Indice
Indice
i
1 Teoria dell’elica
1.1 Teoria impulsiva dell’elica . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Premesse generali . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Teoria impulsiva semplice . . . . . . . .
1.1.4 Teoria impulsiva complessa . . . . . . .
1.2 Teoria dell’elemento di pala per un’elica marina
1.2.1 Richiami sui profili delle sezioni . . . . .
1.2.2 Teoria dell’elemento di pala . . . . . . .
2 Scelta di un elica di serie
2.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Caso 4 . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Coefficienti di regressione per le
2.6 Coefficienti di regressione per le
3 Il fenomeno della cavitazione
3.1 L’indice di cavitazione . . . .
3.2 Tipi di cavitazione dell’elica .
3.3 Effetti della cavitazione . . .
3.4 Prevenzione della cavitazione
3.5 Criteri di cavitazioni . . . . .
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1
1
1
2
2
6
10
10
14
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. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
eliche Gawn . . .
eliche Wageningen
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18
19
20
20
21
22
22
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24
26
26
27
27
28
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4 Materiali utilizzati nella costruzione di eliche navali
30
4.1 Materiali di maggior utilizzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Sollecitazioni ammissibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 La robustezza dell’elica
32
5.1 Calcolo dei momenti flettenti generati . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Momento dovuto alla forza centrifuga . . . . . . . . . . . . . 34
i
5.3
5.4
5.5
Sollecitazioni agenti sulla sezione di pala . . . . . . . . . . . .
Metodi approssimati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regolamenti delle società di classificazione navale . . . . . . .
35
36
38
6 La scelta dell’elica
40
6.1 Scelta dell’elica con le serie sistematiche . . . . . . . . . . . . 43
0.25 J −1.25 − J −1 . . . . . . . . . . . 44
6.2 Utilizzo dei diagrammi KQ
6.3 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ii
Capitolo 1
Teoria dell’elica
Le principali teorie che ci spiegano il funzionamento dell’elica sono:
1. teoria impulsiva;
2. teoria dell’elemento di pala;
3. teoria vorticale:
(a) della linea portante;
(b) della superficie portante.
Le prime due teorie sono più vecchie, e, pur basandosi su ipotesi corrette,
non riuscivano a spiegare completamente il comportamento dell’elica per
ragioni che vedremo in seguito. La teoria vorticale ha completato le lacune
lasciate aperte dalle altre due teorie.
1.1
1.1.1
Teoria impulsiva dell’elica
Premesse generali
Ricordiamo che le eliche inducono la loro azione propulsiva accelerando il
fluido in cui agiscono. L’accelerazione viene fatta secondo il principio di
Newton (II Principio della dinamica):
F =m
dv
dt
dove:
• F : forza agente sul corpo;
• m: massa del corpo;
•
dv
dt :
accelerazione subita dal corpo.
1
Integrando tra gli istanti 0 e t si ha:
Z
t
0
F d t = m · v2 − m · v1
con v2 e v1 velocità del fluido rispettivamente negli istanti t = 0 e t = t.
L’espressione:
Z
t
Fdt
0
è detta impulso della forza, mentre m · v è la quantità di moto o momento.
Allora:
L’impulso della forza nell’intervallo 0 → t è uguale alla variazione della quantità di moto.
La quantità in gioco possono essere espresse da vettori.
1.1.2
Generalità
L’elica, come tutti gli altri propulsori, sfrutta il principio di azione e reazione;
la spinta viene fornita dalla massa fluida di cui l’elica varia la quantità di
moto.
Il fluido si considera perfetto.
La teoria impulsiva si divide in:
• semplice: la scia è fornita di solo movimento assiale;
• complessa o composta: la scia è dotata di movimento assiale e rotatorio.
Per trattare tale teoria si prescinde dalla forma dell’elica, considerando
quindi praticamente una propulsione a getti.
1.1.3
Teoria impulsiva semplice
L’elica viene rappresentata da un “disco” o meccanismo analogo capace di
imprimere al fluido che la attraversa un improvviso incremento di pressione.
Si suppone che:
1. il fluido sia perfetto (cioè privo di viscosità);
2. l’elica impartisca un’accelerazione uniforme a tutto il fluido che l’attraversa, per cui la spinta che ne deriva sia uniformemente distribuita;
3. ci sia un flusso illimitato di acqua sull’elica.
2
incremento di pressione
∆p
decremento di pressione
zona del disco
Dalle ipotesi fatte si avrà, sulla sezione 2, una contrazione della vena, contrazione che non è improvvisa, ma si estende dall’infinito a monte
all’infinito a valle gradualmente.
Consideriamo un disco di elica di area A0 che avanzi con velocità VA
in una massa ferma. Il problema non cambia se il propulsore è fermo ed il
fluido ha velocità VA .
Nella sezione 1, la velocità del fluido è VA e la pressione p1 . Ricordiamo
che in tale analisi deve essere sempre soddisfatta l’equazione di continuità.
