Geometria nello spazio
Prof. Antonio Di Muro
Punto, retta, piano
Vettori:
versori
y
y
u=3i+2j
x
j
x
v=3i4j
i
z
k
i
x
j
y
Prodotto scalare
u  v = u v cos . Ricordando che cos 90° = 0 e cos 0° = 1
v
v
uv =0
u
u
v
uv =uv
u
uv =uv
Se facciamo il prodotto scalare tra due versori allora otteniamo:
ij =0,jk =0,ki =0
ii =1,jj =1,kk =1
Se facciamo il prodotto scalare tra due vettori p.es. u = 3 i  4 j + k e v = 2 i + 3 j + 3 k
otteniamo:
u  v = 6 i  i + 9 i  j + 9 i  k  8 j  i  12 j  j  12 j  k + 2 k  i + 3 k  j + 3 k  k =  3
Prodotto vettoriale
c=uv
c = u v sen . Ricordando che sen 90° = 1 e sen 0° = 0
v
v
c=uv
u
u
c=0
Se facciamo il prodotto vettoriale tra due versori allora otteniamo:
i
ij =1,jk =1,ki =1 ,ji =1,kj =1,ik =1

ii =0,jj =0,kk =0
Esempio:
si ha
u=3i4j+k

+
e v=2i+3j +3k
u  v = 9 i  j + 9 i  k  8 j  i  12 j  k + 2 k  i + 3 k  j =
9 k  9 j + 8 k  12 i + 2 j  3 i =  15 i  7 j + 17 k.
j

k
Vettore parallelo ad una retta
a
B  ( x,  x )
b
ax  by  0
B
AC  x i
a
CB   x j
b
a
ux i x j
b
u
A
C  ( x,0 )
C
Tutti i vettori paralleli ad u vanno bene, il più semplice
b
lo si ottiene moltiplicando il vettore u per
x
Tale vettore che chiameremo di nuovo u ha espressione
u b i a j
Vettore perpendicolare ad una retta nel piano
y
u b i a j
vx iy j
Il prodotto scalare deve essere nullo
uv  0
v
e si ottiene: b x = a y cioè
u
x a

y b
x
una possibile conveniente soluzione è:
ax  by  0
x = a ed y = b
quindi
v  a i b j

Il vettore u parallelo alla retta si costruisce scambiando i coefficienti e
cambiandone uno di segno:
Retta
Vettore u

ax+by=0
=
bi  aj
Il vettore v perpendicolare alla retta si costruisce con i coefficienti
stessi:
Retta
Vettore v
ax+by=0
=
ai+bj
Analogamente, dato un vettore
w=ai+bj
la retta ad esso perpendicolare ha equazione
ax+by=0
Sistemi di coordinate nello spazio
Equazione della retta nello spazio

Equazione generale della retta come intersezione di due piani non paralleli:
 ax  by  cz  d  0

 a' x  b' y  c' z  d '  0

Equazione della retta in forma parametrica:
Il vettore u è parallelo alla retta r
Il vettore P  P0 deve essere parallelo ad u
P(x,y,z)
per cui P  P0 = t u
in componenti
u=li+mj+nk
P0(x0,y0,z0)
r
 x  x0  l t

 y  y0  m t
 z  z n t
0

l, m ed n sono i parametri direttori della retta

Equazione della retta nella forma ridotta:
t
ricavando il parametro t si ha

x  x0 y  y0 z  z0


l
m
n
Determinazione dei parametri direttori di una retta intersezione di due piani:
 : a x + b y + c z + d = 0 e  : a’ x + b’ y + c’ z + d’ = 0
r

v
u  vw
u
w

i
j
k
u  li  mj  nk  a b c  ( bc'  cb')i  ( ca'  ac') j  ( ab'  ba')k
a' b' c'
Posizione mutua di due rette e casi particolari

Due rette possono essere parallele, coincidenti, incidenti o sghembe.

