FLUSSO DI UN VETTORE
Si dice flusso di un
vettore V attraverso
una superficie S,
perpendicolare a tale
vettore, il prodotto
della superficie per il
modulo del vettore
Φ(V)= S·V
1
FLUSSO DI UN VETTORE
Se il vettore non è
perpendicolare alla
superficie si inserisce
anche il coseno
dell’angolo compreso
tra il vettore e la
normale alla
superficie
Φ(V)= S·V ·cosα
2
FLUSSO DI UN VETTORE
Se la superficie è
irregolare o il
vettore non ha
valore costante su
tutta la superficie:
- Si suddivide la
superficie in tanti
piccolissimi
pezzettini
3
FLUSSO DI UN VETTORE
- Si calcola il flusso
su ogni singolo
pezzettino
Φi = Si ·Vi ·cosαi
4
FLUSSO DI UN VETTORE
- Poi si sommano tutti i flussi elementari
su ogni pezzettino
n

 S (V )   si  vi  cos  i
i 1
- E si fa tendere all’infinito il numero di
pezzettini: questa è la definizione
generale di flusso di un vettore
n

 S (V )  Lim  si  vi  cos  i
n 
i 1
5
FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
L’operazione matematica
di flusso permette di
formulare in modo
generale le leggi
dell’elettromagnetismo.
Ad esempio, se
consideriamo il campo
elettrico E e una
superficie chiusa che
contiene un dato numero
di cariche…
6
FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
…la legge di Coulomb
può essere sostituita da
questa, detta teorema
di Gauss

 sc ( E ) 
1
o
n
Q
k 1
k
7
FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
Ovvero, il flusso del campo
elettrico attraverso una
superficie chiusa è uguale
alla somma delle cariche in
essa contenuta divisa per la
costante dielettrica

 sc ( E ) 
1
o
n
Q
k 1
k
8
FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO
Se invece
applichiamo il
flusso
attraverso una
superficie
chiusa al campo
magnetico B,
troviamo che
questo è
sempre uguale
a zero
9
FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO
Questo è dovuto al
fatto che le linee di
forza di B sono
sempre chiuse,
ovvero non esistono
poli magnetici
isolati, in cui le linee
possano avere
origine o fine.
10
FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO

 SC ( B)  0
Questo fa sì che per
ogni elemento di
superficie in cui il
flusso è entrante
(negativo) ve ne sia
uno in cui è uscente
(positivo) portando
ad una cancellazione
dei due flussi
11
CONSERVATIVITA’ DI E
A queste leggi si può aggiungere quella
secondo la quale la differenza di potenziale
tra due punti è indipendente dal percorso;
questo si esprime dicendo che il campo
elettrico è conservativo
ΔV=10 v
A
B
ΔV=10 v
12
CONSERVATIVITA’ DI E
A
2
1
B
Si può anche dire che la
differenza di potenziale
in una linea chiusa (in
cui non siano inseriti
generatori) è nulla.
Infatti, poiché le ddp sui
percorsi 1 e 2 sono
uguali, quella nell’intero
percorso ABA è nulla
VLC  0
13
DDP E CIRCUITAZIONE
A
E
α
S
B
La differenza di potenziale
tra due punti è uguale al
prodotto del campo
elettrico per la distanza
per il coseno dell’angolo
compreso tra il vettore E e
il segmento che unisce i
due estremi: questo se il
percorso è rettilineo e
Il campo uniforme
V  E  S  cos
14
DDP E CIRCUITAZIONE
In altri casi si divide il
percorso in tanti pezzetti
e poi si sommano le ddp
sui singoli pezzi
A
1
2
3
n
V   Ei  Si  cos  i
4
Si
i 1
Ei
αi
B
15
DDP E CIRCUITAZIONE
Naturalmente, poi si
passa al limite facendo
tendere il numero dei
pezzetti all’infinito
A
1
2
3
n
V  Lim  Ei  Si  cos  i
4
Si
n 
i 1
Ei
αi
B
16
DDP E CIRCUITAZIONE
Se il percorso è chiuso
questa operazione
prende anche il nome di
circuitazione del
vettore E sulla linea L
l
n

C L ( E )  V  Lim  Ei  Si  cos  i
n 
i 1
17
DDP E CIRCUITAZIONE
l
La legge secondo cui la
differenza di potenziale
su un percorso chiuso è
nulla può anche essere
espressa dicendo che la
circuitazione del vettore
campo elettrico è nulla