Nella sezione 3 il fluido, dopo avere passato l’elica, ha una velocità maggiore di VA , che esprimiamo con VA · (1 + b). Poiché il fluido deve acquisire
parte di questo incremento di velocità prima di raggiungere il disco, possiamo supporre che pure nella sezione 2 la velocità del flusso sarà maggiore di
VA , e lo indichiamo con: VA · (1 + a).
Poiché variano le velocità, devono variare anche le pressioni (per il Teorema di Bernoulli), e ad un incremento di velocità deve corrispondere una
perdita di pressione. Però nelle sezioni 1 e 3, all’infinito a monte e a valle
del disco, la pressione deve essere uguale (ad esempio: quella atmosferica)
e pari a p0 . Ne viene che dalla sezione 1 alla sezione 2 ci sarà un calo di
pressione, ed lo stesso dalla 2 alla 3. Allora sulla sezione 2 il disco deve
portare ad un salto di pressione ∆p.
3
3
2
VA (1 + b)
1
VA (1 + b)
VA
∆p
p1
p1
Il disco è sottoposto allora ad un salto di pressione ∆p.
Se A0 è l’area del disco, la quantità di fluido che attraversa il disco
nell’unità di tempo è:
Q = VA · (1 + a) · A0
La variazione della quantità di moto del fluido dalla sezione 1 alla sezione
3, trascurando gli effetti dovuti alla rotazione dei filetti nel moto, sarà:
ρ · Q · V3 − ρ · Q · V1 = ρ · Q [VA · (1 + b) − VA ] = ρ · Q · VA · b
la variazione della quantità di moto deve eguagliare la spinta sul disco:
T = ρ · Q · VA · b
ma Q = VA · (1 + a) · A0 per cui:
T = ρ · A0 · VA2 · (1 + a) · b
Eseguiamo ora un bilancio energetico.
Il lavoro totale eseguito dal disco nell’unità di tempo, è uguale all’incremento di energia cinetica nel fluido (trascurando le eventuali componenti
rotatorie del fluido). Allora:
1
2ρ
· Q VA2 (1 + b)2 − VA2
2
= 21 ρ · Q VA2 · b2 +
2b · VA =
= ρ · Q · VA b · VA 1 + 21 =
= T · VA 1 +
1
2
Tale incremento di energia cinetica è stato apportato nel fluido dalla
spinta dell’elica che ha speso la seguente energia: T · V2 = T · VA (1 + a).
4
Pertanto uguagliando i due contributi energetici (quello acquisito dal fluido
e quello speso dall’elica) si ha:
T · VA (1 + a) = T · VA 1 +
b
2
da cui si ottiene:
b
2
cioè metà dell’incremento di velocità acquisito dal fluido, viene acquistato
prima di raggiungere l’elica.
Ricordiamo che l’elica avanza nel disco a velocità VA , o meglio il fluido
si muove (in 1) a velocità VA . Allora il lavoro utile realizzato dall’elica sarà:
T · VA .
Il lavoro speso sarà invece: T · VA (1 + a).
La potenza persa sarà allora:
a=
T · VA (1 + a) − T · VA = T · VA · a = T · VA
b
2
ed il rendimento ideale dell’elica sarà:
ηi =
T · VA
1
lavoro utile
=
=
lavoro speso
T · VA (1 + a)
1+a
Detto regresso il coefficiente s, è spesso utile esprimere l’incremento di
velocità subito dal fluido nel paesaggio dalla sezione 1 alla 3, e che è pari a
b · VA , con tale tale parametro. È allora:
s=
b · VA
= b = 2a
VA
Dalla:
T = ρ · A0 · VA2 · (1 + a) · b
si ha allora:
T =ρ·
A0 · VA2
s
b
b = ρ · A0 · VA2 1 +
s
1+
2
2
Definiamo il coefficiente di spinta CT come:
ρ · A0 · VA2 (1 + a) b
T
=
= (1 + a)2b
CT = ρ
ρ
A0 · VA2
A0 · VA2
2
2
Sarà quindi:
CT
s
= 1+
s
2
2
1+a =
5
CT
2b
ηi =
2b
CT
Sostituendo le espressioni trovate in quella del rendimento ideale ηi
avremo:
2
2
s
p
=
ηi =
1 + CT + 1
T
1+ ρ
2 +1
2 A0 · VA
Con tale espressione si può ottenere facilmente un semplice criterio comparativo della bontà di due eliche diverse. Si dimostra cioè che un elica che
lavora ad un elevato coefficiente di spinta è meno efficiente di quella che
lavora ad un basso coefficiente di spinta. Si ha
CT
ηi
0
1
1
0.827
2
0.732
3
0.667
4
0.618
Si ha inoltre che un elica con maggior area disco A0 , e quindi con maggior
diametro, quindi con CT più basso, è più efficiente di un altra con diametro
(ed A0 ) minori, a parità di altri fattori.
Se VA = 0, ηi = 0; il propulsore può fornire spinta (può essere T ÷ 0) ed
assorbire potenza.
