PROGETTO DELL’ELICA
Giorgio Trincas
Dipartimento di Ingegneria Navale,
del Mare e per l’Ambiente
——————
Facoltà di Ingegneria
Università degli Studi di Trieste
Anno Accademico 2009–10
II
Indice
1 Progetto Concettuale
1.1 Stima approssimata del sistema propulsivo . . . . . . . . . .
1.2 Punto operativo dell’elica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Elica a passo fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Eliche a passo variabile . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Accoppiamento elica–motore . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Condizioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Metodi convenzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Metodo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Scelta del punto progettuale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Scelta dell’elica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Ottimizzazione del diametro . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Ottimizzazione del numero di giri . . . . . . . . . . .
1.5.3 Diagrammi di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Il problema progettuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Variabili progettuali . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Parametri progettuali . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Obiettivi e vincoli progettuali . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Tipi di problemi progettuali . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Previsione della potenza in servizio . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Rugosità e potenza nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Effetti della rugositá di carena sulle prestazioni della
1.8.2 Effetto dell’invecchiamento della carena e dell’elica .
1.8.3 Incremento di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Costruzione delle curve combinate passo-giri . . . . .
2 Progetto Preliminare
2.1 Informazioni generali . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Aspetti progettuali preliminari . . . . . . . .
2.3 Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
2.3.1 Margine sul numero di giri . . . . . .
2.3.2 Diametro . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Numero di pale . . . . . . . . . . . . .
III
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2.3.4 Rapporto di area espansa . . . . . . . .
2.3.5 Geometria dell’elica . . . . . . . . . . .
2.3.6 Direzione di rotazione per navi bieliche .
Cavitazione e vibrazioni . . . . . . . . . . . . .
Riduzione della cavitazione per vortice d’apice
2.5.1 Eliche con apici moderatamente caricati
2.5.2 Eliche con apici completamente scaricati
Indici di difficoltà . . . . . . . . . . . . . . . . .
Passo virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Registri di classifica e robustezza . . . . . . . .
Analisi parametriche . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Fondamenti della teoria vorticale
3.1 Modelli matematici dell’elica . . . . . . . . . . . .
3.2 Sistemi vorticosi su un’ala o su una pala isolata . .
3.3 Circolazione e vorticità . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Teoria dei profili portanti . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Teorema di Biot–Savart . . . . . . . . . . .
3.4.2 Teorema di Kutta–Žoukovsky . . . . . . . .
3.5 Teoria della linea portante di un’ala isolata . . . .
3.6 Proprietà delle velocità indotte . . . . . . . . . . .
3.7 Modelli di funzionamento dell’elica . . . . . . . . .
3.7.1 Linea portante . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Superficie portante . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Griglie di vortici . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Metodi a pannelli . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.5 Metodi RANS . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Teoria della linea portante di un’elica . . . . . . .
3.9 Metodo dei fattori di induzione . . . . . . . . . . .
3.10 Distribuzione del carico prodotto dai vortici liberi .
3.11 Fattori di correzione per superficie portante . . . .
3.12 Condizione ottimale dell’elica . . . . . . . . . . . .
3.12.1 Formulazione del problema . . . . . . . . .
3.12.2 Condizione ottimale generalizzata . . . . .
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4 Metodo di Eckhardt–Morgan
4.1 Generalità . . . . . . . . . . . .
4.2 Considerazioni base . . . . . . .
4.3 Procedura progettuale . . . . .
4.3.1 Caratteristiche dell’elica
4.3.2 Procedura di calcolo . .
4.4 Applicazioni . . . . . . . . . . .
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5 Progetto dell’elica subcavitante
5.1 Influenza della scia e carico dell’elica . . . . . . . . . . .
5.2 Metodo della linea portante . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Progetto idrodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Progetto geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Controllo della cavitazione . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Effetti prodotti dalla curvatura del flusso . . . .
5.4.3 Dettagli geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Rendimento, effetti viscosi e correzione del passo
5.4.5 Ottimizzazione dei profili alari . . . . . . . . . .
5.4.6 Modifiche geometriche dell’elica . . . . . . . . . .
Bibliografia
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239
II
Introduzione
Il progetto dell’elica è un processo decisionale in seguito al quale ne vengono stabilite le caratteristiche geometriche e cinematiche primarie e ne viene sviluppato il disegno costruttivo. I
requisiti principali di un’elica navale sono:
• elevato rendimento idrodinamico,
• rischio minimo di erosione per cavitazione,
• buone capacità di frenata,
• favorevole interazione con il timone, per migliorare sia il rendimento propulsivo che la
manovrabilità,
• minima vulnerabilità,
• bassi costi iniziali e di manutenzione.
Molti di questi requisiti sono soddisfatti se sono assicurate simultaneamente la robustezza di
pala ed una bassa attività vibratoria dovuta ai carichi eccitanti prodotti dall’elica sulla carena
attraverso la linea d’assi ed il fluido e se si riesce ad evitare lo sviluppo della cavitazione nei
diversi modi operativi. Dal momento che soddisfare questi requisiti e massimizzare il rendimento propulsivo sono obiettivi contradditori, durante il progetto dell’elica è necessario utilizzare
metodi iterativi e giungere ad una soluzione di compromesso.
Il processo progettuale dell’elica si sviluppa attraverso numerose fasi, descrivibili come sequenza
di un insieme di attività riportate nel diagramma di flusso riportato più avanti. Inizialmente
viene effettuata la cosiddetta scelta ottimale delle caratteristiche geometriche fondamentali
(diametro, passo medio, numero di pale, area espansa) sulla base di calcoli di previsione che
utilizzano dati storici e statistici per la resistenza nave e per i coefficienti propulsivi descrittori dell’interazione elica-carena, nonché i diagrammi (oggi matematizzati) di funzionamento
dell’elica isolata disponibili da prove sperimentali di serie sistematiche. Il progetto concettuale
è realizzato con l’obiettivo primario di raggiungere la velocità di servizio della nave, come da
specifica armatoriale, con il minimo consumo di combustibile e la minima potenza richiesta al
motore principale.
Affinché tutti i requisiti progettuali possano essere rispettati completamente nella seconda
fase, durante il progetto preliminare si effettua l’ottimizzazione delle caratteristiche principali
dell’elica tenendo conto degli effetti del carico idrodinamico dell’elica sui coefficeinti propulsivi.
1
Successivamente, nella terza fase, si progetta l’elica finale servendosi della teoria vorticale, e
garantendo simultaneamente la robustezza delle pale dell’elica e l’assenza di uno sviluppo pericoloso della cavitazione. Questi calcoli, che presuppongono la conoscenza del campo di velocità
nel piano del disco–elica, ottenibile in misura affidabile solo sperimentalmente, consentono di
definire con esattezza la geometria dell’elica, ossia la distribuzione radiale della lunghezza di
corda di pala, dello spessore massimo e del passo ed, infine, i profili degli elementi di pala.
Processo progettuale dell’elica
Calcoli di differente complessità, adatti ai diversi stadi progettuali,devono essere integrati in un
sistema di calcolo, che è parte del sistema CAD complessivo per il progetto base di tutta la nave.
Tutte le previsioni progettuali sono basate su calcoli teorici. Le teorie dell’elica, in base alle
quali sono sviluppati i codici di calcolo numerico, sono la teoria della linea portante, generalmente combinata con fattori di correzione per superficie portante, e la teoria della superficie
portante. La teoria della linea portante, basata sul metodo dei fattori di induzione, è applicabile alle eliche di navi mercantili convenzionali, mentre le correzioni per superficie portante
2
sono introdotte per le eliche di navi mercantili con un rapporto d’area espansa relativamente
grande. L’utilizzo di codici numerici basati sulla teoria della superficie portante è raccomndato
per eliche di navi speciali e navi militari, nonché per le eliche di navi mercantili convenzionali,
quando i problemi indotti dalla cavitazione sono di assoluta importanza funzionale e contrattuale
Il problema diretto (analisi) include l’analisi dei calcoli statici e dinamici di robustezza, delle
caratteristiche di cavitazione, dell’attività vibratoria dell’elica, ecc. Qualora qualche requisito non sia soddisfatto, il processo progettuale viene reiterato variando qualche caratteristica
dell’elica.
Nella fase finale del progetto dell’elica vengono determinate le sue curve caratteristiche di
funzionamento, che consentono di prevedere le prestazioni della nave al vero e di preparare la
documentazione per la produzione dell’elica. Al termine del progetto è consigliabile produrre
un modello dell’elica le cui caratteristiche di funzionamento sono derivate mediante prove in
galleria di cavitazione. Sia l’esame finale della corrispondenza tra i parametri progettuali e
quelli operativi, sia la stima delle qualità propulsive della nave, vengono effettuati al vero
durante le prove in mare.
3
Capitolo 1
Progetto Concettuale
Fu impressionante constatare (Kanerva, 1996) che le previsioni di potenza sulla stessa nave,
effettuate da tredici cantieri navali, rivelavano differenze relative fino al 30%. Molto probabilmente, da allora non è cambiato molto; il che significa che l’affidabilità della progettazione del
sistema propulsivo continua ad essere un problema non risolto definitivamente.
Il progetto dell’elica deve soddisfare diversi requisiti, molti dei quali tra loro conflittuali: deve
garantirne il massimo rendimento propulsivo per produrre, alla velocità desiderata, la spinta richiesta assorbendo la potenza disponibile ad un assegnato numero di giri, garantendo
contemporaneamente una robustezza adeguata delle pale, la riduzione/eliminazione della cavitazione per avere un livello accettabile di vibrazioni indotte in un assegnato campo di scia
non–uniforme, una certa semplicità costruttiva, ecc.
Per tutte queste ragioni, lo sviluppo di un progetto soddisfacente non può essere realizzato
in un unico calcolo, per quanto complicato esso sia. Il progetto è sviluppato piuttosto come
sequenza di approssimazioni, nel quale le procedure analitiche interagiscono con l’esperienza
del progettista fino ad ottenere un’elica finale soddisfacente.
1.1
Stima approssimata del sistema propulsivo
La potenza motore necessaria a fornire all’elica la spinta sufficiente a fare avanzare la nave alla
velocità di progetto deve essere stimata fin dalla fase concettuale del progetto. Allo scopo, sono
necessari e sufficienti programmi di previsione conglobanti serie sistematiche e/o formulazioni
empirico-statistiche, in modo da scegliere un motore di potenza adeguata, e trovare per l’elica
la migliore combinazione tra diametro, numero di giri e passo medio.
1
1 – Progetto Concettuale
Contestualmente, occorre valutare le condizioni di ‘trade–off’, ossia quelle a velocità differenti
dalla velocità di progetto e/o quelle derivanti da condizioni di carico diverse da quella di pieno
carico, da situazioni meteo–marine più gravose, dal degrado idraulico della carena e dell’elica,
nonché quelle caratterizzate dall’aumento di resistenza in bassi fondali. Occorre risolvere, inoltre, i problemi relativi all’applicazione del riduttore ed alla scelta del rapporto di riduzione.
Occorre valutare, infine, i consumi complessivi.
Nel seguito viene illustrato un metodo approssimato per determinare sia le principali caratteristiche geometriche e propulsive, sia il numero di giri ottimale dell’elica di progetto, a partire
dalla conoscenza della spinta da fornire. Si considerano noti la spinta dell’elica T , i coefficienti
propulsivi (w, t, ηR ), e la velocità d’avanzo dell’elica Va . Come si può dedurre dai diagrammi
di Papmel, per le eliche ottimali con quattro o cinque pale è valida la relazione:
√
√
4
D N ' 11.8 T
(1.1)
dove D è misurato in metri, N in giri al minuto e T in kilonewton.
Figura 1.1. Relazione tra diametro e giri dell’elica, potenza e velocità nave
Nota la spinta, l’equazione (1.1) permette di ricavare il diametro dell’elica, non appena sia
stabilito il numero di giri o, viceversa, di ricavare il numero di giri una volta che sia fissato il
diametro nel rispetto delle luci minime richieste dai Registri di Classifica. La relazione (1.1)
mostra che, per un’elica di diametro fissato, non si può stabilire arbitrariamente il numero di
giri, poiché si andrebbe incontro ad un’inevitabile riduzione del rendimento. In altri termini, il
√
prodotto D N fomisce la migliore combinazione fra diametro e numero di giri, in corrispondenza di una certa spinta.
2
1.1 – Stima approssimata del sistema propulsivo
Se si considera la relazione tra resistenza nave e potenza asse
PS =
RT ·V
ηD ·ηS
(1.2)
per un valore medio del coefficiente quasi–propulsivo di una nave bielica, ipotizzabile pari a
ηD = 0.66, e per un rendimento della linea d’assi pari a ηS = 0.98, si può scrivere la formula
approssimata
q
√
D N ' 13.0 4 PS /V
(1.3)
I punti riportati in Figura 1.1 rappresentano, per diverse navi, i valori progettuali del prodotto
√
D N in funzione dei valori corrispondenti del rapporto PS /V . La relazione (1.3) è rappresentata dalla curva di regressione tracciata nella stessa figura. Come si può facilmente verificare,
le relazioni (1.1) e (1.3) sono conformi alle situazioni medie delle moderne navi mercantili.
La formula (1.1) è relativa al cosiddetto ‘approccio del carenista’, poiché per calcolare il prodot√
to D N occorre conoscere la spinta, che dipende linearmente dalla resistenza nave. Viceversa,
la formula (1.3) è relativa al cosiddetto ‘approccio del motorista’, in quanto per la sua applicazione occorre partire dalla conoscenza della potenza motore.
Per una stima iniziale del rendimento dell’elica isolata si può utilizzare la formula
η0 = 1.876 − 1.235 CT0.1
(1.4)
dove CT è il coefficiente di carico di spinta, mentre la stima del rapporto di passo medio
progettuale può essere effettuata mediante la relazione
P
a
=√
+ b + 0.4 t
D
CE
(1.5)
nella quale si tiene conto in maniera approssimata dell’influenza del fattore di deduzione di
spinta sul passo dell’elica adattata alla scia in quanto è
CE = CT (1 − t)
I coefficienti a e b nella relazione (1.5) dipendono dal numero di pale (Tab. 1.1), cui è associato
il valore minimo del rapporto di area espansa.
Z
(AE /A0 )min
a
b
3
4
5
6
0.50
0.55
0.60
0.80
0.564
0.545
0.581
0.608
0.203
0.304
0.329
0.387
Tabella 1.1.
Coefficienti per il calcolo del passo medio
3
1 – Progetto Concettuale
Si può raccomandare la seguente sequenza nei calcoli. Per eliche in presa diretta con il motore,
essendo obbligatoriamente fissati i giri dell’elica, in base alla relazione (1.1) si può ricavare il
diametro ottimale. Viceversa, per un sistema propulsivo con riduttore, fissato il diametro si può
effettuare una stima iniziale del numero di giri. Successivamente, determinato il coefficiente di
carico, si può calcolare, in base alla formula (1.2), il rendimento dell’elica isolata e, quindi, il
rendimento quasi–propulsivo
ηD = η0 ·
1−t 1
·
= η0 ·ηH ·ηR
1 − wT iQ
(1.6)
e, infine, la potenza richiesta. Nella formula (1.6) iQ è il coefficiente d’influenza per momento
torcente, che è l’inverso del rendimento relativo rotativo ηR , mentre ηH è il cosiddetto rendimento di carena.
il passo medio può essere ricavato, grazie all’equazione (1.5), in funzione del numero di pale,
che inizialmente può essere scelto in base all’esperienza o, meglio, effettuando un controllo che
garantisca la non contiguità tra la frequenza naturale del modo di vibrazione fondamentale
longitudinale della trave nave e la frequenza di pala. il rapporto di area espansa, necessario
per evitare lo sviluppo della cavitazione, può essere ricavato mediante la formula di Keller o
altri criteri di cavitazione.
I risultati dei calcoli possono essere illustrati graficamente in funzione del numero di giri dell’elica. Definiti i limiti delle dimensioni primarie dell’elica, in base al rispetto delle luci minime
secondo semplici formule imposte dai Registri di Classifica, è possibile risolvere al meglio il problema della scelta del motore principale e del corrispondente numero di giri dell’elica, tenendo
conto del loro legame.
In Tabella 1.2 sono riportati i valori medi del numero di giri espresso in funzione della potenza
motore per navi monoelica a presa diretta con motori diesel a due tempi. Bassi numeri di giri
sono tipici per navi lente con eliche assai caricate, mentre giri più elevati sono propri di navi
dislocanti relativamente veloci.
PB [kW]
1000
2500
5000
10000
20000
30000
≥ 40000
N [rpm]
250÷300
180÷210
125÷160
100÷125
100÷120
80÷110
65÷100
Tabella 1.2. Campo di variazione della frequenza di rotazione delle eliche
1.2
Punto operativo dell’elica
La caratteristica di carico di una nave in termini di resistenza e di velocità è data generalmente
in forma quadratica, come R = a·Vs2 (Fig. 1.2). Ciò vale solamente per velocità relativamente
basse (F n = 0.10 ÷ 0.20), mentre per velocità più elevate la curva si impenna fino a potere
divenire una polinomiale di grado compreso tra il terzo ed il quarto ordine.
4
1.2 – Punto operativo dell’elica
Figura 1.2.
1.2.1
Andamento di curve di resistenza
Elica a passo fisso
Il diagramma di funzionamento dell’elica isolata, ossia dell’elica senza tenere conto dell’influenza della carena sul flusso che la investe, fornisce in forma adimensionale i coefficienti di spinta,
KT , di momento torcente, KQ , e di rendimento, η◦ , espressi in funzione di una grandezza cinematica, J, detta coefficiente d’avanzo. La Figura 1.3 fornisce tale diagramma per un’elica
a passo fisso (fixed pitch propeller - FPP). Il piano di rappresentazione del funzionamento
dell’elica isolata, una volta che questa sia stata scelta tra quelle disponibili (spesso un’elica di
serie sistematica) o progettata per la specifica carena, può essere utilizzato per ‘trasformare’ la
caratteristica di resistenza della nave in caratteristica di carico dell’elica.
Figura 1.3. Identificazione del punto operativo
5
1 – Progetto Concettuale
A tale scopo, si assume in prima approssimazione una curva di resistenza quadratica, che può
essere trasformata come segue
µ
RT = a·Vs2
⇒
T (1 − t) = a
Va
1−w
a
KT ·ρ n D =
V2
(1 − t)(1 − w)2 a
2
4
¶2
→
T =
a
V2
(1 − t)(1 − w)2 a
a
KT =
(1 − t)(1 − w)2 ρD2
⇒
µ
Va
nD
⇒
¶2
Se si assumono costanti D, t e w, tale relazione consente di formulare la caratteristica di carico
dell’elica come
KT = c·J 2
con c = cost.
Tracciando la parabole corrispondente sul diagramma dell’elica isolata, l’intersezione con la
curva KT dell’elica fornisce il punto operativo J ∗ dell’elica (Fig. 1.3). Si può, quindi, determinare il coefficiente del momento torcente ed il rendimento dell’elica isolata.
È evidente che per una curva di resistenza quadratica l’elica avrà un unico punto operativo,
indipendente dalla velocità nave; ciò significa ipotizzare che:
• J, KT e KQ rimangono costanti;
• Q è funzione del quadrato della velocità di rotazione dell’elica;
• PD dipende dal cubo della velocità di rotazione dell’elica;
• D, Va ed n sono legate da relazioni lineari, essendo J = cost.
Figura 1.4.
Andamento locale della resistenza
Quando la curva della resistenza non è quadratica, le relazioni suddette non sono più valide.
In tal caso (Fig. 1.4), si possono determinare i diversi punti operativi dell’elica a differenti
velocità nave, Vs , assumendo localmente una legge quadratica per la resistenza. Ad una certa
velocità si avrà una relazione del tipo R = a Vs2 ; ad un’altra velocità si assumerà R = b Vs2 .
6
1.2 – Punto operativo dell’elica
In base a queste espressioni si può definire la relazione tra KT e J come
per R = a·Vs
⇒
KT = c·J 2
per R = b·Vs
⇒
KT = d·J 2
Si possono ora determinare i punti operativi dell’elica che forniscono i punti cinematici di
funzionamento Jc e Jd , ossia l’intervallo cinematico dell’elica (la zona tratteggiata in Figura
1.5), corrispondente all’intervallo di interesse delle velocità nave. Ne deriva che nel caso generale
di una curva di resistenza non–quadratica l’elica avrà un intervallo di possibili punti operativi.
Di conseguenza, la curva di carico di potenza dell’elica non è più una cubica e non esiste più
una relazione lineare tra Vs ed n.
Figura 1.5.
1.2.2
Differenti punti operativi dell’elica
Eliche a passo variabile
La Figura 1.6 fornisce le caratteristiche di un’elica isolata a passo variabile (controllable pitch
propeller - CPP). Le curve KT ed η◦ sono ora date per diversi rapporti di passo P/D. Si
può nuovamente convertire la curva di resistenza di una nave in una relazione tra KT e J,
permettendo di definire un certo numero di punti operativi per l’elica, ognuno corrispondente
ad un valore del passo.
Dopo avere determinato i punti operativi dell’elica sul diagramma dell’elica isolata, mediante
l’utilizzo della curva KQ può essere facilmente ricavata la caratteristica di carico dell’elica.
7
1 – Progetto Concettuale
Figura 1.6.
Diagramma di funzionamento di elica a passo variabile
Per una nave con elica a passo variabile ed avente una curva quadratica di resistenza, la
caratteristica di carico dell’elica avrà la forma data in Figura 1.7. Per ogni rapporto di passo
P/D è desumibile una curva che esprime la relazione tra PD ed n. Nel diagramma possono
essere tracciate anche le linee continue a velocità nave costante. La curva tratto–punto, che
unisce i valori minimi di PD per ogni velocità nave, fornisce il rapporto di passo ottimale per
assorbire la potenza minima. Dallo stesso diagramma si può ottenere il rendimento massimo
per ogni velocità, quando si mantenga fisso il rapporto passo–diametro.
Figura 1.7.
Passi ottimali di un’elica a passo variabile
8
1.3 – Accoppiamento elica–motore
Va rimarcato che, se l’obiettivo è quello di avere il minimo consumo di combustibile, il rapporto
di passo ottimale potrebbe essere leggermente differente da quello per il quale risulta minimo
il valore di PD . Il prodotto del consumo specifico di combustibile per la potenza di carico
assorbita fornisce le curve di consumo di combustibile, il cui minimo può risultare in una certa
misura deviato rispetto al minimo di PD .
1.3
Accoppiamento elica–motore
Il problema dell’accoppiamento elica–motore è essenzialmente quello di assicurare che alla velocità nave massima ottenibile l’elica carichi il motore assorbendo la massima potenza disponibile.
Poiché l’elica assorbe la potenza del motore principale, la minimizzazione della potenza richiesta dipende dall’efficacia del loro accoppiamento. Se il diametro e/o il passo dell’elica sono
troppo piccoli, l’elica non riuscirà a caricare il motore diesel al suo momento torcente massimo
disponibile e si perde velocità. Viceversa, un diametro e/o un passo troppo grandi richiedono
un momento torcente in eccesso rispetto alla capacità del motore, e ciò impedirà di raggiungere
la velocità massima del motore, ancora con una velocità nave ridotta.
Si può dimostrare che, in generale, riducendo il diametro dell’elica non si ottiene alcun vantaggio, per cui dovrebbe essere scelta l’elica con il diametro massimo possibile, compatibilmente
con le luci minime imposte dai Registri di Classifica. Il problema viene ridotto all’ottimizzazione del rendimento propulsivo scegliendo i più opportuni valori del rapporto di area espansa,
del passo e del rapporto di trasmissione del riduttore. Ad ogni combinazione del rapporto di
area espansa e del rapporto di trasmissione corrisponde una curva di velocità esprimibile in
funzione del passo dell’elica. La velocità massima corrisponde alla situazione in cui la caratteristica velocità - potenza del motore si accoppia esattamente con la caratteristica velocità resistenza della nave. Variazioni nel rapporto di area espansa o nel rapporto di trasmissione
produrranno differenti velocità ottimali, tra le quali andrà individuata la combinazione che
produce il valore massimo assoluto del rendimento propulsivo totale.
Anche con questa semplice procedura di selezione si può ottenere il passo ottimale corrispondente ad una sola condizione di carico dell’elica. Variazioni del dislocamento, dell’assetto, della
condizione idraulica della carena, dei margini che tengono conto delle condizioni meteo–marine,
tutte quante influenzano la condizione di carico idrodinamico dell’elica. È del tutto evidente
quanto il problema dell’individuazione dell’elica ottimale sia estremamente complesso e richieda
l’introduzione di procedure decisionali che tengano conto simultaneamente di numerose variabili e di diversi vincoli progettuali. Se si tiene conto che il rendimento è influenzato dal rapporto
di area espansa, dal passo, dal diametro e dalla velocità di rotazione dell’elica, è evidente che
la scelta dell’elica ottimale è un problema decisionale multicriteriale.
In ogni caso, allo scopo di investigare l’accoppiamento tra motore ed elica, è innanzi tutto
necessario avere a disposizione le caratteristiche del motore e le previsioni quanto più possibile
accurate della curva di resistenza nave. Le prime sono fornite dai produttori di motori per un
9
1 – Progetto Concettuale
intervallo di combinazioni tra potenze e velocità di rotazione; sono normalmente specificati i
limiti operativi del motore. Le seconde sono ottenute da previsioni empirico–statistiche, da
prove su modelli in scala della nave e da dati di prove al vero, quando disponibili, se la nave
appartiene ad una classe già costruita. Questi dati sono spesso riducibili alle caratteristiche
√
che legano il rapporto tra resistenza e dislocamento R/∆ alla velocità nave relativa V / gL,
per il tipo di forme di carena in esame.
Considerati separatamente, i metodi di previsione della resistenza nave, cosı̀ come le stime
della spinta e della potenza sono da ritenere affidabili al livello del progetto concettuale. Le
raccomandazioni dell’ITTC per il loro calcolo sono state validate a sufficienza. Lo stesso vale
per i risultati raggiunti nella teoria e nella pratica di utilizzo dei motori navali.
Perché allora esistono tante discrepanze tra cantiere e cantiere nella previsione di potenza per
la stessa nave al vero? Perchè spesso il sistema propulsivo, sebbene composto di eccellenti
unità singole, risulta inadeguato, almeno in parte, ad ottimizzare le prestazioni in potenza
e velocità della nave? Per tentare di dare risposta a queste questioni, occorre analizzare le
procedure esistenti per la scelta dell’accoppiamento elica–motore, per poi proporre un metodo
alternativo, il cosiddetto metodo integrale, quale base per la sua ottimizzazione.
1.3.1
Condizioni di equilibrio
Nel caso di trasmissione diretta della potenza al mozzo dell’elica, l’interazione tra elica e motore è determinata dall’eguaglianza del numero di giri dell’elica e dell’albero motore, e dalla
conseguente eguaglianza dei loro momenti torcenti, fatte salve, in ogni caso, le perdite d’attrito
lungo la linea d’assi.
Il momento torcente assorbito dall’elica dietro carena è dato da
QB = KQ ·ρ n2 D5
(1.7)
dove KQ è sostanzialmente funzione del coefficiente d’avanzo e del rapporto di passo
KQ = KQ (J, P/D)
Nelle reali condizioni operative, in prima approssimazione la velocità nave dipende linearmente
dal numero di giri dell’elica (V = cost. × n), cosı̀ che si può assumere che il coefficiente d’avanzo
e, quindi, il coefficiente di momento torcente varino di poco. La potenza assorbita dall’elica è,
quindi, proporzionale al cubo del numero di giri; la relativa relazione è detta curva caratteristica
dell’elica, espressa come
PD = 2πn QB = 2πKQ ·ρ n3 D5 = cost. × n3
Il momento torcente fornito dal motore, in analogia con la relazione (1.7), può essere scritto
nella forma
0
QE = KQ ·ρ n2 D5
10
(1.8)
1.3 – Accoppiamento elica–motore
0
dove il coefficiente KQ è funzione solamente della velocità di rotazione del motore stesso, ossia
0
0
KQ = KQ (n)
0
La condizione QB = QE porta all’eguaglianza KQ = KQ , il che può essere assicurato adattando il passo dell’elica. Tuttavia, definito P/D, poiché per l’elica è KQ = KQ (J), mentre per il
0
0
motore è KQ = KQ (n), quando la resistenza nave varia, se si mantiene costante il numero di
giri, viene rotta la condizione di eguaglianza dei coefficienti del momento torcente, con conseguente malfunzionamento nell’interazione elica–motore.
Allo scopo di svolgere un’analisi dettagliata di questo problema, si considerino le caratteristiche
di velocità degli usuali motori diesel navali. La Figura 1.8 mostra le caratteristiche fondamentali del motore (potenza e numero di giri normalizzati rispetto ai loro valori nominali), le quali
determinano la sua zona operativa stabile, ossia:
• caratteristica nominale esterna del motore, ossia relazione tra potenza e velocita di rotazione per la massima erogazione di combustibile (curva 1);
• caratteristica limitativa del momento torcente per il carico meccanico (curva 2), corrispondente alla condizione Q = cost. e PB = 2πn QB /ηS ;
• caratteristica relativa al numero di giri minimo del motore (curva 3);
• caratteristica di regolazione limitativa del numero di giri massimo del motore (curva 4),
alla quale scatta il regolatore di frequenza limite in caso di improvvisa caduta del carico;
questo regolatore impedisce a1 motore di funzionare ad un numero di giri maggiore del
3÷5% di quello nominale.
Figura 1.8.
Corrispondenza nel campo di funzionamento tra elica e motore diesel
Durante il funzionamento normale, al motore non è permesso di operare al di fuori delle curve
limite. Il punto A del diagramma indica la potenza nominale del motore alla velocità nominale
di rotazione, quando il motore operi senza sovraccarico.
11
1 – Progetto Concettuale
Il diagramma suddetto mostra anche diverse curve caratteristiche dell’elica (curve I, II, III).
Un’elica a passo fisso (FPP) è correttamente accoppiata al motore principa1e se assorbe la potenza nominale sviluppata dal motore al numero di giri nominale per un’assegnata condizione
di carico. La curva caratteristica di tale elica (curva I) passa attraverso il punto A dove è ve0
rificata l’eguaglianza KQ = KQ . Se la curva caratteristica (curva II) raggiunge la curva limite
esterna del motore, l’elica sviluppa una velocità di rotazione minore di quella nominale; da un
punto di vista idrodinamico, tale elica viene detta pesantemente caricata (punto B); in questo
0
caso è KQ > KQ . Viceversa, un’elica è leggermente caricata (curva III) quando raggiungendo
i giri nominali (punto C) utilizza solo parte della potenza nominale disponibile; per tale elica
0
è KQ < KQ .
Come è evidente dalla Figura 1.8, indipendentemente dal fatto che l’elica sia pesantemente
o leggermente caricata, la potenza motore totale non viene del tutto utilizzata, il che porta
ad una minore velocità operativa della nave e ad un funzionamento dell’elica più o meno distante dal rendimento ottimale. È molto importante, quindi, scegliere correttamente il modo
di funzionamento durante la fase progettuale dell’elica. Se l’elica è progettata in modo tale che
durante le prove, per un certo carico specifico, con carena idraulicamente liscia, in condizioni
meteo-marine tranquille e con le pale dell’elica pulite, la curva dell’elica passi attraverso il
punto A, la nave raggiungerà la massima velocità durante le prove. Tuttavia, durante il suo
arco di vita, a parità di condizione di carico, la resistenza della nave crescerà costantemente
per vari motivi, ragion per cui l’elica risulterà sempre più caricata con conseguente riduzione
del suo numero di giri. A parità di potenza, la velocità nave sarà sempre minore della velocità
di progetto, e diminuirà nel tempo. Inoltre, l’incremento del carico dell’elica porterà ad un più
rapido invecchiamento di differenti elementi del motore, ad un maggiore consumo di combustibile ed a peggiori indici genera1i dell’operatività tecnica e commerciale della nave.
Per quanto riguarda il carico idrodinamico, la prevedibile maggiore resistenza della nave nel
tempo può essere compensata progettando un’elica leggermente meno caricata. Durante la
vita della nave, l’elica diverrà gradualmente più caricata, finché verso la metà del periodo tra
un carenaggio ed il successivo dovrebbe risultare perfettamente accoppiata alla carena ed al
motore, utilizzando tutta la potenza ai giri nominali di progetto. Prima di entrare in bacino,
l’elica sovraccaricherà, ma solo leggermente, il motore.
Come detto, tradizionalmente le eliche sono progettate per un ‘carico leggero’ ad un numero
di giri determinato secondo la relazione
nd = k·nnom
dove il coefficiente k dipende dal tipo di nave, dal tipo di motore e dalla periodicità della
manutenzione in bacino di carenaggio. In generale è k = 1.03 ÷ 1.05, il che è equivalente ad
una riserva di potenza del 10÷15% a metà del periodo tra due successivi carenaggi. Il passo
dell’elica risulterà ridotto rispetto a quello dell’elica di progetto ottenibile per nd = nnom .
Le turbine a gas hanno curve limite che sono assai più adatte per modi operativi nei qua1i il
carico dell’elica varia sensibilmente. Quando l’elica diviene più caricata, la potenza può essere
mantenuta pari a quella nominale o addirittura più elevata, con un consumo più elevato di
12
1.3 – Accoppiamento elica–motore
combustibile ed una riduzione insignificante dei giri dell’elica. Il carico termico della turbina
non varia, mentre aumenta leggermente il carico del riduttore, che va perciò progettato con
sufficiente riserva di robustezza. Di conseguenza, le eliche delle navi motorizzate con turbine a
gas non vengono mai progettate per ‘carico leggero’. Si raccomanda che il passo medio dell’elica
sia scelto per la condizione delle prove di velocità al vero, ossia per potenza e numero di giri
nominali.
1.3.2
Metodi convenzionali
Durante la vita operativa della nave, come risultato della variazione della resistenza di carena dovuta alla flora marina, alle onde, al vento, ai bassi fondali, nonché della variazione di
immersione per differenti casi di caricazione, le condizioni dell’interazione elica–motore non
rimangono fisse, il che porta ad una variazione dei giri dell’elica, della potenza richiesta e della
velocità nave.
Figura 1.9.
Caratteristica del motore e punti propulsivi nave
A tutt’oggi, le procedure di accoppiamento tra motore principale ed elica a passo fisso seguono
le raccomandazioni delle grandi case costruttrici di motori diesel lenti (Sulzer, 1995; MAN B
& W, 2004). Questi metodi sono un insieme di procedure dedicate al calcolo della resistenza e
della potenza motore al punto propulsivo progettuale. Tali procedure differiscono leggermente
tra loro, ma possono essere generalizzate come segue (Fig. 1.9):
• la previsione della resistenza nave è effettuata per la condizione di carico leggero (prove
in mare);
• il punto progettuale dell’elica, PD, si trova sulla curva caratteristica dell’elica con ‘carico
leggero’, LR; ciò significa che la spinta ed il momento torcente dell’elica, nonché l’assorbimento di potenza, corrispondono alla resistenza nave con carena ed elica pulite ed alla
condizione di mare calmo in assenza di vento;
• alla stessa potenza, diminuendo la velocità dell’elica (del motore) del 3–5%, si determina
un punto PD’ che si trova sulla curva caratteristica di ‘carico pesante’, HR, generata
artificialmente;
13
1 – Progetto Concettuale
• si determina il punto di servizio SP sulla curva HR aumentando la potenza mediante
l’imposizione del ‘margine per il mare’ (SM ≈ 15%) per superare la resistenza aggiunta
della carena causata da un peggioramento delle condizioni meteo–marine e/o del ‘fouling’
progressivo; aggiungendo il ‘ margine del motore’ (EM = 10-15%) si individua il punto
MP, che rappresenta la potenza e la velocità nominali del motore principale.
Nonostante la sua estesa applicazione nella pratica progettuale navale, questo metodo è inficiato da alcune debolezze concettuali. Tra l’altro, non è difficile dimostrare che la sua logica
mira a preservare sostanzialmente l’interesse dei produttori di motori diesel.
La potenza in eccesso raccomandata protegge l’apparato motore dai sovraccarichi termici e
meccanici che si manifestano nell’intervallo tra le curve caratteristiche dell’elica LR e HR. Grazie alla imposta ridondanza, il motore principale può mantenere la sua velocità nominale in
tale intervallo senza risultare sovraccaricato. Ma per fruire di tale opportunità l’armatore può
trovarsi a pagare una notevole extra–potenza; ossia, a dovere scegliere un motore con uno o due
cilindri in più. Questi costi aggiuntivi non garantiscono che il sistema propulsivo sia capace
di mantenere la velocità di progetto in condizioni di servizio più pesanti e di deterioramento
di alcune sue componenti. Infatti, non appena la curva della resistenza diviene più pesante,
la velocità della nave diminuisce, indipendentemente dal fatto che si mantengano costanti le
velocità dell’elica e del motore. L’unico impatto positivo dell’eccesso di potenza sulla velocità
nave è la capacità di impedire un’eccessiva riduzione di velocità del motore stesso allo scopo di
impedirne il funzionamento oltre le curve limite.
Tuttavia, in alcune situazioni, indipendentemente dalla fornita riserva di potenza del motore
principale, l’operatività della nave in condizioni meteo–marine assai severe e con ‘fouling’ più
severo (di solito alla fine del periodo tra due carenaggi) si potrebbe trovare di fronte ad un
inattesa e notevole riduzione dei giri del motore principale e, di conseguenza, della velocità
nave. Il motore si trova a funzionare in condizioni tecniche ed economiche sfavorevoli.
I progettisti si trovano dunque di fronte ad un nuovo problema quando devono progettare il
sistema propulsivo: i parametri del sistema carena–elica–motore devono essere scelti in modo
da garantire una corretta operatività della nave, ossia che i giri del motore e la velocità nave
varino entro un intervallo predefinito di limiti accettabili.
La determinazione dei parametri tecnici del sistema propulsivo della nave è effettuata da tecnici
i quali, ancorché specializzati, prendono spesso decisioni indipendentemente gli uni dagli altri.
Ciò porta ad un accumulo di margini quando si considerano tutte le unità del sistema, il
che comporta il rischio di sovradimensionare il motore principale. La velocità nave fissata
contrattualmente viene spesso considerata dall’armatore come velocità nominale di servizio,
mentre il cantiere navale la considera come velocità di progetto; comunque, per entrambi è
spesso, anche se ambiguamente, la velocità alle prove in mare. L’assenza di una definizione
esatta di queste velocità comporta problemi tecnici e legali, nonché discussioni infinite tra
cantieri ed armatori.
14
1.3 – Accoppiamento elica–motore
Per tutte queste ragioni, nessuno è in grado di spiegare a quale livello di rugosità della carena e
dell’elica, ed a quale stato di mare e di intensità del vento, presi separatamente o complessivamente, corrisponde l’abusato valore di ‘margine per il mare’ (sea margin) pari frequentemente
a SM = 15%.
Pur accettando come regola i metodi standard per l’accoppiamento tra elica e motore, molti
ricercatori hanno provato a migliorarli correggendone gli errori suddetti. Le loro ricerche sono
state dirette soprattutto a determinare relazioni quantitative tra i parametri di prestazione
degli elementi del sistema propulsivo della nave (resistenza, spinta, momento torcente e potenza, perdita di velocità) e la variazione dei fattori che li determinano (rugosità della carena e
dell’elica, onde, vento, ecc.). Il lavoro di Kresić e Haskell (1983) è un’ottima sintesi del modo di
affrontare tali problematiche. Tuttavia, nonostante il significativo contributo fornito a singoli
aspetti del problema complessivo, nessuno è riuscito ad ovviare completamente alle debolezze
suddette. Il che accade perché, pur cercando di applicare valori corretti del ‘margine per il
mare’ in condizioni meteo–marine probabili e con incrementi attesi della rugosità dell’elica e
della carena, l’elica ha continuato ad essere progettata ‘leggermente caricata’.
Figura 1.10.
Variazione nel tempo del diagramma di carico del motore
Va messa in discussione anche la pratica di definire il punto MP aggiungendo sulla curva caratteristica dell’elica HR il ‘margine del motore’ EM. Questo margine è stato introdotto per
compensare la diminuzione di potenza del motore principale causata dal deterioramento delle
sue condizioni tecniche. Ciò significa che il diagramma di carico del motore non rimane costante, ma varia nel tempo (Fig. 1.10).
La potenza massima sviluppata dal motore diminuirà ed il punto MP si muoverà verticalmente
verso il basso fino al punto MP’, ma senza scivolare sulla curva di carico pesante fino al punto
SP. Anche le curve limite si muoveranno verso il basso. In tal modo, il numero di giri nL del
motore principale corrisponderà al punto d’intersezione L della curva limite effettiva e della
curva di carico pesante. Il valore nL sarà sempre inferiore al numero di giri nSP relativi al punto SP. Ciò non accadrebbe se il punto MP fosse ricavato aggiungendo il margine EM relativo
15
1 – Progetto Concettuale
alla potenza corrispondente ai giri costanti nSP . Il nuovo punto contrattuale C, costruito verticalmente da SP introducendo il ‘margine del motore’, si trova sulla curva di carico HR’, che
è ancora più pesante. Il vantaggio consiste nella possibilità per tutta o per la restante quantità
di EM di essere utilizzata per il mantenimento del numero di giri nominale del motore, quando
la nave opera in condizioni idrodinamiche più onerose.
Le osservazioni critiche sulle procedure standard per l’accoppiamento elica–motore sono cosı̀
riassumibili:
• la procedura raccomandata per la definizione del punto contrattuale MP mediante i margini SM e EM assicura l’operatività del motore principale, senza sovraccarico, fino alle
condizioni di servizio corrispondenti alla curva HR; ma non garantisce che la velocità di
progetto della nave sia mantenuta in queste condizioni;
• la mancanza di una relazione quantitativa tra la riduzione raccomandata della velocità
progettuale dell’elica, pari a 2.5–5.0% per la definizione della curva HR, ed i fattori che
generano e determinano la sua posizione esatta, implica che non vi sia una chiara definizione degli obiettivi propulsivi;
• la determinazione aprioristica del ’margine per il mare’ e del ’margine del motore’, imponendo valori prefissati, comporta l’abbandono della relazione logica causa–effetto nel
processo progettuale; ne risulta che tali margini sono scorrelati dalle cause fisiche che ne
generano la necessità.
1.3.3
Metodo integrale
Quando un armatore ordina una nuova nave, ha un’idea abbastanza precisa circa la velocità
economica ottimale alle condizioni di carico ed operative previste. Per l’armatore la ‘velocità
contrattuale’ significa ‘velocità operativa’ ottimale, da mantenere il più a lungo possibile nelle
condizioni di servizio assunte come quelle relativamente peggiori. Tale aspettativa è connessa
ovviamente ai margini fissati per le singole componenti del sistema propulsivo.
Per il team progettuale la ‘velocità contrattuale’ equivale a ‘velocità di progetto’ con un significato pressoché onnicomprensivo. Infatti, non è solamente una variabile determinante per la
potenza motore da installare a bordo, ma lo è anche per l’ottimizzazione delle forme di carena,
per i parametri di calcolo della robustezza nave, ed anche per la determinazione dei margini
sulla nave.
Come è del tutto evidente, esiste una forte divaricazione tra questi due approcci. Superare le
debolezze delle procedure standard richiede la definizione di un metodo integrale per il progetto
del sistema propulsivo, che risponda agli interessi degli armatori, anziché a quelli dei produttori
di motori marini. Un tale approccio può essere formulato fissando l’obiettivo di mantenere la
velocità di servizio della nave fino a valori predeterminati di deterioramento delle condizioni
tecniche della carena e delle pale dell’elica, nonché di peggioramento delle condizioni meteo–
marine, senza causare sovraccarico né termico né meccanico del motore principale.
16
1.3 – Accoppiamento elica–motore
Raggiungere tale obiettivo porta a sostanziali vantaggi per la nave e per l’armatore. Crea la
possibilità di trasformare in incremento di spinta la potenza in eccesso del motore principale
rispetto alla potenza assorbita dall’elica nella condizione progettuale di carico leggero. La potenza in eccesso può essere utilizzata compiutamente per mantenere la velocità di progetto,
evitando cosı̀ di perdere velocità finché le caratteristiche di funzionamento dell’elica non superino i livelli massimi di carico idrodinamico assunti per le reali condizioni operative.
La perdita di velocità causa all’armatore sostanziali costi aggiuntivi, soprattutto nei ‘contratti
di nolo a tempo’ (time–charter contracts), che spesso danno luogo a contenziosi legali derivanti
dal cosiddetto ‘reclamo per la velocità’ (time–claim). Gran parte di questi problemi deriva
da aspettative impossibili circa la possibilità di mantenere la velocità di servizio. Quando ciò
accade, l’armatore deve pagare al noleggiatore una ‘penale per reclamo di velocità’ (SCP speed claim penalty), dovuta a ‘ritardo temporale’ (T D - time delay), ad ogni toccata durante
il periodo del nolo. Tale penale è proporzionale al ‘nolo a tempo’ (T CH - time charter hire),
secondo la seguente relazione
SCP = T CH ·T D
essendo
TD =
k
X
i=1
∆Vi
Li
·
24Vc Vc − ∆Vi
dove i è il numero di toccate previste durante il contratto, Li rappresenta la lunghezza della
tratta i–ma, Vc è la velocità contrattuale, mentre ∆Vi denota la perdita di velocità lungo la
tratta i–ma.
È importante sottolineare che, se non diversamente precisato, la velocità contrattuale nel
contratto di nolo a tempo deve essere mantenuta fino alle condizioni meteo corrispondenti
a Beaufort 4. La perdita di velocità causa all’armatore perdite finanziarie, anche quando opera la nave alle condizioni di ‘noleggio a viaggio’ (voyage charter ). Nella teoria economica
dell’industria marittima è consuetudine trasformare il tasso di nolo in un T CH equivalente,
consentendo cosı̀ di valutare le perdite finanziarie causate dalla perdita di velocità.
Progettare il sistema propulsivo con un altro approccio deve consentire all’armatore di recuperare l’investimento addizionale dovuto all’installazione di un motore principale di maggiore
potenza, allo scopo di mantenere la velocità di servizio, grazie ad una sensibile riduzione della
SCP fino al suo annullamento.
Per determinare le prestazioni della nave in diversi modi operativi, è utile calcolare e disegnare
il cosiddetto diagramma passaporto, detto anche caratteristica di prestazione (o di velocità)
della nave. Tale diagramma consente di determinare rapidamente la velocità della nave ed i
modi di funzionamento dell’elica e del motore in qualsiasi condizione operativa. Il diagramma passaporto è la rappresentazione sintetica del sistema di caratteristiche interagenti della
carena, del motore e dell’elica, tutte espresse in funzione della velocità nave e del numero di giri.
I punti chiave della nuova metodologia proposta sono illustrati in Figura 1.11. Ogni quadrante
contiene almeno tre curve, relative alla resistenza di carena, RT , o per la potenza motore, PB ,
17
1 – Progetto Concettuale
espresse in funzione della velocità nave e del numero di giri dell’elica, che corrispondono a tre
situazioni ben precise:
- prove in mare all’immersione di carico leggero (zavorra): RT (b), PB (b),
- prove in mare all’immersione di progetto: RT (d), PB (d),
- navigazione in condizioni idrodinamiche di carico pesante: RT (h), PB (h),
che corrispondono ai valori, definiti preliminarmente, dei fattori di servizio e delle condizioni
tecniche fino alle quali deve essere assicurata la velocità di servizio Vs .
Figura 1.11. Diagramma passaporto
Il diagramma passaporto è calcolato secondo la sequenza seguente. Inizialmente, la forza di
rimorchio utile dell’elica, Te , e la potenza motore, PB , sono determinate in funzione della
velocità nave, utilizzando le formule
Te = Zp ·Ke ·ρ n2 D4 = Zp ·(1 − t) KT ·ρ n2 D4
PB = Zp ·iQ ·2πKQ ·ρ n3 D5 /ηs
dove Zp è il numero di eliche.
Per potere valutare l’influenza del carico dell’elica sui fattori propulsivi, questi vanno determip
nati in funzione del coefficiente di carico della spinta effettiva KDE = V ·D/ Te /ρ, effettuando
la prova di autopropulsione con il ‘metodo britannico’ o con ‘metodi ibridi’ riconducibili a questo. Se non esistono dati sperimentali circa la dipendenza di t e w da KDE , ottenibili solamente
dalla suddetta prova di autopropulsione, si può utilizzare nel progetto concettuale il metodo
approssimato di Papmel per determinarli in funzione del carico idrodinamico sul propulsore.
18
1.3 – Accoppiamento elica–motore
La resistenza in mare calmo, all’immersione di progetto ed alla velocità di servizio, è RTS e
corrisponde al punto S (Fig. 1.11a). Per i valori assegnati di rugosità di carena, di forza del
vento e di stato di mare fino ai quali deve essere mantenuta la velocità Vs , possono essere
calcolate le quote addizionali della resistenza; ossia:
- ∆Rrh , in funzione della rugosità di carena;
- ∆Raa , in funzione della forza del vento, secondo la scala di Beaufort;
- ∆Rw , in funzione dell’altezza d’onda significativa, secondo lo stato di mare.
In prima approssimazione, l’elica è progettata nel punto P indicativo della resistenza totale
alla velocità Vs . La spinta progettuale Te = RTP , il numero di giri nd , la velocità nave Vs e
la frazione di scia w corrispondono alla rugosità iniziale delle pale. L’aumento della rugosità
di pala fa diminuire la spinta dell’elica, per cui deve essere fornita una riserva di spinta aggiuntiva. Tale riserva di spinta ∆Te (∆KT s ), necessaria a compensare le suddetta resistenza
aggiunta, dipende dal valore assoluto della riduzione del coefficiente di spinta ∆KT s , causata
dall’inevitabile aumento della rugosità delle pale passando dalla condizione ideale alle prove in
mare ad una qualunque condizione di servizio.
Una volta raggiunto il punto PD, che determina la posizione della curva RT (h) alla velocità
di servizio, si effettua la seconda approssimazione del progetto dell’elica, che deve produrre
la spinta Te (KT s ), agli stessi valori di Vs e nd . In maniera similare si ricava l’incremento di
momento torcente ∆KQs causato dall’accresciuta rugosità delle pale, determinando il corrispondente momento torcente e, quindi, la potenza assorbita.
Effettuata la seconda approssimazione, si ricava il punto PD’ (Fig. 1.11b), insieme alla curva
della potenza assorbita PB (h) alla quale sarà mantenuta la velocità di servizio Vs . La potenza
0
0
PBPD nel punto PD’ è maggiore della potenza PBS al punto S’, corrispondente alla potenza
assorbita nelle condizioni ideali di servizio, con un incremento (margine) pari a ∆PB = MS.
Questo incremento assomiglia al ben noto ‘margine per il mare’ (SM). Ambedue i margini
esprimono la ridondanza in potenza dell’apparato motore, ma sono sostanzialmente diversi nel
loro significato.
La differenza tra SM ed MS è concettualmente esprimibile come segue:
• Nella pratica progettuale storica, SM è fissato a priori, senza una correlazione chiara ed
esatta con i fattori della sua genesi. Viceversa, MS è determinato a posteriori, in ogni
situazione particolare, come risultato quantitativo a partire dai valori limite assegnati sia
ai fattori tecnici, sia alle condizioni meteo–marine.
• Il ‘margine per il mare’ SM non consente al sistema propulsivo di mantenere la desiderata
velocità di servizio Vs , indipendentemente da quanto elevata sia la potenza in eccesso
che risulta necessaria. Viceversa, il ‘margine in mare’ MS realizza questo obiettivo con
un’esatta corrispondenza tra il suo valore ed il grado di aggravamento delle condizioni
tecniche e di servizio.
19
1 – Progetto Concettuale
• Ambedue i margini proteggono il motore principale contro il sovraccarico fino ai suoi giri
nominali, ma a fronte di diverse curve di carico dell’elica. Utilizzando l’approccio tradizionale, la curva HR è fissata arbitrariamente a priori, mentre l’andamento della curva
PB (h) deriva dai valori assunti per tenere conto del deterioramento dei fattori relativi
alle condizioni di servizio e del peggioramento delle condizioni meteo–marine.
• I due metodi danno luogo a modi differenti di controllo del motore principale. Per il
sistema propulsivo progettato con i metodi tradizionali, la velocità di progetto Vd può
essere raggiunta alla velocità nominale del motore principale, lungo la curva caratteristica dell’elica LR e con il motore parzialmente caricato. Il fattore SM è assorbito alla
velocità nominale del motore, quando la curva di carico dell’elica si sposta da LR a HR
(vedi Fig. 1.9). La velocità nave diminuisce continuamente, ma il motore principale non
è sovraccaricato. Il modo con il quale è assorbito il margine MS è concettualmente differente. Alla curva di carico dell’elica PB (d), relativa alla condizione di carico progettuale,
la velocità Vs può essere mantenuta ad un valore di velocità inferiore, ns , del motore principale. Quando la curva caratteristica dell’elica si sposta da PB (d) a PB (h), la velocità
nave è assicurata incrementando i giri del motore fino a nd , assorbendo il margine MS
completamente (Fig. 1.11c). Si può affermare che SM è un margine di potenza ‘passivo’,
mentre MS è un margine ‘attivo’ dal punto di vista del mantenimento della velocità Vs .
Per quanto riguarda il ‘margine del motore’, questo deve essere valutato in connessione con i
dati reali relativi alla diminuzione di potenza del motore principale a seguito del deterioramento
delle sue condizioni tecniche. Il margine del motore deve essere aggiunto in corrispondenza del
numero di giri nd , ma non sulla curva di carico dell’elica PB (h) (Fig. 1.11c)
L’applicazione del ‘metodo integrale’ garantisce una certa riserva di velocità. A parità di giri,
nella condizione contrattuale (carico leggero o zavorra), la velocità raggiungibile è Vb = Vc ,
mentre nella condizione progettuale è Vd (Fig. 1.11a). Ambedue sono maggiori di Vs . Le
loro differenze rispetto a Vs rappresentano una riserva di velocità per il sistema propulsivo.
Normalizzando queste velocità rispetto alla velocità Vs , si possono formulare rispettivamente i
coefficienti di riserva di spinta kvc e kvd . In termini numerici, questi coefficienti sono espressi in
proporzione inversa alla perdita di velocità relativa. Se i dati concernenti la perdita di velocità
sono affidabili, possono essere trasformati nei necessari coefficienti di riserva di velocità, cosı̀
che i margini di spinta e di potenza possono essere determinati per approssimazioni successive
(Alexiev e Kostova, 1993).
Il ‘metodo integrale’ fornisce all’armatore la possibilità di aumentare le garanzie contrattuali
per quanto concerne il valore della velocità di servizio Vs . Quando l’armatore specifica tale
velocità insieme al tasso di deterioramento e di peggioramento delle condizioni fino alle quall
questa velocità deve essere mantenuta, si può determinare facilmente ed affidabilmente la velocità alle prove in mare da formalizzare contrattualmente.
La velocità Vc va fissata nel contratto sulla base della condizione di carico contrattuale alle
prove; si può avere, quindi, Vc = Vb , o Vc = Vd . In tal modo si evitano le incomprensioni che
spesso si generano quando la velocità di progetto Vd è fissata come velocità contrattuale, mentre
20
1.4 – Scelta del punto progettuale
le prove sono effettuate all’immersione di carico leggero o di zavorra, e non all’immersione di
progetto. Il che comporta un successivo ricalcolo previsionale per convincere l’armatore che la
velocità misurata durante le prove in mare garantisce la velocità contrattuale Vd all’immersione
di progetto. Gli esperti sanno bene che tale operazione è scorretta e suscettibile di speculazioni.
Il problema della velocità contrattuale assume, quindi, una complessità notevole.
1.4
Scelta del punto progettuale
Variare il punto progettuale di un’elica può comportare vantaggi significativi nel consumo di
combustibile. Ovviamente, la scelta del punto progettuale è condizionata dall’intervallo di carico disponibile per il motore.
È noto che per un motore diesel a due tempi un aumento del numero di giri a parità di potenza
porta ad un minore consumo specifico, come riscontrabile in Figura 1.12. Per questo motivo,
quando si desideri ridurre i consumi, è conveniente progettare a valori quanto più possibile
elevati del numero di giri, in quanto l’elica lavorerà con un maggiore margine di carico leggero.
Va da sè che esistono due limitazioni al riguardo. Innanzi tutto, il numero di giri nel punto
progettuale non può superare il limite del fuori-giri del motore. Inoltre, l’elica non potrebbe
più assorbire la potenza massima in condizioni di ‘pulizia’ del motore.
Figura 1.12.
Curve di consumo del combustibile in motori diesel lenti a 2 tempi
Varrà la pena investigare, in ogni caso, diverse definizioni del punto progettuale, per asseverare,
fra l’altro, quali economie sui costi operativi possano essere realizzate.
21
1 – Progetto Concettuale
1.5
Scelta dell’elica
Quando si tratta del progetto dell’elica finale, ci si può servire di calcoli puramente teorici,
supportati anche da prove sperimentali. Nella fase concettuale del progetto si utilizzano le
curve di funzionamento di modelli di eliche di serie sistematiche, In questo caso si deve parlare
di scelta dell’elica, o meglio della determinazione dei suoi parametri fondamentali (diametro e
numero di giri), piuttosto che di progetto dell’elica.
Il progetto concettuale dell’elica deve determinare le caratteristiche propulsive fondamentali
con un’accuratezza ingegneristicamente accettabile e deve rispondere a questi quesiti:
• è ottimale il diametro dell’elica?
• è stato scelto correttamente il numero di pale, oppure è possibile migliorare il rendimento
dell’elica e/o ridurre le vibrazioni indotte variando il numero di pale?
• è il punto progettuale dell’elica ottimale rispetto alle caratteristiche del motore? si è sicuri che un’altra scelta del rapporto tra potenza e numero di giri non ridurrebbe il consumo
di combustibile?
• potrebbe l’applicazione di un mantello o di altri dispositivi per il risparmio energetico
produrre miglioramenti complessivi, per quanto attiene consumi, vibrazioni, ecc.
Nel passato, sono state sviluppate numerose serie sistematiche di eliche e per molte di queste
sono state pubblicate equazioni di regressione che permettono di calcolarne con accuratezza le
curve caratteristiche di funzionamento. La loro importanza è, e resterà ancora vitale, nella fase
concettuale e negli stadi iniziali del progetto base di una nave.
Nella scelta iniziale delle caratteristiche geometriche e cinematiche fondamentali dell’elica, qualsiasi sia la serie sistematica o l’elica di stock utilizzata, sono sempre disponibili i coefficienti di
spinta KT e di momento torcente KQ . Sei sono le incognite base: T (o RT ), Va (o V ), P , D, n
e Q. Perció, purché si conoscano quattro delle sei incognite, il problema della scelta dell’elica
trova soluzione. Ad esempio, si supponga di conoscere la resistenza nave RT alla richiesta
velocità di progetto V e di avere scelto il motore principale: sono allora noti il numero di giri
n ed il momento torcente Q. Fissato il diametro dell’elica D, si voglia ricavare il passo P e
la potenza sviluppata all’elica PD . Allo scopo, si devono stimare, innanzi tutto, i coefficienti
propulsivi w, t, ηR . Conoscendo, quindi, T , Va , n e D, si ricavano KT e J, individuando il
punto propulsivo sul diagramma KT -J. La curva P/D, che passa per questo punto, consente
di determinare il valore del passo P , mentre il valore corrispondente di KQ fornisce il momento
torcente Q dell’elica. La potenza sviluppata al mozzo dell’elica è calcolabile come
2πn Q
PD =
ηR
Se invece di quattro, sono noti solamente tre dei quattro parametri suddetti, e se è derivabile
una relazione che leghi due dei parametri incogniti rimanenti - ad esempio, R e PE espressi in
funzione di V - si deve parlare della risoluzione di un problema di ottimizzazione. Il criterio
guida dell’ottimizzazione è normalmente la massimizzazione del rendimento dell’elica isolata.
22
1.5 – Scelta dell’elica
Nella fase concettuale del progetto, si possono individuare due classi principali per tale problema, ovvero:
• ottimizzazione del diametro,
• ottimizzazione del numero di giri.
Nel determinare la loro combinazione ottimale, non è indifferente in quale sequenza viene
svolto il processo di ottimizzazione. Se si ottimizza rispetto al rendimento, il suo valore risulta
differente se si fissa il numero di giri o se si fissa il diametro. Ambedue sono subottimizzazioni
e generano eliche diverse. Ne deriva l’opportunità di ricorrere a tecniche di ottimizzazione
multiobiettivo, che consentano di ottimizzare D ed N simultaneamente (Chisari, 2008).
1.5.1
Ottimizzazione del diametro
In generale, ma non sempre, quanto maggiore è il diametro dell’elica, nel rispetto dei limiti delle
luci poppiere, tanto maggiore sarà il rendimento quasi–propulsivo. Nel caso di bulk carriers e
di tankers, che spesso si trovano a navigare in condizione di zavorra, cosı̀ come per le navi portacontenitori e per le ro-ro in condizioni di carico leggero, bisogna garantire progettualmente
che l’elica sia completamente immersa, con ovvie limitazioni sulle dimensioni del propulsore.
Le formule seguenti possono essere assunte come linee guida di prima approssimazione:
• per bulk carriers e tankers
D < 0.65 T
• per ro-ro e portacontainers
D < 0.74 T
Tra eliche convenzionali, quella più grande fornisce sempre il migliore rendimento di elica
isolata, purché la velocità di rotazione possa essere scelta liberamente. Per eliche leggermente
caricate, l’incremento del rendimento al crescere dell’elica fino a diametri eccezionalmente grandi risulta, comunque, marginale. Una scia ridotta, nonché caratteristiche di resistenza meno
favorevoli per navi con forme poppiere estreme, impongono sempre una limitazione del diametro. Anche l’immersione minima poppiera in zavorra e le luci richieste tra apice dell’elica e
volta di poppa contribuiscono a limitare il diametro.
La procedura per determinare le caratteristiche principali di un’elica di diametro ottimale, una
volta fissato un apparato motore di potenza e numero di giri predefiniti, si sviluppa secondo le
fasi seguenti:
• Il motore determina la potenza PD disponibile al mozzo dell’elica, che è derivata dalla
potenza asse PS , assumendo un certo rendimento meccanico che congloba le perdite
nell’astuccio e nei cuscinetti della linea d’assi. In assenza di dati precisi da parte del
costruttore, il rendimento meccanico viene assunto pari a ηS = 0.98 nella condizione di
MCR. A un MCR inferiore il rendimento meccanico dovrebbe diminuire. La velocità di
rotazione nominale, alla quale è fornita la potenza motore, viene maggiorata generalmente
del 2–5%.
23
1 – Progetto Concettuale
• La frazione di scia e la velocità nave sono stimate mediante metodi empirico–statistici.
Si possono calcolare ed utilizzare nei diagrammi corrispondenti parametri di carico idro0
dinamico, quali BP di Taylor–Troost o KDE di Papmel. La stima della velocità nave
consente una prima valutazione della spinta, del rendimento dell’elica isolata e del rendimento propulsivo.
• Viene scelto il numero di pale Z, che influenza sostanzialmente il livello delle forze non–
stazionarie sull’elica. Il numero di pale va messo a confronto anche con il numero di
cilindri del motore. Numeri di cilindri multipli del numero di pale potrebbero causare
problemi vibratori. Eliche con tre pale sono utilizzate solamente su piccole navi ed imbarcazioni veloci con linee d’alberi libere. Va combattutto il vecchio dogma navale secondo
il quale il rendimento propulsivo cresce sempre al diminuire del numero di pale. Quando
è possibile aumentare il diametro, si verifica spesso un incremento del rendimento propulsivo al crescere di Z.
• A questo punto si deve stimare il rapporto minimo di area espansa AE /A0 , ritenuto sufficiente ad evitare cavitazione media sul disco–elica, in base ad un criterio di cavitazione.
Il rapporto di area espansa minimo possibile fornisce il rendimento più elevato per eliche
normalmente caricate; ciò non è sempre vero per rapporti d’area espansa molto piccoli.
Ne deriva che è buona pratica imporre un limite inferiore per tale rapporto: deve essere
sempre AE /A0 > Z/10.
• Si interpola, infine, sui diagrammi, o si utilizzano le equazioni di regressione, ricavando
i valori ottimali del coefficiente d’avanzo, del rapporto passo–diametro e del rendimento
di elica isolata.
Al termine del processo, si deve confrontare il rendimento totale rispetto a quello assunto in
prima istanza per la stima della velocità nave. Se esiste una differenza sensibile, il processo va
reiterato a partire da un’altra velocità di progetto.
La procedura suddetta può essere migliorata tenendo conto che:
• Non si è tenuto conto che il rendimento dell’elica isolata, derivato da prove su modelli,
è valido esattamente per Rn = 2 × 106 , almeno per le eliche della Serie–B, mentre il
numero di Reynolds dell’elica al vero è sempre maggiore. Al vero le perdite viscose, che
avvengono fondamentalmente sulle sezioni di pala più esterne, sono inferiori. Ne deriva
che il diametro ottimale dell’elica della nave deve essere maggiore di quello determinato
in base a dati sperimentali (eliche di serie o di stock).
• Non sono stati considerati gli effetti della rugosità di pala, che comporterebbe una riduzione del diametro ottimale al vero.
• Si potrebbe ipotizzare che il diametro ottimale determinato per l’elica isolata, ossia in
flusso assiale uniforme, sia identico al diametro ottimale dell’elica dietro carena. Questo
non è vero, anche perché è stato finora trascurato l’effetto del timone posizionato dietro
l’elica.
24
1.5 – Scelta dell’elica
• La scelta del diametro ottimale è stata effettuata ignorando gli effetti del diametro sulla
frazione di scia. Utilizzando un’ottimizzazione mono–obiettivo si ipotizza implicitamente
che tutte le eliche candidate abbiano la stessa scia, il che non è assolutamente vero, soprattutto per le navi monoelica dove esiste un notevole gradiente radiale di scia e dove
la scia media assiale diminuisce al crescere del diametro.
• Per determinare il diametro ottimale, si deve tenere conto dell’influenza della disomogeneità di scia, mediante la relazione
Dopt =
Va ·a
J ·n
dove il fattore di riduzione a = 1 − 0.01 ∆D, dipende dal valore medio della frazione di
scia, dal numero di eliche e, per navi monoelica, dalle forme di poppa, come desumibile
dalla Figura 1.13). Ad esempio, in presenza di un valore medio di scia pari a w = 0.30,
per eliche di navi bielica si può assumere a = 0.99, mentre per navi monoelica è a = 0.97.
Se il diametro ottimale è più elevato di quello massimo compatibile con le luci, viene
assunto Dopt = Dmax .
Figura 1.13.
Riduzione del diametro dell’elica
• I diagrammi di funzionamento delle eliche di serie rendono facile la determinazione della
perdita di rendimento e delle variazioni di passo, se il diametro dell’elica viene ridotto
per qualsiasi motivo.
25
1 – Progetto Concettuale
1.5.2
Ottimizzazione del numero di giri
Per determinare il numero di giri ottimale di un’elica si adotta un approccio differente. Fissato
il diametro, ed assegnata la potenza motore insieme alla velocità d’avanzo, il numero di giri
ottimale ed altre caratteristiche principali dell’elica possono essere determinati dai diagrammi
di Taylor o da quelli di Papmel.
La procedura per determinare le caratteristiche dell’elica è la seguente:
• Il diametro massimo ammissibile è stabilito dalla configurazione all’estrema poppa e da
altri criteri progettuali, tra i quali le limitazioni raccomandate per le luci tra elica e carena.
• Si determina la potenza sviluppata all’elica dopo avere tenuto conto delle perdite del
riduttore e delle perdite d’attrito sulla linea d’assi. Le perdite dovute al riduttore sono
spesso assunte pari al 2–3% della potenza asse. Si osservi che a potenze inferiori, particolarmente quando si impiegano eliche a passo variabile in posizioni di passo ridotto, le
perdite meccaniche possono essere superiori alla percentuale suddetta.
• La velocità nave e la frazione di scia sono stimate a partire da una previsione iniziale del
rendimento totale, della resistenza e della spinta.
• Circa l’area espansa, valgono le stesse considerazioni svolte rispetto alla scelta del diametro ottimale. Si ricordi la limitazione relativa al rapporto di area espansa per eliche a
passo variabile.
• Il rapporto di area espansa ed il numero di pale indicano quale diagramma utilizzare. Si
ricavano, quindi, il numero di giri ottimale ed il rapporto passo–diametro.
• Se il rendimento di elica isolata è diverso da quello stimato inizialmente, si ripete la procedura con una nuova velocità nave.
La procedura appena descritta per la scelta del numero di giri dell’elica necessita di alcune
precisazioni:
• Anche in questo caso non sono stati considerati né gli effetti del numero di Reynolds
dell’elica al vero, né gli effetti della rugosità di pala.
• È stato ipotizzato che la velocità di rotazione ottimale dell’elica isolata sia identico a
quella dell’elica dietro carena, il che non è vero quasi mai.
• Si è trascurato l’effetto del timone, che di solito è posizionato dietro l’asse dell’elica. Va
ricordato che la velocità di rotazione ottimale di un’elica di diametro fissato fornisce un
equilibrio tra perdite d’attrito e perdite rotazionali. Le perdite d’attrito si manifestano
prevalentemente ai raggi più esterni e crescono con una maggiore velocità periferica se
viene ridotto il passo. Le perdite rotazionali, associate alla variazione della quantità di
moto impartita in direzione circonferenziale nel flusso dietro l’elica, sono presenti soprattutto sui raggi più interni. Esse crescono rapidamente al crescere del passo. Il timone
dietro l’elica lavora come uno statore e recupera almeno metà delle perdite rotazionali,
quando è posizionato in asse dietro eliche con passo elevato. Ne consegue che, se viene
installato un timone in asse con l’elica, per raggiungere il massimo rendimento totale
dovrebbero essere applicati rapporti di passo più elevati e velocità di rotazione inferiori.
26
1.5 – Scelta dell’elica
• Ulteriori studi parametrici hanno mostrato che le eliche progettate per un numero di giri
ottimale presentano una differente combinazione di diametro e numero di giri rispetto a
quella delle eliche progettate per avere diametro ottimale. A tale proposito, si tengano a
mente le due linee guida seguenti, che sono confermate da tutti i diagrammi di progetto,
anche se quelli di Papmel sono di più agevole utilizzo:
– un’elica di diametro ottimale, con combinazione prefissata di potenza motore e numero di giri, ruota più velocemente di un’elica con lo stesso diametro e numero di
giri libero;
– se si ottimizza il numero di giri di un’elica di diametro prefissato, qualora si voglia
determinarne successivamente il diametro ottimale, si ricava un diametro ottimale
maggiore del diametro iniziale.
• Mediante i diagrammi progettuali si può effettuare una stima grossolana delle caratteristiche delle eliche a passo variabile in condizioni diverse dal punto progettuale (off–design).
Naturalmente ciò vale solamente per gli effetti prodotti da piccole variazioni del passo.
Quando le variazioni di passo sono maggiori, non sono più trascurabili né l’effetto della
variazione della distribuzione radiale del carico, né gli effetti prodotti dalla distorsione
dei profili delle sezioni di pala, né soprattutto gli effetti prodotti dallo scarico degli apici
di pala che è responsabile di una perdita addizionale del rendimento propulsivo dell’elica.
1.5.3
Diagrammi di progetto
L’utilizzo di diagrammi progettuali dell’elica, del tipo di quelli di Papmel, è imprescindibile
nella fase concettuale del progetto per quanto attiene la scelta finale del diametro ottimale e/o
del numero di giri ottimale, nonché del rapporto medio di passo. Per risolvere questo problema
a partire dalla curva di resistenza al moto della carena, occorre avere a disposizione i dati
relativi al motore principale, ossia tipo, potenza e numero di giri dello stesso.
La procedura base consiste nel calcolare il valore del coefficiente d’avanzo, il valore del coefficiente KT ed il valore del coefficiente KQ , e derivare il rendimento dalle polinomiali (diagrammi)
di serie sistematiche. Comunque, non sono in generale disponibili i dati per calcolare questi
parametri. Si stimano perciò statisticamente i dati incogniti e si attiva una procedura iterativa
che porti alla massimizzazione del rendimento propulsivo. Un esempio spiega meglio come
procedere.
Si ipotizzi che sia nota la velocità di progetto e che sia imposto il numero di giri dell’elica. La
velocità d’avanzo è derivata dalla velocità di progetto utilizzando la frazione di scia nominale.
Nel caso di elica pesantemente caricata è meglio utilizzare la scia effettiva. Sono note, quindi,
due variabili del coefficiente d’avanzo, ossia Va ed n, mentre è incognito il diametro D. Si sceglie un diametro arbitrario, il che consente di calcolare il coefficiente d’avanzo J. Dopo avere
scelto il numero di pale ed il rapporto d;area espansa, si determina il rendimento corrispondente
dell’elica per tutti i rapporti di passo disponibili per la serie utilizzata. Si sceglie il rapporto
27
1 – Progetto Concettuale
di passo cui corrisponde il massimo rendimento. Si varia il diametro fino a ricavare il massimo
rendimento.
Questa tecnica iterativa può essere applicata anche quando è incognita più di una variabile. In
tal caso, devono essere variati tutti i parametri disponibili e deve essere calcolata una matrice
delle variazioni. Questo è, ad esempio, il caso quando siano entrambi incogniti il diametro ed
il numero di giri. In questo caso, si inizia l’iterazione scegliendo adeguatamente il diametro
iniziale ed il numero di giri iniziale. È fissato, quindi, il coefficiente d’avanzo e si può calcolare il
rendimento. Si varia per primo il numero di giri, mantenendo fisso il diametro, fino a ricavarne
il valore ottimale. Si sceglie, quindi, un secondo diametro e si ripete tutta la procedura. Si
osservi che l’ottimizzazione del rendimento con un numero di giri fissato produce un valore
ottimale diverso da quello derivato con un diametro prefissato. Ambedue i valori sono subottimali e generano una diversa classe di eliche.
Nell’approccio del carenista, i calcoli sono effettuati per un certo numero di velocità nell’intorno
del valore della velocità di progetto, con un passo non superiore a 0.5 nodi. I coefficienti propulsivi sono determinati grazie a formule di regressione derivate dall’analisi statistica dei risultati
dell’analisi delle prove di autopropulsione, auspicabilmente tenendo conto del coefficiente di
carico dell’elica, definito in funzione della spinta effettiva TE = RT /Zp come
r
KDE = Va D
ρ
TE
e sperabilmente sintetizzati in formule approssimate per il tipo specifico di nave. Avvalendosi
dei diagrammi di Papmel, il coefficiente d’avanzo relativo J viene determinato in funzione del
coefficiente
r
Va 4 ρ
KN T = √
n T
Dopo avere determinato J e KT secondo le relazioni
J=
Va
n·Dopt
;
KT =
T
4
ρ n2 Dopt
in base ai diagrammi di Papmel, si ricavano P/D = f (J, KT ) ed η0 = f (J, KT ) e, quindi, il
rendimento quasi–propulsivo ηD e la potenza motore PB .
I risultati dei calcoli vengono presentati in forma grafica come relazioni delle variabili ca1colate
PD , Dopt , P/D, η0 ed ηD in funzione della velocità nave. Il punto di intersezione tra la curva
della potenza richiesta ed il valore della potenza motore disponibile determina la massima
velocità di progetto della nave e le corrispondenti caratteristiche dell’elica.
1.6
Il problema progettuale
L’elica navale può essere considerata come una macchina trasformatrice che converte la potenza
rotazionale trasmessa attraverso l’asse in una potenza di traslazione che fa muovere la nave. Il
28
1.6 – Il problema progettuale
prodotto della spinta T e della velocità d’avanzo Va è la potenza in uscita, mentre il prodotto
del momento torcente assorbito Q e della velocità angolare ω è la potenza d’ingresso.
1.6.1
Variabili progettuali
È didascalico considerare l’elica come un sistema, il cui schema è mostrato in Figura 1.14, che
genera due variabili, T e Q, per valori specifici della variabili Va e ω. Poiché la velocità della
linea d’assi n = ω/(2π) è impiegata più comunemente di ω, sarà utilizzata di qui in avanti.
Adottando la terminologia della teoria dei sistemi, T e Q sono le variabili dipendenti, mentre
Va ed n sono le variabili indipendenti.
Figura 1.14.
Schema del sistema elica
Se si utilizza una terminologia più ingegneristica, il quartetto di variabili T , Q, Va ed n sono
le variabili progettuali nel problema di definizione dell’elica, proprio perché i valori di queste
quattro variabili possono variare quando l’elica opera in condizioni differenti. Si può osservare
di passata che per un’elica a passo variabile il passo nominale (P0.7R ) andrebbe considerato
come un’ulteriore variabile progettuale, poiché il suo valore può variare per diverse richieste
del sistema di controllo.
I valori delle variabili progettuali specificano lo stato dell’elica nella condizione progettuale.
Qualunque altro insoeme di valori di T , Q, Va ed n specificano le condizioni operative ‘off–
design’ dell’elica. A seconda della natura del problema progettuale, i valori delle variabili
progettuali possono essere specificati come risultato dei requisiti progettuali o sono ricavati
come soluzioni del problema progettuale.
1.6.2
Parametri progettuali
In termini quanto più semplici possibile, progettare un’elica a pale fisse significa determinare
la sua geometria e le sue caratteristiche meccaniche, definite come parametri progettuali. Sono
quantità che non variano una volta che l’elica sis stata progettata.
Il numero e la natura dei parametri progettuali dipendono da numerosi fattori: il metodo
utilizzato nel progettare l’elica, se sono parametri di input o di output, il livello di dettaglio al
quale è sviluppato il progetto, etc. La Tabella 1.3 fornisce una lista dei parametri progettuali
catalogati sotto il titolo di parametri geometrici e meccanici.
29
1 – Progetto Concettuale
Parametri geometrici
Numero di pale
Diametro
Distribuzione del passo P (r)
Distribuzione della corda c(r)
Distribuzione della curvatura f (r)
Distribuzione dello spessore t(r)
Parametri meccanici
Distribuzione dello ‘skew’ θ(r)
Distribuzione del ‘rake’ ψ(r)
Tipo di sezione di pala
Diametro medio esterno del mozzo
Diametro medio interno del mozzo
Lunghezza del mozzo
Tipo di materiale
Peso specifico del materiale
Tipo di materiale
Modulo di elasticità
Tensione massima ammissibile
Tabella 1.3. Parametri progettuali fondamentali per eliche convenzionali
Come nel caso delle variabili progettuali, alcuni dei parametri progettuali sono fissati a priori,
mentre altri sono variati sistematicamente. Il progetto sarà del tutto automatico solamente
quando tutti i parametri progettuali potranno essere determinati come risultato del processo
