5.4)
ds
D. P. Coiro, A. De Marco
5.4 Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici con Matlab
19
Profilo NACA 4415
1
soluzione numerica con JavaFoil
soluzione numerica con XFoil
integrale dei Cp sperimentali
valori sperimentali
0;5
Cmc=4 0
0;5
1
15
10
5
0
5
10
15
20
ı
˛( )
Figura 5.19 Valori numerici e sperimentali del coefficiente di momento di beccheggio Cmc=4
Le (5.2)-(5.4) sono note dall’Aerodinamica e non tengono conto dell’azione degli
sforzi tangenziali esercitati dal fluido in corrispondenza delle pareti del profilo. Le curve
orientate Cl e Cu che compaiono negli integrali di linea rappresentano il ventre ed il
dorso del profilo. In una rappresentazione della geometria nel piano .x=c; z=c/, l’ascissa
curvilinea s corre lungo il profilo in senso orario; parte dal bordo d’uscita, punto .1; 0/, e
segue la forma del ventre, lungo il quale è detta sl , fino al bordo d’attacco, punto .0; 0/;
prosegue dal bordo d’attacco seguendo la forma del dorso, lungo il quale è detta su , fino
al bordo d’uscita. Il versore n rappresenta la direzione localmente normale al profilo,
orientata positivamente nel verso che va dalla parete solida alla regione fluida. I versori
i e k che compaiono nella (5.4) sono quelli degli assi coordinati x e z. I versori i1 e
k1 che compaiono nelle (5.2) e (5.3) rappresentano, rispettivamente, la direzione della
velocità asintotica, orientata nel verso di V1 , e quella ad essa normale.
Le formule (5.2)-(5.4) possono essere applicate discretizzando la linea che individua
la geometria del profilo con un numero adeguato di nodi, detti anche corner point. La
discretizzazione del profilo è mostrata nella figura 5.20 nella pagina successiva. Due corner point consecutivi, Pi e Pi C1 , individuano un “pannello”, di estensione si . Si può
assumere che su ciascun pannello insista una pressione localmente costante. Il coefficiente di pressione può essere valutato nei nodi attraverso delle funzioni che interpolano i
valori sperimentali. Il coefficiente di pressione associato al generico pannello i -mo è, con
buona approssimazione, il valore medio tra i valori assunti nei nodi d’estremità, Cp .si / e
Cp .si C1 /.
L’azione delle pressioni sul pannello i -mo contribuisce alla forza aerodinamica totale
fA esercitata dal fluido sul profilo attraverso il termine
fA;i D
q1
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
1
Cpi C CpiC1 si ni
2
.i D 1; : : : ; nc
1/
(5.5)
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
di un profilo NACA 4415. La scala delle ordinate è simile a quella della curva del C` poiché,
tipicamente, la variazione di questi due coefficienti con ˛ viene mostrata nello stesso grafico. Si
evidenzia una forma appiattita delle curve di tendenza ai piccoli e medi angoli d’attacco.
20
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
nj D . sin j ; cos j /
zN D z=c
Pj C1
Pj
k1
sj
Pnc;l
j D atan2 zNj C1
zNj ; xNj C1
xNj
sj
Pnc P1
˛
i1
Pi C1
pannello i -mo,
corners .Pi ; Pi C1 /
(a) geometria
zN D z=c
q1 21
Cpj C Cpj C1 sj
k1
Pj
Pnc;l
˛
2
i1
Pi
ni
.
i /
˛
Pi
P1
i .< 0/
ni D . sin i ; cos i /
C j
2
nj
i1
Pj C1
˛
˛
j .< 0/
Pnc P1
P1
i1
q1 21 Cpi C Cpi C1 si
xN D x=c
xN D x=c
i
(b) pressioni
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
Figura 5.20 Discretizzazione della geometria di un profilo.
Nella (5.5) compaiono: la pressione dinamica asintotica q1 D 12 1 V12 ed il versore ni
normale al generico pannello, di componenti . sin i ; cos i /. L’intero nc è il numero
di corner point ed nc 1 è il numero di pannelli. Il segno meno nella (5.5) è dovuto
al fatto che le pressioni di valore superiore alla pressione statica asintotica p1 agiscono
sempre nella direzione contraria al verso convenzionale della normale al panello. Per un
valore negativo del Cp , cioè in una zona di espansione, il fluido esercita un’azione locale
di aspirazione sul pannello, diretta nel verso positivo della normale n.