Si può ricavare pure la relazione tra le potenza assorbita e la spinta
impressa per un propulsore ideale.
√
T · VA
1 + CT + 1
lavoro utile ottenuto
=
= T · VA
P =
rendimento ideale
ηi
2
Se VA è molto piccolo, CT sarà molto grande rispetto all’unità, per cui si
può approssimativamente scrivere:
√
CT
P = T · VA
2
Ponendo:
T
CT = ρ
A0 · VA2
2
si ricava:
T
P
s
√
T
= 2
A0 · ρ
√
Tale valore ( 2) è valido per un’elica ideale; per un’elica reale è ben inferiore.
1.1.4
Teoria impulsiva complessa
Nella teoria semplice sviluppata si è supposto che il disco attuatore sia capace di accelerare il fluido nella sola direzione assiale. Supponiamo ora che
il disco acceleri il fluido sia in direzione assiale che rotazionale.
6
Si sa che per i movimenti rotazionale esiste un teorema simile a quello
della quantità di moto valide per i moti lineari.
Detta Q la torsione, o momento torcente di una forza agente su n corpo
in rotazione attorno ad un asse O, Ip il momento d’inerzia polare di massa
del corpo rispetto ad O, ddωt l’accelerazione angolare risultante sul corpo,
l’equazione che si applica, equivalente alla:
F =
è la:
Q = Ip
dω
dt
dv
dt
oppure
Qd t = Ip d ω
dove:
• Qd t: impulso angolare;
• Ip d ω: variazione del momento.
Il teorema afferma che l’impulso angolare è uguale alla variazione della
quantità di moto angolare. Se d t = 1, allora è:
Q = Ip (ω2 − ω1 )
dove ω2 e ω1 sono le velocità angolari finale ed iniziale del fluido.
Si suppone che nella sezione iniziale di partenza 1 il fluido abbia una
velocità di avanzamento VA ed una velocità rotatoria ω1 = 0. Il disco, nella
sezione 2, ha una velocità di rotazione ω; il fluido attraversando il disco
acquista una velocità di rotazione.
Nella sezione 3, a valle del disco, il fluido avrà come velocità di traslazione
VA (1 + b) ed una velocità di rotazione ω2 . Come già fatto per le velocità
traslatorie, possiamo scrivere:
ω2 = ω(1 − b′ )
dove:
• ω: velocità di rotazione del disco;
• ω2 : velocità di rotazione del fluido.
Una parte di questa velocità di rotazione la possiamo pensare acquisita
dal fluido prima che questo attraversi il disco dell’elica (come visto per il
moto lineare), per cui possiamo definire un fattore a′ tale che: ω(1 − a′ ) sia
la velocità angolare del fluido nella sezione 2.
N.B.:
• a, b: fattori di efflusso assiali;
• a′ , b′ : fattori di efflusso rotazionali.
7
Allora, nella sezione 2, la velocità angolare del disco (che è ω) si ridurrà
rispetto all’acqua da ω a ω(1 − a′ ).
Facciamo come prima un bilancio energetico, tenendo conto però sia della
componente assiale, che di quella rotazionale, supposte entrambe distribuite
uniformemente sul disco. Dividiamo quest’ultimo in tanti elementi anulari
concentrici di ampiezza d r e di area d A0 , supponendo che ogni elementino lavori indipendentemente dagli altri. La spinta d T sviluppata da ogni
elementino sarà allora (per analogia a quanto già ricavato con l’eguaglianza:
T = ρ · Q · VA · b = ρ · A0 · VA2 (1 + a)b
):
d T = ρ · d A0 · VA2 (1 + a)b = ρ · d A0 · VA2 1 +
b
b
2
La torsione d Q assorbita dall’elemento è, poiché Q = Ip (ω2 − ω1 ) (N.B.:
ω1 = 0):
d Q = d Ip (ω2 − 0) = d M · r 2 · ω2
dove:
• d M : massa di fluido che attraversa la sezione di area d A0 nell’unità
di tempo → = ρ · d A0 · VA (1 + a);
• d Ip : momento d’inerzia della massa d M ;
• r: raggio dell’elemento anulare.
Quindi:
d Q = ρ · d A0 · VA (1 + a)r 2 · ω2
Il lavoro utile eseguito dall’elemento è d T ·VA (uguale per la teoria impulsiva
semplice).
La potenza assorbita dall’elemento è: d Q · ω, che deve eguagliare la
somma del lavoro utile e delle energie perdute. L’energia cinetica persa
nella trasformazione è:
1
1
d M (b · VA )2 = d T · b · VA
2
2
e quindi:
d M · b · VA = d T
è la variazione della quantità di moto del fluido che deve essere uguale
all’impulso d T .
