Meccanica dei fluidi ideali.
1) a) Supponendo la densità dell’aria costante ( rA = 1.3 Kg/m3 ) determinare quale
dovrebbe essere l’altezza della colonna d’aria al di sopra della superficie terrestre per
avere al suolo una pressione pari a quella atmosferica (p0 = 1.013 105 Pa = 1 atm). b)
Nella realtà si osserva che nell’atmosfera la pressione cambia con la quota , misurata
rispetto al livello del mare, secondo la legge p = p0exp(-z/a). Determinare come varia la
densità dell’aria con la quota ed il valore di a. c) Supponendo costante la densità
dell’acqua determinare la pressione esistente ad una profondità h1 = 10 m ed h2 = 500 m (
profondita raggiungibile da un sottomarino) e nella Fossa delle Marianne h3 = 10.863
Km.
2) Un ramo di un manometro ad U , contenente Mercurio (r Hg = 13.6 103 Kg/m3), è
connesso con una camera C nella quale è stato fatto inizialmente il vuoto; l’altro ramo del
manometro è esposto all’aria e la corrispondente pressione, costante, è pari ad 1 atm. a)
Determinare il dislivello h fra i due rami del manometro. b) Nella camera viene immesso
del gas e si osserva che il dislivello fra i due rami si è ridotto di 15 cm; determinare la
pressione del gas contenuto nella camera. c) Nelle condizioni del punto b) aggiungendo
nel ramo libero del tubo ad U una certa quantità di olio (immiscibile col mercurio, rO =
900 Kg/m3) , questo va a formare una colonna di altezza b = 30 cm. Determinare in
questo caso il dislivello h* fra i due menischi del mercurio e la loro variazione di quota,
rispetto a quella del punto b), supponendo trascurabile la conseguente variazione di
pressione della camera a cui è collegato il primo ramo.
C
C
h
C
h’
h*
b
3) Sono dati tre cassoni, di altezza h = 1 m e aventi la forma indicata in figura, riempiti
fino all’orlo di acqua ( q = 30°). Una delle superfici laterali dei cassoni è costituita
da una paratia mobile P (di massa trascurabile), a tenuta, che viene mantenuta in
posizione da una forza F perpendicolare ad essa. Determinare nei 3 casi: a) la
pressione agente sulla paratia ad una quota y rispetto al fondo; b) la minima
intensità della forza F necessaria a mantenere la paratia in posizione ed il suo punto
di applicazione. ( larghezza dei cassoni in direzione perpendicolare al piano di figura
a = 1 m)
P
h
P
P
q
F
q
F
F
4) Si osserva il comportamento dell’acqua contenuta in un secchio cilindrico di
raggio R = 15 cm in differenti condizioni. Inizialmente l’acqua riempie il secchio
fino ad un’altezza L = 40 cm e la sua superficie libera è orizzontale. a) Si ha una
condizione di equilibrio in cui la superficie libera dell’acqua, rimanendo piana, si
inclina di un’angolo q = 20° rispetto al fondo del secchio. Determinare
l’andamento delle isobare e la pressione agente sul fondo del secchio nel suo
centro O e nei due punti diametralmente opposti A e B. b) Si ha una condizione
stazionaria in cui la superficie libera dell’acqua assume la forma di un
paraboloide di rivoluzione, attorno all’asse del secchio, e precisamente ha un
andamento con la quota y , rispetto al fondo del secchio, dato dall’equazione y =
y0 + Kr2 (y0 = 30 cm, K = 8.89 cm-1), con r distanza dall’asse del cilindro.
Determinare l’andamento delle isobare e la pressione agente sul fondo del
secchio nel suo centro O e nei due punti diametralmente opposti A e B.
q
L
A
O
B
A
O
B
5) Il circuito frenante di un volano A, di raggio R = 30 cm, è costituito da un
tubicino di sezione s = 0.06 cm2 che termina in una espansione di sezione S = 6
cm2 ed è riempito, a tenuta, di olio. L’espansione è collegata al ceppo C di un
freno che agisce sul bordo esterno del volano (coefficiente di attrito fra ceppo
volano m = 0.7 ), mentre all’altro estremo del circuito idraulico, chiuso da un
pistoncino P , è applicata dall’operatore una forza F perpendicolare al pistone. a)
Il volano, che gira ad una velocità corrispondente ad una energia cinetica T = 20
KJ si arresta dopo aver compiuto esattamente 3 giri dall’istante di inizio della
frenata: determinare l’intensità della forza F e della forza radiale applicata dal
ceppo al volano. b) Determinare la variazione di pressione nel circuito
corrispondente all’applicazione della forza F.
w
A
P
F
C
6) Il circuito idraulico di un martinetto ha ad una estermità un pistone P, che scorre
in tubo di sezione circolare di raggio r = 1 cm con una corsa L = 50 cm , e
all’altra estremità un dispositivo telescopico T azionato per mezzo del circuito
idraulico che in corrispondenza di esso ha sezione circolare di raggio R = 12 cm.
