Università degli Studi di Bologna
Scuola di Ingegneria e Architettura
Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA
Sede di Forlı̀
MECCANICA E DINAMICA
DELLE MACCHINE LM
– Parte I –
prof. Alessandro Rivola
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola
http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola
https://campus.unibo.it
Indice
0 Richiami di Cinematica
0.1 Macchina, Meccanismo, Membro . . . . . . . . . . .
0.2 Gradi di libertà e Coppie cinematiche . . . . . . . .
0.3 Catena cinematica, Meccanismo, Sistema Articolato
0.4 Gradi di libertà di un meccanismo . . . . . . . . . .
0.5 Cinematica del corpo rigido nel piano . . . . . . . .
0.5.1 Posizione e velocità . . . . . . . . . . . . . .
0.5.2 Centro di istantanea rotazione . . . . . . . .
0.5.3 Accelerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5.4 Teorema di Kennedy-Aronhold . . . . . . .
0.5.5 Traiettoria e centro di curvatura . . . . . . .
0.5.6 Profili coniugati . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5.7 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.6 Analisi cinematica di sistemi articolati piani . . . .
0.6.1 Esempio: il quadrilatero articolato . . . . .
0.6.1.1 Analisi di posizione . . . . . . . . .
0.6.1.2 Analisi di velocità e accelerazione .
Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Sistemi Articolati
1.1 Analisi cinematica con approccio modulare
1.1.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Approccio modulare . . . . . . . .
1.1.3 Gruppi di Assur . . . . . . . . . . .
1.1.4 Gruppi di Assur a tre membri . . .
1.1.5 La Diade (RRR) . . . . . . . . . .
1.1.6 Il gruppo RRP . . . . . . . . . . .
1.1.7 Il gruppo RPR . . . . . . . . . . .
1.1.8 Il gruppo PPR . . . . . . . . . . .
1.1.9 Il gruppo RPP . . . . . . . . . . .
1.2 Sintesi cinematica . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Il quadrilatero articolato . . . . . .
1
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28
2
INDICE
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.2.8
Riferimenti
Sintesi cinematica di un QA manovella–bilanciere . . . . . . . . .
Sintesi cinematica di un QA bilanciere–bilanciere . . . . . . . . .
Generazione di Movimenti–Sintesi grafica . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.1 Segmento di biella per due posizioni . . . . . . . . . . .
1.2.4.2 Segmento di biella per tre posizioni . . . . . . . . . . . .
Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tracciamento delle traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.2 Traiettoria a partire dalle polari . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.3 Formula di Eulero–Savary . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.4 La circonferenza dei flessi . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.6 Impiego di atlanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.7 Teorema di Roberts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.8 Guide rettilinee esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.9 Guide rettilineee approssimate . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6.10 Meccanismi per moto traslatorio . . . . . . . . . . . . .
Generazione di Traiettorie–Sintesi grafica . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7.1 Tre posizioni imposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sintesi cinematica mediante metodi analitici . . . . . . . . . . . .
1.2.8.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8.2 La diade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8.3 Sintesi di un QA per la generazione di movimenti . . . .
1.2.8.4 Sintesi di un QA per la generazione di traiettorie in tempi
stabiliti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8.5 Sintesi di un QA per la generazione di funzioni . . . . .
1.2.8.6 Tecnica del loop chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8.7 Order synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Meccanismi con Camme
2.1 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Meccanismi con camme piane . . . . . .
2.1.2 Meccanismi con camme spaziali . . . . .
2.1.3 Accoppiamenti di forza . . . . . . . . . .
2.1.4 Accoppiamenti di forma . . . . . . . . .
2.2 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Meccanismi cinematicamente equivalenti
2.4 Sintesi cinematica con metodo grafico . . . . . .
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INDICE
3
2.5
Sintesi cinematica con metodi analitici . . . . . . . . . . .
2.5.1 Camma con punteria a coltello centrata . . . . . . .
2.5.1.1 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.2 Raggio di curvatura e angolo di pressione
2.5.1.3 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . .
2.5.2 Camma con punteria centrata a rotella . . . . . . .
2.5.2.1 Profilo primitivo e profilo camma . . . . .
2.5.2.2 Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . .
2.5.2.3 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . .
2.5.3 Camma con punteria a piattello centrata . . . . . .
2.5.3.1 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3.2 Dimensionamento del piattello . . . . . .
2.5.3.3 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . .
2.5.3.4 Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Meccanismo camma-bilanciere con rotella . . . . . .
2.5.4.1 Profilo primitivo . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4.2 Angolo di pressione . . . . . . . . . . . . .
2.5.4.3 Profilo camma . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4.4 Traiettoria del centro fresa . . . . . . . . .
2.5.4.5 Raggio di curvatura . . . . . . . . . . . .
2.6 Fenomeno del sottotaglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Convenzione sui segni dei raggi di curvatura . . . .
2.7 Sintesi analitica con il metodo dell’inviluppo . . . . . . . .
2.7.1 Inviluppo di una famiglia di curve . . . . . . . . . .
2.7.1.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Determinazione delle coordinate del profilo camma
2.7.2.1 Camma con punteria a piattello centrata .
2.7.2.2 Camma con punteria centrata a rotella . .
2.8 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ruote Dentate
3.1 Raggio primitivo e raggio base . . . .
3.2 Rapporto di trasmissione . . . . . . .
3.3 Passo base, passo e modulo . . . . .
3.4 Proporzionamento della dentatura . .
3.4.1 Dentiera normalizzata . . . .
3.4.2 Ruote normali e ruote corrette
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4
INDICE
3.5
Taglio delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Macchine dentatrici . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Segmento d’azione e arco d’azione . . . . . . . . . . . . .
3.7 Fattore di ricoprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Calcolo del numero minimo di denti . . . . . . . .
3.8.2 Interferenza tra pignone e dentiera . . . . . . . .
3.9 Spessore della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Funzione evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Spessore della dentatura . . . . . . . . . . . . . .
3.9.3 Misura Wildhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Correzione della dentatura . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Dentatura normale . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2 Dentatura corretta . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.3 Interasse di riferimento e di lavoro . . . . . . . . .
3.10.4 Correzione e interasse . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.4.1 Correzione senza variazione di interasse
3.10.4.2 Correzione con variazione di interasse . .
Riferimenti Bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Capitolo 0
Richiami di Cinematica
0.1
Macchina, Meccanismo, Membro
Una macchina è un sistema di organi disposti in modo tale da compiere, muovendosi sotto
l’azione di forza opportunamente applicate, lavoro di interesse industriale. In sostanza,
una macchina ha il compito di trasformare una energia di un certo tipo, in essa entrante,
in energia da essa uscente, in generale di tipo di verso: ad esempio di trasformare energia
meccanica in altre forme di energia (come avviene nelle macchine operatrici o generatrici),
oppure di trasformare in energia meccanica energia di tipo generalmente diverso (come
nelle macchine motrici), oppure anche di trasformare energia meccanica in energia meccanica, variandone i fattori (come avviene ad esempio nei riduttori di velocità).
Si può dunque dire che una macchina ha la duplice finzione di trasmettere movimento e
di trasmettere azioni (forze e/o coppie).
Un determinato sistema meccanico viene denominato meccanismo, anziché macchina,
quando lo si considera dal punto di vista del movimento, più che da quello delle azioni in
gioco e della trasformazione o trasmissione di energia. Pertanto, la nozione di meccanismo non è connessa a quella di lavoro, a differenza della nozione di macchina che è per
definizione sede di un flusso di energia.
Gli organi che compongono una macchina o un meccanismo si dicono membri. Un
membro può essere costituito, per ragioni costruttive, da più pezzi resi solidali tra loro,
purché si comportino come un sol pezzo dal punto di vista funzionale.
0.2
Gradi di libertà e Coppie cinematiche
Come noto, se consideriamo un corpo rigido nello spazio, la sua postura può essere individuata attraverso tre variabili di posizione e tre variabili d’orientamento. Diciamo allora
che il corpo rigido possiede sei gradi di libertà (gdl), pari al numero di variabili indipendenti (tre di posizione e tre di orientamento) necessarie a definirne la postura rispetto ad
un riferimento fisso.
Due membri a contatto tra loro si toccano su due porzioni della loro superficie, ciascuna
denominata elemento cinematico. L’insieme di sue elementi cinematici a contatto tra loro
costituisce una coppia cinematica (o giunto).
Presi due corpi rigidi A e B in movimento uno rispetto all’altro, si dice che B è
5
6
CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA
vincolato ad A se è collegato ad esso mediante una coppia cinematica (o giunto) che ne
impedisca alcuni movimenti relativi consentendone altri. In questo caso, solo l variabili
di configurazione sono libere, le altre v essendo fissate (vale ovviamente l + v = 6): l e v
sono rispettivamente il numero di gdl e di vincolo della coppia cinematica.
Le seguenti figure mostrano schemi di soluzioni adottate per realizzare coppie cinematiche ad un gdl: la coppia rotoidale (Figura 1), la coppia prismatica (Figura 2), la coppia
elicoidale (Figura 3). Tutte e tre sono costituite da elementi cinematici rigidi che vengono
a contatto tra loro tra superfici non nulle, ossia da elementi cinematici combacianti. Le
coppie rigide e combacianti sono dette coppie elementari.
Figura 1: Coppia rotoidale
Figura 2: Coppia prismatica
Figura 3: Coppia elicoidale
Oltre alle coppie elementari, esistono le coppie superiori che possono essere rigide ma
non combacianti, o combacianti ma non rigide come, rispettivamente, nel meccanismo a
0.2. GRADI DI LIBERTÀ E COPPIE CINEMATICHE
7
Movimenti permessi
Gradi di
libertà
uno
due
tre
quattro
cinque
Categoria
della coppia
Denominazione
della coppia
uno
C1
R (elementare)
P (elementare)
E (elementare)
C2
RT
C (elementare)
CS
R
due
uno
uno
uno
S (elementare)
SA
SL
PP (elementare)
tre
due
due
uno
SC
SE
CC
tre
tre
due
uno
C4
C5
S5
tre
due
C3
rotazioni
traslazioni
moti
elicoidali
uno
uno
Descrizione della
coppia
Rotoidale
Prismatica
Elicoidale
Cilindrica
uno
uno
uno
Sferica
uno
uno
due
Piano su piano
uno
due
Tabella 1: Coppie cinematiche
camma (coppia tra i membri 1 e 2) e nella trasmissione a cinghia (coppie tra i membri 1
e 2 e tra i membri 2 e 3) della Figura 4.
Figura 4: Meccanismi con coppie superiori
Le coppie cinematiche più comuni sono elencate nella Tabella 1, in cui sono indicate
le possibilità di movimento permesse da ciascuna coppia. Tutte le coppie elencate sono
rigide. Le uniche coppie elementari sono le R, P, E, C, S, PP .
8
0.3
CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA
Catena cinematica, Meccanismo, Sistema Articolato
In un meccanismo esiste sempre un membro fisso, a cui si dà il nome di telaio. Se nessuno
dei membri di un dispositivo meccanico sia a priori da considerare fisso, si dà al dispositivo
il nome di catena cinematica. Un catena cinematica diviene un meccanismo quando un suo
membro funge da telaio. Da una catena cinematica si possono ottenere tanti meccanismi
quanti sono i membri ma di norma non tutti i meccanismi sono strutturalmente diversi fra
loro. La diversità va infatti valutata sulla base del numero e del tipo di elementi cinematici
di ciascun membro, in relazione alla posizione che questo occupa nel meccanismo (vedi
Figura 5).
Figura 5: Catena cinematica di Stephenson e meccanismi da essa ottenibili
Un meccanismo in cui sono presenti solo coppie elementari si dice sistema articolato. Tipici esempi di sistemi articolati sono il manovellismo di spinta (Figura 6a) ed il
quadrilatero articolato (Figura 6b).
Figura 6: Sistemi articolati
0.4. GRADI DI LIBERTÀ DI UN MECCANISMO
0.4
9
Gradi di libertà di un meccanismo
Si consideri un meccanismo costituito da m membri (di cui uno, il telaio, fisso) e c coppie
cinematiche. Se i membri non fossero vincolati l’uno all’altro, il numero di gdl, ossia il
numero di variabili di posizione e orientamento da poter fissare liberamente in modo da
determinare la configurazione complessiva, sarebbe 6(m − 1). Poiché ogni giunto elimina
vi gdl, i gdl del meccanismo risultano invece:
l = 6 (m − 1) −
c
∑
vi = 6 (m − 1) − 5C1 − 4C2 − 3C3 − 2C4 − C5
(1)
i=1
Evidentemente, l è anche il numero di variabili di configurazione da attuare, mediante
motori o altri meccanismi. La (1) è nota come formula di Grübler.
Per meccanismi piani, occorre ricordare che i membri posseggono solo tre gdl: due di
traslazione paralleli al piano del moto ed uno di rotazione ortogonale ad esso. La formula
di Grübler diventa perciò:
l = 3 (m − 1) −
c
∑
vi = 3 (m − 1) − 2C1 − C2
i=1
!  MECCANISMO PIANO
l = 3(m − 1) − 2 C1 − C2
!  MECCANISMO SPAZIALE
l = 6(m − 1) − 5 C1 − 4 C2 − 3 C3 − 2 C4 − C5
Figura 7: Calcolo dei gradi di libertà di un meccanismo
(2)
10
0.5
0.5.1
CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA
Cinematica del corpo rigido nel piano
Posizione e velocità
La posizione di un corpo rigido (CR) nel piano può essere definita tramite la posizione
di un punto A e l’orientamento θ di un suo segmento AB (vedi Figura 8a). Infatti, la
posizione di un altro generico punto B del corpo risulta essere:
B = xB + i yB = xA + i yA + |AB| eiθ
(3)
Derivando la (3) si ottiene la velocità del punto B (Figura 8b):
π
vB = vA + i θ̇|AB| eiθ = vA + θ̇|AB| ei(θ+ 2 )
(4)
Si è cioè ottenuto il Teorema di Rivals per le velocità dei punti di un CR:
vB = vA + vBA = vA + ω
⃗ ∧ (B − A)
ω
⃗ = θ̇⃗k
(a)
(5)
(b)
Figura 8: Corpo rigido nel piano: posizione e velocità
0.5.2
Centro di istantanea rotazione
Il centro di istantanea rotazione di un CR è quel particolare punto C del corpo per cui
vale:
vC = vA + ω
⃗ ∧ (C − A) = 0
(6)
⃗ , si ottiene la posizione di C:
Pre-moltiplicando vettorialmente la (6) per il vettore ω
ω
⃗ ∧ vC = ω
⃗ ∧ (vA + ω
⃗ ∧ (C − A)) = 0
(C − A) =
ω
⃗ ∧ vA
ω2
Il punto C ha istantaneamente velocità nulla. In altre parole, l’atto di moto del CR è
in definitiva un atto di moto rotatorio attorno ad un particolare punto, il centro C (che
può anche non fare parte fisicamente del CR), ed è caratterizzato dal vettore velocità
angolare ω
⃗ , che ne definisce il moto d’insieme.
0.5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO
11
Poiché la velocità di un punto qualunqe del CR è diretta ortogonalmente alla congiungente il punto in questione con C (vedi Figura 9a), ne consegue che il centro di istantanea
rotazione si trova sulla congiungente le normali alle direzioni delle velocità di due punti
qualunque del CR (Figura 9b). In altre parole si è ottenuto il:
Teorema di Chasles: Il centro di istantanea rotazione di un CR in moto
piano si trova sulla intersezione delle normali alle traiettorie dei punti del
corpo stesso.
Se la velocità angolare ω del CR è nulla ed esiste un punto A del corpo la cui velocità
è diversa da zero, allora siamo di fronte ad un atto di moto traslatorio e tutti i punti del
CR hanno velocità pari a vA . Si può intendere che la rotazione del CR avviene attorno
ad un punto improprio (cioè all’∞) della normale alla direzione del moto.
(a)
(b)
Figura 9: Centro di istantanea rotazione
Il luogo delle posizioni occupate nel corso del moto dal centro di istantanea rotazione
nel riferimento fisso si indica come polare fissa, mentre il luogo delle posizioni occupate
nel riferimento locale (mobile) è la polare mobile.
Il movimento del CR provoca il puro rotolamento della polare mobile sulla polare fissa:
le due polari risultano tangenti tra loro nei successivi punti di contatto, ossia nei centri
di istantanea rotazione dell’istante considerato.
0.5.3
Accelerazioni
Derivando la (4) si ottiene l’accelerazione del punto B (Figura 10):
π
aB = aA + i θ̈|AB| eiθ − θ˙2 |AB| eiθ = aA + θ̈|AB| ei(θ+ 2 ) − θ˙2 |AB| eiθ
(7)
cioè, in altri termini, il Teorema di Rivals per le accelerazioni dei punti di un CR:
aB = aA + aBA = aA + ω
⃗˙ ∧ (B − A) + ω
⃗ ∧ω
⃗ ∧ (B − A) =
= aA + ω
⃗˙ ∧ (B − A) − ω 2 (B − A) = aA + aBA + aBA
t
n
(8)
12
CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA
Figura 10: Corpo rigido nel piano: accelerazioni
0.5.4
Teorema di Kennedy-Aronhold
Dati tre CR i, j e k, i tre centri di istantanea rotazione Cij , Cik e Cjk sono tra loro
allineati (Figura 11).
Figura 11: Teorema di Kennedy-Aronhold
Valogono inoltre le seguenti relazioni:
(ij)
(ik)
(jk)
vCij = vCij − vCij = 0
ω⃗ik ∧ (Cij − Cik ) = ω⃗jk ∧ (Cij − Cjk )
(9)
Il teorema ha interessanti applicazioni. Infatti è molto utile per determinare le velocità di
punti e membri di meccanismi. Si veda, ad esempio, il quadrilatero articolato di Figura 12.
0.5.5
Traiettoria e centro di curvatura
È possibile determinare la velocità di un punto P di un CR anche attraverso la conoscenza
del raggio di curvatura della sua traiettoria. Infatti, indicato con Q il centro di curvatura
della traiettoria di P , la velocità di P può esprimersi anche come (Figura 13):
⃗ ∧ (P − Q)
vP = Ω
0.5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO
13
Figura 12: Applicazione del teroema di Kennedy-Aronhold
⃗ è la velocità angolare del raggio vettore (P − Q).
dove il vettore Ω
Poiché il medesimo punto P appartiene al CR animato da velocità angolare ω
⃗ e avente C
come centro di istantanea rotazione, risulta:
⃗ ∧ (P − Q) = ω
vP = Ω
⃗ ∧ (P − C)
⃗ eω
Trattandosi di moto piano, i due vettori Ω
⃗ sono tra loro paralleli e quindi dovranno
esserlo pure i vettori (P − Q) e (P − C). Se ne conclude che:
Un punto P , il centro di curvatura Q della sua traiettoria, ed il centro di
istantanea rotazione C del CR a cui P appartiene, sono sempre allineati.
Figura 13: Esempio
0.5.6
Profili coniugati
Quando un CR (2) è a contatto con un altro CR (1) (si supponga quest’ultimo fisso,
ma nulla cambia se entrambi i corpi sono mobili) ed ha rispetto ad esso nel punto M di
contatto un moto relativo di strisciamento (non urto, né distacco), i profili a contatto in
M costituiscono nel piano del moto una coppia di profili coniugati s1 ed s2 (Figura 14).
Poichè siamo in presenza di strisciamento, la velocità relativa tra i corpi in M deve avere
14
CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA
la direzione della tangente comune ai due profili. Se ne deduce che il centro di istantanea
(21)
rotazione relativo C12 deve trovarsi sulla normale alla vM passante per M . Si può quindi
affermare che:
Il centro di istantanea rotazione relativo si trova sempre sulla normale comune ai profili
coniugati.
D’altra parte, nel punto di contatto M la velocità relativa tra i profili si può valutare
mediante:
(21)
(2)
(1)
vM = vM − vM
(21)
vM = ω⃗2 ∧ (M − C23 ) − ω⃗1 ∧ (M − C13 ) =
ω⃗2 ∧ [(M − C12 ) + (C12 − C23 )] − ω⃗1 ∧ [(M − C12 ) + (C12 − C13 )] =
ω⃗2 ∧ (M − C12 ) + ω⃗2 ∧ (C12 − C23 ) − ω⃗1 ∧ (M − C12 ) − ω⃗1 ∧ (C12 − C13 ) =
ω⃗2 ∧ (M − C12 ) − ω⃗1 ∧ (M − C12 ) = ω⃗21 ∧ (M − C12 )
(10)
da cui, ancora una volta, risulta che il centro relativo C12 si trova sulla normale comune
(21)
ai due profili (tangente alla direzione della velocità relativa vM ).