L’energia persa nella rotazione è invece:
1
1
d Ip · ω22 = d Q · ω2
2
2
8
L’equazione del bilancio energetico sarà allora:
1
1
d Q · ω = d T · VA + d T · b · VA + d Q · ω 2
2
2
dove:
• d Q · ω: potenza assorbita;
• d T · VA : potenza utilizzata o lavoro utile;
•
1
2d T
–
–
· b · VA + 21 d Q · ω2 : potenze perse:
1
2 d T · b · VA : nella traslazione;
1
2 d Q · ω2 : nella rotazione.
Sviluppando si ottiene:
Poiché
ω2
2
b
2
ω2
2
d T · VA (1 + a) = d Q · ω 1 − a′
d T · VA 1 +
= dQ ω −
= a′ · ω si ha:
Ciò dimostra che metà ( ω22 = a′ · ω) della velocità angolare viene acquistata dal fluido prima che questo arrivi al disco.
Il rendimento dell’elemento è allora:
ηi =
=
lavoro utile eseguito
=
potenza assorbita
′
d T · VA
1−a
=
dQ ·ω
1+a
(1.1)
mentre, nella teoria impulsiva semplice, era:
ηi =
1
1+a
Il fattore 1− a′ è sempre inferiore all’unità. L’espressione del rendimento
appena trovata (1.1), può considerarsi come quella del rendimento ideale di
un elica cha ha le minime perdite di energia cinetica. Il rendimento di
un’elica ideale è inferiore a quella di un semplice disco attuatore per la
presenza dell’indice 1 − a′ o di:
ω − ω22
ω
Si noti come tale teoria, pur dando una buona spiegazione fisica dell’azione dell’elica, non dice assolutamente nulla sulla forma delle sezioni, sul tipo
di pala, sulle forze agenti, ecc.. Di ciò ci si occuperà invece nella successiva
teoria dell’elemento di pala.
9
1.2
Teoria dell’elemento di pala per un’elica marina
In tale teoria l’elica non viene più considerata come un disco attuatore, ma
come un dispositivo formato da un separato numero di pale che si possono,
successivamente, suddividere in successiva strisce dall’orlo di entrata a quello
di uscita.
R=
D
2
Si esaminano quindi le forze agenti su ciascuna striscia conoscendo la
velocità relativa tra la striscia e l’acqua, e le caratteristiche della forma
della sezione.
Le forze elementari vengono quindi suddivise in elementi di spinta d T
lungo la direzione di avanzamento, e di momento d Q nel piano di rotazione
dell’elica. Portando d Q e d T lungo la pala, dal mezzo alla punta ed integrando lungo R si ottengono le spinte e i momenti agenti sulla pala. Il
rendimento dell’elica viene dato da:
η0 =
1.2.1
lavoro fornito
T · VA
=
2π · n · Q
lavoro speso
Richiami sui profili delle sezioni
Si suddividono in:
10
alari
ogivali
Sono caratterizzati da:
• corda c;
• spessore massimo t;
• linea mediana;
• freccia o curvatura f ;
• distribuzione degli spessori attorno alla linea mediana.
linea mediana
t
f
c
Si provano in galleria del vento ed i risultati vengono forniti sotto forma
di diagrammi in funzione dell’angolo di incidenza α.
D
γ
L
linea di portanza nulla
F
α0
α
αI
L e D vengono espressi tramite coefficienti CL e CD con:
L
CL = ρ
A·V2
2
D
CD = ρ
A·V2
2
dove:
• ρ: densità di massa del fluido;
11
f accia del passo
f lusso incidente
• A: area della forma piana della sezione, uguale alla corda per l’apertura in sezioni rettangolari;
• V : velocità del fluido incidente.
Le spinte ed i momenti elementari agenti sulla pala dell’elica si rappresentano in diagrammi del tipo:
dQ
dr
dT
dr
valore max a
x ≈ 0.7 R
dQ
dr
R=
dT
dr
0.2 R
0.7 R
D
2
R r
I coefficienti di portanza e resistenza si rappresentano con diagrammi del
tipo:
CL
CD
CL
CD
CD
CL
CL
CD
−2◦
14◦ α angolo di incidenza
0◦
Si introduce spesso il rapporto:
portanza
L
CL
1
=
=
=
resistenza
D
CD
tan γ
definito come rendimento della sezione.
Per un profilo si può definire la linea di portanza nulla, che il più delle
volte, non coincide con la faccia del passo.
12
Allora se α è l’angolo di incidenza del profilo e α0 è l’angolo tra la
faccia del passo e la linea di portanza nulla, si definisce l’angolo di incidenza
idrodinamico come:
αI = α + α0
Nota: Gli andamenti usuali di CL , CD e
cioè:
CL
CD
sono per lo più quelli di figura,
• CL : crescente fino ad un valore massimo;
• CD : descrescente inizialmente e poi crescente;
•
CL
CD :
crescente fino ad un massimo e poi decrescente.
b
c
Si definisce anche aspect ratio come:
A.R. =
b
c
Se A.R. è infinito, b è infinito, cioè il flusso è bidimensionale; in caso contrario ci sono fuoriuscite e deviazioni di flusso alle estremità. La
distribuzione delle pressioni su un profilo è la seguente:
−∆p
depressione
sul dorso
pressione
sulla f accia
+∆p
13
1.2.2
Teoria dell’elemento di pala
Richiamiamo il diagramma delle velocità di un fluido agente su un profilo di
elica in moto nello stesso fluido. La rappresentazione nota è quella di figura:
M
regresso
S
VR
φ
A
P ·n
velocità
di avanzo VA
L
dove:
• VR : velocità relativa dell’acqua sulla pala.