progettuale, un obiettivo raggiungibile solo con una complessa procedura multicriteriale.
1.6.3
Obiettivi e vincoli progettuali
Prima di iniziare il progetto di un’elica, è necessario comprendere chiaramente ciò che si deve
ottenere e quali implicazioni devono essere considerate. Il modo migliore per descrivere il problema progettuale è di contestualizzarlo entro la teoria dell’ottimizzazione, parlando, quindi,
di funzione obiettivo e di vincoli . Un tale approccio non solo fornisce una base razionale per
comprendere il problema progettuale, ma apre la strada verso l’adozione di precise procedure
analitiche per sviluppare un progetto.
Si deve capire anche che in un progetto ottimale, i valori ottimali delle variabili e dei parametri
progettuali non solo dovrebbero produrre il rendimento propulsivo più elevato, ma dovrebbero
rispettare anche un insieme di vincoli. Una lista dei vincoli progettuali più comuni comprende:
caratteristiche di cavitazione accettabili, deboli forze vibratorie sulla carena, caratteristiche di
rumore soddisfacenti, adeguata robustezza, limitazioni geometriche e di peso, costi di acquisizione e di manutenzione ragionevoli, buone qualità di frenata, accettabile comportamento
‘off–design, affidabilità. Il progettista potrebbe far crescere questa lista con vincoli ulteriori a
seconda della natura dello specifico problema e/o della sua esperienza pregressa.
È raro che si possano esprimere i vincoli in funzione delle variabili e dei parametri progettuali
mediante relazioni semplici. Si consideri, ad esempio, il problema di riprogettare l’elica di una
nave esistente, per la quale l’armatore richieda che il peso delle pale dell’elica non superi un
valore assegnato, ad esempio 450 kN. La forma analitica del vincolo di peso appropriato nel
problema dell’ottimizzazione del progetto potrebbe assumere la forma (Schönherr, 1963)
0.248
t◦ AE
γD2 ≤ 450
D A0
Anche per il vincolo più semplice, quale quello appena descritto, la forma nella quale appaiono alcune variabili ed alcuni parametri è nonlineare; ossia, la maggior parte dei vincoli, se
non tutti, sono altamente nonlineari, ed è nonlineare anche la funzione obiettivo. Il problema
30
1.6 – Il problema progettuale
dell’ottimizzazione nonlineare è complesso, ma oggi risolvibile. In ogni caso, discuterne è utile
da molti punti di vista.
In primo luogo, si possono introdurre alcuni vincoli elementari; ad esempio, è relativamente
semplice includere il requisito che la lunghezza minima del mozzo sia almeno pari alla lunghezza
proiettata della corda alla radice; quale esempio alternativo, è relativamente semplice investigare l’effetto prodotto dall’incremento del ‘fattore di sicurezza’ sul numero di cavitazione locale.
Va sottolineato che il concetto di vincolo progettuale consente al progettista di comprendere
meglio perché più soluzioni sono possibili in specifiche applicazioni progettuali. Ad esempio, se
il problema non è vincolato rigidamente, ossia se esistono pochi vincoli o se gli stessi non sono
stringenti, può essere analizzato sistematicamente un gran numero di eliche candidate, prima
di proporre il ‘progetto migliore possibile’. Se, d’altra parte, il problema progettuale è ‘completamente vincolato’, esisterà una sola soluzione possibile che soddisfa i requisiti progettuali,
ossia la funzione obiettivo ed i vincoli.
1.6.4
Tipi di problemi progettuali
Poiché è impossibile sintetizzare il processo progettuale dell’elica in un unico passo, si utilizza
un processo di analisi nel quale si ipotizza che certe grandezze siano note, mentre le altre saranno determinate come rislutato dell’analisi.
I problemi progettuali dell’elica sono meglio decifrabilii se si considerano proritariamente le
quattro variabili progettuali T , Q, Va ed n (Fig. 1.14). Queste variabili, prese due alla volta,
dividono il problema progettuale in due classi principali, coem segue:
• problemi dei quali sono note la velocità d’avanzo Va e la spinta T , mentre Q ed n sono
incogniti;
• problemi dei quali sono noti il momento torcente Q e la velocità della linea d’assi n,
mentre Va e T sono incognite.
La prima classe di problemi è risolta di solito mediante il cosiddetto ‘approccio del carenista’ (naval architect approach), mentre la seconda classe utilizza il cosiddetto ‘approccio della
potenza’ (marine engineer approach). Queste due classi di problemi e le loro varianti conglobano la quasi totalità dei problemi progettuali risolvibili fin dalla fase concettuale, e che sono
sintetizzati in Tabella 1.4.
Approccio del carenista
Nella prima classe del problema progettuale, la spinta dell’elica, T , e la velocità d’avanzo, Va ,
sono variabili note. Più precisamente, la velocità di progetto della nave, Vs , è specificata o assunta come valore desiderabile, e la velocità Va è calcolata utilizzando valori empirico/statistici
o sperimentali di scia media. Analogamente, la spinta dell’elica è derivata dalla conoscenza
della resistenza nave alla velocità di progetto (o dalla potenza effettiva alla stessa velocità) e
del fattore di deduzione di spinta t.
31
1 – Progetto Concettuale
Caso
Dati
Incognite
Target
Approccio del carenista
1
2
D, Va , T
D, Va , T , P/D
N , P/D
N , PD
T /(ρVa2 D2 )
T /(ρVa2 D2 )
3
4
5
N , D, Va , T
D, Va , PE
N , Va , PE
D, P/D
N , P/D
D, P/D
T ·n2 /(ρVa4 )
KT , η◦
KT , η◦
Approccio del motorista
6
7
8
9
D, Va , PD
D, Va , PD , P/D
N , Va , PD
D, Va , Q, P/D
N , P/D
N, T
D, P/D
N , T , PD
PD /(2πρ Va3 D2 )
PD /(2πρ Va3 D2 )
PD ·n2 /(2πρ Va5 )
Q/(ρVa2 D3 )
10
N , Va , Q, P/D
D, T , PD
Q·n3 /(ρVa5 )
Analisi
11
12
N , D, PE
N , D, Va , PD
P/D
P/D, T
KT , η◦
PD ·n2 /(2πρ n3 D5 )
13
14
15
16
17
N,
N,
N,
N,
N,
Va , T
Va , PD
T , PD
P/D
P/D, PD
PD ·n2 /(2πρ n3 D5 )
KT , η◦
KT , η◦
KT , η◦
T ·n2 /(ρVa2 )
D,
D,
D,
D,
D,
P/D, PD
P/D, T
P/D, Va
Va
Va , T
Tabella 1.4.
Sintesi dei casi progettuali
L’obiettivo di questo approccio è la determinazione, sulla base di qualche funzione obiettivo, dei
valori appropriati delle variabili progettuali Q ed n, cosı̀ come degli altri parametri progettuali.
L’approccio del carenista è, in generale, quello seguito negli stadi iniziali del progetto della
nave (e dell’elica) purché, naturalmente, le caratteristiche del motore principale non siano tali
da imporre vincoli stringenti su Q ed n. Oggi è concettualmente più razionale ‘adattare l’elica
alla nave’, per cui questo approccio è favorito da molti progettisti.
Se si fa riferimento ai diagrammi progettuali, l’approccio del carenista è quello seguito quando si
utilizzano i coefficienti KT D di Papmel, i coefficienti BU di Taylor, o i diagrammi che prevedono
l’utilizzo del coefficiente
KT
T
n2 D2
T
=
·
=
2
2
4
2
J
ρn D
Va
ρD2 Va2
dove il diametro D è ipotizzato noto oppure è variato sistematicamente, nel qual caso il numero
di giri n (e Q) è calcolato in base alle restanti grandezze note.
32
1.6 – Il problema progettuale
Una leggera variante dell’approccio base del carenista consiste nel ‘fissare’ un valore per n e
nel determinare D, utilizzando coefficienti o diagrammi che consentono di eliminare il diametro
mediante il rapporto
KT
T
n4 D 4
T n2
=
·
=
J4
ρ n2 D4 Va2
ρVa4
L’applicazione combinata di queste due varianti dell’approccio del carenista permette di determinare una finestra di soluzioni, combinazioni accettabili di D ed n.
Approccio del macchinista
Una situazione frequente è quella nella quale il motore è scelto in partenza, per cui sono noti
la potenza disponibile al mozzo PD ed il numero di giri al quale questa potenza è sviluppata.
Se si assumono come variabili assegnate il momento torcente Q assorbito dall’elica e la velocità
di rotazione della linea d’assi n, il progetto dell’elica è effettuato utilizzando l’approccio del
macchinista. Poiché la potenza sviluppata all’elica è PD = 2πnQ, tale approccio è detto anche
‘approccio della potenza’ o ‘approccio del momento torcente’.
Più esplicitamente, l’approccio del macchinista assume che siano specificate a priori la potenza
continua massima disponibile del motore principale e la velocità alla quale questa potenza è
trasmessa, dalle quali possono essere calcolate la potenza sviluppata al mozzo e la velocità di
rotazione dell’elica, una volta che siano note il rendimento meccanico della trasmissione ed il
rapporto di riduzione.
L’obiettivo corrispondente in questo approccio è quello di determinare, in base a qualche criterio, la velocità nave attesa Vs , oppure, più precisamente, la velocità d’avanzo dell’elica Va , e
la spinta associata T che possono essere sviluppate, insieme ai rimanenti parametri progettuali.
L’utilizzo dell’approccio del macchinista è associato con i coefficienti KQE di Papmel, i coefficienti BP di Taylor, e con i diagrammi che includono il rapporto
KQ
Q
n5 D5
Q n3
PD n2
=
·
=
=
J5
ρ n2 D5 Va5
ρ Va5
2πρ Va5
Con questo approccio base del macchinista, la velocità d’avanzo Va viene assunta o variata
sistematicamente, e viene ricercato il diametro dell’elica ottimale come risultato della soluzione
progettuale. Una variante di questo approccio consiste nel fissare un valore per D e nel determinare la velocità di rotazione n. In quest’ultimo caso, i diagrammi progettuali appropriati
0
sono quelli basati sui coefficienti KDQ di Papmel, sui coefficienti BP di Taylor, o sui diagrammi
che includono il rapporto
Q
n3 D3
KQ
Q
PD
=
·
=
=
J3
ρ n2 D5 Va3
ρn D3 Va5
2πρ D2 Va3
eliminando cosı̀ il numero di giri.
33
1 – Progetto Concettuale
In ogni caso, l’obiettivo è lo stesso, ossia la determinazione dei valori attesi di T e Va (o Vs ),
insieme ai più appropriati parametri progettuali. A differenza dell’approccio del carenista,
l’approccio del macchinista consiste nell’accoppiare l’elica con il motore.
1.7
Previsione della potenza in servizio
L’obiettivo di una realistica progettazione del sistema propulsivo deve essere quello di calcolare
la potenza motore, e di ottimizzare sia il rapporto di passo che il numero di giri dell’elica, considerando il maggior numero possibile di reali situazioni operative, che tengano conto dell’effetto
dell’invecchiamento della carena e dell’elica sulle prestazioni propulsive, dello stato di mare e/o
del basso fondale.
La metodologia proposta, definita in precedenza metodo integrale, è ben diversa da quella classica, che prevede la semplice assunzione di margini di potenza aprioristici, senza valutare il
peso delle effettive condizioni in servizio della nave. Il risultato finale della nuova metodologia
di analisi è la costruzione, nel caso di eliche a passo variabile, delle curve combinate passo–giri
garantendo il funzionamento sicuro, lontano dal sovraccarico, dell’apparato motore. L’analisi
progettuale deve permettere di valutare attentamente le prestazioni propulsive in infinite condizioni operative: in ció risiede la differenza fondamentale con l’approccio classico, che assicura
le prestazioni della nave solamente finché la potenza richiesta nella reale situazione operativa
non superi i margini prestabiliti euristicamente.
1.8
Rugosità e potenza nave
Per implementare un approccio corretto alla determinazione delle prestazioni in potenza di una
nave, è importante sapere come le prestazioni di carena si combinano con l’utilizzo dell’energia
a bordo. Oltre alle prestazioni della carena, esistono vari aspetti da considerare nell’utilizzo di
tale energia, fra i quali le prestazioni dei macchinari, il rendimento del propulsore, ed i legami
funzionali tra questi aspetti. Qui il problema specifico è identificare come ridurre il dispendio
di energia associato con le prestazioni della carena, ed in particolare il legame tra energia spesa
e rugosità. Isolando la carena dal sistema complessivo, la stessa viene qui correlata alle componenti della rugosità, suggerendo cosa fare per controllare o modificare la rugosità in termini
di tecniche di gestione della superficie di carena.
La Figura 1.15 fornisce uno schema semplificato dell’utilizzo dell’energia a bordo di una nave.
In questo caso, la funzione primaria è la conversione dell’energia in velocità nave, come si evince
muovendo da sinistra a destra nel diagramma. L’utilizzo dell’energia è descritto dai legami in
verticale tra spese energetiche e velocità nave. Sono sostanzialmente i parametri della terza
fase che devono essere considerati nella previsione delle prestazioni in velocità di una nave. In
34
1.8 – Rugosità e potenza nave
particolare, quei parametri di resistenza che variano nel tempo o che possono essere adeguatamente corretti attraverso una ‘pratica gestionale della superficie di carena’ (HPAM - hull
surface practice management).
In ogni caso, vanno considerati anche i fattori che influenzano nel tempo le prestazioni dell’elica.
Sempre con riferimento al diagramma della Figura 1.15, questi sono l’influenza delle condizioni
meteo–marine sul rendimento dell’elica, ηE , le perdite dovute alla rugosità delle pale, ηS , e
l’effetto della rugosità di carena sul rendimento dell’elica, ηHR .
Figura 1.15.
Schema di utilizzazione dell’energia a bordo
Nel processo progettuale sono trattate in primis le variazioni operative dei parametri di resistenza dovute all’ambiente, CE , ed alla rugosità di carena, CS . Questi parametri sono influenzati dagli elementi operativi della nave, quali lo stato di mare, il vento, le correnti, la rotta
commerciale, il tempo in navigazione, il tempo in porto, l’età della nave, i cicli di carenaggio,
i tipi di pittura sul fasciame, i tipi di pulitura della carena, ed i vincoli portuali relativi al
‘fouling’. La resistenza d’attrito e la resistenza residua, espresse in termini di coefficienti, CF
e CR , sono desumibili in base ai metodi utilizzati tradizionalmente. Sebbene il loro contributo alla resistenza totale vari durante la vita operativa della nave in funzione della velocità,
dell’immersione e dell’assetto, le si considera immuni dall’influenza dallo stato della carena e
dalle condizioni meteo–marine.
1.8.1
Effetti della rugositá di carena sulle prestazioni della nave
Il tema del ‘fouling’ di carena, in quanto connesso alle prestazioni tecnico-economiche della
nave, ricevette la dovuta attenzione quando negli anni ’70 del XX secolo si ebbe il primo schock
dei prezzi petrofileri. Nei decenni precedenti gli ingegneri navali risolvevano i problemi che il
35
1 – Progetto Concettuale
‘fouling’ poteva produrre in termini di penali, introducendo un margine di potenza sufficiente
a raggiungere o superare la velocità di progetto in ogni condizione di ‘fouling’ della carena tra
regolari andate in bacino di carenaggio per la pulitura e la ripitturazione dello scafo. Tuttavia,
oggi tale approccio risulta inadeguato in quanto è difficilmente accettabile la determinazione
dei consumi reali e, quindi, dei costi operativi sulla base di pure relazioni empiriche e di dati
storici. È perciò necessario sviluppare un approccio analitico per la determinazione degli effetti
del ‘fouling’, espressi in funzione di pertinenti variabili indipendenti, che siano significative nel
processo progettuale, nella gestione operativa della nave, e nel conto economico a lungo termine.
Poiché si tratta di un problema multidimensionale, e stante la scarsa disponibilità di misure al
vero, occorre accettare in partenza certe ipotesi di compromesso per costruire un primo modello analitico che consenta di valutare gli effetti del ‘fouling’ sulle prestazioni e sull’economia
della nave. Lo sviluppo di un tale modello è fondamentale, comunque, per un’analisi comparativa degli effetti della rugositá e di differenti pratiche di manutenzione della carena al variare
dei parametri progettuali, operativi ef economici. Per consentire aggiornamenti permanenti
allo scopo di affinarne l’accuratezza previsionale, il modello analitico deve essere strutturato
in maniera modulare facilitando il miglioramento e la sostituzione di formulazioni incerte ed
imprecise.
In generale, la rugositá media di carena aumenta con l’etá della nave, ma non esiste una relazione semplice tra etá e rugositá che potrebbe essere derivata considerando:
• i sistemi di pitturazione utilizzati e le loro prestazioni;
• l’eventuale protezione catodica;
• il numero di carenaggi e la qualitá del lavoro svolto.
Componenti della rugosità di carena
Per pianificare la gestione della superficie di carena devono essere isolati i contributi alla resistenza totale dati dai parametri della rugosità di carena, CS , da quelli dell’ambiente meteo–
marino, CE , dalla resistenza residua, CR , e dalla resistenza d’attrito, CF . Il contributo di CE ,
che consiste della resistenza aggiunta dovuta a onde, vento e correnti, è valutato separatamente
mediante procedure consolidate che fruiscano dei dati ambientali relativi alle rotte di interesse.
Una volta isolato il contributo alla resistenza nave dovuto alla rugosità, si deve procedere ad
una descrizione più dettagliata delle componenti della rugosità di carena. La rugosità della
carena di una nave (mean average amplitude - MAA) comprende i termini seguenti:
M AA = M AAlamiere + M AApittura + M AAcorrosione + M AAfouling
La rugosità cumulativa della carena di una nave, in qualsiasi periodo della sua vita operativa è
descritta nel modello di previsione di potenza da un’ampiezza media apparente (M AA - mean
apparent amplitude). Questa misura rappresenta la distanza media verticale cresta–cavo in
una data zona della superficie di carena. Sebbene esistano metodi più complessi per misurare
36
1.8 – Rugosità e potenza nave
la rugosità, il metodo M AA è stato scelto dagli ingegneri navali per la sua semplicità e per la
mole di dati disponibili che correlano la rugosità alla effettiva resistenza nave. Le M AA dovute
alle lamiere, alle pitture ed alla corrosione, sono direttamente misurabili, mentre la rugosità
per ‘fouling’ non lo è, per cui le si può solamente assegnare una M AA equivalente basata sul
suo tasso di crescita in funzione del tempo. Per rappresentare la rugosità totale di carena si
somma la M AA per ogni componente di rugosità.
La M AA totale è utilizzata per stimare l’effetto della rugosità di carena sulla resistenza. La
relazione base tra la rugosità di carena e l’incremento di potenza asse richiesta per muovere la
nave ad una certa velocità e dislocamento lega l’ampiezza media apparente della rugosità della
carena al valore CS , mediante la relazione proposta da Schorsch et al. (1978), è
µ
¶
1/3
M AA
CS ·10 = 105
− 0.64
12000 LP P
derivata empiricamente in base ad una serie di misure al vero su diverse navi.
3
(1.9)
Poiché il ‘fouling’ marino si accumula a differenti velocità sulle murate e sul fondo della nave,
la superficie bagnata della nave è suddivisa in superficie del fondo e superficie delle murate. La
rugosità totale della carena è assunta come rugosità media pesata delle murate e del fondo.
Come mostrato in Figura 1.15, la rugosità di carena può essere espressa come la somma di quattro componenti adimensionali, dovute alle lamiere, CSP L , alle pitture/rivestimenti, CSP A , alla
corrosione CSCO , ed al ‘fouling’, CSF O . Il coefficiente CSP L rappresenta la rugosità iniziale del
metallo nudo utilizzato per le lamiere del fasciame, mentre il coefficiente CSP A rappresenta la
rugosità addizionale derivante dall’applicazione di varie pitture e rivestimenti anticorrosione ed
antifouling. L’entità di CSP A dipende notevolmente dal tipo di rivestimento, dalla tecnica applicativa e dalla qualità della lavorazione durante l’applicazione. La resistenza d’attrito totale
di una nave nuova andrebbe rappresentata in forma adimensionale dalla somma di CF , CSP L
e CSP A . Le variabili che influenzano CSP L e CSP A sono utilizzate nella determinazione della
variazioni nel tempo della rugosità di carena, che dipendono dalla qualità nella manutenzione
e nella pitturazione delle lamiere. La valutazione separata del coefficiente CSP A è particolarmente utile quando si effettuino operazioni di sabbiatura e ripitturazione durante il carenaggio.
Il coefficiente di rugosità per corrosione, CSCO , rappresenta l’incremento di rugosità di carena
causato da butterature e fenditure delle lamiere in zone dove non hanno funzionato le misure
anticorrosione. Il coefficiente per ‘fouling’, CSF O , rappresenta le crescite di organismi marini
sulla superficie di carena dove i rivestimenti antifouling non funzionano o hanno superato la
loro durata effettiva.
Sono diversi i parametri che influenzano l’entità della rugosità prodotta da ogni componente
della rugosità di carena. La rugosità di una lamiera è funzione della qualità costruttiva e non
varia durante la vita della nave a meno che la lamiera non sia riparata o sostituita. La rugosità iniziale della pittura o del rivestimento è funzione del tipo, della tecnica e della qualità
dell’applicazione. La rugosità iniziale varia, quindi, in funzione del tempo e della percentuale
del danno subito dalla pittura. Nel caso di tipi di rivestimenti avanzati, quali pitture autoleviganti, si può prevedere il decremento di rugosità nel tempo successivo all’applicazione. Ogni
37
1 – Progetto Concettuale
volta che si sostituiscono le lamiere della carena, inizia un nuovo ciclo di vita della pittura e
della rugosità. Successivamente va applicato uno stimato tasso di rugosità delle superfici di
carena esposte per prevedere l’effetto globale di rugosità per corrosione. Di nuovo, il carenaggio e la rigenerazione della superficie di carena danno luogo ad un nuovo ciclo di vita per le
misure anticorrosione. Comunque, numerose misure al vero hanno indicato che i bassi livelli
di rugosità della nave nuova non vengono più raggiunti, per cui una certa rugosità diviene una
caratteristica permanente della superficie di carena.
La rugosità per ‘fouling’ sulla carena è stimata utilizzando i parametri della durata effettiva
dei rivestimenti antifouling, del tempo speso dalla nave nei porti e dei vincoli imposti dai porti
circa il ‘fouling’. In genere, si ipotizza che non si produca ‘fouling’ quando la nave si muove ad
una velocità superiore ai 3 nodi, anche se ciò non è mai vero per le grandi navi cisterna lente.
La bassa velocità e le forme piene di carena delle navi cisterna fanno sı̀ che le velocità locali del
flusso siano sempre minori di 3 nodi su certe zone della carena. La rugosità dovuta al ‘fouling’
può essere rimossa in diversa misura mediante differenti procedure di pulizia.
Figura 1.16. Componenti della rugosità di carena
Il valore di M AA incluso nell’equazione (1.9) rappresenta l’ampiezza media apparente pesata
sull’insiene della carena. Questa equazione non considera la posizione sulla carena delle diverse
quantità di rugosità, ma ipotizza piuttosto una distribuzione uniforme di rugosità. L’equazione
(1.9) rappresenta una semplificazione della resistenza aggiunta indotta dalla rugosità, ma è il
metodo più accurato ancora oggi ingegneristicamente disponibile.
38
1.8 – Rugosità e potenza nave
L’entità dei singoli contributi alla rugosità di carena da parte delle quattro componenti varia
a seconda del profilo operativo e della pratica gestionale della superficie di carena. Una tipica
suddivisione della rugosità di carena in funzione della vita della nave è mostrata in Figura 1.16.
Come si può osservare, il contributo relativo delle varie componenti è alquanto diverso a seconda
del momento e del tipo di intervento.
1.8.2
Effetto dell’invecchiamento della carena e dell’elica
L’invecchiamento del fasciame di scafo causa la continua modifica di alcuni fattori che influiscono marcatamente sulle caratteristiche propulsive della nave.
In primo luogo, l’aumento nel tempo della rugosità della superficie di carena determina l’incremento della resistenzad’attrito della nave con conseguente aumento della potenza effettiva e,
quindi, della potenza motore. Parallelamente, l’aumento della rugosità sullo scafo modifica le
condizioni del flusso nella zona del disco–elica: la scia media assiale aumenta nel tempo. Anche
l’elica risente dell’invecchiamento, in quanto l’aumento di rugosità sulla superficie delle pale
causa un peggioramento del funzionamento del propulsore. Risulta evidente come la nave, dopo
un certo periodo di tempo, operi in condizioni del tutto diverse rispetto a quelle corrispondenti
alle prove in mare con la nave appena consegnata.
Una previsione accurata della prestazioni propulsive dovrebbe considerare i fattori suddetti,
nonostante non sia facile stabilire con esattezza quale sia la reale influenza dell’invecchiamento
sulle prestazioni della nave. Allo stato attuale non esiste una consolidata metodologia di calcolo
degli effetti dell’invecchiamento, data la difficoltà di previsione e la scarsità di pubblicazioni
sull’argomento. Pertanto, l’unico modo di procedere è quello di affidarsi agli studi in materia
disponibili in letteratura, valutando diverse situazioni possibili, e costruendo, laddove possibile,
un intervallo di incertezza per le variabili studiate.
Nel prosieguo saranno considerati separatamente gli effetti dell’invecchiamento sulla resistenza
d’attrito (dunque, sulla potenza effettiva), sui coefficienti propulsivi e sul rendimento dell’elica
isolata. Più avanti, sarà presentata una previsione dell’aumento di potenza, dovuto all’invecchiamento di una nave ro-ro.
Per rendere più agevoli i calcoli ed ottenere un continuo controllo dei risultati, una corretta
procedura di calcolo deve prevedere le seguenti operazioni:
• calcolo dell’incremento della rugosità di carena e del corrispondente aumento di potenza
effettiva secondo diverse metodologie, considerando diverse qualità della pitturazione;
• calcolo della variazione dei coefficienti propulsivi in funzione dell’aumento di rugosità
della carena e, quindi, anche del tipo di pittura utilizzata;
• calcolo dell’incremento della rugosità della superficie delle pale dell’elica e valutazione del
suo effetto sull’incremento di potenza.
39
1 – Progetto Concettuale
Le previsioni devono potere essere svolte a qualsiasi velocità nave e per qualsiasi periodo di
vita della nave stessa. Le previsioni sono più precise quanto minore è il lasso di tempo passato
dal varo della nave; oltre gli 8-10 anni di vita della nave le previsioni sono poco affidabili.
Effetto della rugosità di carena sulla resistenza
La rugosità delle lamiere dello scafo di una nave nuova dipende dalla qualità delle lamiere
d’acciaio, dalla qualità tecnologica del cantiere costruttore e dal tipo di pittura di rivestimento.
La rugosità nel tempo dovuta alla pitturazione è influenzata dal tipo di materiale utilizzato e
dai metodi di applicazione, e può variare notevolmente. La corrosione delle lamiere di acciaio,
che produce un danno permanente, varia in funzione di molti fattori ambientali e della sua
posizione sulla carena. La rugosità dovuta al ‘fouling’ è influenzata dal tipo di pittura antivegetativa, dal metodo di applicazione, dalla posizione sulla carena, dai fattori ambientali e
soprattutto dal tempo di sosta in porto.
L’ITTC 1978 ha proposto un valore standard di rugosità iniziale della carena pari a 150 µm:
tale valore è stato ed è ancora largamente utilizzato nell’estrapolazione al vero delle previsioni
di potenza ottenute in vasca. Grazie ai continui miglioramenti delle qualità delle lamiere e delle
tecnologie di costruzione, il valore della rugosità iniziale dello scafo si è ridotto negli anni: un
valore ragionevole oscilla nell’intervallo 90 − 125 µ m.
L’aumento di rugosità nel tempo è dovuto al deterioramento della carena durante il servizio
(corrosione delle lamiere, danni meccanici alle lamiere causati dalla navigazione con ghiaccio,
dalle operazioni di ancoraggio, dagli eventuali incagli, ecc.), al trattamento che lo scafo riceve
in bacino di carenaggio, nonché all’effetto del ‘fouling’.
Fra tutte le cause dell’aumento di rugosità, il ‘fouling’ è il fattore di più difficile previsione,
essendo un fenomeno biologico il cui controllo risulta ancora complicato: il grado di influenza
del ‘fouling’ sull’aumento di rugosità dipende, infatti, da molteplici fattori fra i quali i più
importanti sono la velocità media di crociera della nave, il tempo medio delle soste in porto, e
la qualità della pittura di rivestimento utilizzata. I risultati di molte ricerche hanno indicato
che il problema del ‘fouling’ ha un peso relativo che va diminuendo grazie all’enorme miglioramento della qualità delle pitture. Sembra, infatti, che pitture del tipo TBT-SPC o foul release
riducano di molto l’entità del problema.
Negli studi compiuti da Kresić e Haskell (1983), la formula per calcolare l’incremento del
coefficiente di resistenza d’attrito, dovuto alla rugosità, è quella proposta da Bowden e Davison
(1974) ed adottata dall’ITTC 1978 per l’estrapolazione al vero della resistenza; si ha
µ
∆CF ·103 = 105·
M AA
LW L
¶1/3
− 0.64
(1.10)
La formula (1.10) deriva dall’analisi di misure di spinta effettuate durante le prove in mare di
dieci navi monoelica. Tuttavia, secondo le indicazioni dell’ITTC 2005, la formula di Bowden e
40
1.8 – Rugosità e potenza nave
Davison (1974) non è accurata per la previsione dell’aumento di resistenza dovuto all’incremento di rugosità in servizio: infatti, non include solo l’effetto della rugosità, ma anche quello delle
componenti residue di resistenza necessarie per l’estrapolazione al vero. Il ‘Powering Performance Committee’ dell’ITTC 1990 raccomanda di utilizzare, laddove siano disponibili misure
di rugosità, la formula suggerita da Townsin et al. (1980)
µ
M AA
∆CF ·10 = 44·
LW L
3
¶1/3
− 10·(Rn)−1/3 + 0.125
(1.11)
che consente di calcolare l’aumento di resistenza tenendo conto anche dell’effetto della velocità
nave.
Metodo Kresić–Haskell con pittura convenzionale
Per costruire il loro metodo, Kresić e Haskell (1983) hanno ipotizzato che fossero primerizzate
le lamiere di acciaio utilizzate per costruire la nave sulla quale furono effettuate le misurazioni
e che gli operai del cantiere fossero qualificati. La nave fu dipinta con due strati di pittura
anticorrosiva e con due strati di pittura antifouling convenzionale prima delle prove in mare.
La stima della rugosità totale di superficie di una nave nuova all’inizio del servizio, espressa
in funzione di una ampiezza media apparente (M AA) su una lunghezza del campione di 50
mm, era di circa 150 micron. Tale valore della rugosità è la stessa adotta dall’ITTC 1978 come
rugosità standard di una nave nuova, da utilizzare nelle previsioni al vero. La variazione di
M AA in servizio fu ipotizzata pari ad un incremento di 2.8 micron al mese, come risultato di
un deterioramento delle lamiere.
Secondo questo approccio la variazione di rugosità viene scomposta in tre componenti fondamentali: incremento dovuto al servizio della nave, variazione dovuta agli interventi in bacino,
incremento dovuto al ‘fouling’.
Gli interventi in bacino determinano una variazione della rugosità che dipende dalla tipologia e
dalla qualità delle operazioni svolte. Townsin et al. (1980) hanno verificato che nel 68% dei casi,
all’uscita dal bacino la carena presenta un certo aumento di rugosità, dovuto all’appoggio dello
scafo sulle taccate che ne alterano la superficie del fondo. Gli stessi autori valutano l’aumento
di rugosità dovuto al servizio pari a 2.8 µm al mese; ossia
M AAS = 2.8 M S [µm]
dove M AAS è la rugosità media, mentre M S indica i mesi di servizio della nave.
Si ipotizza che le navi siano fermate in bacino ogni due anni, come richiesto dai Registri di
Classifica per la certificazione. L’aumento della rugosità media di carena come risultato delle
procedure di pulizia di carena è valutato essere 14 micron.
Secondo le rilevazioni di Kresić e Haskell (1983), l’aumento medio di rugosità dovuto alle
operazioni di manutenzione dello scafo in bacino è pari a
M AAD = 14 [µm]
41
1 – Progetto Concettuale
per ogni carenaggio. Comunque, all’uscita dal bacino, il nuovo strato di pittura riacquisisce
tutte le proprietà antifouling iniziali.
Per quanto riguarda il calcolo dell’aumento di rugosità dovuto al ‘fouling’, sono necessarie alcune ipotesi iniziali. Si è stabilito, sulla base delle indicazioni date da Kresić e Haskell (1983),
che la durata del potere antifouling della pittura sia di un anno a partire dall’ultima applicazione avvenuta in bacino. Inoltre, è necessario valutare il numero di giorni all’anno in cui la
nave si troverà ferma in porto: quest’ultima variabile è di particolare importanza, in quanto la
crescita degli organismi marini sulla superficie di carena avviene in gran parte quando la nave
è ferma, oppure quando avanza con una velocità inferiore ai tre nodi.
Il calcolo dell’accumulo della rugosità media dovuta al ‘fouling’ sulle murate (M M AF S ) e sul
fondo (M M AF B ), dovuta alle fermate in porto, è effettuato mediante le formule
M AAF S = HRF ·P T ·CEF F
M AAF B = 0.75·HRF ·P T · CEF F
dove M AAF è la rugosità media (µm), HRF è il fattore di rugosità della carena per ‘fouling’
(µm/giorno), P T è il numero di giorni in porto, mentre CEF F è il fattore di efficacia della
pittura antifouling. Alla formula di calcolo della rugosità sul fondo è applicato il fattore correttivo 0.75, poiché il fouling sul fondo della nave non si sviluppa cosı̀ rapidamente come sulle
murate immerse a causa dell’acqua più profonda e, quindi, più fredda. L’assunzione del fattore
HRF , per ciascuna delle severità qualitative del ‘fouling’, è fatta in accordo con la Tabella 1.5
(Malone, 1980). Seguendo le indicazioni di Kresić e Haskell (1983), in genere si assume HRF
= 0.5755, corrispondente ad un fenomeno con severità da moderata a intensa.
Scala qualitativa di
severità
del fouling
Severità del fouling
HRF
(µm/giorno)
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
assente
presenza di residui
da presenza di residui a leggero
leggero
da leggero a moderato
moderato
da moderato a intenso
intenso
0.0
5.334·10−4
7.849·10−3
3.828·10−2
0.1178
0.2822
0.5755
1.0520
Tabella 1.5.
Scala del fattore di rugosità per ‘fouling’
Il calcolo del fattore di efficienza della pittura antifouling utilizza la formula (Dick et al., 1976)
·
¸
2.72
0.263
CEF F = 1.0 −
−
0.240·(Z
−
1.0)
eZ
dove 0 < CEF F < 1, mentre Z è il rapporto fra il tempo trascorso dall’ultima applicazione
della pittura antifouling e la durata effettiva delle proprietà della pittura.
42
1.8 – Rugosità e potenza nave
Il valore di CEF F sarà uguale a zero durante il periodo in cui la pittura conserva le sue proprietà, mentre crescerà esponenzialmente verso il valore unitario durante il periodo di decadimento delle proprietà, il che indica che la pittura non impedisce più la crescita del ‘fouling’,
fino al nuovo ingresso della nave in bacino.
A questo punto, è possibile calcolare la rugosità totale M AA risultante dalla somma di tutte
le componenti
M AA = M AAS + M AAD + M AAF B + 2 M AAF S
Per calcolare l’incremento di resistenza, ovvero quello di potenza effettiva, si calcola il coefficiente di resistenza dovuto alla rugosità in servizio CS come
CS = ∆CFservizio − ∆CFprove
(1.12)
dove gli incrementi del coefficiente di resistenza d’attrito ∆CF vengono calcolati con la formula
(1.10), ossia come differenza tra la rugosità in servizio e la rugosità alle prove (150µm).
È ora possibile calcolare l’aumento di potenza effettiva è dovuto alla rugosità come
∆PE = 0.5 ρ CS S Vs3
(1.13)
dove ρ è la densità dell’acqua di mare (t/m3 ), S è la superficie bagnata di carena (m2 ), Vs la
velocità della nave (m/s).
Metodo di Townsin e pittura TBT–SPC
Utilizzando una pittura antivegetativa TBT–SPC , Townsin et al. (1980, 1986) hanno stimato
che l’aumento medio di rugosità sia pari a 20 µm all’anno. D’altra parte, va segnalato che,
a causa della tossicità della componente TBT a base di stagno, tali pitture sono state completamente bandite a partire dal 1◦ gennaio 2008 (provvedimento del comitato IMO-MEPC,
novembre 1998). Dunque, nei calcoli dell’accoppiamento elica–motore si dovrà considerare una
pittura con proprietà antivegetative intermedie tra quelle dei due tipi di pittura considerati.
Seguendo questo approccio, l’aumento di rugosità della carena non viene scomposto nelle tre
componenti, ma viene semplicemente fornito un suo valore medio complessivo. I calcoli dell’incremento del coefficiente di resistenza d’attrito ∆CF , del coefficiente di resistenza dovuto alla
rugosità in servizio CS e dell’aumento di potenza effettiva ∆PE sono effettuati rispettivamente
mediante le formule (1.11), (1.9), (1.13).
Seguono alcuni grafici che riassumono i risultati di alcuni calcoli effettuati per una nave ro–ro.
In Figura 1.17 viene illustrato l’andamento della rugosità di carena in funzione degli anni di
vita della nave, considerando le due tipologie di pittura. Nel caso della pittura convenzionale
sono evidenti i picchi di aumento di rugosità, dovuti alla perdita delle qualità antifouling. Dopo
un anno dall’applicazione dell’ultimo strato di pittura; all’uscita dal bacino la nave presenta
una rugosità ridotta grazie alla rimozione della sporcizia e all’applicazione del nuovo strato.
Nel caso della pittura TBT-SPC l’andamento dell’aumento di rugosità è lineare, in accordo
con l’approccio di Townsin et al. (1980, 1986).
43
1 – Progetto Concettuale
Figura 1.17.
Aumento della rugosità di carena
La Figura 1.18 presenta gli incrementi di potenza effettiva risultanti dalle analisi con le due
diverse pitture. Nel caso della nave esaminata, applicando una pittura di media–buona qualità
è lecito supporre che l’aumento di potenza effettiva al variare degli anni di servizio sia compreso
fra le due curve.
Figura 1.18.
Aumento della potenza effettiva (V = 21.5 kn)
L’analisi si è soffermata poi su due eventi temporali precisi lungo la vita della nave esaminata,
rispettivamente a quattro (Fig. 1.19) ed a otto anni (Fig. 1.20) dal varo. Nei due casi sono stati
44
1.8 – Rugosità e potenza nave
calcolati, per i due tipi di pittura, gli incrementi di potenza effettiva nell’intervallo di velocità
che va da 18 a 22.5 nodi. Nel caso della pittura convenzionale, il calcolo è stato ripetuto
considerando lo stato di rugosità della carena sia prima, sia dopo l’intervento in bacino.
Figura 1.19.
Incremento di potenza effettiva al quarto anno
Figura 1.20.
Incremento di potenza effettiva all’ottavo anno
45
1 – Progetto Concettuale
Variazione dei coefficienti propulsivi per effetto della rugosità
Il passo successivo nella modellazione delle condizioni in servizio della nave è la stima della
variazione dei coefficienti propulsivi; ossia della frazione di scia w, del fattore di deduzione di
spinta t e del rendimento relativo rotativo ηR .
La variazione della frazione di scia è funzione della modifica delle condizioni del flusso sulle pale
dell’elica; il deterioramento della superficie di carena ed il ‘fouling’ alterano continuamente le
condizioni dello strato limite e, conseguentemente, quelle del flusso che investe l’elica.
Purtroppo non esistono misure sulla variazione della frazione di scia effettiva fra due successivi
interventi in bacino di carenaggio. Tuttavia, le prove su una nave di 20 metri di lunghezza
(Kan et al., 1958) hanno illustrato l’evoluzione della scia nominale in funzione del tempo tra
due carenaggi successivi: la frazione di scia media nominale cresce quasi linearmente dal giorno
successivo all’ultima applicazione dello strato di pittura fino alll’intervento successivo.
Il metodo proposto da Kresić e Haskell (1983) prevede un comportamento del tutto simile
anche per la frazione di scia in servizio, ws . La relazione da loro proposta per quantificare la
modifica della frazione di scia effettiva è
·
CS
ws = t + (wt − t) 1 +
(1 + k)·CFt
¸
(1.14)
dove t è il fattore di deduzione di spinta, wt è la frazione di scia derivata dalle prove in mare,
CS è il coefficiente di resistenza dovuto alla rugosità in servizio (formula (1.9)), k è il fattore
di forma della nave, mentre CFt è il coefficiente di resistenza d’attrito calcolato per le prove in
mare secondo la linea di correlazione ITTC 1957. La relazione (1.14) è ottenuta dalla modifica della relazione proposta dall’ITTC 1978 per il trasferimento al vero della frazione di scia
modello: non vi compare il coefficiente correttivo che modifica il valore della frazione di scia
per la presenza del timone, in quanto la sua influenza è conglobata nel calcolo della frazione di
scia derivata dalle prove in mare (wt ). Quanto al fattore di forma k, si suggerisce di calcolarlo
in base alla formula proposta da Holtrop e Mennen (1982).
Per la nave ro-ro esaminta, il valore della frazione di scia alle prove wt è minore del fattore
di deduzione di spinta t; tale circostanza, che puó verificarsi anche per altre tipologie di navi
bielica, impedisce l’utilizzo della formula (1.14). In questi casi, per valutare la variazione della
frazione di scia effettiva ∆w, si può ricorrere alla relazione lineare, scaturita dall’analisi svolta
da Kresić e Haskell (1983), espressa come
∆w = 70.0 CS
(1.15)
Le critiche mosse alla metodologia di Kresić e Haskell sostengono che la previsione della variazione della frazione di scia non considera l’effettiva distribuzione della rugosità sulla superficie
bagnata di carena: la modellazione dello strato limite e, dunque, la conseguente previsione
della variazione della scia sono inesatte. Resta, tuttavia, la consapevolezza che l’aumento della
frazione di scia, dovuto all’incremento di rugosità, sia un fenomeno che accade realmente e
46
1.8 – Rugosità e potenza nave
l’aver trascurato l’aumento di w nel tempo avrebbe introdotto un errore maggiore nella previsione delle prestazioni propulsive. La Figura 1.21 illustra l’andamento della frazione di scia
negli anni, ottenuto dalla somma della scia iniziale alle prove in mare e dell’incremento ∆w,
considerando le due tipologie di pitture.
Figura 1.21.
Incremento nel tempo della frazione di scia
Per quanto riguarda il fattore di deduzione di spinta, Kresić e Haskell (1983) hanno supposto
che il suo valore resti costante all’aumentare della rugosità di carena. Nel caso della nave in
esame, disponendo delle curve di variazione dei coefficienti propulsivi in funzione del carico
dell’elica (espresso dal coefficiente di Papmel KDE ), è stato possibile valutare i valori assunti
dal fattore di deduzione di spinta nelle varie circostanze di calcolo. Volta per volta è stato
calcolato il coefficiente KDE
V ·D
KDE = p
TE /ρ
(1.16)
dove TE è la spinta effettiva, che corrisponde al valore della resistenza totale all’avanzamento
della nave, comprensivo dell’aumento dovuto alla rugosità. La variazione massima del coefficiente di carico effettivo KDE , rispetto al suo valore nella condizione della nave al varo, è stata
del 5.3%: tale variazione è stata registrata agli otto anni di vita della nave, circostanza in cui
l’incremento di resistenza è massimo fra tutte le situazioni considerate. Questa modifica del
carico dell’elica determina una riduzione del fattore di deduzione di spinta pari appena all’1%.
Risulta confermata, quindi, l’ipotesi fatta da Kresić e Haskell (1983).
Nel caso del rendimento rotativo-relativo ηR la situazione è analoga; dai grafici che riportano
i coefficienti propulsivi della nave in esame in funzione di KDE si evince che la variazione del
carico dell’elica non determina alcuna variazione del rendimento rotativo-relativo. Anche in
questa circostanza sono state confermate le ipotesi di Kresić e Haskell (1983).
47
1 – Progetto Concettuale
Effetto della rugosità sul rendimento dell’elica isolata
La perdita di rendimento dell’elica in servizio può avvenire molto rapidamente ed è funzione del
periodo di navigazione, del carico dell’elica, del tempo in porto e delle condizioni ambientali
quali la temperatura e la salinità dell’acqua. È possibile mantenere il rendimento originale
dell’elica mediante un programma di regolare manutenzione.
Come è risultato da numerosi esperimenti (Townsin et al., 1986), la rugosità della superficie delle
pale dell’elica influenza il rendimento del propulsore in due modi. In primo luogo, l’aumento di
rugosità delle pale incrementa l’attrito delle stesse, aumentando cosı̀ il coefficiente di resistenza
CD e, quindi, il coefficiente di momento torcente KQ . In secondo luogo, la rugosità delle
pale riduce la circolazione, causando la diminuzione del coefficiente di portanza CL e, quindi,
quella del coefficiente di spinta KT . Si puó stimare la variazione dei coefficienti di spinta e del
momento torcente come funzione della rugosità media delle pale. Per determinare l’evoluzione
nel tempo delle caratteristiche di funzionamento dell’elica si segue la metodologia proposta
da Kresić e Haskell (1983), che è un’applicazione della teoria del profilo equivalente di Lerbs
(1952); si ha
KTs = KTt − ∆KT D − ∆KT L
KQs = KQt − ∆KQD − ∆KQL
dove ∆KTD e ∆KQD sono le variazioni dei coefficienti risultanti dall’aumento di resistenza,
mentre ∆KTL e ∆KQL sono le variazioni dei coefficienti dovute alla riduzione della portanza.
Le variazioni dei coefficienti di spinta e del momento torcente al vero possono essere valutate
mediante le seguenti relazioni
∆KTD = −∆CD · 0.3
P cZ
·
D D
∆KQD = ∆CD · 0.25
cZ
D
µ
∆KTL
0.733 + 0.132 J 2
c
=p
·Z ·
2
D
1 + 0.180 (P/D)
∆KQL
c
0.117 + 0.021 J 2
·Z ·
=p
2
D
1 + 0.180 (P/D)
µ
¶
0.75
·∆CL
¶
0.75
·∆CL
dove ∆CD e ∆CL sono le differenze fra i coefficienti di resistenza e portanza corrispondenti alle
condizioni della nave durante le prove in mare ed in quelle in servizio.
Il coefficiente di resistenza ∆CD può essere calcolato, sia per la condizione di servizio, sia nella
prova in mare, mediante la seguente relazione (ITTC 1978)
µ
CD = 2
¶ µ
c
t
· 1.89 + 1.62 log
1+2
c
kP
¶−2.5
dove t è lo spessore massimo di pala alla sezione 0.75R, kP (equivalente a HM AA ) è l’ampiezza
media della rugosità di pala.
48
1.8 – Rugosità e potenza nave
Una volta calcolata la variazione del coefficiente di resistenza, la variazione del coefficiente di
portanza è data da
∆CL = −1.1 ∆CD
Tutte le formule precedenti relazioni sono state raccomandate dall’ITTC 1978 e sono basate
sui lavori di Lerbs (1952), di Aucher (1973) e di Lindgren e Bjärne (1975).
Per poter proseguire nell’analisi bisogna stabilire la metodologia di calcolo della rugosità delle
pale. Quest’ultima è dovuta principalmente a tre fattori: l’incremento della rugosità dovuto
al servizio della nave, il fenomeno del ‘fouling’ e l’eventuale urto delle pale con corpi esterni
che ne danneggerebbero la superficie. Fra tutte le cause di aumento della rugosità, il ‘fouling’
è sicuramente quella più importante (le pale non sono protette da pitture che impediscono
il fenomeno) e al tempo stesso quella più difficile da prevedere: la rotazione dell’elica, infatti,
permette la rimozione di una parte degli organismi che si depositano sulle pale, ed è impossibile
calcolare esattamente la quantità residua che determina l’incremento di rugosità.
Per il calcolo della rugosità sulle eliche della nave in esame sono state seguite le indicazioni di
Kresić e Haskell (1983). Si è assunto che la superficie delle eliche nuove presenti una rugosità
iniziale di 20 µm; al momento delle prove in mare si è supposto che la rugosità raggiunga i
30 µm: durante l’allestimento della nave in bacino accade frequentemente che la qualità della
superficie delle pale peggiori a causa del gocciolamento della pittura dallo scafo. L’aumento
di rugosità in servizio viene considerato pari a 20 µm per anno di servizio della nave. Si è
assunto, infine, che la quota di rugosità dovuta al ‘fouling’ aumenti linearmente dal valore zero,
immediatamente dopo l’ultimo intervento in bacino, al valore HM AA /3, immediatamente prima
dell’ingresso in bacino.
Durante i trattamenti convenzionali (rimozione della sporcizia con getti d’acqua ad alta pressione) si è fissato che la rugosità venga ridotta di 10 µm per ogni intervento in bacino. Seguendo
le indicazioni di Kresić e Haskell (1983), si considera che all’ottavo anno di vita della nave vengano eseguiti interventi radicali di manutenzione sulla superficie delle pale: la rugosità viene
riportata al valore di 40 µm.
Il grafico in Figura 1.22 illustra l’incremento nel tempo della rugosità delle pale, calcolato secondo le ipotesi precedenti.
Nel caso della nave esaminata, è stato mantenuto costante il numero di giri (RP M nominali
delle eliche, corrispondenti alla condizione di pieno carico) e sono stati ricalcolati tutti i valori
del rapporto di passo ottimale e del rendimento dell’elica isolata. Seguono i risultati ottenuti
nei due casi: nel primo utilizzando la pittura anti–fouling convenzionale (approccio di Kresić
e Haskell 1983), nel secondo utilizzando la pittura del tipo TBT-SPC in base all’approccio di
Townsin et al. (1980, 1986).
Le Tabelle 1.6 e 1.7 riassumono i risultati ottenuti, al quarto ed all’ottavo anno nel caso di
utilizzo della pittura convenzionale. I calcoli sono stati effettuati considerando sia le condizioni
49
1 – Progetto Concettuale
prima dell’intervento in bacino, sia quelle successive all’intervento, distinguendo tra i due tipi
di pittura.
Figura 1.22.
Andamento nel tempo della rugosità delle pale
Come si può notare, e come era presumibile, la tipologia di pittura scelta per rivestire lo scafo
influenza poco i valori dei rendimenti di elica isolata ed i nuovi valori ottimali del rapporto
P/D; la scelta della pittura ha invece molta influenza sugli incrementi della potenza effettiva
e della frazione di scia.
Intervallo
Rugosità
4 anni
8 anni
HM AA = 120 µm
HM AA = 80 µm
HM AA = 200 µm
HM AA = 40 µm
V (kn)
P/D
η0
P/D
η0
P/D
η0
P/D
η0
18.0
19.0
20.0
21.0
21.5
22.0
22.5
0.948
1.032
1.112
1.193
1.234
1.276
1.320
0.595
0.606
0.614
0.620
0.622
0.624
0.625
0.939
1.023
1.103
1.182
1.223
1.265
1.309
0.608
0.620
0.627
0.633
0.635
0.637
0.638
0.960
1.045
1.126
1.207
1.249
1.292
1.336
0.577
0.588
0.596
0.602
0.604
0.606
0.608
0.937
1.019
1.100
1.181
1.223
1.265
1.309
0.627
0.637
0.643
0.647
0.648
0.649
0.650
Tabella 1.6.
Variazione di P/D ed η0 con pittura convenzionale
In entrambi i casi analizzati, il valore del rapporto P/D è aumentato rispetto alla situazione
iniziale di scafo ed elica nuovi (il valore iniziale del rapporto P/D, alla velocità di progetto di
21.5 nodi, era pari ad 1.200). L’incremento del rapporto P/D è giustificabile: le eliche lavorano
ad un valore del coefficiente d’avanzo minore rispetto a quello corrispondente alla condizione
50
1.8 – Rugosità e potenza nave
della nave in prova (la frazione di scia è aumentata) e devono sviluppare spinte maggiori per
far fronte all’incremento di resistenza.
Intervallo
Rugosità
4 anni
8 anni
HM AA = 120 µm
HM AA = 80 µm
HM AA = 200 µm
HM AA = 40 µm
V (kn)
P/D
η0
P/D
η0
P/D
η0
P/D
η0
18.0
19.0
20.0
21.0
21.5
22.0
22.5
0.943
1.024
1.103
1.184
1.225
1.266
1.306
0.595
0.608
0.617
0.623
0.626
0.628
0.630
0.937
1.018
1.098
1.178
1.218
1.259
1.303
0.609
0.621
0.629
0.635
0.637
0.639
0.640
0.953
1.037
1.117
1.196
1.237
1.279
1.323
0.577
0.590
0.598
0.605
0.608
0.610
0.612
0.931
1.017
1.091
1.177
1.215
1.256
1.309
0.628
0.639
0.646
0.650
0.652
0.653
0.654
Tabella 1.7.
Variazione di P/D ed η0 con pittura TBT–SPC
Sono state calcolate, per ambedue i tipi di pittura, le perdite percentuali del rendimento dell’elica isolata: i calcoli sono stati effettuati per l’intervallo di velocità che va da 18 a 22.5 nodi e,
per ogni situazione considerata, viene presentato un intervallo di perdita di rendimento. Per
ridurre le perdite di rendimento, appare evidente l’importanza di una buona manutenzione
delle eliche (vedi Tabella 1.8).
Pittura
Convenzionale
TBT-SPC
Perdite di rendimento
∆η0 (%)
∆η0 (%)
6.6 - 7.4
4.4 - 5.1
9.7 - 10.7
1.6 - 2.9
5.7 - 7.1
4.1 - 4.8
8.8 - 10.4
1.4 - 2.1
Anno
Anno
Anno
Anno
4
4
8
8
Tabella 1.8.
(HM AA
(HM AA
(HM AA
(HM AA
= 120 µm)
= 80 µm)
= 200 µm)
= 40 µm)
Perdita di rendimento η0 dovuta all’invecchiamento
Risulta cosı̀ confermata l’affermazione di Kresić e Haskell (1983) secondo i quali con una continua ed attenta pratica di pulizia delle pale sia possibile mantenere valori elevati del rendimento.
Ciò è evidente, nel caso della nave in esame, dove la riduzione delle perdite di rendimento dell’elica all’ottavo anno, dopo un più accurato intervento di manutenzione sulle pale, ha
riportato la rugosità al valore di 40 µm.
1.8.3
Incremento di potenza
Townsin et al. (1980) hanno calcolato il coefficiente totale di spinta CT per navi monoelica (L
100 m) alla velocità di progetto sulla base dei loro valori di potenza (MCR), dei coefficienti
propulsivi e dell’area della superficie bagnata di carena.
51
1 – Progetto Concettuale
Dalla relazione
"
#
µ ¶1/3
∆P
∆CF
1.05
k
× 100% =
× 100% =
· 100
P
CT
10 CT
L
− 0.6095
(1.17)
furono calcolati per il campione i valori di 0.105/CT . Le navi container veloci, le grandi bulk
carriers ed i grandi tankers produssero una banda stretta di valori intorno ad una media di 40,
mentre le altre navi, che erano più piccole, mostrarono una dispersione maggiore intorno ad un
valore medio di 30.
Esprimendo il rapporto 0.105/CT rispetto alla lunghezza L mediante la curva
∆P
× 100% = 5.8 L1/3
P
l’incremento di potenza assorbita alla velocità di progetto, normalizzata rispetto alla potenza
massima comntinuativa, può essere approssimato mediante la formula
"
#
µ ¶1/3
∆P
k
× 100% = 5.8 L1/3 100
P
L
− 0.6
(1.18)
Se la rugosità varia da k1 a k2 µm M AA, la variazione percentuale di potenza è
∆P1 − ∆P2
1/3
1/3
× 100% = 5.8 [k1 − k2 ]
P
(1.19)
Questa formula indica che si ha 1% di incremento di potenza per un aumento della rugosità del
10 µm per un suo valore minimo di 80 µm ed un incremento di potenza pari allo 0.5% sempre
per un aumento della rugosità del 10 µm per un tipico valore in servizio di 230 µm.
1.8.4
Costruzione delle curve combinate passo-giri
La caratteristica comune dei motori diesel a quattro tempi è la maggiore sensibilità al sovraccarico rispetto ai motori a due tempi. Le eliche a passo variabile accoppiate ai motori, tramite
riduttori, devono garantire il funzionamento continuativo del motore lontano da eventuali stress
termo–meccanici. Questo è, infatti, il primo scopo che va perseguito durante la realizzazione
delle curve combinate passo–giri, Una volta individuata la zona di funzionamento dell’elica e
quella del motore distante dalla zona di sovraccarico, vanno ricercate le combinazioni dei valori
del passo e del numero di giri che presentano il maggiore rendimento.
Occorre disporre del diagramma del campo di funzionamento, layout, del motore (Fig. 1.23),
dove sono tracciate due rette verticali che delimitano l’intervallo del numero di giri per il funzionamento continuativo (normalmente fra il 70% ed il 100% dei giri nominali del motore). La
retta inclinata alla destra del diagramma rappresenta il limite massimo del numero di giri. La
curva T L è la curva limite del momento torcente: quando il motore raggiunge questo limite
viene automaticamente bloccato l’afflusso di nafta agli iniettori per un breve intervallo di tempo.
52
1.8 – Rugosità e potenza nave
Successivamente occorre calcolare la curva nominale dell’elica N P , relativa al valore massimo del passo dell’elica, che deve raggiungere il 100% dell’MCR in corrispondenza del 100%
del numero di giri nominali del motore. La curva calcolata va sovrapposta al diagramma di
funzionamento. Quindi, si individuano due zone all’interno del layout del motore; la zona A
destinata al funzionamento continuativo e la zona ombreggiata B di sovraccarico, al cui interno il motore puó operare solamente per un breve lasso di tempo. I punti della curva N P
costituiscono i valori di riferimento per il sistema di controllo automatico del sovraccarico, che
viene programmato in modo tale che, quando durante il funzionamento ci si avvicina alla curva,
venga automaticamente ridotto il rapporto di passo delle eliche.
Figura 1.23.
Diagramma di accoppiamento elica–motore
La curva combinata va costruita all’interno della zona A calcolando un certo numero di curve
dell’elica a passo costante ed un certo numero di curve di isovelocità. Sovrapponendo tutte le
curve al diagramma del motore, si ottiene un reticolo che permette la scelta dei punti della
combinata: le tacche devono essere scelte in corrispondenza dei minimi delle curve di isovelocità, verificando al tempo stesso di essere lontani dalla zona B di sovraccarico. La tacca 9 della
curva combinata, visibile nei prossimi diagrammi, è quella corrispondente al punto di servizio
della nave, al 100% del numero di giri ed ad un valore della potenza compreso fra l’85% ed il
90% dell’MCR. Nella costruzione delle curve combinate si è scelto di far arrivare la curva alla
tacca 9 , facendo funzionare le eliche a passo fisso a partire approssimativamente dalla tacca
corrispondente al 50–58% dell’MCR ed all’80-85% del numero di giri. Ció consente un funzionamento nella zona ad elevato rendimento, corrispondente al minimo delle curve isovelocità.
53
1 – Progetto Concettuale
La tacca 10 viene raggiunta con l’ultimo incremento di passo delle eliche ed il motore funzionante al 100% dei giri: la potenza che si sviluppa è superiore al limite rappresentato dal 90%
MCR e per questo motivo la tacca 10 va utilizzata per breve tempo e solamente in condizioni
di estrema emergenza. Durante le prove in mare la tacca 10 viene utilizzata per dimostrare
il conseguimento dell’MCR, qualora la specifica contrattuale lo preveda. Resta l’incertezza
di quale sia la massima percentuale dell’MCR utilizzabile durante le situazioni di emergenza,
evitando la compromissione del motore. Dall’analisi delle tabelle corrispondenti ai casi studiati
è possibile ottenere delle informazioni sulle velocità raggiungibili e sui relativi rapporti P/D
che si ottengono operando al massimo dei giri nella zona limite al di sopra del 90% dell’MCR;
nei calcoli si è scelto di non superare il valore corrispondente al 98.5% dell’MCR.
Le tacche ai bassi regimi sono quelle destinate ai transitori della nave in accelerazione. Per
questi casi non è stata svolta l’analisi dell’accoppiamento elica-motore, essendo lo scopo della
ricerca quello di prevedere e ottimizzare l’accoppiamento nelle condizioni di servizio. Inoltre,
non conoscendo i valori dei coefficienti propulsivi ai bassi regimi, non è possibile fornire una
previsione accurata dell’accoppiamento. Va ricordato che il settaggio definitivo dei punti della
combinata avviene generalmente durante le prove della nave. Prima della consegna; per questo
motivo, sulle curve combinate non verranno segnati i punti corrispondenti alle tacche, ma verrà
presentato l’andamento della combinata, accompagnato da tabelle che ne riassumono i valori
relativi.
54
Capitolo 2
Progetto Preliminare
Scopo del progetto preliminare di un’elica navale è stabilire i suoi parametri progettuali fondamentali (diametro D, numero di pale Z, passo medio P , rapporto d’area espansa AE /A0 ),
curando nel contempo gli aspetti principali connessi alla cavitazione ed alle vibrazioni per ottenere le prestazioni attese. Deve fornire la base per il progetto della geometria dell’elica con
la teoria vorticale in una fase più avanzata del processo progettuale. Per ottenere un progetto
corretto, è necessario che il cantiere, o l’armatore, oppure il costruttore dell’elica, siano in grado
di specificare alcuni criteri progettuali e costruttivi. I risultati delle prove di autopropulsione
su modello, nelle quali si utilizza un’elica di stock, costituiscono una base solida per il progetto
preliminare. L’elemento più importante di queste prove sperimentali è la previsione corretta
della velocità di rotazione dell’elica.
2.1
Informazioni generali
Per svuluppare al meglio il progetto di un’elica, è necessario disporre di una serie di dati iniziali affidabili. Alcune carenze informative, tipiche ed accettabili nella fase concettuale, possono
essere sostituite da dati empirico–statistici e da conoscenze di carattere generale. In sintesi,
occorre disporre dei seguenti elementi:
• Caratteristiche della nave e dei motori
– tipo e dimensioni principali della nave, immersioni operative e dislocamenti corrispondenti, direzione di rotazione dell’elica, posizione dell’elica;
– resistenza totale della nave in differenti condizioni operative;
– disegno della linea d’assi e dei timoni;
– tipo di motore, sua potenza massima e corrispondente velocità nominale; diagramma di funzionamento del motore;
55
2 – Progetto Preliminare
– tipo di trasmissione; perdite del riduttore e della linea d’assi; eventuale presenza di
un generatore asse e relativa potenza assorbita.
• Caratteristiche dell’interazione elica–carena
– frazione di scia effettiva, fattore di deduzione di spinta, rendimento relativo rotativo;
– luci, diametro massimo dell’elica.
• Punto progettuale dell’elica e profilo operativo della nave
La scelta del punto progettuale dell’elica, ossia della combinazione tra potenza e giri del
motore, è spesso una scelta soggettiva tra varie condizioni di servizio, il che implica un
compromesso. Quando l’elica è progettata per condizioni meteo–marine ideali, con carena
ed eliche pulite, ossia per le prove in mare, risulta essenziale introdurre un certo margine
per il numero di giri. Se l’elica deve servire al meglio più di una condizione progettuale,
occorre specificare le condizioni relative.
• Esperimenti su modello e/o al vero
La conoscenza della frazione di scia e del fattore di deduzione di spinta sono di importanza primaria. È opportuno conoscere già in questa fase progettuale la distribuzione
tridimensionale della scia nel piano del disco–elica. Sono molto utili anche informazioni
da prove al vero su navi similari.
• Informazioni realizzative
– registro di classifica;
– costruttore dell’elica e tolleranze costruttive (classe ISO);
– irrobustimento per (eventuale) navigazione in ghiaccio;
– tipo di elica (libera, intubata, a passo fisso, a passo variabile, ecc.);
– numero di pale, diametro massimo, massa massima, GD2 massimo;
– dimensioni e disegno del mozzo;
– materiale dell’elica.
• Presentazione del progetto
Nei progetti standard si è soliti sviluppare due disegni contenenti informazioni sufficienti
per costruire l’elica. Il piano sagomatore fornisce i profili di pala nelle varie viste, i profili
di alcune sezioni, la distribuzione del passo, il profilo del mozzo, alcuni dettagli e la tabella
degli offsets delle sezioni. L’altro disegno comprende i dettagli, in scala 1:1, dei bordi
d’ingresso delle sezioni di pala. Inoltre, un report breve dovrebbe delineare il processo
progettuale e le decisioni assunte.
Prima di fornire i dati per il progetto dell’elica, vanno effettuate le scelte fondamentali circa il
tipo di elica, le caratteristiche principali dell’apparato propulsivo, il profilo operativo della nave
e vari aspetti che hanno poco o niente a che fare con le prestazioni idrodinamiche dell’elica.
Nel seguito sono trattati alcuni di questi elementi, che influenzano la scelta del tipo di elica.
56
2.2 – Aspetti progettuali preliminari
2.2
Aspetti progettuali preliminari
La progettazione preliminare dell’elica coinvolge sia il team progettuale della nave che il progettista (specialista) dell’elica.
A volte non è facilmente ed immediatamente evidente se convenga optare per una nave monoelica o bielica. L’impatto di questa decisione può essere devastante quando si considerino gli
aspetti fondamentali, spesso conflittuali del progetto, quali il costo iniziale ed i costi operativi
della nave, i problemi cavitativi e le vibrazioni indotte dall’elica.
I costi di acquisizione sono ovviamente più elevati per una nave bielica (mediamente del 20%).
I costi operativi dipendono sostanzialmente dal consumo di combustibile e, di conseguenza,
dal rendimento propulsivo globale. Il rapporto del rendimento propulsivo globale di una nave
bielica rispetto a quello di una nave monoelica può essere formulato come
η0 ηH ηR RT ηE
ηOA2
= 2· 2· 2· 1· 2
ηOA1
η01 ηH1 ηR1 RT2 ηE1
(2.1)
dove
ηOA
η0
ηH
ηR
ηE
RT
-
rendimento propulsivo totale
rendimento elica isolata
rendimento di carena
rendimento relativo rotativo
rendimento del motore, che comprende il consumo specifico,
il rendimento del riduttore e quello della linea d’assi
- resistenza della nave
e dove gli indici 1 e 2 sono riferiti rispettivamente alla nave monoelica e bielica.
L’influenza degli ultimi due fattori è marginale, cosı̀ che si può assumere che sia RT1 /RT2 ' 1
e ηE2 /ηE1 ' 1. Il rendimento di carena combinato con il rendimento relativo rotativo è più
elevato per una nave monoelica e deve essere quantificato sperimentalmente.
Per determinare la differenza tra i rendimenti di elica isolata, si può utilizzare la semplice teoria
impulsiva assiale, in quanto tale differenza ha origine quasi completamente dalle perdite assiali.
Il rendimento ideale di elica isolata è
2
p
(2.2)
ηi0 =
1 + 1 + CT
dove CT è il coefficiente di carico di spinta dell’elica.
Per una certa velocità nave, trasformando la spinta di ogni nave in resistenza, il rapporto tra
i coefficienti di carico di spinta delle due navi può essere espresso come
µ
CT2
RT 2 1 − t1 1 − w1
·
=
·
CT1
RT 1 1 − t2 1 − w2
¶2 µ
·
D1
D2
¶2
(2.3)
ed il rapporto tra i rendimenti propulsivi globali, introducendo le rispettive relazioni (2.2) nella
relazione (2.3) diviene
57
2 – Progetto Preliminare
q
1+
1 + CT1 ηH2 ηR2 RT1 ηE2
ηOA2
q
=
·
·
·
·
ηOA1
1 + 1 + CT2 ηH1 ηR1 RT2 ηE1
(2.4)
Sono stati analizzati vari tipi di navi, monoelica e bielica, lente e veloci, per determinarne il
rendimento propulsivo totale ideale ηi . I risultati forniti in Tabella 2.1 mostrano che nell’intervallo dei carichi considerati (CT ' 1) il rendimento propulsivo di una nave monoelica è intorno
al 7% migliore di quello di una configurazione bielica equivalente. Comunque, va tenuto conto
che forme poppiere ben progettate di navi bielica tendono a ridurre il vantaggio delle navi monoeliche. Inoltre, severe limitazioni all’immersione possono portare su una nave monoelica a
carichi sull’elica talmente elevati (CT ' 3) che una configurazione bielica può risultare migliore
dal punto di vista propulsivo.
Nave
VS
D/T
CB
CT
η i◦
ηH
ηR
ηi
1.055
1.101
1.275
1.183
1.167
1.145
0.968
1.050
1.032
0.961
0.970
1.013
1.014
1.133
0.977
0.940
0.981
0.923
0.962
0.939
0.912
1.016
1.024
0.970
0.943
0.913
1.026
0.803
0.847
0.893
Navi mercantili monoelica
1
2
3
4
5
6
7
20.0
23.5
20.0
20.5
19.5
23.0
26.0
0.710
0.790
0.652
0.719
0.673
0.700
0.676
0.574
0.553
0.572
0.632
0.628
0.612
0.531
1.053
1.012
1.244
1.215
1.123
1.166
0.971
0.822
0.827
0.801
0.804
0.814
0.809
0.832
Navi mercantili bielica
8
9
10
26.5
33.0
28.5
0.621
0.721
0.592
Tabella 2.1.
0.524
0.514
0.580
0.475
0.468
0.510
0.903
0.906
0.897
Fattori propulsivi di navi monoelica e bielica
La ridondanza e le superiori qualità in manovra di una configurazione bielica potrebbero avere
un effetto favorevole sui costi assicurativi. Tuttavia, si può affermare con certezza che sia i
costi iniziali, sia i costi operativi delle navi bielica sono superiori a quelli delle navi monoelica
equivalenti. Pertanto, la configurazione bielica dovrebbe essere scelta solamente se i problemi
cavitativi e vibratori non possono essere evitati su una nave monoelica, se si presentano serie
limitazioni dell’immersione, e se non si può fare a meno di frazionare la potenza.
2.3
Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
Prima di procedere al progetto preliminare dell’elica occorre effettuare una valutazione opportuna dei margini da incorporare al punto progettuale dell’elica. Si deve osservare che in pratica
58
2.3 – Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
sono utilizzati almeno due differenti punti progettuali: uno per il progetto idrodinamico ed uno
per il progetto strutturale. Per le eliche a passo variabile, il progetto dell’elica richiede che
tutti i requisiti siano soddisfatti in tutto il campo di variazione del passo. A seconda del tipo
di nave e di elica, è bene considerare anche un certo numero di condizioni off–design diverse da
quella relativa al punto propulsivo.
Il tipo e la potenza del motore, i giri di funzionamento dell’elica ed i suoi elementi base geometrici e strutturali vanno determinati in modo da garantirne il massimo rendimento con un
certo utilizzo (percentuale del MCR) della potenza del motore principa1e, contestualmente al
rispetto di un certo numero di requisiti che assicurino una bassa attività vibratoria, assenza di
sviluppo di cavitazione, ecc. Vengono di seguito illustrate alcune linee guida per la scelta di
quegli elementi geometrici dell’elica che dipendono fondamentalmene dai requisiti di robustezza
e di vibrazione, cosi come da altre considerazioni progettua1i di carattere genera1e.
2.3.1
Margine sul numero di giri
È abitudine consolidata progettare l’elica per le prove in mare oppure per una assegnata condizione di servizio. I dati progettuali storici riflettono tradizionalmente la prima condizione. Ma
l’esperienza operativa insegna che a causa dell’aumento della rugosità di pala e della maggiore
rugosità della carena nelle condizioni di servizio, l’attrito di pala aumenta mentre la velocità
d’avanzo diminuisce. Ne risulta una riduzione graduale del numero di giri del 2–4% rispetto
alla condizione iniziale di nave nuova con elica pulita. Inoltre, vanno considerate le variazioni
del carico dell’elica dovute al vento, allo stato del mare, alle variazioni d’immersione, ecc.
Da un punto di vista teorico, l’utilizzo di una frazione della potenza installata come margine di
sicurezza, da utilizzare per tenere conto delle condizioni ambientali della nave, è stato criticato
a più riprese.
Il progettista dell’elica deve essere cosciente, che, a causa di effetti variabili e sistematici, il
numero di giri può scostarsi di una certa quantità in ambedue le direzioni. È stato osservato
che, a seconda del tipo di nave e della condizione progettuale adottata, lo scostamento del
numero di giri dal valore progettuale può risultare di una certa consistenza. In particolare, va
prestata molta attenzione per le eliche a passo fisso mosse da motori diesel. I motori sono critici
rispetto alla velocità di rotazione alla quale può essere fornito un certo momento torcente. È
per questo che occorre garantire che durante la vita operativa l’elica lavori alla combinazione
prevista di potenza e numero di giri.
Le prestazioni del motore sono espresse nel diagramma delle prestazioni (Fig. 2.1), che mostra
la potenza sviluppata e/o la pressione media effettiva espresse in funzione della velocità di
rotazione del motore. Per il progettista dell’elica è di particolare importanza l’angolo in alto a
destra del diagramma, in quanto a quel punto corrispondono la potenza massima ed il numero
di giri massimo del motore. Questo punto è denotato di solito come il punto MCR. Il motore
diesel dovrebbe essere in grado, sia termicamente che meccanicamente, di operare in questa
condizione per un considerevole periodo di tempo.
59
2 – Progetto Preliminare
A destra di questo punto esiste lo spazio per una certo eccesso di velocità del motore quando
l’elica è leggermente caricata. La velocità del motore è bloccata dal ‘governor’ alla velocità
massima ammissibile. L’intervallo di sovravelocità può essere esteso temporaneamente, ma
solamente durante le prove in mare, quando si debba dimostrare che una certa velocità è raggiunta per un certo assorbimento di potenza. In tali condizioni, si suppone che le pale dell’elica
e la carena siano pulite. Si ipotizza, inoltre, che la nave effettui le prove in mare in condizioni
di tempo buono e in una condizione di carico leggero.
Sulla sinistra del diagramma delle prestazioni del motore si trova il campo di sovraccarico, nel
quale il motore funziona al massimo momento torcente. Si cade in questa zona quando per
un motivo qualunque l’elica ed il motore diventano sovraccaricati. Il funzionamento in questa
zona è detto laboring. Ciò accade nelle condizioni di servizio a causa della sporcizia dell’elica
e della carena ed a causa del cattivo tempo. Poiché l’alimentazione del combustibile al motore
è bloccata dal fuel rack stop, il motore non fornisce più tutta la potenza. Al di là del lato a
sinistra del diagramma di funzionamento esiste un intervallo per sovraccarico pesante, fruibile
solamente per un periodo di tempo limitato.
Figura 2.1.
Diagramma delle prestazioni del motore
In Figura 2.2 è mostrato un altro diagramma tipico delle prestazioni del motore, che descrive la
pressione media effettiva e la posizione dell’indicatore del carico, sempre in funzione del numero
di giri del motore.
Nei sistemi a propulsione elettrica si deve prestare attenzione al fatto che in condizioni meteo–
marine favorevoli, con carena ed elica pulite è disponibile un certo margine di potenza. L’ammissibilità o meno di una sovravelocità dipende dal tipo di motore elettrico. Di solito, non esiste
alcun margine per la sovravelocità. Se in un sistema di propulsione elettrico esiste un margine
di sovravelocità, esiste anche una riduzione del momento torcente.
60
2.3 – Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
Il punto progettuale idrodinamico dell’elica è scelto di solito come frazione della potenza (ad
esempio, 85% MCR) in combinazione con la massima velocità di rotazione del motore (100%).
Un tale punto progettuale comporta automaticamente che durante il servizio l’elica lavora
all’angolo in alto a destra del campo di funzionamento del motore, oppure nel margine temporaneo di sovravelocità durante le prove in mare. Esistono alcune ragioni per esaminare meglio
il margine della velocità di rotazione. Come noto, lo scarto del punto propulsivo tra prove in
mare ed effettive condizioni di servizio dipende da vari fattori.
Figura 2.2.
Pressione media effettiva ed indicatore del carico
In alcuni tipi di navi, lo scarto va invariabilmente verso un’unica direzione (i giri diminuiscono).
Negli yachts, nelle navi militari ed in alcuni tipi di navi mercantili da carico secco, lo scostamento è costante con una tendenza a divenire gradualmente maggiore. Un incremento stazionario
della rugosità della carena e delle pale dell’elica, in combinazione con gli effetti del vento e del
mare, causeranno una ulteriore diminuzione della velocità di rotazione in servizio. Per queste
navi, è inconcepibile un aumento della velocità di rotazione rispetto a quella in condizioni ideali.
Solamente in alcuni tipi di moderne navi mercantili (navi portacontainers e ro–ro), quando
navighino ad immersione minore di quella progettuale, si può verificare un leggero aumento
della velocità di rotazione in alcune condizioni specifiche. Tuttavia, solo un calcolo adeguato
delle variazioni di carico previste in diverse condizioni di servizio può contribuire a formulare
correttamente il margine per il numero di giri progettuale.
Il margine da considerare per il numero di giri è particolarmente delicato per le navi veloci. In
particolare, negli scafi plananti relativamente corti, il picco principale di resistenza può avere
un’entità tale che la richiesta di momento torcente, seppure alla ridotta potenza relativa, può
divenire critica rispetto al massimo torcente del motore.
61
2 – Progetto Preliminare
L’effetto dell’estremo sovraccarico dei motori diesel semiveloci, che prevedono un momento
torcente inferiore alle velocità più basse del motore, deve essere considerato con attenzione, in
quanto potrebbero risultare necessari margini addizionali per la velocità di rotazione. Lo stesso
vale per le eliche progettate per imbarcazioni speciali quali gli aliscafi, le cui eliche dovrebbero
essere in grado di sviluppare una spinta sufficiente a basse velocità di rotazione nelle condizioni
di decollo.
In base a quanto detto, la specifica tradizionale per cui l’elica va progettata ad una potenza
pari all’85% della potenza nominale ed al 100% della velocità di rotazione nominale dovrebbe
essere riconsiderata sostanzialmente.
La capacità da parte dell’elica di potere fruire della potenza totale disponibile in condizioni
meteo–marine avverse e la richiesta emergente di un migliore comportamento nelle condizioni
di servizio vanno divenendo obiettivi più importanti rispetto alla capacità di sviluppare la piena
potenza per la nave nuova, con elica pulita ed in condizioni ambientali favorevoli. Va osservato
che un’elica con un passo leggermente ridondante ha un rendimento più elevato di un’elica con
passo inferiore, come si può desumere dai diagrammi progettuali. La differenza di rendimento
è comunque piuttosto piccola e di solito inferiore allo 0.5%. Ne consegue che, in generale,
l’armatore o l’operatore dovrebbero preferire un’elica con passo ridotto ad un’elica con passo
maggiorato.
2.3.2
Diametro
Le caratteristiche principali dell’elica sono determinate di solito mediante l’utilizzo dei diagrammi di funzionamento di eliche da serie sistematiche. La serie più utilizzata è la Serie–B
di Wageningen, soprattutto per le eliche subcavitanti a passo fisso. Altre serie sono disponibili per eliche subcavitanti, transcavitanti e supercavitanti. In particolare, la Serie di Gawn a
tre pale è adatta per scafi semidislocanti dove i rapporti passo–diametro sono assai elevati, in
quanto arrivano fino a P/D = 2 per il fatto che il carico idrodinamico (RT /∆) è assai basso.
Per le eliche intubate è disponibile la Serie–Ka con vari tipi di mantelli, dal 19–A al 37. Per
tutte queste eliche sono disponibili equazioni di regressione per esprimere le caratteristiche di
funzionamento.
Il primo parametro geometrico da stabilire è il diametro dell’elica. Per una combinazione assegnata di potenza e numero di giri, condizione che si presenta rigidamente per i motori diesel
lenti in presa diretta, esiste sempre un unico diametro ottimale. Quando si tratta di scegliere
tra più motori alternativi, si devono calcolare il diametro ottimale e le componenti del rendimento per ogni soluzione alternativa, tenendo conto dei vincoli imposti dalle luci disponibili,
dalle eccitazioni vibratorie indotte, ecc. Generalmente, per le eliche subcavitanti di navi monoelica dalle forme piene si sceglie un diametro finale che può essere fino al 5% minore del
diametro ottimale ricavato dalla serie sistematica utilizzata. Questa strategia non è valida
per gli scafi ad alta velocità dove gli effetti cavitativi sulla propulsione dovrebbero portare a
62
2.3 – Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
scegliere diametri leggermente maggiori per evitare eccessive riduzioni del rendimento, qualora
si adottino rapporti inferiori di area espansa. Queste ultime considerazioni confermano che è
buona pratica progettuale includere gli effetti dell’influenza della cavitazione sulle prestazioni
propulsive fin dalla fase preliminare del progetto.
L’eventuale riduzione del diametro dipende sostanzialmente dalla distribuzione radiale della
scia assiale. Ciò è particolarmente importante per le navi mercantili monoelica, nelle quali la
distribuzione radiale della scia è alquanto disuniforme. Per le navi che presentano una debole
variazione della scia radiale, il diametro ottimale dell’elica isolata può essere scelto come definitivo senza incorrere in errori significativi. Questo vale, ad esempio, per le navi mercantili
bieliche con linee d’assi esposte, purché gli effetti cavitativi non siano rilevanti.
Un’attenzione speciale va prestata alle eliche concepite per essere utilizzate in condizioni di
tiro a punto fisso (bollard pull ). Maggiore è il diametro, maggiore è la forza di tiro prodotta
dall’elica a parità di potenza, anche se ciò è vero solamente se si può scegliere liberamente la
velocità di rotazione dell’elica. Le seguenti formule approssimate valgono per la determinazione
iniziale della forza di tiro TBP a velocità nulla
TBP = 0.84 (D·PD )2/3
per eliche libere
TBP = 1.22 (D·PD )2/3
per eliche intubate
Non è del tutto chiaro come il rapporto tra diametro del mozzo e diametro dell’elica, insieme
alla distribuzione radiale del carico idrodinamico (spinta), influenzi il valore della scelta del diametro ottimale. Probabilmente, il diametro ottimale di un’elica con apice di pala scaricato è
in qualche misura maggiore del diametro ottimale determinato mediante una serie sistematica.
Parimenti, poco si sa circa l’influenza sul diametro ottimale da parte della forma geometrica
delle pale (curvatura delle sezioni, ‘skew’ e ‘rake’).
Se il numero di giri può essere scelto liberamente, in generale non c’è nulla che osti all’applicazione del diametro massimo possibile, associato ad un minore numero di giri, compatibilmente
con la forma di carena a poppa e la luce tra apice di pala e volta di poppa, in quanto quasi
sempre si ottiene un rendimento più elevato. Si osservi che ciò non vale automaticamente per
le eliche intubate. Infatti, nei sistemi propulsivi con eliche intubate un aumento del diametro