Figura 14: Profili coniugati
Si può inoltre aggiungere che, poiché la normale ai profili deve contenere anche i loro
centri di curvatura Q1 e Q2 , rispettivamente di s1 ed s2 , sulla normale medesima si
troveranno: il punto di contatto M tra i profili s1 ed s2 , i loro centri di curvatura Q1 e
Q2 , ed il centro di istantanea rotazione relativo C12 .
La Figura 14 mostra anche le polari del moto: σ1 è quella fissa; σ2 è la mobile. Come
noto (vedi §0.5.2), esse sono tangenti nel centro di istantanea rotazione C12 e sulla normale
alle polari in C12 si trovano i loro centri di curvatura, rispettivamente O1 e O2 .
Definito il moto relativo tra i corpi (2) e (1), cioè date le polari del moto, sono infinite
le coppie di profili coniugati s2 e s1 . Infatti, se s2 è un qualsiasi profilo rigido solidale con
il corpo mobile (2) ed s1 è l’inviluppo delle successive posizioni assunte da s2 durante il
moto di (2), allora i due profili s1 ed s2 sono coniugati.
0.5. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO
0.5.7
15
Esempio
Nel meccanismo a tre membri binari di Figura 15 i membri 1 e 2 sono accoppiati mediante
una coppia superiore e si toccano nel punto M . I profili che delimitano tali membri sono
coniugati, hanno cioè in M tangente t comune e la velocità relativa (di strisciamento) tra i
membri 1 e 2 in M è diretta lungo tale tangente t. Perciò il centro di istantanea rotazione
C12 giace sulla normale ai profili in M . D’altra parte, per il teorema di Kennedy-Aronhold,
C12 è allineato con i centri (assoluti) C13 e C23 : pertanto è immediato individuarlo.
Inoltre, applicando la (9), si ottiene la (11), che consente ad esempio di determinare il
legame tra le velocità angolari dei due corpi.
(21)
(2)
(1)
vC12 = vC12 − vC12 = 0
ω⃗2 ∧ (C12 − C23 ) = ω⃗1 ∧ (C12 − C13 )
Figura 15: Esempio
(11)
16
CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA
0.6
Analisi cinematica di sistemi articolati piani
Il problema consiste nell’individuare la posizione di un generico membro del meccanismo
rispetto ad un sistema di riferimento solidale al telaio. Mediante successive derivazioni
rispetto al tempo si ottengono velocità ed accelerazione.
0.6.1
Esempio: il quadrilatero articolato
0.6.1.1
Analisi di posizione
!
Figura 16: Chiusura della catena cinematica
Equazione di chiusura:
AB + BC + CD + DA = 0
(12)
a cos α + b cos β + c cos γ = d
a sin α + b sin β + c sin γ = 0
(13)
La (12) può essere proiettata nell due direzioni x e y fornendo le due (13) nelle variabili del
moto α, β e γ. La differenza tra il numero delle variabili e il numero delle equazioni fornisce
il numero di gradi di libertà del meccanismo, ossia il numero di variabili indipendenti.
Se tra le variabili del moto si assume come variabile indipendente l’angolo α (il meccanismo possiede un solo grado di libertà), le proiezioni dell’equazione di chiusura risultano
essere nelle incognite β e γ. Una delle due (ad esempio β) può essere facilmente eliminata
(quadrando e sommando membro a membro le due (13)), giungendo alla (14) nell’unica
incognita γ.
b2 = (−a cos α − c cos γ + d)2 + (−a sin α − c sin γ)2
b2 − a2 − c2 − d2 + 2ad cos α = cos γ (2ac cos α − 2cd) + 2ac sin α sin γ
A(α) = B(α) cos γ + C(α) sin γ
(14)
La (14) ha due soluzioni per γ: γ1 e γ2 (a cui corrispondono rispettivamente le soluzioni
β1 e β2 per l’angolo β). Tali soluzioni stanno ad indicare che esistono due possibili
configurazioni del quadrilatero (Figura 17b).
L’analisi di posizione si può risolvere con “riga e compasso”. Nel caso del quadrilatero
articolato le due configurazioni si trovano come intersezione di due circonferenze di centri
B e D e raggi b e c, rispettivamente (Figura 17b).
0.6. ANALISI CINEMATICA DI SISTEMI ARTICOLATI PIANI
17
(! b)
(! a)
Figura 17: Le due configurazioni del quadrilatero articolato
0.6.1.2
Analisi di velocità e accelerazione
Derivando rispetto al tempo le (13) si ottiene:
aα̇ sin α + bβ̇ sin β + cγ̇ sin γ = 0
aα̇ cos α + bβ̇ cos β + cγ̇ cos γ = 0
Le (15) possono essere poste in forma matriciale, ottenendo:
}
]{ }
{
[
sin α
b sin β c sin γ
β̇
= −aα̇
cos α
b cos β c cos γ
γ̇
(15)
(16)
ossia, in forma compatta:
[A] {ṡ} = −α̇ {h(α)}
(17)
in cui la matrice [A] è detta Jacobiano.
La soluzione del problema di velocità si ottiene dalla:
{ṡ} = −α̇ [A]−1 {h(α)} = α̇ {k(α)}
{ṡ}
è il vettore dei coefficienti di velocità.
α̇
Per le accelerazioni, è sufficiente derivare le (17) per ottenere:
(
{
})
˙ {ṡ} + α̈ {h(α)} + α̇ ḣ(α)
{s̈} = − [A]−1 [A]
(18)
in cui il vettore {k(α)} =
(19)
o, facendo riferimento alla (18):
{
{s̈} = α̈ {k(α)} + α̇
2
∂k(α)
∂α
}
= α̈ {k(α)} + α̇2 {k ′ (α)}
(20)
in cui il vettore {k ′ (α)} è il vettore dei coefficienti di accelerazione.
Dalle (18) e (19) si vede che i problemi di velocità e di accelerazione, al contrario di
quello di posizione, sono problemi lineari.
18
CAPITOLO 0. RICHIAMI DI CINEMATICA
Le analisi di velocità e di accelerazione risultano indeterminate se lo Jacobiano [A] non è
invertibile, ossia se il suo determinante è nullo. Si parla di posizioni singolari.
Il quadrilatero in esame si trova in posizione singolare se il punto C è allineato con B
e D (vedi Figura 18). Infatti, si ha:
[
]
b sin β c sin γ
det[A] = det
= bc sin β cos γ − bc cos β sin γ = sin(β − γ) = 0
b cos β c cos γ
cioè lo Jacobiano ha determinante nullo quando β = γ.
!
Figura 18: Quadrilatero in posizione singolare
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
19
Riferimenti Bibliografici
[Dou88]
Samuel Doughty. Mechanics of machines. Wiley New York, 1988.
[FMM05] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di Meccanica applicata
alle macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. Pàtron
editore S.r.l., Bologna, 2005.
[Pau79]
B Paul. Kinematics and Dynamics of Planar Machinery. Prentice-Hall, 1979.
Capitolo 1
Sistemi Articolati
1.1
1.1.1
Analisi cinematica con approccio modulare
Premessa
Figura 1.1: Sistema articolato
a cos α + b cos(α + β) + c2 cos(α + β + γ2 ) +
+ d cos(α + β + γ2 + δ) + e cos(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − A)x
a sin α + b sin(α + β) + c2 sin(α + β + γ2 ) +
+ d sin(α + β + γ2 + δ) + e sin(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − A)y
c3 cos(α + β + γ2 + γ3 ) + d cos(α + β + γ2 + δ) + e cos(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − G)x
c3 sin(α + β + γ2 + γ3 ) + d sin(α + β + γ2 + δ) + e sin(α + β + γ2 + δ + ϵ) = (F − G)y
20
1.1. ANALISI CINEMATICA CON APPROCCIO MODULARE
1.1.2
21
Approccio modulare
L’approccio modulare ha lo scopo di determinare equazioni di chiusura disaccoppiate e
di risolvere, in passi successivi, sottoinsiemi di equazioni contenenti un numero ridotto di
variabili.
Spesso il disaccoppiamento è ottenuto a posteriori. Secondo l’approccio modulare l’idea è
invece quella di considerare il problema in modo da ottenere a priori sottoinsiemi (moduli)
di equazioni contenenti poche incognite ciascuno.
La k−esima equazione scalare di chiusura è nella forma:
fk (ψ1 , . . . , ψn ) = 0,
k = 1, . . . , n − l
dove ψi è la i−esima variabile del moto (i = 1, . . . , n).
Indicando con l il numero di gradi di libertà del meccanismo e con qj la j−esima variabile
indipendente (j = 1, . . . , l), la k−esima equazione di chiusura può scriversi:
fk (ψ1 , . . . , ψn−l , q1 , . . . , ql ) = 0
dove, in generale, le incognite (le variabili indipendenti ψi ) compaiono in tutte le n − l
equazioni. Seguendo l’approccio modulare, invece, si può arrivare addirittura ad un sistema di equazioni in echelon form (a gradinata), in cui nella prima equazione compare una
sola incognita, nella seconda compare una sola incognita in più e cosı̀ via:
f1 (ψ1 , q1 , . . . , ql ) = 0
f2 (ψ1 , ψ2 , q1 , . . . , ql ) = 0
f3 (ψ1 , ψ2 , ψ3 , q1 , . . . , ql ) = 0
...
fn−l (ψ1 , . . . , ψn−l , q1 , . . . , ql ) = 0
1.1.3
Gruppi di Assur
Figura 1.2: Catene cinematiche a mobilità nulla: solo due sono gruppi di Assur (AKC:
Assur Kinematic Chain)
22
1.1.4
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Gruppi di Assur a tre membri
(a)
(b)
Figura 1.3: Gruppi di Assur a tre membri: a) RRR; b) RRP
(a)
(b)
Figura 1.4: Gruppi di Assur a tre membri: a) RPR; b) PPR
Figura 1.5: Gruppi di Assur a tre membri: RPP
1.1. ANALISI CINEMATICA CON APPROCCIO MODULARE
1.1.5
La Diade (RRR)
P3
µk (P2-P1)
r1
P1
r2
λ(P2-P1)
P2
Figura 1.6: Schema per la soluzione del gruppo RRR (Diade)
Equazioni di chiusura:
Posto:
(P3 − P1 )2 = r1 2
(P3 − P2 )2 = r2 2
(P3 − P1 ) = λ(P2 − P1 ) + µ k̄ ∧ (P2 − P1 )
(P3 − P2 ) = (P3 − P1 ) − (P2 − P1 )
la seconda equazione di chiusura fornisce:
r2 2 = (P3 − P2 )2 = (P3 − P1 )2 + (P2 − P1 )2 − 2(P3 − P1 )(P2 − P1 ) =
r1 2 + (P2 − P1 )2 − 2[λ(P2 − P1 ) + µ k̄ ∧ (P2 − P1 )](P2 − P1 ) =
r1 2 + (P2 − P1 )2 − 2λ(P2 − P1 )2
cioè un’equazione nell’unica incognita scalare λ:
[
]
1
r1 2 − r2 2
λ=
1+
2
(P2 − P1 )2
Introducendo l’espressione di λ nella prima equazione di chiusura si ottiene:
(P3 − P1 )2 = λ2 (P2 − P1 )2 + µ2 (P2 − P1 )2 = r12
cioè un’equazione di secondo grado nell’incognita µ:
[
]
r12
2
2
µ =
−λ
(P2 − P1 )2
Si hanno tre casi:
µ2 > 0
2 soluzioni reali distinte
2
µ =0
2 soluzioni reali coincidenti
2
µ <0
2 soluzioni complesse (la diade non è assemblabile).
23
24
1.1.6
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Il gruppo RRP
!
1.1. ANALISI CINEMATICA CON APPROCCIO MODULARE
1.1.7
25
Il gruppo RPR
!
26
1.1.8
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Il gruppo PPR
!
1.1. ANALISI CINEMATICA CON APPROCCIO MODULARE
1.1.9
27
Il gruppo RPP
!
28
1.2
1.2.1
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Sintesi cinematica
Il quadrilatero articolato
Regola di Grashof
I quadrilateri articolati vengono classificati secondo la Regola di Grashof.
Siano a il lato più corto, b il lato più lungo, c e d le aste intermedie.
a+b<c+d
quadrilateri di Grashof
a+b>c+d
quadrilateri non di Grashof
a+b=c+d
caso limite.
Con riferimento alla Figura 1.7, sono di Grashof il primo, il secondo e il quarto. Non
sono di Grashof il terzo, il quinto ed il sesto. Il caso limite è rappresentato in Figura 1.8.
!
Figura 1.7: Il quadrilatero articolato.
1.2. SINTESI CINEMATICA
29
!
Figura 1.8: Parallelogramma articolato (a);
quadrilatero isoscele (c).
antiparallelogramma articolato (b);
Traiettorie di punti di biella aventi forma qualunque possono ottenersi mediante pentalateri azionando opportunamente le aste adiacenti al telaio (Figura 1.9a). I pentalateri
hanno due gradi di libertà. Infatti tutti i sistemi articolati piani con 1 solo grado di libertà
hanno un numero di membri pari. Se si ha la necessità di ricondursi al caso di un solo gdl,
si devono vincolare in qualche modo le aste adiacenti al telaio (Figura 1.9b e Figura 1.9c).
!
Figura 1.9: Il pentalatero articolato.
30
1.2.2
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Sintesi cinematica di un QA manovella–bilanciere
Si debba sintetizzare un quadrilatero articolato per la trasformazione di un moto rotatorio
continuo in un moto rotatorio alterno. Il quadrilatero dovrà perciò avere una manovella
ed un bilanciere.
Iniziamo col richiamare la definizione di punti morti del bilanciere facendo riferimento
alla Figura 1.10. Si tratta delle posizioni estreme del bilanciere. Esse si verificano quando
il membro opposto al bilanciere (la manovella) si trova allineato con la biella (il membro
opposto al telaio). Dette AB la lunghezza di biella, O1 A il raggio di manovella e O3 B
la lunghezza del bilanciere, i punti morti si determinano graficamente (vedi Figura 1)
intersecando la circonferenza di centro O3 e raggio O3 B con le circonferenze di centro O1
e raggi (AB + O1 A) e (AB − O1 A). I due punti morti cosı̀ trovati sono rispettivamente
B ′ e B ′′ .
Figura 1.10: Punti morti del bilanciere
Si debba progettare il quadrilatero in modo tale tale che il bilanciere (membro cedente)
compia oscillazioni di ampiezza β assegnata e, nello stesso tempo, con tempi di andata
e ritorno prestabiliti. In altre parole, se la manovella ruota a velocità angolare costante,
essa deve compiere angoli prefissati durante le due corse del bilanciere.
Con riferimento alla Figura 1.11, notiamo che, indicati con Ω la velocità angolare
(costante) di manovella, con ϕa e ϕr gli angoli corrispondenti ai tempi di andata e ritorno
del bilanciere, si ha:
Ω=
2π
ta + tr
ϕa = Ω ta = 2π
ta
ta + tr
ϕr = Ω tr = 2π
tr
ta + tr
Definito θ l’angolo differenza tra π e l’angolo di andata ϕa , il quadrilatero che risponde
alle esigenze specificate si ottiene seguendo il procedimento seguente (vedi Figura 1.12):
1.2. SINTESI CINEMATICA
31
Figura 1.11: Parametri della sintesi
1. Dal punto O3 si tracci un raggio di lunghezza arbitraria O3 B ′ .
2. Da O3 si tracci un secondo raggio formante con O3 B ′ l’angolo β e si prenda su di
esso un punto B ′′ tale che O3 B ′ = O3 B ′′ .
3. Da B ′ si tracci una retta qualunque.
4. Da B ′′ si tracci una retta formante con quella uscente da B ′ l’angolo θ.
5. Le due rette si incontrano nel centro O1 di manovella.
Figura 1.12: Sintesi del QA: procedimento
32
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Posto:
O1 A = r, raggio di manovella
AB = l, lunghezza di biella
deve essere O1 B ′ = l + r e O1B ′′ = l − r
da cui si ricava il raggio di manovella r = (O1 B ′ − O1 B ′′ )/2.
In Figura 1.13 è rappresentato il quadrilatero cosı̀ ottenuto.
Figura 1.13: Quadrilatero sintetizzato
Come è ovvio, il problema ammette infinite soluzioni. Infatti la lunghezza del raggio
O3 B ′ è stata scelta con arbitrio, come anche la retta uscente da B ′ . Dal momento che
tutti i punti O1 che soddisfano il problema vedono il segmento B ′ B ′′ sotto lo stesso angolo
θ, significa che devono appartenere alle due circonferenze passanti per B ′ e B ′′ ed aventi
centro sulla bisettrice dell’angolo β (da parti opposte rispetto al segmento B ′ B ′′ ) e raggio
R pari a (vedi Figura 1.14):
β
sin
2 = OB ′
R = O3 B ′
sin θ
Non tutti i punti giacenti sulle due circonferenze menzionate sono posizioni ammissibili
per il centro di rotazione di manovella. Si può infatti dimostrare che per permettere il
moto senza rompere i vincoli, il punto O1 deve mantenersi esterno all’angolo di vertice O3
e apertura β.
Vista la suddetta limitazione, ne consegue un valore limite per l’angolo θ. Infatti al
variare di θ varia il raggio R (ad esempio per valori di θ < π/2 un aumento di θ implica
una diminuzione di R). Di conseguenza si modificano i campi ammissibili per il punto
O1 . Non esistono più zone ammissibili per O1 quando θ raggiunge il valore limite (vedi
Figura 1.15):
π β
θlim = +
2
2
1.2. SINTESI CINEMATICA
33
Figura 1.14: Luoghi delle possibili posizioni del punto O1
L’esistenza di un valore limite per l’angolo θ introduce una limitazione per quanto
riguarda il rapporto tra gli angoli descritti dalla manovella in corrispondenza delle due
corse del bilanciere:
ϕa = π − θ
ϕr = π + θ
ed anche:
π+θ
π + θlim
3π + β
<
=
π−θ
π − θlim
π−β
ϕr
tr
3π + β
=
<
ϕa
ta
π−β
tr
1
<
< 7.
7
ta
In ogni caso la soluzione non è ancora unica. Il problema risulta definito (naturalmente
entro i limiti fra i quali la soluzione è possibile) se, ad esempio, si fissa il valore del rapporto
O1 O3 /O3 B ′ .
Talvolta è conveniente definire il problema cercando di ottimizzare il valore dell’angolo
di trasmissione (l’angolo compreso tra bilanciere e biella).
Ad esempio se β = π/2 si ha (per l’evidente intercambiabilità tra ta e tr ):
34
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Figura 1.15: Valore limite dell’angolo θ
1.2. SINTESI CINEMATICA
1.2.3
35
Sintesi cinematica di un QA bilanciere–bilanciere
Si consideri il seguente problema di sintesi: determinare un quadrilatero che per una
rotazione assegnata θ21 , di un membro collegato al telaio, abbia una rotazione assegnata
φ21 , dell’altro membro collegato al telaio.
La soluzione di questo problema è la seguente (Figura 1.16):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
si scelgono arbitrariamente i punti fissi C0 , D0 e la posizione D0 B1 di uno dei membri;
facendo ruotare D0 B1 di un angolo φ21 attorno a D0 si determina la posizione D0 B2 ;
si determina l’asse v del segmento B1 B2 ;
sull’asse v si sceglie ad arbitrio un punto P12 (P12 è il polo delle rotazioni e deve
stare su tale asse come si vede dalla Figura 1.16);
si congiunge P12 con B1 determinando l’asse u;
si misura l’angolo δ/2 fra u e v;
si congiunge P12 con C0 determinando l’asse z;
si riporta δ/2 su z determinando l’asse x;
a partire da C0 si traccia l’asse y tale che esso formi con z l’angolo noto θ21 /2;
l’intersezione di x e y definisce il punto A1 .