Si ha che:
tan φ =
P
Pn
=
2π n r
2π r
sr =
VA
P n − VA
HS
=
=1−
Pn
Pn
HL
dove:
• φ: angolo geometrico del passo;
• sr : regresso reale.
Sappiamo però, dalla teoria impulsiva, che nel disco dell’elica la velocità
del fluido passa da VA a VA (1+a), mentre il flusso rotazionale totale decresce
da 2π n r a 2π n r(1 − a′ ). Il diagramma delle velocità allora si modifica,
ed i fattori di efflusso a ed a′ porteranno ad un decremento dell’angolo di
incidenza. Il diagramma si modifica allora come nella figura seguente:
linea di portanza nulla
linea della f accia del passo
αI
βI
Ua
2
VR
d T α0 α
dL
γ
= a VA
A
VA
βI
dQ
ωr−
βI
Un
2
C
B
Ut
2
= 2π n r (1 − a′ )
ω r = 2π n r
dD
14
Ut
2
= a′ ω r
Dalla figura di ricava:
VA
2π n r
VA (1 + a)
VR =
sin βI
VA (1 + a)
2π n r(1 − a′ )
1+a
tan βI = tan β
1 − a′
tan β =
tan βI =
dove è:
• α: angolo di incidenza (φ − βI );
• φ: angolo geometrico del passo;
• β: angolo d’avanzo;
• βI angolo idrodinamico del passo.
Supponiamo ora che l’elica abbia z pale; sia c la lunghezza della corda
della generica sezione x = Rr ; CL e CD siano i coefficienti di portanza e di
resistenza della sezione; d L e d D la portanza e la resistenza risultanti su
un elemento di pale di spessore d r. Sarà allora:
dL =
=
=
dD =
ρ
· area · (velocità)2 · CL =
2
ρ
· c · d r · z · VR2 · CL =
2
V 2 (1 + a)2
ρ
· CL · c · d r · z A 2
2
sin βI
ρ
VA2 (1 + a)2
· CD · c · d r · z
2
sin2 βI
d L e d D sono rispettivamente normale e parallelo alla direzione della
velocità relativa VR ; il momento torcente generato è normale. Si ha allora:
d T = d L cos βI − d D sin βI
d Q = (d L sin βI + d D cos βI ) r
La prima espressione può essere scritta con:
dT
dD
sin βI =
dL
CD
= d L cos βI −
sin βI =
CL
= d L (cos βI − tan γ sin βI )
= d L cos βI −
dove:
tan γ =
15
CD
CL
Quindi:
dT
cos βI cos γ − sin βI sin γ
=
= dL
cos γ
cos (βI + γ)
=
= dL
cos γ
cos (βI + γ)
ρ
· V 2 · CL · c · d r · z(1 + a)2
=
2 A
cos γ sin2 βI
e quindi:
ρ
cos (βI + γ)
dT
= · VA2 · CL · c · z(1 + a)2
dr
2
cos γ sin2 βI
ed analogamente:
ρ
sin (βI + γ)
dQ
= · VA2 · CL · c · r · z(1 + a)2
dr
2
cos γ sin2 βI
Se rappresentiamo dd Tr e ddQ
r sulla base del raggio r ed integriamo lungo
r, otteniamo T e Q.
Dalle precedenti figure si può vedere che la maggior parte di T e di
Q vengono sviluppate nelle sezioni alte, ed i valori massimi si hanno per
x = 0.7.
Il rendimento dell’elemento di pala viene dato da:
η =
=
=
=
=
d T · VA
=
2π · n · d Q
cos(βI + γ)
VA
cos γ
=
sin (βI + γ)
2π · n · r
cos γ
1
VA
=
2π · n · r tan βI + γ
tan β
=
tan (βI + γ)
1 − a′ tan βI
1 − a tan βI + γ
Il rendimento totale dell’elica è invece:
T · VA
η0 =
2π · n · Q
Noto a, a′ , CL e γ si può conoscere il comportamento di ogni elemento di
pala. CL e γ si ricavano con prove su profili alari. Per ricavare a ed a′ si
adoperano tecniche che si ispirano alla teoria impulsiva. Si uguaglia la spinta
alla variazione della quantità di moto del flusso, ed il momento torcente alla
variazione della quantità di moto rotazionale. Scrivendo:
F =
c · z · CL · cos (βI + γ)
8π · r · sin2 βI cos γ
16
l’equazione:
dT
cos (βI + γ)
ρ
= · VA2 · CL · c · z(1 + a)2
dr
2
cos γ sin2 βI
diventa:
dT
= F · ρ · VA2 (1 + a)2 4π · r
(1.2)
dr
Dalle considerazioni fatte sulla variazione delle quantità di moto, la
spinta sviluppata dall’elemento di pala è data da:
ρ · 2π · r · d r · VA (1 + a)b · VA
(cioè la massa fluida che passa attraverso l’elemento anulare del disco nell’unità di tempo moltiplicato per la variazione di velocità) oppure da:
dT
= 2π · r · ρ · VA2 (1 + a)b
dr
(1.3)
Tale espressione trascura qualsiasi variazione di quantità di moto rotazionale
impartita al fluido. Uguagliando la 1.2 con la 1.3, si ha:
2F (1 + a) = b
(1.4)
Un’analoga espressione si può ricavare per il fattore di efflusso rotazionale
a′ .