causa una riduzione del contributo alla spinta da parte del mantello a causa del minore carico
e dell’aumento delle perdite per viscosità prodotto dall’accresciuta superficie bagnata del mantello.
Per la scelta del diametro finale alcuni parametri adimensionali possono aiutare a capire se la
scelta del diametro dell’elica è corretta o meno. Il parametro più importante è il coefficiente di
carico di spinta CT , che è un indice della contrazione del flusso attraverso il disco–elica. Esso
consente di valutare il rendimento potenzialmente raggiungibile da parte dell’elica isolata, in
quanto è strettamente correlato al cosiddetto rendimento ideale
ηi =
2
√
1 + 1 + CT
63
2 – Progetto Preliminare
dove
CT =
1
2 ρ[V
T
8 KT
= · 2
2
2
π J
(1 − w)] πD /4
Va da sè che il rendimento ideale non può essere superiore a quello calcolato, ad esempio, con
i diagrammi di Kramer.
Un altro parametro pratico per giudicare le caratteristiche del progetto dell’elica è il coefficiente
di spinta KT . Valori tipici sono:
KT = 0.08 − 0.12
per navi bieliche veloci;
KT = 0.14 − 0.18
per navi mercantili monoeliche;
KT = 0.04 − 0.08
per navi monoeliche con forme piene.
Esiste una relazione diretta tra il coefficiente di spinta KT ed il coefficiente di portanza CL dei
profili delle sezioni di pala
CL0.7R ≈ 0.725
KT
AE /A0
Poiché la curvatura del profilo è correlata al coefficiente di portanza (CL = 4πf /c per una sezione piana con linea mediana parabolica ed angolo d’incidenza nullo), il coefficiente di spinta
indica se occorre adottare per il profilo della sezione una curvatura più o meno accentuata. In
generale, devono essere evitati coefficienti di spinta troppo elevati, poiché le eliche risultanti
avrebbero profili delle sezioni con elevata curvatura, che sono più sensibili allo stallo e ad alcuni
tipi di cavitazione indesiderata.
Prima di potere utilizzare diagrammi o polinomiali delle caratteristiche di funzionamento di
eliche da serie sistematiche, occorre definire i parametri che influenzano soprattutto caratteristiche diverse dal rendimento. Questi parametri sono il numero di pale Z ed il rapporto d’area
espansa AE /A0 .
2.3.3
Numero di pale
Statisticamente le eliche leggermente o moderatamente caricate di navi mercantili hanno quattro o cinque pale, mentre un numero maggiore è impiegato qualche volta su navi militari. Le
eliche di scafi veloci hanno in genere tre pale, qualche volta cinque. All’aumentare del numero
di pale, diminuiscono il diametro ottimale ed il rendimento dell’elica isolata.
Comunque, la scelta del numero di pale è significativamente influenzata da considerazioni riguardanti le vibrazioni dovute all’azione dell’elica in una scia non–uniforme ed al tipo di motore.
Ad esempio, un motore ad otto cilindri ed un’elica a quattro pale possono entrare in risonanza
perché la frequenza del motore e la frequenza dell’elica hanno armoniche comuni; in questo
caso, le vibrazioni diverranno eccessive e pericolose.
64
2.3 – Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
Dal numero di pale dipendono le frequenze ed i livelli delle forze e dei momenti periodici generati dall’elica sia sullo scafo poppiero che sulla linea d’assi. Queste frequenze non devono
entrare in risonanza l’una con l’altra se si vogliono mantenere rumore e vibrazioni a livelli accettabili. Al crescere del numero di pale, aumenta la frequenza di tali forze, mentre diminuisce
l’ampiezza delle loro armoniche. Prima della scelta definitiva del numero di pale, occorre effettuare, quindi, i calcoli delle frequenze natura1i di vibrazione della carena, della linea d’assi e
del motore principale per i modi operativi fondamentali della nave. Il numero di pale è assunto
tale da evitare la coincidenza della frequenza di pala f = nZ, e del suo valore doppio, con le
frequenze naturali dei primi tre modi di vibrazione della struttura della nave, della linea d’assi
e del motore. Quando si sceglie il numero di pale, si dovrebbe tenere conto che, al crescere
del loro numero, diminuisce il valore del diametro ottimale ed aumenta il rapporto AE /A0 ,
il che riduce il rischio di cavitazione. Al crescere di Z, anche il rendimento dell’elica risulta
ridotto, come conseguenza dell’aumento dello spessore relativo di pala teso a bilanciare la riduzione delle lunghezze di corda; aumentando le pale da 4 a 6, il rendimento diminuisce del 2÷3%.
Per la scelta del numero di pale è importante anche la struttura della scia. Quando la scia ha
armoniche di ampiezza elevata eguali al numero di pale, le fluttuazioni della spinta possono
divenire notevoli. Le forze fluttuanti orizzontali e verticali sono generate dalle armoniche della
scia di ordine (Z − 1) e (Z + 1). La frequenza dell’armonica di pala è, quindi, nZ e le armoniche
di ordine più elevato sono multiple di questa frequenza.
Le forze vibratorie indotte dall’elica sono di tre tipi:
• componenti periodiche delle forze e dei momenti della linea d’assi (bearing forces);
• fluttuazioni delle forze di pressione sulla carena (surface forces);
• forze vibratorie indotte dal timone.
Di solito, le fluttuazioni delle forze di pressione sono le più rilevanti e, quindi, le più importanti
tra queste tre. Le forze non–stazionarie del timone non sono considerate come critiche nella
maggior parte dei progetti. L’eccitazione vibratoria prodotta dalle forze non–stazionarie della
linea d’assi è generalmente limitata; le soluzioni vanno trovate localmente nella struttura e
nelle linea d’assi. Quando si adotta un elevato numero di pale, le forze fluttuanti generate dalle
pale dell’elica, che sono trasferite dal mozzo alla linea d’assi ed ai suoi cuscinetti, si traducono
in una inferiore forza di eccitazione totale. Anche le ampiezze delle fluttuazioni delle forze di
pressione sulla carena sono inferiori, se l’elica è progettata con un grande numero di pale.
Per le navi militari si sceglie spesso il numero di pale più elevato possibile per ridurre la
cavitazione di vortice all’apice, sebbene sia dubbio che questa sia la scelta più corretta.
2.3.4
Rapporto di area espansa
Il valore del rapporto di area espansa influenza notevolmente la cavitazione dell’elica, la sua
robustezza ed il suo rendimento. Gli esperimenti hanno dimostrato che, a parità di condizioni,
l’aumento di AE /A0 porta ad un incremento dei coefficienti di spinta e momento torcente,
65
2 – Progetto Preliminare
specialmente per bassi valori dei coefficienti d’avanzo, come risultato dell’incremento dell’area
di pala sulla quale agisce la forza di pressione.
Si può osservare che il coefficiente del momento torcente cresce più rapidamente a causa dell’aumento delle perdite del profilo, portando ad una riduzione del rendimento dell’elica. Un aumento del rapporto AE /A0 pari a 0.1 causa una riduzione del rendimento pari a 1.5÷2.0%. La
scelta finale del necessario rapporto minimo d’area espansa va effettuata in modo da garantire
il simultaneo rispetto dei requisiti di robustezza e di assenza di cavitazione.
Nella fase concettuale del progetto è sufficiente determinare il valore minimo di AE /A0 per mezzo dei risultati di serie sistematiche. Per il rapporto di area espansa si utilizza frequentemente
la formula di Keller , che può essere applicata solamente ad eliche leggermente e moderatamente
caricate. in base all’espressione
(AE /A0 )min =
(1.3 + 0.3Z) KT
+k
σ
dove σ è il numero di cavitazione e k è una costante che dipende sostanzialmente dal numero
di pale.
Per eliche speciali e/o ad elevata velocità, ovvero per condizioni operative ben lontane da
quella progettuale (carico leggero, zavorra), occorre introdurre le maggiorazioni necessarie.
Alternativamente, si può utilizzare il classico diagramma di cavitazione di Burrill (Fig. 2.3).
Figura 2.3.
Diagramma di cavitazione di Burrill
66
2.3 – Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
Nel diagramma di Burrill si utilizza il coefficiente
T
τc = 1 2
2 ρV0.7R ·AP
dove AP è l’area proiettata di pala, legata all’area espansa dell’elica, che è oggi usata più
frequentemente, dalla seguente relazione
AP = (1.067 − 0.229P/D)·AE
mentre la velocità al raggio 0.7R, V0.7R , è definita come
q
V0.7R =
Va2 + (0.7πnD)2
Si osservi che per navi veloci è
τc =
8
KT
·
π AE /A0 (JT2 + 4.8361)
dove JT è il coefficiente d’avanzo basato sull’identità di spinta e derivato dalla prova di
autopropulsione, mentre l’indice di cavitazione è basato sulla velocità a 0.7R e formulato come
σ0.7R
2.3.5
p◦ + ρgh − pv
=
1
2
2 ρVA
"
JT2
2
JT + 4.84
#2
Geometria dell’elica
Minimizzare la potenza asse alla velocità di progetto e soddisfare contemporaneamente i criteri
di robustezza, vibrazione e rumore, richiede l’ottimizzazione della geometria dell’elica, della
quale si discutono qui gli elementi fondamentali.
In una procedura di ottimizzazione della geometria dell’elica, la scelta delle variabili decisionali
non è guidata solamente da considerazioni idrodinamiche, in quanto il progetto di un’elica è
intrinsecamente un problema multicriteriale dove l’esperienza del progettista gioca un ruolo
fondamentale nello scegliere una geometria accettabile per l’elica finale. In questo contesto,
alcune variabili progettuali sono libere e possono variare quasi arbitrariamente entro il loro
campo di definizione; altre sono, invece, limitate da vincoli di eguaglianza e diseguaglianza.
Rake
L’applicazione di eliche con ‘skew–back’ elevato porta ad un abbattimento (‘rake’) della pala,
il che consente, a parità di diametro, di arretrare la posizione delle pale su navi monoelica, e di
porle più distanti dai bracci per navi bieliche, garantendo luci sufficienti tra pale e carena senza
dovere allungare l’albero. Ciò riduce spesso la forza di deduzione di spinta e le ampiezze della
pressione pulsante sulla carena, con conseguente riduzione delle vibrazioni. Prove sperimentali
hanno dimostrato, comunque, che con un ‘rake’ intorno al 10%, le caratteristiche idrodinamiche
dell’elica ed il suo rendimento praticamente non variano.
67
2 – Progetto Preliminare
Profilo di pala
La forma del profilo di pala è definita in base alla distribuzione radiale della corda ed alla
posizione delle sezioni cilindriche lungo l’asse di pala. Applicando profili di pala con ‘skew’
distributo asimmetricamente rispetto all’asse di pala, è possibile ridurre il carico periodico
sull’elica durante la sua azione in un campo di velocità non–uniforme. Le eliche della Serie
’B’ di Wageningen hanno uno ‘skew–back’ appena accennato. A partire dalla meta degli anni
’70 sono state progettate sempre più spesso eliche con ‘skew–back’ elevato, che permettono di
ridurre di almeno due–tre volte le ampiezze dei carichi periodici rispetto alle eliche tradizionali.
Gli esperimenti hanno dimostrato che l’influenza dello ‘skew’ sul rendimento dell’elica e sulle
sue caratteristiche idrodinamiche è molto debole. Comunque, le pale molto svirgolate hanno
robustezza inferiore a parità di spessori, e sono meno efficienti, specialmente in marcia indietro,
rispetto a quelle della Serie–B.
Forma delle sezioni
La forma delle sezioni di pala è caratterizzata dalla curvatura della linea mediana, dalla quale
dipende il valore del passo ad ogni raggio, dall’angolo di portanza nulla e dalla distribuzione
di pressione lungo il profilo alare, che influenza fortemente il rendimento dell’elica. Per eliche
subcavitanti sono ampiamente applicati i profili NACA o loro modifiche. I profili di questo tipo,
a causa di una distribuzione uniforme di pressione sulla maggior parte del dorso della sezione
di pala, sono utili per rafforzare la laminarità del flusso entro lo strato limite, con conseguente
miglioramento del loro rendimento. L’applicazione di tali profili consente di migliorare il rendimento dell’elica del 5÷6% rispetto alle vecchie sezioni ogivali.
La curvatura influenza soprattutto le caratteristiche idrodinamiche dell’elica. All’aumentare di
f /c crescono sia il coefficiente CD che i coefficienti di spinta e momento torcente. In alcuni casi,
specialmente per le eliche della Serie–B, le sezioni di pala più estreme sono segmenti simmetrici
con il massimo spessore a metà corda. Questi profili garantiscono la riduzione del picco di
depressione, rinviando in tal modo l’innesco della cavitazione rispetto ai profili aerodinamici
NACA originali. In tal modo viene ridotto, comunque, il coefficiente ε di questi profili. L’applicazione di profili aerodinamici sul resto della pala assicura un elevato rendimento globale
dell’elica.
Va osservato che per navi rompighiaccio e per navi che debbano navigare in mari ghiacciati, sono
utilizzate eliche con sezioni di pala aventi spessore maggiorato; esse garantiscono un elevato
rendimento dell’elica a velocità nulla o pressoché nulla per modi operativi inversi.
Spessore di pala
Lo spessore della sezione di pala ad ogni raggio viene determinato tenendo conto della robustezza necessaria e della pressione minima che riduca il rischio di innesco della cavitazione.
Dal momento che tali requisiti sono conflittuali, viene data priorità al rapporto tra spessore
68
2.3 – Scelta delle caratteristiche principali dell’elica
e robustezza, il quale dipende dal materiale dell’elica, dal tipo di nave e dalle sue condizioni
operative. Gli esperimenti hanno dimostrato che l’aumento dello spessore adimensionale della
sezione di pala porta ad un aumento della curvatura e, quindi, ad un aumento dei coefficienti di
spinta e di momento torcente con una diminuzione del rendimento dovuto all’incremento delle
perdite del profilo. L’innesco della cavitazione viene anticipato. È per questo che si è portati
a scegliere lo spessore di pala minimo possibile.
La distribuzione radiale dello spessore è caratterizzata dallo spessore relativo t◦ /c sull’asse
dell’elica, mentre lo spessore dell’apice di pala viene derivato in base alla legge di distribuzione,
pressoché rettilinea, dei massimi spessori. Normalmente il valore di t◦ è pari al 3÷4% del
diametro dell’elica. Lo spessore relativo alla radice di pala non dovrebbe superare il valore
t◦ /c = 0.22.
Rapporto passo-diametro
Questo rapporto è una caratteristica geometrica fondamentale, in quanto da essa dipendono le
qualità idrodinamiche dell’elica. Come è noto, all’aumentare del rapporto P/D crescono anche
i coefficienti di spinta e di momento torcente in tutto il campo di variazione dell’avanzo relativo,
per cui crescono anche la portanza e la resistenza del profilo. Il rendimento cambia in maniera
non univoca. Nella zona dei bassi coefficienti di avanzo, a causa dell’aumento della spinta, il
coefficiente di carico CT aumenta, il che causa una riduzione del rendimento induttivo, con
conseguente riduzione del rendimento globale. Per coefficienti d’avanzo eccessivamente elevati,
gli elementi di pala lavorano ad angoli di attacco molto bassi e non–ottimali. Comunque, l’incremento del passo porta mediamente ad un aumento della qualità idrodinamica degli elementi
di pala e del rendimento globale dell’elica. Contemporaneamente, crescono anche il valore
massimo del rendimento ed il rapporto di passo a spinta nulla.
Skew
Un’elica con ‘skew–back’ può presentare un rendimento più elevato. Lo ‘skew’ consente di
ridurre l’area di pala, di accettare una certa cavitazione sulla faccia, di ridurre le forze di pressione indotte sulla carena, di diminuire il rischio di erosione di pala e di indurre minori livelli di
rumore. Si presenta cavitazione per vortice d’apice che sostituisce l’eventuale cavitazione a nuvola assai frequente sulle eliche senza ‘skew–back’, il che consente di mantenere la distribuzione
ottimale di circolazione senza dovere modificare la curvatura delle sezioni. Se si combina lo
‘skew’ con un aumento del carico idrodinamico sull’apice di pala si può ottenere un rendimento
più elevato purché non si superino livelli accettabili delle fluttuazioni delle pressioni indotte.
L’applicazione di eliche con ‘skew–back’ moderato (θs < 40◦ ) riduce significativamente i livelli
delle vibrazioni indotte dall’elica a bordo delle navi. Rispetto al progetto di un’elica convenzionale il rendimento propulsivo può essere aumentato senza superare il vincolo dei livelli di
vibrazione in quanto:
• si può accettare un’area di pala minore;
69
2 – Progetto Preliminare
• si può applicare un carico sull’apice di pala leggermente maggiore oppure, quanto meno,
una distribuzione ottimale di circolazione in senso radiale;
• sono consentiti un diametro maggiore ed un numero di giri minore in quanto possono
essere accettate ‘luci’ più piccole.
Si deve fare attenzione, comunque, al fatto che un’eccessiva riduzione dell’area di pala può
portare a cavitazione a bolle, ad erosione di pala, a problemi di robustezza ed a riduzione del
rendimento prodotto dalla cavitazione.
In generale, l’aumento di rendimento ottenibile applicando un’elica con ‘skew–back’ e con
un’area minore di pala dipenderà dal campo di scia. La riduzione della pressione indotta sulla
carena dipende dalla differenza tra il massimo picco di scia e la scia media effettiva.
Posizionamento dell’elica dietro carena
Come già detto, la posizione reciproca tra elica e carena e quella tra elica ed appendici (timoni,
alette, bracci, mantelli) influenzano significativamente le prestazioni della nave, l’attività vibratoria dell’elica e l’intensità della sua cavitazione. Quando si studia l’interazione tra timone
ed apparato propulsivo, si devono ricercare il massimo valore del rendimento di carena e la minima disomogeneità della scia nel piano del disco–elica. Va soddisfatto anche un certo numero
di requisiti operativi, quali l’assenza di ventilazione dell’elica, la protezione dell’elica rispetto
a rotture accidentali, ecc.
Alcuni dati, ottenuti dalla pratica operativa, per la scelta dei parametri principali che caratterizzano la posizione dell’elica dietro la carena, con lo scopo di massimizzare il rendimento
propulsivo e minimizzare il livello di attività vibratoria, indicano che al crescere della luce
longitudinale elica–carena b/D, si riducono in diversa misura la frazione di scia ed il fattore di deduzione di spinta, cosı̀ che cresce il rendimento propulsivo. Si raccomanda che sia
b/D > 0.45.
2.3.6
Direzione di rotazione per navi bieliche
In generale, le eliche di navi bielica che ruotano verso l’interno richiedono 3–4% di potenza
in meno rispetto a quelle che ruotano verso l’esterno. Il livello di incremento del rendimento
dell’elica dipende dal valore medio della componente tangenziale della scia nel piano del disco–
elica. Ad esempio, se la componente tangenziale adimensionale, Vt /V◦ , presenta un valore
intorno a 0.04 a tutti i raggi, è evidente che esiste una certa quantità di rotazione della scia nel
piano del disco–elica che ruota verso l’esterno. Per le navi bielica veloci con bassi coefficienti
di finezza, questa proprietà è abbastanza comune, sebbene possa essere meno rilevante quantitativamente. Va ribadito che la certezza di ottenere un incremento del rendimento propulsivo
richiede sempre la misura sperimentale della scia tangenziale.
70
2.4 – Cavitazione e vibrazioni
La direzione di rotazione dell’elica, dal punto di vista del rendimento propulsivo, dovrebbe
avere verso opposto a quello della rotazione naturale della scia. L’incremento di rendimento
dell’elica è approssimativamente pari all’1% per un’asimmetria nel valore risultante di Vt /V◦
sul disco–elica pari a 0.010 a 0.015.
Quando la cavitazione a lamina o per vortice d’apice costituisce un problema, le eliche dovrebbero ruotare nella direzione per la quale il rendimento dell’elica è più elevato, ossia nella
direzione alla quale le fluttuazioni dell’angolo d’incidenza sull’apice di pala sono minori. Quando si ha cavitazione alla radice di pala, il che accade spesso sulle eliche a passo variabile a causa
dei maggiori rapporti spessore–corda alla radice, le eliche dovrebbero ruotare nella direzione
per la quale il rendimento dell’elica è minimo.
La scelta della direzione di rotazione dell’elica dipende, quindi, fondamentalmente dall’entità
della componente tangenziale della scia, ossia dal possibile incremento del rendimento, e dal
fatto che sia considerata più pericolosa la cavitazione sull’apice di pala oppure alla radice di
pala. Nelle eliche a passo variabile, prima di decidere sulla direzione di rotazione, deve essere
pesato il rischio di cavitazione per vortice d’apice rispetto al rischio di cavitazione alla radice.
Probabilmente, la possibilità di ottenere un incremento del rendimento con eliche che ruotano
verso l’interno fa propendere per una rotazione verso l’interno nel caso di eliche a passo variabile
con quattro pale. Per CPP a cinque o più pale, nelle quali la cavitazione alla radice di pala
può essere severa, è possibile che la scelta sia in favore di eliche che ruotano verso l’esterno. Le
eliche a passo fisso dovrebbero ruotare sempre verso l’interno, a meno che il valore medio della
componente tangenziale di scia sul disco–elica sia tale da presentere una rotazione del flusso
verso l’interno.
2.4
Cavitazione e vibrazioni
È noto che la cavitazione sulle eliche può aumentare considerevolmente le forze di pressione
impulsive sullo scafo poppiero. La relazione tra cavitazione dell’elica e vibrazioni di scafo è
confermata dall’esperienza, particolarmente per navi piccole e piuttosto rigide, anche se le frequenze di eccitazione sono ben lontane dalla zona di risonanza. Il problema diviene quanto
mai delicato per gli scafi plananti e per gli aliscafi, che hanno eliche molto veloci. Per queste
imbarcazioni è stato verificato che l’ampiezza delle pressioni fluttuanti cresce al diminuire del
numero di cavitazione e del carico sull’elica. L’effetto del carico ridotto può essere spiegato
dalla distribuzione della cavitazione associata sulla pala, la quale ha mostrato che l’aumento
dell’ampiezza di pressione coincide con lo sviluppo di cavitazione sulla faccia.
Le linee guida concernenti i limiti imposti dalla cavitazione dell’elica sulla potenza e sulla velocità della nave sono fornite più avanti, dove sono state prese in considerazione le principali
differenze tra configurazioni monoelica e bielica (il carico è pressoché doppio per le navi monoelica, che presentano anche una maggiore disuniformità di scia). I requisiti fondamentali sono che:
• la cavitazione sulla faccia deve essere evitata in tutte le condizioni;
71
2 – Progetto Preliminare
• la cavitazione sul dorso è consentita purché sia di estensione e tipo (cavitazione a lamina)
tale da non produrre erosione ed eccessivi fenomeni indotti.
I limiti di cavitazione in un flusso bidimensionale sono presentati di solito mediante i cosiddetti
buckets di cavitazione. Il ‘bucket’ indica l’intervallo di carico che ad un certo numero di cavitazione può essere sopportato dalla sezione senza che si sviluppi cavitazione. In particolare, la
larghezza del ‘bucket’ rappresenta la capacità della sezione di accettare valori variabili dell’angolo d’incidenza senza cavitare.
Poiché la sezione r̄ = 0.7 può essere considerata approssimativamente determinante per tutta
l’elica (Lerbs, 1952), si tratta di trasformare il coefficiente di portanza della sezione, (CLi )r̄ , nel
coefficiente di carico di spinta CT , ed il numero di cavitazione della sezione σr̄ in un indice di
cavitazione basato sulla velocità di rotazione, σn , o sulla velocità d’avanzo, σ◦ . Dal diagramma
di velocità al raggio rappresentativo r̄ si può derivare la relazione
s
µ
c
CT = k1 ·Z ·
D
1+
¶
r̄
µ
·(CLi )r̄ ·
πr̄
J
J
¶2
(2.5)
dove il fattore k1 varia tra 0.55 e 0.95, mentre CLi r̄ esprime il coefficiente di portanza progettuale che, per angolo d’incidenza ideale, è identico al coefficiente di portanza ideale.
Il numero di cavitazione σr̄ della sezione è legato direttamente a σ◦ ed indirettamente a σn in
virtù delle equazioni
Ã
1
g r̄D
σr̄ =
µ ¶2 · σ◦ −
VA2
πr̄
1+
J
σn = σ◦ ·J 2
!
(2.6)
(2.7)
A causa delle variazioni della scia circonferenziale il coefficiente di portanza varia durante ogni
giro di pala. In un’analisi quasi-stazionaria, si può assumere che sia
KT +
dKT
·∆J = k2 ·CLr̄
dJ
(2.8)
dove
k2 =
KT
(CLi )r̄
Le equazioni (2.5)÷(2.8) ed il ‘bucket’ di cavitazione bidimensionale della sezione al raggio r̄
consentono il calcolo dell’indice di innesco della cavitazione ad ogni punto progettuale (CT , J)
e ad ogni variazione di scia deducibile dall’oscillazione ∆J.
I risultati di calcoli sistematici di innesco della cavitazione sono presentati in Figura 2.4, dove è
riportato un certo numero di eliche delle quali è stata misurata la cavitazione. I casi riguardanti
72
2.4 – Cavitazione e vibrazioni
notevoli vibrazioni indotte dall’elica sono indicati con circoli, mentre quelli con bassi livelli di
vibrazione sono rimarcati da triangoli.
Le curve calcolate ed i dati statistici consentono di determinare le zone nelle quali si possono
prevedere problemi severi legati alla cavitazione ed a vibrazioni indotte dall’elica. Le curve
limite, riportate in Figura 2.4, al di sopra delle quali si deve stare per ridurre i livelli vibratori,
sono diverse per navi monoelica e navi bielica a causa della diversa disomogeneità di scia.
Figura 2.4.
Limiti di cavitazione
Ovviamente, questa figura non rappresenta altro che una linea guida, dal momento che è
stata costruita sulla base di un certo numero di ipotesi semplificative. Tuttavia, può essere
estremamente utile, assieme a diagrammi e criteri similari riportati da Trincas (2009), nel
progetto preliminare per prevedere il livello del problema cavitativo.
73
2 – Progetto Preliminare
2.5
Riduzione della cavitazione per vortice d’apice
Per alcuni tipi di nave, quali le navi militari e le navi ocenografiche, è assolutamente necessario
garantire bassi livelli di rumore subacqueo irradiato dai propulsori. Le eliche sono una sorgente
importante di rumore, particolarmente quando si ha presenza di cavitazione. Se si vuole che le
eliche irradino poco rumore, si deve ritardare l’innesco della cavitazione, in quanto il rumore
prodotto da un’elica cavitante ha un livello molto più elevato di quello prodotto da eliche non–
cavitanti.
Poiché di solito la prima forma di cavitazione che si instaura su un’elica navale è la cavitazione
per vortice d’apice sul dorso, si deve cercare di ritardare l’innesco di questo tipo di cavitazione,
adottando appropriate misure nel progetto delle pale dell’elica. D’altra parte, queste misure
implicano sempre una certa perdita di rendimento propulsivo. Il problema è, quindi, quello di
decidere quanto rendimento deve essere sacrificato per ridurre l’entità del fenomeno.
Il modo più efficiente per ritardare l’innesco della cavitazione per vortice d’apice è quello di
scaricare gli apici di pala in misura tale che si ottenga una pari suscettibilità all’innesco della
cavitazione per vortice d’apice sulla faccia e sul dorso. Per mantenere un rendimento ancora
soddisfacente, si può applicare un carico moderato sull’apice, il che configura una situazione
alquanto differente da quelle nelle quali gli apici delle pale siano scaricate completamente.
2.5.1
Eliche con apici moderatamente caricati
Nelle eliche per le quali si voglia ritardare la cavitazione per vortice d’apice senza sacrificare
troppo il rendimento (gli apici di pala non possono essere scaricati completamente) conviene
applicare un elevato numero di pale. L’intensità del vortice d’apice delle eliche è legata alla circolazione (vortice concatenato) della pala (spinta per pala). Durante il passaggio della sezione
di pala nel picco di scia cresce la circolazione concatenata. Nel picco di scia la circolazione
concatenata è costituita dalla sua media circonferenziale e da una parte non–stazionaria prodotta dal carico ulteriore derivante dal deficit di velocità del picco di scia.
La media circonferenziale della circolazione concatenata può essere ridotta dal progettista
dell’elica scegliendo un basso carico specifico di pala, il che spinge verso l’adozione di un’elica
di diametro relativamente grande e con un elevato numero di pale. Se gli apici di pala sono scaricati solo parzialmente, il numero di pale influenza l’intensità dei vortici d’apice liberi.
Quando una pala attraversa il picco di scia, la variazione dell’angolo d’incidenza può essere ridotta scegliendo per la pala una larghezza maggiore della larghezza del picco di scia. Tuttavia,
l’utilizzo di pale larghe comporta una perdita di rendimento, che cresce sensibilmente quando
il rapporto d’area espansa si avvicina all’unità.
Poiché, a meno della massa specifica del fluido, in base alla legge di Kutta–Žoukovsky il prodotto tra la velocità del flusso e la circolazione concatenata è uguale alla portanza prodotta,
per le eliche con apici moderatamente caricati è importante raggiungere una velocità circonferenziale relativamente elevata. Purtroppo la maggiore velocità circonferenziale causa anche
74
2.5 – Riduzione della cavitazione per vortice d’apice
una riduzione del numero di cavitazione ed un aumento del numero di Reynolds. Ambedue
gli effetti, particolarmente il primo, aumenta la predisposizione all’innesco della cavitazione
per vortice d’apice, cancellando in grande misura l’effetto positivo dell’aumento dell’intensità
della circolazione. Tuttavia, la maggiore velocità circonferenziale, volta a ridurre l’intensità dei
vortici concatenati, suggerisce di scegliere un diametro leggermente superiore a quello ottimale,
oppure un passo minore dell’ottimale.
2.5.2
Eliche con apici completamente scaricati
Nelle eliche i cui apici di pala sono completamente scaricati, al di fuori del picco di scia non
esiste alcuna relazione tra il livello della media circonferenziale della circolazione concatenata
e l’intensità del vortice d’apice. Nel picco di scia, per effetto del carico addizionale, si generano vortici liberi e concatenati anche nella zona d’apice delle pale. In queste eliche, il carico
specifico medio su una pala non ha più rilevanza, per cui la maggior attenzione va dedicata a
facilitare il passaggio della singola pala attraverso il picco di scia.
In questo caso, è preferibile progettare eliche con un minore numero di pale, ma più larghe.
La distribuzione radiale della circolazione (carico) è in questo caso un fattore essenziale. Va
evitato un suo forte gradiente sulle sezioni di pala più interne, che potrebbe divenire un fattore
restrittivo nel progetto dell’elica, se la generazione di vortici sul bordo d’ingresso, al variare del
carico di pala, è stimolata da uno ‘skew’ elevato.
Per otimizzare l’innesco della cavitazione per vortice d’apice, il rapporto passo–diametro sull’apice,
(P/D)1.0R , può essere ridotto a valori variabili da 0.80 J a 0.95 J per navi con eliche a bassa
emissione di rumore. In base a numerosi esperimenti sull’innesco della cavitazione per vortice
d’apice, è stata derivata una regola semplice, in base alla quale un valore bilanciato del rapporto di passo sull’apice, che offre eguale suscettibilità all’innesco della cavitazione per vortici
d’apice sia sul dorso che sulla faccia, può essere ricavato come
µ
P
D
¶
=
1.0R
0.576 J
1 − 0.2993 J
La riduzione del carico sull’apice implica una certa perdita di rendimento, che può essere
rilevante per eliche pesantamente caricate. È forse superfluo ricordare che una certa uniformità
di scia, che influenza le variazioni della circolazione durante la rotazione della pala, è un fattore
essenziale per ritardare con successo l’innesco della cavitazione per vortice d’apice. Alcuni
valori tipici della perdita di rendimento ∆η, prodotta da uno scarico eccessivo dell’apice, sono
riportati in Tabella 2.2.
P1.0R /P0.7R
1.00
0.60
0.40
0.30
0.25
∆η (%)
0
1-4
3-8
8-11
9-14
Tabella 2.2.
Perdita di rendimento per scarico dell’apice
75
2 – Progetto Preliminare
I valori sono basati su calcoli con linea portante, tarati grazie a dati sperimentali ricavati da
pochi casi estremi. I valori più elevati sono relativi a carichi di spinta più elevati. Sembra che
le eliche leggermente caricate subiscano riduzioni minori del rendimento a causa di uno scarico
estremo dell’apice.
2.6
Indici di difficoltà
È importante controllare le eccitazioni vibratorie generate da un’elica cavitante, sia che si manifestino attraverso la linea d’assi, sia che siano prodotte dalle fluttuazioni della pressione indotta
sulla carena attraverso il fluido. Nella fase preliminare del progetto dell’elica non è possibile
utilizzare alcun metodo teorico per determinare con accuratezza il rischio di vibrazioni. Tuttavia, esistono alcune semplici regole mediante le quali si può stimare la difficoltà del progetto.
Non è una sorpresa riconoscere che, in ogni caso, la disuniformità di scia è la sorgente primaria
di molti problemi vibratori.
Per valutare inizialmente il rischio di vibrazioni indotte dall’elica cavitante, sono riportati alcuni indici di difficoltà, espressi in termini di criteri . Si potrebbe obiettare che alcuni di questi
criteri sono fin troppo semplicistici per potere fornire risposte definitive circa il rischio di vibrazioni indotte, anche perché in molti criteri non sono incorporati neppure i parametri di scia
e le luci dell’elica. Tuttavia, sono indicatori utili ad individuare il livello del problema.
Velocità periferica all’apice di pala
In generale vale il criterio
πnD < 40 ÷ 45 m/s
Per eliche intubate
πnD < 32 ÷ 40 m/s
Per grandi eliche in semitunnel poppiero
πnD < 11 ÷ 22 m/s
Cantiere Kawasaki
(PS N 2 )0.4 < 3500, dove PS è espresso in HP
PS
< 600 , per i casi normali, dove PS in kW e D in metri
πD2 /4
PS
< 1000 , per campi di scia alquanto omogenei ed eliche ottimali
πD2 /4
76
2.6 – Indici di difficoltà
Formula di Keller
T + D3 Vs N (wp − wm )
< 600 ÷ 700
(h + 10) D2
dove T in kg, VS in nodi, h in metri sull’apice di pala in posizione verticale, mentre wp e wm
sono rispettivamente la scia di picco e la scia media assiale.
Formula di Vossnack
Vale la formula
π T N 2 ·∆w·SRF
√ < 700
p
900 Z ·AE /A0 · C/D· D
dove C è, in metri, la luce verticale tra apice di pala e carena, T è la spinta in tonnellate, ∆w
è l’ampiezza del picco di scia, da calcolare come
∆w = (Vmax − Vmin )/V
per navi monoelica
∆w = (1 − Vmin )/V
per navi bielica
Il fattore di riduzione dello skew è pari a SRF = 1 quando non siano adottate misure speciali
per ridurre le fluttuazioni di pressione sulla carena mediante lo ‘skew’ e/o lo scarico dell’apice
di pala. Per uno ‘skew–back’ estremo con gli apici scarichi si assume SRF = 0.7. Nei casi
intermedi è SRF = 0.85.
Formula del MARIN
In base a numerosi e sistematici esperimenti condotti al MARIN su forme di carena monoelica,
tipiche di grandi navi portacontainers, dal criterio di Vossnack è stata derivata la formula
π T N 2 ·∆w·SRF
√ <7
p
2700 Z ·AE /A0 · C/D· D
nella quale è stata incorporata un’influenza assai maggiore dell’ampiezza del picco di scia.
Tutti i parametri della formula sono definiti come nella regola di Vossnack. Progetti dedicati
potrebbero produrre valori di SRF leggermente inferiori, intorno a 0.9. Il limite superiore di
7 è legato al livello di eccitazione massima ammissibile prodotta dalle pressioni fluttuanti sulla
carena di navi monoelica. Utilizzando questo indice di difficoltà, è possibile definire fin dalla
fase iniziale del progetto parametri quali la luce elica–carena, l’ampiezza ammissibile del picco
di scia ed alcune delle dimensioni principali dell’elica.
77
2 – Progetto Preliminare
Navi militari
Per le navi militari si possono prevedere problemi seri se la relazione tra potenza, velocità
massima della nave e diametro viola la seguente regola empirica
PS
< 25
D2 ·V
dove PS è la potenza asse [kW], D è il diametro [m] e V è la velocità massima della nave [kn].
Scafi veloci
Per scafi veloci Blount ha suggerito la regola
τc < 0.494 (σ0.7R )0.88
dove i parametri della formula hanno lo stesso significato di quelli del diagramma di cavitazione
di Burrill.
Traghetti e navi da crociera
Per traghetti e navi da crociera bielica con linee d’alberi esposte, è disponibile la formula seguente da utilizzare nelle fasi iniziali del progetto, che consente una prima valutazione della
luce elica–carena necessaria a smorzare gli effetti delle pressioni indotte
∆p = 0.555 (0.001 PS /C 2 )0.8 [kPa]
dove ∆p è l’ampiezza della pressione indotta sulla carena, sopra l’elica, alla frequenza di pala,
PS è la potenza asse in kilowatt, e C è la luce verticale elica–carena in metri.
Eliche leggermente caricate
Per eliche non–cavitanti o per eliche leggermente caricate, indipendentemente dal campo di
scia e dalla loro geometria, purché abbiano forme tranquille e spessori normali sugli apici di
pala, vale la formula
∆p = 0.00116 ρ n2 D4 /C 2 [kPa]
dove per le grandezze in gioco valgono le notazioni delle formule precedenti.
Eliche azimutali
Per eliche azimutali con elica traente deve essere:
πnD < 35 [m/s]
PD
< 400 [kW/m2 ]
πD2 /4
78
2.7 – Passo virtuale
Cavitazione PHV
Andrebbe fornito anche un criterio di tentativo per l’innesco della cavitazione di vortice tra
elica e carena (PHV). Questa forma pericolosa di cavitazione può presentarsi quando in una
zona d’acqua morta, ad esempio dietro la poppa di una carena dalle forme molto piene, oppure
nelle condizioni di tiro a punto fisso di navi dalle forme fini, il carico dell’elica è relativamente
elevato e la pressione nel cuore di un vortice nel flusso incidente l’elica cade al di sotto della
pressione di vapore. La cavitazione di vortice tra elica e carena deve essere evitata perché causa
rumore, vibrazioni e danneggiamenti possibili sul fasciame di carena. I tentativi effettuati finora
di derivare un criterio per la cavitazione PHV sulla base di un numero (limitato) di esperimenti
su modelli sono risultati vani a causa della grande dispersione dei dati sperimentali.
2.7
Passo virtuale
Una delle grandezze geometriche fondamentali dell’elica è il passo, in quanto è il fattore primario che determina la relazione tra velocità e potenza. Poiché il rapporto passo-diametro è
un elemento critico nel progetto della maggior parte delle eliche, particolarmente per quelle a
passo fisso, il passo medio va scelto con buona accuratezza, in modo che il rapporto desiderato
tra potenza e numero di giri sia raggiunto effettivamente.
Allo scopo, il MARIN utilizza il concetto di passo virtuale. Per definizione, il passo virtuale
è il ‘passo medio di portanza nulla’ di una pala. Questo concetto richiede che sia noto il valore dell’angolo di portanza nulla per ogni profilo di pala. Per le linee mediane paraboliche
è α◦ = 2f /c in radianti, se si trascurano gli effetti della viscosità e dello spessore. Per la
maggior parte dei profili alari, tale valore teorico non è molto differente dal valore effettivo,
che è leggermente minore a causa della viscosità. In ogni caso, l’angolo di portanza nulla è
approssimativamente pari a α◦ = 100 f /c , in gradi. La direzione di portanza nulla definisce,
ad ogni raggio, il passo di portanza nulla Pv , la cui media radiale determina il passo virtuale
Pvg della pala dell’elica.
Sono disponibili tre modalità per determinare il passo virtuale dell’elica in progetto:
• dai risultati sperimentali utilizzando un modello di elica di stock;
• dalle caratteristiche della Serie–B;
• dai calcoli di progetto dell’elica mediante la teoria della linea portante.
Il passo virtuale è considerato una base corretta per confrontare i risultati dell’elica di stock e
delle caratteristiche dell’elica in progetto. Il passo virtuale è un parametro che, qualora fosse
costante, produrrebbe lo stesso rapporto tra velocità di rotazione e potenza assorbita da diverse
eliche, che abbiano lo stesso diametro. Calcolando le prestazioni di un’elica della Serie–B, il
suo passo virtuale dovrebbe corrispondere al passo virtuale di altre eliche con lo stesso diametro.
79
2 – Progetto Preliminare
Il passo virtuale Pvg è definito come il passo medio volumetrico della pala dell’elica, quando il
piano di portanza nulla delle sezioni del profilo è assunto come piano di riferimento. Il passo
virtuale Pv di una particolare sezione di pala al raggio adimensionale r̄ ed il passo virtuale di
tutta l’elica Pvg sono definiti come
Z 1
Pv =
r̄h
Z 1
pv ·c· r̄ dr̄
Z 1
r̄h
,
Pvg =
c·r̄ dr̄
r̄h
pv ·c· r̄2 dr̄
Z 1
r̄h
c· r̄2 dr̄
dove il passo geometrico virtuale per la generica sezione r̄ di pala è pv = πr̄D tan(ϕ + α◦ ).
Tuttavia, è preferibile considerare il passo virtuale di tutta l’elica, in quanto è meno sensibile
alle variazioni della distribuzione del carico radiale, quando si confrontino eliche che abbiano
lo stesso diametro, lo stesso numero di pale, lo stesso rapporto di area espansa e lo stesso
assorbimento di potenza. Per eliche la cui distribuzione di carico non sia estrema, la differenza
di passo vituale tra le due definizioni è trascurabile. Al MARIN il passo virtuale è calcolato
mediante la seconda definizione, incorporando la correzione per flusso viscoso in base al metodo
di Burrill e Glauert, che consente di determinare l’angolo di portanza nulla.
Per tutti i tipi di linee mediane l’angolo di portanza nulla può essere determinato con buona
accuratezza in base alla teoria dei profili alari sottili, utilizzando il metodo di Glauert, dopo
avere proiettato la linea mediana sulla lunghezza di corda. È consuetudine incorporare una
correzione del primo ordine all’angolo di portanza nulla cosı̀ determinato, che tenga conto degli
effetti di viscosità secondo il fattore di correzione di Burrill. Un’espressione polinomiale di
questo fattore di correzione, che moltiplica il valore teorico di un profilo bidimensionale, è
fornito da van Oossanen (1973) come
k(α◦ ) = 0.972 − 0.169 t/c − 2.78 (t/c)2 + 21 f /c (t/c)2 − (f /c)2 [0.32 + 278 (t/c)3 ] −
(f /c)3 [28.7 (t/c)2 − 335 (t/c)3 ]
dove f è il valore della freccia della linea mediana nella posizione del punto di massimo spessore.
misurata dal bordo d’ingresso.
Nel passato numerosi autori hanno sostenuto che il rapporto di passo virtuale Pvg /D di un’elica fosse uguale al valore di J al quale il coefficiente di spinta diviene nullo nel diagramma di
elica isolata. Il valore di J al quale il coefficiente KT si annulla è definito ‘rapporto di passo
effettivo’. Glauert definı̀ questo passo come ‘passo medio sperimentale’. Ma la somiglianza tra
il ‘rapporto di passo virtuale’ e il ‘rapporto di passo effettivo’ apparve essere realistica con una
certa approssimazione solamente per una classe limitata di eliche. Un’analisi delle eliche della
Serie–B mostrò che lo scarto tra il rapporto di passo virtuale Pvg /D, calcolato dalla geometria di
pala, ed il rapporto di passo effettivo J(KT =0) , aumenta progressivamente con il numero di pale.
A partire dalle eliche della Serie–B, è stata costruita la seguente relazione tra il rapporto di
passo virtuale ed il rapporto di passo effettivo
Pvg /D = 0.960764 J(KT =0) − 0.131308/Z + 0.0234954 J(KT =0) /(AE /A0 ) +
0.161443 (AE /A0 ) − 0.0334549 Z (AE /A0 ) + 0.00304012 Z 2
80
2.8 – Registri di classifica e robustezza
Il passo effettivo ed il passo virtuale sono differenti per varie ragioni:
• effetti dello spessore di pala,
• effetti persiana,
• effetti viscosi,
• effetti della presenza del mozzo.
Il rapporto di passo virtuale delle eliche della Serie–B può essere approssimato mediante
l’equazione di regressione
Pvg /D = 1.02847 P/D − 0.16499 (P/D)/Z 2 + 0.0331838 P/D/(AE /A0 ) +
0.0541019 /(AE /A0 ) − 0.0663506 /[Z ·(AE /A0 ))
Si raccomanda di utilizzare queste formule di regressione solamente per eliche le cui combinazioni tra i parametri geometrici siano entro il campo di definizione delle eliche della Serie–B:
2≤Z≤7
0.5 ≤ P/D ≤ 1.4
0.2 + Z/20 < AE /A0 < Z (0.6 − 0.06Z) − 0.42
Per le eliche a quattro pale della Serie–B, il passo virtuale Pvg calcolato mediante questa formula, deve essere ridotto dell’1.3% per tenere conto della riduzione del passo verso il mozzo
di queste eliche. Per le eliche a tre ed a cinque pale della Serie–B va aggiunto lo 0.3% per
eliminare sistematiche deviazioni standard.
Come detto in precedenza, a parità di diametro, eliche con lo stesso rapporto di passo virtuale
presentano lo stesso rapporto tra numero di giri e potenza propulsiva. Poiché il passo virtuale
riflette solamente la distribuzione radiale del passo e della curvatura, quando si confrontano
due eliche, devono essere identici altri parametri, che potrebbero influenzare lo stesso rapporto.
A tale proposito, dovrebbero essere uguali lo ‘skew’, il ‘rake’, il numero di pale, ed il rapporto
di area espansa. Se questi parametri secondari si differenziano in una certa misura, la Serie–B
offre un mezzo facile per calcolare gli effetti prodotti da alcuni di questi parametri.
Si può osservare che quando sono messe a confronto due eliche geometricamente identiche,
tranne che per lo ‘skew’, l’elica con lo ‘skew’ ruota poco più lentamente, a parità di assorbimento
di potenza e di velocità d’avanzo. Di regola, una differenza dell’1% nel numero di giri ad un certo
assorbimento di potenza corrisponde ad una correzione dell’1.5% del passo virtuale. Un’altra
regola afferma che per mantenere il rapporto tra potenza assorbita e numero di giri, la somma
del diametro e del passo virtuale dovrebbe essere costante.
2.8
Registri di classifica e robustezza
L’elica da progettare deve soddisfare non soltanto i requisiti idrodinamici, ma anche quelli
strutturali, rispettando in primis le regole di uno specifico Registro di Classifica. Nei calcoli di
81
2 – Progetto Preliminare
robustezza, si deve esaminare la condizione di massimo assorbimento di potenza al numero di
giri nominale. Per quanto riguarda le tensioni ammissibili, il criterio guida è di solito legato ai
seguenti tre tipi di carico dell’elica:
1. Nella condizione normale di marcia avanti la potenza massima assorbita dall’elica dovrebbe determinare la condizione nella quale considerare un criterio di robustezza a fatica.
Le tensioni medie e fluttuanti sono parametri importanti nel calcolo dello spessore di pala.
I Registri di Classifica utilizzano regole semplificate. Per eliche a pale fisse i regolamenti
considerano il raggio a 0.25R, mentre per le eliche a passo variabile considerano il raggio a 0.35R; inoltre, richiedono il controllo dello spessore a 0.6R, ed eventualmente a 0.9R.
2. Per i carichi sull’elica a marcia indietro e in ‘crash–stop’ deve essere applicato un criterio
per il picco di carico, che consenta di sopportare una tensione massima maggiore di quella
relativa alla normale condizione di marcia avanti. In marcia indietro, di solito si richiede
una velocità di rotazione del 70-80% del numero di giri in marcia avanti. Esistono indicazioni che per eliche propulse da motori elettrici si deve specificare per la marcia indietro
una velocità di rotazione pari solamente al 60% di quella in marcia avanti alla velocità di
prova. In alternativa, potrebbe essere specificato un momento torcente in marcia indietro
pari al 75% o all’85% del massimo momento torcente in marcia avanti. Queste normative
valgono per le eliche a pale fisse, in quanto il numero di giri delle eliche a passo variabile
non subirà inversione nelle operazioni di frenata e di marcia indietro. Alcuni laboratori
navali adottano lo standard che prevede lo 0.15% del limite di snervamento come limite di
tensione ammissibile per i picchi di carico; il che corrisponde, ad esempio, a 183 MPa per
la lega di nickel–alluminio–bronzo. Questo criterio viene applicato ai risultati dei calcoli
FEM nella condizione di velocità nulla, che è ritenuta rappresentativa della manovra di
frenata. Va rilevato che, al riguardo, altri enti sono più conservativi ed utilizzano il valore
di 150 MPa come limite superiore.
3. Per le eliche progettate per operazioni in ghiaccio, si devono considerare due tipi di regole: (i) incrementi di spessore determinati dal carico idrodinamico nel quale si utilizza
un criterio di tensione a fatica; oppure (ii) mediante un carico specifico prodotto dal momento torcente dovuto al ghiaccio al quale si applica un criterio di tensione per il picco
di carico. La maggior parte dei Registri di Classifica forniscono linee guida complete e
regole per eliche della classe ghiaccio.
I Registri di Classifica hanno formulato regole e criteri di tensione per tutte queste condizioni.
Inoltre, specificano lo spessore necessario in posizioni dove non è la tensione ma è la vulnerabilità dell’elica ad essere un fattore critico. Ciò riguarda la zona dell’apice di pala, nonché i
bordi d’ingresso e d’uscita. Inoltre, nella maggior parte dei regolamenti sono formulati requisiti
per i raggi dei raccordi.
Le regole richiamate finora sono tutti modelli semplici di trave incastrata, che rispondono con
sufficiente accuratezza per eliche di forma normale e con debole ‘skew’. Molti Registri di Classifica considerano come limite un angolo di ‘skew’ pari a 25 gradi. Sotto questo limite, un calcolo
con il metodo della trave incastrata, quale è conglobato nelle regole, è considerato sufficiente; al
82
2.8 – Registri di classifica e robustezza
contrario, per angoli di ‘skew’ maggiori deve essere prodotto un calcolo separato di robustezza,
di solito mediante calcoli agli elementi finiti.
La robustezza di eliche con ‘skew’ elevato è spesso critica in marcia avanti, quando le tensioni
raggiungono di solito i massimi valori vicino al bordo d’uscita a metà distanza tra il mozzo e
l’apice. Nel modo di marcia indietro, importante solamente per le eliche a passo fisso, la tensione massima nella zona dell’apice è spesso critica. Un problema ben noto nella condizione di
frenata delle eliche a passo fisso è la determinazione del carico idrodinamico più critico, poiché è
stato osservato in prove sperimentali, sia su modelli che al vero, che il carico idrodinamico sulle
pale è assai fluttuante. Inoltre, nei calcoli sono ignorati del tutto gli effetti della separazione di
flusso intermittente e della cavitazione.
Al MARIN, per il normale modo operativo in marcia avanti si utilizza di solito il metodo di
Romson. Gli effetti del ‘rake’ sul carico centrifugo sono incorporati in questa variante del metodo della trave incastrata. Comunque, gli effetti dello ‘skew’, della larghezza delle pale e di
altre caratteristiche non sono tenute in conto. Il MARIN ha sempre applicato un decimo della
resistenza estrema alla trazione come criterio di fatica nel metodo di Romson, per la velocità
massima in marcia avanti alla potenza massima. Le regole della maggior parte dei Registri di
Classifica indicano uno spessore minimo che oggi è dello stesso ordine di grandezza di quello
calcolato mediante il metodo di Romson. Gli elevati fattori di sicurezza utilizzati tengono conto
delle semplificazioni delle procedure e dei ‘fattori di ignoranza’ insiti nella progettazione delle
pale dell’elica nelle fasi iniziali.
Le tensioni di pala variano quando la pala ruota attraversando la scia. Quando si effettuano i
calcoli agli elementi finiti, nella condizione di massima potenza in marcia avanti, si considerano
di solito quelle posizioni angolari di pala nelle quali la spinta raggiunge il valore massimo, il
valore minimo ed il valore medio. Quale criterio di tensione massima ammissibile di una lega
di nickel-alluminio-bronzo, di resistenza massima a trazione di 600 MPa, MARIN applica come
limite 85 MPa per la condizione di tensione massima a trazione sulla superficie della faccia e
65 MPa per la condizione di carico medio ai risultati dei calcoli agli elementi finiti per il modo
in marcia avanti. Questi criteri sono applicati alle tensioni di von Mises.
Si deve osservare che il livello delle tensioni ammissibili dovrebbe dipendere non solamente
dal carico idrodinamico, ma anche dal carico a fatica e dal picco di carico. Inoltre, dovrebbero
essere tenute in conto le tensioni residue prodotte nella fusione, nonché la qualità e le dimensioni
della stessa. I vari modi di vibrazione delle pale potrebbero produrre effetti ulteriori, ma queste
influenze sono difficili da determinare globalmente. Le stesse considerazioni valgono per gli
effetti prodotti dalla navigazione in mare mosso. Gli effetti delle vibrazioni delle pale e del
mare confuso sono considerati, quindi, introducendo opportuni fattori di sicurezza.
83
2 – Progetto Preliminare
2.9
Analisi parametriche
Una fase importante del processo progettuale dell’elica, prima di effettuare il progetto finale,
consiste nello studio parametrico nel quale sono riesaminate le variabili progettuali fondamentali, ossia il diametro D, la velocità di rotazione n, il numero di pale Z ed il rapporto d’area
espansa AE /A0 , nonché il rapporto tra diametro del mozzo e diametro dell’elica d/D per le
eliche a passo variabile. Questa analisi può essere effettuata variando sistematicamente questi
parametri, e confrontandone gli effetti sul rendimento e sulla cavitazione mediante calcoli teorici basati sulla teoria della linea portante. Ma, in ultima analisi, lo scopo principale di uno
studio parametrico è la determinazione della velocità di rotazione ottimale.
Figura 2.5.
Base per l’ottimizzazione dei giri dell’elica di una nave portacontainer
Quale esempio sono riportati i risultati dello studio di ottimizzazione svolto dalla Lips per
una nave portacontainer bielica da 30 nodi di velocità, che monta due motori diesel da 29500
kW ciascuno. Altri dati rilevanti sono la frazione di scia media assiale (w = 0.13), il numero
di pale (Z = 4), il margine di cavitazione a 0.8R (σ − ∆p/qmax = 0.011). Furono calcolate le caratteristiche delle prestazioni per i massimi diametri consentiti di 6.1 m e 6.5 m. I
risultati dello studio parametrico sono riportati in Figura 2.5, dalla quale si può concludere che:
• l’effetto del numero di giri sul rendimento dell’elica è marginale finchè si utilizza il diametro massimo, ma il rendimento diminuisce significativamente quando sono applicati
diametri inferiori; ciò è facilmente comprensibile in quanto le perdite assiali non variano
finché il diametro rimane costante: in tal caso, le perdite di rendimento sono dovute alle
perdite rotazionali e di attrito;
84
2.9 – Analisi parametriche
• c’è da attendersi che i problemi cavitativi diventino più seri all’aumentare del numero dei
giri (si osservi l’andamento delle curve del rapporto di area espansa); ciò vale, comunque,
per la distribuzione di scia relativamente uniforme delle navi bielica.
La scelta del numero di giri ottimali è legata alla minimizzazione dei costi. I fattori da prendere
in considerazione nell’ottimizzazione del costo sono:
• i costi di investimento per le eliche, la linea d’assi ed il riduttore;
• i costi operativi dovuti al consumo del combustibile.
Figura 2.6.
Base per l’ottimizzazione dei giri dell’elica di una nave portacontainer
I costi annuali medi sono minimizzabili utilizzando il fattore di equivalenza definito come
24·10−6 ·Top ·Cf ·P
EF =
CRF + r
85
·
unità monetaria
g/kWh
¸
2 – Progetto Preliminare
dove
Top
Cf
P
CRF
r
-
tempo operativo (giorni/anno)
costo del combustibile (unità monetaria)
potenza [kW]
fattore di recupero del capitale
altri costi del capitale
La curva investimento-prestazioni è presentata in Figura 2.6, che indica le velocità ‘tecnicoeconomiche’ di 144 e 130 rpm rispettivamente ai massimi diametri ammissibili di 6.1 m e 6.5
m. Come risultato del progetto di un riduttore standard, le curve di costo sono discontinue
(linee tratteggiate in Figura 2.6).
Tenendo conto dei progetti standard e del rischio di cavitazione, fu scelta, infine, la velocità di
rotazione di 135 rpm.
86
Capitolo 3
Fondamenti della teoria vorticale
Lo sviluppo originario della teoria dell’azione dell’elica è derivata sia dalla teoria impulsiva
assiale, sia dalla teoria dell’elemento di pala. Queste due teorie, fatti salvi i loro meriti, non
risolsero del tutto la mancanza di comprensione degli effetti del numero di pale e della scelta
dei valori appropriati di portanza e di resistenza per gli elementi di pala. La teoria impulsiva,
a causa delle note limitazioni, non consente di considerare l’influenza sul campo di velocità di
elementi importanti di un’elica reale, quali il numero di pale, il rapporto d’area espansa, la
forma delle sezioni di pala. Inoltre, tale teoria non permette di determinare la distribuzione
delle pressioni sulla superficie di pala, il che è necessario per la valutazione delle caratteristiche
di cavitazione delle eliche navali. Tali problemi iniziarono ad essere risolti con l’avvento della
teoria vorticale dell’ala, sviluppata inizialmente da Lanchester (1907), e che nel tempo ha dato
luogo ad un sistema di diversi modelli matematici complessi, i quali oggi consentono di risolvere
i problemi suddetti ed assicurano un progetto razionale dell’elica navale.
Essenziale è la determinazione della portanza prodotta dai profili delle sezioni di pala. È altrettanto essenziale conoscere le caratteristiche del flusso locale per definire correttamente il
posizionamento delle sezioni di pala dell’elica rispetto all’asse di pala. Tali caratteristiche sarebbero determinabili esattamente in ogni posizione del disco–elica se non esistessero le velocità
indotte. In realtà, le pale dell’elica determinano per induzione una variazione del campo di
flusso, generato dal sistema di vortici liberi che si staccano dalle pale e si diffondono a valle
dell’elica.
Se si vuole scegliere la geometria ed il posizionamento corretto dei profili delle sezioni di pala,
occorre conoscere l’entità e la direzione del flusso indotto in parecchi punti dell’elica. Poiché le
pale dell’elica possono essere progettate tenendo conto delle condizioni medie del flusso in un
giro, è sufficiente progettare le pale tenendo conto della scia media circonferenziale ed utilizzando solamente le componenti di scia assiale e tangenziale, quanto meno per le eliche di navi
mercantili.
Intorno ad un’elica il campo di flusso indotto è molto più complesso rispetto al sistema vorticoso
di un profilo alare isolato. Ogni pala dell’elica genera il proprio campo di flusso indotto, ed
87
3 – Fondamenti della teoria vorticale
inoltre, a causa della variazione circonferenziale del flusso incidente, descritta dalla distribuzione
di scia, questo campo di flusso indotto varia durante la rotazione delle pale. Ne consegue che
il campo di flusso indotto varia sia radialmente che circonferenzialmente.
3.1
Modelli matematici dell’elica
Il problema fondamentale della teoria vorticale di un’elica navale consiste nel determinare un
modello matematico che tenga conto della geometria dell’elica, delle sue caratteristiche di funzionamento, ed anche delle forze e momenti ad essa associati. Il modello deve essere funzionale
a condurre due attività primarie:
1. progetto (problema inverso): il modello matematico deve permettere di calcolare la geometria dell’elica in base alle prestazioni richieste progettualmente, una volta assegnate le
condizioni al contorno (T , V , N );
2. analisi (problema diretto): assegnate le condizioni al contorno (T , V , N ) e la geometria
dell’elica, il modello matematico calcola le forze che si generano nel funzionamento, in
valore medio ed in ampiezza massima di oscillazione, nonché la cavitazione ed il campo
di pressioni indotte.
I primi modelli matematici furono sviluppati all’inizio del XX secolo da Prandtl e successivamente da molti altri scienziati ed ingegneri tra le due guerre mondiali. Una teoria che consentiva
la modellazione dell’elica fu sviluppata già a quell’epoca, ma mancavano gli strumenti matematici (hardware e software) che ne consentissero adeguate applicazioni ingegneristiche. Gli
ingegneri navali furono costretti ad adoperare modellazioni approssimate, che presentavano limiti di accuratezza a causa delle semplificazioni introdotte, a partire da quella di trascurare gli
effetti viscosi sulle pale.
Tali semplificazioni dei modelli matematici dell’elica sono ancora accettabili in certe situazioni
progettuali (quando si tratta di determinare la spinta di eliche leggermente o moderatamente
caricate), ma sono del tutto inaccettabili quando si tratta di analizzare la cavitazione ed il campo di pressione indotto da un’elica subcavitante e/o cavitante, in quanto la viscosità influenza
notevolmente questi fenomeni.
Allo stato attuale dello sviluppo delle conoscenze idrodinamiche, i modelli matematici esistenti
e, quindi, i codici di calcolo numerico sono adeguati per quanto attiene la determinazione delle
caratteristiche propulsive in sede progettuale, mentre devono essere necessariamente combinati
con una sperimentazione sofisticata per quanto riguarda l’analisi della cavitazione e delle pressioni indotte.
Tutti i modelli matematici dell’elica sono basati sulla teoria vorticale. L’essenza della teoria
vorticale è la seguente: l’interazione effettiva tra l’elica ed il fluido può essere sostituita, nell’ambito del modello matematico dell’elica ideale, dall’interazione del sistema vorticoso equivalente,
costituito da vortici liberi (free vortices) e vortici concatenati (bound vortices), con il fluido
88
3.1 – Modelli matematici dell’elica
non–viscoso. La presenza di vortici liberi nella scia dietro le pale dell’elica non fu chiarita finché,
in base a rilievi fotografici, Z̀oukovsky (1906) non stabilı̀ che questo era il fenomeno fisico più
importante dell’interazione elica–fluido, evidenziato dalle bolle d’aria che si formano nella zona
in depressione, ossia lungo l’asse dei vortici. I vortici che abbandonano l’apice delle pale sono
denominati vortici di estremità (tip vortices). Essi si formano come risultato del moto del fluido dalla faccia della pala (lato in sovrapressione) verso il dorso della stessa (lato in depressione).
Il vortice rettilineo, che abbandona il mozzo, è detto vortice del mozzo (hub vortex ). La direzione della velocità tangenziale da esso indotta coincide con quella di rotazione dell’elica.
Questo vortice si forma come conseguenza del moto del fluido in direzione tangenziale dalla
superficie in pressione a quella in depressione di pale adiacenti, poiché la presenza del mozzo
non consente al fluido di fluire in direzione radiale.
Il sistema vorticoso dell’elica reale è molto più complicato. Oltre i vortici liberi ed i vortici del
mozzo, ci sono altri vortici liberi che si distaccano da ogni singolo punto del bordo di uscita
della pala (trailing vortices). Questi vortici formano la cosiddetta lamina vorticale libera (free
vortex sheet) che è instabile, come mostrano gli esperimenti. Fluendo all’indietro, si mescolano
con i vortici del mozzo e degli apici di pala. La bassa pressione su questa lamina è insufficiente
per la formazione di bolle d’aria di dimensioni visibili.
Il sistema vorticoso reale cosı̀ descritto risulta differente dalla sua modellazione teorica, che
tende a semplificare la teoria vorticale dell’elica utilizzando diversi modelli matematici. Allo
scopo di classificarli e tenendo presente la suddetta similitudine tra i sistemi vorticali di ali
di apertura finita (foils) e le eliche navali, vanno considerati in parallelo un certo numero di
schemi differenti.
In base a quanto è noto dal metodo idromeccanico delle singolarità idrodinamiche, è sempre
possibile selezionare un certo sistema equivalente di singolarità, per esempio dei vortici, che
indurranno un campo di velocità corrispondente al moto del corpo studiato. In tal modo, un
profilo alare (o la pala dell’elica) può essere sostituito da un sistema vorticoso equivalente,
costituito da vortici liberi e da vortici concatenati. I vortici concatenati si muovono nel fluido
secondo la predefinita legge di moto del corpo, ossia quella delle pale che essi rappresentano. Il
fluido agisce su questi vortici con forze corrispondenti alle forze di pressione che si avrebbero
su corpi solidi equivalenti. Allo scopo di avere un equilibrio tra queste forze, la teoria vorticale
accetta la presenza di forze di massa esterne non–potenziali che tengono in equilibrio i vortici
concatenati.
Se ogni pala, ovvero ogni ala di allungamento finito, è schematizzata da un solo vortice concatenato, il modello matematico corrispondente è rappresentativo della teoria della linea portante
(lifting line theory - LLT). Se i vortici concatenati sono sistemati discretamente sulla cosiddetta
superficie di riferimento, che rappresenta schematicamente la pala o il profilo alare considerato,
il modello matematico è rappresentativo della teoria della superficie portante (lifting surface
theory - LST). In questo caso, lo spessore di pala può essere rappresentato dalla distribuzione
corrispondente del semplice strato, ossia da uno strato con sorgenti su quella superficie.
89
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Nella teoria della superficie portante non–lineare (nonlinear lifting surface theory - NLLST), i
vortici concatenati sono distribuiti sulla faccia e sul dorso della pala, il che permette di considerare lo spessore. I vortici liberi sono sistemati all’esterno delle pale, per cui la legge di moto, la
forma e l’intensità di questi vortici non sono noti in anticipo, ma dovranno essere determinati
durante il processo di soluzione del problema. In tal modo, l’assenza d’interazione tra le forze
di questi vortici ed il fluido è assunta come condizione principale, derivante dall’assenza di possibilità fisica che appaiano forze che non siano quelle agenti sulle pale. La presenza di questa
condizione conduce all’assunzione che la velocità di spostamento, relativa al fluido di qualsiasi
elemento del vortice libero, è nulla. Nel caso di moto stazionario, si ha quindi coincidenza tra
linee vorticose e linee di flusso corrispondenti. Quando si considera il moto non–stazionario,
oltre i suddetti vortici liberi, esistono i vortici liberi non–stazionari (slipping free vortices). Nel
prosieguo saranno considerati solamente i vortici stazionari.
3.2
Sistemi vorticosi su un’ala o su una pala isolata
La Figura 3.1 mostra alcuni dei più usuali schemi vorticosi che modellano un’ala di allungamento finito. In Figura 3.1a è illustrato lo schema più semplice, che consiste di un vortice a
forma di ferro di cavallo (un vortice concatenato e due vortici liberi), l’intensità del quale, in
base al teorema di Helmholtz, è costante lungo tutta l’ala. La Figura 3.1b mostra uno schema
di linea portante, consistente di un vortice concatenato che trascina dietro di sè una superficie
vorticosa libera e continua. Questo schema può essere reso più complesso considerando un
certo numero di vortici a forma di ferro di cavallo di diverso allungamento (Fig. 3.1c).
Figura 3.1.
Schemi di vortici liberi di un’ala di allungamento finito
I diversi modi di rappresentare la forma reale dei vortici liberi prevedono la loro modellazione
e la determinazione della loro direzione, includendovi le velocità da questi indotte. Si possono
ottenere cosı̀ diversi schemi lineari e nonlineari della scia, quale lo schema della Figura 3.2a,
dove i vortici liberi formano un angolo αz con il piano del moto. La distribuzione discreta dei
vortici lungo l’intera superficie di riferimento, la quale rappresenta schematicamente il profilo
alare, corrisponde al modello di superficie portante. Anche in questo caso, il modello di scia
lineare rappresenta i vortici liberi nel piano di moto del profilo alare (Fig. 3.2b).
In base alla suddetta similitudine tra un profilo alare ed una pala di elica i modelli matematici
sviluppati nella teoria dei profili alari trovano gli analoghi corrispondenti nella teoria dell’elica
navale. Cosi, per esempio, la Figura 3.3 mostra lo schema vorticoso nonlineare di un’elica a
quattro pale, simile al vortice a forma di ferro di cavallo di un’ala (Fig. 3.1a), con vortici di
intensità costante. Si può osservare che questo schema consiste di quattro vortici concatenati
90
3.2 – Sistemi vorticosi su un’ala o su una pala isolata
di intensità radiale costante (1), di quattro vortici di estremità semi-infiniti (2) e del vortice
lineare del mozzo (3) che, a sua volta, consiste di quattro vortici liberi che si diramano dal
bordo interno del vortice concatenato corrispondente.
Figura 3.2.
Schemi vorticosi di linea portante e di superficie portante
Questo modello è detto talvolta elica elementare dal momento che la sovrapposizione di tali
eliche con diversi diametri permette, in maniera simile alla Figura 3.1c, di ottenere lo schema di
linea portante con vortici concatenati di intensità variabile lungo la direzione radiale (Fig. 3.4a).
I vortici liberi elicoidali giacciono sulla superficie di un cilindro, coassiale all’elica, che ha passo
costante in direzione assiale. Questa configurazione dei vortici liberi corrisponde allo schema
lineare della scia vorticosa. Se nel processo di soluzione del problema idrodinamico la forma dei
vortici liberi è determinata tenendo conto delle velocità indotte, allora il modello matematico
corrispondente è detto schema nonlineare della scia vorticosa.
Figura 3.3.
Schema vorticoso di un’elica a quattro pale
La teoria della linea portante fornisce risultati sufficientemente corretti per eliche di aeromobili
con pale strette. Perciò è possibile utilizzare lo schema lineare di scia vorticosa nel caso di
carico leggero e moderato. Per eliche navali di area espansa elevata, i calcoli effettuati secondo
lo schema delle linea portante dovrebbero essere seguiti dai calcoli basati sulla teoria della
superficie portante, ossia con uno schema nonlineare di scia vorticosa (Fig. 3.4b).
Figura 3.4.
Modellazione di pala con vorticità variabile
91
3 – Fondamenti della teoria vorticale
3.3
Circolazione e vorticità
Nell’idrodinamica classica il progetto di una superficie portante, sia che si tratti di un’ala isolata in flusso uniforme, sia che riguardi la pala di un’elica, è trattabile con due approcci:
• studio del campo di flusso intorno ad un profilo bidimensionale;
• studio del campo di flusso intorno ad un’ala tridimensionale e delle forze generate dall’interazione con il fluido, ignorando la geometria dei suoi profili trasversali.
Prima di discutere la modellazione delle pale di un’elica mediante la teoria della linea portante
o la teoria della superficie portante, è opportuno discutere il più semplice modello di linea
portante per un’ala o una pala isolata, in quanto ne evidenzia le caratteristiche essenziali.
L’ala di un aeromobile e la pala di un’elica possono essere schematizzate sostituendole con una
linea che è l’asse di un vortice con circolazione costante (modello di linea portante di Prandtl)
o radialmente variabile; ossia, in ogni sezione di pala (punto della linea portante) esiste un
vortice di circolazione Γ = Γ (r). Tale linea è detta linea portante. Il contorno fisico dell’ala o
della pala è del tutto trascurato.
Questa modellazione dà luogo alla teoria della linea portante, il cui sviluppo matematico è
estremamente complesso. La soluzione del sistema di equazioni che descrivono l’interazione tra
fluido e linea portante richiede l’uso del computer, anche nel caso di semplificazione dei calcoli
idrodinamici con i cosiddetti metodi approssimati (Hill, 1949; Eckardt–Morgan, 1955; ecc.). La
teoria vorticale dell’ala o dell’elica ha come scopo primario il calcolo delle velocità indotte da
loro prodotte nella mutua interazione con il fluido.
Figura 3.5.
Triangolo di velocità e vortice elementare
Per la legge di conservazione dell’energia del vortice, l’asse del vortice si chiude su se stesso o
termina su una superficie di separazione. Nel tratto dr dell’asse vorticale si ha un incremento
di circolazione dΓ (Fig. 3.5). La variazione di Γ comporta che una linea vorticosa libera si
stacchi dalla linea portante tra le sezioni r e r + dr. Si può pensare che nel punto (r + dr) il
vortice Γ (r + dr) sia composto da due vortici aventi assi distinti, tale da risultare
Γ (r + dr) = Γ (r) + dΓ
A sua volta, l’asse del vortice di circolazione dΓ dovrebbe chiudersi da qualche parte; ma poiché
al punto di raggio r non esiste, si genera un vortice che viene trascinato dal flusso che investe
~R .
l’ala o la pala con velocità V
92
3.4 – Teoria dei profili portanti
Se si rappresenta questo fenomeno sul triangolo delle velocità (Fig. 3.6), si ha, per unità di
~R .
linea portante, il vortice elementare dΓ/dr che si allontana lungo l’asse coincidente con V
Si hanno cosı̀ due sistemi vorticosi: il primo ha come asse la linea portante ed è il sistema di
vortici concatenati, responsabile della generazione di portanza; il secondo è il sistema di vortici
~R inclinato di βw rispetto alla linea portante.
liberi che ha come asse la velocità incidente V
Figura 3.6.
Modello di linea portante
Da ogni sezione della superficie portante (ala o pala), ossia da ogni vortice concatenato, si
~R è in realtà una linea elicoidale di passo βi = βw ,
stacca un vortice libero. Ora la velocità V
per cui l’asse del vortice libero è proprio quella linea elicoidale che abbandona la superficie
portante seguendo tale elicoide. A valle della linea portante si genera perciò una superficie
elicoidale costituita dalle linee elicoidali, che sono gli assi dei vortici liberi. Tale superficie è
detta superficie dei vortici liberi.
3.4
Teoria dei profili portanti
Per costruire il modello matematico del flusso del fluido viscoso intorno ad un’elica si parte dal
flusso del fluido ideale ed incompressibile intorno ad un sistema di singolarità idrodinamiche
equivalente all’elica, e che forma una scia vorticosa a valle di questa. I vortici sono ipotizzati
come singolarità idrodinamiche. La zona di fluido esterna al campo vorticoso è considerata
come un campo a potenziale, ossia senza vortici, il che significa che nel suo dominio è nulla la
circolazione totale
I
Γ =
`◦
~ =0
~u d`
(3.1)
indipendentemente dalla forma del contorno chiuso `◦ lungo il quale viene effettuata l’integrazione. Come noto, in base al teorema di Stokes, il valore della circolazione è legato all’intensità
dei vortici che circondano quel contorno chiuso lungo il quale viene effettuata l’integrazione della
circolazione. Ad esempio, il modello più semplice di un vortice reale può essere presentato come
una linea vorticosa di intensità finita (vortice discreto) senza dimensioni trasversali. La sua
93
3 – Fondamenti della teoria vorticale
intensità viene determinata dalla circolazione della velocità lungo il contorno chiuso intorno
alla linea vorticosa. Se la linea vorticosa infinita e rettilinea coincide con l’asse x∗ del sistema
di coordinate cilindriche E∗ (O,x∗ , r, t) e se la sua intensità è Γ , la circolazione lungo il contorno
attraversato dall’asse x∗ . sarà Γ . Prendendo come contorni chiusi cerchi concentrici di raggio r,
situati su un piano perpendicolare alla linea vorticosa, e tenendo conto della simmetria assiale
e del fatto che il campo di velocità è indipendente da x∗ , si ottiene
Γ = 2πrut
(3.2)
il che permette di ricavare il campo di velocità indotta corrispondente nel sistema di coordinate
cilindriche descritto dalle componenti
Γ
ux = 0 ; ut =
; ur = 0
(3.3)
2πr
L’asse x∗ , sul quale è situata la linea vorticosa, è la linea di separazione del campo di velocità.
All’esterno di tale linea il campo di velocità è continuo e potenziale, dal momento che la circolazione è nulla lungo il contorno chiuso che può essere ridotto ad un punto senza attraversare
x∗ , ossia lungo un contorno che non racchiuda questo asse. Rispetto ad un tubo vorticoso che
ha dimensioni trasversali e che modella un campo di velocità continuo lungo x∗ , per la linea
vorticosa, in base alla fonnula (3.3), la componente tangenziale della velocità indotta tende
all’infinito quando il punto di osservazione si avvicina all’asse. Ciò è una conseguenza del fatto
che vengono trascurate le dimensioni trasversali del tubo vorticoso. Ne derivano difficoltà nel
calcolo delle velocità indotte da un sistema di linee vorticose.
Oltre le linee vorticose, la teoria vorticale usa frequentemente la superficie vorticosa che può
essere considerata come un sistema di linee vorticose di intensità elementare dΓ . La densità di
superficie dei vortici in un punto A della superficie vorticosa considerata (Fig. 3.7) è un vettore
~γ legato alla circolazione Γ lungo un qualsiasi contorno chiuso l◦ , che attraversi la superficie
vorticosa solamente nel punto A, dall’equazione
~γ = (grad Γ ) × ~n
(3.4)
Si supponga di utilizzare un sistema di coordinate destrorso (Fig. 3.7). Nella formula (3.4) ~n
indica il versore della superficie vorticosa in un punto A, orientato nello stesso verso dell’ele~ del contorno chiuso nell’equazione (3.1); coincide, quindi, con la direzione positiva
mento d`
del percorso lungo il contorno utilizzato nella determinazione di Γ . A questo punto, se si osserva dalla coda del vettore ~γ , che è diretto tangenzialmente alla linea vorticosa elementare nel
punto A, la direzione della velocità nei punti più vicini al punto A corrisponderà alla rotazione
antioraria intorno al vettore ~γ . Sulla superficie vorticosa esiste un salto del vettore di velocità
indotta (~ut+ − ~ut− ), detta velocità di perturbazione, che è legato a ~γ dalla relazione
~γ = (~ut+ − ~ut− ) × ~n
(3.5)
dove ~ut± è il vettore della velocità, in prossimità del punto considerato, lungo la normale
~n, rispettivamente sopra e sotto la superficie portante. Come lato inferiore, marcato con il
pedice ‘-’, viene assunto quel lato della superficie vorticosa che si vede dal terminale del versore
94
3.4 – Teoria dei profili portanti
positivo. Nell’ulteriore sull’elica, conviene ipotizzare che il lato in pressione della superficie di
riferimento sia quella inferiore, ossia che il versore sia diretto dal lato in depressione verso il
lato in pressione.
Figura 3.7. Densità della superficie vorticosa
In base al primo teorema cinematico di Helmholtz, in un certo intervallo di tempo, che nel caso
stazionario considerato è l’intero periodo di tempo, l’intensità di ogni singola linea vorticosa
è costante lungo la lunghezza di corda, ossia le linee vorticose non possono nascere né finire
entro il fluido, in quanto, altrimenti, verrebbero spezzati la supposta continuità e il carattere
potenziale del flusso al di fuori del sistema vorticoso. Al fine di assicurare la suddetta costanza
dell’intensità delle linee vorticose nella determinazione del campo del vettore ~γ , è necessario
soddisfare in tutto il dominio la condizione della sua divergenza; ossia
div ~γ = 0
(3.6)
Si può dimostrare che questa condizione è immediatamente soddisfatta se la funzione Γ è continua sui punti della superficie vorticosa e se il vettore ~γ è determinato dalla formula (3.4).
Si supponga che nel caso stazionario considerato siano note la forma e l’intensità di tutte le
linee vorticose che simulano l’elica e la sua scia, e che sia soddisfatta la condizione (3.6). In tal
caso, il campo di velocità indotto da questo sistema e le forze agenti sui vortici possono essere
determinati rispettivamente mediante i teoremi di Biot-Savart e di Žoukovsky.
3.4.1
Teorema di Biot–Savart
È stato dimostrato che nel moto di un fluido a potenziale un vortice di intensità ~γ induce
in un generico punto (x, y, z) dello spazio circostante un campo di velocità, punto per punto
ortogonale al suo asse, il cui modulo è calcolato come
1
~u (x, y, z) =
4π
ZZ
95
S
~γ × ρ
~
d` dτ
3
|~
ρ|
(3.7)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
dove
~γ
-
ρ
~
-
~
d`
d`, dτ
S
-
vettore che denota la densità superficiale dei vortici liberi e che caratterizza
la direzione del filamento vorticoso elementare di intensità |~γ | dτ
raggio vettore che unisce il centro dell’elemento della superficie vorticosa d`·dτ
con il punto di controllo (x, y, z) nel quale si calcola la velocità indotta;
elemento differenziale del filamento vorticoso (Fig. 3.7)
elementi tra loro perpendicolari della superficie vorticosa
rappresenta tutte le superfici costituenti il sistema vorticoso
Per il filamento vorticoso di intensità finita Γ , costante lungo la linea stessa, nell’equazione
~ per cui la stessa si trasforma nella formula
(3.7) si ipotizza che sia ~γ dτ d` = Γ d`,
~u (x, y, z) =
Γ
4π
I
L
~ ×ρ
d`
~
dl
|~
ρ |3
(3.8)
dove l’integrazione viene effettuata lungo tutta la linea vorticosa L che non può che essere chiusa, oppure iniziare e terminare all’infinito. L’equazione (3.8) è detta legge di Biot–Savart dal
nome dei due scienziati francesi che nel XVIII secolo la derivarono studiando i campi elettrici
~ ×ρ
~
e magnetici. Il prodotto vettoriale d`
~, come noto, è un vettore pari a |~
ρ|·|d`|·sin
α (dove α
~
è l’angolo tra d` e ρ
~), diretto perpendicolarmente al piano sul quale giacciono il punto (x, y, z)
~
~ aρ
e l’elemento d`. Per questa ragione, la via più breve dall’elemento d`
~ è quella antioraria.
Quale applicazione della legge di Biot–Savart si consideri il campo di velocità prodotto da un
filamento vorticoso rettilineo ed infinitamente lungo. Poiché è α = 0, applicando la formula
(3.8) si ricava direttamente