Il quadrilatero richiesto è C0 A1 B1 D0 che, per costruzione, rispetta tutte le relazioni
geometriche del polo delle rotazioni P12 definite dalla Figura 1.16.
Figura 1.16: Sintesi cinematica di un QA bilanciere–bilanciere
36
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
1.2.4
Generazione di Movimenti–Sintesi grafica
1.2.4.1
Segmento di biella per due posizioni
è sufficiente far ruotare il piano contenente il segmento AB attorno al punto O (individuato
intersecando gli assi dei segmenti A1 A2 e B1 B2 ) di un angolo pari a quello compreso tra
le due posizioni che il segmento deve assumere (Figura 1.17).
Figura 1.17: Segmento per due posizioni
Se tale soluzione non fosse conveniente si può ricorrere ad un quadrilatero articolato con
l’unica condizione che i centri delle aste adiacenti al telaio cadano sugli assi dei segmenti
A1 A2 e B1 B2 (Figura 1.18a). Ci sono infinite soluzioni che si riducono a quattro se per
esempio si fissano le lunghezze delle aste adiacenti al telaio. La soluzione è unica se si
stabilisce su quale dei due semipiani devono stare i centri O1 e O3 .
Se non ha interesse che gli estremi delle aste adiacenti al telaio cadano nei punti A e
B, si possono fissare gli angoli ϕA e ϕB , oltre che i centri O1 e O3 (vedi Figura 1.18b).
(a)
Figura 1.18: Segmento di biella per due posizioni
(b)
1.2. SINTESI CINEMATICA
1.2.4.2
37
Segmento di biella per tre posizioni
Il quadrilatero articolato con il centro O1 sull’intersezione degli assi dei segmenti A1 A2 ,
A2 A3 ed il centro O3 sull’intersezione degli assi B1 B2 , B2 B3 risolve il problema (vedi
Figura 1.19).
Figura 1.19: Segmento di biella per tre posizioni
1.2.5
Osservazione
Una osservazione finale che riguarda tutti i metodi di sintesi di tipo diretto, quali quelli
visti in precedenza od altri analoghi: le equazioni di sintesi determinano, se esiste, un
meccanismo (o più di uno) le cui dimensioni sono compatibili con le specifiche di sintesi:
cosı̀ il meccanismo di Figura 1.18 è tale che esso può esistere sia nella prima posizione che
nella seconda posizione, ma nulla garantisce a priori che possa effettivamente passare, con
continuità (ossia rispettando le equazioni di chiusura) dalla prima alla seconda.
La sintesi garantisce cioè la compatibilità con le posizioni (e velocità e accelerazioni)
imposte dalle specifiche, non con le posizioni ad esse intermedie: questa va verificata con
successive analisi di posizione (o, se e possibile, di mobilità).
38
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
1.2.6
Tracciamento delle traiettorie
1.2.6.1
Generalità
Di notevole interesse applicativo risultano essere le traiettorie dei punti di biella (dette anche
curve di biella). Infatti, queste traiettorie as(a)
sumono forme molto diversificate che possono
essere utilizzate per la soluzione di molti problemi progettuali. Di solito la soluzione è possibile solo in via approssimata. In questi casi
si tollera che la curva effettiva sia contenuta in
(b)
una banda definita attorno alla traiettoria teorica (Figura 1.20a). In altri casi si impone che la
traiettoria passi per un numero limitato di punti senza curarsi dell’andamento negli intervalli
tra i punti stessi (Figura 1.20b).
Figura 1.20: Inseguimento di traiettorie
Si prenda in esame qualche caso in cui abbia
importanza la realizzazione di una traiettoria
di un punto di biella di forma prestabilita. Il primo esempio è quello di Figura 1.21a in
cui una gru da porto ha il gancio che deve compiere una traiettoria rettilinea orizzontale.
Un altro esempio è quello del trascinatore per pellicole fotografiche di Figura 1.21b in cui
l’estremo di biella deve compiere la traiettoria tratteggiata.
(a)
(b)
Figura 1.21: Sintesi di traiettorie rettilinee: a) gru da porto; b) trascinatore di pellicole
In Figura 1.22 l’asta 6 del sistema articolato deve realizzare una sosta in corrispondenza
di una certa fase della rotazione completa del movente (la manovella 1). L’obiettivo viene
raggiunto se, durante la medesima fase, il punto D (solidale alla biella 2 del quadrilatero
articolato O1 ABO3 ) percorre una traiettoria circolare di centro E.
1.2. SINTESI CINEMATICA
39
Figura 1.22: Sistema articolato: l’asta 6 possiede un moto rotatorio alterno con sosta
1.2.6.2
Traiettoria a partire dalle polari
Per tracciare la traiettoria di un punto di un membro di un meccanismo, conviene fare
riferimento alle primitive del moto. Queste due curve, rotolando tra loro, definiscono
completamente il moto di un corpo rigido nel piano. Se si considera il moto assoluto di un
membro, alle primitive si dà il nome di polari (polare fissa e polare mobile). Ricordando
che le primitive sono i luoghi dei centri di istantanea rotazione, si considera la Figura 1.23a
in cui C0i e C1i siano punti corrispondenti sulle due polari, ossia punti che vengono tra
loro a contatto durante il rotolamento delle polari. Vediamo come, nota la forma delle
polari, si possa trovare la traiettoria di un punto P appartenente al piano mobile.
è sufficiente individuare la posizione di P rispetto alla polare mobile facendo riferimento
al punto C1i mediante le due coordinate ρi (distanza C1i P ) e φi (angolo che il raggio ρi
forma con la normale in C1i alla polare mobile). Con gli stessi valori di ρi e φi si individua
il punto Pi a partire dal punto C0i .
Si noti che la normale condotta da un punto Pi alla traiettoria di P passa per il centro
di istantanea rotazione C0i . Quindi con la costruzione sopra descritta possono trovarsi
non solo i punti Pi ma anche le tangenti alla traiettoria nei punti stessi (Figura 1.23b).
(a)
Figura 1.23: Tracciamento della traiettoria a partire dalle polari
(b)
40
1.2.6.3
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Formula di Eulero–Savary
A volte è necessario conoscere il raggio di curvatura della traiettoria in corrispondenza dei
singoli punti Pi . Esso può essere determinato qualora si conoscano i raggi di curvatura
delle polari in corrispondenza dei vari punti Ci . Vale infatti la formula di Eulero-Savary:
(
)
1
1
1
1
−
=
−
cos φ
(1.1)
R0 R1
CQ CP
dove Q è il centro di curvatura della traiettoria di P , R0 ed R1 sono i raggi di curvatura
delle polari in corrispondenza di un generico punto C.
Per il significato dell’angolo φ si faccia riferimento alla Figura 1.24.
Una volta scelto come positivo
uno dei due semipiani limitati dalla tangente comune alle due polari
in C, i segmenti CO0 , CO1 , CP e
CQ devono essere considerati positivi se i punti O0 , O1 , P e Q cadono nel piano positivo. Il cos φ è
sempre positivo. Figura 1.24.
Applicazione La formula di
Eulero–Savary può essere utilizzata anche senza conoscere le polari, purché sia noto il punto C. Si
consideri ad esempio il quadrilatero articolato di Figura 1.25 e si
voglia trovare il centro di curvatura di un punto P della biella.
Applicando la formula ai punti A
e B dei quali si conosce la traiettoria, si perviene ad un sistema di
due equazioni nelle due incognite
(1/R0 − 1/R1 ) e φA .
(
)
1
1
1
1
−
=
−
cos φA
R0 R1
CO1 CA
(
)
1
1
1
1
−
=
−
cos(φA ±α)
R0 R1
CO3 CB
Figura 1.24: Formula di Eulero–Savary
Ricavate le due incognite, basta sostituirle nella seguente per
trovare l’unica incognita CQ.
1
1
−
=
R0 R1
(
1
1
−
CQ CP
)
cos(φA ± γ)
1.2. SINTESI CINEMATICA
41
P
B
A
O1
γ
O3
α
C
Figura 1.25: Applicazione della formula di Eulero–Savary
1.2.6.4
La circonferenza dei flessi
Per lo studio delle proprietà delle traiettorie di punti presenta notevole interesse anche la
circonferenza dei flessi. Si consideri ancora la (1.1). Se esistono punti del piano mobile per
P
F
1
0
C
Figura 1.26: Circonferenza dei flessi
i quali, in una determinata posizione, la traiettoria ha curvatura nulla (raggio di curvatura
infinito), indicati tali punti con F , si ha:
1
1
1
−
=
cos φ
R1 R0
CF
(1.2)
Il luogo dei punti F è pertanto una circonferenza passante per C, con centro sulla normale
alle polari nel punto di contatto e con diametro pari a D:
1
1
1
=
−
D
R1 R0
42
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Poiché i punti F giacenti su questa circonferenza sono punti di flesso delle proprie
traiettorie, alla circonferenza si dà il nome di circonferenza dei flessi. Il suo tracciamento
non è sempre banale. A tal fine si può osservare che applicando la (1.1) a due punti P ed
F allineati sulla stessa retta passante per C, si ha:
1
1
1
−
=−
CQ CP
CF
(1.3)
la (1.3) noti P e Q permette di trovare F e, al contrario, se sono noti P ed F permette
di trovare Q. La Eq. (1.3) per un impiego più comodo può essere scritta in altra forma.
Infatti, posto: p = P C, q = P Q, f = P F , si ottiene:
p2 = qf
1.2.6.5
(1.4)
Esempi
Esempio no.1 Una circonferenza di raggio R1 e centro O1 rotola su una retta (Figura 1.27a). Come risulta ovvio, circonferenza e retta sono rispettivamente la polare mobile
σ1 e la polare fissa σ0 . La circonferenza dei flessi passa, oltre che per C, anche per il punto
O1 . Il risultato è ovvio poiché O1 ha traiettoria rettilinea.
C
A
O
P
B
Q
1
FA
O
3
1
O1
F
0
C
(a)
FB
(b)
Figura 1.27: Circonferenza dei flessi: esempio 1
Esempio no.2 Come esempio di applicazione della (1.4) si consideri il quadrilatero
articolato di Figura 1.27b in cui si vuole trovare il centro di curvatura del punto P della
biella. Si scrive la (1.4) per i punti A e B trovando cosı̀ i punti FA e FB . Si traccia la
circonferenza dei flessi (è quella passante per FA , FB e C). Il centro Q di curvatura della
traiettoria di P si trova scrivendo la (1.4) per il punto P .
1.2. SINTESI CINEMATICA
43
Esempio no.3 Si riconsideri il problema della gru da porto citato in precedenza (Figura 1.21a) facendo ora riferimento alla Figura 1.28. Note le posizioni dei punti A0 , A, B
e la direzione dell’asta B0 B, si deve trovare la posizione del centro B0 affinché P abbia
traiettoria orizzontale. Il problema può essere risolto nel seguente modo:
Figura 1.28: Circonferenza dei flessi: esempio 3
1.
2.
3.
4.
5.
Si trova il punto C (centro di istantanea rotazione assoluto della biella).
Si applica la (1.4) al punto A trovando cosı̀ FA .
Da C si manda la verticale e su di essa si fissa un punto P qualunque.
Si traccia la circonferenza passante per C, FA e P .
Si determina il punto FB intersecando tale circonferenza con la retta passante per
C ed B.
6. Infine, applicando la (1.4) a B si trova il punto incognito B0 .
Esempio no.4 Un altro caso in cui la traiettoria debba essere pressoché rettilinea è rappresentato in Figura 1.29 in cui il punto all’estremità inferiore della biella del quadrilatero
articolato viene fatto cadere sulla circonferenza dei flessi.
1.2.6.6
Impiego di atlanti
Per traiettorie pressoché rettilinee, ma soprattutto per traiettorie di altra forma, è conveniente fare uso di atlanti che forniscono direttamente, per un gran numero di casi, la
44
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Figura 1.29: Circonferenza dei flessi: esempio 4
traiettoria di un punto di biella.
In questi atlanti vengono riportate in modo sistematico le traiettorie dei punti di biella
di quadrilateri in cui le lunghezze delle aste sono rapportate alla lunghezza della manovella.
I quadrilateri sono rappresentati tutti nella posizione in cui la manovella A0 A è allineata
con A0 B0 (Figura 1.30). Per ogni quadrilatero vengono tracciate le traiettorie di una
serie di punti distribuiti regolarmente sul piano di biella. Le lunghezze della aste vengono
variate in modo sistematico.
Sull’atlante di Hrones-Nelson (uno dei più famosi) sono riportate più di 7000 curve di
biella. Alcuni esempi sono rappresentati nelle Figure 1.31a e 1.31b.
!
Figura 1.30: Impiego di atlanti
Dopo che il quadrilatero è stato scelto sulla scorta dell’atlante, potrà essere opportuno
controllare la posizione del centro di curvatura della traiettoria in qualche configurazione
particolare; un tale controllo è possibile con l’ausilio della circonferenza dei flessi.
1.2. SINTESI CINEMATICA
45
(a)
(b)
Figura 1.31: Curve di biella: a) quadrilatero manovella–bilanciere; b) quadrilatero a
doppio bilanciere
1.2.6.7
Teorema di Roberts
Una volta determinate le proporzioni di un quadrilatero che permetta di
realizzare una data traiettoria di biella, è sempre possibile trovare altri due
quadrilateri che diano la stessa traiettoria. Ciò permette di scegliere il
meglio proporzionato tra i quadrilateri ugualmente idonei alla soluzione del
problema considerato.
La costruzione che permette di trovare i tre quadrilateri equivalenti è illustrata in Figura 1.32. Sia O1 ABO3 il
quadrilatero originario e P il punto di
biella di cui si considera la traiettoria.
1. Si tracciano i parallelogrammi
O1 M P A e O3 N P B.
2. Si tracciano i triangoli M QP e
P RN simili al triangolo AP B.
3. Si traccia il parallelogramma
P QO7,8 R.
Si osservi che anche O1 O7,8 O3 è simile
a AP B. I quadrilateri equivalenti sono
1, 2, 3, 4 (con biella 2), 4, 5, 6, 7 (con
biella 6) e 4, 8, 9, 10 (con biella 9).
Figura 1.32: Teorema di Roberts
46
1.2.6.8
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Guide rettilinee esatte
(a)
(b)
Figura 1.33: Guide rettilineee esatte: a) Kempe; b) Peaucellier
Figura 1.34: Guide rettilinee esatte di Hart
1.2.6.9
Guide rettilineee approssimate
(a)
(b)
Figura 1.35: Guide rettilineee approssimate: a) meccanismo di Watt; b) guida di
Chebyshev
1.2. SINTESI CINEMATICA
47
Figura 1.36: Guide rettilinea (approssimata) di Robets
1.2.6.10
Meccanismi per moto traslatorio
Figura 1.37: Meccanismi per moto traslatorio: a) Tecnigrafo; b) Parallelogramma
articolato
48
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
1.2.7
Generazione di Traiettorie–Sintesi grafica
1.2.7.1
Tre posizioni imposte
Il problema consiste nel progettare un quadrilatero articolato in cui un punto di biella
passi per tre punti assegnati. Le posizioni degli assi fissi O1 e O3 (Figura 1.38) sono
arbitrarie. Arbitrarie sono anche la lunghezza di manovella e la distanza tra A e P . Con
l’aumentare del numero di posizioni assegnate, limitazioni saranno imposte al numero di
parametri che è possibile scegliere in modo arbitrario. Il problema si risolve nel seguente
modo:
1.
2.
3.
4.
Si sceglie la posizione degli assi fissi O1 e O3 .
Si sceglie la lunghezza di manovella e si traccia la traiettoria del punto A.
Si sceglie un punto A1 corrispondente alla prima posizione di P , ovvero P1 .
Risulta cosı̀ fissata la distanza AP . Di conseguenza possiamo determinare le posizioni A2 e A3 corrispondenti rispettivamente a P2 e P3 .
5. A, P e B sono tutti punti della biella e perciò la loro mutua distanza non varia.
Quindi, determinata la posizione di B1 , il problema è risolto.
Figura 1.38: Traiettoria di un punto di biella per tre punti
La posizione di B1 (cioè la posizione di B corrispondente a P1 ) si può trovare mediante
inversione cinematica mantenendo fissa la biella nella posizione iniziale.
Nel meccanismo di Figura 1.38, nel passaggio da P1 a P2 , la biella ruota rispetto alla
manovella dell’angolo α21 = α2 − α1 in senso antiorario. Perciò, operando l’inversione cinematica (Figura 1.39), la manovella ruota rispetto alla biella dello stesso angolo (α2 −α1 )
ma in senso orario. Il centro O1 si sposta cosı̀ nella posizione O1′ . Il centro O3 si viene
a trovare nella posizione O3′ individuata dall’intersezione dell’arco di centro O1′ e raggio
O1 O3 e dell’arco di centro P1 e raggio P2 O3 (misurato in Figura 1.38).
La posizione O3′′ si trova, analogamente, intersecando l’arco di centro O1′′ (trovato ruotando la manovella dell’angolo α31 = α3 − α1 ) e raggio O1 O3 con l’arco di centro P1 e raggio
1.2. SINTESI CINEMATICA
49
P3 O3 .
La posizione B1 è il centro dell’arco passante per O3 , O3′ e O3′′ . Per trovarla basta
intersecare gli assi dei segmenti O3 O3′ e O3′ O3′′ .
Figura 1.39: Traiettoria di un punto di biella per tre punti
Disegnato il meccanismo nelle tre posizioni (Figura 1.40a) se ne controlla l’aspetto e,
se il risultato non dovesse essere soddisfacente, la procedura può essere ripetuta con scelte
differenti da quelle iniziali.
Occorre fare una annotazione importante a riguardo dei metodi grafici: imprecisioni
anche lievi nella costruzione grafica, possono dare luogo ad errori notevoli. Nel caso in
esame, ad esempio, piccole imprecisioni nelle direzioni degli assi dei segmenti O3 O3′ e O3′ O3′′
possono portare ad errori anche notevoli nella determinaizone del punto B1 . Si pensi in
particolare a quello che potrebbe accadere se i segmenti O3 O3′ e O3′ O3′′ risultassero quasi
paralleli.
Figura 1.40: Traiettoria di un punto di biella per tre punti
50
1.2.8
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Sintesi cinematica mediante metodi analitici
Molte tecniche matematiche sono state utilizzate per risolvere problemi di sintesi cinematica. Tra esse, metodi algebrici, metodi matriciali, numeri complessi. Per i sistemi
articolati piani, la tecnica basata sui numeri complessi è la più semplice e versatile.
1.2.8.1
Premessa
Ogni meccanismo piano può essere rappresentato mediante una catena cinematica che
consiste in uno o più loop di coppie di membri asta-corsoio (vedi Figura 1.41). Ad esempio,
il manovellismo di spinta non centrato di Figura 1.42a può essere rappresentato come in
Figura 1.42b a patto che le aste 2, 3 e 4 siano bloccate ai rispettivi corsoi e che le aste 1
e 4 siano solidali al telaio.
!
Figura 1.41: Generica catena cinematica
(a)
(b)
Figura 1.42: Manovellismo di spinta eccentrico (a) e sua catena cinematica equivalente
(b)
Nella k-esima coppia asta–corsoio, la posizione del pivot del corsoio rispetto al pivot
dell’asta può essere definita mediante il vettore complesso Zk , come rappresentato in
Figura 1.43. Nella posizione iniziale sia:
1.2. SINTESI CINEMATICA
51
Figura 1.43: Rappresentazione con vettori complessi della coppa asta-corsoio
Zk = Zk eiθ1
Zk = Zk (cos θ1 + i sin θ1 )
dove Zk è la distanza tra i due pivot nella posizione di partenza e θ1 è l’angolo misurato
tra il vettore Zk nella posizione di partenza e l’asse reale di un sistema di riferimento che
trasla con il pivot dell’asta (rotazioni positive se antiorarie).
Se non varia la distanza tra i due pivot nel passare dalla posizione di partenza ad una
generica posizione j, si ha (vedi Figura 1.43):
Zk ′ = Zk eiθj = Zk ei(θ1 +φj ) = Zk eiθ1 eiφj
con φj = θi − θ1 , ovvero:
Zk ′ = Zk eiθ1 eiφj = Zk eiφj
Il termine eiφj viene chiamato operatore rotazionale poiché esprime una rotazione pura
del vettore Zk .