Il circuito è riempito con olio ( densità dell’olio r = 900 Kg/m3 ) e si suppone che
in posizione di riposo il martinetto si trovi allo stesso livello del pistone; un
opportuno sistema di valvole consente poi il suo sollevamento immettendo olio
nella zona di lavoro del pistone e quindi nel circuito. Il martinetto viene caricato
con una massa M = 750 Kg e successivamente innalzato ad una quota h = 2m. a)
Determinare la forza F che si deve applicare al pistone per mantenere il sistema in
equilibrio nella posizione di riposo ( h = 0) e alla quota h. b) Determinare la
pressione minima che devono essere in grado di sopportare i vari componenti del
circuito perchè questo non si rompa. c) Determinare il lavoro fatto dalle forze
applicate al pistone per sollevare la massa M, supponendo trascurabile l’energia
cinetica acquisita dai vari componenti. d) Determinare il numero di corse che
deve effettuare il pistone per sollevare la massa M.
P
M
F
T
L
Dh
7) Una boa sottomarina di forma sferica e massa trascurabile è ancorata al fondo
mediante una catena di massa m = 40 Kg e volume trascurabile. a) Determinare il valore
minimo V* del volume della boa necessario a mantenere tesa la catena. b) Determinare la
forza esercitata dalla catena sulla boa nel caso che essa abbia un volume V = 3V*. c)
Nelle condizioni del punto b) la catena si disancora dal fondo, rimanendo attaccata alla
boa. Determinare l’accelerazione del sistema ed il tempo che la sommità della boa
impiega a raggiungere la superficie dell’acqua se inizialmente si trova ad una profondità
h = 10 m. d) Una volta che essa ha raggiunto la superficie, determinare la frazione del
volume della boa che emerge dall’acqua all’equilibrio.
8) Un recipiente cilindrico di raggio R = 12 cm e altezza H = 20 cm può essere
chiuso, a tenuta, con tre diversi tappi appoggiati su di esso. Il tappo A ha la forma
di un cilindro di altezza h = R = 12 cm, il tappo B ha la forma di un cono di
altezza h = R = 12 cm ( volume V = pR2h/3 ) e il tappo C ha forma emisferica. a)
All’interno del recipiente chiuso viene fatto il vuoto: determinare nei tre casi la
minima forza F che si deve applicare, lungo l’asse del sistema, al recipiente ed al
tappo per separare i due. b) Determinare come variano i risultati del punto
precedente nel caso che all’interno del contenitore non sia fatto il vuoto, ma esista
semplicemente una depressione D p = 3 KPa fra l’interno e l’esterno. c)
Determinare come variano i risultati del punto b) nel caso in cui il sistema sia
immerso in acqua, in posizione verticale e subito sotto la superficie, tenendo
conto del gradiente di pressione.
F
A
-F
F
B
-F
F
C
-F
9) Una mongolfiera consta di un involucro di massa m = 200 Kg e forma sferica, con
raggio (una volta gonfiata) R = 7 m , più una navicella con massa complessiva M = 400
Kg posta a distanza b = 10 m dal centro della mongolfiera. a) Determinare il massimo
valore che può avere la densità del gas contenuto nell’involucro affichè la mongolfiera si
alzi da terra. b) Calcolare l’accelerazione con cui si innalza il sistema se il pallone è
riempito di elio di densità r* = 0.18 Kg/m3. c) Se, durante l’ascensione nelle condizioni
del punto b), la navicella non è esattamente allineata lungo la verticale passante per il
centro della mongolfiera essa oscilla. Determinare il corrispondente periodo delle piccole
oscillazioni considerando la navicella come puntiforme. (Densità dell’aria rA = 1.3
Kg/m3 )
10) Un barattolo cilindrico di altezza L = 16 cm, raggio r = 4 cm e massa m = 750 gr
galleggia in acqua con il suo asse verticale. a) Determinare la frazione immersa del suo
volume. b) Determinare il valore della massa m* di un disco sottile di raggio r che si
dovrebbe porre, come zavorra, sul fondo del barattolo per rendere la posizione di
galleggiamento stabile. c) Determinare come cambiano i risultati delle precedenti
domande se il barattolo viene posto a galleggiare alla superficie di separazione di un
sistema costituito da acqua ed olio, di densità r* = 900 kg/m3 ( il sistema si intende
costituito da una consistente quantità di olio che galleggia sopra l’acqua in un opportuno
recipiente).