Noto il rapporto tra a e b, ricaviamo, dalla 1.4 trovata il fattore a. Se
a = 2b si ha:
F
a=
1−F
Attualmente sono state sviluppate tecniche più semplici e moderne.
Tale teoria, pur prendendo in esame forze e velocità agenti sul profilo,
da risultati non buoni perché esula da considerazioni relative alla mutua
influenza tra le pale, alle cadute di portanza che si hanno alle estremità
della pala, ecc.. È stata introdotta pertanto la successiva teoria vorticale
dell’elica.
Per ulteriori chiarimenti sulle teorie esposte si veda il Principles of Naval
Architecture.
17
Capitolo 2
Scelta di un elica di serie con
le equazioni di regressione
della serie
I risultati fisici che si ottengono con i modelli delle eliche di serie NSMB,
GAWN ed altre sono esprimibili anche con equazioni di regressione polinomiale multipla, in cui i coefficienti della spinta KT e del momento KQ sono
espressi in funzione del coefficiente di avanzo J e delle caratteristiche geoP
. Le equazioni assumono la seguente
metriche delle eliche, cioè z, AAE0 e D
forma:

tn 47
X

AE un vn
P
 K
sn

z
Cn J

 Q =
D
A0
n=1
(2.1)
tn 39

X
P
AE un vn

s

n

Cn J
z
 KT =
D
A0
n=1
Sono previste poi delle correzioni dei coefficienti (∆KT e ∆KQ ) qualora
si operi al di sopra del numero di Reynolds 2 × 106 , fino a 2 × 109 .
Con l’uso di queste equazioni si possono risolvere i seguenti problemi:
1. scelta di un’elica ottimizzata dato il diametro e la resistenza al moto
della nave;
2. scelta di un’elica ottimizzata dato il numero di giri a cui ruota e la
resistenza al moto della carena;
3. scelta di un elica ottimizzata dato il suo diametro e la potenza al mozzo
PD (o DHP );
4. scelta di un’elica ottimizzata dato il numero di giri a cui ruota e la
potenza al mozzo PD (o DHP ).
La risoluzione dei quattro casi è riportata nelle pagine seguenti. Non
risulta chiaro però come si debba procedere per ottenere la soluzione.
18
Si deve procedere nella seguente maniera. Prendiamo, ad esempio, il
caso 1. La risoluzione prevede che sia:
KT
= K1
J2
(2.2)
P
P
= cost e per D
= cost si fa variare la costante
Si prefissa un rapporto D
d’avanzo J tra il valore φ fino al suo valore massimo. Ci sarà un valore di
J per cui il coefficiente KT calcolato con le 2.1 sarà uguale al coefficiente
P
KT calcolato con le 2.2. Possiamo allora individuare per ogni rapporto D
un valore di J per il quale si abbia l’eguaglianza da KT .
P
e per gli equivalenti valori di J appena ricavati , è
Per ogni valore di D
calcolabile allora, dalle 2.1 il corrispondente valore di KQ . Noti KT , KQ e
J è individuabile η0 .
P
Disponiamo allora, per ogni rapporto D
di tutte le caratteristiche (KT ,
KQ , J e η0 ) che definiscono il punto di funzionamento della nostra elica.
Tra tutti questi punti ce ne sarà uno che fornirà il rendimento massimo. per
P
questo punto, dato J, D e VA si può ricavare il valore di n ed il rapporto D
che forniscono il massimo rendimento e definire quindi l’elica ottimale.
Negli altri tre casi si procede in maniera analoga operando o con i KT o
con i KQ .
2.1
Caso 1
Dato il diametro D e la resistenza al moto RT ricavare il numero di giri n e
P
ottimali.
il rapporto D
Riferendoci alle tecniche di calcolo sviluppate risulta:
RT
KT
=
= K1
2
2
J
( 1 − t) V (1 − w)2 D 2 ρ
Per esempio, assumiamo:
• t = 0.057;
• w = 0.051;
• V = 30 kn = 15.42 m/s;
• RT = 31878.5 kg;
• ρ = 104.61 kg · s2 /m4 ;
• D = 2.79 m.