Se invece si ha anche una variazione della distanza tra i due pivot, definita mediante
Zk ′
, si ha:
il rapporto: ρj =
Zk
Zk ′ = Zk ′ eiθj = Zk ρj eiθ1 eiφj = Zk ρj eiφj
52
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
1.2.8.2
La diade
La grande maggioranza di sistemi articolati piani può essere pensata come combinazione
di coppie di vettori chiamate DIADI. Per esempio, il quadrilatero articolato di Figura 1.44
può essere ritenuto combinazione di due diadi: la parte sinistra rappresentata mediante
la coppia di vettori W e Z e la parte destra dai vettori W∗ e Z∗ .
!
Figura 1.44: Quadrilatero articolato (unione di due diadi)
I vettori che rappresentano la biella AB ed il telaio A0 B0 possono essere facilmente
determinati mediante le seguenti relazioni vettoriali:
AB = Z − Z∗
A0 B0 = W + AB − W∗
(1.5)
Si consideri ora solo una delle due diadi che formano il quadrilatero di Figura 1.44,
ad esempio quella di sinistra, e con questa si voglia collocare un punto P del piano in
determinate posizioni. Detta Pj la posizione j-esima del punto P , se si misurano le
rotazioni dei vettori a partire dalla posizione iniziale P1 (positive quelle antiorarie), con
riferimento alla Figura 1.45, si ha:
βi rotazione di W nel passaggio di P dalla posizione iniziale P1 alla posizione Pj
αj rotazione di Z nel passaggio di P dalla posizione iniziale P1 alla posizione Pj
Definendo inoltre le posizioni P1 e Pj tramite i vettori complessi R1 e Rj (rispetto ad
un arbitrario sistema di riferimento complesso (x, iy) con origine in O), deve aversi (per
la chiusura del poligono A0 AP1 OPj Aj A0 ):
W eiβj + Z eiαj − Rj + R1 − Z − W = 0
(1.6)
La (1.6) si può anche scrivere nel modo seguente:
W (eiβj − 1) + Z (eiαj − 1) = δ j
(1.7)
1.2. SINTESI CINEMATICA
53
Figura 1.45: Schema per l’equazione di chiusura della diade
con:
δ j = Rj − R1
(1.8)
La (1.7), esprimendo la chiusura dell’anello A0 AP1 Pj Aj A0 , non è altro che la somma
vettoriale effettuata seguendo l’anello che contiene la prima e la j-esima posizione.
La (1.7) è considerata in standard form se sono noti gli angoli αj o βj e se il vettore δ j è
noto, ovvero le posizioni P1 e Pj sono note (sono noti i vettori R1 ed Rj ).
Tale situazione è comune quando si devono raggiungere gli usuali obiettivi della sintesi
cinematica: generazione di movimenti, generazione di traiettorie, generazione di funzioni.
La diade: Numero di posizioni prescritte e numero di scelte arbitrarie
Dal momento che il numero di parametri (le due componenti di ogni vettore) che descrivono il meccanismo nella sua posizione iniziale è finito, il numero di posizioni (o movimenti)
che può essere imposto in un problema di sintesi sarà finito.
54
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Tabella 1.1: Numerosità delle soluzioni per la diade
Numero di
Numero di
Numero di
Numero di
posizioni
equazioni
incognite
soluzioni
j = 2, 3, . . . , n scalari (e)
scalari (i)
(∞i−e )
2
2
5 (W, Z, β2 )
∞3
3
4
6 (precedenti +β3 )
∞2
4
6
7 (precedenti +β4 )
∞1
5
8
8 (precedenti +β5 )
finito
Si pensi, per fissare le idee, alla generazione di movimenti con una diade (ma nulla
cambia se si devono generare traiettorie in tempi prestabiliti). Nella Figura 1.45, saranno
assegnati i vettori δ j e le rotazioni del secondo membro mobile della diade, cioè gli angoli
αj . Se il numero di posizioni prescritte è pari a due (j = 2), l’equazione vettoriale (1.7)
diventa:
W (eiβ2 − 1) + Z (eiα2 − 1) = δ j
dove le incognite sono 5 (le due componenti Wx e Wy del vettore W, le due componenti Zx
e Zy del vettore Z e l’angolo β2 ). Si hanno quindi due equazioni scalari che contengono
cinque incognite scalari. Se tre delle cinque incognite vengono fissate arbitrariamente,
le equazioni possono essere risolte nelle restanti due incognite. Poiché in generale c’è
un infinito numero di scelte per ognuna delle tre variabili libere, il numero di possibili
soluzioni per un problema di sintesi di questo tipo è ∞3 .
Se il numero di posizioni prescritte aumenta di uno, il numero di equazioni scalari
aumenta di due (le equazioni vettoriali aumentano di uno), ma si ha una sola incognita
in più. Perciò si avrà un numero di soluzioni pari a ∞2 . La situazione è riassunta in
Tabella 1.1. Ogni volta che si aggiunge una posizione, si aggiungono due equazioni scalari
ed il numero di incognite scalari aumenta di uno. Se il numero di posizioni prescritto è
cinque, non si hanno variabili che è possibile scegliere in modo arbitrario. Perciò cinque
è il massimo numero di posizioni possibile per la soluzione di un problema di generazione
di movimento mediante diade.
Analizziamo nel dettaglio i vari casi.
Generazione di movimento – due posizioni (j = 2).
Sono prescritti i valori di δ 2 e α2 . Si ha un’unica equazione vettoriale:
W (eiβ2 − 1) + Z (eiα2 − 1) = δ 2
(1.9)
Se, ad esempio, si scelgono ad arbitrio il vettore Z e l’angolo β2 , la soluzione per W è la
seguente:
δ 2 − Z (eiα2 − 1)
(1.10)
W=
eiβ2 − 1
La (1.10) rappresenta un sistema di due equazioni scalari che è lineare nelle due incognite
Wx e Wy .
1.2. SINTESI CINEMATICA
55
Generazione di movimento – tre posizioni (j = 2, 3).
Sono prescritti i valori di δ 2 , δ 3 e α2 , α3 . Il sistema di equazioni è il seguente:
W(eiβ2 − 1) + Z(eiα2 − 1) = δ 2
W(eiβ3 − 1) + Z(eiα3 − 1) = δ 3
(1.11)
Le due (1.11) corrispondono a quattro equazioni scalari. Se vengono scelti ad arbitrio i
valori di β2 e β3 , il sistema è lineare nelle incognite W e Z. Perciò, scelti ad arbitrio β2
e β3 , anche questo problema è lineare. La soluzione può essere trovata mediante la regola
di Cramer :
δ 2 eiα2 − 1
δ 3 eiα3 − 1
W = iβ2
iα2
e
−
1
e
−
1
iβ
iα
e 3 − 1 e 3 − 1
Generazione di movimento – quattro posizioni (j = 2, 3, 4).
Le equazioni vettoriali sono tre:
W(eiβ2 − 1) + Z(eiα2 − 1) = δ 2
W(eiβ3 − 1) + Z(eiα3 − 1) = δ 3
W(eiβ4 − 1) + Z(eiα4 − 1) = δ 4
(1.12)
È concessa una sola scelta arbitraria; in particolare potrà essere scelto uno tra i sette
parametri scalari: coordinate di W e Z, angoli β2 , β3 , e β4 . Questa volta, anche se si
sceglie arbitrariamente uno degli angoli βj , il sistema (1.12) contiene espressioni trascendenti negli altri due angoli β.
Si può quindi concludere che tre è il massimo numero di posizioni che si possa prescrivere
per avere ancora un problema di tipo lineare.
Generazione di movimento – cinque posizioni (j = 2, 3, 4, 5).
Il sistema di equazioni vettoriali (1.13) risulta non lineare nelle incognite W, Z e βj
(j = 2, 3, 4, 5) e non sono ammesse scelte arbitrarie.
W(eiβ2
W(eiβ3
W(eiβ4
W(eiβ5
− 1) + Z(eiα2
− 1) + Z(eiα3
− 1) + Z(eiα4
− 1) + Z(eiα5
− 1) = δ 2
− 1) = δ 3
− 1) = δ 4
− 1) = δ 5
(1.13)
56
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
1.2.8.3
Sintesi di un QA per la generazione di movimenti (3 posizioni)
!
Figura 1.46: Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di movimenti
Come già accennato, il quadrilatero articolato può essere pensato come combinazione
di due diadi (vedi Figura 1.44). Gli angoli di cui ruotano i membri della diade di sinistra
sono al solito indicati con βj e αj . Per distinguerli da quelli della diade di destra, si
introduce la notazione di Figura 1.46) con cui la (1.7) diventa, per il lato sinistro
(
)
(
)
W eiϕj − 1 + Z eiγj − 1 = δ j
(1.14)
e, analogamente, per il lato destro
)
(
)
(
W∗ eiψj − 1 + Z∗ eiγj − 1 = δ j
(1.15)
dove, se le posizioni assegnate sono tre, j = 2, 3.
Per la generazione di movimenti, i vettori δ 2 , δ 3 e gli angoli γ2 , γ3 sono assegnati.
Conviene scegliere come parametri arbitrari, gli angoli ϕj per il lato sinistro e gli angoli
ψj per il lato destro, in modo che il problema sia lineare nelle incognite W, Z e W∗ , Z∗ .
Per individuare biella e telaio del quadrilatero articolato, si utilizzano le seguenti:
AB = Z − Z∗
A0 B0 = W + AB − W∗
Una volta trovata la soluzione, occorre verificare che il quadrilatero sia concretamente
in grado di risolvere il problema. In particolare occorre verificare che, per raggiungere
con continuità le posizioni imposte, non si debba smontare e rimontare il quadrilatero in
un’altra configurazione.
1.2. SINTESI CINEMATICA
57
Esempio no.1 Siano assegnate le tre posizioni che deve assumere il segmento di biella di un
quadrilatero articolato (Figura 1.47):
R1 = 1.55 − 0.9i
R2 = 1.75 + 0.3i
R3 = 0.80 + 1.6i
Si può pervenire facilmente alla soluzione
mediante metodo grafico (vedi §1.2.4.2). Infatti, pensando di collocare gli assi delle coppie
rotoidali di biella in corrispondenza degli estremi del segmento AB, è sufficiente intersecare
gli assi dei segmenti A1 A2 e A2 A3 per trovare
A0 , mentre B0 si individua intersecando gli assi
dei segmenti B1 B2 e B2 B3 (vedi Figura 1.48a).
Il quadrilatero che si ottiene è rappresentato in
Figura 1.48b nelle tre posizioni corrispondenti
a quelle assegnate per il segmento.
Si può poi impiegare la (1.7) per verificare la
soluzione ottenuta con il metodo grafico. Fissato un sistema di riferimento complesso (x, iy)
con l’origine in A0 , note le coordinate dei punti A1 , A2 e A3 (vedi Figura 1.49a), dai vettori
complessi: R1 , R2 e R3 , si ricavano i corrispondenti vettori (vedi Figura 1.49b):
δ 2 = R2 − R1 = 0.2 + 1.2i
Figura 1.47: Dati Esempio 1
δ 3 = R3 − R1 = −0.75 + 2.5i
Inoltre, noti gli angoli ϵ della biella rispetto all’asse x, si ricavano le rotazioni di biella
nel passaggio dalla posizione di partenza alla seconda e terza posizione:
γ2 = ϵ2 − ϵ1 = 138◦ − 293◦ = −155◦ = 205◦
γ3 = ϵ3 − ϵ1 = 348◦ − 293◦ = 55◦
Dalla Figura 1.49 si misurano gli angoli θk e σk (k = 1, 2, 3). Si possono cosı̀ valutare
le differenze:
ϕ2 = θ2 − θ1 = 9◦ − 330◦ = −231◦ = 39◦
ϕ3 = θ3 − θ1 = 64◦ − 330◦ = −226◦ = 94◦
◦
◦
◦
◦
ψ2 = σ2 −σ1 = 156 −235 = −79 = 281
ψ3 = σ3 −σ1 = 135◦ −235◦ = −100◦ = 260◦
.
Si scrive la (1.7) per il lato sinistro del quadrilatero (j = 2, 3):
(
)
(
)
(
)
(
)
W eiϕ2 − 1 + Z eiγ2 − 1 = δ 2 W eiϕ3 − 1 + Z eiγ3 − 1 = δ 3
e per il lato destro:
(
)
(
)
(
)
(
)
W∗ eiψ2 − 1 + Z∗ eiγ2 − 1 = δ 2 W∗ eiψ3 − 1 + Z∗ eiγ3 − 1 = δ 3
da cui, introducendo i vettori δ e gli angoli misurati, si ricavano, per il lato sinistro:
58
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
◦
W = 1.54 − 0.89i = W eiθ1 = 1.78 ei330
Z = 0.004 − 0.018i = 0 ei284
◦
e per il lato destro:
◦
◦
W∗ = −1.14 − 1.65i = W ∗ eiσ1 = 2 ei235
Z∗ = −0.31 + 0.73i = 0.79 ei113 .
I risultati ottenuti confermano il risultato ottenuto graficamente. In particolare, avendo collocato gli assi delle coppie rotoidali di biella in corrispondenza degli estremi del
segmento da collocare nelle tre posizioni del piano, risulta che il modulo del vettore Z è
praticamente nullo.
(a)
(b)
Figura 1.48: Esempio 1: procedimento grafico
(a)
Figura 1.49: Esempio 1: verifica del procedimento grafico
(b)
1.2. SINTESI CINEMATICA
59
Come detto in precedenza, una volta trovata la soluzione, occorre verificare che il
quadrilatero sia in grado di raggiungere con continuità le posizioni imposte senza dover
cambiare configurazione.
Nel caso in esame, se il membro movente è l’asta di sinistra adiacente al telaio, la configurazione relativa alla prima posizione del segmento AB è diversa dalla configurazione
relativa alle altre due posizioni (vedi Figura 1.50a). Pertanto, per passare dalla prima
alla seconda (e poi alla terza) occorre prima ruotare l’asta A0 A1 in senso orario fino a
far giungere il quadrilatero in posizione singolare, far assumere al quadrilatero l’altra
configurazione (ad esempio impiegando un riscontro elastico, e poi ruotare il movente
in senso orario fino a far occupare al segmento AB le due posizioni A2 B2 e A3 B3 (vedi
Figura 1.50b).
(a)
Figura 1.50: Esempio 1: verifica delle configurazioni
(b)
60
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Esempio no.2 Si debba progettare un quadrilatero articolato per trasferire delle scatole
dal nastro convogliatore 1 al nastro 2 (Figura 1.51).
I dati sono i seguenti:
δ 2 = −6 + 11i
γ2 = 22◦
δ 3 = −17 + 13i
γ3 = 68◦
Scelti ad arbitrio,
per il lato sinistro: ϕ2 = 90◦
ϕ3 = 198◦
◦
e per il lato destro: ψ2 = 40
ψ3 = 73◦
Risulta:
◦
◦
◦
◦
W = 5.77 ei4.78
W∗ = 18.38 e−i2.1
Z = 15.02 e−i13.36
Z∗ = 6.12 ei103.42
!
Figura 1.51: Esempio 2
Figura 1.52: Esempio 2: soluzione
1.2. SINTESI CINEMATICA
1.2.8.4
61
Sintesi di un QA per la generazione di traiettorie in tempi stabiliti
(3 punti di precisione)
Si faccia riferimento alla Figura 1.53.
Per il lato sinistro si può scrivere:
(
)
(
)
W eiϕj − 1 + Z eiγj − 1 = δ j
e, analogamente, per il lato destro
(
)
(
)
W∗ eiψj − 1 + Z∗ eiγj − 1 = δ j
dove, se le posizioni assegnate sono tre, j assume i valori 2 e 3.
I vettori δ 2 e δ 3 sono assegnati, mentre questa volta, al contrario di quanto avviene
per la generazione di movimenti, sono assegnati gli angoli ϕ2 e ϕ3 .
Per il lato sinistro, scelti ad arbitrio γ2 e γ3 (in modo che il problema sia lineare) si
determinano le incognite W e Z.
Naturalmente, per il lato destro gli angoli γ2 e γ3 sono ancora gli stessi scelti per il
lato sinistro. Una volta scelti ad arbitrio gli angoli ψ2 e ψ3 , sarà possibile determinare i
vettori W∗ e Z∗ .
Si possono infine determinare: AB = Z − Z∗ e A0 B0 = W + AB − W∗
!
Figura 1.53: Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di traiettorie
62
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Esempio no.3 Si debba progettare un quadrilatero articolato in cui un punto di biella
descriva una traiettoria di forma ellittica passante per tre punti di precisione in tempi
assegnati (Figura 1.54).
I dati sono i seguenti:
R1 = 2 − 0.75i
R2 = 0.6 − 1.51i
◦
ϕ2 = 126
ϕ3 = 252◦
da cui risulta:
δ 2 = −1.4 − 0.76i
δ 3 = −1.0 − 2.3i
Scelti ad arbitrio,
per il lato sinistro: γ2 = −6◦
e per il lato destro: ψ2 = 33◦
Risulta:
◦
W = 1.00 ei53.78
R3 = 1 − 3.05i
γ3 = 37◦
ψ3 = 37◦ (gli angoli γ sono gli stessi del lato sinistro)
W∗ = 2.99 ei108.38
◦
◦
Z = 1.90 ei105.86
Figura 1.54: Esempio 3: soluzione
Z∗ = 2.00 ei185.40
◦
1.2. SINTESI CINEMATICA
1.2.8.5
63
Sintesi di un QA per la generazione di funzioni (3 valori)
Si faccia ora riferimento alla Figura 1.55. Per la generazione di funzioni, occorre correlare
le rotazioni prescritte del membro input con quelle dell’output. In altre parole è assegnato
il legame tra gli angoli ϕj e ψj . Si noti che in questo caso la posizione di biella non ha
interesse.
Figura 1.55: Sintesi di un quadrilatero articolato per la generazione di funzioni
Deve valere la chiusura dell’anello B0 B1 A1 A0 Aj Bj B0 , cioè deve aversi:
(
)
(
)
(
)
W eiϕj − 1 + AB eiγj − 1 − W∗ eiψj − 1 = 0
(1.16)
La (1.16) è l’equazione per i problemi di generazione di funzioni. La (1.16) non è
nella forma standard (vedi (1.7)) perciò si devono rivedere i discorsi fatti a proposito di
posizioni prescritte e numero di scelte arbitrarie.
Se n è il numero di posizioni assegnate, si riescono a scrivere n − 1 equazioni vettoriali
come la (1.16), il che equivale ad avere 2(n − 1) equazioni scalari. Il numero di incognite
scalari è 6 + n − 1 (i vettori W, AB, W∗ e gli angoli γj (j = 2, 3, . . . , n)). Il numero di
scelte arbitrarie sarà pertanto pari alla differenza tra il numero di incognite ed il numero
di equazioni, cioè: 6 + n − 1 − 2(n − 1) = 7 − n. Ne risulta che sette è il massimo numero
di posizioni che è possibile assegnare per generare funzioni mediante un quadrilatero
articolato. La Tabella 1.2 riassume la situazione.
Si supponga ora di scegliere arbitrariamente due delle sette incognite scalari originarie,
ad esempio W∗ (o, in alternativa, W). Ponendo le quantità note a secondo membro della
(1.16) si ha:
(
)
(
)
(
)
W eiϕj − 1 + AB eiγj − 1 = W∗ eiψj − 1 = δ j
(1.17)
La (1.17) è nella forma standard e la Tabella 1.2 diventa equivalente alla Tabella 1.1.