Rette parallele agli assi coordinati:
 x  x0  t

per esempio asse x, vettore i l = 1 m = 0, n = 0 ha equazione  y  y0
 zz
 y  y0
0

o semplicemente 
essendo la x indeterminata.
 z  z0
L’asse x avrà equazione
y 0

z 0
 x  x0  a t

 Retta passante per P0 e perpendicolare al piano a x + b y + c z + d = 0  y  y0  b t
 z  z c t
0


Intersezione retta – piano:
si ricava il parametro t

Condizione di parallelismo retta – piano
u = l i + m j + n k e v = a i + b j + c k devono essere perpendicolari
Prodotto scalare nullo:
u
r
al+bm+cn=0
v

Occorrono altre due equazioni
per determinare la retta.

Condizione di perpendicolarità tra due rette
uv=0
l l’ + m m’ + n n’ = 0
u=li+mj+nk
v = l’ i + m’ j + n’ k
r
s
Altri problemi metrici fondamentali

Distanza tra due punti:
teorema di Pitagora generalizzato
d  ( x0  x1 )2  ( y0  y1 )2  ( z0  z1 )2

Distanza punto – piano:
La distanza h è la proiezione del vettore PP0 su v
quindi
h
P0
h  PP0  vˆ
( x0  x )a  ( y0  y )b  ( z0  z )c
h
v
a 2  b2  c2
Osservando che d =  a x  b y  c z si ha
h
ax0  by0  cz0  d
a 2  b2  c2
A

P
: ax+by+cz+d=0

Distanza punto – retta:
Il vettore u = l i + m j + n k
rappresenta la retta r, costruiamo il piano 
perpendicolare ad r per P0
P0
h
r
: lx+my+nz+d=0
A
P0
u
A lo troviamo come
h
intersezione di  con r
A
quindi si ricava h.
r

Esempio:
x  2  t

r : y 1
 z t

P0 ( 1 , 2 ,  1 )
generico piano perpendicolare ad r.
Imponiamo il passaggio per P0
: x+z=0
Intersezione con r:
2+t+t=0
A(1,1,1)
h=1
‘ : x + z + d = 0
t=1

Retta per due punti:
P1
u
u = l i + m j + n k = ( x2  x1 ) i  ( y2  y1 ) j  ( z2  z1 ) k
P2
 x  x1  ( x2  x1 ) t

 y  y1  ( y2  y1 ) t
 z  z ( z  z ) t
1
2
1


Distanza tra due piani paralleli:
Si considera un punto di un piano e si calcola la distanza di esso dall’altro piano.
 Angolo tra due rette:
Considerati i vettori u e v paralleli alle rette
cos  
uv