Risulta quindi:
KT = 0.194 J 2
e dal diagramma allegato si ricava:
19
Coefficiente d’avanzo
Rendimento di elica isolata
Rapporto passo diametro
2.2
J = 1.035
η0 = 0.705
P
= 1.26
D
Caso 2
Dato il numero di giri n e la resistenza al moto RT ricavare il diametro di
P
ottimale.
massimo rendimento D e il rapporto D
Riferendoci alle tecniche di calcolo sviluppate risulta:
KT
RT n 2
=
= K2
J4
( 1 − t) ρ V 4 (1 − w)4
Per esempio, assumiamo:
• t = 0.057;
• w = 0.051;
• V = 30 kn = 15.42 m/s;
• RT = 31878.5 kg;
• ρ = 104.61 kg · s2 /m4 ;
• n = 305.2 g/min = 5.08 g/s.
Risulta quindi:
KT = 0.180 J 4
e dal diagramma allegato si ricava:
Coefficiente d’avanzo
Rendimento di elica isolata
Rapporto passo diametro
2.3
J = 1.000
η0 = 0.703
P
= 1.27
D
Caso 3
Dato il diametro D e la potenza al mozzo dell’elica DHP ricavare il numero
P
di giri e il rapporto D
ottimali.
Riferendoci alle tecniche di calcolo sviluppate risulta:
DHP ηR
KQ
= 3
= K3
3
J
VA ρ 2π D 2
Per esempio, assumiamo:
• DHP = Pcont × ηm ;
20
• ηm : rendimento meccanico del riduttore e delle linea d’assi = 0.965;
• Pcont : potenza massima continuativa = 10000 Cv;
• ηR = 0.932;
• D = 2.79 m;
• ρ = 104.61 kg · s2 /m4 ;
• VA = 14.62 m/s.
Risulta quindi:
DHP = 9650 Cv = 723750 kg · m/s
2.4
Caso 4
Dato il numero di giri n e la potenza al mozzo dell’elica DHP ricavare il
P
diametro di massimo rendimento D e il rapporto D
ottimale.
Riferendoci alle tecniche di calcolo sviluppate risulta:
DHP ηR n2
KQ
=
J5
ρ 2π VA5
Per esempio, assumiamo:
• DHP = 723750 kg · m/s2 ;
• ηR = 0.932;
• ρ = 104.61 kg · s2 /m4 ;
• VA = 14.62 m/s.
• n = 306.7 g/min = 5.11 g/s.
Risulta quindi:
KQ = 0.040 J 5
e dal diagramma allegato si ricava:
Coefficiente d’avanzo
Rendimento di elica isolata
Rapporto passo diametro
da cui:
D=
VA
= 2.9194 m
Jn
21
J = 0.98
η0 = 0.704
P
= 1.25
D
2.5
Coefficienti di regressione per le eliche Gawn
Si riportano di seguito i coefficienti di regressione per le eliche di serie
sistematica Gawn.
n
Cn
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
-0.0558636300
-0.2173010900
0.2605314000
0.1581140000
-0.1475810000
-0.4814970000
0.3781227900
0.0144043000
-0.0530054000
0.0143481000
0.0606826000
-0.0125894000
0.0109689000
-0.1336980000
0.0024115700
-0.0005300200
0.1684960000
0.0263454200
0.0436013600
-0.0311949300
0.0124921500
-0.0064827200
-0.0084172800
0.0168424000
-0.0010229600
-0.0317791000
0.0186040000
-0.0041079800
-0.0006068480
-0.0049819000
0.0025963000
-0.0005605280
-0.0016365200
-0.0003287870
0.0001165020
0.0006909040
0.0042174900
0.0000565229
-0.0014656400
2.6
Thrust (KT )
s
t
(J )
(P /D)
0
0
1
0
0
1
0
2
2
0
1
1
0
2
0
0
2
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
3
0
6
2
6
3
0
0
0
2
0
3
0
1
6
2
6
0
3
1
3
3
3
0
3
1
0
0
2
0
0
1
0
2
0
3
0
1
2
1
6
2
6
0
0
0
3
3
6
0
3
u
(EAR)
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
2
2
2
2
0
0
0
1
2
2
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
v
(Z)
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
Cn
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
0.0051589800
0.0160666800
-0.0441153000
0.0068222300
-0.0408811000
-0.0773296700
-0.0885381000
0.1693750200
-0.0037087100
0.0051369600
0.0209449000
0.0047431900
-0.0072340800
0.0043838800
-0.0269403000
0.0558082000
0.0161886000
0.0031808600
0.0129043500
0.0244508400
0.0070064300
-0.0271904600
-0.0166458600
0.0300449000
-0.0336974900
-0.0035002400
-0.0106854000
0.0011090300
-0.0003139120
0.0035895000
-0.0014212100
-0.0038363700
0.0126803000
-0.0031827800
0.0033426800
-0.0018349100
0.0001124510
-0.0000297228
0.0002695510
0.0008326500
0.0015533400
0.0003026830
-0.0001943000
-0.0004253990
0.0000869243
-0.0004659000
0.0000554194
Torque (KQ )
s
t
(J )
(P /D)
0
0
2
0
1
1
0
2
0
1
1
1
2
1
0
2
1
0
0
1
1
1
2
1
2
0
1
1
0
2
3
0
0
3
1
3
0
0
1
0
3
0
0
1
3
1
2
2
0
3
0
6
3
0
3
3
0
6
3
0
0
6
1
0
0
2
2
3
0
6
1
1
3
2
3
6
1
0
2
0
0
2
0
6
0
0
0
3
3
3
0
6
1
6
u
(EAR)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
2
2
2
2
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
v
(Z)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Coefficienti di regressione per le eliche Wageningen
Si riportano di seguito i coefficienti di regressione per le eliche di serie
sistematica di Wageningen.