Proiettando la (5.5) nelle direzioni, i1 e k1 , della corrente asintotica e della normale
ad essa, e dividendo per qN 1 c si ottengono le funzioni integrande delle formule (5.2)(5.3). Se si moltiplica la (5.5) per la distanza tra la retta d’azione della normale ni dal
polo .c=4; 0/ e si divide per qN 1 c 2 si ottiene la funzione integranda della formula del
momento (5.4).
A titolo di esercizio, viene riportato un esempio di calcolo con Matlab dei coefficienti
aerodinamici a partire dalle distribuzioni sperimentali del coefficiente di pressione. Nel
programma denominato prepare_data_n4415 vengono preparati i dati necessari operazioni di integrazione numerica dei valori discreti del Cp sperimentale. Nel programma
denominato integrate_data_n4415 vengono calcolati i coefficienti aerodinamici del
profilo nelle condizioni di funzionamento agli angoli d’attacco: ˛1 D 4°, ˛2 D 2° ed
˛3 D 8°.
D. P. Coiro, A. De Marco
5.4 Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici con Matlab
21
Listato 5.1 Lo script Matlab prepare_data_n4415.m, che prepara i dati relativi al profilo
NACA 4415 per le successive operazioni di calcolo dei coefficienti aerodinamici.
clear all; close all; clc
load ’airfoil_geometry.mat’
% geometria
load ’x_mCp_n4415_exp.mat’
% Cp superficiali sperimentali
load ’alpha_Cd_Cl_exp_n4415.mat’ % curve di Cd e Cl sperimentali
% vettore delle xc e delle zc (corners)
% NB: i nodi originali generati da JavaFoil
%
sono orientati nel senso:
%
TE -> dorso -> LE -> ventre -> TE
% con flipud si ha il ribaltamento dei vettori
vxc = flipud(xz_n4415(:,1));
vzc = flipud(xz_n4415(:,2));
% numero di nodi
nc = length(vxc);
% indice del LE
for i=2:nc
if (vxc(i) == 0) && (vzc(i) == 0)
nc_l = i;
break
end
end
% ascisse curvilinee (adimensionali, s/c)
vsc = zeros(nc,1);
for i=2:nc
vsc(i) = vsc(i-1) ...
+ sqrt((vxc(i)-vxc(i-1))^2+(vzc(i)-vzc(i-1))^2);
end
% pendenze locali (nc-1), p="panel"
vthtp = zeros(nc-1,1);
for i=1:nc-1
vthtp(i) = atan2(vzc(i+1)-vzc(i),vxc(i+1)-vxc(i));
end
vsp
cnp
ctp
for
= zeros(nc-1,1);
= {};
= {};
i=1:nc-1
vsp(i) = vsc(i) + 0.5*(vsc(i+1)-vsc(i));
cnp(i) = {[-sin(vthtp(i)); cos(vthtp(i))]};
ctp(i) = {[ cos(vthtp(i)); sin(vthtp(i))]};
cnc = {};
cnc(1) = {cell2mat(cnp(1))};
ctc(1) = {cell2mat(ctp(1))};
for i=2:nc-1
a = cell2mat(cnp(i-1));
b = cell2mat(cnp(i));
cnc(i) = {0.5*(a+b)};
a1 = cell2mat(ctp(i-1));
b1 = cell2mat(ctp(i));
ctc(i) = {0.5*(a1+b1)};
end
cnc(nc) = {cell2mat(cnp(nc-1))};
ctc(nc) = {cell2mat(ctp(nc-1))};
%-----------------------------------------------------------------------% dati sperimentali
%-----------------------------------------------------------------------% alpha = -4 deg
% flip the upper and lower surface
% to revert JavaFoil convention
x_mCp_l_alpha_m4_00 = flipud(x_mCp_l_alpha_m4_00);
xAl
xcl
zcl
scl
zAl
nAl
sAl
sAl
=
=
=
=
=
=
=
=
flipud(x_mCp_l_alpha_m4_00(:,1));
flipud(vxc(1:nc_l));
flipud(vzc(1:nc_l));
flipud(vsc(1:nc_l));
interp1(xcl,zcl,xAl);
length(xAl);
zeros(nAl,1);
interp1(xcl,scl,xAl);
xAu
xcu
zcu
zAu
=
=
=
=
x_mCp_u_alpha_m4_00(:,1);
vxc(nc_l:nc);
vzc(nc_l:nc);
interp1(xcu,zcu,xAu);
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
end
22
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
scu
nAu
sAu
sAu
=
=
=
=
vsc(nc_l:nc);
length(xAu);
zeros(nAu,1);
interp1(xcu,scu,xAu);
x_z_s_Cp_alpha_m4_00 = [ ...
flipud(xAl), flipud(zAl) flipud(sAl), -x_mCp_l_alpha_m4_00(:,2) ; ...