CL ( E )  0
18
CIRCUITAZIONE E CAMPO
MAGNETICO
B
In realtà possiamo
definire la circuitazione
di un vettore qualsiasi,
per esempio del campo
magnetico B.
l
n

C L ( B)  Lim  Bi  Si  cos  i
n 
i 1
19
TEOREMA DI AMPÈRE
i
l
Per mezzo della
circuitazione è possibile
formulare in modo più
generale la legge di BiotSavart.
Supponiamo che la linea
L sia attraversata da un
filo percorso da una
corrente i (corrente
concatenata alla linea)
20
TEOREMA DI AMPÈRE
i
l
Allora la circuitazione del
vettore campo
magnetico B prodotto da
tale corrente è uguale
all’intensità i per la
costante μo.
In formule:

CL ( B)  0i
21
LEGGI DELL’ELETTROMAGNETISMO NEL CASO STATICO
Per riassumere, abbiamo queste quattro
leggi:

 sc ( E ) 
1
o

 Qk CL ( E )  0
n
k 1

 SC ( B)  0

CL ( B)  0i
22
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
Questo però vale solo
in condizioni statiche.
Faraday scoprì che se
una bobina elettrica
viene sottoposta a un
campo magnetico
variabile in essa nasce
una differenza di
potenziale, e quindi
una corrente indotta.
23
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
Nel primo esperimento
di Faraday la variazione
del campo magnetico
era ottenuta
avvicinando e
allontanando una
calamita alla bobina.
Il fenomeno prese il
nome di induzione
elettromagnetica
24
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
Diversi altri esperimenti dimostrarono che
ogni volta che in un circuito avviene una
variazione di campo magnetico in questo
circuito nasce una differenza di potenziale
elettrico.
Questo provò che campo elettrico e
magnetico non sono due campi distinti,
ma due aspetti dello stesso campo, detto
campo elettromagnetico
25
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
L
B
S
La legge matematica
dell’induzione e.m. fu
formulata da Neumann e
Lenz.
Se una linea L, che
racchiude una superficie
S, è interessata da un
campo magnetico B il cui
flusso attraverso S varia
in un intervallo di tempo
Δt…
26
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
L
B
…allora la ddp indotta è
pari alla variazione di
flusso diviso il tempo,
cambiata di segno.
(Legge di FaradayNeumann-Lenz)
S
VL  

 S ( B )
t
27
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
S
N
S
N
Il segno “-” indica il fatto che
il verso della corrente indotta
è sempre tale da opporsi alla
variazione di flusso
magnetico che l’ha prodotta.
Se la calamita viene allontanata dalla bobina, il campo
magnetico prodotto dalla
corrente indotta tenderà ad
attrarla verso la bobina,
rallentandone il movimento
28
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
S
N
N
S
Viceversa, se la calamita è
avvicinata alla calamita, il
campo prodotto dalla
corrente indotta tenderà a
respingerla, rallentandone
anche in questo caso il moto.
L’energia meccanica persa dal
moto della calamita è uguale
all’energia elettrica della
corrente indotta: così il
principio di conservazione
dell’energia è rispettato
29
ALTERNATORE
L’esperimento di
Faraday è, in pratica,
l’invenzione
dell’alternatore, in cui
la variazione di flusso
di B è ottenuta facendo
ruotare una serie di
bobine all’interno di un
campo magnetico
30
ALTERNATORE
E’ da notare che
l’alternatore non
produce energia dal
nulla, ma converte in
elettrica l’energia
meccanica sviluppata
generalmente da moto
di una turbina, a sua
volta azionata o
dall’acqua o dal vapore
31
DINAMO
Nella dinamo la
bobina è invece
fissa, mentre sono
dei magneti
permanenti a
ruotare
32
TRASFORMATORE
Nel trasformatore una
corrente alternata in
una bobina (inducente)
produce una variazione
di flusso magnetico in
una seconda bobina
(indotta) e quindi una
ddp, ovvero una
corrente indotta, con
intensità e tensione
diverse dalla corrente
originaria
33
INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
L
S
Ricordando che la ddp
calcolata su una linea chiusa
equivale matematicamente
alla circuitazione del vettore
campo elettrico possiamo
B anche scrivere così la legge
di Faraday-Neumann-Lenz