11) Un serbatoio cilindrico di sezione S = 1.2 m2 è riempito di acqua fino ad un’altezza h
e nella sua parete laterale vengono praticati tre fori di sezione s = 0.5 cm2. Il primo si
trova circa in corrispondenza del fondo del serbatoio, quindi ad una quota rispetto ad esso
z1 ≈ 0, gli altri due rispettivamente ad una quota z2 = 10 cm e z3 = 30 cm. a) Determinare
la velocità di efflusso dai tre fori quando il livello nel serbatoio è h* = 1.5 m ed h’ = 40
cm. b) Se il fondo del serbatoio ha rispetto al terreno un’altezza H = 1 m determinare il
punto di impatto sul terreno dei tre getti nelle condizioni del punto a). c) Supposto di aver
lasciato aperto solo il foro più in basso, e tappati gli altri due, determinare il tempo
necessario a vuotare il serbatoio quando esso è inizialmente riempito al livello h*.
12) Un recipinte cilindrico di raggio R = 5 cm ed altezza L = 20 cm è riempito per 3/4
con acqua e quindi chiuso ermeticamente; un piccolo tubicino di raggio r = 1 mm
,attaccato in orizzontale in corrispondenza del fondo, consente la fuoriuscita in aria del
liquido. a) Determinare il flusso iniziale. b) Determinare il livello del liquido nel
contenitore quando il flusso si arresta e la pressione p dell’aria in esso contenuta,
supponendo che durante l’abbassamento del liquido rimanga costante il prodotto pV della
pressione p dell’aria per il volume V da essa occupata. c) Determinare come dovrebbe
variare la pressione all’interno della zona occupata dall’aria per mantenere costante il
flusso.
13) Un serbatoio di acqua di altezza h = 3 m e sezione molto grande, riempito fino
all’orlo, si trova su una collina di altezza H = 70 m e mediante una conduttura alimenta
tre rubinetti di sezione s = 1 cm2 posti ad un’altezza rispetto a terra z1 = 1 m, z2 = 4 m e
z3 = 7 m. a) Determinare la pressione agente nelle condutture in corrispondenza dei
rubinetti quando essi sono chiusi. b) Determinare la portata di ciascun rubinetto quando
ne viene aperto uno e gli altri rimangono chiusi. c) Determinare la portata di ciascun
rubinetto quando vengono aperti tutti e tre contemporaneamente. d) Determinare quale
dovrebbe essere la pressione di lavoro di un’autoclave posta al livello del suolo ( ossia
tale che il livello dell’acqua nell’autoclave si trovi a coincidere con il livello del suolo)
per produrre le stesse portate.
14) Una conduttura orizzontale di sezione S = 4 cm2 in cui si ha una pressione costante p
= 3 atm si divide in due condutture uguali di sezione S/2 ognuma delle quali si divide a
sua volta in due condutture uguali di sezione S/4 chiuse dai rubinetti 1-4. Determinare la
pressione nei punti A, B, C, D nei seguenti casi: a) i rubinetti sono tutti chiusi; b)
rubinetto 1 aperto, rubinetti 2, 3 e 4 chiusi; c) rubinetti 1 e 2 aperti , 3 e 4 chiusi; c)
rubinetti 1 e 3 aperti, 2 e 4 chiusi.
C
1
B
2
p
A
3
D
4
15) La parte terminale di una conduttura di sezione circolare di raggio R = 0.5 cm , da cui
fuoriesce un flusso d’acqua, costante, F = 8 lt/min puo essere orientata con varie
angolazioni rispetto alla verticale. Determinare il comportamento del getto uscente dalla
conduttura ( velocità e sezione in funzione della quota) nei seguenti casi: a) il tubo è
disposto verticalmente e orientato verso il basso; b) il tubo forma un angolo q = 30°
rispetto all’orizzontale; c) il tubo è disposto verticalmente e orientato verso l’alto.
