Reticolo cristallino
Struttura periodica: cella unitaria
R
L
RL=n1a1+n2a2+n3a3
V(r)=V(r+RL)
Dispositivi a semiconduttore
1
Cella unitaria: minima unità con tutte le
caratteristiche del cristallo che si ripete a
riempire lo spazio
Cella primitiva: 1 punto reticolo +base
Cella primitiva
Dispositivi a semiconduttore
2
Reticolo reciproco
eiK.R  1   R Reticolo diretto
b1  2
b2  2
b 3  2
a a
2
3
a (a a )
1
2
3
a a
3
1
a (a a )
2
3
1
a a
1
K  m1b1  m2b2  m3b3
2
a (a a )
3
1
2
Dispositivi a semiconduttore
3
Nomenclatura
(l,m,n) piano reticolare : gli indici rappresentano l’intersezione
Con le tre direzioni nella base del reticolo reciproco
{l,m,n} insieme di piani equivalenti per simmetria
[l,m,n] direzione nella base del reticolo diretto
<l,m,n> direzioni equivalenti a [l,m,n] per simmetria
Dispositivi a semiconduttore
4
Esempi di piani reticolari
Dispositivi a semiconduttore
5
Brillouin zone:
Reticolo reciproco
Wigner-Seitz cell
Reticolo diretto
BZ: cella di Wigner-Seitz nel
reticolo reciproco: cella primitiva
nel reticolo reciproco.
Dispositivi a semiconduttore
6
Struttura elettronica
I
II
III
IV
V
VI
Dispositivi a semiconduttore
VII
7
Struttura elettronica
1s22s2p63s2p2
4 elettroni di valenza
Legame covalente
14(P+N)&10 E (1s22s2p6)
core
Dispositivi a semiconduttore
8
Struttura elettronica
N celle
2N atomi
8N elettroni
16N stati
Dispositivi a semiconduttore
Ibridizzazione
9
•
Esistono intervalli di energia permessi e proibiti
• Le bande completamente piene sono di valenza
• Le altre bande sono di conduzione
Dispositivi a semiconduttore
10
Con 8 elettroni nella cella unitaria
l’ultima BV è completamente piena
e la prima BC è completamente
vuota
Dispositivi a semiconduttore
11
L’ultima banda è mezza piena
Wurzite
Tabella semiconduttori
Sph.=
=Spharelite=
=Zincoblenda
IV-IV
III-V
II-VI
Dispositivi a semiconduttore
12
Teorema di Bloch
H (r) (r)  E  (r)
V (r)   nuclei fissi  elettroni
V (r)  V (r  R)
OperatoreT R
T R H (r) (r)  H (r)T R (r)  H (r) (r  R)
T R (r)  c(R) (r)
Periodicità potenziale per traslazioni pari ad un vettore reticolo R
Dispositivi a semiconduttore
13
Ma:
|  (r) |2 |  (r  R) |2
Ana logamente :
T RT ' (r)  c(R)c(R ') (r)  c(R  R ') (r)
R
 c(R)  e iK R
Caso 1D :
 (x  a)   (x)e iKa
Born VonKarmann :
 (x  Na)   (x)  e iKNa  1
K  2
m0,1,....,N 1
m
Na
m0,1,....
N
2
Dispositivi a semiconduttore
14
Funzioni di Bloch
 (x  a)   (x)e iKa
e iK ( x a ) (x  a)  e iKx e iKa (x)e iKa  e iKx (x)
Se : u(x)  e iKx (x)
Allora :
u(x)  u(x  a)   (x)  u(x)e iKx
Generalizzando :
 (r)  u(r)e
ur r
iK r
Ki 
2 mi
N ia i
i  x, y, z
Valori K  Numero siti
N celle grande____ K continuo
Dispositivi a semiconduttore
15
Catena 1D : modello a elettroni quasi liberi
V( r)
Il potenziale cristallino rappresenta una perturbazione:
Ee 
2
2
2m*
Dispositivi a semiconduttore
16
Effetto di un potenziale periodico 2V1cos2x/a

2V
1
Dispositivi a semiconduttore
17
2/a
Dispositivi a semiconduttore
18
K  K0  G
 n,k (r)  exp(iK.r)un,k (r)
 n,k (r)  exp(iK 0 .r)exp(iG.r)un,k (r)
Ma :
un,k (r)  exp(iG.r)un,k (r)  exp(iG(r  RL ))un,k (r  RL )
segue

un,k (r)  un,k (r  RL )
K è definito a meno di un vettore del reticolo reciproco

Dispositivi a semiconduttore
19
K  Re ticolo
2
K1i 
mi
N1a1
3D
reciproco
Densità stati:
2
2
Spacing : K1 

N1a1 L1
2
2
K 2 

N 2 a2 L2
2
2
K 3 

N 3 a3 L3
g(K) 
1
(2 )
3
(2 ) 3
K1K 2K 3 
 VK
V

Dispositivi a semiconduttore
20
Dispositivi a semiconduttore
21
Banda simmetrica rispetto a K=0
Dispositivi a semiconduttore
22
Zona di Brillouin
(KR)=2n
Il vettore d’onda definisce univocamente uno
stato solo nella prima zona di Brillouin (FBZ)
Dispositivi a semiconduttore
23
a
a
a
a
Prima zona di Brillouin
a
a
a
E = ħ2 k2 /2m
K=2/a
E
K=-2/a
K=2/a
-/a
/a
Dispositivi a semiconduttore
k
24
fcc
 :CENTRO BZ
L: CENTRO FACCIA ESAGONALE
X: CENTRO FACCIA QUADRATA
W: PUNTO SPIGOLO
Dispositivi a semiconduttore
25
Prima zona di Brillouin
E ħ2 k2 /2m
Dispositivi a semiconduttore
26
Si
Gap ≈ punto X
Dispositivi a semiconduttore
27
Gap L point
Ge
Dispositivi a semiconduttore
28
Gap  point
Dispositivi a semiconduttore
29
Struttura a bande delle leghe
As
GaAs
Dispositivi a semiconduttore
AlAs
30
AlxGa1-xAs
X<0.45 Eg=1.424+1.247x
X>0.45
Eg=1.9+0.125x+0.143x2
Dispositivi a semiconduttore
31
Struttura a bande delle leghe
Dispositivi a semiconduttore
32
Struttura a bande delle leghe
Dispositivi a semiconduttore
33
1)Gap diretta: max VB, min CB @  point
2)Gap indiretta: max CB @ K≠K’ VB ( point)
1)OK EMETTITORI
2) NO EMETTITORI, OK RIVELATORI
Dispositivi a semiconduttore
34
Dispositivi a semiconduttore
35
BC in GaAs
 1 2
E ( k )  k
2
Dispositivi a semiconduttore
36
BC in Silicio
2
 1 

2 
2
2 2
E (k )   L  k x 
   T k y  k z  
2  
a 

Dispositivi a semiconduttore
37
300K
Dispositivi a semiconduttore
38
L’Energia del gap dipende da T
Legge fenomenologica di Varshni
T
E g (T)  E g 0 
T
Ge

2
GaAs
Si
Eg0(eV0 0.743
7
300K
0.66
(meV/ 0.477
K)
(K)
235
1.166
1.12
1.519
1.424
0.473
0.401
636
204
Dispositivi a semiconduttore
39