xAu,
zAu,
sAu,
-x_mCp_u_alpha_m4_00(:,2) ];
sA = x_z_s_Cp_alpha_m4_00(:,3);
CpA = x_z_s_Cp_alpha_m4_00(:,4);
vCpc_alpha_m4_00 = interp1(sA,CpA,vsc); % ,’spline’
% alpha = 2.0 deg
% ...
x_z_s_Cp_alpha_2_00 = [ ...
flipud(xAl), flipud(zAl) flipud(sAl), -x_mCp_l_alpha_2_00(:,2) ; ...
xAu,
zAu,
sAu,
-x_mCp_u_alpha_2_00(:,2) ];
sA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,3);
CpA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,4);
vCpc_alpha_2_00 = interp1(sA,CpA,vsc); % ,’spline’
% alpha = 8.0 deg
% ...
x_z_s_Cp_alpha_8_00 = [ ...
flipud(xAl), flipud(zAl) flipud(sAl), -x_mCp_l_alpha_8_00(:,2) ; ...
xAu,
zAu,
sAu,
-x_mCp_u_alpha_8_00(:,2) ];
sA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,3);
CpA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,4);
vCpc_alpha_8_00 = interp1(sA,CpA,vsc); % ,’spline’
%------------------------------------------------------------save ’n4415_data.mat’ ...
nc nc_l ...
vxc vzc vsc vsp vthtp ...
cnp ctp cnc ctc ...
x_z_s_Cp_alpha_m4_00 ...
vCpc_alpha_m4_00 vCpc_alpha_2_00 vCpc_alpha_8_00
%-------------------------------------------------------------
Listato 5.2 Lo script Matlab integrate_data_n4415.m, che carica i dati relativi al profilo
NACA 4415 e calcola i coefficienti Cd , C` e Cmc=4 per tre diverse condizioni operative.
% chiama uno script di preparazione dei dati
prepare_data_n4415
clear all; close all; clc
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
load ’n4415_data.mat’
% dati del profilo
load ’alpha_Cd_Cl_exp_n4415.mat’ % curve di Cd e Cl sperimentali
Mach = 0.3;
beta = sqrt(1-Mach.^2);
% versori del flusso asintotico
alpha_A = convang(-4.00,’deg’,’rad’);
alpha_B = convang( 2.00,’deg’,’rad’);
alpha_C = convang( 8.00,’deg’,’rad’);
vi0_A = [ cos(alpha_A); sin(alpha_A)];
vk0_A = [-sin(alpha_A); cos(alpha_A)];
vi0_B = [ cos(alpha_B); sin(alpha_B)];
vk0_B = [-sin(alpha_B); cos(alpha_B)];
vi0_C = [ cos(alpha_C); sin(alpha_C)];
vk0_C = [-sin(alpha_C); cos(alpha_C)];
% integrale di linea, alpha = -4 deg
vCpc_A = vCpc_alpha_m4_00;
nc
= length(vxc);
vDCl
= zeros(nc,1);
vDCd
= zeros(nc,1);
vDCmc4 = zeros(nc,1);
vd1
= zeros(nc,1);
vd2
= zeros(nc,1);
% costruisce i termini delle funzioni integrande
for i=1:nc
vDCl(i)
= - vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),vk0_A);
vDCd(i)
= - vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),vi0_A);
vd1(i)
= vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),[0,1]) * (vxc(i)-0.25);
vd2(i)
= vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),[1,0]) * vzc(i);
vDCmc4(i) = vd1(i) - vd2(i);
end
D. P. Coiro, A. De Marco
5.4 Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici con Matlab
23
% integrale numerico con la regola dei trapezi
Cl_A
= trapz(vsc,vDCl).*beta
Cd_A
= trapz(vsc,vDCd).*beta
Cmc4_A = trapz(vsc,vDCmc4).*beta
% integrale di linea, alpha = 2 deg
% ...
% integrale di linea, alpha = 8 deg
% ...
figure(1)
subplot(3,1,1)
plot( ...
alpha_Cl_exp_n4415(:,1),alpha_Cl_exp_n4415(:,2), ’o-’, ...
rad2deg([alpha_A alpha_B alpha_C]),[Cl_A Cl_B Cl_C],’*’, ...
valpha_Re_1e6,vCl_Re_1e6)
title(’NACA 4415’)
xlabel(’alpha (deg)’);
ylabel(’Cl’,’Rotation’,90);
subplot(3,1,2)
plot( ...
alpha_Cd_exp_n4415(:,1),alpha_Cd_exp_n4415(:,2), ’o-’, ...