r


;
|~
ρ| =



sin α
x = −r cot α ;
~ | = r dα
dx = |d`
sin2 α
Z π

~ | sin α

Γ
|~
ρ | |d`
Γ


 ut =
dα =
3
4π
◦
|~
ρ|
4πr
Z π
◦
Γ
sin α dα =
2πr
(3.9)
che è il risultato corretto per un vortice bidimensionale. Per un vortice semi–infinito che si
estende da x = 0 all’infinito, la velocità indotta è metà di quella di un vortice infinito, che è
pari a ut = Γ/4πr. Questo risultato è utile nella teoria della linea portante.
Se il punto di controllo, nel quale si calcola la velocità indotta, giace sulla superficie vorticosa considerata, l’integrando nella formula (3.7) per |~
ρ | → 0 rappresenta una funzione non
integrabile. Di conseguenza, per calcolare i valori corrispondenti è necessario utilizzare la nota
generalizzazione del termine integrale e considerare la formula (3.7) come un integrale singolare.
Quando si applica il metodo dei vortici discreti, le suddette difficoltà vengono superate utilizzando un raggio fittizio r◦ . Ad esempio, se il punto di osservazione si trova ad una distanza
r dall’asse della linea vorticosa rettilinea ed infinita, con r < r◦ , invece della relazione (3.9) si
accetta un valore provvisorio di ut pari a
96
3.4 – Teoria dei profili portanti
ut =
Γr
2πr◦2
per r < r◦
(3.10)
il cui valore non corrisponde esattamente a quello dato dalla legge di Biot–Savart.
Se si considera un filamento vorticoso rettilineo, oppure un tubo vorticoso, di lunghezza finita,
al suo esterno la velocità indotta è esattamente nulla. Se ci si avvicina all’asse, per un piccolo
valore di r è possibile ottenere la velocità indotta secondo la formula asintotica
·
Γ ·r 1
1
ut =
· 2−
8π e
(a − e)2
¸
per r << 1 e e > a
(3.11)
dove
a
e
- lunghezza del tubo che giace sull’asse x∗
- distanza, lungo l’asse del tubo, dalla sua estremità al punto di osservazione
Questa formula è ottenuta dall’espressione generale ricavata secondo il teorema di Biot–Savart,
ed è analoga alla relazione (3.9)
ut =
Γ
(cos α + cos β)
4πr
(3.12)
dove α e β sono gli angoli, interni al tubo, del triangolo formato dal tubo vorticoso e da due
segmenti che connettono il suo terminale con il punto di osservazione.
3.4.2
Teorema di Kutta–Žoukovsky
La circolazione intorno ad una superficie portante va vista come una differenza di velocità tra
i due lati della superficie, piuttosto che come un flusso intorno ad una sezione della superficie
in quanto non esistono nel fluido particelle che vi ruotino intorno.
Il vettore delle forze elementari prodotte dal fluido di densità ρ su un elemento d` · dτ della
superficie vorticosa è dato da
~R × ~γ dτ ·d`
dF~ = ρ V
(3.13)
~R = (V
~+ +V
~ − )/2 è il vettore della velocità relativa sul punto medio di un elemento
dove V
R
R
della superficie vorticosa.
Il campo di velocità suddetto è considerato stazionario nel sistema mobile di coordinate, solidale
con l’elica rotante. Come è stato descritto in precedenza, esiste un legame tra la velocità indotta
~E
~u e la velocità V
~E + V
~R
~u = V
(3.14)
~R a partire dalla velocità di trasporto di massa
che permette di determinare la velocità relativa V
~E = V (1 − w̄f ), dove w̄f è la frazione di scia media viscosa all’infinito.
V
∞
∞
97
3 – Fondamenti della teoria vorticale
In base alla formula (3.13), per dF~ 6= 0, si verifica una caduta di pressione sulla superficie
vorticosa considerata, pari alla proiezione normale della forza agente sulla superficie unitaria,
che vale
dF~ ·~n
~Rτ |~γ |
∆p = p+ − p− =
= ρV
(3.15)
d`·dτ
~Rτ rappresenta la proiezione del vettore V
~R in
dove |~γ | è il modulo del vettore ~γ , mentre V
direzione τ , che coincide con la direzione del vettore ~γ , se quest’ultimo viene ruotato, intorno
alla normale alla superficie vorticosa nel punto dato, di 90◦ in senso antiorario guardando nel
verso positivo del versore; ossia, guardando dal lato in depressione della pala dell’elica, ’+’
verso il lato in pressione, ’-’.
Nel caso di un filamento vorticoso di intensità finita Γ costante, dall’equazione (3.13) si ricava
la formula
~
~R × d`
dF~ = ρ Γ~ V
(3.16)
Nel caso particolare di un vortice costituito da un filamento vorticoso rettilineo, infinito ed
isolato, poiché, in base alla formula (3.10), sui punti del filamento stesso è ~u = 0, dalle equazioni
(3.14) e (3.16) si ottiene
~
~E × d`
dF~ = −ρ Γ V
(3.17)
Se si sostituisce il moto di trasporto regolare e rettilineo in un piano perpendicolare all’asse
del vortice rettilineo considerato, il quale simula la superficie portante, e si integra l’equazione
(3.17) lungo questo vortice di lunghezza unitaria, si ottiene la relazione tra la portanza e
l’intensità del vortice, espressa dalla circolazione Γ , come
~E |
L = ρ Γ |V
(3.18)
Questa formula è detta teorema di Kutta–Žoukovsky per la forza di portanza, dove L è la
cosiddetta forza di portanza agente sull’elemento di lunghezza unitaria del vortice infinito e
~E |. La proiezione del vettore della forza L è
rettilineo che si muove con velocità costante |V
considerata positiva se, nel determinare la circolazione Γ , la direzione del vettore F~ coincide
con la direzione del moto di trasporto del vortice, che ruota su se stesso di 90◦ in direzione
positiva quando attraversa il contorno.
Come discusso in precedenza, sono detti vortici liberi quelle sezioni della linea o della superficie vorticosa che non risentono della forza prodotta dal flusso; ossia, nel caso stazionario
considerato, quelle sezioni sulle quali viene soddisfatta la condizione
dF~ = 0
(3.19)
Per determinare la forma e l’intensità dei vortici liberi, sono fondamentali i seguenti teoremi.
98
3.4 – Teoria dei profili portanti
Teorema I (Žoukovsky, 1912)
Nel caso di moto stazionario, i filamenti dei vortici liberi coincidono con le linee di flusso del
moto relativo.
Questo teorema può essere considerato come una conseguenza del teorema fondamentale di
Kutta–Žoukovsky. Per i vortici liberi, in base alla definizione, non esiste alcuna forza d’inte~R ×~γ dovrebbe
razione con il flusso per cui, in base all’equazione (3.13), il prodotto vettoriale V
~R = 0,
essere nullo in tutti i loro punti. Ciò risulta essere vero solamente nei casi per i quali è V
~R e ~γ siano paralleli. Se non si considerano i primi due casi,
oppure ~γ = 0, ovvero quando V
per i quali non ha senso parlare di direzione delle linee di flusso dei filamenti vorticosi, si deve
supporre che il vettore velocità relativa è parallelo a ~γ in tutti i punti dei filamenti dei vortici
liberi, il che conferma la definizione del Teorema I.
Dal momento che al di fuori della pala non esiste alcuna forza d’interazione tra vortici e flusso,
tutti i filamenti vorticosi all’esterno della pala dovrebbero essere liberi e, in base al Teorema I,
nel caso stazionario dovrebbero essere posizionati lungo le linee di flusso del moto relativo.
Teorema II
L’intensità superficiale dei vortici liberi nei punti del bordo d’uscita della pala è uguale alla
derivata della circolazione lungo la direzione τ , ossia
γ` = −
∂Γ
∂τ
(3.20)
Questa formulazione è derivabile direttamente dalla relazione (3.4) se si impone la condizione
(3.6) di intensità costante lungo i filamenti vorticosi. Su ogni punto del bordo d’uscita si
introduce un sistema locale di coordinate cartesiano destrorso, caratterizzato da tre vettori ~`,
~n, ~τ , dove
~` - vettore la cui direzione coincide coincide con quella del vettore della velocità
~R nel punto considerato;
relativa V
~n
-
~τ
-
vettore diretto perpendicolannente dal lato in depressione della superficie
vorticosa verso il lato in pressione;
vettore, la rotazione intorno al quale avviene in senso antiorario, da ~l verso ~n
lungo il percorso più breve, se il punto di controllo si trova alla sua estremità.
La suddetta direzione del vettore ~l è assunta coincidente, in base al Teorema I, con la direzione
del vettore densità superficiale dei vortici liberi, ~γ .
È possibile rispettare rigorosamente questi due teoremi, relativi alla posizione ed all’intensità
dei vortici liberi, solamente se si considera la scia vorticosa del tutto nonlineare. Nella modellazione lineare della scia vorticosa questi teoremi sono soddisfatti solo parzialmente, con tanta
maggiore precisione quanto meno l’elica è caricata.
99
3 – Fondamenti della teoria vorticale
3.5
Teoria della linea portante di un’ala isolata
Nella modellazione di un’ala, o di una pala di un’elica, il sistema totale di vortici consiste di
vortici concatenati lungo la pala e di vortici liberi nel flusso a valle. Le velocità indotte esprimono il campo di flusso indotto dal sistema di vortici liberi. Verso gli apici l’intensità del vortice
concatenato diminuisce fino ad annullarsi. Poichè i vortici non possono terminare nel fluido o
sul corpo, essi abbandonano il profilo a valle. La rappresentazione del flusso intorno alla pala
di un’elica mediante un sistema di vortici, dove i vortici concatenati sono ritenuti concentrati
su una linea in direzione radiale, è detta modello della linea portante.
Si ipotizzi per semplicità che i vortici liberi abbandonino il profilo, che è la sezione di un’ala,
esattamente alle estremità e che il vortice concatenato abbia lungo la corda un’intensità costante, espressa dalla circolazione Γ . La presenza dei vortici liberi ha un effetto importante, in
quanto inducono una velocità verticale verso l’alto nella posizione della linea portante. Se la
portanza è diretta verso l’alto, la velocità indotta dai vortici liberi, u, è orientata verso il basso;
la componente della velocità indotta è detta perciò downwash. Quale risultato del ‘downwash’,
varia l’angolo d’incidenza della velocità del flusso, che si riduce da α ad α◦ , come illustrato in
Figura 3.8.
Figura 3.8.
Angolo d’incidenza effettivo per effetto della velocità indotta
L’angolo d’incidenza effettivo è α◦ ed i coefficienti bidimensionali di portanza e di resistenza,
CL e CD◦ , vanno ora applicati ad una situazione con flusso deviato . Il profilo alare si comporta
come se fosse parte di un’ala di allungamento infinito, investita dal flusso con angolo d’incidenza
α◦ . La forza di portanza non è più perpendicolare al flusso incidente, ma è deviata di un angolo
u/V , per cui la portanza ha una componente in direzione del flusso. Produce cosı̀ una forza
di resistenza anche quando il fluido è non viscoso. Questa resistenza addizionale, prodotta
dalla rotazione del vettore portanza di un angolo u/V , è detta resistenza indotta. In prima
approssimazione, la sua entità è pari a CL ·u/V . Il coefficiente di resistenza totale della sezione
del profilo é quindi pari a
CD = CD◦ + CL ·u/V
per cui l’aumento di resistenza è proporzionale alla velocità indotta u.
Il sistema di vortici di un’ala, che si muove con velocità V , è approssimato mediante un vortice
concatenato di intensità Γ , costante lungo l’ala, cui si sommano due vortici liberi che si staccano
dai due apici verso l’infinito a valle. Anche questi vortici hanno intensità Γ , come è mostrato
in Figura 3.9.
100
3.5 – Teoria della linea portante di un’ala isolata
Se l’allungamento del profilo alare è 2b, la velocità indotta ux◦ , prodotta dai vortici liberi su
un generico punto x◦ della linea portante, può essere calcolata come
ux◦ =
Γ
Γ
Γ
b
+
=
· 2
4π (b − x◦ ) 4π (b + x◦ )
2π b − x2◦
(3.21)
L’espressione (3.21) della velocità indotta su un punto della linea portante mostra, comunque,
che la velocità indotta diverrebbe nulla se l’allungamento fosse infinito. Se x◦ fosse uguale a
± b (punto di singolarità idrodinamica), la velocità diverrebbe infinitamente grande.
Figura 3.9.
Linea portante di un’ala di allungamento finito
Il legame tra portanza e circolazione, in base alla definizione di portanza ed in base alla legge
di Kutta–Žoukovsky, è dato da
1
1
⇒ Γ = CL ·c·V
L = ρ V 2 ·CL ·c·2b = ρ V Γ ·2b
2
2
che consente di dedurre che la circolazione è indipendente dall’allungamento dell’ala.
(3.22)
Sebbene questo modello semplice permetta di identificare chiaramente i vortici d’apice concentrati, la presenza di velocità infinite è del tutto teorica: si può affermare, quindi, che la rappresentazione dell’azione idrodinamica dell’ala mediante un singolo vortice d’intensità costante è
alquanto grossolana. In realtà, i vortici liberi non sono solamente quelli diffusi alle estremità
dell’ala. Si deve parlare piuttosto di uno strato di vortici liberi che abbandona l’ala nei punti
dove l’intensità del vortice concatenato varia in direzione dell’allungamento, come mostrato in
Figura 3.10.
In termini matematici, la velocità indotta in un punto x◦ dell’ala dal sistema di vortici liberi,
prodotto dai vortici concatenati di circolazione variabile è fornita dalla legge di Biot–Savart
ux◦ =
Z +b
−b
dΓ/dx
dx
4π (x − x◦ )
(3.23)
Si tratta ora di dimostrare come la circolazione incognita possa essere determinata a partire
dalle relazioni tra le caratteristiche del profilo bidimensionale, la portanza e la velocità indotta.
Il coefficiente di portanza di un profilo alare in un flusso potenziale bidimensionale è pari a
CL = 2πα (1 + 0.77 t/c), dove l’angolo d’incidenza α, espresso in radianti, è misurato dalla
101
3 – Fondamenti della teoria vorticale
linea di portanza nulla e dove il termine 0.77 t/c rappresenta l’effetto dello spessore sulla
pendenza della curva di portanza; questo valore è confermato da esperimenti su profili, purché
gli effetti viscosi siano trascurabili. In un flusso reale, tale termine diviene leggermente inferiore,
per effetto dello spessore del profilo e della viscosità del fluido; in tal caso, il coefficiente di
portanza può essere espresso come CL = a◦ ·α◦ , dove il valore di a◦ è di poco inferiore a 2π.
Si deve ricordare che su profili di spessore elevato gli effetti viscosi sono assai superiori a quelli
riscontrabili su profili sottili.
Figura 3.10.
Sistema vorticoso di un’ala con circolazione variabile
Poiché in un flusso tridimensionale l’angolo d’incidenza effettivo è α◦ = α − arctan(u/V ) '
α − u/V , si può formulare la circolazione come
Γ =
1
1
1
1
CL ·c·V = a◦ ·α◦ ·c·V = a◦ ·c·V (α◦ − u/V ) = a◦ ·c (α V − u)
2
2
2
2
(3.24)
Seguendo le indicazioni di Glauert, è conveniente introdurre una nuova variabile, la coordinata
angolare ϕ, che esprime la posizione del punto di controllo lungo la linea portante. Il semicircolo
di raggio b è suddiviso in un numero di settori circolari con angolo costante ϕ, i cui raggi
proiettati sull’asse dell’ala consentono di individuare le nuove coordinate fisiche (Fig. 3.11)
come
x = −b cos ϕ
con x = −b per ϕ = 0
Figura 3.11.
e
x = b per ϕ = π
Cambiamento di coordinate secondo Glauert
102
3.5 – Teoria della linea portante di un’ala isolata
Se si esprime la circolazione come sviluppo in serie di Fourier della variabile ϕ, utilizzando la
funzione seno, si ottiene
Γ (ϕ) = 4 b V
∞
X
an sin (nϕ)
(3.25)
n=1
che ha la proprietà di essere nulla alle estremità dell’ala per tutti i valori dei coefficienti an .
Si osservi che i contributi derivanti dai coefficienti pari a2 , a4 , . . . , porterebbero a distribuzioni asimmetriche della circolazione, per cui vanno considerati nulli nel caso di un’ala simmetrica.
Se si sostituisce la serie di Fourier nell’espressione integrale (3.23) che lega la velocità indotta,
u(ϕ◦ ), da un punto ϕ sulla linea portante alla circolazione in un punto sulla stessa linea
portante, definito dalla variabile ϕ◦ , si può ricavare la velocità indotta u(ϕ◦ ) come
u(ϕ◦ ) =
V
π
Z π
◦
Z
V π
π
◦
a1 cos ϕ
V
dϕ +
cos ϕ◦ − cos ϕ
π
Z π
◦
Z
V π
3a3 cos 3ϕ
dϕ +
cos ϕ◦ − cos ϕ
π
◦
2a2 cos 2ϕ
dϕ +
cos ϕ◦ − cos ϕ
4a4 cos 4ϕ
dϕ + . . .
cos ϕ◦ − cos ϕ
Questi integrali sono di tipo speciale, in quanto per ϕ = ϕ◦ il denominatore diviene nullo.
Fortunatamente possono essere risolti a partire dal valore principale di Cauchy, dando luogo ai
cosiddetti integrali di Glauert (1947) la cui soluzione generale è
Z π
◦
cos (nϕ◦ )
sin (nϕ◦ )
dϕ◦ = π
cos ϕ◦ − cos ϕ
sin ϕ◦
per cui la velocità indotta diviene
u(ϕ◦ ) = V
∞
a1 sin ϕ◦
2a2 sin 2ϕ◦
3a3 sin 3ϕ◦
V X
+V
+V
+ ...... =
n an sin (nϕ◦ )
sin ϕ◦
sin ϕ◦
sin ϕ◦
sin ϕ◦ n=1
Associando l’equazione (3.25) alla formulazione (3.24), che lega la circolazione alla velocità
indotta, e sostituendo in quest’ultima la soluzione generale per la velocità indotta, si ricava
(
∞
X
∞
V X
1
Γ = 4bV
an sin (nϕ) = a◦ c αV −
nan sin (nϕ)
2
sin ϕ n=1
n=1
da cui
4bV
ovvero
∞
X
∞
X
1
1
an sin ϕ sin(nϕ) = a◦ c α V sin ϕ − a◦ c V
n an sin (nϕ)
2
2
n=1
n=1
∞
X
an sin ϕ sin (nϕ) +
n=1
ed infine
)
∞ ·
X
n=1
∞
a◦ c
a◦ c X
α sin ϕ
n an sin (nϕ) =
8b n=1
8b
µ
an sin (nϕ) n
a◦ c
+ sin ϕ
8b
103
¶¸
=
a◦ c
α sin ϕ
8b
(3.26)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Quest’ultima è l’equazione fondamentale della teoria della linea portante da soddisfare in tutti
i punti lungo l’ala. I coefficienti a della serie di Fourier sono ottenibili risolvendo il sistema di
equazioni lineari per un certo numero di punti. Per effetto della simmetria, basta considerare
solamente l’intervallo (0 , π/2), osservando che le condizioni alle estremità dell’ala non forniscono alcuna informazione, poiché in questi punti la circolazione è nulla per definizione.
La forza totale di portanza dell’ala è desunta dalla legge di Kutta–Žoukovsky integrando la
circolazione lungo la sua lunghezza come
L=
Z +b
−b
2
ρ V Γ dx = 4 b ρ V
2
Z πX
∞
◦ n=1
an sin (nϕ) sin ϕ dϕ = 2π b2 ρ V 2 ·a1
(3.27)
Si osservi che nell’integrazione svaniscono i termini con n > 1, per cui il contributo alla portanza è determinato solamente dal coefficiente a1 .
La resistenza dell’ala consiste di due parti: la resistenza della sezione in moto bidimensionale
D◦ e la resistenza indotta Di . Quest’ultima è ricavata dalla relazione
Di =
Z +b
−b
ρ u Γ dx =
2π b2 ρ V 2
∞
X
Z π
◦
2
4b ρ V
2
"∞
X
n=1
#" ∞
X
nan sin (nϕ)
#
an sin (nϕ) dϕ =
n=1
n a2n
n=1
Si osservi che nell’integrazione il contributo dei termini misti della serie svanisce. La resistenza
indotta è determinata dalla somma dei quadrati dei coefficienti della serie di Fourier. Per una
portanza assegnata la resistenza minima si verifica, quindi, quando tutti i coefficienti sono nulli, tranne a1 che è richiesto per la portanza. La distribuzione della circolazione, che determina
questa condizione, è una funzione sinusoidale della variabile ϕ.
Nota la distribuzione della circolazione, si può calcolare la velocità indotta in ogni punto del
fluido. L’ala può essere progettata a partire da questi parametri del flusso. Grazie a questi
calcoli si ricava l’intensità del campo di flusso indotto, che determina non solo la variazione
dell’angolo d’incidenza su ogni sezione lungo l’ala, ma anche la variazione nella curvatura del
flusso incidente, come illustrato in Figura 3.12.
Figura 3.12.
Curvatura del flusso incidente
Questo effetto di curvatura è irrilevante per ali leggermente caricate di grande allungamento.
Per eliche con pale larghe, quali sono le eliche navali, questi effetti di curvatura non possono
104
3.6 – Proprietà delle velocità indotte
essere ignorati. Si dimostrerà più avanti che questi effetti di curvatura possono essere introdotti
praticamente come correzione della curvatura delle sezioni dei profili.
In alternativa, il flusso intorno ad una sezione di pala può essere calcolato come un flusso
incurvato. Anche quando l’ala è modellata da un singolo vortice, la curvatura del primo ordine
del flusso lungo la corda può essere calcolata a partire dalle velocità indotte del sistema di
vortici liberi con un’accuratezza sorprendente. Naturalmente, quando l’ala è rappresentata da
una serie di vortici concatenati lungo la sua lunghezza, gli effetti della curvatura lungo la corda
possono essere determinati con un’accuratezza ancora superiore.
3.6
Proprietà delle velocità indotte
Come è stato discusso in precedenza, a tutt’oggi lo schema della linea portante è quello applicato più diffusamente nella pratica progettuale. Secondo tale modello le pale dell’elica sono
sostituite con vortici concatenati rettilinei posti simmetricamente e perpendicolarmente all’asse
dell’elica, o con linee portanti di intensità variabile in direzione radiale. I filamenti vorticosi
liberi di intensità elementare sono considerati come linee elicoidali semi-inifinite, che formano
una superficie elicoidale di vortici liberi a valle di ogni linea portante. Per un sistema vorticoso di forma cosı̀ semplice, la determinazione delle velocità indotte può risultare semplificata
rispetto all’applicazione diretta del teorema di Biot-Savart, grazie all’utilizzo delle proprietà
descritte qui di seguito. La trattazione relativa è svolta nel sistema di coordinate cilindriche
E∗ (O, x∗ , r) solidale con l’elica rotante, nell’ipotesi che l’asse x∗ sia diretto lungo l’asse dell’elica
nel verso della scia.
Proprietà 1
La velocità indotta dai filamenti vorticosi concatenati sistemati in maniera simmetrica è nulla
sui punti sistemati all’infinito dietro l’elica e sui punti della linea portante. Tale proprietà
può essere dimostrata grazie al teorema di Biot–Savart. Nella successiva derivazione della formula per i fattori di induzione sarà utilizzato l’effetto diretto di questa proprietà, ossia per i
punti che giacciono sulla linea portante e per quelli che si trovano all’infinito dietro l’elica le
velocità indotte sono prodotte solamente dall’induzione prodotta dalle superfici dei vortici liberi.
Proprietà 2
In un’elica isolata la componente tangenziale media ũt della velocità indotta lungo un circolo
di raggio assegnato è ovunque nulla all’esterno del cilindro semi-infinito che racchiude la scia
vorticosa. mentre entro il cilindro è determinata in base alla formula
ũt =
Z ·Γ (r)
2πr
che è valida per x∗ > 0 e 0 < r ≤ R.
105
(3.28)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Questa proprietà può essere dimostrata in base alla relazione (3.1), scegliendo un contorno
circolare chiuso di raggio r che ha centro sull’asse x∗ ed è perpendicolare a questo asse. Ogni
volta che viene attraversata la superficie dei vortici liberi, la circolazione aumenta di Γ (r). La
direzione positiva di attraversamento ed il valore positivo ~ut sono considerati coincidenti con
la direzione di rotazione dell’elica.
Questa seconda proprietà mostra che al di fuori del cilindro considerato, ossia davanti all’elica,
non esiste alcuna velocità media tangenziale, ma che essa è presente entro la scia. Questo
fatto è stato verificato sperimentalmente. Secondo tale proprietà la velocità media tangenziale
aumenta in modo discontinuo quando si attraversa il disco–elica, dal valore nullo ad un valore
che si conserva fino all’infinito a valle. Sul disco–elica, ossia nel piano delle linee portanti, si
considera in prima approssimazione che la componente tangenziale media della velocità indotta,
ũtd , è pari alla metà del salto di discontinuità, per cui si ipotizza che sia
ũtd =
Z ·Γ (r)
4πr
(3.29)
Il valore considerato della velocità tangenziale è quello ottenuto dalla media lungo un circolo
di raggio equivalente, per cui generalmente tale valore non coincide con il valore utd di questa
componente nel punto considerato della linea portante. Il rapporto tra ũtd e utd , calcolato
per l’elica con distribuzione ottimale della circolazione secondo Prandtl, è detto correzione per
numero finito di pale o fattore di Goldstein
ũt
κ= d
(3.30)
u td
Il termine correzione indica che al crescere del numero di pale Z il fattore di Goldstein tende
all’unità, e che per la cosiddetta elica ideale con un numero infinito di pale è uguale ad uno. Va
osservato che utd non è necessariamente il valore massimo della componente trasversale della velocità indotta per i punti del circolo di raggio assegnato, per cui non è sempre vero che sia κ ≤ 1.
Una conseguenza della formula (3.29) è la riduzione della circolazione Γ (r) vicino all’asse
dell’elica quando non esista il mozzo, ossia
dΓ
=0
per r = 0
(3.31)
dr
il che garantisce che ũtd tende a zero vicino all’asse dell’elica in base ad una legge lineare del
tipo A r, dove A è la costante di riduzione.
Γ (r) = 0
;
Proprietà 3
Ad ogni raggio le componenti assiale e tangenziale della velocità indotta sui punti della linea portante e sui punti della superficie libera vorticosa all’infinito dietro l’elica sono legate
rispettivamente dalle relazioni
ux∞ (r) = 2 uxd (r)
(3.32)
ut∞ (r) = 2 utd (r)
(3.33)
106
3.6 – Proprietà delle velocità indotte
Queste ultime espressioni sono simili a quelle del teorema di Froude–Finsterwalder derivato in
forma differenziale per l’elica ideale leggermente caricata. Questa proprietà può essere dimostrata confrontando il campo di velocità prodotto da filamenti vorticosi elicoidali regolari liberi
all’infinito con quello generato da filamenti vorticosi elicoidali regolari semi-infiniti. È possibile
utilizzare le formule del metodo dei fattori di induzione nello schema lineare della scia vorticosa,
quando si determinino le velocità indotte non solo sui punti della linea portante ma su tutti i
punti della superficie dei vortici liberi posti all’infinito dietro l’elica.
Proprietà 4
La componente radiale della velocità indotta è nulla per i punti della superficie dei vortici liberi
all’infinito dietro l’elica. Quando questa superficie viene attraversata in direzione normale, la
componente radiale presenta un salto il cui valore è pari alla semisomma del valore superiore
e di quello inferiore.
Proprietà 5
Il potenziale Φ del campo di velocità indotto dalla superficie dei vortici liberi sotto forma di
un elicoide infinito lungo l’asse x∗ , definito per i punti che giacciono su questa superficie, è
funzione solamente del raggio quando si attraversi la superficie dall’alto verso il basso. Ciò è
evidente se si considera che due superfici vorticose libere ed eguali possono coincidere dopo
uno spostamento lungo x∗ , variando il segno di una di esse e ruotandola intorno all’asse x∗ .
Di conseguenza, ed a causa della loro mutua compensazione, si ottiene un valore nullo del
potenziale in tutto il dominio. E ancora, la componente tangenziale della velocità indotta è
nulla all’infinito per i punti situati sulle superfici dei vortici liberi.
Proprietà 6.
Il vettore della velocità indotta per i punti delle superfici vorticose libere all’infinito dietro
l’elica, trascurando la componente radiale sui punti della linea portante, è perpendicolare alla
superficie dei vortici liberi, ossia
ut∞
ut
= d = tan βw
(3.34)
ux∞
uxd
dove βw è l’angolo di passo della superficie libera vorticosa. Questa proprietà è conseguenza
della precedente e per i punti della linea portante anche della proprietà 3. Va osservato che
nonostante il fatto che il potenziale Φ stesso abbia una discontinuità sui punti che giacciono
sulla superficie dei vortici liberi, la sua derivata normale e, quindi, anche la componente normale
della velocità indotta, è continua e non presenta discontinuità.
107
3 – Fondamenti della teoria vorticale
3.7
Modelli di funzionamento dell’elica
Gli sviluppi dei metodi teorici per il calcolo delle caratteristiche idrodinamiche di un’elica navale, basati sui modelli matematici dell’elica, hanno progredito e continuano a progredire, grazie
ai continui potenziamenti dell’hardware ed all’affinamento delle tecniche numeriche. Contestualmente sono stati proposti diversi modelli matematici, sempre più complessi ed accurati,
per descrivere e determinare il funzionamento dell’elica.
I modelli matematici utilizzati per la previsione numerica delle prestazioni di un’elica - metodi
della linea e della superficie portante, metodi a griglie di vortici, metodi a pannelli, risolutori
RANS - non sono fra loro alternativi ma complementari. I metodi della linea e della superficie
portante sono fondamentalmente strumenti progettuali, in quanto il loro punto forte consiste
nella determinazione della geometria più idonea a produrre le forze richieste. Gli altri metodi
vengono utilizzati come strumenti di analisi, specialmente per quanto riguarda il controllo della
cavitazione: consentono di prevedere la distribuzione di pressione sulle pale e possono servire
anche per affinare la geometria di pala.
In generale, i modelli che descrivono il funzionamento delle eliche navali affrontano il problema
inverso, ossia il progetto, basandosi sulla determinazione del flusso potenziale ed introducendo
successivamente le correzioni per viscosità. Viceversa, nel problema diretto, che è quello relativo
all’analisi delle prestazioni, la geometria dell’elica è definita: l’obiettivo primario è il calcolo
del carico risultante e delle condizioni cavitative.
Il problema diretto viene formulato ipotizzando che l’elica operi in un fluido incompressibile
ed illimitato, e che il flusso rappresenti il campo fluido effettivo nell’interazione elica–carena.
Tale campo viene definito rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano fisso, mentre l’elica,
il cui asse coincide con uno degli assi del riferimento fisso, viene definita rispetto ad un sistema
di riferimento in rotazione. Si ipotizza che l’elica abbia un certo numero di pale identiche tra
loro e calettate simmetricamente intorno al mozzo, e che ruoti a velocità costante. Il mozzo
viene idealizzato come un corpo assial–simmetrico, oppure viene ignorato come avvenne spesso
per molti dei primi modelli teorici.
La soluzione del problema idrodinamico relativo alla definizione del potenziale di velocità sulla
superficie di pala può essere espresso, analogamente ad ogni altro problema relativo ad un fluido
incompressibile intorno ad un corpo portante, mediante un integrale di superficie che utilizzi
la formula di identità di Green. Nell’analisi, questa formulazione generalizzata del problema
dell’elica può essere tradotta in una distribuzione di vorticità e di sorgenti sulle pale, in combinazione con una distribuzione di vortici liberi nella scia dell’elica, i quali individuano gli strati
vorticosi emananti dalle pale. Tale distribuzione, definita in base alla geometria della superficie
di pala, rappresenta idrodinamicamente la condizione al contorno del flusso. In alcune formulazioni, la distribuzione di vorticità viene sostituita da una distribuzione equivalente di dipoli
normali in modo tale che la circolazione dei vortici sia equivalente alla derivata dell’intensità
dei dipoli. La definizione del problema diretto viene completata imponendo la condizione di
Kutta sul bordo di uscita, ossia definendo precisamente la posizione nello spazio degli strati
108
3.7 – Modelli di funzionamento dell’elica
vorticosi, ed introducendo, infine, le correzioni approssimate per viscosità sulla base della teoria
dello strato limite.
Mentre il problema progettuale può essere trattato, in prima istanza, per una condizione media del flusso incidente, il problema dell’analisi dell’elica richiede una formulazione matematica
complessa, la cui soluzione è stata affrontata solo in tempi relativamente recenti grazie alle
accresciute capacità computazionali ed allo sviluppo di tecniche numeriche. Tuttavia, esistono
esempi lontani di soluzioni, quale l’approccio analitico di Strešeletzky, che ottenne risultati accurati utilizzando un esercito di assistenti tecnici armati di calcolatori manuali. Come discusso
in precedenza, la soluzione del problema dell’elica è essenzialmente simile a quella di qualsiasi
altro problema di flusso incompressibile intorno ad un corpo tridimensionale; in particolare,
esiste una stretta correlazione tra l’ala subsonica delle aeromobili e la dinamica dell’elica navale,
cosı̀ che quest’ultima deve molti suoi sviluppi alla teoria aerodinamica. Tuttavia, nonostante le
somiglianze, esistono differenze significative, tra le quali le principali sono dovute alla natura
elicoidale del flusso dell’elica navale ed al rapporto di allungamento alquanto ridotto delle sue
pale.
Nel prosieguo sono descritti sommariamente i fondamenti di alcune teorie dell’elica, i cui modelli di azione sono riconducibili ad uno dei tre gruppi seguenti:
1. modelli che utilizzano la teoria della linea portante;
2. modelli che utilizzano la teoria della superficie portante;
3. modelli a pannelli ed altri metodi numerici.
3.7.1
Linea portante
La teoria della linea portante fornisce probabilmente il modello matematico più semplice per
descrivere il funzionamento dell’elica, in quanto ipotizza che ogni pala sia rappresentata da
un’unica linea vorticosa, la cui intensità può variare da sezione a sezione, trascurando cosı̀ l’estensione della pala lungo la direzione della corda. La linea continua in direzione radiale, sulla
quale agiscono i vortici, è detta linea portante; normalmente si suppone che passi attraverso
i centri aerodinamici delle sezioni, anche se spesso, soprattutto nel passato, veniva collocata
sulla generatrice di pala.
Nel caso più semplice si può sostituire l’azione esercitata da ogni sezione di pala sul flusso di
corrente con un vortice concatenato. Nell’ipotesi che in tutte le sezioni si produca una identica
forza di portanza, la circolazione del vortice concatenato sarà invariabile lungo tutta la pala.
Agli apici di pala i vortici concatenati si trasformano in due vortici di estremità che hanno
la stessa intensità di circolazione del vortice concatenato e che si allontanano all’infinito. Si
ottiene cosı̀, per l’ala di allungamento finito, uno schema vorticoso semplice che ha la forma di
un vortice seminfinito ad ‘U’ (horse–shoe vortex ) con circolazione costante lungo tutta la sua
lunghezza (Fig. 3.13a).
109
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Tuttavia, è più rispondente alla realtà supporre che le diverse sezioni di pala creino una forza di
portanza variabile lungo il raggio. In base al teorema di Žoukovsky, ciò significa che l’intensità
di circolazione del vortice concatenato varia da una sezione all’altra, per cui è Γ = Γ (r). In
definitiva, data una pala che presenti una variazione continua della circolazione in direzione
radiale, si forma uno strato vorticoso costituito da vortici liberi elementari. Lo schema vorticoso
di pala composto da un vortice concatenato di intensità radialmente variabile e di uno strato
seminfinito di vortici liberi costituisce il vero modello di linea portante (Fig. 3.13b).
Figura 3.13.
Modelli di linea portante
Poichè l’intensità dei vortici concatenati varia in direzione radiale, per soddisfare il teorema di
Helmholtz i vortici liberi vengono diffusi nella corrente a valle, a forma di ferro di cavallo, dai
vortici concatenati lungo la linea portante con circolazione elementare
dΓf =
∂Γb
dr
∂r
(3.35)
dove Γf è l’intensità del vortice libero e Γb è l’intensità del vortice concatenato alla posizione
radiale r.
Il concetto di linea portante è del tutto adeguato per le eliche delle aeromobili e per le pale del
rotore degli elicotteri grazie al loro elevato rapporto di allungamento. Ma per le eliche navali,
che hanno bassi rapporti di allungamento e, quindi, forti effetti tridimensionali sulle loro pale
larghe, questo approccio, per quanto semplice, presenta imprecisioni rilevanti soprattutto nel
caso di eliche svirgolate, a meno di non introdurre le cosiddette correzioni per superficie portante.
Tale modello matematico dell’elica viene correntemente applicato nel progetto preliminare di
eliche subcavitanti leggermente caricate. È in grado di tenere conto sia delle perdite rotazionali
che di quelle viscose, utilizzando per queste ultime formule empiriche di correzione. Nelle eliche
moderatamente caricate l’entità delle velocità indotte risultano non trascurabili rispetto alla
velocità del flusso indisturbato, per cui è necessario introdurre alcune approssimazioni per risolvere il problema della combinazione del vettore del flusso indisturbato con la velocità indotta
dallo stesso sistema di vortici che si distaccano.
Betz (1929) aveva ricavato che per un’elica di rendimento ottimale gli strati di vortici liberi
formano vere superfici elicoidali, tutte di passo costante, per le quali la risultante delle velocità indotte è sempre normale al vettore della velocità risultante. Tutte le teorie sviluppate
successivamente utilizzano queste ipotesi per il calcolo delle velocità indotte anche quando la
distribuzione radiale del carico non sia quella ottimale (Eckhardt & Morgan, 1955). Viceversa,
110
3.7 – Modelli di funzionamento dell’elica
nel suo metodo di calcolo Lerbs (1952) aveva ipotizzato più semplicemente che gli strati dei vortici liberi fossero composti da linee vorticali cilindriche ciascuna con angolo di passo costante,
consentendo quindi di considerare flussi variabili radialmente e distribuzione di circolazione
non ottimali. In questo modo, il metodo dei fattori di induzione, da lui introdotto, consente di
calcolare direttamente le velocità indotte assiali e tangenziali, e di tenere conto dell’effetto del
mozzo.
3.7.2
Superficie portante
Il semplice schema della linea portante consente di determinare l’inclinazione del flusso sul
vortice concatenato nel punto in cui la portanza agisce sulla sezione. Ma poiché le velocità
indotte e quindi l’inclinazione del flusso variano lungo la corda di una sezione, il flusso tra le
pale, oltre che inclinato, risulta essere anche incurvato. Ne consegue che, per determinare le
caratteristiche idrodinamiche di un’elica, non è sufficiente considerare la sola inclinazione sul
punto di calcolo della portanza, ma anche la curvatura del flusso a valle dell’elica. Questa
condizione impone che la pala sia sostituita da strati di vortici concatenati.
Ne è derivata una rappresentazione più adeguata del funzionamento idrodinamico della pala,
descritta mediante il modello della superficie portante, nel quale, in prima istanza, si ipotizza
che le pale dell’elica siano molto sottili. Questo metodo venne sviluppato per applicare la teoria
vorticale alle eliche pesantemente caricate e con pale molto larghe, allo scopo di minimizzare
i problemi di cavitazione e di vibrazioni tipici dei propulsori che assorbono potenze elevate
e di quelli che operano a bassi indici di cavitazione. Anziché modellare la sezione portante
con un singolo vortice concatenato, come nel caso della linea portante, ogni profilo alare viene
sostituito da uno strato vorticoso concatenato, mediante il quale si possono derivare le sue
caratteristiche di portanza in maniera analoga a quanto illustrato nella teoria dei profili alari
sottili. La distribuzione di circolazione sulla superficie portante è arbitraria sia in direzione
radiale che lungo le corde delle singole sezioni di pala. L’intensità dei vortici viene determinata
risolvendo l’equazione integrale di Fredholm del primo tipo, imponendo sia la condizione cinematica che quella dinamica sulla superficie di pala, nonché la condizione di Kutta sul bordo di
uscita delle singole sezioni.
La teoria della superficie portante linearizzata fu applicata inizialmente alle pale ‘quasi piane’ con piccola curvatura, investite da un flusso uniforme con piccoli angoli d’incidenza (Pien,
1961; Tsakonas et al., 1973). Successivamente la teoria della superficie portante fu estesa per
tenere conto sia dello ‘skew’ e del ‘rake’, sia del flusso stazionario non–uniforme ad un angolo
d’incidenza arbitrario (Greely & Kerwin, 1982). Nelle modellazioni più recenti, la distribuzione
di vorticità viene collocata intorno al contorno del profilo alare per tenere conto degli effetti
dello spessore della sezione.
È stato dimostrato che l’azione di un profilo alare sottile in flusso uniforme può essere modellata mediante uno strato vorticoso di vortici concatenati, disposti lungo la sua linea mediana
con gli assi diretti lungo la direzione radiale di pala. Nel caso di una pala di allungamento
111
3 – Fondamenti della teoria vorticale
finito, l’intensità γ di questo strato vorticoso varierà non solamente lungo il raggio di pala ma
anche lungo la corda, per cui è γ = γ(x, r). I vortici liberi con circolazione dγ si staccano
nella scia da tutti i punti del bordo di uscita della superficie di pala dove esiste tra faccia e
dorso una variazione della componente radiale delle velocità, formando cosı̀ dietro la pala un
complesso strato vorticoso. Lo schema vorticoso della superficie portante si compone, quindi,
dello strato di vortici concatenati sulla superficie di pala e di uno strato di vortici liberi di
intensità variabile (Fig. 3.14).
Tale modellazione consente di valutare più correttamente la distribuzione di pressione sulla
pala con effetti immediati sulla qualità della stima della cavitazione. I modelli di questo tipo
presentano un livello di complessità numerica maggiore di quello proposto dal concetto di linea
portante. Comunque, forniscono un compromesso attraente tra i modelli più semplici e un
modello completo di vorticità di superficie.
Figura 3.14.
Modello di superficie portante
Rispetto al modello della linea portante, in questo approccio le correzioni sono limitate agli
effetti viscosi. Il metodo mostra una buona convergenza numerica al crescere del numero degli
elementi vorticosi.
3.7.3
Griglie di vortici
I modelli a griglie di vortici (vortex–lattice) rappresentano una sottoclasse dei modelli di superficie portante. Consentono di calcolare le forze stazionarie e non–stazionarie sulle pale di
un’elica tenendo conto degli effetti prodotti dallo spessore e dal volume di pala.. Una tale
modellazione, sufficientemente flessibile da permettere di rappresentare qualunque geometria
di pala e, quindi, in grado di trattare numericamente il flusso intorno a qualsiasi elica, è molto
efficace per il calcolo e l’analisi della cavitazione. Un reticolo di vortici tridimensionali è costruito mediante elementi vorticosi a ferro di cavallo, che possono essere combinati per ricoprire
la superficie incurvata della pala (Kerwin & Lee, 1978; Ikehata et al., 1984; Szantyr, 1984; Choi
& Kinnas, 2001).
Un possibile schema di modellazione è rappresentato in Figura 3.15, dove le linee continue
sono la vera e propria discretizzazione di pala descritta da vortici rettilinei uniti l’uno all’altro,
mentre le linee tratteggiate modellano la scia dell’elica mediante l’avvolgimento lungo linee
112
3.7 – Modelli di funzionamento dell’elica
elicoidali dei vortici a ferro di cavallo che si chiudono all’infinito. Verso l’apice il modello a
griglie di vortici degenera in quello della linea portante. Le distribuzioni continue di (sorgenti
e) vortici vengono sostituite da un numero finito di elementi rettilinei di intensità costante, i
cui punti terminali si trovano sulla superficie di curvatura della pala. I vortici posti lungo brevi
tratti in direzione radiale generano il salto di pressione locale tra faccia e dorso della superficie
di pala. Le loro posizioni lungo la corda vengono stabilite mediante lo schema ‘cosinusoidale’,
già utilizzato per la determinazione dell’intensità dei vortici nella teoria dei profili alari sottili.
Figura 3.15.
Modello a griglie di vortici
Le velocità nei punti di controllo sulla pala, definiti al centro di ogni pannello, sono espressi in
funzione delle intensità incognite dei vortici discreti posizionati sulla curvatura della superficie.
Queste intensità vengono calcolate applicando la condizione di tangenza del flusso su ogni punto
di controllo. Il flusso viene determinato utilizzando un sistema discreto, anziché continuo,
di singolarità sulle pale, il che rende i calcoli numerici in qualche misura meno onerosi. La
distribuzione radiale di circolazione viene ottenuta sommando la circolazione dΓm,n di tutti i
vortici a ferro di cavallo situati sullo stesso raggio
Γ (rm ) =
N
X
dΓm,n
n=1
Questo metodo è vantaggioso in quanto è relativamente facile modellare la geometria della scia
vorticosa dietro l’elica ed in quanto soddisfa la condizione di Kutta automaticamente facendo
convergere i vortici liberi. Poiché non è necessario che l’esistenza del potenziale venga assunta
nel flusso circostante la griglia di vortici, è possibile estendere la teoria ad un’elica operante in
flusso viscoso.
È stato dimostrato, inoltre, che sulla pala di riferimento va applicata una discretizzazione densa
ed accurata di griglie di vortici, mentre per le pale rimanenti è sufficiente una modellazione più
grossolana senza che questa infici i risultati.
113
3 – Fondamenti della teoria vorticale
3.7.4
Metodi a pannelli
La teoria della superficie portante e le sue varianti, quale è il metodo delle griglie di vortici,
costituiscono attualmente gli approcci più utilizzati per l’analisi delle eliche navali. Tuttavia,
queste teorie sono adeguate solamente per una pala sottile, ossia per una superficie semplicemente incurvata, ma richiedono approssimazioni complicate per tenere conto correttamente
dell’effetto di uno spessore non trascurabile.
Per superare questa limitazione e per giungere al concetto di vorticità completa di superficie
sono stati sviluppati metodi a pannelli, miranti a fornire uno strumento di soluzione sia al
progetto dell’elica che all’analisi delle sue prestazioni. Il problema principale da risolvere è
l’adozione di un adeguato schema di discretizzazione della distribuzione del potenziale sulla
superficie di pala e nella scia a valle (Kerwin et al., 1987).
Va precisato che rispetto ai metodi della superficie portante, i metodi a pannelli riducono gli
errori e le inaccuratezze in prossimità del bordo di ingresso e del mozzo. Hanno avuto origine
nell’industria aerospaziale e sono stati introdotti per la prima volta nell’analisi idrodinamica
delle eliche operanti in flusso stazionario da Hoshino (1989), che ha modellato le pale ed il
mozzo con un numero limitato di pannelli quadrilateri aventi distribuzionim costanti di sorgenti
e vortici, nonchè lo strato vorticoso nella scia dell’elica con pannelli simili aventi distribuzioni
costanti di doppiette (Fig. 3.16).
Figura 3.16.
Sketch di una discretizzazione a pannelli
In questi metodi la superficie di pala viene discretizzata mediante un numero finito di pannelli
vorticosi, distribuiti sia sulla faccia che sul dorso, sui quali vengono distribuite le singolarità
idrodinamiche e sui quali viene applicata la condizione al contorno cinematica (Fig. 3.17). Su
ogni pannello la densità di circolazione varia linearmente tra le sue due estremità. Sul bordo di
uscita viene imposta la condizione di Kutta, che risulta essere generalmente stabile tranne che
sui profili alari con bordi di uscita a cuspide e/o quando si discretizzi con un eccessivo numero
di pannelli.
I punti di calcolo ed i punti di controllo sono collocati sulla superficie del profilo. Sui punti di
controllo, posti a metà lunghezza del pannello, viene imposta la condizione di impermeabilità.
114
3.7 – Modelli di funzionamento dell’elica
Utilizzando questo approccio, per un sistema di m pannelli vorticosi, il potenziale di velocità
sull’imo punto di controllo (xi ,yi ) è dato da
φ(xi ,yi ) = V◦ (xi cos α + yi sin α) −
m Z
X
γ(sj )
j=1
2π
Ã
−1
tan
yi − yj
xi − xj
!
dsj
dove l’intensità vorticosa alla posizione sj del generico pannello di lunghezza Sj viene ricavato
come
sj
γ(sj ) = γj + (γj+1 − γj )
Sj
Il numero di pannelli utilizzati per la modellazione dipende dal rapporto di spessore, e va scelto
con l’obiettivo di stabilizzare la soluzione numerica.
Figura 3.17. Modello a pannelli
Utilizzando i metodi a pannelli, le previsioni delle prestazioni delle eliche sono generalmente in
buon accordo con i risultati sperimentali, in quanto la distribuzione di pressione viene determinata alquanto correttamente. In maniera simile ai metodi classici bidimensionali, i metodi
a pannelli vorticosi possono essere estesi a problemi tridimensionali, sebbene siano molto più
onerosi dal punto di vista computazionale.
3.7.5
Metodi RANS
Negli anni ’80 si ebbe uno sviluppo notevole nell’applicazione di risolutori delle cosiddette
equazioni di Reynolds Averaged Navier Stokes (RANS) per il calcolo del campo di flusso viscoso e turbolento intorno ai propulsori navali. Furono introdotti metodi basati su tecniche alle
differenze finite per la risoluzione delle equazioni RANS per flussi incompressibili e stazionari
(Tzabiras et al., 1986). Lo stesso approccio fu utilizzato per calcolare il flusso assialsimmetrico
intorno ad eliche libere ed intubate, da combinare con la parte fluttuante del flusso ottenuto
con un metodo basato su griglie di vortici (Kerwin et al., 1987).
L’applicazione di metodi RANS riguarda la determinazione della spinta e del momento torcente dell’elica, nonché del flusso tridimensionale intorno al propulsore. Il completamento del
sistema di equazioni risultanti viene ottenuto introducendo adeguati modelli di turbolenza che
legano le velocità fluttuanti del fluido con le velocità medie nel tempo. Esistono tuttavia parecchi problemi non risolti, dipendenti fondamentalmente dai modelli di turbolenza utilizzabili
115
3 – Fondamenti della teoria vorticale
e dalla qualità della modellazione della scia vorticosa dietro la pala. I modelli di turbolenza più
popolari sono il modello k–ε ed il modello Baldwin–Lomax. Per il calcolo delle velocità e della
pressione del campo, i due parametri del modello k–ε richiedono la risoluzione di due ulteriori
equazioni alle derivate parziali da accoppiare alle tre equazioni della variazione della quantità
di moto ed all’equazione di continuità.
I risultati relativi al calcolo del coefficiente di pressione, in regime turbolento, per un profilo
NACA sono riportati in Figura 3.18 a due differenti angoli d’incidenza.
Figura 3.18.
Distribuzioni di pressione intorno al profilo NACA 4412
La corrispondenza con i valori sperimentali sono soddisfacenti; la minore accuratezza dei valori
sul dorso per α = 13.87o è dovuta al fatto che tale angolo d’incidenza è vicino all’angolo di
stallo del profilo alare. Non si conoscono a tutt’oggi risultati circa l’effetto della presenza di una
bolla di separazione laminare e la determinazione del punto di transizione da flusso laminare a
flusso turbolento.
Le applicazioni attuali riguardano eliche libere ed eliche intubate, spintori azimutali e sistemi
pod. Le previsioni del campo di flusso sono effettuate in scala modello nel caso di flusso
uniforme ed in condizioni non–cavitanti. Le estensioni a simulazioni in flusso non–uniforme
e ad analisi di flusso cavitante sono ancora in una fase iniziale di sviluppo, per cui non sono
ancora disponibili applicazioni pratiche.
3.8
Teoria della linea portante di un’elica
In generale, le diverse varianti della teoria della linea portante sono fondate sullo stesso modello matematico fondamentale, ma hanno utilizzato ipotesi differenti per ottenere le soluzioni
numeriche. Le condizioni al contorno sulle pale dell’elica sono linearizzate, mentre la pala e la
scia elicoidale sono sostituite da sistemi vorticosi.
Come mostrato in Figura 3.19, ogni pala dell’elica può essere considerata come una superficie portante con una specifica distribuzione di vortici concatenati e di vortici liberi. Si può
116
3.8 – Teoria della linea portante di un’elica
esaminare, quindi, il caso limite nel quale la corda si estingue, rappresentato sul lato destro
della figura. Come nel caso di un’ala piana, lo strato di vortici concatenati si riduce ad un
singolo vortice concatenati di circolazione Γ (r) su ogni pala. Poiché tutte le pale hanno la
stessa distribuzione di circolazione in un flusso circonferenzialmente uniforme, si può scegliere
una pala, o una linea portante, come pala di riferimento (‘key blade’).
La vasta applicazione della teoria della linea portante è legata alla sua semplicità ed alla
precisione sufficientemente alta, ottenibile se si utilizzano opportune correzioni che tengano
conto della viscosità del fluido e della geometria delle sezioni di pala.
Figura 3.19.
Illustrazione del concetto di linea portante
Nella teoria della linea portante si introducono tre gruppi di ipotesi: due di carattere generale
ed uno concernente i vortici liberi e quelli concatenati. Le ipotesi generali sono state illustrate
in precedenza. Va sottolineato solamente che il moto del fluido viene considerato stazionario
nel sistema di coordinate cilindriche E∗ solidale all’elica.
Per quanto riguarda i vortici concatenati, si suppone che ogni pala sia modellata mediante
una sezione rettilinea del nucleo vorticoso posta in direzione radiale, detta linea portante, di
intensità Γ (r) variabile lungo il raggio. L’equazione della k ma linea portante per un’elica di Z
pale nel sistema di coordinate cilindriche ha la forma
x∗ = 0 ;
rh ≤ r ≤ R ;
θk = 2πk/Z
(k = 0, 1, . . . , Z − 1)
(3.36)
dove rh ed R sono rispettivamente i raggi del mozzo e dell’elica, k è il numero della linea
portante e della pala corrispondente, mentre θk è la coordinata angolare corrispondente ad un
punto della k ma pala.
Ad ogni raggio l’intensità del nucleo vorticoso concatenato dovrebbe essere uguale alla circolazione della velocità che si manifesta intorno alla sezione di pala, modellata dall’elemento
del nucleo vorticoso considerato. Circa l’intensità Γ (r), si ipotizza che essa sia una funzione
sufficientemente avviata del raggio, tendendo a zero verso l’apice, ossia Γ (R) = 0.
117
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Per quanto riguarda i vortici liberi, si suppone quanto segue. Innanzi tutto, poiché un vortice
libero non è soggetto ad alcuna forza, la sua direzione coincide, in base ad una legge fondamentale della teoria di un’ala, con quella del moto risultante relativo al sistema portante, per
cui, nel caso di un’elica, una linea vorticosa libera ha generalmente forma elicoidale. Si ipotizza, quindi che tutti i filamenti vorticosi liberi che si staccano dalla linea portante formino
una superficie vorticosa seminfinita (superficie dei vortici liberi) con una densità superficiale
~γ dei vortici. Si suppone pure che tra i vortici liberi non esistano nuclei vorticosi di intensità
finita, e che, qualora esistano, ne esista uno solo, di intensità Γ (rh ) per ogni pala giacente sulla
superficie del mozzo cilindrico seminfinito.
In secondo luogo, si suppone che ogni filamento vorticoso elementare libero, che può essere
estratto dalla superficie suddetta, abbia la forma di un elicoide regolare seminfinito di passo
costante lungo l’asse e che giaccia completamente sulla superficie di un cilindro di raggio costante. Nel sistema E∗ di coordinate cilindriche, l’equazione di tale elicoide per un filamento
vorticoso che inizi in un punto di coordinate x∗ = 0, r = r◦ , θ = 0 della linea portante zero, ha
la forma
h θ◦
x∗ = −
; r = r◦ ; 0 ≤ θ ≤ ∞
(3.37)
2π
dove h è il passo dell’elicoide.
L’ipotesi suddetta equivale a dire che sui punti della superficie vorticosa il vettore ~γ è diretto
lungo gli elicoidi tangenti mantenendovi costante il modulo. Entro questo schema, il flusso
dell’elica è concepito come ‘indotto’ dalle linee portanti e dagli strati di vortici liberi, la cui
induzione è determinabile mediante la legge di Biot–Savart oppure, più generalmente, mediante
l’equazione di Laplace. Pertanto il calcolo dell’intensità e della direzione del flusso sulla linea
portante non può essere immediato poiché è necessario combinare il vettore del flusso indisturbato con la velocità indotta dallo stesso sistema di vortici che si distaccano.
In terzo luogo, per tenere conto del campo di velocità non-uniforme presente a poppavia della
~w
carena, si introduce un campo di velocità esterno, ossia il campo di velocità della scia V
prodotta dalla carena e dalle sue appendici. Tenendo conto del campo di velocità di scia, la
formula (3.14) diviene
~w = V
~E + V
~R
~u + V
(3.38)
~E = −V ~ix + ωr ~it
V
(3.39)
dove le componenti del vettore velocità di scia sono Vwx = V ·wx , Vwt = V ·wt , mentre ~ix e ~it
sono i versori nel punto considerato del sistema E∗ di coordinate cilindriche.
Nell’ipotesi di assenza della componente radiale della velocità indotta, la Figura 3.20 mostra
il diagramma delle velocità, che rappresenta geometricamente le relazioni (3.38) e (3.39), e
che fotografa la situazione del flusso al raggio r per la linea portante. Per semplicità, d’ora
in avanti non viene più utilizzato il segno di asterisco per l’asse x∗ , mentre il pedice d continua a significare che il punto di controllo sulla linea portante è situato nel piano del disco–elica.
118
3.8 – Teoria della linea portante di un’elica
A questo punto, per rimuovere la possibile contraddizione tra quanto detto circa il presunto
regime stazionario ed il potenziale all’esterno del sistema vorticoso, si introducono i concetti
di flusso quasi–stazionario e di flusso quasi–potenziale. Quest’ultimo concetto consente l’applicazione di relazioni valide per un flusso potenziale al di fuori del sistema vorticoso. Ciò è
valido per un flusso di bassa vorticità a causa dell’irregolarità del campo di velocità Vw . Se si
considera il problema inverso (progetto dell’elica), la scia viene mediata circonferenzialmente,
giacché in questo caso è impossibile considerare la disomogeneità circonferenziale.
In quarto luogo, viene assunto radialmente costante il passo dei filamenti vorticosi liberi semi–
infiniti che, in base alle relazioni (3.32), sono elicoidi regolari; tale passo è pari a
hw
= πλw
(3.40)
2R
dove λw è il valore assegnato, indipendente dal raggio, del passo della scia vorticosa elicoidale,
ossia il passo dei vortici liberi.
Figura 3.20.
Diagramma vettoriale delle velocità
Questa ipotesi corrisponde allo schema lineare generalizzato per il quale, in generale, non è
soddisfatta la condizione formulata in precedenza (Teorema l) circa la disposizione dei vortici
liberi lungo le linee di corrente del moto relativo. Comunque, nel caso di carico idrodinamico
~E | ed il valore
leggero, quando le velocità indotte e le velocità di scia sono piccole rispetto a |V
del rapporto (λtv − λw )/λtv è piccolo rispetto all’unità, il Teorema 1 è soddisfatto in prima
~w
approssimazione. Infatti, in questo caso è possibile trascurare nella relazione (3.38) ~u e V
~R = V
~E ; ossia, in prima approssimazione, i vortici liberi devono coincidere o, per
ottenendo V
essere più precisi, essere vicini alla traiettoria del moto dei punti della linea portante. Ma ciò
è vero solamente se λw coincide o è pressochè identico a λtv , dove λtv è il coefficiente d’avanzo
ridotto dipendente dalla velocità nave
λtv =
Jv
V
=
ωR
π
(3.41)
Nel caso di carico moderato, per un’elica ottimale nel senso di Prandtl, viene assunta l’identità
λw = λi
119
(3.42)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
dove λi è il coefficiente d’avanzo induttivo che per un’elica ottimale nel senso di Prandtl è
costante in direzione radiale.
In tal modo, quando si voglia determinare λw sono possibili i tre casi