La scelta arbitraria di W∗ fissa la scala del quadrilatero ed il suo orientamento, ma
non incide sulla funzione che lega le rotazioni ϕj e ψj . Una volta ottenuto il quadrilatero,
tutto il meccanismo può essere scalato ed orientato in qualunque maniera senza modificare tale relazione. Questo non succede per i generatori di movimento o di traiettoria,
64
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Tabella 1.2: Numerosità delle soluzioni
Numero di
Numero di
Numero di
posizioni
equazioni
incognite
j = 2, 3, . . . , n scalari e = 2(n − 1) scalari i = 6 + n − 1
2
2
7 (W, W∗ , Z, γ2 )
3
4
8 (precedenti +γ3 )
4
6
9 (precedenti +γ4 )
5
8
10 (precedenti +γ5 )
6
10
11 (precedenti +γ6 )
7
12
12 (precedenti +γ7 )
Numero di
soluzioni
(∞i−e )
∞5
∞4
∞3
∞2
∞1
finito
nei quali la modifica della lunghezza di un’asta fa cambiare anche il movimento o la traiettoria generati. Poiché la funzione ψj = f (ϕj ) non dipende dalla scelta di W∗ , non ha
senso includere quest’ultimo vettore tra le incognite del problema. Una volta ricondotto il
problema alla forma standard ((1.17)), è necessario sintetizzare una sola diade (quella formata dai vettori W e AB) a differenza di quanto accade per la generazione di movimenti
e di traiettorie dove occorre individuarne due (W, Z e W∗ , Z∗ ).
Procedimento Nel caso in cui n = 3 (tre valori della funzione) si procede nel seguente
modo:
(
)
(
)
(
)
W eiϕ2 − 1 + AB eiγ2 − 1 − W∗ eiψ2 − 1 = 0
(
)
(
)
(
)
W eiϕ3 − 1 + AB eiγ3 − 1 − W∗ eiψ3 − 1 = 0
I dati assegnati sono gli angoli: ϕ2 ϕ3 ψ2 ψ3 . Scelto ad arbitrio W∗ risultano noti
δ 2 e δ 3 e il problema si presenta nella forma standard:
(
)
(
)
(
)
(
)
W eiϕ2 − 1 + AB eiγ2 − 1 = δ 2
W eiϕ3 − 1 + AB eiγ3 − 1 = δ 3
Scelti ad arbitrio gli angoli γ2 e γ3 il problema è lineare nelle incognite W e AB.
1.2. SINTESI CINEMATICA
65
Esempio no.4 Si debba progettare un meccanismo per movimentare schienale e poggiapiedi della poltrona di Figura 1.56.
Dati del Primo quadrilatero:
ϕ2 = 50◦
ψ2 = 22.5◦
ϕ3 = 75◦
Scelte arbitrarie:
◦
γ2 = 7◦
γ3 = 12◦
W∗ = B0 B = 1 ei270
ψ3 = 45◦
Dati del Secondo quadrilatero:
ϕ2 = 40◦
ψ2 = 22.5◦
ϕ3 = 70◦
Scelte arbitrarie:
◦
γ2 = 8◦
γ3 = 13◦
W∗ = A′0 A′ = 1 ei145
Risultati Primo quadrilatero:
◦
W = A0 A = 0.45 ei169.47
ψ3 = 45◦
◦
AB = 4.33 ei323.48
Risultati Secondo quadrilatero:
◦
◦
W = B′0 B′ = 0.68 ei91.90
B′ A′ = 2.37 ei232.44
!
Figura 1.56: Esempio 4
!
66
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
1.2.8.6
Sintesi di un QA per la generazione di funzioni: Tecnica del loop
chiuso
Si consideri il quadrilatero articolato di Figura 1.57 e si scriva l’equazione di chiusura; si
ottiene:
Z2 + Z3 − Z4 + Z1 = 0
(1.18)
Per la generazione di funzioni, solo le relazioni tra gli angoli hanno interesse, perciò
è possibile scalare il meccanismo ed orientarlo in modo qualunque senza modificare tali
relazioni. Si può allora assumere Z1 = −1, cioè il telaio di lunghezza unitaria, diretto ed
orientato come l’asse reale del sistema di riferimento. La (1.18) si modifica e diventa:
Z2 + Z3 − Z4 − 1 = 0
(1.19)
Nella j-esima posizione assunta dal quadrilatero si ha:
Z2 eiϕj + Z3 eiγj − Z4 eiψj − 1 = 0
(1.20)
La (1.20) è una equazione non omogenea, lineare nelle incognite Z2 , Z3 , Z4 a coefficienti
complessi.
Se sono tre i valori assegnati alla funzione, si ha:
Z2 + Z3 − Z4 = 1
Z2 eiϕ2 + Z3 eiγ2 − Z4 eiψ2 = 1
Z2 eiϕ3 + Z3 eiγ3 − Z4 eiψ3 = 1
I dati sono gli angoli ϕ2 ϕ3 ψ2 ψ3 .
Le incognite sono i vettori Z2 , Z3 , Z4 e gli angoli γ2 e γ3 .
Si hanno perciò 6 equazioni scalari e 8 incognite scalari e, come ci si attendeva (vedi
Tabella 1.1), le soluzioni sono ∞2 . Scelti ad arbitrio gli angoli γ2 e γ3 , restano 3 equazioni
vettoriali nelle tre incognite vettoriali Z2 , Z3 , Z4 .
Figura 1.57: Tecnica del loop chiuso
1.2. SINTESI CINEMATICA
1.2.8.7
67
Sintesi di un QA per la generazione di funzioni: Order synthesis
In molte situazioni l’obiettivo della sintesi cinematica riguarda non solo le posizioni ma
anche velocità ed accelerazioni. Si parla di order synthesis. Tale obiettivo può essere
raggiunto impiegando il metodo del loop chiuso visto al paragrafo precedente. è sufficiente
derivare una e due volte rispetto al tempo la (1.18)). Con riferimento alla Figura 1.58, si
ottiene:
Per la posizione:
Z2 + Z3 − Z4 = −Z1
Z2 eiθ2 + Z3 eiθ3 − Z4 eiθ4 = −Z1 eiθ1
Per la velocità:
Z2 ω2 i eiθ2 + Z3 ω3 i eiθ3 − Z4 ω4 i eiθ4 = 0
Z2 ω2 + Z3 ω3 − Z4 ω4 = 0
Per l’accelerazione:
Z2 (ω̇2 i − ω22 ) eiθ2 + Z3 (ω̇3 i − ω32 ) eiθ3 − Z4 (ω̇4 i − ω42 ) eiθ4 = 0
Z2 (ω̇2 i − ω22 ) + Z3 (ω̇3 i − ω32 ) − Z4 (ω̇4 i − ω42 ) = 0
dω
d2 θ
dθ
= 2.
Essendo naturalmente: ω = , ω̇ =
dt
dt
dt
Se, al solito, si considerano tre posizioni (che è ancora il massimo numero per ottenere
un problema lineare nelle tre incognite Z2 , Z3 , Z4 ), una volta assunto Z1 = −1, si ottiene
un sistema di tre equazioni vettoriali:
Z2 + Z3 − Z4 = 1
Z2 ω2 + Z3 ω3 − Z4 ω4 = 0
Z2 (ω̇2 i − ω22 ) + Z3 (ω̇3 i − ω32 ) − Z4 (ω̇4 i − ω42 ) = 0
che, note le velocità angolari ω2 , ω3 , ω4 e le accelerazioni angolari ω˙2 , ω˙3 e ω˙4 , fornisce le
tre incognite vettoriali Z2 , Z3 , Z4 .
Figura 1.58: Order synthesis
68
CAPITOLO 1. SISTEMI ARTICOLATI
Riferimenti Bibliografici
[Dou88]
Samuel Doughty. Mechanics of machines. Wiley New York, 1988.
[ESK84] Arthur G Erdman, George N Sandor, and Sridhar Kota. Mechanism design:
analysis and synthesis. Prentice-Hall Englewood Cliffs, 1984.
[FMM05] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di Meccanica applicata
alle macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. Pàtron
editore S.r.l., Bologna, 2005.
[Gal86]
Carlo U Galletti. A note on modular approaches to planar linkage kinematic
analysis. Mechanism and Machine Theory, 21(5):385–391, 1986.
[Pau79]
B Paul. Kinematics and Dynamics of Planar Machinery. Prentice-Hall, 1979.
Capitolo 2
Meccanismi con Camme
2.1
2.1.1
Classificazione
Meccanismi con camme piane
!
Figura 2.1: Camme Piane: a)b)c)d)e) Cedente traslante (Punteria); f) Cedente rotante
(Bilanciere); a)b)c)d) Punteria centrata; e) Punteria eccentrica; a) Punteria a coltello;
b)e)f) Cedente con rotella; c) Punteria a piattello; d) Punteria sferica
69
70
2.1.2
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Meccanismi con camme spaziali
!
Figura 2.2: Camme Spaziali
2.1. CLASSIFICAZIONE
2.1.3
71
Accoppiamenti di forza
!
!
Figura 2.3: Accoppiamenti di forza
72
2.1.4
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Accoppiamenti di forma
!
!
Figura 2.4: Accoppiamenti di forma
!
!
!
Figura 2.5: Accoppiamenti di forma
2.1. CLASSIFICAZIONE
73
!
!
Figura 2.6: Accoppiamenti di forma
!
74
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
2.2
Nomenclatura
!
Figura 2.7: Accoppiamenti di forma
• Trace Point (Punto di riferimento): Punto teorico sul cedente; corrisponde al
punto sul tagliente di una punteria a coltello. Nel caso di punteria a rotella coincide
con il centro della rotella. Nel caso di punteria a piattello è l’intersezione della
superficie del piattello con la parallela all’asse della punteria passante per il centro
della camma. La sua traiettoria è il profilo primitivo.
• Pitch Curve (Profilo Primitivo): traiettoria del punto di riferimento nel moto
del cedente rispetto alla camma.
• Cam Profile (Profilo della camma): profilo della camma a contatto con il
cedente. Per la punteria a coltello, il profilo della camma coincide con il profilo
primitivo.
• Base Circle (Cerchio di Base): la più piccola circonferenza, con centro nell’asse
di rotazione della camma, tangente al profilo camma.
• Pressure Angle (Angolo di Pressione ): angolo tra la normale al profilo
primitivo e la direzione del moto del cedente.
2.3. ANALISI CINEMATICA
2.3
75
Analisi cinematica
Problema: nota la forma della camma e il tipo di meccanismo, determinare posizione,
velocità ed accelerazione del cedente.
È un problema che si presenta raramente poiché ciò che si conosce è proprio la legge
di moto del cedente ed è in base a questa che si determina la forma della camma. Vediamo comunque come sia possibile risolverlo individuando sistemi articolati equivalenti dal
punto di vista cinematico ai meccanismi a camma.
2.3.1
Meccanismi cinematicamente equivalenti
Prendiamo in esame il meccanismo a camma con punteria a rotella rappresentato in
Figura 2.8. È facile vedere che nell’intorno di una qualunque configurazione esso è cinematicamente equivalente ad un manovellismo di spinta avente per telaio il telaio del
meccanismo a camma, per corsoio la punteria e la cui biella ha gli assi delle coppie rotoidali in corrispondenza dei centri di curvatura dei profili di camma e rotella. Infatti la
distanza O2 O3 resta invariata per uno spostamento infinitesimo del meccanismo.
Per l’analisi cinematica si può allora procedere con i metodi noti per i sistemi articolati piani. Ovviamente occorre conoscere le posizioni del centro di curvatura del profilo
camma.
!
Figura 2.8: Camma con punteria a rotella centrata e sistema articolato equivalente
Per il meccanismo a camma e bilanciere rappresentato in Figura 2.9, il meccanismo
cinematicamente equivalente è un quadrilatero articolato avente per telaio il telaio del
meccanismo a camma, con biella avente gli assi delle coppie rotoidali in corrispondenza
dei centri di curvatura dei profili di camma e rotella e aste incernierate in corrispondenza
degli assi di camma e bilanciere.
76
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Analogo ragionamento può essere impiegato per determinare il meccanismo cinematicamente equivalente ad un meccanismo a camma con piattello (vedi Figura 2.10).
!
Figura 2.9: Meccanismo camma-bilanciere e sistema articolato equivalente
!
Figura 2.10: Camma con punteria a piattello eccentrica e sistema articolato equivalente
2.4. SINTESI CINEMATICA CON METODO GRAFICO
2.4
77
Sintesi cinematica: tracciamento del profilo camma con metodo grafico
Problema: assegnata la legge di moto si deve disegnare la camma atta ad imporre al
cedente tale legge di moto.
In generale, stabilita la funzione da generare s = s(θ), è necessario determinare i profili
coniugati dei due membri a contatto nella coppia superiore. Solitamente la forma di uno
dei due profili è nota (profilo circolare, rettilineo,. . . ). La determinazione dell’altro profilo
avviene con il metodo dell’inviluppo.
Si considera il moto relativo al membro di cui si vuol determinare il profilo, facendo
assumere al membro di cui è noto il profilo le posizioni definite dagli accoppiamenti e dalla
funzione s = s(θ) che si vuol realizzare.
In altre parole si opera una inversione cinematica assegnando ad ogni membro una velocità
angolare uguale e contraria a quella del membro con profilo da determinare (la camma).
L’inviluppo delle successive posizioni assunte dal membro con profilo noto costituisce il
profilo coniugato che si vuole determinare.
Figura 2.11: Camma con punteria a rotella centrata: sintesi cinematica grafica
!
78
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
(a) !
(! b)
Figura 2.12: a) Camma con punteria a rotella eccentrica: sintesi cinematica grafica; b)
Camma con punteria a piattello centrata: sintesi cinematica grafica
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
2.5
79
Sintesi cinematica con metodi analitici
2.5.1
Camma con punteria a coltello centrata
2.5.1.1
Profilo camma
Per la punteria a coltello, il profilo camma coincide con il profilo primitivo. Possiamo
quindi fare riferimento a quest’ultimo. Per un generico angolo di rotazione camma pari a
θ, la distanza radiale del punto di riferimento dal centro di rotazione della camma è (vedi
Figura 2.13):
OC = R = R0 + s(θ)
Il profilo della camma è definito, in coordinate polari, dal raggio OC e dall’angolo θ.
!
Figura 2.13: Camma con punteria a coltello: determinazione del profilo camma
2.5.1.2
Raggio di curvatura e angolo di pressione
Il centro di curvatura K del profilo primitivo si trova ovviamente sulla normale al profilo
nel punto di contatto (vedi Figura 2.14).
Per trovare il raggio di curvatura del profilo CK = ρ0 , fissiamo un sistema di riferimento
cartesiano complesso (x − jy) con origine nel punto O ed asse reale x coincidente con la
direzione di riferimento θ = 0, e studiamo il moto del punto C.
Tale moto, che istante per istante è approssimabile ad un moto circolare su un arco di
centro K e raggio CK, è composto dal moto relativo al telaio e dal moto di trascinamento.
Nel moto relativo al telaio C si muove lungo il raggio OC. Nel moto di trascinamento C
si muove lungo un arco di centro O e raggio R = R0 + s(θ).
80
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
x
Ro
A
C
a
y
O
K
b
Figura 2.14: Camma con punteria a coltello centrata
Il vettore (C − O) può essere scritto come:
(C − O) = R ejϑ
Definiamo i due seguenti versori ortogonali:
a = ejϑ
π
b = ej (ϑ+ 2 ) = j ejϑ = j a
valgono ovviamente le:
da
= j Ω ejϑ = Ω b
dt
db
= − Ω ejϑ = − Ω a
dt
Si ha inoltre:
dR dϑ
dR
=
= s′ Ω
dt
dϑ dt
d2 R
d s′
d s′ dϑ
′ dΩ
=
Ω
+
s
=
Ω + s′ Ω̇ = s′′ Ω2 + s′ Ω̇
dt2
dt
dt
dϑ dt
(2.1)
(C − O) = R a
(2.2)
Essendo dunque:
la derivata prima, rispetto al tempo, del vettore (C − O) si può scrivere come:
dR
d(C − O)
=
a+ RΩb
dt
dt
(2.3)
mentre la derivata seconda è:
d2 R
dR
dR
d2 (C − O)
=
a+
Ωb+
Ω b + R Ω̇ b − R Ω2 a
2
2
dt
dt
dt
dt
ovvero:
d2 R
dR
d2 (C − O)
=
a+2
Ω b + R Ω̇ b − R Ω2 a
2
2
dt
dt
dt
(2.4)
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
81
Tenendo conto della prima delle (2.1), la (2.3) diventa:
d(C − O)
= s′ Ω a + R Ω b = v⃗r + v⃗t = v⃗a
dt
(2.5)
Nella (2.5) il primo termine a secondo membro è la velocità relativa v⃗r , mentre il
secondo termine è la componente di trascinamento v⃗t . La velocità assoluta v⃗a , ossia la
somma vettoriale dei due termini, è perpendicolare a CK, (vedi Figura 2.15b).
Il modulo della velocità assoluta è poi:
√( )
2
√
d(C − O) √
dR
2 Ω2 = Ω s′2 + R2
2
2
=
+
R
va = v
+
v
=
(2.6)
r
t
dt
dt
Essendo la velocità assoluta perpendicolare a CK (Figura 2.15), si può ricavare semplicemente l’angolo di pressione. Risulta infatti:
tan α =
vr
s′ Ω
s′
=
=
vt
RΩ
R0 + s
!(a)
(2.7)
!(b)
Figura 2.15: Camma con punteria a coltello centrata
Nell’ipotesi in cui la velocità angolare della camma sia costante, l’accelerazione del
punto C diventa (sostituendo le (2.1) nella (2.4)):
d2 (C − O)
= s′′ Ω2 a + 2 s′ Ω2 b − R Ω2 a = a⃗r + a⃗c + a⃗t = a⃗a
dt2
(2.8)
Nella (2.8) il primo termine a secondo membro è l’accelerazione relativa a⃗r , il secondo
termine è la componente di Coriolis a⃗c , mentre il terzo ed ultimo è la componente di
trascinamento a⃗t (vedi Figura 2.15b).
Come noto, il raggio di curvatura è pari al rapporto tra il quadrato del modulo della
velocità assoluta ((2.6)) e la componente normale della accelerazione assoluta ((2.8)). Il
modulo dell’accelerazione assoluta in direzione della normale CK, cioè la aan , vale (vedi
Figura 2.15):
)
( 2
( ′′ 2
)
( ′ 2)
d (C − O)
2
=
−s
Ω
+
R
Ω
cos
α
+
2 s Ω sin α
a an =
dt2
n
82
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
vr
vt
e cos α = , il raggio di curvatura
e tenendo conto che: sin α = d(C
−
O)
d(C
−
O)
dt
dt
risulta essere pari a:
3
3
Ω3 (s′2 + R2 ) 2
(s′2 + R2 ) 2
v2
ρ0 = a =
=
aan
(−s′′ Ω2 + R Ω2 ) RΩ + (2 s′ Ω2 ) s′ Ω
−s′′ R + 2 s′2 + R2
In conclusione è:
ρ0 =
2.5.1.3
[
]3
(R0 + s)2 + s′2 2
(R0 + s)2 − (R0 + s) s′′ + 2s′2
Traiettoria del centro fresa
Il problema della determinazione della traiettoria del centro fresa si riduce ad un caso
particolare del meccanismo a camma con punteria a rotella, si rimanda, quindi, alla
relativa trattazione (vedi §2.5.2.3).
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
2.5.2
Camma con punteria centrata a rotella
2.5.2.1
Profilo primitivo e profilo camma
83
Nel caso di punteria a rotella centrata il profilo camma differisce dal profilo primitivo.
Con riferimento alla Figura 2.16, indicato con K il centro di curvatura del profilo camma,
osserviamo che il meccanismo cinematicamente equivalente è un manovellismo di spinta
centrato in cui OK è la manovella, CK la biella e C il corsoio. Osserviamo inoltre che tale
meccanismo equivalente è comune anche al meccanismo a camma con punteria a coltello.
Pertanto K è, come ovvio, anche centro di curvatura del profilo primitivo.
Indicato con P il punto di tangenza tra rotella e profilo della camma, osserviamo che,
in generale, P non si trova sul segmento OC per cui è errato ottenere il profilo della
camma detraendo in senso radiale il raggio Rr della rotella dalla quantità:
OC = Rb + r + s(θ) = R0 + s(θ)
che rappresenta il profilo primitivo.
!
