PON Laboratorio Scientifico
ITS «M. Buonarroti» Caserta
1
Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
(diamo) I NUMERI (?)
12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ?
Sì per un matematico ma … NO per un fisico,
chimico, biologo etc. (uno sperimentale) !
Unità di misura
È il risultato (diretto o indiretto) di una
operazione di misura e le cifre (significative) hanno
un … preciso significato !
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Misura Diretta di una Grandezza
• Confronto con un Campione
• 5.9 cm
• 6.0 cm
• 6.1 cm
• …. cm
• .... cm
Errori Casuali (±)
Errori Sistematici
individuati, si possono correggere
(offset, taratura, procedura, condizioni di misura,
preparazione )
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Distribuzione delle Misure (istogramma)
distribuzione gaussiana
 Ae
σ
Vm
1- Misure & Numeri
 V  Vm 


 σ 
2
PON Laboratorio Scientifico
Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. ….
N ripetizioni della misura
N
Vi
V1  V2  V3  ...  Vi  ... i
Vm 
 1  Valore medio
N
N
(Vi-Vm) scarto (dal valor medio) della misura i
N
 (Vi Vm )  (V1  Vm )  (V2  Vm )...  (Vi  Vm )  ...  V1  ...  Vi  ...  NVm
i 1
1- Misure & Numeri
0
PON Laboratorio Scientifico
Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Occorre fornire anche un indice di quanto è largo
l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un
certo senso .. la bontà della misura)
N

(V1  Vm )2  (V2  Vm )2  ...  (Vi  Vm )2  ...

( N  1)
2
(
V

V
)
 i m
i 1
( N  1)
ScartoQuadraticoMedio (detto anche errore)
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Qual è la Misura della Lunghezza della Matita?
Come si riassume il risultato delle operazioni di misura:
Vm± σ
Indica anche che, effettuata una nuova
misura nelle identiche condizioni, il
valore V ottenuto ha una probabilità del:
68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ)
95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ)
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Esempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo
• 12 misure (in secondi):
15.21
15.43
15.32
15.50
15.61
15.45
15.61
15.24
15.55
15.48
15.35
15.52
Pm= 15.43916 s
σ = 0.133855 s
P=15.43916±0.133855 s ??
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Considerazioni sull’Esempio
Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s
(sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!)
Leggiamolo:
Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità
che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302
Cifre certe
Prima cifra incerta
Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il
cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ?
P=15.43 ±0.13
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
(Parentesi: Approssimazioni numeriche)
Regole per l’approssimazione per arrotondamento;
Se la prima cifra da eliminare (cifra di controllo) è:
a) <5 → le cifre da conservare restano invariate (appr. per difetto)
b) >5 → l’ultima cifra da conservare viene aumentata di 1 (appr. per eccesso)
c) =5 → l’ultima cifra da conservare viene arrotondata alla cifra pari
d) =50 → arrotondamento per difetto od eccesso
Esempi:
17.6712 a 3 cifre decimali è (b) 17.7; 17.6472 a 3 c.d. è (a) 17.6
17.6572 a 3 c.d. è (c) 17.6; 17.7572 a 3 c.d. è (c) 17.8
17.7502 a 3 c.d. può essere (d) sia 17.7 che 17.8
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Ritorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo
Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s
Regola del: Buon Senso P=15.43
±0.13 Approssimazione al
centesimo di secondo
Regola della presentazione delle misure:
Le cifre significative di una misura sono le cifre
certe e la prima cifra incerta
P=15.4 ±0.1 s
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Presentazione della Misura
Errore (incertezza) esplicito:
x±Δx (x±σ)
Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima
cifra significativa:
32.54 kg→ ±0.005 kg
32.5 kg→ ±0.05 kg;
32 kg→ ±0.5 kg
• I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una
cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre
le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti.
• La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura.
• In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne
possiede meno.
Nomenclatura:
Δx=σ Errore Assoluto
Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Esempi di Misure
Lunghezza strada Lunghezza trave
x=4 km
Δx=σ=2 m
x=1 m
Δx=σ=1 mm
esposizione
4000±2 m
1.000 ±0.001 m
εr
ε%
2/4000=0.0005
0.001/1=0.001
0.05%
0.1%
Quale è la misura più accurata (precisa) ?
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
La notazione scientifica
100=1 – 101=10 – 102=100 – 103=1000 – 104=10000 101=0.1 – 10-2=0.01 – 10-3=0.001 – 10-4=0.0001
Proprietà:
10n10m=10n+m – 10n10m=10n-m
102104=102+4=106
– 10210-5=102+(-5)=10-3
102104=102-4= 10-2
– 10210-5=102-(-5)=107
N. S.: y.xxx 10m con 1 ≤ y ≤ 9
cifre signif.
• Semplifica le operazioni (molto meno errori con calcolatrice).
• Maggior controllo delle cifre significative !!!
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Esempi di notazione scientifica
33.5 kg
espresso in grammi =33500 g
3.35101 kg espresso in grammi =3.35104 g
7.52  10  3.242  10  1.7  10

5
4
2.34  10  3.14  10
Esponente del 10: 3-7+2-(5-4) = -3
3
7
2
7.52  3.242  1.7
 5.640716424
2.34  3.14
1- Misure & Numeri
=5.610-3
PON Laboratorio Scientifico
Ulteriori esempi di notazione scientifica
2
3
3
1
2
1
8 2
4
1
.
52

10
2.32 10  (2.32) (10 )  2.32 10 
8
8
1
3
4
1
3
1
6 3
2
4
2
2
232

10

2.32 10  (232) (10 ) 
6.14 10
9.37 10
1
6 3
3
2
9
.
79

10
(937) (10 )  937 10 
1- Misure & Numeri
3
2
PON Laboratorio Scientifico
Ordine di Grandezza di una Misura
Ordine di Grandezza di X
→10(log x) approssimato all’unità
Ordine di Grandezza di 23 = 10
(log10 23 =1.36 )
Ordine di Grandezza di 850 = 103
(log10 850 =2.92 )
1- Misure & Numeri
PON Laboratorio Scientifico
Misura Indiretta di una Grandezze Fisiche
Area= Base  Haltezza
B=7.4±0.1 cm
H=5.3±0.1 cm
Areamin=7.35.2=37.96 cm2
Areamax=7.55.4=40.5 cm2
Probabilità del 68% che
37.96 ≤ Area < 40.5
Area=39±1 cm2
1- Misure & Numeri
(A±ΔA)
PON Laboratorio Scientifico
Errore in una Misura Indiretta di Grandezza
(propagazione dell’errore)
y=y±Δy ; x=x±Δx ; z=z±Δz
G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica.
G=f (x,y,z)
G=G±ΔG
2
 f  2  f  2  f  2
G     x     y     z
 x 
 z 
 y 
2
1- Misure & Numeri
2
PON Laboratorio Scientifico
Errore in una Misura Indiretta di Grandezza
(casi più frequenti)
 G  a 2 2x  b 2 2y
G=a x+b y
x=4.1±0.2
G=3x+2y
y=2.2 ±0.4
G  9  0.04  4  0.16  1
G=16.7
G=17±1
G=ax•y
G  a y   x 
G=27 ±5
G=ax/y
a
G  2
y
G=6 ±1
2
1- Misure & Numeri
2
x
2
2
y
y 2 2x  x 2 2y