λ

 tv
λw =



λ◦w
(3.43)
λi
dove λtv è derivabile mediante la formula (3.41), mentre λ◦w e λi sono assegnati a priori.
Indipendentemente dallo schema assunto per la scia vorticosa, nel calcolo delle caratteristiche
idrodinamiche dell’elica, è sufficiente conoscere la distribuzione della forza portante elementare
dL/dr lungo la linea portante e l’angolo di passo idrodinamico βi . Le equazioni che legano
queste due funzioni rappresentano il sistema di equazioni della teoria della linea portante.
In forma vettoriale, questo sistema include quattro equazioni desumibili da:
1. Teorema di Žoukovsky [equazione (3.18)], applicato al vortice concatenato, ossia ai punti
della linea portante: in base a questo teorema, dopo avere effettuato il prodotto vettoriale,
produce la formula della portanza elementare
dL = ρ VR Γ dr
(3.44)
2. Teorema di Biot–Savart [equazione (3.7)], dove il dominio di integrazione è l’intera superficie dei vortici liberi. Il punto di controllo sul quale sono determinate le velocità
indotte, si trova sulla linea portante; si suppone che le velocità indotte dal sistema di
vortici concatenati siano nulle (Proprietà 1).
3. Teorema II [equazione (3.20)], che nel caso considerato1 fornisce il legame tra l’intensità
del vortice concatenato Γ (r◦ ) in un punto di raggio r◦ , e l’intensità γd dr del filamento
vorticoso libero elementare e seminfinito, che inizia in quel punto. Di fatto, questo è
un legame tra la circolazione intorno ad un contorno chiuso arbitrario che attraversa la
superficie dei vortici liberi solamente in un punto al raggio r e la densità superficiale del
filamento vorticoso libero che si stacca al raggio r◦ ; lo si esprime come
γ` (r◦ ) = −
∂Γ
dΓ
=−
∂τ
dr◦
(3.45)
Se si considera dΓ/dr◦ una funzione continua e si integra la formula (3.45) lungo il raggio
entro i limiti della linea portante, si può ricavare
Z R
dΓ
rh
dr◦
dr◦ = Γ (R) − Γ (rh ) = −Γ (rh )
(3.46)
essendo Γ (R) = 0.
~E , mentre il versore
Grazie alle ipotesi adottate, la direzione del vettore ~
` coincide con quella del vettore V
τ coincide con il versore ~iR
1
120
3.8 – Teoria della linea portante di un’elica
A partire dal fatto che il flusso è potenziale al di fuori del sistema vorticoso considerato,
l’intensità totale di tutti i vortici liberi dovrebbe essere uguale a zero. Questo è il motivo
per cui, in assenza del nucleo vorticoso libero di intensità infinita sul mozzo dell’elica, la
funzione continua dΓ/dr◦ deve soddisfare la condizione
Z R
dΓ
rh
dr◦
=0
(3.47)
in base alla quale, tenendo conto della condizione (3.46), risulta essere Γ (rh ) = 0. Se
sul mozzo esistesse un nucleo vorticoso di intensità finita, la sua intensità dovrebbe essere uguale e contraria al valore dell’integrale (3.46), ossia a Γ (rh ). Quest’ultimo caso è
sempre presente qualora venga soddisfatta la condizione normale sul mozzo dell’elica. Il
mozzo è rappresentato schematicamente come un cilindro infinito coassiale all’elica.
4. Formula (3.43), caratterizzante il passo dei vortici liberi e relativa al caso considerato.
Problema inverso (distribuzione ottimale della circolazione)
La soluzione del legame tra variazione radiale della portanza, dL/dr, ed angolo di passo idrodinamico, βi , è molto complicata da un punto di vista matematico, particolarmente nella
determinazione delle velocità indotte mediante la legge di Biot–Savart, quando si effettua l’integrazione numerica dell’integrale singolare nel dominio delle superfici vorticose seminfinite Per
superare queste difficoltà, si è soliti ricorrere, in alternativa, ai due metodi seguenti:
• metodo che utilizza la correzione per numero finito di pale;
• metodo dei fattori di induzione.
Il primo metodo è adatto per progettare eliche con distribuzione radiale della circolazione ottimale (secondo Prandtl) o pressoché ottimale. Il secondo metodo è adatto per il progetto
di eliche con circolazione arbitraria. Qui viene trattato il primo metodo, che è anche il più
semplice.
Questo metodo è basato sull’utilizzo dei valori dei fattori di Goldstein, κ, determinabili nediante
la formula (3.30). Questa correzione dipende dal numero di pale Z, dal raggio r e dal coefficiente
d’avanzo induttivo λw . Il valore di κ è calcolato dopo avere ricavato la distribuzione della
circolazione dell’elica ottimale, che, in quanto tale, possiede la proprietà che gli strati vorticosi
nella scia a valle hanno passo idrodinamico radialmente costante, ossia
πλw = πλi = πr̄ tan βi = cost.
(3.48)
Questa proprietà fu formulata da Prandtl come generalizzazione della proprietà di un’elica
isolata ottimale leggermente caricata, definita mediante il teorema di Betz : la scia assai a
valle di un’elica che abbia minime perdite di energia e spinta assegnata, è equivalente ad una
superficie dove i vortici liberi, che si staccano dai vortici concatenati, si muovono con velocità
radialmente costante nel flusso a valle dell’elica.
121
3 – Fondamenti della teoria vorticale
La velocità introdotta da Betz nel suo teorema è detta velocità di spostamento ū∗∞ , e dalla
costanza della sua entità, in base al diagramma di velocità della Figura 3.21, segue direttamente
la relazione (3.48) tenendo conto della relazione
λi = r̄ tan βi = r̄ tan β + 0.5 ū∗∞ = λtv + 0.5 ū∗∞
(3.49)
La condizione ottimale formulata da Betz per un’elica con un numero finito di pale coincide
con la condizione ottimale già ottenuta per un’elica ideale leggermente caricata, ovvero per
un’elica con un numero infinito di pale.
Figura 3.21.
Diagramma di velocità di elica ideale leggermente caricata
Per eliche moderatamente caricate, la generalizzazione di Prandtl, la quale include solamente
la condizione che sia λw = λtv , la quale appare nella formulazione di Betz, è sostituita dalla
condizione λw = λi (Fig. 3.22).
Figura 3.22.
Diagramma di velocità di elica ideale moderatamente caricata
122
3.8 – Teoria della linea portante di un’elica
Per determinare i valori κ delle correzioni di Golstein per numero finito di pale, si deve risolvere il problema del flusso potenziale intorno alle superfici regolari elicoidali che si muovono di
moto traslatorio con velocità u∗∞ . Fin dal 1919 Prandtl propose un metodo appropriato per
la determinazione di queste correzioni. Successivamente Goldstein (1929) sviluppò i fattori di
correzione, calcolati assumendo un flusso omogeneo ed imponendo la condizione di Betz per la
minima perdite di energia (Tachmindj e Milan, 1957).
Dopo avere effettuato una serie di calcoli comparativi tra il metodo che utilizza i fattori di correzione di Goldstein ed il metodo dei fattori di induzione di Lerbs, Eckhardt e Morgan (1955)
giunsero alla conclusione che il metodo approssimato che utilizza i fattori di Goldstein per il
progetto pratico di un’elica porta a risultati sufficientemente accurati. La grande quantità di
calcoli necessari nel progetto di un’elica con l’ausilio dei fattori di induzione fu il motivo per
cui i progettisti continuarono per lungo tempo a preferire il metodo approssimato.
Una volta ottenuti i valori dei fattori di Goldstein, introducendoli nelle formule (3.29) e (3.30),
non è difficile derivare un legame tra la circolazione Γ (r) intorno ad una sezione di pala ad
un certo raggio ed il valore della componente tangenziale della velocità indotta nel punto
corrispondente della linea portante: si può ottenere la re1azione
4πrκ utd
Γ (r) =
(3.50)
Z
dove la correzione κ per numero finito di pale è considerata una funzione nota
κ = κ (Z, r̄, λw )
(3.51)
Come dimostra la usuale pratica progettuale, questa relazione è del tutto corretta per un’elica
navale ottimale nel senso di Prandtl, ma mantiene una precisione accettabile anche in certi casi
di importanza pratica, sebbene l’accuratezza diminuisca man mano che le proprietà dell’elica
in progetto si allontanano da quelle dell’elica ottimale.
Se si utilizzano la relazione (3.50) e la condizione di ortogonalità (3.34) per le componenti
assiale e tangenziale della velocità indotta si ricavano le formule
Z ·Γ
4πrκ
(3.52)
Z ·Γ
4πrκ tan βw
(3.53)
utd =
uxd =
che dipende dal numero di pale, dal raggio adimensionale e dal passo della scia vorticosa elicoidale.
Combinando le relazioni (3.44), (3.51), (3.52), insieme alle tre relazioni puramente geometriche
che introducono gli angoli β e βi , dalla Figura 3.23 è possibile ottenere con il metodo considerato
il seguente sistema di equazioni per la teoria della linea portante:
123
3 – Fondamenti della teoria vorticale











ωr − Vwt − utd 



VR =


cos βi






(V + Vwx + uxd )/ tan βw 
dL
= ρΓ VR
dr
tan βi =
ωr − Vwt − utd






Z ·Γ 


utd =


4πrκ 





κ = κ (Z, r, λw ) 





(3.54)
r̄·tan βw = λw
Questo sistema contiene sei equazioni e sette incognite, per cui occorre introdurre una settima
equazione a partire dal fatto che la funzione dL/dr, che caratterizza la forza portante agente
sull’elemento di pala, e l’angolo di passo idrodinamico βi , che caratterizza la direzione di questa
forza, sono legate tra loro.
Figura 3.23.
Diagramma delle velocità per lo schema della linea portante
Problema diretto
Il problema diretto consiste nel determinare innanzi tutto le caratteristiche idrodinamiche
dell’elica, quando sia nota la sua geometria. Per risolvere il problema, è necessario integrare
lungo il raggio le espressioni della spinta e del momento torcente elementari, derivate dalla
teoria dell’elemento di pala; come noto, valgono le formule
T =Z
Q=Z
Z R
dL
rh
dr
Z R
dL
rh
dr
cos βi (1 − ε tan βi ) dr
(3.55)
sin βi (1 + ε cot βi )·r dr
(3.56)
dove ε = CD /CL esprime l’inverso della qualità aerodinamica della sezione.
124
3.8 – Teoria della linea portante di un’elica
Per il momento si suppone che sia assegnata la funzione ε(r), per cui le uniche funzioni incognite sono dL/dr e βi . Tra queste due funzioni, come già osservato, esiste una relazione
che nell’ambito della teoria della linea portante fornisce l’equazione mancante e risolutiva del
sistema di equazioni (3.54).
Allo scopo si introduce la relazione tra la forza portante elementare, che agisce sull’elemento
di pala con angolo d’incidenza α = ϕ − βi e la freccia relativa f /c del profilo di questa sezione.
Poiché si è sempre nell’ambito della teoria della linea portante, si utilizzerà l’ipotesi che le
sezioni siano piane, per cui la relazione suddetta per l’elemento della sezione di pala può essere
considerata approssimativamente la stessa che si aveva per una sezione libera di allungamento
infinito. In base alle formule derivate nello studio delle caratteristiche aerodinamiche dell’elica,
si può introdurre la formula
1
dL = ρ VR2 CL ·c dr
2
(3.57)
CL = 2πµ (ϕ − βi + 2χ·f /c)
(3.58)
essendo in fluido reale
dove µ e χ sono i fattori correttivi che tengono conto dell’influenza dello spessore del profilo
e della viscosità del fluido rispettivamente sul gradiente di portanza (dCL /dα) e sull’angolo
d’incidenza nullo α◦ , e che valgono rispettivamente (Miškević, 1974)
µ = (1 + 0.87 t/c)·e−0.0691+12.46 t/c−0.1855 ln Rns
·
χ = 1.013 1 +
t/c (t/c − 0.05)
(0.04664 ln Rns − 0.4378)2
¸
Si assume che siano noti i valori della lunghezza di corda di pala c, dell’angolo di passo ϕ e della
freccia adimensionale f /c al raggio considerato. Nelle relazioni suddette sono presenti quattro
funzioni incognite, dL/dr, CL , VR e βi , per cui rispetto al sistema considerato di equazioni
esiste una funzione incognita in più, ossia CL . Ma combinando le equazioni (3.57) e (3.58) con
il sistema di equazioni (3.54) si ottiene un sistema chiuso di equazioni per il problema diretto,
sulla base del quale è possibile ricavare le incognite dL/dr e βi .
Se si esclude dL/dr, mettendo a sistema l’equazione (3.57) con la prima delle equazioni (3.54),
si ricava la relazione
1
VR CL ·c
2
dalla quale, introducendo per il coefficiente di portanza la relazione (3.58), si ottiene
Γ =
Γ = πVR ·c·µ (ϕ − βi + 2χ·f /c)
125
(3.59)
(3.60)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Legame tra circolazione ed angolo di passo idrodinamico
Si vuole ora esprimere βi in funzione di Γ . Allo scopo si noti, innanzi tutto, che dal diagramma
di velocità (Fig. 3.23) si ricava direttamente la relazione
tan βi =
ux + utd tan βi
V + Vwx + uxd + utd tan βi
= tan β ∗ + d
ωr − Vwt
ωr − Vwt
(3.61)
V + Vwx
ωr − Vwt
(3.62)
dove è
tan β ∗ =
essendo β ∗ l’angolo d’avanzo alla velocità nave V , che tiene conto del campo di velocità presente sul disco–elica.
In secondo luogo, in base alla semplice relazione trigonometrica
tan βi − tan β ∗ =
sin (βi − β ∗ )
cos βi ·cos β ∗
(3.63)
è facile ottenere
βi − β ∗ = cos βi ·cos β ∗ (tan βi − tan β ∗ ) − [sin(βi − β ∗ ) − (βi − β ∗ )]
(3.64)
ossia, utilizzando la formula (3.61), si ricava il passo idrodinamico come
βi = β ∗ + cos βi ·cos β ∗ ·
uxd + utd tan βi
− [sin(βi − β ∗ ) − (βi − β ∗ )]
ωr − Vwt
(3.65)
dove l’ultimo termine sul lato destro dell’equazione (3.65) può essere trascurato di qui in avanti,
in quanto è molto piccolo.
In terzo luogo, utilizzando le formule (3.52) e (3.53) è facile ricavare la relazione
u∗d = uxd + utd tan βi =
Z ·Γ
4πrκ
µ
1
+ tan βi
tan λw
¶
(3.66)
Unendo poi le relazioni suddette e sostituendole nell’equazione (3.60) si ricava per rh < r < R
·
¸
1/ tan λw + tan βi
Γ 1 + Z c µ VR cos βi cos β
= πVR ·c·µ [ϕ + 2χ·f /c − β ∗ ]
4 r κ (ωr − Vwt )
∗
(3.67)
Sebbene non sia difficile ottenere la soluzione del sistema di equazioni (3.54), combinato con
l’equazione (3.67), mediante una serie di iterazioni successive, proprio grazie alla forma approssimata del metodo è possibile semplificare ulteriormente la relazione (3.67). Si assume che le
velocità indotte presentino piccoli valori e si impongono le seguenti approssimazioni

VR '
ωr − Vwt 


cos β ∗
β i ' βw
126



(3.68)
3.9 – Metodo dei fattori di induzione
l’equazione (3.67) può essere risolta rispetto alla circolazione come
Γ (r) = 4π c µ r κ sin βw
(ϕ + 2χ·f /c − β ∗ ) (ωr − Vwt )
(Z c µ + 4rκ sin βw ) cos β ∗
(3.69)
Quest’ultima equazione consente di trovare la distribuzione di circolazione radiale, non appena
siano noti la corda di pala c(r), l’angolo di passo ϕ(r), la curvatura massima relativa f /c,
l’angolo d’avanzo β(r) grazie alla relazione (3.62), ed infine il parametro λw che carattetizza
il passo della superficie libera vorticosa. Nel problema diretto questo passo può essere assunto
pari al passo della sezione di pala a r̄ = 0.7 dell’elica considerata, ossia
λw =
λ∗w
= 0.7 tan ϕ|r̄=0.7
1
=
π
µ
P
D
¶
(3.70)
r̄=0.7
Dopo avere determinato Γ (r) in base alla relazione (3.69), utilizzando il sistema di equazioni
(3.54) è possibile ricavare le funzioni incognite dL/dr e βi . Sostituendole nelle relazioni (3.55)
e (3.56), si possono ricavare la spinta ed il momento torcente locali dell’elica considerata. A
questo punto è possibile determinare per ogni sezione l’inverso della qualità idrodinamica ε,
che finora era stata considerata costante, secondo le formula di Miškiević (1974)
ε=
3.9
0.05808 (1 + 2.3 t/c)
CL ·Rn0.1458
s
Metodo dei fattori di induzione
Il modello della linea portante derivato per un’ala simmetrica può essere adattato facilmente
ad un modello di linea portante che ruota. Purtroppo l’espressione (3.23) per il calcolo della
velocità indotta tende all’infinito se il punto di controllo si avvicina al raggio della linea vorticosa, ossia se r → r◦ (x → x◦ ). Per evitare questa difficoltà, che fa crollare l’accuratezza
numerica in prossimità di x◦ , Kawada (1933) introdusse il concetto di fattore di induzione.
Il metodo dei fattori di induzione consente di calcolare il prodotto, CL ·c , del coefficiente di
portanza per la lunghezza di corda senza le approssimazioni insite nell’applicazione dei fattori
di Goldstein.
I fattori di induzione non sono altro che quantità adimensionali delle componenti delle velocità indotte. Mettono in relazione il complicato sistema di vortici liberi che si instaura dietro
un’elica ruotante con il sistema vorticoso libero di un singolo profilo. Scegliendo come velocità
di riferimento Γ̄ /[4π (r − r◦ )] , ossia la velocità indotta su r da un vortice potenziale rettilineo
fittizio, situato sul punto r◦ e parallelo all’asse, ambedue le componenti della velocità indotta
e la velocità di riferimento divengono infinite nello stesso ordine se r → r◦ , in quanto le loro
proprietà all’infinito sono le stesse sia per il vortice elicoidale che per il vortice rettilineo. Pertanto i fattori di induzione rimangono finiti se r 6= r◦ .
127
3 – Fondamenti della teoria vorticale
I fattori di induzione costituiscono la base per il metodo sviluppato da Lerbs (1952) per il
calcolo di eliche leggermente e moderatamente caricate con una distribuzione arbitraria di
circolazione. Il fattore di induzione ~i rappresenta il rapporto di due velocità indotte da vortici
liberi semi–infiniti della stessa intensità; ossia
~i = velocità indotta da Z vortici elicoidali = d~uz
velocità indotta da un vortice rettilineo
d~us
La prima velocità è indotta al raggio r della linea portante da Z vortici liberi elicoidali che si
staccano al raggio adimensionale r◦ da Z linee portanti equispaziate. Questa velocità indotta è
suddivisa in una componente assiale ed in una componente tangenziale, ognuna da considerare
separatamente, ed include l’effetto del mozzo. I fattori di induzione sono riferiti, quindi, alla
componente assiale, ia , ed alla componente tangenziale, it . La seconda velocità, quella al denominatore, è la velocità indotta da un singolo vortice rettilineo che ha origine dalla linea portante,
ancora al raggio r◦ , e che si estende infinitamente a valle in direzione parallela all’asse dell’elica.
Poiché la velocità indotta dal singolo vortice rettilineo è
dus =
Z π/2
dΓ
(r − r◦ )
dΓ
·
·sin θ dθ =
4π (r − r◦ )2
4π (r − r◦ )
◦
(3.71)
il fattore di induzione risulta essere
~i =
d~uz
dΓ/[4π (r − r◦ )]
(3.72)
Ne deriva che la velocità indotta da un singolo vortice elicoidale è
d~u = ~i
dΓ
dΓ
dr◦
= ~i
4π (r − r◦ )
dr◦ 4π (r − r◦ )
(3.73)
La velocità indotta da tutti i vortici liberi elicoidali che si staccano da una linea portante al
raggio r sarà allora
~u =
Z R
rh
1
~i dΓ ·
dr◦
dr◦ 4π (r − r◦ )
Se si introducono le quantità adimensionali
Γ
r
G=
;
x=
πD Va
R
;
x◦ =
(3.74)
r◦
R
,
la velocità indotta ~u da tutti i vortici elicoidali al raggio xr può essere scomposta in una
componente assiale ua ed in una tangenziale ut , calcolate in base alla legge di Biot–Savart
come

Z
1 1 dG
1
ua


=
ia
·
dx◦ 


Va
2 xh dx◦ x − x◦

(3.75)
Z 1



ut
1
dG
1

=
it
·
dx◦ 

Va
2 xh dx◦ x − x◦
128
3.9 – Metodo dei fattori di induzione
dove
Va
G
dG/dx◦
x◦
ia , it
-
velocità d’avanzo dell’elica
quantità adimensionale della circolazione concatenata di pala
circolazione adimensionale del vortice libero al raggio x◦
raggio al quale sono calcolate le velocità indotte
fattori di induzione assiale e tangenziale al raggio x, che dipendono
dal rapporto di passo del filamento vorticoso λw , dal numero di pale Z
e dalla posizione radiale x◦ /x
Lerbs (1952) calcolò i fattori di induzione mediante integrazione lungo i vortici. Come nel caso
del calcolo dei fattori di riduzione di Goldstein, utilizzò le espansioni asintotiche delle funzioni
di Bessel, come proposte da Nicolson, e rappresentò i risultati graficamente per Z = 3, 4, 5.
Figura 3.24.
Fattore d’induzione assiale (campo interno, Z = 3)
Nei diagrammi seguenti sono riprodotti i grafici di Lerbs per eliche con tre (Figg. 3.24, 3.25,
3.26, 3.27), quattro (Figg. 3.28, 3.29, 3.30, 3.31) e cinque pale (Figg. 3.32, 3.33, 3.34, 3.35).
Essi forniscono i fattori di induzione in funzione del rapporto x◦ /x e dell’angolo di passo βi ◦
della linea vorticosa. Si distingue tra ‘campo interno’ rispetto al vortice elicoidale (x > x◦ ) e
‘campo esterno’, costituito dall’area esterna al vortice elicoidale (x < x◦ ).
129
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Si ricordi che x e x◦ sono punti sulla linea portante. I vortici elicoidali si staccano dalla pala al
raggio x◦ , mentre il punto relativo al calcolo della velocità indotta è x. Si osservi, inoltre, che
le curve rappresentative dei fattori di induzione assiale tendono ad incontrarsi per x◦ /x = 1. I
fattori di induzione nel campo interno sono notevolmente maggiori rispetto a quelli nel campo
esterno, il che illustra l’effetto amplificante delle velocità indotte entro il sistema vorticoso,
particolarmente per piccoli angoli del passo idrodinamico βi .
I valori limite delle componenti dei fattori di induzione sono desumibili per alcuni valori particolari del rapporto x◦ /x (vedi Tabella 3.1). Va osservato che questi fattori non dipendono
dalla circolazione ma solo da grandezze geometriche; più precisamente, dalla posizione relativa
del punto di riferimento x rispetto al punto x◦ dal quale si stacca il vortice libero e dall’angolo
di passo βi ◦ = βi .
x◦ /x
ia
it
0 (punto di calcolo molto distante dal vortice elicoidale)
1 (punto di calcolo sul vortice elicoidale)
∞ (punto di calcolo sull’asse dell’elica)
0
cos βi
Z/ tan βi
Z
sin βi
0
Tabella 3.1.
Valori limite dei fattori di induzione
Una descrizione dei fattori di induzione, più conveniente di quella di Lerbs, è quella algebrica
sviluppata da Wrench per un numero arbitrario di pale Z.
Figura 3.25.
Fattore d’induzione assiale (campo esterno, Z = 3)
130
3.9 – Metodo dei fattori di induzione
Nel seguito è fornito l’insieme completo delle formule di Lerbs e di Wrench (1957), che hanno
adoperato approcci matematici diversi, secondo le quali i fattori di induzione ia e it dipendono da x/x◦ , dall’angolo di passo βi del vortice elicoidale al punto x◦ e dal numero di pale Z
angolarmente equispaziate. È stato verificato che la differenza tra la formulazione di Wrench e
quella di Lerbs è minima. Tuttavia, il metodo di Wrench si fa preferire per la sua facilità d’implementazione al computer. Inoltre, si ritiene che la formulazione di Wrench sia leggermente più
accurata grazie all’utilizzo delle espansioni asintotiche delle funzioni di Bessel dovute a Lehmer.
Formule di Lerbs




Z ·A∗
ia = (x/x◦ − 1)
tan βi
it = (1 − x◦ /x) Z (1 +
A∗ )



per x/x◦ > 1
(3.76)
per x = x◦
(3.77)

ia = cos βi 
it = sin βi 

Z


(1 + B ∗ ) 
ia = (1 − x/x◦ )
tan βi
per x/x◦ < 1
it = (x◦ /x −
Figura 3.26.



1) Z ·B ∗
Fattore d’induzione tangenziale (campo interno, Z = 3)
131
(3.78)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Figura 3.27.
Fattore d’induzione tangenziale (campo esterno, Z = 3)
Le funzioni A∗ e B ∗ presenti nelle equazioni (3.76), (3.77) e (3.78) hanno le seguenti espressioni
·
A∗ = f
1
g
u
−
· ln
u − 1 24 Z
u−1
·
g
1
u
+
· ln
B =f
1 − u 24 Z
1−u
¸
¸
∗
dove
f = (sin βi ·p1/2 )−1/2
·
¸
g = sin3 βi 2 +
(
"
Ã
g
+ (3p − 5) p−3/2
tan2 βi
µ
u = exp Z ln (p
1/2
¶−1
1
− 1)
−1
sin βi
p=1+
(x/x◦ )2
tan2 βi
132
!
· x◦ /x + p
−1/2
1
−
sin βi
#)
3.9 – Metodo dei fattori di induzione
Figura 3.28.
Fattore d’induzione assiale (campo interno, Z = 4)
Formule di Wrench
Wrench espresse i fattori di induzione utilizzando le stesse espressioni (3.76), (3.77), (3.78),
proposte da Lerbs, ma calcolando le funzioni A∗ e B ∗ come segue:
·
A∗ = f
1
1
uz
−
ga · ln
uz − 1 24 Z
uz − 1
·
¸
u
1
1
B =f
+
ga · ln
uw − 1 24 Z
uw − 1
¸
∗
dove
·
¸
12 sin βi
g
ga =
sin3 βi 2 +
+ (3p − 5) p−3/2
2
1 + tan βi
tan βi
133
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Figura 3.29.
Figura 3.30.
Fattore d’induzione assiale (campo esterno, Z = 4)
Fattore d’induzione tangenziale (campo interno, Z = 4)
134
3.9 – Metodo dei fattori di induzione
Figura 3.31.
Fattore d’induzione tangenziale (campo esterno, Z = 4)
(
"Ã
uz = exp Z
(
uw = exp −Z
p
1/2
!#)
√
1
1 (1 − sin βi )·( p + 1)
−
− ln
√
sin βi 2 (1 + sin βi )·( p + 1)
"Ã
p
1/2
!#)
√
1 (1 − sin βi )·( p + 1)
1
− ln
−
√
sin βi 2 (1 + sin βi )·( p + 1)
mentre le grandezze f e p sono quelle definite in precedenza dalle formule di Lerbs.
L’applicazione di questa teoria in senso inverso, volta a determinare le velocità indotte e la
distribuzione di circolazione lungo la linea portante quando sono noti i particolari geometrici
dell’elica ed il campo di velocità nel quale opera, è stata affrontata da diversi ricercatori.
I fattori di induzione ia e it sono, a rigore, funzioni anche della posizione angolare di pala, θ,
poichè le ralazioni di Lerbs e di Wrench ipotizzano che gli strati vorticosi liberi Z hanno la
stessa distribuzione radiale per l’angolo di passo idrodinamico βi . Trascurare questa dipendenza da θ nell’utilizzo di queste relazioni comporta che, ad esempio, quando la linea portante
è posizionata in una zona locale di bassa velocità d’afflusso, i valori calcolati delle velocità
indotte risultano troppo elevati, mentre il valore risultante del carico di pala diviene troppo
basso. Questo deriva dal fatto che in questo caso si assume implicitamente che le altre (Z − 1)
pale si trovano in presenza delle stesse basse velocità incidenti. L’omissione della dipendenza
dei fattori di induzione dalla posizione angolare della linea portante in un campo di velocità
circonferenzialmente variabile è, comunque, intrinseco sll’approccio quasi–stazionario.
135
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Figura 3.32.
Fattore d’induzione assiale (campo interno, Z = 5)
Solamente un approccio non–stazionario al problema del calcolo dei fattori di induzione può
tenere conto dell’effetto di una variazione dipendente da θ dell’angolo di passo degli strati dei
vortici liberi.
È piccola l’inaccuratezza prodotta dall’ipotesi che l’angolo di passo dei Z filamenti vorticosi
liberi elicoidali al raggio x sia eguale al valore βi sulla linea portante considerata. Questo
dipende dal fatto che in questo modo si introduce un margine per la deficienza di portanza
dovuta alla variazione circonferenziale della velocità incidente, particolarmente ai valori più alti
della frequenza ridotta, che può essere calcolata da una teoria non–stazionaria o incorporando
un fattore correttivo quale quello sviluppato da Sears (1941). La frequenza ridotta è definita
come k = 12 ωc/V , dove ω è eguale all’effettiva velocità angolare della sezione di pala, c è la
lunghezza di corda e V è la velocità incidente. Si osservi che, quando ambedue gli effetti sono
della stessa entità, il loro effetto combinato sulla circolazione della linea portante sarà nullo.
Si deve osservare ancora una volta che il modello di scia della linea portante ruotante, cosı̀
come sviluppato da Lerbs, e come approssimato numericamente e con maggiore accuratezza da
136
3.9 – Metodo dei fattori di induzione
Figura 3.33.
Figura 3.34.
Fattore ’induzione assiale (campo esterno, Z = 5)
Fattore d’induzione tangenziale (campo interno, Z = 5)
137
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Figura 3.35.
Fattore d’induzione tangenziale (campo esterno, Z = 5)
Wrench, implica una semplificazione grossolana della scia effettiva dell’elica. Il loro modello
non ignora solamente la contrazione del tubo di flusso a valle dell’elica, ma non è in grado di
conglobare gli effetti del ‘rake’ e dello ‘skew’. Inoltre, gli strati vorticosi liberi divengono instabili e per effetto dell’arrotolamento la vorticità che si stacca da ogni pala nella parte esterna,
diviene concentrata in singoli vortici d’apice. In maniera simile, per effetto dell’avvolgimento
è presente generalmente un vortice separato sul mozzo.
La contrazione del flusso a valle dell’elica è una caratteristica che deve essere tenuta presente
quando l’elica produce la spinta. Tale aspetto può essere considerato introducendo il modello
del disco attuatore e rispettando la legge di continuità. Comunque, tale contrazione cosı̀ come
la contrazione del sistema vorticoso libero è trascurata nella maggior parte dei modelli di scia
di linea portante comunemente utilizzati. Anche nei modelli vorticosi più complessi, i vortici
liberi si muovono a valle su una superficie elicoidale, perfettamente cilindrica, di passo costante,
violando cosı̀ la legge elementare della continuità.
I vortici abbandonano la linea portante sotto forma di una superficie elicoidale il cui passo è il
passo idrodinamico. I fattori di induzione dipendono dall’angolo di passo dei vortici elicoidali
liberi. Ne deriva che prima di calcolare i fattori di induzione, sia in direzione assiale che in
quella tangenziale, occorre calcolare il passo idrodinamico, la cui direzione radiale può essere
analizzata opportunamente mediante il modello di linea portante descritto in precedenza.
138
3.10 – Distribuzione del carico prodotto dai vortici liberi
3.10
Distribuzione del carico prodotto dai vortici liberi
Per la soluzione numerica delle equazioni (3.75) nelle applicazioni relative al problema inverso,
si dovrebbe osservare che ad ogni sezione radiale x, oltre alle velocità indotte ua e ut , sono
incognite la circolazione G e l’angolo di passo idrodinamico βi da cui dipendono i fattori di
induzione. Per la soluzione di questo problema occorre ricorrere ad una procedura iterativa.
Si assume che siano noti il valore della posizione angolare θ della pala dell’elica (definita dalla
sua generatrice) alla quale devono essere effettuati i calcoli, la geometria dell’elica ed il campo
di velocità nel quale opera l’elica. La linea portante passa attraverso le posizioni ad un quarto
della lunghezza di corda delle sezioni di pala, come mostrato in Figura 3.36. Si determina il
valore medio dell’angolo d’avanzo β(x, θ) ad ogni sezione radiale di discretizzazione in base alle
componenti medie del campo di velocità tra il bordo d’ingresso ed il bordo d’uscita. Questo
angolo è calcolato mediante la relazione
"
V̄a (x, θ)
β(x, θ) = arctan
x πnD − V̄t (x, θ)
#
(3.79)
Inoltre, la velocità media d’avanzo lungo la linea portante può essere determinata come
Va (θ) = 2
Z 1
◦
x V̄a (x, θ) dx
(3.80)
Nelle equazioni (3.79) e (3.80) V̄a (x, θ) e V̄t (x, θ) sono le componenti medie, rispettivamente
assiale e tangenziale, del campo di velocità tra il bordo d’ingresso ed il bordo d’uscita della
sezione di pala nel punto di coordinate (x, θ).
Figura 3.36.
Schema del sistema di coordinate polari
Un primo valore dell’angolo di passo idrodinamico βi (x, θ) può essere determinato mediante
una relazione empirica data da Sontvendt (1971)
·
βi (x, θ) = γ◦ (x, θ) − [γ◦ (x, θ) − β(x, θ)]· 0.135 +
139
0.053
1.093 − x
¸
(3.81)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Dalla Figura 3.37 si può osservare che è
·
¸
P (x)
γ◦ (x, θ) = atan
+ αnt (x) − α◦ (x, θ)
xπD
(3.82)
dove
αnt (x)
-
α◦ (x, θ)
-
angolo, in radianti, tra la linea di corda e la retta del passo alla sezione
di pala al raggio x,
angolo, in radianti, tridimensionale di portanza nulla rispetto alla linea
di corda in flusso reale.
Figura 3.37. Definizione degli angoli che correlano le entità geometriche
Con questo valore iniziale di βi , fornendo un primo valore dei fattori di induzione ia e it , si
ricavano la distribuzione di circolazione G(x, θ) e le velocità indotte ua (x, θ) e ut (x, θ) introducendo, in accordo con Lerbs (1952), le coordinate angolari ϕ e ϕ◦ per x e x◦ in maniera che sia
ϕ = 0 per x = xh e ϕ = π per x = 1, cosı̀ che i generici raggi x e x◦ sono espressi come
µ
x = xh +
¶
1 − xh
(1 − cos ϕ)
2
µ
x◦ = xh +





¶


1 − xh

(1 − cos ϕ◦ ) 
2
(3.83)
Si può allora espandere la circolazione concatenata G(x, θ) in serie di Fourier, purché se ne
conoscano i valori al contorno, tenendo conto che sia all’apice (ϕ = π) che al mozzo (ϕ = 0) si
ha eguale pressione sul dorso e sulla faccia; ossia imponendo i vincoli G(xh ) = G(1) = 0. Tra
il mozzo e l’apice la circolazione di un’elica convenzionale è continua, per cui si può scrivere
G(ϕ, θ) =
∞
X
Gm (θ) sin (m ϕ◦ )
(3.84)
m=1
dove Gm (θ) è i coefficientie di Fourier della distribuzione radiale della circolazione concatenta
adimensionale, i cui valori sono incogniti.
140
3.10 – Distribuzione del carico prodotto dai vortici liberi
Grazie alla continuità di G, non si possono presentare singoli vortici di intensità finita e la serie
di Fourier che esprime G(ϕ, θ), quando introdotta nelle espressioni (3.75), fornisce le componenti complete delle velocità indotte.
I fattori di induzione dipendono sia da ϕ che da ϕ◦ , e non dal numero di pale e dal passo dei
filamenti vorticosi. Anche essi sono risolti in una serie pari di Fourier rispetto a ϕ◦ , e poiché
sono diversi da zero sia sul mozzo che sugli apici di pala, si può utilizzare la funzione coseno
ottenendo



ia (ϕ, ϕ◦ ) =
ian (ϕ) cos (nϕ◦ ) 




n=0
∞
X
it (ϕ, ϕ◦ ) =
∞
X
n=0
(3.85)



t

in (ϕ) cos (nϕ◦ ) 


I valori dei coefficienti di Fourier ian (ϕ) e itn (ϕ) alle n sezioni radiali di discretizzazione sono
ottenuti invertendo la matrice formata dai coefficienti nelle n equazioni lineari risultanti.
Si possono calcolare, a questo punto, per ogni sezione le espressioni integrali per le velocità
indotte assiali, ua , e tangenziali, ut . Sostituendo le equazioni (3.85) nelle equazioni (3.75), si
ricava
Z π
∞
X
1
ua (ϕ, θ)
ia (ϕ, ϕ◦ ) cos (mϕ◦ )
=
dϕ◦
m Gm (θ)
Va (θ)
1 − xh m=1
cos ϕ◦ − cos ϕ
0








Z π
∞
X
ut (ϕ, θ)
1
it (ϕ, ϕ◦ ) cos (mϕ◦ )
=
dϕ◦
m Gm (θ)
Va (θ)
1 − xh m=1
cos ϕ◦ − cos ϕ
0







Gli integrali di queste espressioni possono essere semplificati come
posizioni
Z π
cos (mϕ◦ )
a
hm (ϕ) =
ia (ϕ, ϕ◦ ) dϕ◦
cos
ϕ◦ − cos ϕ
0
htm (ϕ) =
Z π
0
(3.86)
segue. Se si introducono le









cos (mϕ◦ )

it (ϕ, ϕ◦ ) dϕ◦ 
cos ϕ◦ − cos ϕ
é possibile calcolare gli integrali (3.86) sostituendovi le serie di Fourier dei fattori di induzione
(3.85), riducendo cosı̀ l’integrale improprio che rappresenta le velocità indotte alla somma di
due integrali impropri dello stesso tipo
∞
1X
=
ia (ϕ)
2 n=0 n
·Z π
cos [(m + n) ϕ◦ ]
∞
1X
htm (ϕ) =
it (ϕ)
2 n=0 n
·Z π
cos [(m + n) ϕ◦ ]
ham (ϕ)
0
0
cos ϕ◦ − cos ϕ
cos ϕ◦ − cos ϕ
dϕ◦ +
dϕ◦ +
141
¸ 


dϕ◦ 


cos ϕ◦ − cos ϕ


Z π
cos [(m − n) ϕ◦ ]
0
Z π
cos [(m − n) ϕ◦ ]
0
cos ϕ◦ − cos ϕ
¸ 



dϕ◦ 


(3.87)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Il valore principale di questi integrali è noto da Glauert come
Z π
0
cos (m ϕ◦ )
sin(mϕ)
dϕ◦ = π
cos ϕ◦ − cos ϕ
sin ϕ
In questo modo, gli integrali ham (ϕ) e htm (ϕ) divengono

 









m
∞
X
X
π 
ham (ϕ) =
sin (m ϕ) ian (ϕ) cos (nϕ) + cos (mϕ)
ian (ϕ) sin (nϕ)
sin ϕ
n=0
n=m+1

 

m
∞

X
X

π

t
t
t



hm (ϕ) =
sin (m ϕ) in (ϕ) cos (nϕ) + cos (mϕ)
in (ϕ) sin (nϕ) 


sin ϕ
n=0
n=m+1
(3.88)
L’esperienza ha insegnato che vicino all’apice di pala ed al mozzo le soluzioni diventano meno
stabili che nella zona centrale della pala. In questi punti le soluzioni per la linea portante
possono essere ricavate ricorrendo alla regola dell’Hospital. Si è dimostrato che è più pratico
determinare i valori sull’apice e sul mozzo mediante estrapolazione in senso radiale come

ham (0) = π m
m
X
∞
X
ina (0) +
n=0











ian (0)
n=m+1

htm (π) = −π cos (mπ) m
m
X
ian cos (nπ) +
n=0
∞
X
 




a


in (0) cos (nπ) 


(3.89)
n=m+1
ed analogamente per ham (π) e htm (0).
È stato dimostrato, inoltre, che si possono ottenere risultati ragionevolmente accurati già con
un piccolo numero di termini nella serie armonica (ad esempio, cinque o sei), che rappresentano le distribuzioni radiali della circolazione ed i fattori di induzione. D’altra parte, risolvere i
coefficienti di Fourier di una serie armonica che abbia più di tredici termini è risultato essere
progressivamente instabile.
Queste equazioni consentono di legare le componenti della velocità indotta alla distribuzione
di circolazione ed ai fattori di induzione. Poiché questi ultimi sono noti (Figg. 3.24÷3.35), le
equazioni (3.86) consentono di calcolare le componenti della velocità indotta per ogni assegnata
distribuzione di circolazione che può essere rappresentata dall’equazione (3.84).
Per soddisfare l’ultima condizione, in base alla quale gli strati vorticosi coincidono con le linee
di corrente relative su una linea portante, sono necessarie approssimazioni successive poiché
i fattori di induzione dipendono dalla direzione degli strati e, quindi, dalle componenti della
velocità indotta. Questi risultati possono essere sostituiti nelle equazioni delle velocità indotte
non appena si conoscano i coefficienti di Fourier della circolazione adimensionale G.
142
3.10 – Distribuzione del carico prodotto dai vortici liberi
Infatti, sostituendo le equazioni (3.88) nelle espressioni delle velocità indotte si ottiene
∞
X
1
ua (ϕ, θ)
=
m Gm (θ) ham (ϕ)
Va (θ)
1 − xh m=1
∞
X
ut (ϕ, θ)
1
=
m Gm (θ) htm (ϕ)
Va (θ)
1 − xh m=1















(3.90)
Dalla relazione tra le velocità indotte e la circolazione, che deve essere applicata a tutte le
sezioni radiali, si può derivare un sistema di equazioni lineari dal quale ottenere i coefficienti
incogniti Gm di Fourier.
Dallo schema delle velocità locali intorno al profilo di una sezione di pala al raggio r, come
mostrato in Figura 3.38, si può vedere come le velocità indotte ua e ut sono legate all’angolo
di passo idrodinamico βi . Si può osservare che qui il passo geometrico, di solito indicato con
ϕ, coincide con l’angolo βi . Ciò avviene in una condizione molto speciale, quella di ‘shock–free
entry’, e non corrisponde, quindi, ad una condizione generale.
Figura 3.38.
Diagramma delle velocità in una posizione radiale della linea portante
Nelle equazioni (3.90) i valori ua (ϕ, θ), ut (ϕ, θ) e Gm (ϕ) sono incogniti cosı̀ che è necessario
introdurre un’equazione ulteriore. Questa può essere ottenuta direttamente dal diagramma in
Figura 3.38 come
ωr tan βi = ωr tan β + ua − ut tan βi
(3.91)
che può essere riscritta come
ua
ut
ωr
−
tan βi =
(tan βi − tan β)
VS
VS
VS
(3.92)
ma poiché Va /ωr = tan β si può eliminare ωr ed ottenere la formulazione finale
ua
ut
Va
−
tan βi =
VS
VS
VS
143
µ
¶
tan βi
−1
tan β
(3.93)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Si osservi che la resistenza delle sezioni è nulla nei modelli a flusso potenziale, anche se è presente, comunque, la resistenza indotta per effetto delle velocità indotte. La resistenza viscosa
delle varie sezioni deve essere calcolata in ogni caso. La portanza e la resistenza delle varie sezioni sono decomposte in direzione assiale e tangenziale per potere calcolare, infine, la spinta ed
il momento torcente di pala secondo le formule della teoria dell’elemento di pala (Trincas, 2008).
A questo punto è stata determinata l’intensità del sistema vorticoso dell’elica. I vortici liberi
di questo sistema producono le velocità indotte, che devono essere sempre considerate se si
vogliono collegare gli angoli del flusso alle caratteristiche del profilo. Inoltre, si è ipotizzato
che si sia in grado di calcolare i fattori di induzione, il che presuppone che sia effettivamente
noto il passo dei vortici liberi, dal momento che i fattori di induzione dipendono dall’angolo di
passo idrodinamico, per cui occorre introdurre un’ipotesi iniziale circa la distribuzione radiale
del passo.
Dopo avere risolto il problema delle velocità indotte, si determina la spinta in base all’intensità della circolazione e si calcola la resistenza dei profili. Successivamente si aggiusta il passo
idrodinamico iterativamente e si confronta la spinta ottenuta con quella richiesta. Si dovrebbe
comprendere che in linea di principio esiste un numero infinito di soluzioni poiché la distribuzione del passo idrodinamico non è ancora fissata. Nel progetto è pratica consueta imporre il
tipo della sua distribuzione radiale e studiare gli effetti delle sue variazioni, risolvendo il modello della linea portante per ogni caso particolare. Si osservi che gli effetti della variazione della
distribuzione radiale del passo idrodinamico non si riflettono sempre sul rendimento dell’elica
se si utilizza il modello di linea portante che è stato presentato.
Con un approccio più flessibile, il flusso indotto può essere calcolato numericamente in maniera
diretta dalla legge di Biot–Savart. In tal caso, i fattori di induzione possono essere derivati
mediante integrazione numerica per qualunque forma dello strato vorticoso e per qualunque
forma della linea portante. Con questo approccio, nella procedura di calcolo del campo di flusso
indotto possono essere incorporati anche gli effetti del ‘rake’ e dello ‘skew’ della pala, nonché
il flusso indotto causato dalla curvatura dei vortici concatenati.
Esaurito questo processo, si possono determinare il passo idrodinamico, le velocità indotte e la
circolazione ai vari raggi di discretizzazione.
Infine, si possono calcolare i coefficienti di spinta e di momento torcente di ogni sezione di pala,
rispettivamente come
KT
=
dx
KQ
=
dx
c·CL £ πx
D · J
¤2
³
− ut ·J 2 1 −
´
CL
CD
tan βi
CL
CD
tan βi
4 cos βi
³
x· c·CDL ·[1 + ua ]2 ·J 2 1 −
8 sin βi
(3.94)
´
(3.95)
dove
c·CL
2πG sin βi
=
D
1 + ua
144
(3.96)
3.11 – Fattori di correzione per superficie portante
Il coefficiente di resistenza di ogni sezione di pala puó essere calcolato in funzione dello spessore
di pala e della lunghezza di corda come segue
µ
CD = 2
3.11
t
1+2
c
¶·
µ
c
1.89 + 1.62log
30·10−6
¶¸−2.5
(3.97)
Fattori di correzione per superficie portante
I calcoli hanno mostrato che, come era prevedibile, i risultati ottenuti dalla teoria della linea
portante peggiorano al crescere del rapporto di area espansa, ossia al crescere della lunghezza
di corda della pala. Questo è il motivo per cui, quando si progetta con la LLT un’elica dalle
pale ampie, è obbligatorio introdurre correzioni alla lunghezza di corda. In generale, è possibile considerare correttamente ed interamente la corda di pala solamente con la teoria della
superficie portante, dove ogni pala è simulata non mediante un vortice discreto, come nella
LLT, ma da un intero sistema vorticoso collocato su una superficie all’interno delle proiezioni
del contorno di pala su questa superficie. I calcoli con la LST mostrano che le velocità indotte
lungo la corda non sono costanti ed eguali ai valori che hanno sui punti della linea portante,
ma che variano in modo significativo come risultato dell’influenza del sistema vorticoso spaziale
con il quale si modella la pala dell’elica.
La suddetta irregolarità del campo di velocità produce generalmente una riduzione della curvatura e dell’angolo d’incidenza effettivi della sezione considerata rispetto ai valori ottenuti dalla
teoria della linea portante. Allo scopo di valutare, seppure in misura approssimata, l’influenza
della corda di pala quando si usa la LLT, è necessario applicare correzioni che tengano conto
rispettivamente dell’angolo d’incidenza, del passo e della curvatura della sezione durante il
calcolo di progetto (problema inverso). Nel caso del problema diretto, è necessario introdurre
correzioni similari per determinare più accuratamente il coefficiente di portanza della sezione.
Ad esempio, se si utilizza il sistema di correzioni per la corda di pala sviluppato da Morgan et
al. (1955), la formula (3.58) per la determinazione del coefficiente di portanza può essere modificata, tenendo conto dei valori corretti della curvatura e dell’angolo d’incidenza, per essere
riscritta come
·
CL = 2πµ
ϕ − βi − (t◦ /c) kt 2χ·f /c
+
kα
kc
¸
(3.98)
dove kc , kα e kt sono i fattori di correzione, ottenuti utilizzando la teoria della superficie portante, rispettivamente per curvatura, angolo d’incidenza e spessore della sezione di pala, e dove
t◦ /D è lo spessore adimensionale massimo sull’asse dell’elica. L’influenza dello spessore di pala
si riduce al diminuire della lunghezza di corda adimensionale di pala, c0.7R /D, ovvero del parametro (AE /A0 )/Z. Quando sia (AE /A0 ) < 0.05 Z, questa influenza può essere trascurata.
Come è noto, la curvatura, la sua distribuzione radiale e l’angolo d’incidenza ideale sono diversi
in flusso bidimensionale ed in flusso tridimensionale. La teoria della linea portante è in grado
di trattare gli effetti tridimensionali sulla pala di un’elica solamente in direzione radiale. Di
145
3 – Fondamenti della teoria vorticale
conseguenza, l’affidabilità nell’utilizzo della teoria della linea portante per il progetto e l’analisi
delle prestazioni di eliche con pale larghe dipende in grande misura dall’accuratezza del metodo
adottato per prevedere gli effetti tridimensionali della lunghezza di corda. Nella formulazione
dei diversi modelli matematici LLT sono effettuate ipotesi diverse circa la distribuzione di carico radiale e lungo le sezioni di pala. Ne deriva un complicato integrale singolare dal quale
calcolare la conseguente distorsione della pala per ottenere il carico richiesto. Oltre a determinare gli effetti del carico, Kerwin e Leopold (1964) hanno considerato l’effetto dello spessore di
pala ed hanno trovato che contribuisce significativamente alla necessaria distorsione di pala.
Per un’elica senza ‘skew’, l’effetto del carico sulla forma di pala comporta una curvatura ed
un angolo d’incidenza ideale maggiori di quelli richiesti in flusso bidimensionale per produrre
la stessa portanza. L’effetto principale dello spessore è di distorcere il flusso in maniera tale
che occorre aumentare l’angolo d’incidenza per garantire il carico desiderato. Analogamente,
l’effetto principale dello ‘skew’ è una variazione dell’angolo d’incidenza con un’ulteriore piccola
variazione della curvatura dei profili.
Quando si progetta un’elica, molto spesso si utilizzano le caratteristiche bidimensionali dei profili alari e si introducono fattori di correzione derivati dalla teoria della superficie portante per
ottenere la geometria dell’elica che fornisca la distribuzione del carico voluta per la condizione
assegnata.
Poiché i fattori di correzione per superficie portante possono essere derivati indipendentemente
dall’entità del carico e dello spessore dell’elica, è stato possibile calcolare una serie sistematica
di questi fattori di correzione, che possono essere utilizzati nel progetto dell’elica per ottenere
il passo e la curvatura di pala senza dovere ricorrere ad aggiustamenti empirici.
In virtù delle condizioni al contorno linearizzate, le correzioni per la curvatura e per l’angolo
d’incidenza ideale, che sono indipendenti dall’entità del carico dell’elica, possono essere derivate
considerando rispettivamente il rapporto della curvatura e dell’angolo d’incidenza ideale tridimensionale rispetto alla curvatura ed all’angolo d’incidenza ideale bidimensionale. I fattori di
correzione sono ovviamente dipendenti dalla distribuzione radiale del carico (o del passo), dal
numero di pale, nonché dall’area di pala e dalla sua forma. Analogamente si può derivare un
fattore di correzione per lo spessore, che non dipende dall’entità dello spessore, ma che dipende
dalle distribuzioni dello spessore radialmente e lungo la corda.
A cavallo tra gli anni ’60 e ’70 Morgan et al. (1968), Minsaas e Slaattelid (1971), e Cumming
et al. (1972) pubblicarono un’ampia gamma di fattori correttivi derivati da codici di calcolo
basati sulla teoria della superficie portante: utilizzarono il programma di calcolo sviluppato da
Kerwin e Leopold (1964) per tenere conto degli effetti dello spessore e quello implementato da
Cheng (1964, 1965) per tenere conto degli effetti del carico. L’insieme dei fattori correttivi resi
disponibili da questi autori coprono un vasto campo di variazione della geometria dell’elica.
Il numero di pale considerate è Z = 3, 4, 5, 6. I valori del rapporto AE /A0 sono 0.35, 0.55,
0.75, 0.95, 1.15. I valori esaminati del coefficiente d’avanzo induttivo sono λi = 0.4/π, 0.8/π,
1.2/π, 1.6/π e 2.0/π. L’angolo di ‘skew’ ha valori agli apici di pala pari a θs = 0◦ , 7◦ , 14◦ , 21◦ ,
180◦ /Z, 360◦ /Z. Le sezioni radiali sono r̄ = 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.
146
3.11 – Fattori di correzione per superficie portante
Conseguenze tridimensionali importanti di questi fattori di correzione sulla sezione di pala
sono gli effetti prodotti dal carico idrodinamico e dallo spessore sulla curvatura della linea mediana e sull’angolo d’incidenza ideale. Altri effetti 3D sono risultati relativamente insignificanti.
In flusso bidimensionale, per una linea mediana NACA a=0.8, se la curvatura massima è fmax ,
la lunghezza di corda c necessaria per ottenere il coefficiente di portanza CL della sezione è
fmax
= 0.06790·CL
c
e l’angolo d’incidenza ideale, espresso in gradi, vale
αi = 1.54 CL
mentre in flusso tridimensionale si ha rispettivamente
fmax
= 0.06790 kc ·CL
c
e
αi = 1.54 kα ·CL
Il fattore di correzione della curvatura, kc , dovuto al carico, è definito come il rapporto dell’ordinata massima della curvatura richiesta per avere uno specifico coefficiente di portanza in un
flusso tridimensionale rispetto alla ordinata massima che genera lo stesso coefficiente di portanza in un flusso bidimensionale. Questo fattore è quasi sempre maggiore dell’unità a causa
della curvatura del flusso indotto lungo la sezione di pala, la quale riduce in effetti la curvatura
geometrica.
Il fattore di correzione dell’angolo d’incidenza ideale, kα , dovuto al carico, è definito come il
rapporto tra l’angolo d’incidenza ideale in un flusso tridimensionale ed il valore bidimensionale
per un coefficiente di portanza eguale all’unità. Questo comporta che per un assegnato coefficiente di portanza, l’angolo d’incidenza ideale tridimensionale è maggiore del corrispondente
valore bidimensionale.
Il fattore di correzione dell’angolo d’incidenza ideale, kt , dovuto allo spessore è definito come
il rapporto tra l’angolo d’incidenza tridimensionale indotto dallo spessore di pala e lo spessore
adimensionale di pala sull’asse dell’elica. Il coefficiente kt fornisce il valore dell’angolo αt che
deve essere aggiunto all’angolo (βi + αi ), e che può essere calcolato in radianti come
t◦
α t = kt ·
D
I valori di questo fattore di correzione sono per la maggior parte positivi, il che indica che
l’effetto dello spessore richiede un angolo d’incidenza positivo addizionale per ottenere il valore
atteso del coefficiente di portanza.
Le eliche per le quali furono effettuati i calcoli mediante la teoria della superficie portante
avevano un raggio del mozzo pari a r̄h = 0.2, con distribuzione di spessore NACA 66∗ e linea
mediana NACA a=0.8 a tutti i raggi.
147
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Lungo il raggio di pala di queste eliche la distribuzione di spessore è data da
tmax (r̄)
=
D
µ
¶
t◦
− 0.003 ·(1 − r̄) + 0.003
D
dove tmax è lo spessore massimo al raggio r̄.
La lunghezza di corda è data dalla formula
c(r̄)
k(r̄) AE
=
·
D
Z A0
dove k(r̄) = 1.6338, 1.8082, 1.9648, 2.0967, 2.1926, 2.2320, 2.1719, 1.8931, 1.5362, 0, rispettivamente ai raggi r̄ = 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95, 1.0.
È considerata ammissibile l’applicazione di questi fattori di correzione ad eliche che presentano
distribuzioni di curvatura e di spessore delle sezioni non troppo diverse, differenti profili di pala
e diverse distribuzioni di carico radiale.
La distribuzione radiale dello ‘skew’ fu scelta in modo che la curva luogo dei punti a metà
lunghezza di corda fosse un arco circolare nel piano dell’area espansa, calcolata mediante
l’equazione
q
skew
= Rs − Rs2 − (r̄ − 0.2)2
(3.99)
R
dove
skewtip
θs
0.32
+
e
skewtip =
Rs =
skewtip
2
cos βi
essendo θs l’angolo di ‘skew’.
La rappresentazione polinomiale di questi fattori di correzione offre molti vantaggi. Si evitano,
tra l’altro, complicate procedure d’interpolazione per il caso frequente nel quale siano richiesti
i fattori di correzione per valori intermedi delle quattro variabili indipendenti che sono Z, θsr̄ ,
AE /A0 e λi . Per i valori calcolati da Morgan et al. (1968) e da Minsaas e Slaattelid (1972),
van Oossanen (1974) ricavò le polinomiali che forniscono i fattori di correzione per superficie
portanta mediante un metodo di regressione multipla; tali fattori sono formulati come
kc , k α , k t =
X
i
µ
AE
ci ·Z ·(tan θsr̄ ) ·
A0
si
ti
¶ui
·(λi )vi
(3.100)
dove θsr̄ è l’angolo di ‘skew’ locale.
I coefficienti ci e gli esponenti si , ti , ui e vi sono forniti da van Oossanen (1974) per le ventisette
polinomiali ai nove raggi suddetti, valide per i seguenti campi di definizione delle variabili

q
0 ≤ tan θsr̄ ≤ 1.02556 −
3≤Z≤7 






2
1.05177 − (r̄ − 0.2) 