rad2deg([alpha_A alpha_B alpha_C]),[Cd_A Cd_B Cd_C],’*’, ...
valpha_Re_1e6,vCd_Re_1e6)
title(’NACA 4415’)
xlabel(’alpha (deg)’);
ylabel(’Cd’,’Rotation’,90);
subplot(3,1,3)
plot( ...
alpha_Cmc4_exp_n4415(:,1),alpha_Cmc4_exp_n4415(:,2), ’o-’, ...
rad2deg([alpha_A alpha_B alpha_C]),[Cmc4_A Cmc4_B Cmc4_C],’*’, ...
valpha_Re_1e6,vCmc4_Re_1e6)
title(’NACA 4415’)
xlabel(’alpha (deg)’);
ylabel(’Cm_{c/4}’,’Rotation’,90);
Per quanto riguarda il coefficiente di resistenza, esso assume valori tipicamente di
uno o due ordini di grandezza inferiori rispetto agli altri coefficienti. Essendo il Cd di un
profilo determinato dall’azione combinata delle pressioni e degli sforzi d’attrito, il coefficiente di resistenza misurato in galleria del vento è sensibile: (i) al particolare numero
di Reynolds della corrente, (ii) alla rugosità superficiale del modello e (iii) agli eventuali
accorgimenti adottati dagli sperimentatori per condizionare la transizione al regime turbolento. La misura sperimentale della resistenza potrebbe essere effettuata se si potessero
misurare con soddisfacente accuratezza gli sforzi tangenziali esercitati dal fluido sulla
superficie del profilo. Anche se ciò sembra essere possibile con moderne tecniche che
impiegano vernici speciali da cospargere sui modelli, la tecnica di valutazione preferita
del Cd di un profilo in galleria del vento è ancora quella che si affida alla misura delle
perdite di quantità di moto nella scia. Alcuni procedimenti di misura dei coefficienti aerodinamici di un profilo sono illustrati nel rapporto tecnico di Selig e McGranahan [5.5].
Questi argomenti sono ampiamente trattati nei corsi di Aerodinamica sperimentale.
Da queste considerazioni si capisce che non ha senso mostrare i valori del Cd ottenuti
per integrazione della distribuzione superficiale del coefficiente di pressione accanto alla
curva sperimentale di resistenza della figura 5.18, poiché essi sono inaccurati.
Dispense di Manovre e Stabilità Statica
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
Lanciando i due programmi sopra riportati si otterranno i punti mostrati nei grafici
delle figure 5.17, 5.18 e 5.19 contrassegnati dalla voce “integrale del Cp sperimentale”.
Nei diagrammi in cui si hanno le curve sperimentali del C` e del Cmc=4 in funzione di
˛, ottenute attraverso misure di forza e momento sul modello di profilo (si veda la figura 5.16), si osserva una buona accuratezza dei valori di questi stessi coefficienti calcolati
sulla base delle distribuzioni sperimentali del Cp . Ciò fa comprendere che la distribuzione
delle pressioni sulla superficie dei profili alari è quella che incide maggiormente sui valori
del coefficiente di portanza e di momento di beccheggio.
24
Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo
Bibliografia
[5.1] M. Hepperle, Applet JavaFoil (2006), sito internet:
http://www.mh-aerotools.de/
airfoils/javafoil.htm
[5.2] A. Deperrois, XFLR5, Airfoil and Wing Analysis Tool (2008), sito internet:
http:
//xflr5.sourceforge.net
[5.3] M. Drela, H. Youngren, XFoil, Subsonic Airfoil Development System (2008), sito
internet: http://web.mit.edu/drela/Public/web/xfoil/
[5.4] I. H. Abbott, A. E. von Doenhoff, Theory of Airfoil Sections. Dover, 1959.
[5.5] M. S. Selig, B. D. McGranahan, “Wind Tunnel Aerodynamic Tests of Six Airfoils
for Use on Small Wind Turbines”. National Renewable Energy Laboratory Report,
NREL/SR-500-34515, Golden, Colorado, USA, 2003 (Available electronically at
http://www.osti.gov/bridge).
[5.6] A. W. Carter, “Pressure distributions on a wing having NACA 4415 airfoil sections with trailing-edge flaps set at 0 deg and 40 deg”. NASA-TM-X-2225, NASA
Langley Research Center, 1971.
DRAFT 2008 Copyright © A. De Marco, D. P. Coiro
[5.7] D. J. Graham, G. E. Nitzberg, R. N. Olson, “A systematic investigation of pressure distributions at high speeds over five representative NACA low-drag and
conventional airfoil sections”. NACA-TR-832, NASA Ames Research Center,
1945.
D. P. Coiro, A. De Marco