16) La turbina di un generatore elettrico è alimentata dall’acqua proveniente da un bacino
il cui fondo si trova ad una quota H = 500 m più in alto e riempito per un’altezza di h =
50 m. L’acqua viene portata alla turbina mediante una condotta di sezione circolare di
raggio r = 50 cm. a) Determinare la velocità dell’acqua all’uscita della condotta e al suo
ingresso sul fondo del bacino. b) Determinare la portata della condotta. c) Determinare la
potenza che l’acqua fornisce alla turbina.
17) Due recipienti sono collegati fra di loro mediante un sifone con il quale si effettua il
travaso dell’acqua in essi contenuta; le varie quote sono indicate in figura. a) Inizialmente
nel sifone vi è aria ; determinare la sovrappressione che si deve creare sulla superficie del
recipiente A per innescare il travaso; b) Determinare la portata con cui avviene il travaso
quando entrambe le estremità del sifone pescano in acqua e il livello della superficie
libera del liquido nei due recipienti viene mantenuto costante immettendo acqua in quello
superiore e portandola via in quello inferiore tramite un foro di sezione S = 2 cm2 in
corrispondenza del pelo dell’acqua nel recipiente C. c) Determinare la lunghezza
massima che può avere il tratto di sifone BC affinchè la pressione nel suo punto più alto
B non si annuli supponendo che la sua sezione sia uguale ad S. (zA = 140 cm, zB = 180
cm, zC = 60 cm ).
B
A
zB
zA
C
zC
18) Uno spruzzatore è costituito da un recipiente cilindrico parzialmente riempito di
liquido ( densità r = 900 Kg/m3 ) dentro cui pesca un condotto a T , di sezione S = 3
mm2, il cui braccio termina da un lato in una pompetta P dall’altro, nel punto U, in aria.
In corrispondenza del punto B di innesto del tratto verticale della T col braccio
orizzontale il condotto si restringe e la corrispondente sezione circolare ha raggio r = 300
mm. Il dislivello fra la superficie libera del liquido nel contenitore e l’asse del braccio del
condotto è h = 6 cm. a) Determinare la sovrappressione che si deve creare alla superficie
libera del liquido nel contenitore per far arrivare il liquido alla quota del braccio della T.
b) Determinare la differenza di pressione esistente fra l’uscita U dello spruzzatore e il
punto B quando si genera nel braccio della T un flusso d’aria. c) Determinare il valore del
flusso d’aria necessario a far risalire il liquido nel tubicino fino al punto B.
P
B
U
h
19) Un tubo orizzontale di raggio a = 1 cm termina con una flangia circolare F di raggio
esterno b = 7 cm; davanti ad esso a distanza d = 0.5 cm e coassialmente col tubo viene
posto un disco D di raggio b. Nel tubo scorre verso l’esterno, con velocità V = 4 m/s, aria
che fuoriesce dal bordo della flangia. a) Determinare la velocità di efflusso dal bordo
laterale fra flangia e disco. b) Determinare la differenza di pressione pressione
nell’intercapedine fra flangia e disco in funzione della distanza dall’asse del sistema. c)
Determinare la risultante delle forze di pressione agenti sul disco. (Densità dell’aria r =
1.3 Kg/m3)
d
F
D
F
D
b
a
20) Un getto d’acqua orizzontale di sezione S = 2 cm2 e corrispondente ad una portata F
= 7 lt/min investe una superficie piana, fissa, con un’angolo q = 45° rispetto alla normale
alla superficie. Determinare modulo direzione e verso dell’impulso fornito nell’unità di
tempo alla superficie nel caso che: a) il getto rimbalzi in modo completamente elastico
sulla superficie; b) il getto subisca una collisione completamente anelastica con la parete
e successivamente l’acqua coli lungo la superficie medesima. c) Tenendo conto dei
precedenti risultati si determini l’accelerazione angolare di un irrigatore da giardino, del
tipo disegnato in figura ed imperniato liberamente attorno ad un asse verticale, che venga
alimentato con una portata complessiva pari a F ed in modo che l’acqua fuoriesca in
orizzontale dai quatto bracci, (momento d’inerzia dell’irrigatore I0 = 1.3 10-3 Kgm2,
raggio a = 10 cm, sezione dei bracci s = 0.3 cm2).
n
a
q
w