Figura 2.16: Camma con punteria centrata a rotella: determinazione del profilo camma
Profilo interno
Applicando il teorema di Carnot al triangolo CP O (Figura 2.16), si ha:
√
P O = Rr 2 + (R0 + s)2 − 2Rr (R0 + s) cos α
Inoltre, posto: β = φ − θ
per il teorema dei seni sullo stesso triangolo risulta:
P O sin β = CP sin α
84
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
(
da cui si ricava:
β = arcsin
Rr
sin α
PO
)
Il profilo camma è allora espresso dalle coordinate polari:
PO
(
φ = θ + arcsin
Rr
sin α
PO
)
Profilo esterno
Esiste naturalmente anche il profilo esterno. Tale profilo viene impiegato nel caso di
camma a disco con scanalatura (contatto di forma). Per determinarlo facciamo riferimento
alla Figura 2.17.
Applicando il teorema di Carnot al triangolo CP O, si ha:
√
P O = Rr 2 + (R0 + s)2 + 2Rr (R0 + s) cos(α)
Inoltre, posto: β = θ − φ
proiettando OP e OC sulla normale a OC passante per il punto P , risulta:
P O sin β = CP sin α
(
da cui si ricava:
β = arcsin
Rr
sin α
PO
)
Il profilo esterno della camma è allora espresso dalle coordinate polari:
PO
φ = θ − arcsin
(
Rr
sin α
PO
)
!
Figura 2.17: Camma con punteria centrata a rotella: profilo camma esterno
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
2.5.2.2
85
Raggio di curvatura
Come osservato in precedenza, per questo meccanismo il profilo camma differisce dal
profilo primitivo (vedi Figura 2.18).
Per determinare il raggio di curvatura della camma è sufficiente osservare che il punto
di contatto P tra camma e rotella si trova sulla congiungente C e K ad una distanza dal
centro della rotella pari a CP = Rr . Il raggio di curvatura del profilo camma è dunque:
ρ = P K = CK − CP ovvero: ρ = ρ0 − Rr .
In definitiva il raggio di curvatura vale:
ρ=
[
]3
(R0 + s)2 + s′2 2
(R0 + s)2 − (R0 + s)s′′ + 2s′2
− Rr
(2.9)
dove: R0 = Rb + Rr .
Si osservi che R0 è il raggio base della corrispondente camma con punteria a coltello,
mentre Rb il raggio base della camma con punteria centrata a rotella.
!
Figura 2.18: Camma con punteria centrata a rotella: raggio di curvatura del profilo
camma
86
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
2.5.2.3
Traiettoria del centro fresa
Come è ovvio, se il raggio della fresa Rf coincide con il raggio del rullo Rr , la traiettoria
del centro fresa coincide con il profilo primitivo.
In caso contrario il centro fresa si trova sulla normale al profilo della camma e dista dal
punto C una quantità pari a: CF = Rf − Rr .
!
Figura 2.19: Camma con punteria centrata a rotella: traiettoria del centro fresa
Applicando il teorema di Carnot al triangolo F CO (Figura 2.19), si ha:
√
OF = (CF )2 + (CO)2 + 2(CF )(CO) cos α
Inoltre, posto: γf = θ − φf
proiettando OF e OC sulla normale a OC passante per il punto F , risulta:
CF sin α = OF sin γf
(
da cui si ricava:
γf = arcsin
CF
sin α
OF
)
La traiettoria del centro fresa è quindi espressa dalle coordinate polari:
OF
φf = θ − arcsin
(
CF
sin α
OF
)
Queste espressioni sono valide anche per il caso di punteria a coltello dove naturalmente,
essendo Rr = 0, si ha CF = Rf .
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
2.5.3
Camma con punteria a piattello centrata
2.5.3.1
Profilo camma
87
Effettuata l’inversione cinematica, in una posizione generica la distanza tra l’asse O della
camma e il punto di riferimento C (C è l’intersezione tra la superficie del piattello e la
parallela al moto della punteria passante per O) vale:
OC = Rb + s(θ)
Il punto di contatto P in generale non coincide con il punto di riferimento.
!
Figura 2.20: Camma con punteria a piattello centrata: determinazione del profilo camma
Dal triangolo OCP risulta (Figura 2.20):
√
OP = OC 2 + CP 2
Inoltre, possiamo osservare che la distanza CP è la medesima che si ha tra il centro della
camma O ed il centro di istantanea rotazione tra camma e punteria. Pertanto il segmento
CP rappresenta la velocità della punteria a meno della velocità angolare della camma (è
il coefficiente di velocità della punteria), ovvero:
CP =
Inoltre si ha:
tan γ =
ṡ
Ωs′
=
= s′
Ω
Ω
s′
CP
=
OC
Rb + s(θ)
e, posto: φ = θ + γ
il profilo camma risulta espresso dalle coordinate polari:
√
OP = [Rb + s(θ)]2 + s′2
[
]
s′
φ = θ + arctan
Rb + s(θ)
88
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
2.5.3.2
Dimensionamento del piattello
Il piattello deve risultare lungo almeno una quantità pari a:
(CP )max − (CP )min = (s′ )max − (s′ )min
2.5.3.3
Traiettoria del centro fresa
Dal triangolo OC ′ F (Figura 2.21) risulta:
√
OF = (OC ′ )2 + (C ′ F )2
dove:
e
C ′ F = CP = s′
OC ′ = Rb + Rf + s(θ)
Inoltre si ha:
tan γ f =
C ′F
s′
=
OC ′
Rb + Rf + s(θ)
Infine, posto: φf = θ + γf
le coordinate del centro fresa sono:
√
OF = [Rb + Rf + s(θ)]2 + s′2
]
[
s′
φf = θ + arctan
Rb + Rf + s(θ)
!
Figura 2.21: Camma con punteria a piattello centrata: traiettoria del centro fresa
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
2.5.3.4
89
Raggio di curvatura
Con riferimento alla Figura 2.22, per calcolare il raggio di curvatura del profilo camma ρ,
si può scrivere la seguente equazione vettoriale:
OK + KP + PC + CO = 0
che può essere proiettata lungo le direzioni della normale e della tangente al profilo in P .
Posto uguale a γk l’angolo P KO, si ha:
OC = P K + OK cos(π − γk ) = P K − OK cos γk
CP = OK sin(π − γk ) = OK sin γk
Derivando la seconda rispetto a θ risulta:
d(CP )
d(s′ )
=
= s′′ = OK cos γk
dθ
dθ
che, sostituita nella prima equazione, fornisce il raggio di curvatura del profilo:
ρ = P K = OC + OK cos γk = OC + s′′
!
Figura 2.22: Camma con punteria a piattello centrata: determinazione del raggio di
curvatura
90
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
2.5.4
Meccanismo camma-bilanciere con rotella
2.5.4.1
Profilo primitivo
La posizione iniziale del cedente è quella tratteggiata in Figura 2.23, in cui la rotella si
appoggia al cerchio di base di raggio Rb all’inizio del tratto di salita ed il cedente forma
con il telaio O1 O2 l’angolo β0 .
Ovviamente in questo caso la s(θ) rappresenta le rotazioni del cedente; si ha che l’angolo
che il bilanciere forma con il telaio è dato da:
β(θ) = β0 + s(θ)
O2
α
N
β+γ b
γ
β
d
C
ϕC
αC
αK
M
G
θ
β0
O2
O1
K
L
ω
γ
Figura 2.23: Meccanismo camma-bilanciere
Per determinare il profilo primitivo si ponga: O1 O2 = d e O2 C = b. Dal triangolo
O1 GC risulta:
√
O1 C = CG2 + O1 G2
[
]
CG
αC = arctan
O1 G
dove:
CG = b sin β
O1 G = d − b cos β
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
91
Le coordinate polari del profilo primitivo sono:
√
O1 C = (b sin β)2 + (d − b cos β)2
[
]
b sin β
φC = θ + αC = θ + arctan
d − b cos β
2.5.4.2
Angolo di pressione
L’angolo di pressione è per definizione l’angolo compreso tra la direzione della velocità
di un punto del cedente e la normale al profilo primitivo. Facendo riferimento alla Figura 2.23, indicato con α l’angolo di pressione, lo stesso resta individuato tra la normale al
segmento O2 C ed il segmento KC (diretto lungo la normale ai profili di camma e rotella).
L’angolo di pressione è quindi determinato dalla:
α=
π
π
− β − γ = − [β0 + s(θ)] − γ
2
2
Per trovarlo serve dunque determinare l’angolo γ.
Si può osservare che il punto L di Figura 2.23 è il centro di istantanea rotazione nel moto
relativo camma-bilanciere, pertanto risulta:
ω O1 L =
da cui si ha:
ds
O2 L
dt
O1 L
1 ds dθ
ds
=
=
= s′
O2 L
ω dθ dt
dθ
Per la similitudine dei triangoli O2 N L e O1 M L risulta anche:
O1 L
O1 M
=
= s′
O2 L
O2 N
Sia γ l’angolo formato dal segmento CK con il segmento O1 O2 . Osservando che:
O1 M = b sin(β + γ) − d sin γ
O2 N = b sin(β + γ)
si ha: b sin(β + γ) − d sin γ = b sin(β + γ)s′ , che dopo alcuni passaggi
tan γ =
1
b sin β(1 − s′ )
d − b cos β(1 − s′ )
espandendo sin(β + γ) e dividendo per cos γ, si ottiene:
b sin β + b cos β tan γ − d tan γ = (b sin β + b cos β tan γ) s′
in cui si può raccogliere tan γ:
tan γ (b cos β − d − s′ b cos β) + b sin β − s′ b sin β = 0
1
fornisce:
92
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
2.5.4.3
Profilo camma
Dal triangolo O1 HP (Figura 2.24) risultano le seguenti:
√
O1 P = P H 2 + O1 H 2
]
[
PH
αP = arctg
O1 H
Essendo:
P H = b sin β − Rr sin γ
O1 H = d − b cos β − Rr cos γ
O2
b
γ
β
P'
d
C
H'
P
γ
ϕP
αP
H
θ
β0
O2
O1
K
ω
γ
Figura 2.24: Meccanismo camma-bilanciere: determinazione del profilo camma
Le coordinate polari del profilo camma interno sono date da:
√
O1 P = (b sin β − Rr sin γ)2 + (d − b cos β − Rr cos γ)2
[
]
b sin β − Rr sin γ
φP = θ + αP = θ + arctan
d − b cos β − Rr cos γ
Per il profilo camma esterno risulta invece:
√
′
O1 P = (b sin β + Rr sin γ)2 + (d − b cos β + Rr cos γ)2
[
]
b sin β + Rr sin γ
φP ′ = θ + αP ′ = θ + arctan
d − b cos β + Rr cos γ
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
2.5.4.4
93
Traiettoria del centro fresa
Dal triangolo O1 JF (Figura 2.25) risulta:
√
O1 F = O1 J 2 + JF 2
[
]
O1 J
φf = θ + arctg
JF
dove:
O1 J = b sin β + (Rf − Rr ) sin γ
JF = d − b cos β + (Rf − Rr ) cos γ
O2
b
Rf
F
Rr
γ
β
d
C
γ
ϕF
J
θ
β0
O2
γ O
1
ω
Figura 2.25: Meccanismo camma-bilanciere: traiettoria centro fresa
Pertanto le coordinate polari del centro fresa per tagliare il profilo interno sono:
√
O1 F = [b sin β + (Rf − Rr ) sin γ]2 + [d − b cos β + (Rf − Rr ) cos γ]2
[
]
b sin β + (Rf − Rr ) sin γ
φf = θ + arctan
d − b cos β + (Rf − Rr ) cos γ
Analogamente si ricavano le coordinate polari del centro fresa per tagliare il profilo
esterno
√
′
O1 F = [b sin β − (Rf − Rr ) sin γ]2 + [d − b cos β − (Rf − Rr ) cos γ]2
[
]
b sin β − (Rf − Rr ) sin γ
φF ′ = θ + arctan
d − b cos β − (Rf − Rr ) cos γ
94
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
2.5.4.5
Raggio di curvatura
O2
α
b
β+γ
γ
β
d
C
αK
θ
β0
O2
O1
K
ω
γ
Figura 2.26: Meccanismo camma-bilanciere con rotella: raggio di curvatura del profilo
camma
Con riferimento alla Figura 2.26, per calcolare il raggio di curvatura del profilo primitivo
ρ0 , si può scrivere la seguente equazione vettoriale:
O1 K + KC + CO2 + O2 O1 = 0
(2.10)
Proiettando la (2.10) secondo la direzione del telaio e della sua normale si ottiene:
O1 K cos αK + ρ0 cos γ + b cos β − d = 0
O1 K sin αK + ρ0 sin γ − b sin β = 0
(2.11)
Derivando la seconda delle (2.11) rispetto all’angolo camma θ, si ha:
O1 K
essendo:
dγ
dβ
dαK
cos αK + ρ0 cos γ − b cos β = 0
dθ
dθ
dθ
1
dαK
= −1
dθ
dβ
ds
=
= s′
dθ
dθ
1
Dal momento che K è il centro di curvatura, se il segmento O1 O2 ruota dell’angolo infinitesimo dθ,
il segmento O1 K resta fisso e, pertanto, l’angolo αK diminuisce della quantità dθ. In definitiva si ha:
dαK
(αK − dθ) − αK
=
= −1
dθ
dθ
2.5. SINTESI CINEMATICA CON METODI ANALITICI
risulta:
95
O1 K cos αK = ρ0 γ ′ cos γ − bs′ cos β
che sostituita nella prima delle (2.11) fornisce:
ρ0 =
ed infine:
d − b cos β − ρ0 γ ′ cos γ + bs′ cos β
cos γ
3
ρ0 =
d − b cos(β0 + s)(1 − s′ )
cos γ(1 + γ ′ )
Il raggio di curvatura del profilo camma interno vale:
ρ = ρ0 − Rr
I valori di γ ′ e di cos γ da inserire nella formula per il calcolo del raggio di curvatura del profilo si
ricavano in base alle seguenti:
( )
b sin β(1 − s′ )
D
D
tan γ =
=
γ = arctan[tan γ] = arctan
′
d − b cos β(1 − s )
C
C
[
( )]
d
D
1
D′ C − DC ′
D′ C − DC ′
γ′ =
arctan
=
=
( D )2
dθ
C
C2
C 2 + D2
1+ C
( )2
1
D
C
2
= 1 + tan γ = 1 +
cos γ = √
2
cos2 γ
C
C + D2
3
96
2.6
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Fenomeno del sottotaglio
Se il raggio di curvatura del profilo primitivo è minore, in valore assoluto, del raggio della
rotella, si verifica il cosiddetto sottotaglio, cioè, pensando di impiegare per la costruzione
del profilo camma una fresa di diametro uguale a quello della rotella, una parte del
contorno della camma viene distrutto durante il taglio. Condizione affinch non si verifichi
sottotaglio è dunque:
|ρ0 | > Rr
(2.12)
Ricordando l’espressione del raggio di curvatura del profilo primitivo nel caso di camma
con punteria centrata a rotella ((2.9)):
ρ0 =
[
]3
(R0 + s)2 + s′2 2
(R0 + s)2 − (R0 + s)s′′ + 2s′2
con: R0 = Rb + Rr .
Si osserva, come del resto è abbastanza intuitivo, che a parità di altre circostanze
(legge di moto, raggio rotella), il pericolo di sottotaglio è tanto maggiore quanto minore
è il raggio base della camma.
In Figura 2.27 è mostrato il caso in cui, a parità di raggio di curvatura del profilo
primitivo si aumenta il raggio del rullo (di conseguenza diminuisce il raggio base). Nel caso
(c) il profilo camma che darebbe luogo al profilo primitivo desiderato dovrebbe presentare
un cappio. Come è ovvio, durante il taglio con una fresa avente diametro pari a quello
del rullo, tale cappio viene distrutto; ne risulta che la camma cosı̀ realizzata non è atta a
generare la legge di moto desiderata.
!
Figura 2.27: Fenomeno del sottotaglio
2.6. FENOMENO DEL SOTTOTAGLIO
2.6.1
97
Convenzione sui segni dei raggi di curvatura
Il raggio di curvatura ρ0 del profilo primitivo è positivo se il centro O della camma si trova
dalla stessa parte del centro di curvatura K. In altre parole ρ0 è positivo se il profilo è
convesso rispetto al centro della camma O. Il raggio di curvatura ρ del profilo camma
è positivo se il materiale si trova dalla stessa parte del centro di curvatura K. In altre
parole ρ è positivo se il profilo è concavo rispetto al centro di curvatura K.
K
K
ρ0
ρ
ρ
ρ0
ρ0
ρ
ρ
ρ0
K
K
O
O
Figura 2.28: Fenomeno del sottotaglio
Dimostriamo ora la (2.12). Con riferimento alla Figura 2.28 abbiamo:
Profilo interno:
ρ = ρ0 − Rr
Profilo esterno:
ρ = −(ρ0 + Rr )
Condizione affinch non si verifichi sottotaglio è che la somma delle curvature di camma
e rotella (o fresa) sia positiva, cioè:
1
1
+
>0
ρ Rr
Per il profilo interno si ha:
1
1
+
>0
ρ0 − Rr Rr
1
1
Rr + ρ0 − Rr
ρ0
+
=
=
>0
ρ0 − Rr Rr
(ρ0 − Rr )Rr
(ρ0 − Rr )Rr
ρ0
>0
(ρ0 − Rr )
(2.13)
98
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Se ρ0 è positivo deve risultare:
ρ0 > 0
ρ 0 > Rr
(2.14)
ρ0 < 0
ρ 0 < Rr
(2.15)
Se ρ0 è negativo deve risultare:
La (2.15) è sempre verificata.
Per il profilo esterno si ha:
1
1
>0
+
−(ρ0 + Rr ) Rr
1
Rr − ρ0 − Rr
−ρ0
1
=
=
>0
+
−(ρ0 + Rr ) Rr
−(ρ0 + Rr )Rr
−(ρ0 + Rr )Rr
ρ0
>0
(ρ0 + Rr )
Se ρ0 è positivo deve risultare:
ρ0 > 0
ρ0 > −Rr
(2.16)
La (2.16) è sempre verificata. Se ρ0 è negativo deve risultare:
ρ0 < 0
ρ0 < −Rr
(2.17)
Dalla (2.14) e dalla (2.17) risulta in conclusione che deve valere la (2.12).
Possiamo anche osservare che quando ρ0 < 0 (il profilo primitivo è concavo) non si hanno
mai problemi per il profilo interno (vedi (2.15)); è il profilo esterno che può essere soggetto
a sottotaglio.
Al contrario, quando ρ0 > 0 (il profilo primitivo è convesso), è il profilo esterno che non
ha problemi di sottotaglio (vedi (2.16)), mentre il profilo interno può esserne affetto.
Se si vuole ragionare in termini di profilo camma, dovendo valere la (2.13) deve essere:
1
1
ρ + Rr
+
=
>0
ρ Rr
ρRr
ρ + Rr
>0
ρ
Se ρ è positivo deve risultare:
ρ>0
ρ > −Rr
che è sempre verificata.
Se ρ è negativo deve risultare:
ρ<0
ρ < −Rr
Possiamo concludere che il sottotaglio può verificarsi quando il profilo camma è concavo
(il materiale non sta dalla parte del centro di curvatura K).
Infine, per quanto riguarda il taglio con una fresa avente raggio Rf diverso da quello
della rotella, deve valere ancora la (2.13) in cui si sostituisce Rf a Rr :
1
1
+
>0
ρ Rf
2.6. FENOMENO DEL SOTTOTAGLIO
ovvero:
1
1
ρ + Rf
+
=
>0
ρ Rf
ρRf
99
ρ + Rf
>0
ρ
Se ρ è positivo deve risultare:
ρ>0
ρ > −Rf
che è sempre verificata.
Se ρ è negativo deve risultare:
ρ<0
ρ < −Rf
Possiamo concludere che anche in questo caso il sottotaglio può verificarsi quando il
profilo camma è concavo (il materiale non sta dalla parte del centro di curvatura K).
Inoltre, qualora risulti Rf ≤ Rr , e non si abbia sottotaglio nei confronti del rullo, non
si hanno problemi nemmeno durante il taglio con la fresa.
Se, al contrario, è Rf ≥ Rr , e si ha sottotaglio nei confronti del rullo, a maggior ragione
si incontrano problemi nel taglio con la fresa.