d
CL ( E )    S ( B)
dt
34
IPOTESI DI MAXWELL
Seguendo le idee di Faraday,
secondo il quale esiste una
profonda unità tra campo
elettrico e magnetico,
Maxwell propose che, così
come una variazione di
flusso magnetico produce un
campo elettrico, una
variazione di flusso elettrico
possa produrre un campo
magnetico
35
IPOTESI DI MAXWELL
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Corrente di
spostamento
E
-
Secondo questa ipotesi,
nel processo di scarica di
un condensatore, tra le
armature che si stanno
scaricando (provocando
una brusca riduzione del
campo elettrico) è come
se circolasse una corrente,
detta corrente di
spostamento
Corrente elettrica
36
IPOTESI DI MAXWELL
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Corrente di
spostamento
E
-
Questa corrente di
spostamento produce tra
le armature del
condensatore un campo
magnetico del tutto
analogo a quello che
produce la corrente
elettrica nel filo che unisce
le armature, secondo il
teorema di Ampère
Corrente elettrica
37
CORRENTE DI SPOSTAMENTO
L
E
S
Maxwell propose per la
corrente di spostamento
una formula analoga a
quella di Faraday:
Se la superficie S è
interessata da una
variazione di flusso del
campo elettrico E in un
tempo Δt allora…
38
CORRENTE DI SPOSTAMENTO
L
is
S
…è come se attraverso S
passasse un filo percorso
da una corrente, is, la cui
intensità è pari al rapporto
tra la variazione di flusso
elettrico e il tempo,
moltiplicata per la costante
dielettrica

 S ( E )
is   o
t
39
CORRENTE DI SPOSTAMENTO
O, più esattamente,
considerando un tempo
infinitamente piccolo:
L
is
S

d
is   o  S (E )
dt
40
EQUAZIONI DI MAXWELL
Nella teoria di Maxwell quindi campo
elettrico e magnetico cessano di essere
enti distinti, ma diventano solo le due
componenti di un unico ente fisico, detto
campo elettromagnetico, governato da
leggi unitarie.
La distinzione in componente elettrica e
magnetica resta solo per comodità di
calcolo, specie nelle applicazioni tecniche.
41
EQUAZIONI DI MAXWELL
Secondo Maxwell le leggi fondamentali del
campo elettromagnetico sono:
Per la componente elettrica
- Il teorema di Gauss

 sc ( E ) 
1
o
n
Q
k 1
k
- La legge di Faraday-Neumann-Lenz


d
CL ( E )    S ( B)
dt
42
EQUAZIONI DI MAXWELL
Per la componente magnetica
- Il teorema di Gauss

 SC ( B)  0
- Il teorema di Ampère, in cui assieme alle
correnti elettriche vanno considerate le
correnti di spostamento

 
d

CL ( B)  0  i   0  S ( E ) 
dt


43
EQUAZIONI DI MAXWELL
Una delle conseguenze più notevoli delle
equazioni di Maxwell è che, anche in
assenza di cariche elettriche e di correnti
elettriche può svilupparsi un campo
elettromagnetico che si propaga sotto
forma di onde
44
ONDE ELETTROMAGNETICHE
Infatti, le due equazioni della circuitazione:


d
CL ( E )    S ( B)
dt


d
C L ( B )   0 0  S ( E )
dt
Ammettono sì la soluzione E=0, B=0, ma
questa non è l’unica possibile: esiste infatti
anche una soluzione in cui sia campo
elettrico che magnetico sono onde
sinusoidali, sempre in fase tra loro e in
propagazione nella stessa direzione
45
ONDE ELETTROMAGNETICHE
Si tratta in effetti di un’unica onda,
detta onda elettromagnetica, con due
componenti, una elettrica e l’altra
magnetica, sempre perpendicolari tra di
loro
46
ONDE ELETTROMAGNETICHE
La velocità di propagazione dell’onda è
prevista anch’essa dalle equazioni di Maxwell
e nel vuoto vale.
v
1
 0 0
Il valore di tale velocità risultò essere molto
simile a quello della luce nel vuoto, il che
fece supporre che la luce fosse una
manifestazione delle onde elettromagnetiche
ipotizzate da Maxwell
47
ESPERIENZE DI HERTZ
Il lavoro di Maxwell
era puramente
teorico. Fu Hertz, con
una serie di
esperimenti, a
provare
sperimentalmente
l’esistenza delle onde
elettromagnetiche,
riuscendo a produrle
e rilevarle in
laboratorio
48
LA RADIO
La teoria di Maxwell e
le esperienze di Hertz
portarono
all’invenzione della
radio, da parte di
Guglielmo Marconi,
negli ultimi anni
dell’800.
49