0.35 ≤ AE /A0 ≤ 1.15 

0.4/π ≤ λi ≤ 2/π
148




3.11 – Fattori di correzione per superficie portante
L’angolo di ‘skew’ locale, mostrato in Figura 3.39, è definito come l’angolo tra la linea radiale
che passa attraverso la curva di ‘skew’ effettivo della pala dell’elica al raggio considerato e la
retta radiale tangente a questa curva di ‘skew’ al raggio dove lo ‘skew’ è minimo, ossia al raggio dove la coordinata polare angolare è massima nel verso di rotazione. È stato ricavato che
tutte le curve, quando sia stata eliminata la dipendenza dal numero di pale, mostrano tendenze
regolari che hanno consentito l’estrapolazione da Z = 6 a Z = 7. Le polinomiali per r̄ = 0.2
e r̄ = 1.0 sono state ottenute per estrapolazione e dovrebbero essere utilizzate per avviare le
grandezze varianti radialmente vicino al mozzo ed all’apice.
Le polinomiali della formula (3.100) sono valide solamente per uno ‘skew’ moderato, ossia 0◦
per r̄ = 0.2, 0.3◦ per r̄ = 0.3, 1.2◦ per r̄ = 0.4, 2.6◦ per r̄ = 0.5, 4.7◦ per r̄ = 0.6, 7.5◦ per
r̄ = 0.7, 11.2◦ per r̄ = 0.8, 16◦ per r̄ = 0.9 e 21◦ per r̄ = 1.0. Per ‘skew–back’ elevati, si
possono utilizzare i dati pubblicati da Cumming et al. (1972). Questi valori, comunque, sono
forniti solamente per il valore AE /A0 = 0.75 e solamente per due valori del coefficiente d’avanzo
induttivo, ossia λi = 0.8/π e λi = 1.2/π.
Figura 3.39.
Definizione dello skew effettivo e degli angoli di skew locale
Utilizzando ancora il metodo di regressione multipla, van Oossanen (1974) ha derivato per
questi valori le polinomiali
kc , kα , kt =
X
ci ·r̄ai ·Z bi ·(θsr̄ )di
(3.101)
i
dove θsr̄ è l’angolo di ‘skew’ locale espresso in radianti. È fornito un insieme di polinomiali per
AE /A0 = 0.75 e λi = 0.8/π, ed un insieme per AE /A0 = 0.75 e λi = 1.2/π.
I valori approssimati di questi fattori di correzione per superficie portante per valori diversi
dell’area espansa e dei coefficienti d’avanzo possono essere determinati da queste polinomiali
determinando il differenziale totale
·
µ
AE
k = k◦ Z◦ , θsr̄ ,
A0
¶
◦
¸
, (λi )◦ +
µ
∂k
∂Z
¶
µ
∆Z +
◦
∂k
∂(AE /A◦ )
¶
dove (AE /A◦ )◦ = 0.75, (λi )◦ = 0.8/π o 1.2/π e Z◦ = 4,5 o 6.
149
µ
AE
∆
A0
◦
¶
µ
+
∂k
∂λi
¶
◦
∆λi (3.102)
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Nella formula (3.102) le derivate di k devono essere determinate rispetto al rapporto d’area
espansa, al coefficiente d’avanzo induttivo ed al numero di pale. Le espressioni approssimate
di queste derivate possono essere ottenute differenziando le polinomiali (3.100) ottenute per
‘skew’ moderato.
Finché non fu implementata 1a teoria della superficie portante, furono sviluppati parecchi sistemi di correzione alla lunghezza della corda di pala. Ne vengono elencati alcuni.
Papmel (1936) ipotizzò che la componente tangenziale della velocità indotta aumenti linearmente kungo la corda di pala da zero al suo valore nella scia all’infinito a valle, ed ottenne una
correzione per curvatura ùmediante la semplice formula
∆ (f /c) = 0.25 sin2 βi ·tan(βi − β ∗ )
(3.103)
dove ∆ (f /c) è la variazione di curvatura che, nel caso del problema diretto, deve essere sottratta al valore della curvatura reale della sezione di pala considerata, mentre nel caso del problema
inverso deve essere aggiunta al valore ottenuto con la teoria della linea portante. Se nel progetto
dell’elica (problema inverso) per la sezione di pala a 0.7R si utilizza la correzione di Papmel
invece di quella ottenuta con la LST, la curvatura della sezione di pala viene ridotta dell’11%.
Comunque, la correzione di Papmel non considera un certo numero di condizioni importanti,
quali il carattere della distribuzione di carico lungo la corda o la forma del contorno di pala.
Diffusa applicazione incontrarono anche le correzioni della larghezza di pala ottenute mediante
l’utilizzo della teoria del flusso attorno ad una cascata idrodinamica infinita piana. Questo approccio è basato sul fatto che il moto del fluido intorno all’elica avviene approssimativamente
lungo una superficie cilindrica. Infatti, svolgendo questo cilindro su una superficie piana, è
possibile osservare la somiglianza tra il flusso attorno al profilo immerso in una cascata e quello
intorno alla sezione cilindrica, il che consente di considerare in modo approssimato la presenza
delle pale contigue. Correzioni di questo tipo sono usate anche per la curvatura e per l’angolo
d’incidenza. I loro valori dipendono dal passo della cascata relativa 2πr/(Z ·c) e dall’angolo
di passo ϕ dell’elemento di pala considerato. Uno svantaggio notevole delle correzioni di tale
tipo è dovuto al fatto che non considerano il flusso tridimensionale. Le pressioni molto a monte
ed a valle della cascata in un flusso piano sono differenti, mentre in un flusso tridimensionale
sono considerati eguali se le forze centrifughe sono piccole. Per superare questo inconveniente,
Gutsche (1938) propose un sistema di correzioni per la corda di pala ottenuto utilizzando i
risultati di prove con cascata di apertura finita in una galleria aerodinamica.
Il confronto dei risultati ottenuti da calcoli effettuati con metodi differenti per tenere conto della
corda di pala, mostrano che, per quanto riguarda le caratteristiche globali delle eliche di geometria semplice, quei risultati sono ben correlati tra loro ed anche con gli esperimenti. Quando
si calcolano le caratteristiche di distribuzione, ossia il carico e la pressione lungo la corda, e
quando si vuole risolvere il problema inverso (progetto), tali differenze possono raggiungere
valori significativi. Di conseguenza, in tali casi i calcoli dovrebbero essere effettuati mediante
l’applicazione della teoria della superficie portante sotto forma di correzioni corrispondenti,
oppure con l’applicazione di codici numerici sviluppati allo scopo.
150
3.12 – Condizione ottimale dell’elica
3.12
Condizione ottimale dell’elica
Nel progetto finale l’elica ottimale dovrebbe spingere la nave alla velocità definita contrattualmente, massimizzando cosı̀ la spinta, mentre assorbe una potenza predefinita ad un preciso
numero di giri. In alternativa, si può volere minimizzare il momento torcente per una spinta
prescritta. Ovviamente, la soluzione di questo problema richiede un’ottimizzazione multicriteriale, che introduce come variabili e parametri le diverse caratteristiche geometriche dell’elica.
Questa definizione del problema parte dall’assunto che ad un certo stadio del progetto dell’elica
sono stati già scelti il motore principale ed il riduttore, per cui sono noti la potenza da assorbire
ed il numero di giri dell’elica. Ovviamente, il rendimento quasi–propulsivo è massimizzato per
la massima velocità nave. In questa sede, il problema dell’ottimizzazione dell’elica viene ridotto
alla determinazione della distribuzione ottimale del passo geometrico, ossia della distribuzione
ottimale della circolazione.
3.12.1
Formulazione del problema
Il problema da risolvere nel processo di ottimizzazione è il seguente: essendo assegnati la potenza sviluppata al mozzo, PD , ed il numero di giri dell’elica n, ed avendo determinato la spinta
richiesta, Tr = Tr (Vs ), e la distribuzione di scia effettiva, w = w(r, Vs ), si devono ricavare la velocità nave massima possibile, Vs , la spinta dell’elica, Tp , ed il rendimento quasi–propulsivo, ηD .
La soluzione di questo problema non è determinabile in un passo in quanto Vs è incognita; si
deve ricorrere, quindi, ad una procedura iterativa. Si assume una velocità nave Vs , e con gli
assegnati valori di PD ed n si massimizza la spinta dell’elica Tp . Se questa spinta è minore
(maggiore) della corrispondente Tr , si diminuisce (aumenta) Vs e si ripete la procedura finché
è Tp = Tr .
Questo problema, sebbene non sia ovvio, ha come soluzione una distribuzione del passo idrodinamico identica a quella del problema dell’ottimizzazione più tradizionale dell’elica, dove si
vuole minimizzare la potenza assorbita PD per gli assegnati valori di VS , T , w e n.
L’equivalenza dei due problemi può essere dedotta facilmente se si segue la procedura di Yim
(1976), ma con il coefficiente di spinta CT da massimizzare (piuttosto che CP da minimizzare),
con un predeterminato coefficiente di potenza CP (piuttosto che il coefficiente di spinta CT ).
In questo modo, i criteri tradizionali di ottimizzazione possono essere applicati anche a questa
definizione del problema.
Mentre altre considerazioni, quali l’innesco della cavitazione per vortice d’apice, possono costringere ad allontanarsi dalla condizione ottimale, questo è un logico punto di partenza nel
processo progettuale. Il problema dell’ottimizzazione dell’elica può essere risolto utilizzando
il metodo del calcolo variazionale. Ma le equazioni risultanti, sebbene possano essere risolte
rapidamente al computer, sono nonlineari e complicate, ma soprattutto sono di poco aiuto alla
comprensione fisica del problema.
151
3 – Fondamenti della teoria vorticale
D’altra parte, l’approccio iniziale sviluppato da Betz (1919) per un’elica in flusso uniforme
con velocità VS , ed esteso successivamente da Lerbs (1952) per un’elica adattata alla scia, è
relativamente semplice da derivare ed è intuitivo dal punto di vista fisico. Si supponga di avere
una distribuzione ottimale di circolazione e che questa generi la spinta desiderata, e si ipotizzi
di perturbare questa circolazione aggiungendovi un incremento δΓ al reggio arbitrario r. Ciò
comporta una variazione incrementale δT della spinta e δQ del momento torcente. Il risultato
di questo processo è il rapporto tra potenza in uscita e potenza in ingresso
η∗ =
δT ·VS
δQ·ωr
(3.104)
Se la distribuzione Γ (r) è veramente ottimale, η ∗ deve essere indipendente dal raggio; altrimenti, la circolazione dovrebbe essere diminuita ad un raggio dove η ∗ è basso ed incrementato di
una quantità corrispondente ad un raggio dove η ∗ è elevato. Il risultato sarebbe una riduzione
del momento torcente per una spinta assegnata, contraddicendo cosı̀ l’asserzione che Γ (r) sia
ottimale. In ogni caso, questa è fondamentalmente una formulazione fisicamente consistente
del principio variazionale.
Comunque, se si cercasse di esprimere l’equazione (3.104) in funzione della circolazione e dei
fattori di induzione della velocità indotta, le espressioni risultanti non sarebbero affatto semplici. Questo accade in quanto l’incremento della circolazione introdotto ad un raggio particolare,
r, non solo fa variare la forza localmente, ma altera la forza su tutto il raggio per effetto della
conseguente variazione della distribuzione della velocità indotta. Betz superò questa difficoltà
impiegando un principio sviluppato da Munk, il quale afferma che la forza totale su una superficie portante rimane invariata se un elemento della circolazione concatenata è spostato in
direzione di una linea di corrente. Il teorema di Munk deriva dal principio che la forza su una
superficie portante può essere ottenuta solamente da un’analisi della variazione della quantità
di moto nel campo di flusso lontano dalla superficie portante ed assumendo che il flusso in questo campo dipenda solamente dall’intensità dei vortici liberi, che a sua volta non è influenzata
da uno spostamento lungo una linea di corrente della vorticità concatenata.
Betz aggiunse perciò l’incremento della vorticità concatenata alquanto a valle dell’elica, cosı̀
da non avere alcuna interazione tra l’incremento della circolazione ed il flusso sulla linea portante dell’elica. D’altra parte, la forza locale agente sull’elemento aggiunto della circolazione
concatenata deve includere l’effetto del raddoppio delle velocità indotte
δFx (r) = ρ [ωr + 2ut (r)] δΓ
δFt (r) = ρ [VS + 2ua (r)] δΓ
Se si assume che siano ut (r) << ωr e ua (r) << VS , si possono effettuare alcune manipolazioni
algebriche grazie alle quali si ottiene
"
#
·
δT ·VS ωr
VS + 2ua (r) + u2a /VS
VS (ωr)2 + 2ωrut + u2t
VS ωr + ut
·
≈
=
=
2
2
2
δQ·ω VS
ωr VS + 2VS ua + ua
ωr VS + ua
ωr + 2ut (r) + ut /VS
152
¸2
(3.105)
3.12 – Condizione ottimale dell’elica
Se si combinano le equazioni (3.105) e (3.61), il rendimento diviene
·
η=
δT ·VS
ωr + ut (r)
=
δQ·ω
VS + ua (r)
¸2 ·
VS
ωr
¸2
·
=
tan β(r)
tan βi (r)
¸2
(3.106)
Per un’elica con una distribuzione ottimale del carico radiale l’equazione (3.106) deve essere
indipendente dal raggio; altrimenti una redistribuzione della circolazione potrebbe variare il
rendimento globale. Si ha perciò il risultato
tan β(r)
= cost.
tan βi (r)
(3.107)
che è noto come condizione di Betz .
In base a questa condizione, il flusso indotto sulla linea portante deve formare una superficie
elicoidale a passo costante. La condizione di Betz è il corretto risultato lineare nel caso di flusso
ideale ed omogeneo. La costante incognita nell’equazione (3.107) è funzione della spinta desiderata, il cui valore può essere determinato solamente dopo avere calcolato le velocità indotte.
La prima soluzione per la distribuzione della circolazione che soddisfa la condizione di Betz fu
sviluppata da Prandtl che utilizzò un metodo approssimato per ottenere la velocità indotta.
Questo metodo fu seguito da una soluzione esatta dovuta a Goldstein (1929).
Ragionamenti simili sono applicabili nel caso di un flusso assiale non–uniforme o di un’elica
adattata alla scia. In questo caso si può ottenere la condizione di Lerbs formulata come
q
tan β(r)
= ² 1 − wx (r)
tan βi (r)
(3.108)
dove ² è una costante incognita.
Yim (1976) ha derivato la maggior parte dei criteri di ottimizzazione del passo, estendendoli
per tenere conto della resistenza d’attrito di pala e della resistenza delle cavità. Nel caso di
eliche convenzionali subcavitanti, Yim sostiene che possono essere trattate mediante teorie a
potenziale e che perció il criterio di Betz, secondo il quale il passo idrodinamico è costante,
può essere applicato ad eliche operanti in flusso omogeneo, mentre il criterio di Lerbs, secondo
il quale la distribuzione del passo idrodinamico dovrebbe essere
q
Pi = 2πλi = 2πr tan βi = c
1 − w(r)
può essere utilizzato per ottimizzare le eliche adattate alla scia. Tutti questi criteri sono stati
derivati utilizzando diverse ipotesi semplificative.
L’ipotesi fondamentale per la scia delle eliche navali è che sia modellata mediante linee elicoidali di raggio ed angolo d’avanzo costanti. Ma questo modello di scia viola il teorema base dei
flussi vorticosi secondo il quale la scia dovrebbe muoversi con il fluido e viola anche la legge di
continuità in quanto non prevede la contrazione della scia. La causa di queste inconsistenze è
che le velocità indotte dalla scia nell’infinito a valle, che non sono piccole per le eliche navali,
sono doppie delle velocità indotte sul disco–elica, e che dietro il disco–elica esistono le componenti radiali delle velocità.
153
3 – Fondamenti della teoria vorticale
La scia effettiva delle eliche marine non corrisponde affatto a questo modello matematico. Gli
esperimenti su modelli hanno dimostrato che i vortici liberi, dopo una piccola zona di transizione, si avvolgono in un vortice elicoidale d’apice ed in un nucleo vorticoso rettilineo che si
stacca dal mozzo.
Anche se le ipotesi suddette relative al modello matematico della scia sembrano giustificate dal
punto di vista ingegneristico, questo modello non può essere assolutamente utilizzato in procedure di ottimizzazione senza effettuare verifiche sperimentali. Inoltre, anche quando si utilizza
il modello approssimato di scia, la trattazione matematica della procedura di ottimizzazione
necessita di un’ulteriore ipotesi base, ossia che la scia sia ‘congelata’ durante la variazione della
distribuzione della circolazione, mentre si ricerca la distribuzione ottimale della circolazione e
la corrispondente distribuzione del passo.
3.12.2
Condizione ottimale generalizzata
In base alle formule (3.55) ed alla (3.56), sostituendovi la (3.54) e la condizione che sia
T =
TE
1−t
(3.109)
è possibile esprimere le caratteristiche dinamiche dell’elica come
T = ρZ
Q = ρZ
Z R
rh
Z R
rh
Γ VR (cos βi − ε sin βi ) dr
(3.110)
Γ VR (sin βi + ε cos βi )·r dr
(3.111)
Si consideri il sistema elica–carena. La formula che esprime le perdite di potenza in questo
sistema è del tipo
∆PD = Qω − TE V
(3.112)
Il rapporto tra potenza utile e potenza sviluppata, che rappresenta il rendimento quasi–
propulsivo del sistema, è
ηD =
T (1 − t)·V
T (1 − t)·V + ∆PD
(3.113)
Le caratteristiche di un qualsiasi sistema elica–carena sono del tutto definite da Z, rh , R, ρ,
V , ω, t, ε(r), Γ (r), βi (r). Se si assume, inoltre, che siano noti il parametro λw ed il campo di
~w sul disco-elica, utilizzando le formule (3.7), (3.43), (3.44) e (3.45),
velocità dei vortici liberi V
è possibile ricavare VR (r) e βi (r) per un’assegnata distribuzione di circolazione Γ (r) .
154
3.12 – Condizione ottimale dell’elica
In questo modo, la ricerca dell’elica ottimale operante nel sistema elica–carena può essere vista
come la ricerca della legge della distribuzione radiale di circolazione Γ (r) che assicuri il massimo rendimento quasi–propulsivo ηD , non appena siano determinati la forza di rimorchio TE
ed i parametri Z, rh , R, ρ, V e ε(r), Vwx (r), Vwt (r) e λw .
Naturalmente, invece della legge ottimale per la distribuzione di circolazione, si potrebbe ricavare la condizione ottimale dalla quale derivare questa distribuzione. Questo problema non è
stato ancora risolto del tutto. Comunque, è stata trovata una soluzione per un certo numero di
casi. Ad esempio, per un’elica leggermente caricata la condizione ottimale fu ricavata da Betz.
La condizione ottimale generalizzata può essere scritta nella forma
~u∗∞ =
´
~u∗n∞
2~u∗nd
λ2tv wt ε ³ 2
2
=
=
c
−
λ
(t
−
w
)
−
−
r̄
+
λ
tv
x
tv
◦
◦
cos βw
cos βw
r̄
r̄
(3.114)
dove ~u∗∞ e ~u∗n∞ sono adimensionalizzate rispetto a ωR, e rappresentano rispettivamente la velocità di spostamento e la componente normale della velocità indotta sui punti corrispondenti
◦ è l’angolo di passo della superfidella superficie libera vorticosa all’infinito a valle dell’elica; βw
cie libera vorticosa pari, secondo l’ultima delle relazioni (3.54), a tan−1 (λw /r̄) e corrispondente
ad un passo predeterminato radialmente costante; c è una costante il cui valore è determinato
dall’equazione e che assicura la forza di rimorchio data (spinta); λtv = V /ωR è il coefficiente
d’avanzo alla velocità nave; wx = −Vwx /V e wt = −Vwt /V sono rispettivamente il coefficiente
della componente media circonferenziale del campo di velocità sul disco–elica; t è il fattore
di deduzione di spinta, indipendente dal raggio; ε è una funzione caratterizzante la distribuzione radiale della qualità inversa delle sezioni di pala dell’elica. Questa formulazione fornisce la
condizione ottimale richiesta nell’ambito dello schema lineare ed è valida entro i limiti seguenti:
1. i valori di t, wx (r), wt (r), ε(r), λw , λtv , u∗∞ sono piccole quantità del primo ordine, mentre
i parametri rh e λw non sono piccoli; si rientra perciò nel caso di carico leggero con l’unica
differenza, rispetto alle ipotesi di Betz, che nel caso generale il passo dei filamenti vorticosi liberi non è uguale al passo della traiettoria dei punti corrispondenti della linea portante;
2. il campo esterno di velocità, caratterizzato dalle funzioni wx (r) e wt (r), è considerato
fisso e non dipendente dalla distribuzione radiale della circolazione;
3. il fattore di deduzione di spinta t è considerato noto ed anch’esso non dipendente dalla
distribuzione radiale di circolazione; comunque, se si ipotizza noto il campo di velocità
nominale nella scia assai a poppavia della carena, e se è descritto dalle funzioni wx∞ (r̄)
e wt∞ (r̄), è possibile evitare di dovere fare ipotesi circa t dal momento che il suo valore
non è compreso nelle espressioni considerate;
4. viene utilizzata l’ipotesi di stazionarietà, per cui il campo esterno di velocità è assunto
assial–simmetrico e coassiale con l’elica, dopo avere calcolato la media circonferenziale
del campo di velocità reale;
5. si suppone, infine, che la disuniformità del campo esterno di velocità sia piccola, per cui
si può applicare l’approccio quasi–potenziale; di conseguenza, nella determinazione delle
forze e delle velocità indotte si possono utilizzare le relazioni della teoria della linea portante che sono del tutto valide solo per flussi potenziali.
155
3 – Fondamenti della teoria vorticale
La correttezza della suddetta condizione ottimale generalizzata può essere dimostrata in base
alla relazione che lega le perdite di potenza tra una condizione qualsiasi e quella ottimale
∆PD − ∆PD◦ = ρZ ω
Z R
rh
(Γ − Γ ◦ )
un∞ − u◦n∞
r dr
◦
2 cos βw
(3.115)
dove l’apice ‘◦’ indica i valori dei parametri quando sia soddisfatta la condizione ottimale
(3.114). L’esattezza di questa relazione viene dimostrata, a sua volta, mediante alcune trasformazioni, nel corso delle quali è importante considerare l’eguaglianza delle spinte al raggio
considerato e della distribuzione ottimale della circolazione. Analogamente va considerata la
correttezza dell’equazione
Z R
rh
Γ
u◦n∞
r dr =
◦
cos βw
Z R
rh
Γ◦
un∞
r dr
◦
cos βw
(3.116)
ottenuta da Polyahov (1948) mediante l’utilizzo della seconda formula di Green per il flusso
potenziale costituito da elicoidi regolari ed esterno alla superficie dei vortici liberi. Se a tale
flusso si applica la prima formula di Green, è possibile provare la correttezza della disequazione
Z R
rh
Γ
un∞
r dr > 0
◦
cos βw
(3.117)
per ogni funzione Γ (r) diversa da zero e sufficientemente avviata. Se si accetta che sia Γ 6= Γ ◦ ,
dalle relazioni (3.115) e (3.117) deriva direttamente che è ∆PD − ∆PD◦ > 0, ossia che nelle
ipotesi suddette le perdite di potenza del sistema elica–carena, di assegnata forza di rimorchio
e di distribuzione casuale di circolazione non–ottimale, sono sempre più elevate delle perdite
dello stesso sistema con la stessa forza di rimorchio ma con distribuzione di circolazione ottimale, data dalla formula (3.114).
La condizione ottimale generalizzata cosı̀ ottenuta, in base alle osservazioni suddette, è esattamente valida solo per eliche leggermente caricate, ossia quando t, wx , wt , ε, u∗∞ e (λw − λtv )
tendono a zero. Il carattere asintotico della condizione ottenuta consente di effettuarne le trasformazioni, che sono corrette solamente tenendo conto di questa caratteristica; ad esempio, per
wx → 0 asintoticamente, trascurando i piccoli termini del secondo ordine, è pressoché corretta
la seguente identità
wx √
1
wx ≈ 1 + 2 ≈ 1 + wx
1−
2
In base a quanto detto e tenendo conto dell’equazione (3.61), mediante trasformazioni algebriche è possibile provare che le seguenti formule per la condizione ottimale generalizzata sono
equivalenti alla (3.114), poiché le differenze nei risultati sono marginali per effetto dei piccoli
termini del secondo ordine che erano stati trascurati nel ricavare la condizione (3.114).
156
3.12 – Condizione ottimale dell’elica












2und



◦

ωR cos βw 
2und
ωR cos βi













2und



∗
ωR cos β
2und
ωR cos β
≈ c − λtv (t − wx ) −
λ2tv wt ε 2
− (r̄ + λ2tv )
r̄
r̄
(3.118)


t
wx λ2tv wt
ε r̄2 + λ2tv
c


−
+
−
−
·
1
+



2λtv
2
2
2r̄
2r̄ 2λtv

tan βi
≈
s
tan β ∗ 






(3.119)
(1 − t) (1 − λtv wt /r̄) (1 + c/λtv − ε r̄/λtv )
(1 − wx ) (1 + ε λtv /r̄)


t
wx λ2tv wt
ε r̄2 + λ2tv
c


−
−
+
−
1
+



2λtv
2
2
2r̄
2r̄ 2λtv

r̄ tan βi
≈
s

λtv






(3.120)
(1 − t)(1 − wx )(1 + c/λtv − ε r̄/λtv )
(1 − wt λtv /r̄)(1 + ελtv /r̄)
r̄ tan βi∞
(1 − t)(1 + c/λtv − ε· r̄/λtv )
≈
λtv
1 + ελtv /r̄
(3.121)
dove conformemente alle ipotesi suddette sono
r̄ tan β = λtv = cost.
r̄ tan βw = λw = cost.
r̄ tan β ∗ = λtv
1 − wx
1 − λtv wt /r̄
r̄ tan βi = r̄ tan β ∗ +
◦)
und /(ωR cos βw
1 − λtv wt /r̄
r̄ tan βi∞ = r̄ tan β ∗ +
◦)
2und /(ωR cos βw
1 − λtv wt /r̄
Si deve osservare che applicando praticamente queste formule, relative alla condizione ottimale
generalizzata, le differenze tra i risultati da loro prodotte potrebbero essere significative. Ma
entro i limiti della presentazione qui sviluppata non occorre dimostrare quale delle formule
ottimali generali dovrebbe essere preferita.
157
3 – Fondamenti della teoria vorticale
Dalla condizione ottimale generalizzata è possibile ricavare molte delle condizioni ottimali conosciute. Si considerano qui le più importanti.
Caso 1. Se si trascurano le perdite viscose durante il moto delle particelle fluide dal disco–elica
all’infinito dietro la carena, qualora si conosca il campo di velocità nominale assai a valle nella
scia, caratterizzato dalle funzioni wx∞ e wt∞ (con wx∞ = wf ∞ , che è la frazione di scia d’attrito
molto a valle della carena), la condizione ottimale generalizzata (3.114) assume la forma
ū∗∞ = c + λtv wx∞ −
λ2tv wt∞
ε
− (r̄2 + λ2tv )
r̄
r̄
(3.122)
Questa condizione corrisponde alla perdita minima, ossia al massimo rendimento propulsivo
per una data forza di rimorchio, e non per la spinta assegnata, poiché in questo caso non esiste
alcuna limitazione per il fattore di deduzione di spinta.
La suddetta condizione è ottenibile dalla condizione (3.114) in base a quanto segue. Innanzi
tutto, è evidente che per un’elica installata molto a poppavia della carena risulta t = 0, e
wx = wx∞ , wt = wt∞ ; ossia, è facile ottenere la formula (3.122) dalla condizione (3.114). In
secondo luogo, in base alla legge della conservazione della quantità di moto, il sistema elica–
carena è del tutto determinato dal campo di velocità all’infinito dietro la carena. Questo è
il motivo per cui due eliche leggermente caricate, una posizionata vicino alla carena, mentre
l’altra è alquanto a valle della carena, svilupperanno un’identica forza di rimorchio se sono
eguali le distribuzioni radiali di circolazione, e quindi le velocità indotte all’infinito a valle.
Perciò il campo di velocità esterno non dipende dalla posizione dell’elica, in quanto è considerato nominale, ossia indipendente dall’azione dell’elica. In terzo luogo, in base all’equazione
del bilancio d’energia espressa in forma integrale, è possibile affermare che nel caso di elica
leggermente caricata le perdite di potenza dei due sistemi considerati sono uguali poiché le loro
velocità indotte all’infinito nella scia sono uguali. Si può concludere, quindi, che la formula
(3.122) fornisce la condizione ottimale richiesta per un’elica leggermente caricata, qualunque
sia la sua posizione rispetto alla carena. Per w∞ = 0 e ε = 0, questa condizione coincide con
quella derivata per il sistema carena - elica ideale.
Caso 2. Se non si considerano le perdite viscose del profilo, ossia per ε = 0, il passo idrodinamico all’infinito, definito mediante la relazione (3.121), è ottimale lungo il raggio (Fig. 3.40);
ossia
µ
¶
c
πr̄ tan βi∞ = λtv (1 − t) 1 +
= cost,
(3.123)
λtv
Questa formula rende evidente che per un’elica isolata, quando è t = 0, il passo idrodinamico è
uguale a (λtv +c). In questo caso si può dimostrare che se si ipotizza che il passo della superficie
dei vortici liberi sia eguale a questo valore, ossia che si abbia λw = λtv +c, la condizione ottimale
(3.123) sarebbe corretta non solo per carico leggero, ma per un carico qualunque.
158
3.12 – Condizione ottimale dell’elica
Figura 3.40. Diagramma delle velocità dell’elica ottimale leggermente caricata
Questa conseguenza, a rigore, non è corretta nel caso 1 in quanto è
r̄ tan βi∞
c
=1+
− (wx − wx∞ )
λtv
λtv
mentre (wx − wx∞ ) non è costante lungo il raggio, sebbene nel caso di carico leggero, in base
alla (3.66), sia costante in direzione radiale poiché è (wx − wx∞ ) ' t = cost.
Caso 3. Il rendimento propulsivo della sezione di pala senza considerare le perdite del profilo
è pari a
η(r) =
tan β
λtv (1 − t)
TE ·Va
=
(1 − t) =
ω dQ
tan βi
r̄ tan βi
(3.124)
che generalmente, in base all’equazione (3.120), non è costante lungo il raggio.
Caso 4. Se si assume che siano λw = λtv = λt , t = 0, wx = wt = 0 e ε = 0, si può ottenere la
condizione ottimale di Betz per un’elica isolata leggermente caricata. In questo caso le relazioni
(3.118) si trasformano nella condizione
2und
=c
(3.125)
ωR cos β
che coincide appunto con la condizione di Betz, da lui formulata come teorema. L’elica che
soddisfa la condizione ottimale di Betz è detta elica ottimale nel senso di Betz . Il diagramma
di velocità di tale elica è stato fornito in Figura 3.21. Per tale elica di devono considerare
quattro proprietà importanti:
ū∗∞ =
1. Poiché è βw = β, la superficie dei vortici liberi è elicoidale e coincidente con la traiettoria
dei punti della linea portante. In base all’equazione (3.125) il campo delle velocità indotte all’infinito dietro l’elica ottimale nel senso di Betz coincide con il campo di velocità
indotte da un moto traslatorio di Z elicoidi nel fluido ideale con velocità ux∞ nel flusso a
valle lungo l’asse dell’elica.
159
3 – Fondamenti della teoria vorticale
2. In base all’equazione (3.120), il passo idrodinamico πr̄ tan βi è costante lungo il raggio.
Se si utilizza la costante λi invece di r̄ tan βi , λi e λtv definiscono del tutto la velocità
dell’elica ottimale di Betz. Di conseguenza, la velocità di spostamento ux∞ e la costante
c sono legate dalla relazione
c
ū∗
= ∞ = λi − λt
2
2ωR
(3.126)
3. Il rendimento induttivo dell’elemento di pala è costante lungo il raggio. Infatti, in base
alla relazione (3.120) valgono le relazioni
ηi (r) =
Va dT
tan β
λ
c
=
=
≈1+
= cost.
ω dQ
tan βi
r̄ tan βi
2λt
(3.127)
Perciò il rendimento induttivo dell’elica ηi è uguale alla costante suddetta, il che permette
di scrivere
ηi = ηi (r) =
tan β
λt
=
tan βi
λi
(3.128)
4. Secondo la formula (3.121) il passo delle linee di flusso all’infinito dietro l’elica, è costante
lungo il raggio (πr̄ tan βi∞ ). Questa proprietà non contraddice la proprietà 2, poiché
ambedue posseggono un carattere asintotico e sono del tutto soddisfatte solamente per
carico tendente a zero, ossia per u∗∞ → 0.
Caso 5. Se si ipotizza che siano t = 0, wx = ut = 0, ε = 0, rh = 0, e che sia
c
(3.129)
2
è facile ricavare la condizione ottimale per un’elica isolata e moderatamente caricata, proposta
da Prandtl come generalizzazione del teorema di Betz. In questo caso, la condizione ottimale
generale, espressa mediante la formula (3.118) assume la forma
λw = λi +
ū∗∞ =
2und
=c
ωR cos βi
(3.130)
che può essere definita come condizione di Prandtl. I1 diagramma delle velocità di un’elica ottimale nel senso di Prandtl è illustrato in Figura 3.22. Il risultato riportato è valido per un’elica
moderatamente caricata. Come è stato verificato mediante numerosi calcoli, la condizione di
Prandtl non è corretta quando l’elica è pesantemente caricata. Comunque, la differenza nei
valori progettuali del rendimento di ambedue le eliche - quella ottimale e quella che soddisfa la
condizione di Prandtl - è intorno all’1%, anche per carichi maggiori. Questo è il motivo per cui
nei calcoli ingegneristici è del tutto plausibile utilizzare la condizione (3.130) per il progetto di
un’elica moderatamente caricata.
Tutte le proprietà suddette per un’elica ottimale nel senso di Betz sono corrette anche in
questo caso, con la sola differenza che il passo della superficie dei vortici liberi dovrebbe essere
160
3.12 – Condizione ottimale dell’elica
variata di conseguenza (si vedano le Figure 3.21 e 3.22). Tale proprietà permise a Goldstein,
risolvendo il problema del flusso intorno ad un elicoide solido che si muove di moto traslatorio
in un fluido ideale, di trovare il campo di velocità all’infinito, e di determinare in tal modo la
legge corrispondente della distribuzione di circolazione radiale ed i valori delle correzioni, κ,
per un numero finito di pale.
161
3 – Fondamenti della teoria vorticale
162
Capitolo 4
Metodo di Eckhardt–Morgan
Esiste una terza via tra il progetto concettuale di un’elica, basato sui classici diagrammi di
progetto, ed il progetto finale, basato su teorie vorticali più o meno e sofisticate?
Seppure fondamentali nelle fasi iniziali del progetto, i metodi di progettazione di eliche basati
sui diagrammi di progetto e/o su equazioni di regressione da serie sistematiche presentano alcune gravi limitazioni, tra le quali le principali sono:
• il massimo rendimento ottenibile dipende dal tipo di elica standard assunta come elica
base per il progetto;
• la previsione di cavitazione, nel caso di un’elica di serie standard, è effettuata mediante
diagrammi empirico–statistici, i quali, al di là della loro imprecisione, forniscono solamente una valutazione media, e non le necessarie indicazioni sezione per sezione.
Mediante la teoria vorticale, che fornisce, tra l’altro, la relazione tra le forze agenti sugli elementi di pala e le variazioni di velocità che si manifestano nel fluido circostante, è possibile:
• progettare l’elica avente il massimo rendimento possibile, ossia la minima perdita di energia;
• effettuare una previsione accurata della cavitazione per ogni sezione di pala.
Via via che negli ultimi decenni le velocità e le potenze asse sono andate crescendo, il problema
della cavitazione è costantemente cresciuto d’importanza. Cosı̀, non è sorprendente che il progetto dell’elica sviluppato con codici numerici basati sulla teoria vorticale sia divenuto sempre
più imprescindibile.
Nel caso ideale, il campo di velocità dietro la carena ed in prossimità dell’elica è considerato
irrotazionale ed omogeneo, per cui la velocità d’afflusso dell’acqua all’elica è la stessa su tutti i
punti dell’area del disco–elica ed è perpendicolare a questo piano. In questa condizione ideale
l’elica può essere progettata con l’ausilio della teoria vorticale in un campo omogeneo di velocità. Con buona approssimazione, questa modalità di calcolo può venire utilizzata per navi
bielica.
163
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Soprattutto nel caso di navi monoelica, con i loro campi di velocità non uniformi in prossimità
dell’elica, la teoria vorticale, sviluppata per un campo uniforme di velocità, viene estesa alla
teoria dell’elica adattata alla scia.
Esistono diverse teorie vorticali, quali quelle della linea portante e della superficie portante, che
solo negli ultimi decenni hanno trovato applicazione diretta grazie allo sviluppo dei computers
e delle tecniche numeriche. Non va dimenticato, comunque, che per alcuni decenni i metodi
approssimati basati sulla teoria vorticale hanno permesso di migliorare i progetti delle eliche e
di facilitare le applicazioni della teoria della linea portante con correzioni per superficie portante.
Tra i molti metodi sviluppati a suo tempo, si esamina il metodo approssimato di Eckhardt–
Morgan (1955). Questo metodo, sviluppato sulla base della teoria della linea portante, include
una correzione del passo che integra la teoria della linea portante con la teoria della superficie
portante. Sebbene il metodo di Eckhardt–Morgan non sia fondato su una base teorica del
tutto consistente, è stato riscontrato che i suoi risultati sono del tutto soddisfacenti dal punto
di vista propulsivo, per eliche leggermente caricate ed anche per eliche moderatamente caricate.
Vengono illustrate le ipotesi fondamentali e vengono fornite le equazioni necessarie per l’applicazione pratica del metodo. Sono descritti due esempi: il primo relativo ad un’elica non–ottimale
in flusso uniforme; il secondo per progettare un’elica adattata alla scia. Il confronto con il
metodo rigoroso di Lerbs, basato sul metodo dei fattori d’induzione, ha mostrato che il metodo
di Eckhardt–Morgan è abbastanza accurato, tranne che per eliche pesantemente caricate.
4.1
Generalità
Diversamente dalla maggior parte delle macchine idrauliche, l’elica navale opera in condizioni
difficilmente prevedibili e continuamente variabili. Ne consegue che la complessità del flusso che
investe l’elica e l’interazione tra le pale, nonché tra campo fluido e pale, richiedono la soluzione
di un complesso problema teorico.
Come noto, per la fase concettuale del progetto, tutti gli approcci fin qui sviluppati si fondano
sull’utilizzo dei risultati di prove sperimentali da serie sistematiche. Essi forniscono risultati
soddisfacenti circa la determinazione del rendimento propulsivo e, quindi, della relazione tra
potenza motore, numero di giri dell’elica e velocità nave. Tuttavia, il progetto dell’elica deve affrontare altri problemi, quali la cavitazione, le vibrazioni indotte ed il rumore, che non possono
essere affrontati adeguatamente se ci si limita all’utilizzo di eliche derivate da serie sistematiche.
Fino al 1907 non si ebbe a disposizione una base per sviluppare una moderna teoria dell’elica,
che consentisse, tra l’altro, di analizzare il flusso incidente ad ogni raggio di pala. In quell’anno
Lanchester, un ingegnere meccanico inglese, formulò la teoria vorticale in un trattato intitolato
‘Volo Aereo’. Pochi anni dopo, Prandtl formulò i fondamenti matematici di questa teoria.
In seguito, Helmbold, Goldstein ed altri scienziati svilupparono ulteriormente i concetti base
della teoria vorticale per poterla trasferire alle applicazioni progettuali. Purtroppo, negli anni
successivi si ebbe modo di riscontrare l’esistenza di un certo numero di discrepanze tra teoria
164
4.1 – Generalità
e sperimentazione. Ad esempio, la teoria della linea portante non era in grado di calcolare la
distribuzione del passo e dell’angolo d’incidenza per le eliche navali a pale larghe. Hill (1949)
sviluppò curve empiriche per la determinazione dell’angolo d’incidenza. Altri, tra i quali Ludwieg, Ginzel e Lerbs, affrontarono il problema progettuale su basi teoriche rigorose.
Lo sviluppo teorico della teoria della linea portante subı̀ un’accelerazione negli anni ’50, quando
si cristallizzarono due approcci al problema progettuale: (i) metodi approssimati, tra i quali
ebbe maggiore successo quello di Eckhardt–Morgan; (ii) metodi rigorosi, quale quello di Lerbs
basato sul calcolo dei fattori di induzione. Quest’ultimo metodo costituı̀ un grande passo in
avanti nella determinazione accurata delle velocità indotte in ogni sezione di pala; combinato con altre acquisizioni teoriche, rese possibile sviluppare una teoria progettuale basata su
principi idrodinamici. Tuttavia, richiedendo una notevole e complessa mole di calcoli, risultò
all’epoca di difficile applicazione pratica da parte dei progettisti, i quali, come sempre, si scontravano con le rigidità delle scadenze contrattuali.
Il metodo dei fattori di induzione di Lerbs sarà qui utilizzato solamente come base di confronto
per la validazione dei risultati del metodo approssimato di Eckhardt–Morgan. Ovviamente, i
metodi rigorosi forniscono una soluzione più precisa al problema progettuale dell’elica rispetto
ai metodi approssimati. Ambedue utilizzano, tra l’altro, i fattori di riduzione di Goldstein nel
calcolo del coefficiente di portanza-spessore-corda per tenere conto dell’effetto di un numero
finito di pale. L’unica e sostanziale differenza tra i due metodi consiste nella procedura che
porta alla determinazione dei coefficienti di portanza, delle componenti assiali e tangenziali
delle velocità indotte, e della distribuzione della circolazione. Una volta ottenuti i risultati
idrodinamici base, i due metodi sono identici.
I risultati di un approccio approssimato, che pure è notevolmente semplificativo, sono in accordo soddisfacente con quelli prodotti da un metodo rigoroso. Il metodo approssimato presenta
alcuni vantaggi specifici: (i) richiede poca esperienza, conoscenza ed intuizione da parte dell’elicista; (ii) è basato quasi completamente su principi idrodinamici; (iii) è applicabile non solo
ad eliche in flusso uniforme, ma anche ad eliche adattate alla scia; (iv) le correzioni del passo
e della curvatura della linea mediana hanno un fondamento teorico, tranne che per l’effetto
prodotto dalla viscosità; (v) prove e confronti con altri metodi indicano che i risultati di questo
approccio sono molto accurati.
Nella presentazione del metodo, verranno inizialmente illustrate le approssimazioni e le ipotesi
da applicare. La teoria e la sua descrizione matematica non verranno discusse, sebbene siano
riportati vari riferimenti alla letteratura sul tema. Verrà illustrato, quindi, il metodo progettuale. Seguirà una discussione dei risultati dei due esempi forniti in Appendice, relativi ad
un’elica in flusso omogeneo e ad un’elica dietro carena (adattata alla scia). Infine, saranno
messi a confronto anche i risultati ottenuti con altri metodi.
165
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
4.2
Considerazioni base
Quando entra in azione, l’elica induce tre componenti di velocità - assiale, tangenziale e radiale.
Per un’elica leggermente o moderatamente caricata, queste tre velocità sono quantitativamente
piccole rispetto alle velocità del flusso incidente. Tuttavia sono proprio le velocità indotte i
fattori che creano al progettista le maggiori difficoltà, in quanto incidono pesantemente sulla distribuzione del passo e sulla variazione dell’angolo d’incidenza. Per superare le difficoltà
teorico–numeriche relative alla loro determinazione, sono necessarie alcune ipotesi semplificative, anche quando si utilizzi la teoria più rigorosa nella modellazione dell’interazione fra flusso
ed elica. Nel discutere queste ipotesi, si consideri il caso in cui la pala di un’elica sia assimilata
ad una linea portante operante in flusso ideale.
Una di queste ipotesi è che non ci sia alcuna contrazione del tubo di flusso a valle dell’elica.
Questa è un’approssimazione giustificabile e valida per tutte le eliche, tranne che per quelle
pesantemente caricate, i cui tubi di flusso a valle risultano contratti notevolmente.
La componente radiale della velocità indotta può, quindi, essere trascurata. Le altre due
componenti, l’assiale ua e la tangenziale ut , possono essere calcolate o approssimate, modellando
la pala con una linea portante. Può essere dimostrato, ad esempio in base alla teoria impulsiva,
che le componenti della velocità indotta immediatamente a monte della linea portante sono pari
a metà del loro valore nel flusso a valle. Nelle fasi iniziali del progetto base, le componenti ua
e ut possono essere stimate mediante un metodo approssimato.
Figura 4.1.
Diagramma di velocità su una sezione di pala
Il metodo di Eckhardt–Morgan ipotizza che sussista la ‘condizione di normalità’, ossia che la
velocità indotta risultante u/2 sia perpendicolare alla velocità risultante del flusso incidente VR
(vedi Fig. 4.1). Con questa ipotesi, le componenti delle velocità indotte possono essere espresse
mediante semplici espressioni trigonometriche che contengono la funzione k di Goldstein, fornite in sequenza nelle Figure 4.2÷4.5, per eliche con numero di pale da 3 a 6, in base ai calcoli
condotti a suo tempo al David Taylor Model Basin. Il fattore k è definito come il rapporto tra
la circolazione Γ di un’elica con un numero finito di pale e la circolazione della stessa elica con
un numero infinito di pale.
166
4.2 – Considerazioni base
Inoltre, per il calcolo del rendimento ideale possono essere utilizzate in prima approssimazione
le curve di Kramer (Fig. 4.6), che sono costruite in funzione del coefficiente d’avanzo induttivo
e del coefficiente di carico in flusso ideale. Questa approssimazione, come si vedrà più avanti,
consente una prima stima dell’angolo di passo idrodinamico βi .
Figura 4.2.
Funzioni di Goldstein per eliche a 3 pale
Prima di proseguire, va sottolineato che l’ipotesi di condizione di normalità vale esattamente
solo per un’elica ottimale in flusso indisturbato. Va ricordato che per elica ottimale si intende
quella che presenta le perdite minime in flusso ideale per ogni sezione di pala, cosı̀ da presentare
una distribuzione di passo radialmente costante. Ma, nei fatti, si ha a che fare con classi di
eliche per niente ideali, ossia con eliche non ottimali in flusso indisturbato e con eliche adattate
alla scia.
167
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Finora la pala è stata modellata come una linea portante operante in fluido ideale. Questa
ipotesi semplificativa verrà ora modificata. La debolezza intrinseca nell’applicazione della teoria
della linea portante è che la sostituzione della pala con una linea portante è sı̀ in grado di
descrivere l’angolarità del flusso, ma non fornisce alcuna informazione circa la curvatura dello
stesso. D’altra parte, è noto, in base all’esperienza, che le eliche progettate con la sola linea
portante presentano un passo erroneamente ridotto. La via d’uscita è, quindi, quella di integrare
la teoria della linea portante con la teoria della superficie portante; ossia, passare da una linea
ad un piano incurvato e svirgolato.
Figura 4.3.
Funzioni di Goldstein per eliche a 4 pale
168
4.2 – Considerazioni base
Tale problema fu risolto parzialmente per la prima volta da Ludwieg e Ginzel (1944), i quali
esaminarono la curvatura del flusso nel punto di mezzo di ogni sezione. Il loro lavoro portò
alla determinazione delle correzioni per curvatura del passo, che sono presentate in una forma
leggermente modificata in Figura 4.7.
Tuttavia, l’esperienza dimostrò che questa correzione del passo era insufficiente. Lerbs attribuı̀
l’insufficienza del passo alla variazione della curvatura del flusso lungo la corda, che non era
stata considerata nel lavoro di Ludwieg e Ginzel. Utilizzando la teoria della superficie portante
semplificata di Weissinger, Lerbs fu capace di ricavare le relazioni che consentirono di correggere, in maniera approssimata, questa deficienza del passo. Queste relazioni poterono essere
utilizzate, quindi, in combinazione con quelle di Ludwieg e Ginzel per rendere la teoria della
linea portante più completa ed affidabile.
Figura 4.4.
Funzioni di Goldstein per eliche a 5 pale
169
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Nel caso di un’elica in flusso uniforme, la circolazione ottimale non sempre produce un’elica
con le migliori caratteristiche cavitative. Negli anni ’50 fu effettuata una vasta serie di prove
sperimentali che fecero comprendere come una distribuzione ridotta del passo all’apice di pala
producesse l’effetto positivo di ritardare l’innesco dei vortici d’estremità. In questo caso, la
forma risultante della curva del passo risultò essere una parabola con vertice sul mozzo che si
univa ad un segmento rettilineo a partire da 0.6R.
Figura 4.5.
Funzioni di Goldstein per eliche a 6 pale
La seconda limitazione è legata ai problemi connessi ad un’elica operante in fluido viscoso. La
viscosità fa crescere il momento torcente assorbito e riduce la spinta prodotta. Si tiene conto
degli effetti della viscosità introducendo opportune correzioni nelle fasi finali del progetto, che
portano ad un certo incremento del passo ad ogni sezione. Questa correzione è basata su un
certo numero di dati disponibili, relativi ai classici profili alari (Abbott and Doenhoff, 1958).
170
4.2 – Considerazioni base
Figura 4.6.
Diagramma di Kramer
In generale, quando si utilizza la teoria della circolazione nel progetto dell’elica, si può optare
tra due approcci: (i) si può scegliere la circolazione ottimale lungo il raggio di pala e calcolare,
quindi, la distribuzione del passo; (ii) si può imporre la distribuzione del passo e calcolare la
circolazione risultante.
171
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Nel caso di elica operante in flusso omogeneo, la circolazione ottimale non porta sempre all’elica con le migliori caratteristiche di cavitazione. Allo scopo, sono state condotte molte serie di
prove sperimentali, volte ad ottenere una distribuzione di passo ridotto all’apice, con l’obiettivo
di ritardare i vortici d’apice. Sebbene tale distribuzione di passo sia auspicabile quando il flusso
è indisturbato, le prove sperimentali su modelli di elica hanno indicato che esiste un notevole
margine decisionale soggettivo per quanto riguarda la forma ottimale della distribuzione del
passo, senza pregiudicare il rendimento dell’elica isolata.
Figura 4.7.
Coefficienti di correzione per curvatura del flusso
Nel caso di eliche dietro carena, l’approccio migliore è quello di assumere una circolazione ottimale e di calcolare successivamente il passo. Lerbs (1952) e van Manen (1952) svilupparono
relazioni similari, che forniscono ad ogni raggio l’angolo di passo idrodinamico βi per un’elica
ottimale adattata alla scia. La conseguente variazione del passo dipende dalla distribuzione
radiale della scia media effettiva, in base alla quale viene progettata ogni sezione di pala.
Le ipotesi illustrate consentono all’elicista di soddisfare efficacemente le specifiche progettuali.
La quadratura del cerchio tra soddisfacimento simultaneo di quanto attiene il rendimento, la
cavitazione, il rumore e le vibrazioni, comincia a trovare una soluzione.
172
4.3 – Procedura progettuale
4.3
Procedura progettuale
Fornita la sintesi dei fondamenti teorici che stanno alla base del metodo approssimato di
Eckhardt–Morgan, si può illustrare l’applicazione di questo metodo utilizzando le formule illustrate ed i diagrammi necessari.
I passi principali della procedura progettuale sono sintetizzabili come segue:
1. raccolta dei dati progettuali necessari;
2. determinazione dell’angolo di passo idrodinamico corretto;
3. determinazione del coefficiente di portanza, della lunghezza di corda, dei rapporti di spessore e dei rapporti di curvatura delle sezioni di pala, in base al controllo della cavitazione
sezione per sezione;
4. correzione della curvatura della linea mediana in base alla teoria della superficie portante;
5. correzione del passo secondo la teoria della superficie portante, a partire dalla linea mediana in flusso ideale, per poi tenere conto degli effetti della viscosità;
6. analisi della robustezza;
7. controllo della produzione di spinta;
8. determinazione della potenza asse.
Il primo punto è particolarmente delicato se non sono disponibili i risultati di prove sperimentali. Si deve ipotizzare, quindi, che prove di resistenza e di autopropulsione vengano sempre
effettuate preliminarmente al progetto dell’elica finale. I dati necessari sono ricavabili appunto
dalle prove sperimentali e dalle specifiche progettuali. Per progettare l’elica occorre conoscere
la potenza asse ad un assegnato numero di giri, la resistenza nave, la frazione di scia, il fattore
di deduzione di spinta, il diametro dell’elica e la velocità nave di progetto.
4.3.1
Caratteristiche dell’elica
In molte situazioni, quando si progetta una nuova elica per una nave esistente, i dati modello
di resistenza ed autopropulsione non sono disponibili. In tali casi si può effettuare una stima
della resistenza nave in base ad algoritmi basati su equazioni di regressione sviluppate da diversi laboratori idrodinamici su basi di dati. Si possono determinare statisticamente la frazione
di scia ed il fattore di deduzione di spinta. Successivamente si può calcolare, l’angolo di passo
idrodinamico in base alla potenza disponibile (approccio meccanico). Tuttavia, i calcoli progettuali andrebbero effettuati preferibilmente a partire dalla conoscenza della spinta (approccio
idrodinamico).
Esistono, quindi, due approcci progettuali, uno basato sulla spinta e l’altro basato sul momento
torcente reso disponibile al mozzo dell’elica. È preferibile il calcolo sulla base della spinta, in
quanto la variazione della spinta passando da fluido ideale a fluido viscoso oscilla tra 2% e 6%,
mentre tale variazione è maggiore se si parte della potenza (momento torcente).
173
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Il primo e fondamentale problema da considerare è quello della scelta ottimale della combinazione tra diametro e numero di giri dell’elica. Inizialmente andrebbe scelto un diametro che
garantisca luci verticali/orizzontali pari al 20÷25% del diametro. Può essere calcolato, quindi, il numero di giri ottimale, in base al quale scegliere il motore principale con una specifica
potenza ed un preciso numero di giri. Per una nave esistente il diametro ottimale andrebbe
calcolato a partire dalla potenza e dal numero di giri del motore. Il calcolo del diametro e/o
del numero di giri ottimale può essere effettuato in base ai diagrammi di funzionamento ed a
diagrammi progettuali di serie sistematiche.
Di importanza pari a quella del diametro è la scelta del numero di pale. Sulle navi mercantili
vengono applicate eliche da 2 a 7 pale. Prima della scelta definitiva del numero di pale, vanno
effettuati i calcoli delle frequenze naturali dei modi di vibrazione di carena, delle frequenze
naturali della linea d’assi e del motore principale, nonché occorre conoscere le fluttuazioni periodiche del campo di scia. Infatti, al crescere del numero di pale aumenta anche la frequenza
delle forze di pala, mentre diminuisce l’ampiezza delle loro armoniche. Se si ipotizza che tutte
queste grandezze siano note con ragionevole accuratezza, si può scegliere il numero di pale in
modo tale da evitare la risonanza alla frequenza di pala f = nZ ed alla sua frequenza doppia con le frequenze naturali dei primi tre modi di vibrazione dello scafo, delle sue strutture
principali, della linea d’assi e del motore, a qualsiasi velocità. Purtroppo è alquanto difficile
determinare queste quantità, anche perché variano al variare del carico dell’elica e della velocità
nave. In ogni caso, le vibrazioni sono il fattore dominante nella scelta del numero di pale.
Infine, va fissato il diametro del mozzo. La sua dimensione dipende dal diametro della linea
d’assi e può dipendere anche dal numero di pale. Il mozzo, che dovrebbe essere il più piccolo
possibile per aumentare il rendimento dell’elica, di solito varia tra il 15% ed il 25% del diametro
dell’elica. Nel caso di serie sistematiche, i mozzi hanno diametri definiti rigidamente.
Un altro aspetto da considerare nel progetto dell’elica è la desiderabilità di avere ‘rake’ delle
pale, anche per aumentare le luci. Quando si hanno elevate velocità di rotazione, occorre preoccuparsi delle tensioni addizionali prodotte dal momento flettente derivante dall’eccentricità del
baricentro di pala quando la pala presenta ‘skew–back’ e/o ‘rake’. Per le eliche lente, tipiche
delle grandi navi mercantili, dove queste tensioni sono basse, è auspicabile che il ‘rake’ sia tale
che a tutti i raggi il bordo d’ingresso di pala sia a distanza costante dal profilo di poppa. È stato dimostrato che la luce longitudinale è molto importante, talvolta anche più della luce radiale.
Per quanto riguarda lo ‘skew’ delle pale, è stato più volte verificato che ha poca influenza sul
rendimento dell’elica. Invece, è del tutto probabile che un’elica con ‘skew–back’ ecciti meno
vibrazioni di un’elica con generatrice rettilinea, in particolar modo per navi monoelica. La
ragione è che nelle navi monoelica il bordo d’ingresso di una pala con ‘skew–back’ non attraversa
istantaneamente (simultaneamente per tutte le sezioni) la zona di scia elevata. In maniera
fisicamente non corretta, ma tuttavia efficace, si può affermare che un’elica non svirgolata
entrerebbe nelle zone di flusso disomogeneo con un impatto maggiore, producendo cosı̀ forze
di vibrazione più elevate. Eliche con elevato ‘skew–back’ consentono di ridurre le ampiezze dei
carichi periodici anche di due o tre volte rispetto alle eliche pressoché simmetriche.
174
4.3 – Procedura progettuale
4.3.2
Procedura di calcolo
Per progettare un’elica con la teoria vorticale, devono essere disponibili i seguenti dati iniziali:
• la potenza al mozzo PD che deve essere assorbita dall’elica, ossia la potenza motore ridotta per le perdite meccaniche sulla linea d’assi, oppure la spinta T che l’elica deve
sviluppare;
• la velocità nave V per la condizione di prova o di servizio, e la corrispondente velocità
d’afflusso VA del fluido all’elica;
• il numero di giri n dell’elica nella condizione di carico progettuale;
• il diametro D dell’elica ed il numero di pale Z: la teoria vorticale non fornisce alcuna
indicazione per quanto concerne il diametro ottimale, che deve essere determinato mediante diagrammi progettuali di eliche di serie sistematiche.
• la pressione statica sull’asse dell’elica, inclusiva dell’effetto dell’ampiezza d’onda: ciò serve
a calcolare il numero di cavitazione; se l’ampiezza d’onda è sconosciuta, può essere assunta pari a 1/200 della lunghezza nave.
Una volta organizzati i dati d’ingresso, si calcola l’angolo di passo idrodinamico βi per ogni
sezione di discretizzazione. La procedura qui illustrata segue l’approccio dell’ingegnere navale,
in quanto si parte dall’assunto che sia più conveniente partire dalla spinta, anziché dalla potenza
motore. Inizialmente sono calcolate le seguenti grandezze
VA = V (1 − w)
→
velocità d’avanzo [m/s]
(4.1)
VA
VA
=
πnD
ωR
→
coefficiente d’avanzo ridotto
(4.2)
→
coefficiente di carico di spinta
(4.3)
λ=
CT =
T
1
2
2
2 ρ VA ·(πD /4)
T =
CP =
RT
(1 − t) cos ψ
2πnQ
1
2
2
2 ρ VA ·(πD /4)
→
spinta dell’elica [kN]
→
coefficiente di carico di potenza
dove
V
w
Q
n
D
t
ψ
RT
:
:
:
:
:
:
:
:
velocità nave [m/s]
frazione media di scia
momento torcente [kN · m]
numero di giri al secondo [rps]
diametro dell’elica [m]
fattore di deduzione di spinta
angolo d’inclinazione della linea d’assi [deg]
resistenza della nave [kN]
175
(4.4)
(4.5)
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Per potere utilizzare il diagramma di Kramer (Fig. 4.6) allo scopo di ottenere il rendimento
ideale, deve essere stimato preventivamente il coefficiente di spinta ideale, legato al coefficiente
di spinta effettivo CT dalla relazione
CT i =
CT
' (1.02 ÷ 1.06) CT
1 − 2 ελi
(4.6)
dove
λi = x tan βi
x = r/R
ε = CD /CL
βi
:
:
:
:
coefficiente d’avanzo induttivo, che include l’influenza delle velocità indotte
raggio adimensionale
rapporto resistenza/portanza per un profilo alare di allungamento infinito
angolo di passo idrodinamico
Nella fase iniziale del progetto dell’elica, viene utilizzata per CT i l’approssimazione fornita
dall’equazione (4.6), in quanto inizialmente ε e λi sono incogniti. Comunque, il fattore di
approssimazione andrebbe ritarato dopo avere calcolato ² e βi .
La teoria dell’elica ideale ha portato alla conclusione che per un’elica operante in flusso uniforme, che abbia un numero infinito di pale e che soddisfi la condizione di Betz, di minima
perdita di energia, risulta essere
CT i = f (λ, ηi )
Una volta noti CT i , λ ed il numero di pale, il rendimento ideale ηi viene dedotto da queste curve.
Tutti i metodi esistenti utilizzano, ai vari raggi x = r/R dell’elica, una relazione tra l’angolo
d’avanzo β, non corretto dalle velocità indotte, e l’angolo di passo idrodinamico βi , corretto
per effetto delle velocità indotte (Fig. 4.1). Poiché i valori di tan βi lungo il raggio di pala
forniscono direttamente la distribuzione del passo dell’elica in base alla relazione
(P/D)i = πx tan βi
(4.7)
é relativamente facile determinare tale distribuzione in quanto, in base al teorema di Betz per
la perdita minima d’energia, è
tan βi =
tan β
ηi
mentre i singoli valori di
tan β =
VA
λ
=
πnxD
x
sono ricavabili rapidamente in base ai dati progettuali di input.
Nelle relazioni precedenti:
- (P/D)i
- ηi = λ/λi
: rapporto di passo ideale (non corretto)
: condizione di Betz di perdita minima di energia in un campo di velocità
uniforme
176
(4.8)
4.3 – Procedura progettuale
In tal modo, si può determinare facilmente il passo non corretto per un’elica ottimale in flusso
omogeneo. Quando l’elica è progettata per la condizione d’incidenza ideale (shock–free entry),
l’equazione (4.7) porta ad un’elica a passo radialmente costante. Comunque, occorre modificare, in generale, la distribuzione del passo per diminuire il rischio di cavitazione, riducendo
il passo all’apice per ridurre i vortici d’estremità ed il passo al mozzo per ridurre i vortici sul
mozzo ed alla radice di pala.
Verifica del coefficiente di spinta
Quando l’elica è non–ottimale, oppure quando è adattata alla scia, le curve di Kramer non sono
più applicabili, in prima istanza, sono ancora utili. Per l’elica non–ottimale in flusso omogeneo,
si introduce l’approssimazione che il valore tan βi , calcolato grazie alle curve di Kramer, sia
eguale al valore di tan βi al raggio 0.7R. La distribuzione arbitraria del passo è costruita,
quindi, a partire dal suo valore a 0.7R.
Si calcola, quindi, il coefficiente di carico di spinta
CT i
Z 1
ut
=8
kx
2V
xh
A
µ
ut
x
−
λ 2VA
¶
dx
(4.9)
dove k è il fattore di corrwzione di Goldstein fornita in dipendenza del coefficiente d’avanzo
induttivo λi , per un’elica non-ottimale in flusso omogeneo, dove il raggio è il parametro (Figg.
4.2÷4.5). Nell’equazione 4.10, xh è il raggio adimensionale del mozzo, mentre la componente
tangenziale normalizzata della velocità indotta ut è derivabile dalla formula
sin βi · sin (βi − β)
ut
=
2VA
sin β
(4.10)
In pratica, la formula (4.10) è calcolata a partire dai valori elementari dCT i , relativi ad un
numero discreto di raggi, che sono poi integrati numericamente dal mozzo all’apice di pala.
Se il valore ottenuto per CT i non corrisponde a quello derivato dall’equazione (4.3), il valore
di tan βi va corretto ed il calcolo va ripetuto iterativamente. La formula seguente, applicata
al raggio 0.7R, fornisce una buona approssimazione per il nuovo valore corretto dell’angolo di
passo idrodinamico
·
(tan βi )m ' (tan βi )m−1
(CT i )r − (CT i )c
1+
6 (CT i )r
¸
(4.11)
dove i pedici hanno il seguente significato: m indica il passo di calcolo, r indica il valore richiesto, mentre c denota il valore calcolato.
Per un’elica adattata alla scia, del metodo fin qui illustrato valgono solamente i principi
generali, in quanto la scia varia con il raggio.
177
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Lerbs ha sviluppato le seguenti formule per elica adattata alla scia:
• per l’angolo d’avanzo:
λs
(1 − wx )
x
tan β =
(4.12)
dove wx è la scia media circonferenziale ad ogni sezione di pala e λs è il coefficiente
d’avanzo basato sulla velocità nave
V
λs =
(4.13)
πnD
• per il coefficiente di spinta basato sulla velocità nave, dato da:
CT s =
T
1
πD2
ρ V 2·
2
4
(4.14)
Per elica in flusso omogeneo queste relazioni divengono
tan β
tan β i =
·
ηi
s
λs
1−w
=
1 − wx
p
(1 − w) (1 − wx )
x ηi
CT si = (1.02 ÷ 1.06) CT s
(4.15)
(4.16)
dove w è la scia media assiale sul disco–elica, ottenuta integrando radialmente le scie medie
circonferenziali.
Le curve di Kramer sono utilizzate per una prima stima del rendimento ideale ηi , che compare
nell’equazione (4.15). Il coefficiente di spinta viene calcolato, quindi, per integrazione mediante
la formula seguente
CT si
Z 1
ut
=8
kx
2V
xh
µ
x
ut
−
λs 2V
¶
dx
(4.17)
dove la velocità indotta tangenziale vale
(1 − wx ) sin βi · sin (βi − β)
ut
=
2V
sin β
(4.18)
La procedura per determinare il valore corretto dell’angolo di passo idrodinamico (tan βi ) è,
quindi, la stessa illustrata per l’elica non–ottimale in flusso omogeneo.
Caratteristiche geometriche
Una volta calcolato il valore corretto di tan βi ad ogni raggio di discretizzazione di pala, è
possibile ricavare il coefficiente di portanza CL e la lunghezza di corda c. Ad ogni raggio, per
determinare il coefficiente di portanza, occorre risolvere una delle formule seguenti, che forniscono la cosiddetta caratteristica aerodinamica:
178
4.3 – Procedura progettuale
• per eliche in flusso uniforme
ut
CL ·c
4π
2VA
=
(k ·x) x
ut cos βi
D
Z
−
λ 2VA
(4.19)
ut
CL ·c
4π
=
(k ·x) x 2V ut cos βi
D
Z
−
λs 2V
(4.20)
• per eliche adattate alla scia
La scelta della lunghezza di corda di ogni elemento di pala deve essere determinata tenendo
conto dei vincoli seguenti:
• rischio di cavitazione;
• robustezza della sezione.
Di norma, il valore di c deve essere tale da evitare la presenza di cavitazione, mentre la robustezza del profilo va ridotta al minimo mediante la scelta della forma più opportuna. Per prevedere
la cavitazione sugli elementi di pala, sono state utilizzate misure di pressione su diversi profili. Sono stati cosı̀ costruiti diagrammi d’innesco della cavitazione per flussi bidimensionali. I
diagrammi riportati nelle Figure 4.8, 4.9, 4.10, sono relativi ad un angolo d’incidenza ideale,
in base all’ipotesi che tutta la portanza della sezione di pala sia sviluppata dalla sola linea
mediana. I diagrammi d’innesco della cavitazione hanno in ascissa il numero di cavitazione
minimo σ della sezione ed in ordinata il coefficiente portanza–lunghezza-spessore (CL · c/tm ).
Quando siano note queste grandezze, si possono ricavare sia il rapporto di curvatura della linea
mediana, sia il rapporto di spessore massimo. Poichè il flusso può essere non–uniforme circonferenzialmente, potrebbe essere consigliabile ridurre il numero di cavitazione di una quantità
arbitraria (al massimo fino al 20%), a seconda della disomogeneità della scia.
L’indice di cavitazione di ogni sezione di pala, in posizione verticale, viene calcolato mediante
una delle formule seguenti:
• per eliche in flusso uniforme
"
(pa + ρgh) sin2 β
1
σ= 1 2
cos2 (βi − β)
2 ρVA
#
(4.21)
• per eliche adattate alla scia
"
(pa + ρgh) sin2 β
1
σ= 1 2
(1 − wx )2 cos2 (βi − β)
2 ρV
#
dove pa è la pressione atmosferica ed h è il battente sull’asse dell’elica.
179
(4.22)
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Figura 4.8.
Curve d’innesco della cavitazione (NACA 66, a=0.8)
180
4.3 – Procedura progettuale
Figura 4.9.
Curve d’innesco della cavitazione (NACA 16, a=1.0)
181
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Figura 4.10.
Curve d’innesco della cavitazione (NACA 16, a=0.8)
182
4.3 – Procedura progettuale
A questo punto va calcolato il coefficiente di portanza–corda–spessore CL · c/tm . Lo spessore
massimo tm di ogni sezione deve essere fissato in base a calcoli di robustezza. Una stima dello
spessore virtuale di pala può essere ottenuta in base alla formula di Taylor come
to
1
=
D
D
s
3
Cl ·PD
n·σc
(4.23)
dove
to /D
Cl
PD
σc
:
:
:
:
spessore adimensionale sull’asse dell’elica
coefficiente derivato in Figura 4.11
potenza al mozzo per pala [kW]
tensione massima ammissibile [psi]
La distribuzione radiale di spessore massimo può essere calcolata, a partire dalla frazione di
spessore di pala, mediante la formula di Van Manen e Troost
·
tt
to
tt
tx
=
+f
−
D
D
D D
¸
(4.24)
dove tt /D è è lo spessore adimensionale dell’apice di pala (può essere assunto pari a 0.003) ed
f è un coefficiente desumibile in Tabella 4.1.
x
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.95
f
0.788
0.665
0.551
0.443
0.344
0.251
0.162
0.079
0.039
Tabella 4.1.
Coefficiente per la distribuzione radiale di spessore massimo
Utilizzando i dati forniti da Romson, van Lammeren e van Manen hanno fornito un metodo
più accurato per la stima dello spessore massimo. L’approccio di questo metodo consiste nel
calcolare lo spessore di pala ai raggi x = 0.2 e x = 0.6, adattando poi la distribuzione radiale
di spessore ai valori in questi due punti ed allo spessore fissato all’apice.
Quando sia stata ricavata la distribuzione radiale di spessore, ad ogni sezione si calcola il prodotto CL ·c . La curvatura della linea mediana ed i rapporti di spessore sono derivaboli dalle
curve d’innesco della cavitazione. Ovviamente, vanno scelti preliminarmente il tipo di sezione
e di linea mediana, tra i profili NACA 16 e NACA 66, e le linee mediane NACA a = 0.8 e
NACA a = 1.0.
Vengono letti, quindi, i rapporti di curvatura massima (fm /c) e di spessore massimo (tm /c)
dalle curve d’innesco della cavitazione corrispondenti alla sezione ed alla linea mediana scelte.
Le lunghezze di corda sono calcolate in funzione dei rapporti di spessore, cosı̀ da costruire
il profilo di pala espansa. È del tutto possibile che, per rispettare il criterio di cavitazione,
le sezioni di pala siano troppo corte dal punto di vista della robustezza, specialmente vicino
al mozzo. L’esame del rapporto resistenza/portanza di profili di pala con spessore variabile
ha indicato che è meglio limitare il rapporto di spessore tra 0.18 e 0.22. Se la pala diviene
troppo sottile, deve essere scelto un profilo di pala arbitrario. Un profilo suggeribile nelle fasi
progettuali iniziali è quello delle Series–B del MARIN.
183
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Figura 4.11.
Coefficiente per la stima dello spessore di pala
Quando il profilo di pala viene scelto arbitrariamente, la curvatura della linea mediana viene
derivata dopo avere determinato il coefficiente di portanza CL . Il coefficiente di portanza viene
ottenuto dal coefficiente CL ·c/D, essendo noto a questo punto, sezione per sezione, il rapporto
c/D. Un esempio su come ottenere fm , ovvero il rapporto di curvatura fm /c, è quello che la
NACA ha derivato per la linea mediana a = 0.8, dove risulta essere
CL = 1.0
per
fm
= 0.0679
c
per cui, ad esempio, per CL = 0.5 dovrà essere
fm
= 0.0679 CL = 0.03395
c
Correzione per curvatura del flusso
La curvatura della linea mediana, indipendentemente dal fatto che sia letta dai diagrammi di
cavitazione o che sia calcolata direttamente, deve essere corretta, come richiamato in precedenza
nelle considerazioni teoriche, per effetto della curvatura del flusso lungo la corda della sezione.
I fattori correttivi k1 e k2 vengono letti in Figura 4.7 ed applicati per ottenere la curvatura
adimensionale massima corretta come
µ
fm
c
¶
c
= k1 k2
fm
c
(4.25)
L’ascissa nel diagramma in Figura 4.7 è il rapporto d’area espansa AE /A0 . Tale diagramma è il
risultato della raccolta di tanti risultati numerici reperibili in letteratura, relativi alla curvatura
del flusso sull’elica.
184
4.3 – Procedura progettuale
Correzione del passo
Come detto in precedenza, va corretto anche il passo perché risulta in genere insufficiente, con
conseguente incapacità da parte dell’elica di produrre la spinta attesa. La causa di tale deficienza del passo è attribuibile al fatto che il flusso risulta scorrettamente incurvato lungo la corda
di ogni profilo, cosı̀ come al fatto che la pressione è insufficiente nel disco dell’elica ruotante
a causa della presenza di forze centrifughe. Allo scopo, vanno introdotte due correzioni che
comportano due angoli d’incidenza addizionali, ossia la correzione per viscosità e la correzione
per superficie portante.
Correzione per viscosità
Si tiene conto della correzione per viscosità introducendo l’angolo d’incidenza addizionale α1 .
Esso dipende dalla curvatura della linea mediana, ed è funzione lineare del coefficiente di portanza. Tale correzione, introdotta per la prima volta da Ludwig e Ginzel (1944), va effettuata
ad ogni raggio di discretizzazione della pala. L’angolo d’incidenza addizionale può avere valori
differenti; precisamente:
- per una linea mediana ad arco circolare
α1 = 2.86 CL [deg]
(4.26)
- per una linea mediana NACA a = 1.0
α1 = 2.35 CL [deg]
(4.27)
- per una linea mediana NACA a = 0.8
α1 = 1.15 CL [deg]
(4.28)
Correzione per superficie portante
È quella necessaria per tenere conto degli effetti prodotti sull’angolo di passo idrodinamico dai
vortici liberi e dai vortici concatenati. Ne deriva un angolo d’incidenza addizionale, somma
algebrica di diversi contributi, pari a
α2 = αb + αf − (αi + αo )
Il primo addendo della correzione è relativo ai vortici concatenati delle singole pale e viene
calcolato come
¶Z 1
¸
Z ·µ
sin βi X
c
Γ
αb =
sin µ − 0.7 cos βi cos µ
dx
3
2 i=1 D
xh (P/R)
(4.29)
dove µ è la posizione angolare di pala, fissata in dipendenza del numero di pale, mentre Γ è la
circolazione adimensionale di pala, definibile rispettivamente
185
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
- per un’elica in flusso uniforme
Γ =
2k ·x ut
·
Z 2VA
- per un’elica adattata alla scia
Γ =
2k ·x ut
1
·
·
Z 2V 1 − wx
e dove è, infine
"
3
µ
2
(P/R) = x +
c
D
¶2
¶ #1.5
µ
c
+ 0.49 − 2
cos µ cos βi + 0.7 sin µ x
D
(4.30)
I calcoli sono effettuati per la pala di riferimento, posizionata a µ = 90o , mentre l’effetto delle
altre pale è determinato sul vortice concatenato di questa pala di riferimento. Cosı̀, ad esempio,
per un’elica a quattro pale, i calcoli sono svolti per µ = 90o per la prima pala, e per 180o , 270o
e 360o rispettivamente per la seconda, terza e quarta pala. Per un’elica a cinque pale gli angoli
µ di calcolo sono in sequenza µ = 90o , 162o , 234o , 306o , 18o . L’angolo d’incidenza aggiuntivo
αb è pari alla somma algebrica degli effetti da ogni pala nella sua specifica posizione.
Figura 4.12.
Coefficiente di correzione del passo
Il secondo contributo è dato dalla correzione che dà conto dell’effetto dei vortici liberi
2
αf = αi
1+
cos2 βi
µ
2
−1
h
dove
αi = βi − β
186
[rad]
¶
(4.31)
4.3 – Procedura progettuale
Il coefficiente h di correzione del passo idrodinamico nella formula (4.31) è derivabile in Figura
4.12, dove l’angolo θ in ascissa è dato da
µ
−1
θ = tan
0.7 D
·
sin βi c
¶
(4.32)
Ne consegue, infine, che complessivamente l’angolo d’incidenza addizionale per effetto di superficie portante è dato da



