Ricerca azione promossa dall'OPPI
“Metodi per lo studio dei frattali”
alunni della classe IIB a.s 2004-2005
I.C. “G.Rodari” Baranzate (MI)
Insegnante Susanna Abbati
• in natura esistono forme irregolari, che non possono essere studiate
con la geometria euclidea nasce così la geometria frattale
• scienza che si occupa dei frattali ossia di figure geometriche che si
ripetono sino all’infinito su scala sempre più ridotta.
• è stato Mandelbrot matematico francese a creare nel 1975 il termine
frattale dal latino fractus (irregolare frastagliato)
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caratteristiche
• sono autosimili il piccolo riproduce il grande
• si ottengono per iterazione
• hanno dimensione frazionaria
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Con il software Cabrì II plus abbiamo costruito i seguenti
frattali
• Triangolo di Sierpinski
• Albero di Pitagora
• Curva o merletto di Kock
• Fiocco di neve
Abbiamo calcolato la dimensione frattale con Excel
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• prende nome dal matematico polacco Waclaw Sierpinski che
ne ha studiato la costruzione attorno al 1915
• uno dei primi oggetti frattali della storia della matematica
•caratteristica fondamentale delle figure frattali è
l'autosimilarità
• la figura si ottiene rimuovendo sempre il triangolo centrale
• ogni triangolino che si ottiene ad un dato passo della
costruzione è rimpicciolito di un fattore omotetico 2, rispetto
triangolo al passo precedente
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PERIMETRO TRIANGOLO SIERPINSKI
passo
figura
N triangoli
misura lato
perimetro
0
1= 30
1
3x1=3
1
3= 31
1/2=
2
9= 32
3
n
3x3x1/2= 32 /2
32 /2x1/3 =
3/2
1/4 = 1/22
32x3x1/4= 33 /22
33 /22x2/32=
3/2
27= 33
1/8 = 1/23
33x3x1/8= 34/23
34/23 x 22 /33 =
3/2
3n
1/2n
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rapporto perimetro
rispetto al precedente
1/2
3nx3x1/2n= 3n+1x1/2n
3/2
AREA TRIANGOLO SIERPINSKI
passo
figura
Rapporto area rispetto
alla precedente
0
1
1
3/4
2
9/16 = 32 /42
32 /42 x4/3=
3
27/64= 33 /43
33 /43 x42/32= 3/4
n
3n /4n
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Area
3/4
3/4
3/4
CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO
Ad
•
•
•
•
ogni passo
il numero dei triangoli triplica
la misura dei lati dimezza
il perimetro aumenta secondo un fattore costante 3/2
l’area diminuisce secondo un fattore costante 3/4
CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
• perimetro infinito
• area nulla
• dimensione frattale 1,585 (calcolata con Excel)
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passo
figura
N quadrati
misura lato
perimetro
0
2=2
1
2x4x1
1
4=22
1/1,414
4x4 1/1,414
2
8=23
1/2
8x4x1/2
Rapporto
perimetro rispetto
al precedente
1,414=
2
2
n
…=2n+1
2
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Poiché il triangolo rettangolo isoscele è la
metà di un quadrato, di cui l’ ipotenusa ne è
la diagonale, per calcolare il lato dei
quadrati, che a ogni iterazione diventano
diagonale, abbiamo applicato la formula
l=d/1,414 avendo posto uguale a 1 il lato del
primo quadrato costruito sui cateti
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passo
figura
0
Area
2
2
1
2
2
n
2
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L’area non cambia perché a ogni
passo, secondo il teorema di
Pitagora, sommando l’ area dei
quadrati sui cateti del triangolo
rettangolo isoscele si ottiene l’area
del quadrato sull’ ipotenusa.
CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO
Ad
•
•
•
ogni passo
il numero dei quadrati raddoppia
il perimetro aumenta secondo un fattore costante 1,414
l’area resta costante
CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
• perimetro infinito
• area costante
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ALBERO DI PITAGORA CON ANGOLI DI 30° e 60°
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MERLETTO DI KOCK
Il nome deriva dal matematico svedese Helge Von Koch che nel 1904 studiò tale curva
COSTRUZIONE
• dividere in tre parti uguali il segmento
• eliminare il segmento centrale costruendo
su di esso un triangolo equilatero
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PERIMETRO TRIANGOLO MERLETTO DI KOCK
passo
figura
N lati
misura lato
perimetro
0
1
1
3
1
4=22
1/3
4x1/3
4/3
2
16=24
1/32
16x1/32
4/3
n
…=22n
1/3n
22n x1/3n 4/3
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Rapporto perimetro
rispetto al precedente
CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO
Ad ogni passo
• il numero dei lati quadruplica
• la misura dei lati diventa 1/3 della misura del lato precedente
• il perimetro aumenta secondo un fattore costante 4/3
Dimensione frattale log4/log3=1,262
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PERIMETRO FIOCCO DI NEVE
passo
figura
N lati
misura lato
perimetro
0
3
1
3
1
12=22x3
1/3
12 x1/3
4/3
2
48=24x3
1/32
48x1/32
4/3
n
…=22nx3
1/3n
22nx3 x1/3n
4/3
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Rapporto
perimetro rispetto
al precedente
CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO
Il fiocco di neve si ottiene applicando al triangolo equilatero la
stessa iterazione del merletto di Kock quindi si mantengono le
stesse caratteristiche ma il
FIOCCO DI NEVE NON E’ AUTOSIMILE
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Rotazione del triangolo di Sierpinski
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Rotazione di 60°del triangolo di Sierpinski
con centro di rotazione su un vertice
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Anche noi abbiamo utilizzato la struttura ricorsiva per creare
con compasso china acquarelli matite colorate tavole da
disegno seguendo le indicazioni fornite dall’insegnante di
educazione artistica
• composizione con ritmo radiale uniforme alternato su
struttura circolare
• composizione paesaggio con cinque piani spaziali (minimo)
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Anche nel corpo umano si possono ritrovare strutture riconducibili ai frattali
arterie e vene coronariche
tipico esempio di frattali
applicati nello studio di
strutture fisiologiche.
Calco di bronchi
vasi sanguigni del cuore
presentano ramificazioni
di tipo frattale.
I neuroni hanno una
struttura simile ai
frattali
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SITOGRAFIA
http://www.galileimirandola.it
http://www.frattali.it
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