100
2.7
2.7.1
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Sintesi del profilo camma con il metodo analitico
dell’inviluppo
Inviluppo di una famiglia di curve
Sia S{γc } una famiglia di curve su un piano (x, y) dipendenti dal parametro c. Una curva
γ è detta curva inviluppo della famiglia di curve S se:
• per ogni punto della curva γ è possibile trovare una curva γc della famiglia che sia
tangente a γ nel punto;
• per ogni curva γc della famiglia è possibile trovare un punto di γ nel quale la curva
γc sia tangente a γ;
• nessuna curva della famiglia ha un segmento in comune con la curva γ.
Teorema 1 Siano le curve γc della famiglia S descritte dall’equazione F (x, y, c) = 0, con
F continua e continuamente differenziabile per tutti i suoi argomenti in un intorno del
punto (x0 , y0 , c0 ). Se nel punto (x0 , y0 , c0 ) sono soddisfatte le seguenti condizioni:
F (x0 , y0 , c0 ) = 0
∂F
(x0 , y0 , c0 ) = 0
∂c
∂F
∂x
∂ 2F
∂c∂x
∂F
∂y
∂ 2F
∂c∂y
̸= 0
∂2F
=0
∂c2
Allora in un intorno del punto (x0 , y0 ) e per valori di c appartenenti ad un intorno di
c0 , esiste un inviluppo della famiglia di curve F (x, y, c) = 0.
L’equazione dell’inviluppo è ottenibile dalle due seguenti equazioni:
F (x, y, c) = 0
∂F
(x, y, c) = 0
∂c
esprimendo x e y come funzioni del parametro c oppure esprimendo c come funzione delle
due variabili x, y e introducendo c nell’equazione:
F (x, y, c(x, y)) = 0
2.7.1.1
Esempio 1
4
Si consideri la famiglia di rette espressa dall’equazione: y − cx − = 0.
c
4
∂F
= −x + 2 = 0.
La derivata rispetto al parametro c è:
∂c
c
Ricavando c dalla seconda equazione e introducendolo nella prima si ha: y 2 = 16x, ovvero l’equazione di una parabola simmetrica rispetto all’asse x e passante per l’origine
(Figura 2.29).
2.7. SINTESI ANALITICA CON IL METODO DELL’INVILUPPO
101
!
Figura 2.29: Inviluppo di curve: esempio no. 1
2.7.1.2
Esempio 2
Si consideri la famiglia di curve espressa dall’equazione:
[x2 + (y − c)2 ]2 − b2 [x2 − (y − c)2 ] = 0
rappresentata in Figura 2.30.
∂F
= (y − c)[2x2 + 2(y − c)2 + b2 ] = 0.
∂c
Una soluzione è y = c, che introdotta nella prima equazione fornisce: x2 (x2 − b2 ) = 0 che
ha tre soluzioni: x = b, x = −b e x = 0.
Le prime due sono curve inviluppo della famiglia, mentre non lo è la terza in quanto
consiste nei punti di nodo delle curve della famiglia. Nessuna altra curva inviluppo si
ottiene per la soluzione y ̸= c.
La derivata rispetto al parametro c è:
!
Figura 2.30: Inviluppo di curve: esempio no. 2
102
2.7.1.3
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Esempio 3
Si consideri la famiglia di ellissi di equazione:
Figura 2.31 (a = b = 1, c = −1 . . . 1).
( yc )2
a
+
( x )2
bc
− 1 = 0, rappresentata in
(y ) 2 (x)
∂F
La derivata rispetto al parametro c è:
= 2c
+
= 0, che ha le seguenti
∂c
a√ c3 b
√
yxab
−yxab
soluzioni per il parametro c: c = ±
c=±
.
yb
yb
Introducendo queste nella prima equazione si ottiene l’equazione delle curve inviluppo
ab
della famiglia di ellissi: yx = ± , ossia l’equazione di un asteroide (due iperboli).
2
!
Figura 2.31: Inviluppo di curve: esempio no. 3
2.7.2
Determinazione delle coordinate del profilo camma
Una volta nota la legge di moto s = s(θ), le coordinate del profilo camma si possono
ottenere applicando la teoria dell’inviluppo.
Per meccanismi con cedente a rotella si otterranno due curve inviluppo: una interna ed
una esterna. Quella interna sarà impiegata per le camme a disco, entrambe per le camme
a solco (con scanalatura).
2.7.2.1
Camma con punteria a piattello centrata
Con riferimento alla Figura 2.32, la distanza radiale del punto di riferimento dal centro
di rotazione della camma è:
R = Rb + s(θ)
Applicato il metodo della inversione cinematica, in corrispondenza del generico valore
θi dell’angolo di rotazione della camma, il punto di riferimento va ad occupare la posizione
Pi = (R, θi ) = (xi , yi ).
2.7. SINTESI ANALITICA CON IL METODO DELL’INVILUPPO
103
Il coefficiente angolare mi della retta yi = mi x + bi passante per il punto Pi e la sua
intersezione bi con l’asse y sono, rispettivamente:
mi = tan
(π
2
)
+ θi = − cot (θi )
bi =
R
sin θi
Pertanto l’equazione della famiglia di rette che rappresentano tutte le posizioni occupate
dal piattello è data da:
y = m x + b = −x ctgθ +
R
−x cos θ + R
=
sin θ
sin θ
La funzione F (x, y, θ) è quindi:
F (x, y, θ) = y − m x − b = y sin θ + x cos θ − R = 0
che derivata rispetto a θ si ottiene:
∂F
ds
= y cos θ − x sin θ −
=0
∂θ
dθ
Risolvendo il sistema costituito dalle due equazioni precedenti si ottengono le coordinate
del profilo camma:
ds
sin θ
x = R cos θ −
dθ
ds
y = R sin θ +
cos θ
dθ
!
Figura 2.32: Camma con punteria a piattello centrata: metodo dell’inviluppo
104
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
2.7.2.2
Camma con punteria centrata a rotella
Con riferimento alla Figura 2.33, la distanza radiale del punto di riferimento dal centro
di rotazione della camma è:
R = Rb + r + s(θ)
Applicato il metodo dell’inversione cinematica, in corrispondenza del generico valore
θi dell’angolo di rotazione della camma, l’asse della rotella va ad occupare la posizione
Pi = (R, θi ). L’equazione della circonferenza di raggio pari a quello della rotella e centro
in Pi è, in coordinate cartesiane, la seguente:
(x − R cos θi )2 + (y − R sin θi )2 = r2
Pertanto l’equazione della famiglia di curve che rappresentano tutte le posizioni occupate
dalla rotella è:
F (x, y, θ) = (x − R cos θ)2 + (y − R sin θ)2 − r2 = 0
Derivando rispetto a θ si ottiene:
∂F
ds
ds
= 2(R sin θ −
cos θ)(x − R cos θ) − 2(R cos θ +
sin θ)(y − R sin θ) = 0
∂θ
dθ
dθ
Risolvendo il sistema costituito dalle due equazioni precedenti si ottengono le coordinate
del profilo camma 3 :
√
R3 cos θ + RK 2 cos θ ± r M
x=
R2 + K 2
−x
y=
ds
ds
cos θ + xR sin θ + R
dθ
dθ
ds
sin θ + R cos θ
dθ
!
Figura 2.33: Camma con punteria centrata a rotella: metodo dell’inviluppo
3
K = ds/dθ
M = R4 cos2 θ + 2R3 K sin θ cos θ + R2 K 2 + 2RK 3 sin θ cos θ + K 4 sin2 θ
2.8. ESEMPIO
2.8
105
Esempio
Consideriamo una camma con punteria centrata a rotella. In Figura 2.34 è rappresentata
la legge di moto s(θ) della punteria (in mm). È di tipo cicloidale e presenta un tratto di
salita (di alzata pari a 40 mm) e due di discesa (di alzata 30 e 10 mm); tra due tratti
attivi è presente una sosta.
Le soste sono corrispondenti alle fasi angolari della camma: 20◦ − 50◦ ; 170◦ − 190◦ ;
230◦ − 360◦ .
50
Legge alzata [mm]
40
30
20
10
0
0
50
100
150
200
250
Angolo camma [deg]
300
350
Figura 2.34: Legge di alzata s(θ)
L’espressione della legge cicloidale è la seguente:
[
(
)]
(θ − θi )
1
2π(θ − θi )
s(θ) = Hi
−
sin
βi
2π
βi
dove per l’i-esimo tratto Hi è l’alzata (positiva se di salita), θi è l’angolo di partenza e βi è
l’angolo di “durata”. I coefficienti di velocità e accelerazione hanno dunque l’espressione
seguente:
[
(
)]
ds
Hi
2π(θ − θi )
′
s (θ) =
=
1 − cos
dθ
βi
βi
(
)
2πHi
2π(θ − θi )
d2 s
′′
sin
s (θ) = 2 =
dθ
βi
βi 2
La Figura 2.35 riporta l’andamento di un tratto generico in termini di alzata s e
di coefficienti di velocità s′ e accelerazione s′′ . La Figura 2.36 riporta gli andamenti dei
coefficienti di velocità, s′ (θ), e di accelerazione, s′′ (θ) per la legge di moto della Figura 2.34.
Una volta operata la sintesi della camma, la Figura 2.37a rappresenta la camma che si
ottiene con i valori di raggio base e raggio rotella pari rispettivamente a: Rb = 70 mm e
Rr = 5 mm.
106
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
s( )
s’( )
s’’( )
Figura 2.35: Legge cicloidale
Coefficiente accelerazione [m/rad2]
2
Coefficiente velocita’ [m/rad]
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
0
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
50
100
150
200
250
Angolo camma [deg]
300
350
0
50
100
150
200
250
Angolo camma [deg]
300
350
Figura 2.36: Coefficienti di velocità e accelerazione per la legge di Figura 2.34
80
100
60
Profilo primitivo
Profilo interno
Profilo esterno
50
40
A
20
0
0
B
−20
−50
−40
Profilo primitivo
Profilo interno
Profilo esterno
−60
−100
−100
−80
−50
0
50
100
−60
(a)
−40
−20
0
20
40
60
80
100
(b)
Figura 2.37: Profili ottenuti con: a) Rb = 70 mm; b) Rb = 30 mm (in entrambi i casi
Rr = 5 mm
2.8. ESEMPIO
107
Vediamo cosa succede al diminuire del raggio base, passando ad esempio a Rb = 30
mm (il raggio rotella è ancora pari a Rr = 5 mm). Il risultato è riportato in Figura 2.37b
e si vede che si verifica sottotaglio nelle zona contraddistinte con A e B (vedi anche
ingrandimenti di Figura 2.38).
In Figura 2.39a è riportato l’andamento del raggio di curvatura ρ0 del profilo primitivo
(in valore assoluto). Come si può notare dall’ingrandimento di Figura 2.39b, esso scende
al di sotto del valore limite rappresentato dal raggio del rullo Rr in corrispondenza di due
zone, confermando la presenza di sottotaglio.
10
23.2
23.15
5
23.1
0
23.05
−5
23
22.95
−10
22.9
Profilo primitivo
Profilo interno
Profilo esterno
22.85
22.8
65.9
65.95
66
66.05
66.1
66.15
66.2
66.25
Profilo primitivo
Profilo interno
Profilo esterno
−15
−20
25
66.3
30
35
40
45
50
55
(a)
(b)
Figura 2.38: Ingrandimenti delle zone A e B di Figura 2.37b
200
8
| 0|
[mm] (valore assoluto)
150
100
50
0
[mm] (valore assoluto)
0
| 0|
7
Rr
Rr
6
5
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
Angolo camma [deg]
300
0
0
350
(a)
5
10
15
20
Angolo camma [deg]
25
Figura 2.39: Verifica del sottotaglio: |ρ0 | deve risultare superiore a Rr
30
(b)
108
CAPITOLO 2. MECCANISMI CON CAMME
Riferimenti Bibliografici
[Che82]
Fan Yu Chen. Mechanics and design of cam mechanisms. Pergamon Pr, 1982.
[FMM05] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di Meccanica applicata
alle macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. Pàtron
editore S.r.l., Bologna, 2005.
[FMM09] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di meccanica applicata alle macchine - Seconda parte - Elementi di meccanica degli azionamenti.
Pàtron editore S.r.l., Bologna, 2009.
[Nor09]
Robert L Norton. Cam design and manufacturing handbook. Industrial Press
Inc., 2009.
Capitolo 3
Ruote Dentate
3.1
Raggio primitivo e raggio base
H'
H
γ
L'
L
γ
ρ
R
O
Figura 3.1: Dente in due posizioni corrispondenti ad una rotazione γ della ruota
⌢
⌢
LL′ = ργ
HH ′ = Rγ
⌢
HH ′
⌢
LL′
=
R
1
=
ρ
cos α
109
110
3.2
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Rapporto di trasmissione
Il rapporto di trasmissione è costante e dipende dal rapporto tra i raggi base delle ruote.
O2
ρ2
γ2
L2
L'2
K2
M'
L1
L'1
M
K1
γ1
ρ1
O1
Figura 3.2: Rapporto di trasmissione
⌢
⌢
K1 M = K1 L1
K2 M = K2 L 2
⌢
⌢
K1 M ′ = K1 L′1
K2 M ′ = K2 L′2
⌢
M M ′ = L1 L′1 = ρ1 γ1
⌢
M M ′ = L2 L′2 = ρ2 γ2
Rapporto di trasmissione:
τ=
Ω2
ρ1
=
Ω1
ρ2
3.3. PASSO BASE, PASSO E MODULO
3.3
111
Passo base, passo e modulo
O2
ρ2
θ2
L'2
K2
L2
M'
M
L1
L'1
K1
θ1
ρ1
O1
Figura 3.3: Due denti contigui: passo base
⌢
⌢
L1 L′1 = L2 L′2
ρ1 θ1 = ρ2 θ2
2π
2π
ρ1 =
ρ2
Z1
Z2
Passo base:
pb =
2πρ
Z
112
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
O2
ρ2
θ2
K2
H2
H'2
H1
H'1
K1
θ1
ρ1
O1
Figura 3.4: Due denti contigui: passo (sulla primitiva)
⌢
⌢
H1 H1′ = H2 H2′
R1 θ1 = R2 θ2
2π
2π
R1 =
R2
Z1
Z2
Passo p e modulo m:
p=
2R
2πR
=
π=mπ
Z
Z
3.4. PROPORZIONAMENTO DELLA DENTATURA
3.4
113
Proporzionamento della dentatura
Il dente è proporzionato (vedi Figura 3.5) suddividendo la sua altezza tra la sporgenza o
addendum (differenza tra il raggio della circonferenza di testa e il raggio primitivo) e la
rientranza o dedendum (differenza tra il raggio primitivo e il raggio della circonferenza di
piede).
Indicata con h l’altezza del dente, essa è sempre pari a: h = 2.25 m.
Figura 3.5: Proporzionamento della dentatura
3.4.1
Dentiera normalizzata
Per definire il proporzionamento della dentatura si può fare riferimento alla cosiddetta
dentiera normalizzata (rappresentata in Figura 3.6) in cui l’altezzza del dente vale 2.5 m
ed è ripartita in parti uguali rispetto alla linea di riferimento.
Il modulo ed il passo della dentiera normalizzata vengono indicati rispettivamente con m0
e p0 .
p0 = πm0
=
=
linea di riferimento
=
h = 2.5 m0
=
Figura 3.6: Dentiera normalizzata
114
3.4.2
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Ruote normali e ruote corrette
Il dente segue il proporzionamento normale se (vedi Figura 3.7):
• addendum= m
• dedendum= 1.25 m
Figura 3.7: Proporzionamento normale
!(a)
(! b)
Figura 3.8: Dentatura: a) normale; b) corretta
3.4. PROPORZIONAMENTO DELLA DENTATURA
115
La dentatura normale si può pensare come ottenuta per inviluppo nel rotolamento
della primitiva di taglio della ruota da generare sulla linea di riferimento della dentiera
normalizzata (Figura 3.8a).
Il dente di una dentatura corretta (o modificata) ha sempre altezza apri a h = 2.25 m,
ma questa è differentemente ripartita tra addendum e dedendum rispetto a quanto avviene
per il dente di una dentatura normale.
Nella generazione di una dentatura corretta la primitiva di taglio della ruota da generare risulta spostata dalla linea di riferimento della dentiera normalizzata di una quantità
pari allo spostamento di profilo v (vedi Figura 3.8b).
116
3.5
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Taglio delle ruote dentate
Le ruote dentate vengono comunemente realizzate mediante lavorazione alla macchina
utensile per asportazione di truciolo. Sono meno frequenti gli esempi di ruote dentate
costruite tramite:
• Fusione
• Stampaggio
• Estrusione
La macchina utensile (macchina dentatrice) che esegue il taglio dei denti di norma
genera i profili per inviluppo, nel moto di mutuo rotolamento delle due superfici primitive
di taglio. Esistono anche procedimenti diversi: fresatura con frese modulari (vedi Figura 3.9a) che ha però scarso interesse industriale; taglio di denti di ruote dentate interne
per brocciatura (vedi Figura 3.9b), impiegato in casi particolari.
II taglio delle ruote per inviluppo può essere facilmente compreso se si immagina che
la ruota da dentare sia costituita da materiale modellabile, mentre la ruota generatrice è
molto dura (è costruita in acciaio da utensili). Facendo muovere le due ruote una rispetto
all’altra, garantendo il puro rotolamento tra le rispettive primitive, la ruota generatrice
modella per inviluppo i denti della ruota da dentare (vedi Figura 3.10)
(a)
(b)
Figura 3.9: Taglio di ruota dentata con: a) fresa modulare; b) broccia
!(a)
Figura 3.10: Generazione della dentatura per inviluppo
(b)
!
3.5. TAGLIO DELLE RUOTE DENTATE
3.5.1
117
Macchine dentatrici
Le macchine dentatrici possono essere suddivise in due grandi categorie:
• le dentatrici-stozzatrici, in cui l’utensile ha un moto di taglio traslatorio alterno,
impiegano come utensile una dentiera (Figura 3.11a e Figura 3.11b), oppure una
ruota dentata (coltello Fellows); quest’ultimo il solo utensile in grado di generare
per inviluppo ruote dentate interne (Figura 3.11c e Figura 3.11d).
• le dentatrici a creatore, in cui l’utensile ha moto di taglio rotatorio continuo, impiegano come utensile una fresa-vite (o creatore), i cui filetti in una sezione eseguita
con un piano assiale, sono assimilabili ai denti di una dentiera (Figura 3.12).
(! a)
!
(! b)
(c)
(d)
Figura 3.11: Dentatrici stozzatrici
!
Figura 3.12: Dentatrici a creatore
!
118
3.6
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
R2
Segmento d’azione e arco d’azione
K2
N2
B2 C
B1
A2
A1
N1
K1
R
Figura 3.13: Segmento
e arco d’azione
1
N O
1
C
B
L' L
ϕ
ϕ
K
R
ρ
O
Figura 3.14: Segmento e arco d’azione (fase di recesso)
⌢
CN = LL′ = ρφ
⌢
CB = Rφ = R
⌢
CB = Rφ
CN
CN
=
ρ
cos α
!
3.6. SEGMENTO D’AZIONE E ARCO D’AZIONE
119
O2
R2
R2 + e2
K2
N2
C
B1
R1 + e1
A1
N1
K1
R1
O1
Figura 3.15: Calcolo del segmento di azione
120
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
!
Figura 3.16: Segmento di azione nell’ingranamento rocchetto-dentiera
!
Figura 3.17: Segmento di azione per un ingranaggio interno
3.7. FATTORE DI RICOPRIMENTO
3.7
121
Fattore di ricoprimento
⌢
AB
N1 N2
ε=
=
p
p cos α
Nel caso di ingranamento tra due ruote uguali non corrette, risulta:
√
Z 2 sin2 α + 4 + 4 Z − Z sin α
ε=
π cos α
(3.1)
!
Figura 3.18: Fattore di ricoprimento
!(a)
Figura 3.19: Fattore di ricoprimento: a) in funzione di α; b) in funzione di Z
!
(b)
122
3.8
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Interferenza
!
Figura 3.20: Interferenza nell’ingranamento di due ruote
Con riferimento alla Figura 3.20:
• Ad un dato istante, i due profili sono a contatto in un punto situato sulla linea
d’azione.
• Con il procedere dell’ingranamento, il punto di contatto si sposta per arrivare al
punto particolare K1 .