uv
ll'  mm'  nn'
l 2  m 2  n 2 l' 2  m' 2  n' 2
 Angolo retta – piano :
uv

cos  
 cos(   )  sen
uv
2
u
sen 
la  mb  nc
l m n
2
2
2
v
a b c
2
2
2


 Angolo tra due piani:
Angolo tra i vettori perpendicolari ai due piani
cos  
uv

uv
aa'  bb'  cc'
a 2  b 2  c 2 a' 2  b' 2  c' 2
 Tipi di solido:
• Poliedro convesso:
solido formato da più poligoni giacenti in piani diversi, ogni
piano lascia tutti gli altri dalla stessa parte ed ogni lato è in
comune col poligono adiacente.
• Prisma:
poliedro avente due facce parallele ed uguali, dette basi e le
altre facce tutte parallelogrammi.
• Piramide:
poliedro costituito da una parte di angoloide determinata da
un piano che interseca tutti gli spigoli dell’angoloide stesso.
Poliedri
Prismi
Cubi
Poliedri regolari
Piramidi
• Solidi di rotazione:
Tetraedri regolari
solidi che si ottengono con una rotazione di una figura
attorno ad una retta.
Misure dei prismi:
parallelepipedo rettangolo
cubo
d
d
l
c
b
a
Area di base A = a b
Area di base
A=l2
Volume
V=abc
Volume
V=l3
Superficie
S = 2 (a b + b c + a c)
Superficie
S=6l2
Diagonale
d l 3
Diagonale d 
a 2  b2  c 2
Teorema di Talete nello spazio
Teorema di Talete nel piano:
un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali
determina su di esse classi di segmenti
direttamente proporzionali
O
A
A’
B
p. es.
AB : AC = A’B’ : A’C’ dim. immediata con la
similitudine
In particolare
OA : OB = AA’ : BB’
C
mentre nessuna proporzionalità è
valida tra i lati di un trapezio p. es. AA’B’B
B’
C’
Proporzioni tra lunghezze ed aree:
I triangoli hanno i lati in proporzione infatti:
considerando le rette r ed s VA : VB = AE : BF
V
considerando le rette r ed t VA : VB = AC : BD
quindi AE : BF = AC : BD
analogamente per l’altro lato.
A
Quindi i triangoli ACE e BDF sono simili ed
anche le loro aree sono proporzionali.
C

E
B
In particolare moltiplicando le prime due
equivalenze si ha:
D

(VA : VB) 2 = (AE : BF) (AC : BD )
F
r
s
t
ovvero
AE AC sen
VA
AE AC
S
2



VB 2 BF BD BF BD sen S '
2
2
V
Si può ripetere il procedimento anche per altri
segmenti, da
VA2 S

VB 2 S '
si ha p. es.:
A

S
e
C
AE 2 S

2
BF
S'
E
B

ecc.
D
S’
F
r
VA AE

VB BF
s
t
Date due piramidi proporzionali, i quadrati di
due spigoli qualsiasi in proporzione stanno
alle aree di due facce qualsiasi in proporzione.
Proporzioni tra lunghezze e volumi:
Le altezze delle piramidi sono proporzionali ai
lati infatti:
V
considerando le rette r ed q
VA : VB = VH : VK
2
VA
S
moltiplicandola per

VB 2 S '
A
si ha:
C
H
VA3 V

3
VB
V'
E
B
D
K
e quindi anche i volumi sono proporzionali.
F
r
t
q
s
Date due piramidi proporzionali, i cubi di due spigoli qualsiasi in proporzione
stanno ai volumi delle piramidi corrispondenti.
Per una piramide qualsiasi
1
V  area base  altezza
Volume:
3
n
Sl   p hi
Superficie laterale:
i 1
Dove p è il semiperimetro di base ed h i le
altezze di ogni faccia.
n
Superficie:
h
a
S  area di base   p hi
i 1
Se la piramide è retta
Superficie laterale:
Sl  p a
dove a è l’apotema
r
Superficie:
inoltre
S  area di base  p a
a  h2  r 2
Sezionando una piramide qualsiasi con un
piano parallelo alla base vengono
determinate due piramidi simili.
Sono possibili tra le due piramidi le
proporzioni:
 tra segmenti corrispondenti
 tra i quadrati di segmenti corrispondenti
e le aree di base
 tra i cubi di segmenti corrispondenti e i
volumi
p. es.
VB BD

VA AC
VE 2 S '

2
VF
S
VH 3 V '

3
VK
V
Tronco di piramide retto
Superficie laterale:
r
A trapezio 
a
h
Sl 
Bmaggiore  Bminore
2
a
2 p  2 p'
a  ( p  p')a
2
dove p è il semiperimetro ed a l’apotema
R
Superficie:
S  B  b  Sl
D
Applicazione con i vettori:
B
C
La diagonale AB del cubo è
perpendicolare al triangolo CDE
Scelto un opportuno sistema di
coordinate e un cubo di spigolo
unitario, consideriamo il vettore u
perpendicolare al piano CDE , ed i
vettori a e b.
ab
A
E
z
è un vettore parallelo ad u
u
a= j+k ; b=i+k
ab  i  j  k
a
b
y
Tale vettore è parallelo ad AB c.v.d.
x