180 
α2 =
α + αi
 b
π 











¶ − 1
 − αo 
2


1 + cos2 βi
−1
2
µ
[deg]
(4.33)
h
dove αo è l’angolo di portanza nulla della linea mediana che vale:
- per una linea mediana ad arco circolare
αo = 0.130 CL
[rad]
- per la linea mediana NACA a = 1.0
αo = 0.120 CL
[rad]
- per la linea mediana NACA a = 0.8
αo = 0.139 CL
[rad]
Utilizzando il risultato dell’equazione (4.33), la correzione del passo per superficie portante
1+
tan(βi + α2 )0.7R
∆P/D
=
P/D
(tan βi )0.7R
viene effettuata al raggio x = 0.7; la stessa variazione percentuale viene applicata agli altri
raggi.
Infine, si può ricavare il rapporto passo–diametro finale come:
µ
P
∆P/D
= πx tan (βi + α1 )· 1 +
D
P/D
¶
(4.34)
Verifica della spinta e della potenza
Prima di potere affermare che il progetto dell’elica è completato, occorre effettuare alcuni
controlli. Inizialmente è stato ipotizzato che il coefficiente CT i fosse dal 2% al 6% maggiore
di CT per un’elica in flusso uniforme. Questa assunzione può essere verificata mediante la
relazione esatta
CT i '
CT
1 − 2ελi
187
(4.35)
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
dove approssimativamenteè
ε=
0.008
CL
Una verifica più accurata viene effettuata integrando numericamente la seguente equazione
Z 1
ut
CT = 8 k ·x
2VA
xh
µ
¶
x
ut
(1 − ε tan βi ) dx =
−
λ 2VA
Z 1
(1 − ε tan βi )
xh
dCT i
dx
dx
(4.36)
Il coefficiente CT cosı̀ ottenuto dovrebbe differire non più dell’1÷2% dal valore di CT derivato
direttamente dalla spinta richiesta.
Un controllo va effettuato anche sui requisiti di potenza e sul rendimento dell’elica. Il coefficiente di potenza CP può essere calcolato per un’elica in flusso uniforme mediante la seguente
equazione
Z 1
k ·x
CP = 8
¶ µ
µ
ut
ua
ε
1+
· 1+
2VA
tan βi
xh tan β 2VA
¶
·
dx '
Z 1
tan βi + ε dCT i
tan β
xh
·
dx
dx
(4.37)
La potenza assorbita dall’elica è calcolabile, quindi, come
1
πD2
PD = ρVA2 ·
·CP
2
4
(4.38)
Una volta noti i coefficienti CT e CP , si può facilmente calcolare il rendimento dell’elica come
η=
CT
CP
(4.39)
Per le eliche adattate alla scia viene introdotta una leggera modifica alle equazioni che calcolano
i coefficienti di spinta e di potenza ottenendo
Z 1
CTs
ut
= 8 k ·x
2V
xh
CPs
8
=
λs
Z 1
µ
x
ut
−
λs 2V
·
¶
(1 − ² tan βi ) dx =
ut
ua
kx
(1 − wx ) +
2V
2V
xh
2
¸µ
Z 1
¶
xh
ε
1
1+
dx =
tan βi
λs
πD2
1
·CP s
PD = ρVA2 ·
2
4
dCT si
dx
dx
(4.40)
x (tan βi + ²)
dCT si
dx (4.41)
dx
(1 − ² tan βi )
Z 1
xh
(4.42)
Nel corso dei passi progettuali precedenti è stata utilizzata una formula semplificata per ottenere
lo spessore delle sezioni di pala. Tale formula non ha considerato né la forma delle sezioni né la
forza centrifuga. Un approccio più rigoroso all’analisi della robustezza è fornito in Appendice 3.
Talvolta, per ovviare al rischio di cavitazione, le sezioni di pala possono divenire estremamente
larghe con sovrapposizione parziale delle pale. Può accadere, allora, che calcoli di robustezza più
188
4.4 – Applicazioni
rigorosi indichino che il carico tensionale sulle pale sia irrilevante. In tal caso, è bene ricalcolare
il rapporto di corda delle sezioni (c/D), il rapporto di curvatura (fm /c) ed il rapporto di spessore
(tm /c), in modo che le pale non siano sovrapposte. In queste situazioni, la procedura migliore
consiste nel variare la lunghezza della sezione, ricavando un nuovo coefficiente di portanza CL
dal coefficiente portanza–corda–diametro CL ·c/D. Dai diagrammi d’innesco della cavitazione
viene derivato, quindi, il coefficiente portanza–corda–spessore CL · c/tm , finché il rapporto di
spessore non corrisponda al suddetto coefficiente di portanza in base ai diagrammi di cavitazione
(Appendice 1). Una buona approssimazione su quanto occorra variare la lunghezza di corda
della singola sezione di pala può essere ottenuta mediante la seguente formula semiempirica
·
cn = 1.05 co
r
σmax
σc
¸
(4.43)
dove cn è la nuova lunghezza di corda, co è la lunghezza di corda originaria, σmax è la tensione
massima sulla sezione e σc è la tensione massima ammissibile.
La formula (4.43) deriva dal fatto che la riduzione della lunghezza di corda fa sı̀ che la tensione
cresca all’incirca della quarta potenza del rapporto tra la lunghezza di corda originale e quella
nuova. Va osservato che il fattore 1.05 dà conto dell’effetto della piccola variazione di spessore
derivante dai diagrammi di cavitazione.
Infine, per garantire l’accuratezza del calcolo numerico, va suggerito che per pale estremamente
ampie l’analisi di robustezza andrebbe svolta prima della correzione del passo.
4.4
Applicazioni
Come preannunciato nell’introduzione, nelle Appendici 1 e 2 sono presentati due esempi del
metodo progettuale di Eckhardt–Morgan. Gli esempi scelti rappresentano due diversi tipi di
eliche di utilizzo frequente.
Il primo esempio è quello di una nave bielica veloce da 35 nodi, con resistenza totale di 1815
kN. Ogni elica assorbe 23650 kW a 300 giri al minuto. L’elica opera in flusso omogeneo.
Il progetto ottenuto con il metodo approssimato è stato messo a confronto con i risultati ricavati mediante il metodo rigoroso dei fattori di induzione di Lerbs e mediante prove sperimentali.
Dopo il confronto con il metodo rigoroso, effettuato a parità di coefficiente del carico di spinta
CT i , è stato ricavato che il passo idrodinamico ottenuto con il metodo approssimato è soltanto
1.2% maggiore di quello ottenuto con il metodo rigoroso.
Il confronto di altre grandezze importanti è visibile nelle Figure 4.13, 4.14 e 4.15. Le curve
relative ai valori di
CL ·c ua
ut
,
,
,Γ
D
2VA 2VA
mostrano un buon accordo complessivo. Le discrepanze maggiori risultano intorno al mozzo,
dove esistono differenze intrinseche tra i due metodi. Le differenze intorno al mozzo perdono
189
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
significato nel progetto finale a causa dei raccordi a grande raggio nel collegamento tra pale e
mozzo.
Figura 4.13. Confronto tra i coefficienti CL ·c/D
La prova finale della validità del metodo di Eckhardt–Morgan è stata effettuata confrontandone
i risultati con quelli sperimentali su modello.
Il secondo esempio, illustrato in Appendice 2, è relativo ad una nave mercantile monoelica, con
velocità di 21 nodi, che assorbe 12870 kW a 102 rpm e che produce una spinta di 1000 kN. Per
questa nave è stata progettata un’elica che si trova ad operare in una tipica distribuzione di
scia.
Figura 4.14.
Confronto tra le componenti di velocità indotta
Come il precedente, questo progetto è stato messo a confronto con quello ottenuto con il metodo
dei fattori d’induzionee e con le prove sperimentali; inoltre, sono stati utilizzati per il confronto
il metodo di van Manen e le curve di funzionamento della Serie–B di Wageningen.
190
4.4 – Applicazioni
Figura 4.15.
Confronto tra le distribuzioni di circolazione
Se si assume lo stesso coefficiente di spinta, come nel caso dell’elica in flusso uniforme, rispetto
a quelli ricavati con il metodo rigoroso, i risultati del metodo approssimato hanno mostrato
una differenza media di solo 0.2% nei valori del passo. Quanto alle altre curve, le differenze nei
valori di
CL ·c ua
ut
,
,
,Γ
D
2VA 2VA
sono molto simili a quelle riscontrate nel caso dell’elica in flusso uniforme.
191
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Appendice 1
Progetto di un’elica non–ottimale in flusso uniforme per una nave bielica
Passo 1. Dalle prove sperimentali condotte sul modello di una nave militare bielica si rilevano
i seguenti dati iniziali
V
N
D
Dh
PD
RT
w
t
Z
Nsh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
35 [kn]
300 [rpm]
3.80 [m]
0.76 [m]
47300 [kW]
1815 [kN]
0
0.05
5
2
Passo 2. Coefficienti base di progetto, assumendo che la temperatura dell’acqua di mare sia di
15o , per cui è ρ = 1.0258
λ=
T =
CT =
Va
= 0.301
πnD
RT
= 955.3 [kN]
(1 − t) Nsh
T
= 0.504
1 πD2 2
ρ
·Va
2
4
per asse
⇒
CTi = 1.04 CT = 0.524
Dal diagramma di Kramer (si entra con λ e CTi ) si ricava
ηi = 0.830
Passo 3. Velocità indotta tangenziale ut e verifica del coefficiente di spinta, imponendo che il
coefficiente di carico calcolato (CT )c sia pressoché uguale a quello richiesto (CT )r .
Al raggio 0.7R è
λi =
λ
= 0.363
ηi
tan βi =
λi
= 0.518
x
192
4.4 – Applicazioni
Poiché la distribuzione di passo dell’elica è parabolica dal mozzo fino al raggio 0.6R e, quindi,
rettilinea fino all’apice, dove con riferimento a quello relativo al raggio r/R = 0.7
(P/D)i = π x tan βi = 1.139
il passo ai vari raggi è calcolabile utilizzando i fattori dati nella seguente tabella
x
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
f
1.0872
1.0837
1.0724
1.0549
1.0288
1.0000
0.9712
0.9424
0.9136
È possibile derivare, quindi, la distribuzione dell’angolo di passo idrodinamico ad ogni raggio.
Essendo noti i valori degli angoli di passo β e βi , mediante le loro funzioni trigonometriche è
possibile determinare il rapporto ut /Va .
Si calcola, quindi, il fattore di Goldstein k ai vari raggi in funzione del numero di pale. A
questo punto, integrando con la regola di Simpson, si determina il coefficiente di carico di
spinta, che risulta essere pari a (CT )c = 0.5195. Se si impone che lo scarto massimo ammissibile
normalizzato rispetto a (CT )r tra (CT )c e (CT )r sia pari a ² = 0.001, è probabile che occorra
dar luogo ad una procedura iterativa che porti dai primi valori stimati a quelli corretti. In
questo caso, essendo
|(CT )r − (CT )c |
> 0.001
(CT )r
occorre procedere ad una seconda approssimazione, che porta a (CT )c = 0.5196.
Passo 4. Coefficiente portanza-corda-diametro
In base alle grandezze idrodinamiche calcolate in precedenza, si determina la circolazione Γ su
ogni profilo di pala. È immediato, quindi, calcolare il coefficiente (CL · c)/D, che costituisce
la base per la determinazione della lunghezza di corda c, dopo avere effettuato le opportune e
necessarie verifiche di robustezza e cavitazione.
Passo 5. Robustezza preliminare
Viene stimato lo spessore massimo virtuale sull’asse dell’elica to /D ed il coefficiente portanza–
corda–spessore CL·c/t, che serve in ingresso per l’utilizzo delle ‘carte di cavitazione’ della NACA.
Determinato lo spessore massimo, assumendo che lo spessore all’apice sia pari a 3 mm, lo
spessore ad ogni raggio segue la legge lineare
t = 0.003 + f (to /D − 0.003)
193
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Passo 6. Portanza e caratteristiche geometriche fondamentali
L’utilizzo dei diagrammi d’innesco della cavitazione per la determinazione dei rapporti di curvatura e di spessore, sezione per sezione, richiede la determinazione preliminare dell’indice di
cavitazione locale σ, calcolato in base alla relazione (4.21). Come si potrà verificare, i valori
radiali di f /c e di t/c, che si ottengono in questa fase, producono una pala molto larga, come
conseguenza della scelta di calcolare preventivamente la robustezza.
Sono utilizzate le carte d’innesco della cavitazione relative ai profili alari costruiti con una
distribuzione di spessore NACA 66 ed una linea mediana a = 0.8. È cosı̀ possibile determinare
il rapporto di spessore massimo t/c e quello di curvatura massima f /c in funzione dell’indice
di cavitazione σ e del coefficiente CL ·c/t.
Una volta derivato il rapporto t/c, utilizzando il coefficiente portanza–corda–spessore si definiscono le lunghezze di corda c ad ogni raggio. Si può cosı̀ calcolare il rapporto AE /AO .
Infine, si correggono i rapporti di curvatura f /c introducendo i fattori correttivi k1 e k2
dipendenti dal rapporto d’area espansa e dal coefficiente d’avanzo induttivo λ.
Passo 7. Robustezza finale
A questo punto possono essere completati i calcoli di robustezza forniti in Appendice 3. I valori
ottenuti di lunghezza di corda, curvatura e spessore massimi ad ogni raggio, vanno riavviati.
Passo 8. Correzione del passo
Prima di completare il progetto dell’elica, vanno effettuate le due correzioni del passo. Sono
effettuate per prime le correzioni per viscosità mediante un angolo d’incidenza addizionale rispetto a quello ideale, secondo una delle equazioni (4.26)–(4.28).
La seconda correzione tiene conto dell’effetto per superficie portante, relativamente ai vortici
concatenati - equazione (4.29) - ed ai vortici liberi che si staccano da ogni pala - equazione
(4.31).
Si ricava cosı̀ il rapporto passo-diametro finale secondo l’equazione (4.34).
Passo 9. Rendimento dell’elica e potenza assorbita
Viene verificato che il coefficiente di spinta, ottenuto integrando l’equazione (4.40), sia soddisfacente. Si calcola, quindi, il coefficiente di potenza mediante integrazione dell’equazione (4.41),
determinando cosı̀ il rendimento dell’elica isolata come rapporto tra coefficiente di spinta e
coefficiente di potenza. Si calcola, infine, la potenza assorbita mediante l’equazione (4.42).
194
4.4 – Applicazioni
Appendice 2
Progetto di un’elica adattata alla scia su una nave monoelica
Dalle prove sperimentali di resistenza e di autopropulsione, condotte sul modello di una nave
da carico monoelica, sono disponibili i seguenti dati iniziali:
V
PE
w
t
=
=
=
=
21 [kn]
9600 [kW]
0.20
0.15
nonchè la seguente distribuzione radiale di scia assiale
x
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
wx
0.424
0.344
0.288
0.249
0.221
0.200
0.185
0.174
0.161
Le specifiche progettuali richiedono che sia
PD
= 12500 kW
(PD )max = 21000 kW a 109 RPM
Sono state scelte quattro pale (Z = 4) in base a valutazioni sulle vibrazioni. Per avere una luce
verticale pari al 20% del diametro dell’elica, il diametro è limitato ad essere D = 4. Tale valore
è incrementato del 5% per potere calcolate il numero di giri ottimale. Un’analisi preliminare
con l’approccio di Papmel suggerisce un numero di giri ottimale N = 102 RPM. Le pale hanno
un ‘rake’ di 7.5 gradi per aumentare le luci.
Passo 1. Coefficienti base di progetto
Per ottenere in prima approssimazione l’angolo di passo idrodinamico sono necessari i coefficienti base di progetto .
Va = V (1 − w) = 16.8 [kN]
λ=
Va
= 0.253
πnD
T =
CT =
PE
= 1055.5 [kN]
V (1 − t)
T
= 0.856
1 πD2 2
ρ
·Va
2
4
195
⇒
CTi = 1.03 CT = 0.882
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Dal diagramma di Kramer (si entra con λ e CTi ) si ricava
ηi = 0.760
Passo 2. Coefficienti base di progetto
Per un’elica adattata alla scia i coefficienti idrodinamici progettuali sono basati sulla velocità
nave e sulla scia ad ogni sezione di pala. Si ricava
λs =
V
= 0.316
πnD
CTs =
T
= 0.548
1 πD2 2
ρ
·V
2
4
⇒
CTsi = 1.03 CTs = 0.565
λs
(1 − wx )
(1 − wx ) = 0.316
x
x
√
√
√
λs 1 − w 1 − wx
1 − wx
= 0.372
tan βi =
x
ηi
x
tan β =
λi = x tan βi
Passo 3. Velocità indotte e verifica del coefficiente di spinta
È possibile derivare, quindi, la distribuzione dell’angolo di passo idrodinamico ad ogni raggio.
Essendo noti i valori degli angoli di passo β e βi , mediante le loro funzioni trigonometriche è
possibile determinare ad ogni angolo le velocità indotte tangenziali ut /Va .
Si calcola, quindi, il fattore di Goldstein k ai vari raggi in funzione del numero di pale. Si
determina successivamante il coefficiente di carico di spinta, che al primo passo risulta essere
pari a (CT )c = 0.555. Dopo avere corretto i valori di tan0 ,βi , e rispettando il criterio.
|(CTsi )r − (CTsi )c |
> 0.001
(CTsi )r
l’iterazione finale fornisce (CTsi = 0.567.
Passo 4. Coefficiente portanza-corda-diametro
In base alle grandezze idrodinamiche calcolate in precedenza, si determina la circolazione Γ su
ogni profilo di pala. Si calcola, quindi, il coefficiente (CL ·c)/D, che consente di determinare la
lunghezza di corda c, dopo avere effettuato le opportune e necessarie verifiche di robustezza e
cavitazione.
196
4.4 – Applicazioni
I valori ricavati sono ai diversi raggi di pala
x
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
wx
0.124
0.126
0.118
0.107
0.095
0.081
0.067
0.048
0.000
Passo 5. Robustezza finale
La verifica di robustezza è effettuata con il metodo iluustrato in Appendice 3, assumenso una
tensione massima ammissibile σmax = 86,200kP a. Si calcolano anche le tensioni prodotte dalla
forza centrifuga dovuta al ‘rake’ ed allo ‘skew’. Risulta che l’elica ha un basso livello tensionale,
per cui la distribuzione radiale dello spessore di pala può essere ridotta in modo da avere uno
spessore adimensionale a mozzo pari a t/c = 0.19.
Passo 6. Geometria finale
I valori finali avviati della geometria di pala sono i seguenti
x
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
P/D
0.980
1.041
1.082
1.111
1.129
1.143
1.154
1.162
1.170
c/D
t/c
f /c
0.220
0.190
0.035
0.249
0.144
0.036
0.271
0.110
0.037
0.284
0.087
0.037
0.289
0.069
0.036
0.284
0.054
0.034
0.260
0.044
0.032
0.209
0.033
0.029
0.000
—–
—–
Passo 7. Potenza assorbita
Si può controllare se è soddisfatta l’ipotesi iniziale CTsi = 1.03 CTs . In base alla relazione
CTsi '
CT
0.008
λi
1−2
CL
dove CL e λi sono caloclat al raggio x = 0.7, si verifica essere CTsi = 1.03 CTs .
Una verifica della potenza richiesta dalle equazioni (4.37) e (4.38) fornisce PD = 12875 kW.
197
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Appendice 3
Analisi di Robustezza
L’analisi di robustezza delle pale dell’elica è sviluppata in base alla semplice teoria della trave
incastrata. Il metodo è concepito in modo tale da minimizzare il lavoro richiesto nel calcolo
delle proprietà geometriche della sezione di pala. Vengono fornite solamente le formule necessarie ad implementare questo metodo al computer.
Poiché, di solito, le tensioni causate dalla forza centrifuga sono piccole, vengono considerate
solamente le tensioni prodotte dai momenti flettenti generati dalla spinta e dal momento torcente. Questi momenti sono scomposti in due componenti: Mxo intorno ad un asse parallelo
alla linea di corda della sezione, ed Myo perpendicolare a questo asse. Ambedue gli assi, xo e
yo , passano attraverso il centroide della sezione di pala (Fig. 4.16).
Figura 4.16.
Proprietà geometriche di una sezione di pala
Quando siano noti l’angolo di passo ϕ, ed i momenti dovuti alla spinta ed al momento torcente,
è semplice ricavare i momenti flettenti intorno agli assi xo ed yo come segue
Mxo = MTb cos ϕ + MQb sin ϕ
(4.44)
Myo = MTb sin ϕ − MQb cos ϕ
(4.45)
I momenti MT b e MQ b , relativi alla pala di riferimento, sono ottenuti dalle distribuzioni della
spinta e del momento torcente, ricavate mediante la teoria vorticale. Le formule per questi
momenti sono quindi
MTb
ρ πR3 2
= ·
·VA
2 Z
MQb =
Z 1
ρ πR3 2
·
·VA
2 Z
(x − xo )·(1 − ² tan βi )·
xh
Z 1
(x − xo )·(tan βi + ²)·
xh
dCT i
dx
dx
dCT i
dx
dx
dove xo è il raggio adimensionale della sezione della quale si esamina la robustezza.
198
(4.46)
(4.47)
4.4 – Applicazioni
Per eliche adattate alla scia, nelle equazioni (4.46) e (4.47), anziché la velocità d’avanzo VA ed
il coefficiente dCT i , vanno utilizzati la velocità nave V ed il coefficiente di spinta basato sulla
velocità nave dCT si .
Se Ixo e Iyo sono i momenti d’inerzia rispetto agli assi baricentrici xo e yo , le tensioni su ogni
sezione di pala sono date dalle seguenti relazioni:
- tensione sul bordo d’ingresso
σle = −
y1 ·Mxo
x1 Myo
−
Ixo
Iyo
(4.48)
σte = −
y2 ·Mxo
x2 Myo
−
Ixo
Iyo
(4.49)
- tensione sul bordo d’uscita
- tensione sul dorso nel punto di massimo spessore
y3 ·Mxo
x3 Myo
σbtm = −
−
Ixo
Iyo
(4.50)
Per convenzione, una tensione positiva denota trazione, mentre una tensione negativa denota
compressione. Come mostrato in Figura 4.16, x1 , x2 e x3 sono rispettivamente le ascisse del
bordo d’ingresso, del bordo d’uscita e del punto di massimo spessore, mentre y1 , y2 e y3 rappresentano le ordinate degli stessi punti.
Le equazioni che forniscono le proprietà geometriche di un profilo alare sono state considerate
per le due distribuzioni di spessore NACA 16 e NACA 66. Le formule che seguono sono applicabili a tutti i profili alari costruiti con linee mediane NACA a = 0.8 oppure NACA a = 1.0.
Per la sezione NACA 16 le equazioni che forniscono le proprietà geometriche sono:
A = 0.986 (k1 ·tm /c)·c2
x1 = (0.4838 − 0.026fm /c)·c
x2 = x1 − c
x3 = x1 − 0.5 c
y1 = −(0.113 tm /c + 0.782)·(fm /c)·c
y2 = y1
y3 = y1 + (0.5 tm /c + fm /c)·c
Ixo = 0.9925 [k2 (fm /c)2 + 0.04487 (tm /c)3 ]·c4
Iyo = 0.946 (k3 ·tm /c)·c4
Per la sezione NACA 66 le equazioni sono:
A = 0.963 (k1 ·tm /c)·c2
x1 = (0.473 − 0.026fm /c)·c
199
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
x2 = x1 − c
x3 = x1 − 0.45c + 0.12 (fm /c)·(tm /c)·c
y1 = −(0.115 tm /c + 0.8)·(fm /c)·c
y2 = y1
y3 = y1 + (0.5 tm /c + 0.99fm /c)·c
Ixo = 0.945 [k2 (fm /c)2 + 0.04487 (tm /c)3 ]·c4
Iyo = 0.914 (k3 ·tm /c)·c4
Figura 4.17.
Coefficiente per l’area della sezione di pala
I coefficienti k1 , k2 per il calcolo dell’area e del momento d’inerzia assiale sono forniti rispettivamente nelle Figure 4.17 e 4.18, mentre il coefficiente k3 per il calcolo del momento d’inerzia
trasversale è desumibile dal diagramma in Figura 4.19.
Figura 4.18.
Coefficiente per il momento d’inerzia assiale della sezione di pala
200
4.4 – Applicazioni
Le equazioni precedenti, che consentono di calcolare le grandezze geometriche caratteristiche
della sezione di pala e, quindi, di valutare la sua robustezza, sono del tutto valide, purché i
valori dei rapporti di spessore massimo siano inferiori a 0.21 e quelli dei rapporti di curvatura
massima siano inferiori a 0.05.
Figura 4.19.
Coefficiente per il momento d’inerzia trasversale della sezione di pala
Passo 1
Proprietà geometriche delle sezioni ai vari raggi, in base alla Figura 4.8, in quanto viene utilizzato un profilo alare costituito da una sezione NACA 66 ed una linea mediana a = 0.8.
Si parte dalle caratteristiche geometriche c, tm /c e fm /c del profilo alare ad ogni raggio, e se
ne calcolano area, coordinate dei punti più sollecitati e momenti d’inerzia.
Passo 2
Momenti flettenti Mxo e Myo ai vari raggi, utilizzando le equazioni (4.46) e (4.47), i cui risultati
consentono di calcolarli mediante le equazioni (4.44) e (4.45).
Passo 3
Tensioni sul punto di massimo spessore e sui bordi d’ingresso e di uscita, utilizzando le
equazioni (4.48), (4.49) e (4.50).
Passo 4
Nuove lunghezze di corda per la tensione ammissibile di 86187.5 kN/m2 .
Le nuove lunghezze di corda sono determinate in base all’equazione (4.43), per venire poi
riavviate.
201
4 – Metodo di Eckhardt–Morgan
Passo 5
Nuovi rapporti di corda e di curvatura corrispondenti alle nuove lunghezze di corda.
La procedura che consente di ricavare i rapporti tm /c e fm /c ad ogni raggio è la seguente:
1. Si entra nel diagramma d’innesco di cavitazione con il valore dell’indice di cavitazione
locale σ.
2. Si determina per primo il valore di tm /c.
3. Si ricava, quindi, il valore di fm /c.
4. Il valore del rapporto di curvatura viene corretto, infine, mediante i fattori k1 e k2 .
Passo 6
Nuovo controllo della robustezza.
Utilizzando i nuovi valori di c, tm /c e fm /c, viene ripetuto il calcolo della robustezza di pala,
verificando che le tensioni massime finali siano vicine, ma inferiori a quella massima ammissibile.
202
Capitolo 5
Progetto dell’elica subcavitante
Il progetto finale dell’elica deve soddisfare diversi requisiti tra loro conflittuali: deve garantire
il rendimento propulsivo massimo possibile con l’obiettivo di produrre, alla velocità desiderata,
la spinta richiesta assorbendo la potenza disponibile ad una assegnata velocità angolare. Allo
stesso tempo deve garantire contemporaneamente una robustezza di pala adeguata e la riduzione/eliminazione della cavitazione per avere un livello accettabile di vibrazioni indotte in un
assegnato campo di scia non–uniforme.
Scopo dei calcoli progettuali di un’elica subcavitante, i cui algoritmi sono basati sulla teoria
vorticale, è la determinazione della distribuzione radiale del passo, nonché delle curvature, degli spessori e delle lunghezze di corda delle sezioni di pala, a partire dal calcolo delle velocità
indotte.
Dal punto di vista idrodinamico, il problema progettuale dell’elica può essere affrontato mediante la teoria della linea portante oppure mediante la teoria della superficie portante.
Nel processo finale della definizione della forma di pala, i calcoli basati sulla teoria della linea
portante servono fondamentalmente per ricavare un’appropriata distribuzione del carico radiale
e l’associata distribuzione del carico idrodunamico. Per navi ed imbarcazioni lente il rendimento è il parametro da ottimizzare, mentre per le navi veloci e/o molto caricate la cavitazione è
la voce progettuale primaria.
Il progetto di nuovi profili per le sezioni di pala è generalmente limitato ad eliche speciali,
quali sono quelle per navi militari, alle eliche intubate, alle eliche supercavitanti e ventilate,
alle eliche per navigazione in ghiaccio, oppure ad altre eliche per le quali sono imposti requisiti
speciali per quanto riguarda l’innesco della cavitazione o la portanza massima. Per le eliche
convenzionali di navi mercantili, le sezioni sono scelte di solito tra i tipi standard (NACA,
203
5 – Progetto dell’elica subcavitante
MAU, Walckner, ecc.). I profili standard sono determinati dalle distribuzioni dello spessore e
della linea mediana,per cui lo spessore massimo e la freccia massima determinano completamente i particolari geometrici della sezione.
Un tipo di sezione ampiamente utilizzato per le eliche navali è la combinazione della distribuzione di spessore NACA 66 con la linea mediana NACA a=0.8. Tra le proprietà di questi profili
alari è importante la relazione tra angolo d’incidenza, coefficiente di portanza e caratteristiche
d’innesco della cavitazione. Il coefficiente di portanza è determinabile in funzione dello spessore
massimo e dell’angolo d’incidenza, espresso in gradi, mediante le relazioni fornite in Tabella
5.1.
f /c
CL
0.00
0.02
0.04
CL = 0.11 (1 − 0.83 t/c) α
CL = 0.11 (1 − 0.83 t/c) (α + 2.35)
CL = 0.11 (1 − 0.83 t/c) (α + 4.70)
Tabella 5.1. Coefficienti di portanza (profilo NACA 66 - linea mediana a=0.8)
Talvolta sono utilizzati altri profili standard, in particolare i NACA 16. In molte vasche idrodinamiche sono applicati profili alari differenti, sebbene le loro caratteristiche d’innesco della
cavitazione siano piuttosto simili a quelle dei profili standard. Per profili di superfici portanti
quali timoni, braccioli, ecc., si applicano spesso distribuzioni di spessore NACA 00xx.
Nel progetto dell’elica finale con la teoria vorticale si assume che gli elementi fondamentali
dell’elica (diametro e numero di giri) sianno stati determinati preventivamente, grazie all’utilizzo dei diagrammi progettuali computerizzati derivati da serie sistematiche, Il punto di partenza
è la valutazione di un’elica ottimale (in termini del criterio di Lerbs) adattata alla scia al punto
progettuale. Il progettista è libero di introdurre ogni tipo di modifiche alla geometria dell’elica
ed alle caratteristiche del suo punto progettuale. Queste modifiche possono includere:
• distribuzione radiale del passo;
• distribuzione radiale della curvatura massima della linea mediana delle sezioni di pala;
• distribuzione radiale delle lunghezze di corda delle sezioni di pala;
• distribuzione radiale degli spessori massimi delle sezioni di pala;
• distribuzione radiale delle ordinate dello ‘skew–back’;
• distribuzione radiale delle ordinate del ‘rake’;
• il punto progettuale dell’elica, descritto dalla velocità nave, dal numero di giri della linea
d’assi e dalla spinta sviluppata dall’elica.
Ad ogni passo del calcolo progettuale si effettua una sola modifica, che dà luogo ad un nuovo calcolo allo scopo di raggiungere il punto progettuale specificato. Il codice di calcolo deve
fornire informazioni complete sull’elica modificata, che comprendano la sua geometria, le caratteristiche idrodinamiche locali e totali, insieme ai margini di sicurezza rispetto alla cavitazione
a bolle ed a lamina. Queste informazioni costituiscono la base per le decisioni da prendere nelle
modifiche successive.
204
5.1 – Influenza della scia e carico dell’elica
5.1
Influenza della scia e carico dell’elica
Il progetto dell’elica adattata alla scia della carena, necessita di informazioni circa la distribuzione del campo di velocità sul disco–elica. È auspicabile avere informazioni circa la scia
effettiva, ossia circa il campo di velocità con l’elica operante. Tali informazioni sono costruite
dall’analisi dei risultati delle misure del campo di velocità durante le prove su modelli autopropulsi in una vasca di rimorchio.
Le navi di nuovo tipo producono una varietà di distribuzioni di scia dovute alle grandi differenze delle forme di carena, i cui effetti influenzano le prestazioni dell’elica. Oggi le eliche
non possono essere progettate utilizzando solamente il valore di scia effettivo o la media delle
distribuzioni di scia.
Le sezioni, il contorno, lo spessore e lo ‘skew’ di pala devono essere determinate per adattare
le loro caratteistiche alla particolare distribuzione di scia. Tutte le analisi vanno realizzate
utlizzando la teoria verticale. Gli esperimenti su modello sono effettuati solamente per catturare il legame tra teoria e realtà, ovvero per confermare le caratteristiche dell’elica calcolate
teoricamente.
Una difficoltà insita in questa concezione nasce dal fatto che la forma degli strati di vortici
liberi e le entità delle componenti della velocità indotta sono mutuamente dipendenti, il che
rende necessarie certe approssimazioni. Nel caso di elica leggermente caricata, si ipotizza che la
forma di uno strato vorticoso sia determinato dalla velocità d’avanzo e dalla velocità periferica
dell’elica. Non viene considerata, quindi, l’influenza delle velocità indotte sulla forma stessa in
quanto queste ultime sono trascurabili rispetto alla velocità del flusso indisturbato. Lo strato
vorticoso risulta essere perció una vera superficie elicoidale.
Nel caso di elica moderatamente caricata, il che si verifica per la maggior parte delle eliche
navali tranne che in condizioni di tiro, questa semplificazione non è più accettabile, per cui si
rende necessario introdurre alcune approssimazioni per risolvere il problema. Si tiene conto
dell’influenza delle velocità indotte sulla forma dello strato di vortici liberi, ma si trascurano
gli effetti della contrazione e delle forze centrifughe sulla scia a valle dell’elica. In questo caso,
la formazione degli strati vorticosi differisce, in generale, da effettive superfici elicoidali. Se,
infine, si tiene conto di questi effetti sulla forma degli strati vorticosi, si parla di elica pesantemente caricata.
Per eliche moderatamente e pesantemente caricate, la legge di Betz stabilisce che gli strati
vorticosi liberi formano vere superfici elicoidali, per cui la risultante delle velocità indotte è
normale al vettore velocità risultante, purché la circolazione lungo la linea portante sia tale
che l’energia cinetica nella scia a valle dell’elica presenti un valore minimo per valori assegnati del coefficiente d’avanzo e del coefficiente di carico. Questo vale fondamentalmente per la
scia alquanto a valle del disco–elica, ma è applicabile anche agli strati vorticosi sul piano del
disco–elica stesso quale approssimazione nel caso di carico moderato,. Legata a questa ipotesi
è un’ulteriore approssimazione, in base alla quale può essere trascurata ogni deformazione degli
strati vorticosi in direzione assiale ed in virtù della quale diviene determinabile la distribuzione
205
5 – Progetto dell’elica subcavitante
ottimale della circolazione lungo una linea portante. Tutte le teorie sviluppate successivamente
utilizzano questa premessa per il calcolo delle velocità indotte, anche quando la distribuzione
radiale del carico idrodinamico non è più quella ottimale (Eckhardt & Morgan, 1955).
Le teorie dell’elica moderatamente caricata, basate su queste ipotesi, sono state validate da
numerosi riscontri sperimentali. Tuttavia, sulla base di esperimenti con eliche ottimali, Lerbs
(1952) ha ritenuto giustificabile trascurare, entro certi limiti, la deformazione degli strati vorticosi in direzione assiale anche quando la distribuzione della circolazione di un’elica moderatamente caricata non sia ottimale. Di conseguenza, si ipotizza che gli strati vorticosi siano costituiti da linee vorticose cilindriche con diametro ed angolo di passo costanti in direzione assiale,
consentendo quindi di considerare flussi variabili radialmente e distribuzione di circolazione non
ottimali.
5.2
Metodo della linea portante
È stato dimostrato (Tanybayashi (1973) che l’utilizzo corretto di un’adeguata teoria della linea
portante, applicata in modo quasi–stazionario, può produrre risultati affidabili per il calcolo
della spinta e del momento torcente di un’elica adattata alla scia per valori non troppo elevati
del rapporto d’area espansa. La validità della teoria quasi–stazionaria della linea portante per
valori elevari del rapporto dell’area di pala cresce notevolmente quando si considera il fenomeno della variazione dell’angolo d’incidenza del flusso indisturbato lungo la sezione di pala, che
cambia la curvatura effettiva delle sezioni di pala. Questi fatti, insieme alla conoscenza che i
codici basati sulla teoria della linea portante sono estremamente versatili, particolarmente se
incorporano gli effetti viscosi e gli effetti delle variazioni della geometria delle sezioni di pala,
hanno portato ad accettare l’utilizzo della teoria quasi–stazionaria della linea portante per il
calcolo della distribuzione delle circolazione lungo la linea portante e dell’angolo d’incidenza
del flusso incidente risultante alle varie posizioni angolari di pala.
Il metodo più rigoroso e più completo di applicazione della teoria della linea portante per eliche
leggermente e moderatamente caricate è il metodo dei fattori di induzione. Nello sviluppo di
questo metodo, Lerbs (1952) ha ipotizzato che gli strati di vortici liberi siano costituiti da filamenti vorticosi cilindrici, ognuno dei quali con angolo di passo costante, il che consente di avere
un flusso non–uniforme variabile radialmente ed una distribuzione di circolazione non ottimale.
Questo metodo permette di calcolare le velocità indotte assiali e tangenziali indipendentemente
le une dalle altre ed include l’effetto del mozzo dell’elica. Le linee portanti sono considerate
rettilinee, ossia senza ‘skew’ e senza ‘rake’.
Dal diagramma del triangolo delle velocità locali, relativo alla generica sezione di pala al raggio
x (Fig. 5.1), si può rilevare come le velocità indotte ua e ut siano legate all’angolo di passo
idrodinamico βi . Si osservi che qui l’angolo di passo geometrico, di solito indicato con ϕ, coincide con l’angolo di passo idrodinamico βi : questa è una condizione molto particolare, ossia
quella di ‘shock–free entry’, e, quindi, non rappresenta una condizione generale.
206
5.2 – Metodo della linea portante
Da questo diagramma di velocità, nel quale x·π n D è la componente rotazionale della velocità
del flusso incidente e Vt è la componente circonferenziale (pre–rotazionale) della velocità di scia
della carena, si ricava la relazione
µ
ut
ua
+ tan βi
VA
VA
¶
=
tan βi
−1
tan β
(5.1)
dove il rapporto (tan βi / tan β) è, in generale, soggetto alla condizione
tan βi
= f (x)
tan β
che nel caso di un’elica adattata alla scia può essere definito come
tan βi
1
=
tan β
ηi
µ
1−w
1 − w(x)
¶3/4
secondo il criterio di distribuzione radiale ottimale della spinta (van Manen, 1955).
Figura 5.1.
Triangolo delle velocità locali
La relazione geometrica (5.1) tra le velocità indotte ed i valori degli angoli βi e β può essere
verificata introducendo le relazioni
VA + ua
VA
tan βi =
e tan β =
ωr − ut
ωr
Sostituendo le espressioni integrali (??) delle velocità indotte assiale e tangenziale nell’equazione
(5.1), si ricava la seguente equazione integrale per la circolazione adimensionale
µ
Z 1
dG
xh
1
tan βi
[ia + it tan βi ] dx◦ = 2
−1
dx◦ x − x◦
tan β
¶
(5.2)
dove G è la circolazione adimensionale.
L’equazione (5.2), dove dG/dx◦ è la grandezza incognita, corrisponde all’equazione integrale
sviluppata nella teoria di un’ala di allungamento finito. La sola differenza è costituita dalla
presenza dei fattori di induzione che rimandano all’utilizzo del metodo di Lerbs, il quale produce un sistema di equazioni lineari, dove la distribuzione di circolazione è espressa in serie di
Fourier e dove i coefficienti di Fourier sono da considerare incogniti.
207
5 – Progetto dell’elica subcavitante
Questa equazione integrale è applicabile universalmente ad ogni tipo di elica, con campo di
velocità omogeneo e radialmente non–uniforme, e con distribuzione di passo arbitraria. Un
metodo per determinare il valore principale di questo integrale è stato fornito da Schubert
(1954) come estensione della soluzione di Glauert. Si ricava la seguente espressione per la
circolazione adimensionale
∞
X
1
tan βi
m Gm [ham (ϕ) + tan βi (ϕ) htm (ϕ)] =
−1
1 − xh m=1
tan β
Se si impone che questa relazione sia soddisfatta per un certo numero di punti sulla linea
portante, si ricava un sistema di equazioni lineari dal quale si può ottenere il vettore dei coefficienti di Fourier G che esprimono la circolazione adimensionale. Si può calcolare, quindi,
la velocità indotta mediante sostituzione nella serie di Fourier, determinando infine la portanza.
Si osservi che la resistenza delle sezioni è nulla nei modelli a flusso potenziale, mentre la resistenza indotta è presente in ogni caso per effetto della generazione delle velocità indotte. La
resistenza della sezione deve essere perciò determinata mediante il calcolo della resistenza viscosa. La portanza e la resistenza alle varie sezioni di pala sono scomposte, quindi, in senso assiale
e tangenziale; la loro integrazione consente di determinare la spinta ed il momento torcente di
pala secondo le formule fornite dalla teoria delle sezioni di pala.
La teoria vorticale consente di determinare l’intensità del sistema vorticoso dell’elica. I vortici
liberi di questo sistema producono le velocità indotte, che devono essere considerate se si vogliono legare gli angoli d’incidenza del flusso alle caratteristiche dei singoli profili. Inoltre, si è
in grado di calcolare i fattori di induzione con relativa semplicità. Di conseguenza, si potrebbe
ipotizzare che il passo dei vortici liberi sia conosciuto, dal momento che i fattori di induzione
dipendono dall’angolo di passo idrodinamico. Di norma, questo non è vero, per cui occorre
scegliere inizialmente la distribuzione radiale del passo.
L’esperienza ha insegnato, inoltre, che vicino al mozzo ed all’apice di pala le soluzioni numeriche
diventano meno stabili rispetto alla zona centrale di pala. Infatti, per ϕ = 0 e per ϕ = π, le
funzioni hm divengono indefinite. Le soluzioni per la linea portante in questi punti di estremità
possono essere ricavate mediante la regola dell’Hospital come

ham (0) = π m
m
X
ian (0) +
n=0
ian (0)
(5.3)
n=m+1

htm (π)

n
X
= −π cos (mπ) m
m
X
ian
cos (nπ) +
n=0
n
X

ian (0)
cos (nπ)
(5.4)
n=m+1
Tuttavia, è stato verificato che è più pratico determinare i valori della circolazione sul mozzo e
sugli apici mediante estrapolazione in senso radiale.
208
5.3 – Progetto idrodinamico
Inoltre, è risultato evidente che basta un piccolo numero di termini nella serie armonica, cinque
o sei, che rappresentano le distribuzioni radiali della circolazione ed i fattori di induzione per
ottenere risultati ragionevolmente accurati. L’esperienza ha anche insegnato che, per avere risultati stabili rispetto alla distribuzione di circolazione, occorre introdurre un numero minimo
di sette termini nella serie armonica di Fourier. D’altra parte, la risoluzione del sistema che
fornisce i coefficienti di Fourier di una serie armonica con più di tredici termini è risultata essere
progressivamente instabile.
Dopo avere risolto il problema delle velocità indotte, si determina la spinta in base all’intensità
della circolazione e si calcola, infine, la resistenza. Successivamente, si corregge iterativamente
il passo idrodinamico, finché la spinta corrisponde al valore desiderato. In linea di principio,
si dovrebbe tenere presente che esiste un numero infinito di soluzioni, almeno fino a quando
non sia fissata la distribuzione radiale del passo. Nello sviluppo del progetto dell’elica è pratica comune fissare il tipo di distribuzione radiale e studiare gli effetti delle variazioni della
distribuzione risolvendo il modello della linea portante per ogni caso particolare. Si osservi che
gli effetti della variazione della distribuzione radiale del passo idrodinamico non si riflettono
sempre correttamente nel rendimento dell’elica cosı̀ come è derivata dal modello di linea portante descritto in precedenza.
In base al processo progettuale suddetto, si determinano i valori finali del passo idrodinamico,
delle velocità indotte e della circolazione ai diversi raggi della discretizzazione di pala.
5.3
Progetto idrodinamico
Il processo progettuale dell’elica in base alla teoria vorticale può essere schematicamente diviso
in tre fasi interdipendenti:
1. determinazione delle principali caratteristiche cinematiche ed idrodinamiche delle sezioni
di pala a partire da un’assegnata distribuzione di circolazione o per soddisfare la condizione ottimale generalizzata della linea portante;
2. scelta dei valori ottimali della portanza, della lunghezza e dello spessore di corda della
sezione di pala, con la simultanea verifica dei requisiti di robustezza e del contemporaneo
controllo della cavitazione;
3. determinazione del passo e della curvatura della sezione in base alla teoria della superficie
portante, oppure utilizzando le correzioni per superficie portante da apportare al passo
ed alla curvatura definiti in base alla teoria della linea portante.
Fase 1. Soluzione del sistema di equazioni per la linea portante di un’elica moderatamente
caricata mediante il metodo dei fattori di induzione, senza ottimizzare alcun parametro.
Nei metodi approssimati della teoria vorticale si applicano correzioni per il numero finito di pale
dell’elica (fattori di Goldstein). Questi metodi applicati diffusamente dopo la seconda guerra
mondiale, sono cosı̀ semplici da avere consentito il calcolo progettuale di un’elica adattata alla
209
5 – Progetto dell’elica subcavitante
scia in modalità quasi manuale. È importante osservare che la precisione di questi metodi non
è inferiore a quella garantita dal metodo dei fattori di induzione nel caso del progetto di elica
ottimale isolata nel senso dell’elica di Prandtl, secondo il quale il passo idrodinamico πr̄ tan βi
è costante in direzione radiale.
Più avanti è illustrato l’algoritmo per i calcoli progettuali di un’elica adattata alla scia mediante
l’utilizzo dei fattori di Goldstein e della condizione ottimale generalizzata (3.120). Successivamente viene applicato lo schema generale lineare della scia vorticosa insieme al calcolo delle
componenti assiale e tangenziale del campo di velocità assialsimmetrico in termini di media
circonferenziale.
I parametri prefissati sono: il numero di pale Z, il raggio adimensionale de mozzo r̄h , il diametro D = 2R, il numero di giri dell’elica n, il coefficiente di spinta nella condizione di elica
dietro carena KTB , il coefficiente d’avanzo Jv , il fattore di deduzione di spinta t, il campo di
scia descritto dalle componenti assiale wx (r̄) e tangenziale wt (r̄), l’inverso della qualità aerodinamica della sezione di pala ε.
La funzione ε(r̄) è di solito incognita all’inizio dei calcoli. Il valore di questa funzione può essere determinato solamente dopo il secondo stadio del processo progettuale; per questo motivo
inizialmente si assume ε(r̄) = 0. Inizialmente il valore di KTB è sostituito con KTi , corretto
mediante il coefficiente d’influenza iv della viscosità sulla spinta. Scelto iv , dopo avere determinato i valori reali di ε(r̄) ed i corrispondenti valori di KT∗B , è possibile precisare iv in base alla
formula iv = KTI /KTB e ripetere i calcoli per un altro valore di iv , assumendo ancora che sia
ε(r̄) = 0. Se il nuovo valore di iv differisce leggermente da quello assunto inizialmente, è possibile proseguire i calcoli con la funzione ε(r̄) calcolata al passo precedente. Questa procedura
può essere applicata affidabilmente se può essere trascurata l’influenza di ε(r) sulla distribuzione radiale ottimale della circolazione, ossia per coefficienti d’avanzo moderati (Jv ≤ 1.0).
I calcoli della prima fase hanno inizio con la determinazione di un certo numero di funzioni
base, quali la spinta TB = ρn2 D4 KTB , la velocità nave V = nDJv , il coefficiente d’avanzo
apparente λtv = Jv /π ed il coefficiente di scia media assiale
w̃ =
2
1 − r̄h2
Z R
rh
wx ·r dr̄
e proseguono sviluppando sequenzialmente i seguenti algoritmi:
1. Si fissa il coefficiente di influenza viscosa iv che per le eliche al vero può essere assunto
pari a 1.02÷1.05.
2. Si determinano le caratteristiche cinematiche e dinamiche dell’elica isolata equivalente,
operante in un flusso omogeneo e cilindrico
iv ·KTB
[1 − λtv ·wt (r̄)/r̄]2
(5.5)
λtv (1 − w̃)
[1 − λtv ·wt (r̄)/r̄]2 ]
(5.6)
KT∗i =
λ∗t =
210
5.3 – Progetto idrodinamico
Le condizioni di equivalenza sono assunte in maniera tale che, quando sono wt (r̄) = A· r̄
con A = cost. e ux = ũ, per l’elica equivalente i valori dimensionali delle forze, delle velocità e della circolazione sono uguali a quelli dell’elica iniziale. Le formule (5.5) e (5.6) sono
derivate nell’ipotesi che il valore di A è determinato in base alla condizione wt∗ (r̄) = wt (r̄).
3. Si calcola il coefficiente d’avanzo induttivo λi per l’elica equivalente mediante le formule
λ◦i = 0.26 (λ∗t )2 + [1.2 (KT∗ )2 − 0.5KT∗ + 0.897] λ∗t −
0.15 (KT∗ )2 + 0.5KT∗ + 0.0131
per Z = 3
(5.7)
λ◦i = 0.26 (λ∗t )2 + 0.812λ∗t + 0.0276 + 0.38KT∗
per Z = 4
(5.8)
λ◦i = 0.26 (λ∗t )2 + 0.812λ∗t + 0.0321 + 0.35KT∗
per Z = 5
(5.9)
λ◦i = 0.26 (λ∗t )2 + 0.812λ∗t + 0.0306 + 0.34KT∗
per Z = 6
(5.10)
che approssimano il diagramma progettuale di Lavrentiev per eliche isolate, ottimali e
moderatamente caricate, dove è KT∗ = KT∗i se è ε(r̄) = 0.
4. Si calcola il parametro che caratterizza il passo radialmente costante dei vortici liberi
come
λw = λ◦i
(5.11)
5. Si calcola la costante c della condizione ottimale generalizzata mediante la formula
c = 2 (λw − λtv ) + λtv (w̃ + t) −
λ2tv ·wt (r̄) ε(r̄) 2
+
(r̄ + λ2tv )
r̄
r̄
(5.12)
Questa formula è ricavata dalla condizione di ottimalità purché sia πr̄ tan βi = πλw nel
caso particolare nel quale πr̄ tan βi sia radialmente costante. E questa condizione deve
essere soddisfatta in quanto per un’elica isolata, ottimale per l’elica di Prandtl, l’algoritmo
deve fornire una soluzione esatta.
6. Si determina un parametro secondario S necessario per calcolare la correzione di Goldstein
per numero finito di pale
S=
Z
p
1 + λ2w
2 λw
(5.13)
7. Dopo avere discretizzato la pala ad un certo numero di raggi r̄, si calcolano le seguenti
caratteristiche idrodinamiche:
• il rapporto di passo idrodinamico in base alla condizione di ottimalità data dall’equazione (3.114)
"
πr̄ tan βi = πλtv
c
wx (r̄)
t
λtv wt (r̄) ε r̄2 + λ2tv
1+
−
− +
−
2λtv
2
2
2r̄
r̄ 2 λtv
211
#
(5.14)
5 – Progetto dell’elica subcavitante
• l’avanzo induttivo
λi = r̄ tan βi
(5.15)
λi
r̄
(5.16)
• l’angolo di passo idrodinamico
βi = tan−1
• l’angolo di passo della superficie dei vortici liberi
λw
βw = tan−1
r̄
(5.17)
• la normale della proiezione della velocità indotta sulla superficie dei vortici liberi nei
punti della linea portante
ūnd =
(r̄ − λtv wt ) sin βi − λtv (1 − wx ) cos βi
cos (βi − βw )
(5.18)
• il modulo della velocità relativa, normalizzata rispetto a ωR
V̄R =
λtv (1 − wx ) + w̄nd cos βw
sin βi
(5.19)
• il fattore di Goldstein κ(r̄, S) per numero finito di pale, ricordando che per r̄ = 1 è
κ=0
• la circolazione adimensionale
G=
Γ
4πr̄ κ ūnd sin βw
=
2
ωR
Z
• il termine definito da Lavrentiev caratteristica idrodinamica
CL ·c
G
H=
=
D
V̄R
(5.20)
(5.21)
• la funzione
dKT∗B
π2
=
Z G V̄R cos βi (1 − ε tan βi )
dr̄
4
(5.22)
8. Si può ricavare, mediante integrazione della funzione dKT∗B /dr̄ da r̄h ad 1, il valore KT∗i
per ε(r̄) = 0, oppure il valore KT∗B se ε(r̄) è derivato dalla seconda fase dei calcoli.
9. Si confronta il valore ricavato di KT∗B con il valore richiesto di KTB , e se non si è raggiunta la necessaria precisione, ossia se la loro differenza è superiore al 2%, si procede
ulteriormente dal passo 10. per determinare λw . Altrimenti, si considera terminata la
prima fase e si procede con la seconda. Se si accetta inizialmente che sia ε(r̄) ≡ 0 e se si
stima trascurabile l’influenza di ε(r̄) su Γ (r̄), il valore ricavato di KT∗B viene fissato pari
212
5.3 – Progetto idrodinamico
a KT∗i ed andrebbe confrontato con il valore di iv ·KTB . In questo caso, dopo avere svolto
la seconda fase dei calcoli ed avere determinato ε(r̄), si dovrebbe ricalcolare dKT∗B /dr̄
secondo la formula (5.22). Se la precisione è insufficiente, dopo avere fissato un nuovo
valore di iv = KT i /KTB , si devono ripetere i calcoli a partire dal passo 2.
10. Si ricava il nuovo valore di λw con l’ausilio dei valori ricavati in precedenza di λ∗w = λw e
KT∗B , in base alla relazione
λw = λ∗w + 0.3 (KTB − KT∗B )
(5.23)
11. Si ripetono tutti i calcoli a partire dal punto 5.
Fase 2. Scelta dei valori ottimali della lunghezza di corda, dello spessore e del coefficiente di
portanza.
Sono possibili due varianti in dipendenza del fatto che:
1. la lunghezza di corda c(r̄) è assegnata per ogni sezione, una volta scelto il tipo di profilo;
2. la lunghezza di corda non è assegnata, ovvero è arbitraria.
Il sistema di equazioni e disequazioni, necessario alla scelta dei valori suddetti
CL ·c
=H
D
(5.24)
(t/c)2/3 ·c
≥ Ad
D
(5.25)
(1 + a1 ·t/c + a2 ·CL )2 − 1 ≤ kσ σ
(5.26)
·
ε = 0.05808
ν
V̄R H ·πnD2
¸0.1458 µ
1 + 2.3
t
c
¶
CL−0.8542
(5.27)
0 < t/c ≤ 0.2
(5.28)
0 < CL ≤ 0.3
(5.29)
è costruito imponendo tre condizioni, relative rispettivamente all’idrodinamica (5.24), alla robustezza (5.25) ed al controllo della cavitazione per la sezione cilindrica considerata (5.26),
insieme all’espressione analitica di Miškevič relativa all’inverso dell’efficienza aerodinamica del
profilo portante, insieme ai vincoli per cui questa espressione è valida.
Lunghezza di corda arbitraria
Quando la lunghezza di corda è arbitraria, i termini incogniti in questo sistema sono il coefficiente di portanza CL , la lunghezza di corda normalizzata c/D, lo spessore massimo normalizzato della sezione t/c e l’inverso dell’efficienza idrodinamica ε. Si assume che siano noti gli
213
5 – Progetto dell’elica subcavitante
altri termini, ossia: la caratteristica di robustezza Ac 1 ; i parametri a1 e a2 che caratterizzano il
coefficiente di pressione minima sulla superficie del profilo di pala durante il suo modo operativo ‘shock–free-entry’ (per il profilo NACA–66, a1 = 1.28 e a2 = 0.278; per il profilo NACA–66
modificato, a1 = 1.25 e a2 = 0.263; il coefficiente del margine per l’innesco della cavitazione kσ
sul dorso del profilo, determinato secondo le raccomandazioni di Voitkunsky (1985) in rapporto
al livello di disuniformità circonferenziale di scia, al rapporto tra modo operativo progettuale e
modo operativo più pericoloso dal punto di vista della cavitazione. Il coefficiente kσ può essere
determinato dalla condizione che assicura l’intervallo massimo di angoli d’incidenza senza cavitazione. Per profili con distribuzione di spessore ellittica o similare è kσ = 2/3. I valori della
funzione H(r̄) e di V̄R sono scelti in accordo con i risultati ottenuti nei primi passi dei calcoli
progettuali descritti in precedenza, rispettivamente in base alle equazioni (5.19) e (5.21).
r̄
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
kt
244
211
169
122
80
46
20
kc
320
274
225
164
111
65
30
Tabella 5.2.
Coefficienti per il calcolo dell’area delle sezioni di pala
Lunghezza di corda ottimale
Come è facile capire, il sistema ottenuto di equazioni e disequazioni non determina univocamente i tre termini incogniti CL , c e t/c per ogni sezione considerata. Questa è la ragione per
cui, aggiungendo al sistema suddetto la condizione di minimizzazione di ε, occorre utilizzare la
programmazione matematica (mathematical programming) per la scelta ottimale di quei termini
che assicurino la minimizzazione delle perdite da parte del profilo. È possibile dimostrare che,
entro l’intervallo di variazioni ammissibili di CL e t/c, le derivate parziali ∂ε/∂CL e ∂ε/∂(t/c)
sono diverse da zero, per cui il minimo incognito deve trovarsi sul limite di quell’intervallo.
Se utilizzando la relazione (5.24) si esclude dalla disequazione (5.25) il termine c/D, la zona
considerata sarà determinata nel piano cartesiano di coordinate t/c − CL nel modo seguente
(Fig. 5.2)
s
√
¶
µ
Ad 3
1 + kσ σ − 1 − a2 CL
(5.30)
CL · 3
≤ t/c ≤
H
a1
dove il limite superiore corrisponde alla condizione di assenza di cavitazione, mentre quello
inferiore è relativo alla condizione di robustezza per la sezione in esame. Al crescere di CL questi
limiti si avvicinano e si intersecano in un punto, che corrisponde al massimo del coefficiente di
1
Secondo Lavrentiev le robustezza di pala è caratterizzata dalla diseguaglianza c/D ≥ Ad /(t/c)2/3 , dove la
caratteristica dimensionale di robustezza di pala richiesta Ad è uguale alla maggiore tra le grandezze
At = 0.01
p
kt m T /Z D 2 σt
e
Ac = 0.01
p
kc m T /Z D 2 σc
dove σt e σc sono rispettivamente le tensioni ammissibili di trazione e compressione. Il coefficiente m dipende
dalle condizioni di funzionamento e varia da 1.15 per le navi mercantili convenzionali a 2.0 per le navi in classe
ghiaccio. I coefficienti kt e kc sono forniti in Tabella 5.2.
214
5.3 – Progetto idrodinamico
portanza. Sostituendo nell’equazione (5.27) i valori di t/c corrispondenti al limite superiore ed
inferiore, si può vedere che il minimo richiesto di ε si trova in quel punto d’intersezione se sono
rispettati i vincoli descritti dalle disequazioni (5.28) e (5.29), che restringono l’applicabilità
dell’equazione (5.27) per il calcolo di ε.
Figura 5.2.
Individuazione del punto ottimale
In questo modo si può ottenere la soluzione della programmazione lineare nel caso generale,
corrispondente alla variante 1, nella forma analitica
s
µ
Ad
CLmax ·
H
¶3
s
t
=
c