• Se l’ingranamento proseguisse oltre K1 , chiediamoci quale sarebbe la curva coniugata
al profilo P2
• Nel punto N della linea d’azione il centro di curvatura di P2 è il punto K2 in cui la
linea d’azione risulta tangente alla circonferenza base di P2 .
• Il profilo coniugato a P2 deve avere il suo centro di curvatura in K1 . Denominato
tale profilo con P1′ , esso ha una curvatura diretta nello stesso senso di P2 : si tratta
del ramo fittizio di P1 il quale ovviamente non può essere il fianco di un dente della
ruota 1 atto ad ingranare con il dente della ruota 2 delimitato dal profilo P2 .
• D’altra parte, il primo punto di P1 (punto Q1 ) si trova all’interno del profilo P2 . In
altre parole P2 taglia il ramo reale di evolvente P1 (nel punto S), dando luogo al
fenomeno noto come interferenza.
O2
3.8. INTERFERENZA
123
La condizione di non interferenza è più critica al crescere del numero di denti della ruota
(vedi Figura 3.21a) e al diminuire del numero di denti del pignone (vedi Figura 3.21b).
R2
K2
R2 + e2 lim
N2
C
e2 lim
O2
K1
(! a)
R2
R1
K2
R2 + e2 lim
O1
N2
e2 lim
C
A1
B1
K1
O'1
R1
O1
(! b)
Figura 3.21: Condizione di non interferenza: a) al crescere del numero di denti della ruota;
b) al diminuire del numero di denti del pignone
124
3.8.1
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Calcolo del numero minimo di denti
O2
R2
K2
R2 + e2
N2
C
A1
B1
K1
R
!
Figura 3.22: Calcolo del numero minimo
di denti per evitare interferenza
1
Per evitare interferenza deve essere:
O1
CN1 < CK1
CN2 < CK2
(3.2)
Se R1 < R2 , risulta:
CK1 < CK2
CN2 < CN1
pertanto la prima delle (3.2) implica la seconda. In altri termini, la più gravosa tra le
due disuguaglianze (3.2) è la prima, la quale impone un valore massimo dell’addendum e,
quindi, una condizione sul numero di denti minimo. Infatti, è:
e=m=
2R
Z
Per calcolare il numero minimo di denti, ci poniamo in condizione limite (CN1 = CK1 )
e consideriamo il triangolo O2 CK1 (vedi Figura 3.22). Risulta:
(R2 + e2lim )2 = R22 + R12 sin2 α + 2R2 R1 sin2 α
√
e ≤ emax = −R2 + R22 + R1 (R1 + 2R2 ) sin2 α
3.8. INTERFERENZA
125
2R1
2R1
= e ≤ emax =
= −R2 +
Z1
Z1min
Z1 ≥ Z1min =
√
R22 + R1 (R1 + 2R2 ) sin2 α
2R1
√
2
−R2 + R2 + R1 (R1 + 2R2 ) sin2 α
In conclusione, posto il rapporto di ingranamento τ :
τ =±
Z1
R1
=±
Z2
R2
(τ è positivo per dentature esterne e negativo se una delle due ruote ha dentatutra interna),
il numero di denti minimo vale:
Zmin =
−1 +
√
2τ
(3.3)
1 + τ (2 + τ ) sin2 α
!
α=20°
τ=z1/z2
-½
-¼
0
¼
½
1
zmin
23
20
17
16
15
13
Figura 3.23: Numero minimo di denti per evitare interferenza
!(a)
Figura 3.24: Numero di denti minimo: a) in funzione di α; b) in funzione di τ
!(b)
126
3.8.2
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Interferenza tra pignone e dentiera
Il numero di denti minimo per un pignone che debba ingranare con una dentiera (o per
un pignone che debba essere tagliato da un utensile dentiera) si può ricavare dalla (3.3)
facendo tendere a zero il rapporto di ingranamento τ .
In alternativa, facendo riferimento alla Figura 3.25, dal momento che deve essere:
CN1 ≤ CK1
e si ha:
CN1 =
e0
sin α0
risulta:
CK1 = R1 sin α0 =
m0 Z1
sin α0
2
e0
m0 Z1
≤
sin α0
sin α0
2
ed infine:
Z1 ≥ Z1min =
vale a dire:
Zmin =
2
e0
2
sin α0 m0
2
sin2 α0
(3.4)
Per un angolo di pressione pari a 20◦ la (3.4) porta a Zmin = 17.
C
linea di riferimento
e0
N1
K1
R1
O1
Figura 3.25: Interferenza tra pignone e dentiera: calcolo del numero minimo di denti
3.8. INTERFERENZA
127
La Figura 3.26 mostra la forma della dentatura di un pignone tagliato da un utensile dentiera al diminuire del numero di denti. La Figura 3.27 mostra un particolare
dell’interferenza nel taglio di un pignone con 8 denti.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.26: Forma del dente di un pignone tagliato con un utensile dentiera (dentatura
normale, m0 = 2 mm, α0 = 20◦ ) al diminuire del numero di denti : a) Z = 20; b) Z = 14;
c) Z = 8
!
Figura 3.27: Interferenza nel taglio di un pignone con 8 denti
128
3.9
3.9.1
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Spessore della dentatura
Funzione evolvente
M
W
Q
KM
αM
rM
β
ρ
O
Figura 3.28: Funzione evolvente
β = tan αM − αM = inv αM
3.9.2
Spessore della dentatura
sM
M
s
δ
R
rM
ρ
inv αM
inv α
O
Figura 3.29: Spessore della dentatura
3.9. SPESSORE DELLA DENTATURA
3.9.3
129
Misura Wildhaber
!
Figura 3.30: Misura Wildhaber
WK = (k − 1)pb + Sb
[
]
S
WK = m0 cos α0 (k − 1) π +
+ Z inv α0
m0
(a)
!(b)
Figura 3.31: Misura Wildhaber: a) su ruota a denti dritti; b) su ruota a denti elicoidali
130
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
3.10
Correzione della dentatura
3.10.1
Dentatura normale
!
Figura 3.32: Dentatura normale
La dentatura normale si può pensare come ottenuta per inviluppo nel rotolamento
della primitiva di taglio della ruota da generare sulla linea di riferimento della dentiera
normalizzata (Figura 3.32). Vale quanto segue.
Sulla primitiva di taglio:
p
πm0
=
2
2
Spessore + Vano = p = π m0
Spessore = Vano =
Addendum = Modulo = m0
Dedendum = 1.25 m0
Altezza del dente = 2.25 m0
Raggio primitivo di taglio R =
m0 Z
2
3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA
3.10.2
131
Dentatura corretta
!
Figura 3.33: Dentatura corretta
Nella generazione di una dentatura corretta la primitiva di taglio della ruota da generare risulta spostata dalla linea di riferimento della dentiera normalizzata di una quantità
pari allo spostamento di profilo v (vedi Figura 3.33). Vale quanto segue.
Sulla primitiva di taglio:
Spessore ̸= Vano
Spessore + Vano = p = π m0
Addendum = Modulo = m0 + v
Dedendum = 1.25 m0 − v
Altezza del dente = 2.25 m0
m0 Z
Raggio primitivo di taglio R =
2
Convenzione:
La correzione si intende positiva, e lo spostamento di profilo v è positivo, se la
linea di riferimento della dentiera generatrice è esterna alla primitiva di taglio
della ruota (in Figura 3.33 è v > 0)
Definizione:
Si definisce coefficiente di spostamento x il rapporto tra lo spostamento di
profilo v ed il modulo m0 :
v
x=
m0
132
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
3.10.3
Interasse di riferimento e di lavoro
L’interasse di riferimento a è la somma dei raggi primitivi di taglio:
a = R1 + R2 = m0
Z1 + Z2
2
(3.5)
L’interasse di lavoro a′ è la somma dei raggi primitivi di lavoro:
a′ = R1′ + R2′ = m′
Z1 + Z2
2
(3.6)
in cui m′ è il modulo di lavoro.
Se si desidera un regolare funzionamento con interasse di lavoro pari a quello
di riferimento (a′ = a) deve risultare:
S1 + S2 = π m 0
(3.7)
con S1 e S2 spessori del dente misurati sulla primitiva di taglio.
Infatti, per un regolare funzionamento (in assenza di giochi o interferenze), lo spessore
di un dente di una delle due ruote deve coincidere con quello del vano di un dente dell’altra
ruota (e viceversa), cioè (indicando con l’apice le quantità riferite alle primitive di lavoro):
S1′ = V2′
S2′ = V1′
Inoltre, essendo: S ′ + V ′ = p′ = π m′ , risulta:
S1′ + V1′ = S1′ + S2′ = π m′
Se l’interasse di lavoro coincide con quello di riferimento (le primitive di lavoro coincidono con quelle di taglio e a′ = a = R1 + R2 ), per avere un funzionamento regolare deve
essere:
S1′ + S2′ = S1 + S2 = S1 + V1 = p0 = π m0
Si è pertanto dimostrato che la (3.7) vale se e solo se a′ = a.
Al contrario, se l’interasse di lavoro a′ è diverso da quello di riferimento a risulta:
S1 + S2 ̸= π m0
Osserviamo inoltre che:
S1 + V1 = π m0 è sempre vera, mentre S1 + S2 = π m0 (cioè la (3.7)) è vera solo se a′ = a.
3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA
3.10.4
133
Correzione e interasse
Nel caso di dentatura normale (non corretta) sulla primitiva di taglio si ha (vedi
§3.10.1):
p
πm0
Spessore = V ano = =
2
2
Pertanto, considerate due ruote 1 e 2 risulta:
S1 = V 1 =
πm0
2
S2 = V2 =
πm0
2
e, di conseguenza:
S1 + S2 = πm0
In conclusione:
per un regolare ingranamento tra due ruote normali l’interasse di lavoro deve
coincidere con quello di riferimento (a′ = a).
Viceversa, nel caso di dentatura corretta sulla primitiva di taglio si ha (vedi §3.10.2):
Spessore ̸= V ano
Possono quindi verificarsi due casi:
• Correzione senza variazione di interasse: l’interasse di lavoro viene fatto coincidere
con quello di riferimento
• Correzione con variazione di interasse: l’interasse di lavoro non coincide con quello
di riferimento
In generale, nel caso di correzione della dentatura possiamo distinguere due situazioni:
• la correzione viene effettuata in vista delle esigenze di funzionamento della coppia
di ruote dentate:
– migliorare la resistenza del dente alle sollecitazioni di flessione
– migliorare la resistenza del dente alle sollecitazioni di pressione
– permettere il montaggio con interasse prestabilito
– evitare linterferenza in condizioni di lavoro
• la correzione viene effettuata per evitare interferenza nel taglio di almeno una delle
due ruote dell’ingranaggio.
134
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
3.10.4.1
Correzione senza variazione di interasse
!
Figura 3.34: Correzione senza variazione di interasse
Come appena visto, in questo caso le primitive di taglio coincidono con quelle di lavoro
(funzionamento) e la situazione è quella rappresentata in Figura 3.34.
Si vuole ora dimostrare che quando a′ = a, per assicurare un regolare funzionamento (in assenza di giochi o interferenze) la somma degli spostamenti di
profilo delle due ruote ingrananti deve essere nulla.
A tal proposito si consideri la Figura 3.35 in cui si è apportata una correzione positiva al
pignone 1 (la più piccola tra le due ruote) e una uguale correzione in valore assoluto, ma
negativa, alla ruota 2. È evidente che lo spessore del dente del pignone sulla primitiva di
taglio vale:
⌢
S1 = CA = CB
D’altra parte per la ruota vale:
⌢
S2 = CD = CE
Con l’ausilio della Figura 3.36 è facile convincersi che:
(π
)
π m0
S1 =
+ 2 v1 tan α0 = m0
+ 2 x1 tan α0
2
2
(π
)
π m0
S2 =
− 2 |v2 | tan α0 = m0
+ 2 x2 tan α0
2
2
Per cui risulta:
S1 + S2 = m0 [π + 2 tan α0 (x1 + x2 )]
da cui si vede chiaramente che vale la (3.7) (condizione necessaria per avere un regolare
ingranamento quando a′ = a) se e solo se:
x1 + x2 = 0
3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA
135
Figura 3.35: Correzione senza variazione di interasse (v1 = −v2 , v1 > 0)
!
Figura 3.36: Spessore del dente di pignone e ruota sulla primitiva di taglio
Figura 3.37: Correzione di un ingranaggio in cui a′ = a e la correzione positiva è attribuita
al pignone
136
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
La Figura 3.37 riporta una sintesi dei dati di correzione per un ingranaggio in cui
a = a e la correzione positiva è attribuita al pignone. In Figura 3.38 è mostrato il caso
particolare in cui v1 = −v2 = 0.5 m0 .
′
Figura 3.38: Variazione della forma del dente a seguito di correzione (v1 = −v2 = 0.5 m0 )
La Figura 3.39 mostra come attribuire la correzione positiva al pignone, allontani
quest’ultimo dalla condizione di interferenza con la ruota. Infatti, la figura riporta ruota
e pignone nella condizione limite di interferenza (in cui la circonferenza di testa della ruota
passa per il puntioo K1 e si vede che apportare una correzione negativa alla ruota (uguale
in valore assoluto a quella del positiva del pignone) comporta una diminuzione del raggio
di testa della ruota con conseguente allontanamento dalla condizione di interferenza.
Re2’’
Re2’
Re2
Figura 3.39: Una correzione negativa sulla ruota allontana dalla condizione di interferenza
3.10. CORREZIONE DELLA DENTATURA
3.10.4.2
137
Correzione con variazione di interasse
Figura 3.40: Correzione con variazione di interasse
La Figura 3.40 mostra l’ingranamento tra un pignone e una ruota in cui ad entrambi
è apportata una correzione positiva. L’ingranaggio è montato con un interasse ã pari a
quello di riferimento a maggiorato della somma v1 + v2 dei due spostamenti di profilo.
Dalla figura emerge come in tali condizioni venga a crearsi un gioco tra le dentature di
pignone e ruota, in contrasto con la condizione di regolare funzionamento su cui ci si è
basati fino ad ora (vedi §3.10.3).
In altre parole, non si può montare l’ingranaggio con un interasse a′ = ã in quanto risulta
a′ < ã. In particolare, è:
a′ < ã = R1 + R2 + v1 + v2 = a + m0 (x1 + x2 )
ossia: la variazione di interasse a seguito di correzione è sempre minore della somma degli
spostamenti di profilo:
a′ − a < v1 + v2 = m0 (x1 + x2 )
Vediamo quindi come mettere correttamente in relazione a′ , a e la somma x1 + x2 .
Sfruttando ancora la Figura 3.36, sulle primitive di taglio valgono ancora le seguenti:
S1 = m0
(π
2
)
+ 2 x1 tan α0
S2 = m0
(π
2
)
+ 2 x2 tan α0
(3.8)
138
CAPITOLO 3. RUOTE DENTATE
Sulle primitive di lavoro, invece, gli spessori del dente di pignone e ruota valgono
rispettivamente:
[
[
]
]
′
′ S1
′ S2
′
′
′
S1 = R1
+ 2(inv α0 − inv α )
S2 = R2
+ 2(inv α0 − inv α )
(3.9)
R1
R2
che, sommati, danno il passo di lavoro 1 :
S1 ′ + S2 ′ = S1 ′ + V1 ′ = π m′ = π m0
cos α0
cos α′
(3.10)
D’altra parte, sommando i due spessori dati dalle (3.9) si ottiene:
S1 ′ + S2 ′ =
ossia:
cos α0
[S1 + 2 R1 (inv α0 − inv α′ ) + S2 + 2 R2 (inv α0 − inv α′ )]
cos α′
cos α0
[S1 + S2 + m0 (Z1 + Z2 )(inv α0 − inv α′ )]
cos α′
che, inserite le (3.8), fornisce:
S1 ′ + S2 ′ =
S1 ′ + S2 ′ =
cos α0
m0 [π + 2 tan α0 (x1 + x2 ) + (Z1 + Z2 )(inv α0 − inv α′ )]
cos α′
(3.11)
Dal confronto tra la (3.10) e la (3.11), risulta che deve essere:
2 tan α0 (x1 + x2 ) + (Z1 + Z2 )(inv α0 − inv α′ ) = 0
(3.12)
In conlusione, si è ottenuta la:
inv α′ = inv α0 + 2 tan α0
che unitamente alla:
a′ = a
x1 + x2
Z1 + Z2
cos α0
cos α′
(3.13)
(3.14)
consentono di affrontare il problema diretto e quello inverso, ossia:
• Problema diretto: noti i numeri di denti Z1 e Z2 , il modulo e l’angolo di pressione
della dentiera generatrice m0 e α0 , la somma dei coefficienti di spostamento x1 + x2 ,
occorre determinare l’interasse di lavoro a′ e l’angolo di pressione di lavoro α′
• Problema inverso: noti i numeri di denti Z1 e Z2 , il modulo e l’angolo di pressione
della dentiera generatrice m0 e α0 e assegnato l’interasse di lavoro a′ , occorre trovare
la somma dei coefficienti di spostamento x1 + x2 e l’angolo di pressione di lavoro α′
1
ρ = R cos α0 = R′ cos α′
R′ = R
cos α0
cos α′
m′ =
2R′
2R cos α0
cos α0
=
= m0
Z
Z cos α′
cos α′
Ruote Dentate
Correzione di dentatura per evitare interferenza
In condizioni di riferimento
2
e0
2
Z ≥ Z lim rif = 2
= 2
sin α 0 m0 sin α 0
e0 Z0 sin 2 α 0
=
m0
2
2
Z lim rif = Z 0 = 2
sin α 0
Se si effettua uno spostamento di profilo
e Z sin 2 α 0
≤
m0
2
2
e
Z ≥ Z lim = 2
sin α 0 m0
139
Ruote Dentate
Se lo spostamento di profilo è pari a v = x m0, si ha
(v = e0 - e):
v
e0
e
e0 Z sin 2 α 0
=
−
≥
−
2
m0 m0 m0 m0
v Z 0 sin 2 α 0 Z sin 2 α 0
sin 2 α 0 Z 0 − Z
≥
−
= (Z0 − Z )
=
m0
2
2
2
Z0
v
Z −Z
=x≥ 0
m0
Z0
x1 ≥
Z0 − Z1
Z0
x2 ≥
Z0 − Z 2
Z0
2Z 0 − ( Z1 + Z 2 )
x1 + x2 ≥
Z0
Si hanno due casi:
1)
Z1 + Z 2 ≥ 2Z 0
x1 + x2 = 0
x1 + x2 ≠ 0
x1 = − x 2
2)
Z1 + Z 2 < 2Z0
x1 + x2 ≠ 0
( x1 + x 2 ) > 0
140
Ruote Dentate
Esempio
141
Ruote Dentate
Modifica della forma dei denti a seguito di correzione
Nota: in tabella x indica lo spostamento di profilo (non il coefficiente di spostamento).
Una correzione positiva:
• allontana dalla condizione di interferenza
• migliora la resistenza a flessione al piede
• riduce le pressioni di contatto (aumenta la curvatura
del profilo al piede)
• il dente ha forma più appuntita
142
Ruote Dentate
Ruote dentate cilindriche a DENTI ELICOIDALI
143
Ruote Dentate
I fianchi dei denti della dentiera generatrice sono piani
144
Ruote Dentate
145
Ruote Dentate
146
Ruote Dentate
(a) elica destra, (b) elica sinistra.
147
Ruote Dentate
Ruote dentate CONICHE
148
Ruote Dentate
149
Ruote Dentate
150
Ruote Dentate
Ruote Dentate Coniche a Denti curvi
151
Ruote Dentate
Trasmissione del moto tra assi SGHEMBI
con Ruote Dentate
152
Ruote Dentate
Ingranaggio Vite senza fine – Ruota elicoidale
i
τ=
Z
153
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
139
Riferimenti Bibliografici
[FMM05] E. Funaioli, A. Maggiore, and U. Meneghetti. Lezioni di Meccanica applicata
alle macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. Pàtron
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Pàtron editore S.r.l., Bologna, 2009.
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Ruote dentate con spostamento del
Bibliografia
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macchine - Prima parte - Fondamenti di meccanica delle macchine. Bologna: Pàtron
editore S.r.l., 2005.
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Press, 2004.
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140