CL max




CL opt =
0.3



 √
3
0.22
µ
Ad
CLmax ·
H
(5.31)
¶3
per CL max ≤ 0.3 e t/c ≤ 0.2
per CLmax > 0.3 e
per CLmax > 0.3 e
s
µ ¶
t
c
√
1 + kσ σ − 1 − a2 CL
=
a1
µ
=
opt
Ad
CLopt ·
H
H
c
=
2R
CL opt
p
(0.3Ad /B)3 ≤ 0.2
(5.32)
p
(0.3Ad /B)3 > 0.2
¶3
(5.33)
(5.34)
L’equazione di terzo grado (5.31), dovuta a Lavrentiev, è risolta numericamente rispetto a
p
CLmax . L’analisi progettuale ha dimostrato che l’aumento del rapporto di area espansa, ovvero della lunghezza di corda, produce una diminuzione del rendimento dell’elica. Questo è il
215
5 – Progetto dell’elica subcavitante
motivo per cui si sceglie il rapporto d’area espansa minimo possibile, che corrisponde al suddetto massimo di CL per la sezione considerata.
La variante 1 della seconda fase dei calcoli progettuali condotti in base alla teoria vorticale
differisce dalla variante 2 per il fatto che la lunghezza di corda normalizzata, c/D, è prestabilita
e, quindi, in base all’equazione (5.24), CL è noto per ogni sezione. In questo caso si ottimizza
solamente lo spessore relativo. Dall’equazione (5.27) deriva immediatamente che minore è lo
spessore per un assegnato valore di CL , minore è ε e, quindi, minori sono anche le perdite del
profilo. Ne deriva che la soluzione cercata si triva sul limite inferiore dell zaona considerata (vedi
Figura 10.12); ossia, in base alle equazioni (5.24) e (5.25), la soluzione nel caso di lunghezza di
corda prefissata ha la forma
µ ¶
t
c
essendo
=
opt


(CL ·Ad /H)3/2



per (t/c)opt < 0.20

non esiste soluzione che soddisfi



per (CL Ad /B)3/2 > 0.20
(5.35)
le condizioni assegnate
CL =
H
c/D
Fase 3. Determinazione del passo e della curvatura della sezione di pala .
Questa fase del processo progettuale è dedicata alla ricerca della distribuzione del passo P (r̄),
ovvero dell’angolo di passo geometrico ϕ(r̄), e della distribuzione radiale della curvatura massima della linea mediana del profilo f (r̄). Quest’ultima variabile dovrebbe essere scelta in
maniera da garantire il mantenimento dei valori del coefficiente di portanza CL ricavato nella
seconda fase e dell’angolo d’incidenza ‘shock free’ del profilo su tutte le sezioni di pala.
In questa fase si dovrebbe assumere inizialmente quale distribuzione di carico lungo la corda
quella derivata nella prima e nella seconda fase, per effettuare successivamente i calcoli mediante la teoria della superficie portante, i quali consentono di precisare la forma delle linee
di corrente del flusso vicino alle pale e di ricavare in questo modo la desiderata distribuzione
del passo e della curvatura del profilo con sufficiente precisione. Tuttavia, di solito si assume
una legge di distribuzione del carico pressoché uniforme lungo la corda, quale quella data dalla
linea mediana NACA a = 0.8, in quanto assicura le migliori caratteristiche di cavitazione. Se
la pala è molto sottile, la distribuzione del passo e della curvatura possono essere derivate sotto
questa ipotesi, il che semplifica notevolmente il compito. Purtroppo le eliche navali non hanno
pale strette, per cui i calcoli con la teoria della linea portante sono seguiti sempre dai calcoli
basati sulla teoria della superficie portante, oppure dalle correzioni per superficie portante.
Introducendo queste correzioni al profilo con linea mediana NACA - a= 0.8, si ricava la soluzione
al problema progettuale secondo lo schema della linea portante in base alle formule seguenti
f
= 0.0679 kc CL
c
∆αf = 5.364 CL Rn−0.4249
s
216
(5.36)
(5.37)
5.3 – Progetto idrodinamico
ϕ = βi + 0.0269 kα CL + (t◦ /D)kt + ∆αf
(5.38)
P/D = πr̄ tan ϕ
(5.39)
Rns =
V̄R ·(c/D)·πnD2
ν
(5.40)
Nelle equazioni (5.36)÷(5.40) ν è la viscosità cinematica, βi e CL sono i valori determinati nella
prima e nella seconda fase del progetto; t◦ /D è lo spessore relativo di pala sull’asse dell’elica,
ottenuto per estrapolazione della distribuzione radiale dello spessore massimo di pala ottenuto
nella seconda fase del progetto; kc , kα , kt sono le correzioni derivate dalla teoria della superficie
portante, mentre ∆αf è la correzione dell’angolo d’incidenza per viscosità del fluido.
La correzione per curvatura kc considera la curvatura delle linee di corrente intorno al profilo della sezione in esame ed è sempre maggiore di 1. Le correzioni kα e kt tengono conto
dell’influenza della distribuzione asimmetrica del carico lungo la corda e dello spessore di pala
sull’angolo d’incidenza, relative alla condizione ‘shock–free–entry’. Se si suppone che il carico sia simmetrico lungo la corda e se si trascurano lo spessore e la viscosità, dalle formule
precedenti deriva che il passo della sezione coincide con il passo idrodinamico (ϕ = βi ), per
cui, in questo caso, le forza di portanza è interamente dovuta alla curvatura della linea mediana.
Un esempio di progetto di elica secondo la teoria vorticale è fornito in Tabella 5.3. Per semplicità, si progetta un’elica isolata ottimale senza considerare l’influenza di ε sulla distribuzione
ottimale della circolazione. In questo caso, la condizione ottimale generalizzata coincide con
quella di Prandtl ed è espressa dal passo idrodinamico πr̄ tan βi costante in direzione radiale,
che corrisponde ad un’elica ottimale moderatamente caricata, per la quale si introducono le
correzioni per numero finito di pale. Questa è la ragione per cui, in questo caso, il metodo
non è peggiore del metodo dei fattori di induzione. Se il valore di KT∗i ottenuto nella prima
fase corrisponde al valore assegnato di iv ·KTB , la seconda fase è conclusa immediatamente. In
questa fase del progetto si assume che la distribuzione radiale di c/D sia quella del prototipo
ed è facile verificare che corrisponde ad AE /A0 = 0.748. Alla fine della seconda fase, i valori
di dKT∗B e KT∗B sono calcolati precisamente tenendo conto di ε(r̄). Poiché il valore ottenuto di
KTB corrisponde bene al valore cercato (0.208 ' 0.207), non occorrono ulteriori iterazioni e può
iniziare la terza fase. Per l’integrazione è stata utilizzata una semplice formula di quadratura
con i coefficienti Ai . Nella terza fase, l’angolo di ‘skew’ è stato fissato a 7◦ e lo spessore relativo
di pala sull’asse è stato calcolato mediante estrapolazione lineare come
t◦
= 1.4 tr̄=0.2 − 0.4 tr̄=0.7
D
(5.41)
Le correzioni della corda di pala per superficie portante sono state derivate in base ai diagrammi
per πλi = 1.2, anche se in realtà è πλi = 1.15. Non esistono valori disponibili ai raggi 0.2 e 0.95,
per cui le colonne corrispondenti sono state lasciate vuote.
217
5 – Progetto dell’elica subcavitante
Dati iniziali: ρ = 1.025 t/m3 , ν = 1.52·10−6 ; Z = 4, AE /A0 = 0.748, D = 5.7 m, r̄h = 0.2, N = 130 rpm
Jv = 0.911 (λtv = Jv /π = 0.290), KTB = 0.209, t = 0, w = 0, m = 1.15, σd = 750·103 kPa, T /D2 = 32.7 kPa,
πnD2 /ν = 1.46·108 , Z 2 (AE /A0 ) = 12.0, (AE /A0 )/Z = 0.187, θs = 7◦ , t◦ /D = 0.0457.
Risultati del calcolo: iv = 1.02, KT∗ = 0.213, λ∗t = 0.290, λ◦i = 0.366, λw = 0.366, c = 0.152, S = 5.82
i
KT∗ = KTi = 0.211, (iv ·KTB − KT∗ )/(iv ·KT B ) = 0.01 < 0.02, (KT B − KT∗ B )/KT B = 0.0048
B
B
Grandezza
r̄ = r/R
0.20
0.40
0.60
0.70
Nota
0.80
0.90
0.95
1.00
Primo passo
w(r̄)
0
0
0
0
0
0
0
0
dato
wt (r̄)
0
0
0
0
0
0
0
0
dato
ε(r̄)
0
0
0
0
0
0
0
0
dato
πr̄ tan βi
1.150
1.150
1.150
1.150
1.150
1.150
1.150
1.150
eq. (5.14)
λi
0.366
0.366
0.366
0.366
0.366
0.366
0.366
0.366
eq. (5.15)
tan βi
1.830
0.915
0.610
0.523
0.457
0.407
0.385
0.366
βi
1.071
0.741
0.548
0.482
0.429
0.387
0.368
0.351
eq. (5.16)
βw
1.071
0.741
0.548
0.482
0.429
0.387
0.368
0.351
eq. (5.17)
und
0.0365
0.0560
0.0650
0.0675
0.0690
0.0711
0.0712
0.0715
eq. (5.18)
V̄R
0.350
0.491
0.663
0.755
0.848
0.943
0.991
1.039
eq. (5.19)
κ
1.620
1.000
0.900
0.840
0.750
0.570
0.420
0
Goldstein
G
0.0326
0.0475
0.0574
0.0578
0.0541
0.0432
0.0321
0
eq. (5.20)
H
0.0931
0.0967
0.0866
0.0766
0.0638
0.0458
0.0324
0
eq. (5.21)
dKT∗ B /dr
0.0540
0.170
0.321
0.381
0.412
0.372
0.293
0
eq. (5.22) con ε = 0
Ai
Ai ·dKT∗ B /dr
0.1
0.2
0.15
0.10
0.10
0.0667
0.0667
0.0167
0.0054
0.0340
0.0482
0.0381
0.0412
0.0248
0.0248
0
—–
P
( ) = 0.211
Secondo passo
c/D
0.300
0.361
0.408
0.423
0.417
0.375
0.321
0
kc
320
225
111
65
29.5
10.7
6.3
——
dato
Tabella 5.2
Ac
0.0737
0.0656
0.0518
0.0433
0.0333
0.0238
0.0199
——
eq. (??)
CL
0.310
0.268
0.212
0.181
0.153
0.122
0.101
——
eq. (5.3)
t/c
0.122
0.0775
0.0452
0.0327
0.0226
0.0160
0.0155
0
eq. (5.35)
Correzione per viscosità
Rn·108
0.300
0.361
0.408
0.423
0.417
0.375
0.321
0
eq. (5.40)
320
225
111
65
29.5
10.7
6.3
——
eq. (5.27)
dKT∗ B /dr
0.0737
0.0656
0.0518
0.0433
0.0333
0.0238
0.0199
0
eq. (5.22)
Ai dKT∗ B /dr
0.310
0.268
0.212
0.181
0.153
0.122
0.101
——
kc
P
( ) = 0.208
KTB = 0.208
Terzo passo
kc
——
1.33
1.45
1.56
1.79
2.35
——
——
kα
——
2.40
2.08
1.95
1.75
1.45
——
——
kt
——
0.28
0.17
0.12
0.075
0.06
——
——
f /c
——
0.0242
0.0209
0.0192
0.0186
0.0195
——
——
eq. (5.36)
ϕ
——
0.772
0.568
0.498
0.440
0.395
——
——
eq. (5.38)
∆αf
——
0.0010
0.0007
0.0005
0.0004
0.0003
——
——
eq. (5.37)
P/D
——
1.22
1.20
1.19
1.18
1.18
——
——
eq. (5.39)
Tabella 5.3.
Esempio di calcolo di ottimizzazione dell’elica con la teoria vorticale
218
5.4 – Progetto geometrico
5.4
Progetto geometrico
Dopo avere risolto il progetto idrodinamico, ad ogni sezione di pala sono noti il passo idrodinamico, il prodotto della lunghezza di corda per il coefficiente di portanza come risultato della
legge di Kutta–Žoukowsky, la circolazione, le velocità indotte e, di conseguenza, l’entità e la
direzione della velocità risultante.
A questo punto, ogni profilo di pala sarà considerato sostanzialmente come sezione di un’ala di
allungamento infinito e per ognuno si potrà scegliere una combinazione di curvatura, lunghezza
di corda e passo tali da soddisfare i dati prodotti dal modello della linea portante dell’elica.
Una prima soluzione dovrebbe consentire di scegliere sequenzialmente:
• il passo P del profilo portante in base al passo idrodinamico per ottenere la condizione
di ‘shock free entry’, che corrisponde a quella con angolo d’incidenza nullo per numerosi
tipi di profilo;
• la lunghezza di corda c che soddisfi un adeguato criterio di cavitazione ed un profilo della
sezione sufficientemente sottile;
• la curvatura massima f dalla relazione CL = 4πf /c, valida per sezioni ogivali, linee mediane paraboliche, angoli d’incidenza nulli, flusso rettilineo;
• lo spessore massimo t in base ad un accettabile criterio di robustezza.
Naturalmente, lo spessore e la lunghezza di corda sono ambedue parametri che influenzano
contemporaneamente le prestazioni idrodinamiche e la robustezza, per la cui soluzione occorre
attivare una procedura iterativa. Ricavare la soluzione per la geometria della sezione equivale
alla risoluzione di un sistema di quattro equazioni in quattro incognite (P , c, f , t).
Comunque, esistono alcuni criteri più stringenti da rispettare nella progettazione, prima di
scegliere definitivamente i parametri che determinano il profilo della sezione; si tratta di
• evitare i tipi più pericolosi di cavitazione;
• tenere conto degli effetti prodotti dalla curvatura del flusso.
5.4.1
Controllo della cavitazione
Nel processo di previsione del rendimento dell’elica si deve tenere sempre conto della cavitazione, in quanto questo fenomeno ne deteriora le caratteristiche di funzionamento, a partire
dal rendimento. Come è noto dalla teoria della cavitazione delle eliche navali, devono essere
evitati assolutamente quei tipi di cavitazione che possono produrre erosione e devono essere
minimizzati quelli che contribuiscono maggiormente all’insorgere del rumore e delle vibrazioni
indotte dall’elica. La cavitazione a lamina fluttuante sul dorso che degenera in bolle a nuvole sul lato posteriore delle lamine, la cavitazione a bolle a metà corda e la cavitazione a
nuvole sono considerate tipologie pericolose, mentre la cavitazione stazionaria a lamina sul
dorso, particolarmente quando si accoppia alla cavitazione per vortice sull’apice, e la stessa
219
5 – Progetto dell’elica subcavitante
cavitazione per vortice d’apice non comportano grossi rischi di erosione. Probabilmente anche
la cavitazione a bolle a metà corda, purchè di entità modesta, non è cosı̀ pericolosa come si teme.
Un’eccezione pericolosa è costituita dalla cosiddetta cavitazione di vortice tra elica e carena
(cavitazione PHV), che può danneggiare severamente il fasciame dello scafo. Questo tipo di
cavitazione è causato dall’azione combinata dell’elica e di un’area di flusso stagnante sulla volta di poppa, che inizia a ruotare per effetto della depressione creata dall’elica. La geometria
dell’elica non ha alcuna influenza sull’intensità del vortice tra elica e carena. La cavitazione
per vortice d’apice diffuso dall’elica può produrre erosione sul timone.
Quando la cavitazione è nulla o debole, le vibrazioni prodotte dall’elica sono in misura predominante quelle prodotte dalle forze e dai momenti fluttuanti trasferiti dalla linea d’assi alle
fondazioni dei motori ed alle strutture di scafo. Le forze fluttuanti che si trasmettono lungo la
linea d’assi non sono molto influenzate dalla cavitazione sulle pale. Tuttavia, le forze fluttuanti
di pressione sul fasciame di carena al di sopra dell’elica mostrano un brusco incremento quando
la cavitazione si sviluppa ulteriormente. Il campo di pressione varia periodicamente in forma,
posizione e grandezza, quando le pale ruotando attrraversano il picco di scia. Il comportamento dinamico della cavitazione sull’elica amplifica considerevolmente il campo di pressione. In
generale, le variazioni temporali del volume della cavitazione a lamina forniscono il contributo
maggiore alle fluttuazioni della pressione sulla carena. In pratica, tali fluttuazioni costituiscono
spesso un fattore limite nel progetto di molte eliche. In linea di principio:
• si dovrebbe evitare la cavitazione sulla faccia in tutte le condizioni operative;
• è consentita la cavitazione sul dorso purchè sia di estensione e tipo (cavitazione a lamine)
tale da non produrre erosione.
Va osservato che la cavitazione sul dorso può innescarsi più facilmente sulle pale delle eliche a
passo variabile quando viene ridotto il passo, perchè ciò comporta un aumento della velocità
di rotazione con conseguente diminuzione dell’indice di cavitazione locale, particolarmente ai
raggi più esterni.
Gli strumenti più efficaci per controllare le fluttuazioni delle forze di pressione sono innanzi
tutto la riduzione della cavitazione in estensione e volume e, quindi, l’applicazione dello ‘skew–
back’ che rende più graduale la crescita ed il collasso delle cavità a lamina, e/o rende più
uniforme la distribuzione nel tempo della dinamica della cavitazione ai vari raggi.
L’attuale pratica progettuale mira a minimizzare la cavitazione a lamina sul dorso. Tale forma
di cavitazione è riscontrabile in condizioni di nave leggermente caricata (nave in zavorra, bel
tempo, carena pulita, ecc.). Scegliendo i parametri del profilo della sezione in maniera tale che
questo tipo di cavitazione sia prevenuta proprio in queste condizioni di carico più leggero, la
cavitazione sul dorso è minimizzata automaticamente. Con questa procedura risultano minimizzate le fluttuazioni di pressione sulla carena. I parametri del profilo sono scelti in maniera
tale da evitare anche la cavitazione a bolle a metà corda.
Il comportamento cavitativo di un’elica nella fase progettuale può essere controllato utilizzando
i buckets di cavitazione ai vari raggi. Un bucket può essere costituito da un insieme di curve
220
5.4 – Progetto geometrico
che forniscono le relazioni tra il coefficiente adimensionale di portanza CL ed il valore minimo
del coefficiente di pressione −CP che si trova in un certo punto del profilo.
Se si traccia il valore più alto del coefficiente di pressione negativa, −CP , in un diagramma (il
cosiddetto bucket di cavitazione) che incorpori il numero di cavitazione specifico, σ, del profilo
della sezione (Fig. 5.3), si può valutare se avviene o meno l’innesco della cavitazione. L’area
di questo diagramma, racchiusa dai due rami, indica l’intervallo di carico sopportabile da uno
specifico profilo portante ad un certo indice di cavitazione senza sviluppo di cavitazione. In
particolare, la larghezza del bucket rappresenta la capacità della sezione di pala di sopportare
le variazioni dell’angolo di incidenza senza cavitare.
Il bucket illustra le condizioni di innesco dei vari tipi di cavitazione. Nella parte centrale il
profilo della sezione lavora nelle condizioni di ‘shock–free entry’. Se un profilo opera sul fondo
del bucket non esiste alcuna cavitazione a lamina, poiché non esistono picchi di depressione sul
bordo d’ingresso. Infatti, la bassa pressione si trova nella parte centrale del profilo ed i valori
di CP e σ indicano la eventuale presenza di cavitazione a bolle a metà corda. A causa della
curvatura, la suscettibilità a cavitazione a bolle sul dorso è maggiore che sulla faccia.
Va ribadito che la cavitazione inizia, solo teoricamente, quando la pressione locale eguaglia la
pressione del vapore saturo. In effetti, la cavitazione inizia quando la pressione locale è minore
della pressione di vapore. Tale differenza è spesso definita come ‘effetto scala sulla cavitazione’,
ma in realtà ciò che causa questo effetto scala non è il fattore scala stesso ma la carenza di
nuclei di innesco e la diversità dei flussi locali (differenze dei numeri di Reynolds).
La curva a sinistra del bucket (Fig. 5.3) rappresenta il picco di pressione sulla faccia del profilo,
mentre la curva a destra riflette il picco di depressione sul dorso. La parte piatta tra le due
curve, ossia il fondo del bucket, si riferisce alla pressione minima sul dorso quando non esistono
picchi di depressione sul bordo d’ingresso. La pressione minima si presenta allora più a valle
lungo la sezione. Questa bassa pressione, che si trova spesso intorno a metà lunghezza di corda,
è responsabile della cavitazione a bolle proprio a metà corda. La linea tratteggiata al di sotto
del fondo del bucket rappresenta la pressione minima che si registra a valle del bordo d’ingresso
sulla faccia. Sui profili più incurvati la curva di pressione minima sul dorso a metà corda è più
critica di quella sulla faccia.
La curva operativa, disegnata nel diagramma come un percorso chiuso, rappresenta, per un
certo profilo, la relazione tra l’indice di cavitazione locale σ ed il carico CL mentre l’elica
ruota. Questa curva operativa va mostrata in combinazione con il bucket di cavitazione. Si
ipotizza che l’innesco della cavitazione avvenga quando l’indice di cavitazione locale σ è uguale
a −CPmin . La difficoltà consiste nel determinare il carico di una particolare sezione in vari punti
nel campo di scia. Allo scopo, occorre fare alcune ipotesi per quanto riguarda l’entità delle
velocità indotte nelle condizioni diverse dalla media per la quale sono stati effettuati finora
i calcoli idrodinamici della linea portante. Va sottolineato che la teoria della linea portante
basata sui fattori di induzione non fornisce le relative informazioni necessarie.
221
5 – Progetto dell’elica subcavitante
Figura 5.3.
Bucket di cavitazione
Ovviamente, il progettista dovrebbe progettare le sezioni di pala in modo che lavorino nell’area
del ‘bucket’ esente da cavitazione. Come detto, il profilo dovrebbe essere scelto in modo tale
da garantire un margine sufficiente a mantenere l’elica esente dai tipi più pericolosi di cavitazione ed a minimizzarne gli altri tipi. Il progetto del profilo alare implica in pratica che un
margine minimo sia utilizzato per mantenere l’elica libera da cavitazione sulla faccia e che sia
accettata solamente una quantità minima di cavitazione a lamina sul dorso. Questa quantità
di cavitazione a lamina sul dorso accettabile determina essenzialmente l’eccitazione vibratoria
dell’elica. Sono necessari margini per consentire accettabili condizioni operative off-design.
Da questo punto di vista va osservato che il margine contro l’innesco della cavitazione sulla faccia di pala deve essere maggiore nelle navi bielica rispetto alle navi monoelica. Analogamente,
anche per le eliche a passo variabile, che funzionano frequentemente a livelli di potenza ridotta,
mentre la velocità di rotazione massima è mantenuta riducendo il passo, il margine contro
l’innesco della cavitazione sulla faccia deve essere maggiore. La suscettibilità alla cavitazione
sulla faccia aumenta bruscamente a passi ridotti, particolarmente ai raggi esterni di pala.
Il progettista deve mirare a mantenere l’elica esente da cavitazione a bolle a metà corda. Ciò
significa che dovrebbe sapere come il bucket cambia quando vengano modificate alcune variabili primarie della forma e delle dimensioni del profilo. Inoltre, dovrebbe sapere come la curva
operativa potrebbe essere influenzata scegliendo per l’elica diverse caratteristiche geometriche
principali.
Se si riduce lo spessore del profilo, il bucket diviene più stretto ma più profondo. Viceversa,
si può ridurre la cavitazione sul bordo d’ingresso ispessendo la sezione, oppure spostando il
222
5.4 – Progetto geometrico
punto di massimo spessore verso il bordo d’ingresso. Ciò non può essere effettuato in maniera
eccessiva poiché il rischio di cavitazione a bolle aumenta e la zona del bordo d’ingresso può
diventare troppo sottile.
Anche la curvatura e la sua distribuzione sono fattori fondamentali che influenzano il comportamento cavitativo di ogni sezione di pala. Un aumento della curvatura allarga il bucket, il che
comporta un maggiore coefficiente di portanza nelle condizioni di ‘shock–free entry’. Purtroppo, a causa della maggiore curvatura del dorso, il bucket si sposterà verso l’alto.
Una distribuzione parabolica di pressione fa sı̀ che la portanza sia distribuita a mo’ di ellisse,
il cui punto più alto, ossia la pressione a metà corda, decadrà ad un valore inferiore rispetto a
quando si abbia una distribuzione di pressione più piatta. Le linee mediane con curvatura più
accentuata sul bordo d’ingresso distribuiscono più uniformemente il carico sulla corda, almeno
sulla parte iniziale, Occorre fare attenzione a non applicare una forma troppo incurvata della
linea mediana verso il bordo d’uscita. La maggiore curvatura sul dorso può condurre ad effetti
viscosi più pronunciati e ad una maggiore resistenza del profilo. Inoltre, gli effetti viscosi riducono la portanza ed i guadagni preventivati saranno ridotti di molto. Infine, lo stallo, ossia
la separazione del flusso a grandi angoli d’incidenza, nelle condizioni off–design è facilitato, in
generale, aumentando la curvatura.
La cavitazione a bolle a metà corda dipende fondamentalmente dal rapporto di spessore e dal
numero di cavitazione locale. Di conseguenza, il rapporto di spessore t/c della sezione non
può non dipendere dall’indice di cavitazione. Poiché lo spessore è determinato dai requisiti
di robustezza, la lunghezza minima di corda deriva dalla necessità di evitare la cavitazione a
bolle a metà corda. Si può seguire la procedura che utilizza il coefficiente di pressione minima,
valido per un profilo ogivale (profilo di Karman–Trefftz), che, per un angolo d’incidenza nullo,
è pressoché pari a
σ = −CPmin =
CL + 4 t/c
1.5
Alternativamente si può utilizzare la relazione di Chang et al. (1980)
σ = −CPmin = 0.556 CL + 2.36 t/c
Quest’ultima formula è applicabile, per angoli d’incidenza nulli, a profili alari composti da una
distribuzione di spessore NACA 16 e linea meduana NACA a=0.8. In tal modo, a partire da
una distribuzione assegnata di spessore in funzione del raggio x = r/R, si può determinare la
lunghezza di corda c, se si suppongono noti CL e CPmin . Il prodotto della lunghezza di corda
e del coefficiente di portanza c · CL è derivato dalla legge di Kutta–Žoukovsky. Per −CPmin
si assume il numero di cavitazione ridotto di un certo margine. Quale standard per le eliche
navali, al MARIN si utilizzano le percentuali relative ai valori di −CPmin dei profili ogivali date
in Tabella 5.4.
223
5 – Progetto dell’elica subcavitante
Va osservato che con questi margini si vogliono implicitamente ridurre:
• il rischio di cavitazione sulla faccia;
• la presenza di un picco di scia;
• gli effetti prodotti dal fatto che l’elica dovrà operare nelle più varie condizioni di carico
(dal leggero al sovraccarico.
Mediante un processo iterativo, che implichi calcoli di robustezza nei quali le tensioni siano
rapportate ad un criterio di robustezza, si determinano lo spessore e la lunghezza minima di
corda.
r̄
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95
Percentuale
29%
31%
33%
35%
36%
Tabella 5.4. Valori percentuali di CPmin
Per il profilo NACA 16 modificato e linea mediana a = 0.8, in base ai risultati di Brockett
(1966) l’indice di cavitazione può essere espresso come
µ ¶2
σ = −CPmin = 26.67
f
c
+ 8.09
f ·t
f
t
+ 10 2 + 3.03
c
c
c
Va osservato che finora non è stata prestata alcuna attenzione ai modi necessari per evitare
cavitazione sulla faccia. Impedire questo tipo di cavitazione è realizzato implicitamente assumendo i margini suddetti ed il concetto di ‘shock–free entry’. Minimizzare la cavitazione sul
dorso progettando l’elica al limite dell’innesco della cavitazione sulla faccia significa semplicemente adattare la curvatura dei profili che la costituiscono.
Come regola base, un margine sulla faccia pari all’1% del coefficiente di spinta KT , stabilito in
una galleria di cavitazione o in una vasca di rimorchio depressurizzata ad un indice di cavitazione costante, consente di incrementare la curvatura massima dell’1%. Grazie a questa regola
un’elica può essere modificata dopo avere stabilito sperimentalmente che il margine contro la
cavitazione sulla faccia non è né troppo elevato (si lascia spazio alla minimizzazione della cavitazione sul dorso), né insufficiente (necessità di evitare cavitazione sulla faccia).
Per le eliche di navi militari è importante ritardare l’innesco della cavitazione per vortice d’apice
poiché questa è di solito la prima forma di cavitazione ad apparire quando crescono la velocità
nave e/o il carico dell’elica. Anche dopo avere fissato le dimensioni principali e la geometria
dell’elica, esistono altri modi di ritardare l’innesco della cavitazione per vortice d’apice.
Risulta molto efficiente una diminuzione graduale dell’intensità del vortice d’estremità, ottenuta
scaricando l’apice di pala. Sembra che elevati angoli di ‘skew’ aumentino l’intensità del vortice
d’apice per effetto dell’interazione con il cosiddetto vortice del bordo d’ingresso. Vortici sul
bordo d’ingresso si presentano sul dorsi delle ali a delta. Si ritiene che apici di pala spessi
contribuiscano a ritardare l’innesco della cavitazione per vortice d’apice.
224
5.4 – Progetto geometrico
5.4.2
Effetti prodotti dalla curvatura del flusso
Se il flusso fosse rettilineo e diretto lungo la retta che unisce il bordo d’ingresso al bordo d’uscita, si avrebbe la condizione di ‘shock–free entry’, per cui la portanza sarebbe prodotta del
tutto dalla curvatura delle sezioni di pala.
Ma in realtà il flusso è incurvato lungo la sezione. In maniera similare al modello del disco
attuatore, le velocità indotte assiali aumentano gradualmente quando attraversano il piano del
disco–elica. Anche nel modello di linea portante, le velocità indotte, sia assiali che tangenziali,
aumentano da un valore nullo al valore finale dietro le pale dell’elica. Ne consegue che sulla
corda della sezione esiste un incremento stazionario delle velocità indotte dovute ad ambedue
i fattori che causano la curvatura del flusso. Poiché una lamina piana posizionata in un flusso incurvato mostrerà lo stesso effetto di una lamina incurvata in un flusso rettilineo, si può
correggere la linea mediana per adattare la curvatura, pur mantenendo la portanza desiderata
della sezione di pala. La curvatura del profilo portante deve essere corretta, quindi, per effetto della curvatura del flusso. Queste correzioni sono particolarmente importanti ai raggi più
esterni, dove la curvatura del flusso porta ad un incremento considerevole della curvatura da
applicare rispetto alla curvatura derivata in flusso rettilineo.
Le correzioni per curvatura sono applicate di solito introducendo le cosiddette correzioni per
superficie portante, quali quelle determinate da Morgan et al. (1967), valide solamente per
eliche con una distribuzione ottimale del carico radiale. Quanto agli effetti dello ‘skew’ sulle
correzioni per curvatura del flusso, se ne può tenere conto purché l’angolo di ‘skew’ sia limitato.
Molti autori hanno sostenuto che questi effetti per curvatura, prodotti dal campo di flusso
indotto, non possano essere determinati dalla teoria della linea portante. Ora, è pur vero che la
distribuzione dettagliata lungo la corda del campo di flusso indotto non può essere determinata
accuratamente servendosi di una semplice modellazione della pala mediante una linea portante,
in quanto tale modellazione non consente di conoscere la distribuzione di carico lungo la corda. Tuttavia, la correzione per curvatura del primo ordine può essere determinata con buona
approssimazione a partire dal sistema semplificato di vortici liberi utilizzato nel metodo della
linea portante. In questo modo, la variazione della direzione del flusso è calcolata, utilizzando
la legge di Biot–Savart, a partire dal sistema di vortici liberi in prossimità del disco–elica. A
questo punto possono essere introdotti gli effetti dello ‘skew’ e del ‘rake’, che spesso risultano
essere alquanto sostanziali.
Infine, andrebbe applicata una correzione minima al passo delle singole sezioni per tenere
conto di tutti i tipi di imprecisione fin qui menzionati. Si tratta di introdurre una correzione
empirica la quale assicuri che le eliche in progetto operino alla velocità di rotazione corretta.
Ovviamente, questa correzione finale è volta a bilanciare tutti i tipi di limiti insiti nei metodi
utilizzati finora, recuperando gli effetti viscosi che sono considerati solamente in alcune parti
del processo progettuale.
225
5 – Progetto dell’elica subcavitante
5.4.3
Dettagli geometrici
A questo punto sono state determinate le lunghezze di corda alle varie stazioni radiali che
soddisfano i requisiti di cavitazione e di robustezza. Ai raggi inferiori, la classica procedura
progettuale porta spesso a profili di pala corti e spessi che facilitano la separazione del flusso.
Per scafi veloci le lunghezze di corda ai raggi inferiori sono spesso elevate a causa della necessità
di evitare la cavitazione a bolle a metà corda.
Profili di pala
Si tratta ora di approssimare una curva avviata tra i punti calcolati del profilo ai raggi esterni
e di ottenere una lunghezza adeguata delle sezioni vicine al mozzo. La lunghezza di corda al
mozzo è sempre il risultato di un compromesso. Una certa forma del mozzo potrebbe talvolta
lasciare spazio insufficiente per le pale, per cui potrebbe rendersi necessario un adattamento
locale del passo o, in ultima analisi, un diverso numero di pale.
Problemi più seri potrebbero presentarsi nel progetto del profilo di pala delle eliche a passo
variabile, dove il diametro del palmare è fisso e dove le pale devono sovrapporsi l’una all’altra
quando il passo viene invertito. Tra l’altro, il palmare dovrebbe offrire spazio sufficiente per i
raccordi ed i fori di fissaggio delle pale. Inoltre, vanno effettuate opportune verifiche rispetto al
montaggio ed allo sfilamento dei fissaggi, il che comporta il rispetto di ulteriori requisiti circa
la variazione del passo ai raggi più interni, nonché circa la curvatura e la forma del ‘rake’ nella
zona centrale dell’elica. I problemi di natura geometrica del profilo di pala di un’elica a passo
variabile sono spesso identificabili osservando l’aumento della dimensione del mozzo. In ogni
caso, si paga un prezzo in termini di costi più elevati e di rendimento inferiore.
La forma del profilo, o meglio la distribuzione dello ‘skew’, è importante anche per controllare
il momento torcente sull’asse di pala. Di solito si sceglie uno ‘skew’ verso il flusso incidente ai
raggi inferiori ed uno skew che segue il flusso ai raggi esterni (tale combinazione è spesso definita ‘skew bilanciato’), allo scopo di mantenere il momento torcente sull’asse di pala (spindle
torque) al di sotto di un certo livello.
Il passo progettuale successivo, dopo avere fissato il profilo di pala ed avere scelto i profili alari
delle sue sezioni, è la verifica della robustezza delle pale. Si suggerisce allo scopo di utilizzare il
metodo di Romson, che è una variante del metodo della trave incastrata. Si deve presupporre
la conoscenza della distribuzione radiale di spinta e si devono conglobare gli effetti prodotti
dalla forza centrifuga. Tuttavia il metodo di Romson è alquanto approssimato; gli effetti dello
‘skew’, del ‘rake’, delle variazioni di forma delle sezioni e delle concentrazioni delle tensioni
locali non sono considerati da questo metodo. Per queste ragioni le eliche con ‘skew’ elevato
ed altri propulsori speciali necessitano, per l’approvazione da parte dei Registri di Classifica,
di calcoli agli elementi finiti in alcune tipiche condizioni di carico.
Per lo spessore all’apice di pala delle eliche navali è stato applicato di solito il valore tt = 0.003D,
anche se nel tempo è divenuta pratica corrente applicare sezioni leggermente più spesse. Nella
226
5.4 – Progetto geometrico
zona dell’apice di pala lo spessore è determinato dalla vulnerabilità dell’elica piuttosto che dalla
sua robustezza. In letteratura sono reperibili alcune informazioni circa lo spessore adeguato
dell’apice di pala in rapporto agli aspetti operativi. Si osservi che lo spessore degli apici delle
pale fornisce il maggiore contributo alla parte non–cavitante delle fluttuazioni delle pressioni
indotte sulla carena.
Canto dell’elica
Il canto di un’elica è il rumore indotto dalla vibrazione della pala, che è causata dalle variazioni periodiche del punto nel quale il flusso abbandona il bordo d’uscita. Questo fenomeno è
associato alla fluttuazione periodica della pressione locale nella zona nella quale si diffondono
i vortici. La molteplicità dei modi di vibrazione della pala porta facilmente all’eccitazione ad
una certa frequenza di risonanza. Lo smorzamento delle vibrazioni è debole con i materiali oggi
utilizzati più frequentemente. L’acciaio forgiato e certe leghe speciali producono uno smorzamento maggiore rispetto alle normali eliche di bronzo o di bronzo–nickel–alluminio. Il canto
delle eliche andrebbe evitato sia per ragioni di comfort sia perché decade la robustezza a fatica.
Un metodo per evitare il canto è quello di sistemare bordi anti-canto sui bordi di uscita, il che
è divenuto uno standard per la maggior parte delle eliche. Tuttavia, non esiste una forma di
questi bordi accettata universalmente. Va osservato che ciò che determina l’efficacia del bordo
anti–canto sono gli angoli tra i punti P e Q della Figura 5.4.
Figura 5.4.
Bordi anti–canto
227
5 – Progetto dell’elica subcavitante
È stato osservato che il tipo di bordo anti–canto influenza la relazione tra potenza e numero di
giri. Poiché questo bordo può essere considerato come una vera modifica locale della curvatura
dei profili alari in prossimità del punto sul quale va rispettata la condizione di Kutta, non è
sorprendente rilevare che esiste un’influenza certa, seppur piccola, sulla velocità di rotazione.
5.4.4
Rendimento, effetti viscosi e correzione del passo
Le forze agenti su una sezione di pala sono note in base al campo di flusso ed alla distribuzione
della circolazione. Queste forze, costituite dalle componenti della portanza, contribuiscono alla
spinta ed al momento torcente, la cui valutazione, in prima istanza, è effettuata trascurando gli
effetti della viscosità. Per il calcolo esatto delle prestazioni propulsive e del rendimento reale
dell’elica, tali effetti non possono essere trascurati, in quanto solamente in questo modo si può
ricavare la relazione corretta tra velocità di rotazione e momento torcente dell’elica.
A questo punto occorre discutere alcuni tra gli effetti prodotti dalla viscosità sulle prestazioni
propulsive dell’elica. È risaputo che la viscosità gioca un certo ruolo sui valori sia della portanza, sia della resistenza dei profili delle sezioni. Dal punto di vista del rendimento, l’effetto
della viscosità sulla resistenza del profilo alare è molto più rilevante di quello sulla portanza.
La complessa raffigurazione tridimensionale del flusso è semplificata generalmente in maniera
da rendere applicabili le formule bidimensionali per il calcolo dell’attrito su una lastra piana.
Come discusso in precedenza, la resistenza del profilo risulterebbe costituita solamente dalla
resistenza indotta se la portanza fosse priva di viscosità. La quota più importante dell’effetto viscoso è la resistenza d’attrito del profilo. L’entità della resistenza d’attrito della pala
dell’elica, o quella di una striscia radiale della pala, dipende sostanzialmente dal tipo di strato
limite sulla superficie di pala. In flusso laminare la resistenza d’attrito è piccola, mentre in
flusso turbolento l’attrito è molto maggiore. L’estensione dello strato limite laminare lungo
la corda è di difficile determinazione, per cui esiste sempre un fattore di incertezza quando
si estrapolano i risultati delle prove di elica isolata effettuate su modelli. Si osservi, tra l’altro, che questo fattore di incertezza è presente anche nei risultati delle prove di autopropulsione.
La teoria delle strisce mediante la quale determinare l’effetto del primo ordine della viscosità
può condurre a valutazioni erronee quando si tratta di eliche con ‘skew–back’. In tal caso il
flusso sulla pala non ha assolutamente un carattere bidimensionale. Prove sperimentali hanno
rivelato significative componenti radiali del flusso, vortici sul bordo d’ingresso ed altri andamenti tridimensionali del flusso piuttosto complicati. Gli effetti scala sugli effetti viscosi fanno
sı̀ che per le eliche con skew elevato l’incertezza delle relazione tra potenza e numero di giri è
leggermente maggiore rispetto alle eliche con ‘skew’ appena accennato.
Le forze d’attrito crescono a causa della rugosità di pala, che è importante ad elevati numeri di
Reynolds. Una buona previsione della resistenza d’attrito può essere effettuata utilizzando le
stesse formule utilizzate nel metodo ITTC’78. La formula andrebbe applicata ad ogni sezione
di larghezza pari ad una striscia radiale, anzichè utilizzare il concetto del ‘profilo equivalente’,
228
5.4 – Progetto geometrico
che vuole rappresentare tutta l’elica nell’estrapolazione dei risultati sperimentali su modello
mediante il metodo ITTC’78.
Formule per il calcolo della resistenza viscosa sulle pale dell’elica
Nelle formule seguenti il numero di Reynolds è Rn = VR ·c/ν, dove c è la lunghezza di corda,
ν è la viscosità cinematica e VR è la velocità risultante, che include le velocità indotte.
Ai bassi numeri di Reynolds il flusso è laminare, per cui la resistenza d’attrito è determinabile
mediante la formula di Blasius
√
CF = 1.32/ Rn
(5.42)
Per flussi del tutto turbolenti si può applicare la regola di Von Karman
CF = 0.455/(Log Rn)2.58
(5.43)
Si osservi che spesso nell’estrapolazione di prove su modelli si utilizza la curva di transizione
di Aucher
CF = 0.044/Rn1/6 − 5/Rn2/3
(5.44)
Il coefficiente 5 presente nella formula (5.44), va osservato che questo valore fu considerato
come rappresentativo del campo di flusso che si instaurava sulle eliche modello parecchi decenni orsono. Minore è questo coefficiente, maggiore è l’estensione dello strato limite turbolento.
Nelle estrapolazioni dei risultati sperimentali su eliche moderne questo coefficiente è stato ridotto da 5 a 2, per migliorare la correlazione tra velocità di rotazione misurate e previste per le
eliche al vero. Oltre a questa ragione pratica, si deve tenure conto anche che gli effetti viscosi
si manifestano soprattutto sui raggi esterni, dove lo strato limite è quasi sempre turbolento,
particolarmente sui modelli di elica nella condizione di marcia indietro. Questa formula con il
suo valore originale di 5 è stata incorporata nella procedura ITTC–78 per calcolare gli effetti
scala sulle prestazioni dell’elica.
Per il coefficiente d’attrito di una superficie di pala con estesa rugosità, si utilizza spesso la
formula di Prandtl–Schlichting
CF = [1.89 + 1.62 Log (c/kp )]−2.5
(5.45)
purché sia Rn·kp > 100.
La formula (5.45) è basata sugli esperimenti condotti da Nikuradse sui tubi la cui superficie fu
irrugosita con granuli di sabbia di dimensione nota. La formula fu sviluppata per essere applicata a lastre piane. Questo è il motivo per cui nei calcoli idrodinamici la rugosità delle pale
di un’elica è espressa come dimensione di un granulo equivalente. Comunque, oggi la rugosità
di un’elica è espressa e misurata mediante altri parametri. È ancora aperta lka questione sul
modo in cui nuovi parametri di rugosità possono essere trasferiti in dimensione di un granulo
229
5 – Progetto dell’elica subcavitante
equivalente, da utilizzare nei calcoli idrodinamici.
Per le eliche nuove kp è assunto di solito pari a 30 µm, anche se molti case costruttrici di eliche
sostengono di produrre una finitura delle loro pale con valori ancora inferiori. Al MARIN, per
il calcolo dell’effetto scala sulla viscosità di pala è stata adottata una dimensione di granulo
di sabbia equivalente pari a kp = 20 µm, per migliorare la correlazione tra giri misurati e giri
previsti al vero.
A tutti questi coefficienti d’attrito delle lastre piane si aggiunge di solito un certo effetto di
forma per tenere conto dell’effetto dello spessore di pala sulla resistenza viscosa del profilo;
ossia;
CF = CF2D (1 + 2 t/c)
(5.46)
Il termine (1 + 2 t/c) è analogo al fattore di forma (1 + k) utilizzato nell’estrapolazione della
resistenza nave; tiene conto dell’incremento sia dell’attrito prodotto dall’incremento di velocità
dovuto dallo spessore, sia della resistenza di pressione che si crea verso il bordo d’uscita della
sezione a causa dell’ispessimento dello strato limite. Si può rilevare facilmente che questi effetti
di forma giocano un ruolo insignificante nelle eliche navali convenzionali.
La resistenza base, ossia la componente di resistenza viscosa causata da una zona di acqua
morta dietro una sezione tronca, non è inclusa nelle formule suddette. Questa componente andrebbe considerata separatamente; anche se è relativamente modesta per le sezioni esterne che
sono sottili. Questa componente di resistenza è presente anche nelle eliche con spessore finito
sul bordo d’uscita, che sia una frazione sostanziale dello spessore massimo, per cui si avranno
perdite di rendimento non trascurabili. Le varie formulazioni relative agli effetti dell’attrito e
della rugosità di pala sono riportate in Figura 5.5.
Oltre agli effetti viscosi sulla resistenza delle pale, esiste un effetto separato sulle caratteristiche
di portanza dei profili alari. Questo effetto si manifesta in due modi: attraverso una riduzione
della pendenza della curva del coefficiente di portanza rispetto all’angolo d’incidenza, ed attraverso una riduzione dell’angolo di portanza nulla α◦ .
La pendenza della portanza dCL /dα, pari a 2π(1 + 0.77 t/c) in flusso potenziale, per i profili
normali è ridotta a valori pari a 5.8 ÷ 6.1. Come regola pratica, per la curva della pendenza
della portanza van Oossanen ha approssimato la correzione per viscosità di Burrill mediante la
formula
dCL /dα = 2π [0.947 − 9.76 (t/c)3 ]
230
(5.47)
5.4 – Progetto geometrico
Figura 5.5.
Effetti dell’attrito e della rugosità di pala
Si hanno pochi riscontri circa l’utilizzo di questa formula. D’altra parte è ben noto che tale
relazione dovrebbe essere più complicata, in quanto non include né le distribuzioni dello spessore e della curvatura, né il numero di Reynolds. Per ali isolate sono state costruite regole più
sofisticate, nelle quali sono stati incorporati il numero di Reynolds ed alcuni dettagli geometrici delle sezioni. Tuttavia, le applicazioni alle eliche navali non hanno ancora prodotto una
correzione per effetto scala che migliori realmente la correlazione tra le previsioni sperimentali
su modelli ed i risultati ottenuti da prove al vero.
Una volta effettuato il calcolo della resistenza viscosa, si calcolano la potenza propulsiva ed il
rendimento. Infine, si effettua un adattamento del passo per adeguarlo alla velocità di rotazione
relativa alla potenza motore. È auspicabile che questo adattamento sia in linea con il confronto
del passo virtuale dell’elica in progetto e quello di un’elica di stock o quello delle eliche della
Serie–B.
5.4.5
Ottimizzazione dei profili alari
Esistono altri approcci grazie ai quali ad ogni raggio è possibile ottimizzare la forma della
sezione per ritardare il più possibile l’innesco della cavitazione. Ciò viene realizzato scegliendo
i parametri geometrici della sezione in maniera tale che per lo specifico indice di cavitazione
231
5 – Progetto dell’elica subcavitante
σ la larghezza del bucket sia allargato al massimo, raggiungendo cosı̀ la massima latitudine
che sia in grado di ovviare alla variazione dell’angolo d’incidenza. Nelle procedure progettuali
classiche che adottano i profili NACA, la variazione del passo e della curvatura della sezione di
pala viene determinata in modo che la maggior parte del carico derivi dalla curvatura.
232
5.4 – Progetto geometrico
Metodo di Eppler e Shen
I primi a sviluppare sezioni ottimali a partire da un metodo matematico furono Eppler e Shen
(1981). Utilizzando la tecnica delle trasformazioni conformi in maniera inversa, derivarono la
forma geometrica di nuovi profili portanti le cui distribuzioni di pressione sulla superficie di
pala erano state definite a priori. Due esempi di tali sezioni, ambedue con rapporto t/c = 0.09,
sono mostrati in Figura 5.6.
Figura 5.6.
Distribuzioni di pressione per due profili di Eppler e Shen
I profili di Eppler e Shen sono caratterizzati dalle seguenti peculiarità:
• la distribuzione di carico sulla sezione, ossia la zona dove la curvatura della linea mediana
è maggiore, è spostata verso il bordo d’uscita;
• la zona intorno al bordo d’ingresso è piuttosto aguzza e pressoché simmetrica;
• la forma verso il bordo d’uscita della sezione è quasi rettilinea, o addirittura cava: nel
profilo 920 questa peculiarità abbraccia l’ultimo 20%, mentre nel profilo 930 concerne il
30%; le distribuzioni di pressione sono tali che in questa zona il gradiente di pressione
raggiunge la forma tipica grazie alla quale si eviterà che lo strato limite subisca separazione;
• sebbene nella procedura di ottimizzazione lo spessore sia un parametro risultante piuttosto che una variabile indipendente, i profili risultano invariabilmente molto sottili sul
bordo di uscita; nelle applicazioni pratiche alle eliche navali si deve raggiungere sempre
un compromesso tra le caratteristiche ottimali d’innesco della cavitazione e la robustezza/vulnerabilità, per cui la forma teorica va modificata.
Il metodo di Eppler è stato fatto proprio da molti progettisti navali come un buon metodo
nonlineare per esplorare nuovi tipi di sezioni per ali portanti ed eliche. È stato verificato
teoricamente e sperimentalmente che i bucket di cavitazione dei profili di Eppler e Shen sono
molto più ampi di qualunque altro tipo di profili portanti, quali quelli della Serie NACA.
233
5 – Progetto dell’elica subcavitante
Rappresentazione parametrica delle sezioni
In base a questo approccio, l’ottimizzazione effettiva è effettuata sulla base di una rappresentazione parametrica della distribuzione dello spessore e della curvatura lungo la corda. La
funzione di distribuzione base per la rappresentazione parametrica utilizzata per descrivere le
sezioni è stata derivata da Keller come
y = 4x (1 − x)
Come è desumibile in Figura 5.7, utilizzando un esponente E che sia funzione della posizione
percentuale x lungo la corda, si controlla il rapporto di pienezza della funzione di distribuzione
della zona del bordo d’ingresso e del bordo d’uscita mediante l’equazione
y = [4x (1 − x)]E
dove E è una funzione quadratica di x, espressa come
E = Ele + [Ele − Ete − 4 (Ele − Ec/2 )] x + [4(Ele − Ec/2 ) − 2(Ele − Ete )] x2
In questa funzione, Ele è l’esponente sul bordo d’ingresso, Ec/2 è l’esponente a metà corda e
Ete è l’esponente sul bordo d’uscita.
Figura 5.7.
Funzione di distribuzione per la rappresentazione parametrica
Tale funzione di distribuzione presenta invariabilmente il punto di massimo spessore ed il punto
di massima curvatura posizionati a metà corda. È stata effettuata, quindi, la seguente trasformazione per controllare la posizione lungo la corda del massimo della funzione di distribuzione
M , introducendo la nuova variabile z in sostituzione di x
y = [4z(1 − z)]E
dove
per M ≥ 0.5 :
per M < 0.5 :
z = px2 + (1 − p)x
n
2
0.5
z = 0.5 [q + x/(0.5 − M )]
234
o
−q
con p = (0.5/M − 1)/(M − 1)
con q = (M − 0.25)/(0.5 − M )
5.4 – Progetto geometrico
In pratica è risultato che la funzione suddetta è adeguata per rappresentare le distribuzioni
della curvatura, mentre per le distribuzioni di spessore è emersala necessità di ispessire le zone
intorno ad ambedue le estremità delle sezioni, per cui le distribuzioni adimensionali di spessore
sono maggiorate come riportato dalla relazione
t/c = (tmax /c)[y − (y − 1)A]
con A = [4x (1 − x)]Ule +x(Ute −Ule ) ·[Rle + x (Rte − Rle )]
dove x è la posizione adimensionale di corda, mentre Rle e Rte sono rispettivamente le frazioni
adimensionali dello spessore massimo sul bordo d’ingresso e sul bordo d’uscita; inoltre, Ule e
Ute sono rispettivamente gli esponenti sul bordo d’ingresso e sul bordo d’uscita.
L’esperienza ha insegnato che con questa rappresentazione parametrica le sezioni descritte
hanno una forma dolce e ben definita, tranne nella zona alquanto vicina al bordo d;ingresso
(x < 0.002 c). Il numero di parametri utilizzato è sufficiente per coprire tutte le forme concepibili di profili applicabili alle eliche navali. Utilizzando la rappresentazione parametrica del profilo
nello schema di ottimizzazione, i parametri di spessore, di curvatura e di estremità, possono
essere scelti dal punto di vista dell’innesco della cavitazione, insieme al rapporto spessore–corda
t/c ed al rapporto freccia–corda f /c.
L’esperienza ha confermato che ottime caratteristiche di ritardo dell’innesco della cavitazione si
ottengono per quei profili che siano ottimizzati per offrire un intervallo dell’angolo d’incidenza
esente da cavitazione quanto più ampio possibile. D’altra parte, nello schema di ottimizzazione
dovrebbere essere inclusi requisiti di spessore supplementare, particolarmente sul bordo d’uscita, per ottenere soluzioni pratiche con il rendimento globale migliore possibile.
Va osservato che ottimizzare i profili delle sezioni di pala in un flusso 2D non è del tutto corretto poiché il flusso reale intorno alla pala è tridimensionale, specie sui raggi esterni delle
eliche con ‘skew’ elevato. Per il flusso incidente si tiene conto dell’effetto del primo ordine
della curvatura del flusso dovuto al carico dell’elica, mentre sono ignorate tutte le componenti
radiali. Poiché parecchi effetti non sono considerati adeguatamente, se si ritiene che l’elica
in progetto non si comporti adeguatamente, si può effettuare una correzione finale della curvatura della sezione in base alla teoria della superficie portante oppure a esperimenti su modelli.
Spesso è stato riscontrato un comportamento instabile della cavitazione sui profili ottimizzati
per ritardare l’innesco della cavitazione. Si evidenzia che, una volta che esista un’estensiva cavitazione a lamina sul dorso, si presenta spesso la tendenza verso una cavitazione meno stabile.
Probabilmente questa è una conseguenza della distribuzione uniforme di pressione sul dorso.
Tali distribuzioni di pressione sono la conseguenza naturale dell’ottimizzazione della forma del
profilo. Quando la cavitazione è sviluppata completamente, e non esiste incidenza ideale, la
pressione verso il bordo d’uscita sul dorso risulta essere inferiore rispetto a quella su profili più
convenzionali.
Va osservato che lo schema di ottimizzazione per il progetto di profili portanti delle sezioni di
pala può essere applicato con successo anche per generare profili per i braccioli portaelica, per
i rettificatori di flusso, per i cavalletti, ecc.
235
5 – Progetto dell’elica subcavitante
5.4.6
Modifiche geometriche dell’elica
Talvolta, come risultato di esperimenti su modelli, oppure in base a prove al vero, si può giungere alla conclusione che la geometria dell’elica dovrebbe essere modificata. Sono qui elencate
alcune ragioni plausibili che portano a rettificare la geometria dell’elica e sono discussi alcuni
rimedi possibili:
• l’elica ruota più velocemente del previsto alla specifica potenza assorbita: l’elica è caricata troppo leggermente;
• l’elica ruota troppo lentamente alla specifica potenza assorbita: l’elica è troppo caricata;
• esiste cavitazione sulla faccia;
• il margine contro la cavitazione sulla faccia è piuttosto elevato;
• esiste cavitazione alla radice di pala;
• esiste cavitazione a bolle a metà corda;
• l’elica canta.
Le prime due situazioni sono rilevanti solamente per le eliche a passo fisso. Nelle eliche a passo
variabile una certa imprecisione del valore del passo non è critica, a meno che la corsa del passo
non sia esaurita. Per prevedere esattamente la velocità di rotazione per un certo assorbimento
di potenza, in genere sarà sufficiente una minima correzione del passo in fase progettuale. Come
regola generale, a parità di potenza, un aumento dell’1% del numero di giri corrisponde ad una
riduzione del passo pari a 1.5%.
Una variazione del diametro può essere valutata in base alla regola empirica che vuole che la
somma del passo e del diametro dovrebbe essere costante per mantenere la stessa relazione tra
potenza e numero di giri.
Per le eliche già installate su una nave la situazione diviene molto più complicata se si desidera un adattamento della loro geometria. Ovviamente, sono limitate le possibilità di ridurre
gli effetti prodotti da imprecisioni progettuali. L’applicazione di una correzione del passo ad
un’elica esistente mediante la forza bruta è limitata alle piccole eliche. Anche in questo caso, il limite superiore corrisponde ad una variazione del 10% del passo. Il rischio di rovinare
la situazione cavitativa o di ridurre la robustezza delle pale è insito in questo metodo grossolano.
Oltre gli adattamenti del passo da parte del costruttore, sono disponibili le misure seguenti per
rendere un’elica meno caricata:
• riduzione del diametro (Fig. 5.8), il che non è raccomandabile in quanto produce una
perdita di rendimento; si deve prestare attenzione al fatto che la riduzione del momento
d’inerzia polare di massa, la quale può essere considerevole quando il diametro è ridotto,
non produca risonanza per vibrazioni torsionali;
• troncamento del bordo d’uscita, che costituisce una misura efficace per modificare la geometria della coda delle sezioni, influenzando cosı̀ la condizione di Kutta e rendendo l’elica
meno caricata; il grande scarto tra i dati disponibili, come si evince da diagramma in
Figura 5.9, indica che non è facile prevedere questo effetto;
236
5.4 – Progetto geometrico
• variazione del bordo d’ingresso dei profili, i cui effetti sono estremamente ridotti; va prestata attenzione a non facilitare l’innesco della cavitazione;
• affilatura di un bordo asimmetrico anti-canto sulla faccia; i suoi effetti sono piuttosto
marginali in quanto ciò costituisce una forma ridotta di troncamento del bordo d’uscita,
ma su scala molto ridotta.
Figura 5.8.
Effetto della riduzione del diametro sul numero di giri
Rendere più pesantemente caricata un’elica esistente, o ridurre la velocità di rotazione, non
è cosı̀ facile quanto rendere un’elica meno caricata. Modifiche del bordo d’uscita sono raramente efficaci a causa della forma naturale dei profili con curvatura. D’altra parte, esiste una
variazione naturale delle prestazioni nel tempo, in quanto la rugosità della carena e delle pale
dell’elica aumenta negli anni. Ambedue questi effetti causano una riduzione della velocità incidente. Inoltre, la rugosità delle pale fa crescere il momento torcente. Ambedue questi effetti
fanno diminuire gradualmente il numero di giri.
La cavitazione sulla faccia può essere evitata arrotondando il bordo d’ingresso sulla faccia e
sollevandolo verso il dorso, oppure riducendo la curvatura del profilo. Viceversa, se il margine
contro la cavitazione sulla faccia è eccessivo, si può aumentarne la curvatura. In tal modo,
risulterà ridotta l’estensione della cavitazione a lamina sul dorso di pala. Queste sono modifiche che vengono applicate normalmente ai modelli delle eliche durante lo svolgimento di un
programma sperimentale.
La cavitazione alla radice di pala e la cavitazione a bolle a metà corda devono essere evitate
a causa del loro potenziale rischio di erosione. Poiché non esiste un metodo per correggere le
eliche già costruite, l’unico modo di impedire la presenza di queste forme di cavitazione, che
sono spesso di natura erosiva se la cavitazione è bene sviluppata, è una riduzione della potenza
237
5 – Progetto dell’elica subcavitante
assorbita e della velocità di rotazione. La cavitazione alla radice può essere ritardata dalle
seguenti misure da prendere durante la fase progettuale:
• allungamento delle sezioni al mozzo;
• riduzione dei raggi di raccordo al mozzo;
• diminuzione dell’inclinazione della linea d’assi per ottenere un flusso più assiale;
• scelta di un mozzo di forma cilindrica della linea generatrice ed applicazione di una forma
divergente in direzione poppiera;
• scelta di un mozzo più grosso che può tornare utile purchè la forma sia cilindrica per una
lunghezza sufficiente.
Figura 5.9.
Effetto del troncamento del bordo d’uscita sul numero di giri
Sulle eliche esistenti talvolta è stata applicata con successo la ventilazione mediante emissione
d’aria lungo i ringrossi dell’asse portaelica. Sono state provate procedure di trapanatuta di fori
nei punti dove si trova la cavitazione alla radice, ma senza garanzia di successo.
La cavitazione a bolle a metà corda può essere evitata solamente applicando profili più sottili.
Il suono prodotto da un’elica può essere ridotto affilando un efficiente bordo anti-canto.
238
Bibliografia
[1] Bowden, B.S. and Davison, N.J.: Resistance Increments due to Hull Roughness Associated with
Form Factor Extrapolation Methods, NMI, Ship TM 380, 1974.
[2] Brockett, T.: Minimum Pressure Envelopes for Modified NACA–66 Sections with NACA a=0.8
Camber and Buships Type I and Type II Sections, David Taylor Model Basin, Report no. 1780,
1966.
[3] Burrill, L.C.: Calculation of Marine Propeller Performance Characteristics, Transactions of the
North East Coast Institution of Engineers and Shipbuilders, Vol. 60, 1944.
[4] Cheng, H.M.: Hydrodynamic Aspect of Propeller Design Based on Lifting Surface Theory: Part I
- Uniform Chordwise Load Distribution, David Taylor Model Basin Report 1802, 1964.
[5] Cheng, H.M.: Hydrodynamic Aspect of Propeller Design Based on Lifting Surface Theory: Part
II - Arbitrary Chordwise Load Distribution, David Taylor Model Basin Report 1803, 1965.
[6] Chisari, C.: Ottimizzazione vincolata per la previsione di potenza nel progetto di un’elica navale,
Tesi di Laurea, DINMA, Università di Trieste, 2008.
[7] Choi, J.K. and Kinnas, S.: Prediction of Non–Axisymmetric Effective Wake b a Three–Dimensional
Euler Solver , Journal of Ship Research, Vol. 45, no. 1,, 2001.
[8] Cumming, R.A., Morgan, W.B. and Boswell, R.J.: Highly Skewed Propellers, Transactions
SNAME, Vol. 80, 1972, pp. 98–135.
[9] Eckhardt, M.K. and Morgan, W.B.: A Propeller Design Method , Transactions SNAME, Vol. 57,
1955, pp. 325–374.
[10] Glauert, H.: The Elements of the Aerofoil and Airscrew Theory, Cambridge, University Press,
1947.
[11] Goldstein : On the Vortex Theory of Screw Propellers, Proceedings, Royal Society, London (A),
Vol. 123, 1929, pp. 440–465.
[12] Greeley, D.S. and Kerwin, J.E.: Numerical Methods for Propeller Design and Analysis in Steady
Flow , Transactions SNAME, Vol. 90, 1982.
[13] Ikehata, M., Ando, M. and Maruo, H.: The Analysis of Unsteady Characteristics of Marine
Propeller in Harmonic Wake by Vortex Lattice Lifting–Surface Model , Chalmers University of
Technology, Department of Ship Hydromechanics, Report no. 68, Göteborg, 1984.
[14] Hill, J.G.: The Design of Propellers, Transactions SNAME, Vol. 57, 1949, pp. 143–192.
[15] Hoshino, T.: Hydrodynamic Analysis of Propellers in Steady–Flow Using a Surface Panel Method ,
Journal of The Society of Naval Architects of Japan, 1989, pp. 79–92.
[16] Isherwood, R.M.: Wind Resistance of Merchant Ships, Transactions RINA, Voi. 115, 1973.
[17] Kawada, S.: On the Induced Velocity and Characteristics of a Propeller , Journal of the Faculty of
Engineering, Tokyo, Imperial University, Vol. 20, 1933.
239
Bibliografia
[18] Kawada, S.: Induced Velocity by Helical Vortices, Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 3, 1936.
[19] Kerwin, J.E. and Leopold, R.: A Design Theory for Subcavitating Propellers, Transactions
SNAME, Vol. 72, 1964, pp. 294–335.
[20] Kerwin, J.E. and Lee, C.S.: Prediction of Steady and Unsteady Marine Propeller Performance by
Numerical Lifting-Surface Theory, Transactions SNAME, Vol. 86, 1978, pp. 218–253.
[21] Kerwin, J.E., Kinnas, S.A., Lee, J.J. and Shih, W.Z.: A Surface Panel Method for the Hydrodynamic Analysis of Ducted Propellers, Transactions SNAME, Vol. 95, 1987.
[22] Kramer: Induced Efficiencies of Optimum Airscrews with a Finite Number of Blades, Luftfahrtforschung, Vol. XV, 1938.
[23] Lanchester, F.W.: Aerodynamics, Constable Company, London, 1907.
[24] Lavrentiev, V.M.: Teoria Generale dei Propulsori Navali (in russo), Morflota Magazine, Leningrad, Vol. 35, 1961, pp. 3–39.
[25] Lerbs, H.W.: Moderately Loaded Propellers with a Finite Number of Blades and an Arbitrary
Distribution of Circulation, Transactions SNAME, Vol. 60, 1952, pp. 73–117.
[26] Manen, J.D. van: The Design of Ship Screws of Optimum Diameter for an Unequal Velocity Field ,
Transactions SNAME, Vol. 60, 1952, pp. 442–468.
[27] Manen, J.D. van: Thrust Deduction and a Proposed Formula for Its Radial Distribution,
International Shipbuilding Progress, Vol. 2, no. 8, 1955, pp. 153–166.
[28] Minsaas, K. and Slättelid, O.H.: Lifting Surface Corrections for 3 Bladed Optimum Propellers,
International Shipbuilding Progress, Vol. 18, no. 208, 1971, pp. 437–452.
[29] Miškević, V.G.: Elaborazione Numerica dei Risultati dell’Esame su Modelli di Serie Sistematiche
di Eliche Isolate (in russo), Proceedings, in memoriam of A.N. Krylov, Leningrad, Paper no. 296,
1979, pp. 61–68.
[30] Morgan, W.B., Silović V. and Denny, S.B.: Propeller Lifting Surface Corrections, Transactions
SNAME, Vol. 76, 1968, pp. 309–347.
[31] Oossanen, P. van: Calculation of Performance and Cavitation Characteristics of Propellers
Including Effects of Non–Uniform Flow and Viscosity, Netherlands Ship Model Basin, Publication
no. 457, 1974.
[32] Papmel, E.E.: Practical Calculations of Propellers (in russo), Leningrad, 1936.
[33] Pien, P.C.: The Calculation of Marine Propellers Based on Lifting–Surface Theory, Journal of
Ship Research, Vol. 5, no. 1,, 1961, pp. 1–14.
[34] Polyahov, N:N. Fondamenti Teorici del Metodo di Calcolo di Eliche Cavitanti (in russo),
Proceedings, III Congresso in memoriam of A.N. Krylov, Leningrad, no. 34, 1948, pp. 20–29.
[35] Sears, W. R.: Some Aspects of Non–Stationary Airfoil Theory and its Practical Application,
Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 8, no. 3, 1941.
[36] Sontvedt, T.: Theoretical Calculations of Hydrodynamic Loading on the Marine Propeller, Part I,
Open–Water Performance, Det norske Veritas, Report no. 71-64-M, 1971.
[37] Szantyr, J.A.: A New Method for the Analysis of Unsteady Propeller Cavitation and Hull Surface
Pressure, Transactions RINA, Vol. 126, 1984, pp. 153–167.
[38] Tanibayashi, H.: Practical Approach to Unsteady Problems of Propellers, International Shipbuilding Progress, Vol. 20, no. 226, 1973, pp. 211–222.
[39] Townsin, R.L., Byrne, D., Milne, A. and Svensen, T. E.: Speed, Power and Roughness: The
Economics of Outer Bottom Maintenance, Transactions RINA, Vol. 122, 1980, pp. 459–482.
[40] Trincas, G.: Fondamenti di Propulsione Navale, DINMA, Università di Trieste, 2008.
240
Bibliografia
[41] Tsakonas, S., Jacobs, W.R. and Ali, M.R.: An Exact Linear Lifting–Surface Theory for a marine
Propeller in a Nonuniform Flow , Journal of Ship Research, Vol. 17, no. 4,, 1973, pp. 196–207.
[42] Tzabiras, G., Dimas, A. and Loukakis, T.: A Numerical Method for the Calculation of Incompressible, Steady, Separated Flows around Aerofoils, International Journal for Numerical Methods in
Fluids, Vol. 6, 1986, pp. 789–809.
[43] Wrench, J.W.: The Calculation of Propeller Induction Factors, David Taylor Model Basin, Report
no. 1116, 1957.
[44] Yim, B.: Optimum Propellers with Cavity–Drag and Frictional–Drag Effects, Journal of Ship
Research, Vol. 20, no. 2,, 1976, pp. 118–123.
241