n
Cn
01
02
03
04
05
06
07
08
09
l0
+0.00880496
-0.204554
+0.166351
+0.158114
-0.147581
-0.481497
+0.415437
+0.0144043
-0.0530054
+0.0143481
Thlust (KT )
s
t
(J )
(P /D)
0
0
1
0
0
1
0
2
2
0
1
1
0
2
0
0
2
0
0
1
u
(EAl)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v
(Z)
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
22
n
Cn
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
+0.00379368
+0.00886523
-0.032241
+0.00344778
-0.0408811
-0.108009
-0.0885381
+0.188561
-0.00370871
+0.00513696
Tolque (KQ )
s
t
(J )
(P /D)
0
0
2
0
1
1
0
2
0
1
1
1
2
1
0
2
1
0
0
1
u
(EAl)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
v
(Z)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
2
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
+0.0606826
-0.0125894
+0.0109689
-0.133698
+0.00638407
-0.00132718
+0.168496
-0.0507214
+0.0854559
-0.0504475
+0.010465
-0.00648272
-0.00841728
+0.0168424
-0.00102296
-0.0317791
+0.018604
-0.00410798
-0.000606848
-0.0049819
+0.0025983
-0-000560528
-0.00163652
-0.000328787
+0.000116502
+0.000690904
+0.00421749
+0.0000565229
-0.00146564
1
0
1
0
0
2
3
0
2
3
1
2
0
1
3
0
1
0
0
1
2
3
1
1
2
0
0
3
0
1
0
0
3
6
6
0
0
0
0
6
6
3
3
3
3
0
2
0
0
0
0
2
6
6
0
3
6
3
0
1
1
0
0
0
1
2
2
2
2
2
0
0
0
1
2
2
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
23
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
+0.0209449
+0.00474319
-0.00723408
+0.00438388
-0.0269403
+0.0558082
+0.0161886
+0.00318086
+0.015896
+0.0471729
+0.0196283
-0.0502782
-0.030055
+0.0417122
-0.0397722
-0.00350024
-0.0106854
+0.00110903
-0.000313912
+0.0035985
-0.00142121
-0.00383637
+0.0126803
-0.00318278
+0.00334268
-0.00183491
+0.000112451
-0.0000297228
+0.000269551
+0.00083265
+0.00155334
+0.000302683
-0.0001843
-0.000425399
+0.0000869243
-0.0004659
+0.0000554194
1
2
2
1
0
3
0
1
0
1
3
0
3
2
0
0
3
3
0
3
0
1
0
2
0
1
3
3
1
2
0
0
0
0
3
0
1
1
1
0
1
2
0
3
3
0
0
0
1
1
2
3
6
0
3
6
0
6
0
2
3
6
1
2
6
0
0
2
6
0
3
3
6
6
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
2
2
2
2
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Capitolo 3
Il fenomeno della cavitazione
Un liquido come l’acqua, comincia a vaporizzare quando la pressione diventa
eguale alla pressione di saturazione del vapore. La pressione del vapore dell’acqua a 15◦ C è pari a 1.704 kN/m2 e vale 101.325 kN/m2 (cioè la pressione
atmosferica) a 100◦ C, il punto di ebollizione dell’acqua o la temperatura a
cui l’acqua evapora in forma di vapore.
Se, in un certo punto, la pressione nell’acqua scende ad un valore eguale
alla pressione del vapore, l’acqua in quel punto comincia ad evaporare formando cavità contenenti all’interno del vapore. La formazione di tale vapore
a bassa pressione, che riempie le cavità, è chiamata “cavitazione”.
Un’elica produce spinta creando differenza di pressione tra la faccia ed
il dorso delle pale dell’elica; la pressione sul dorso della pala scende sotto la
pressione ambientale, mentre la pressione della faccia risale. Se la pressione
su ogni punto A del dorso della pala scende sotto la pressione del vapore,
l’acqua in quel punto inizia a cavitare.
In realtà l’acqua di mare contiene minute particelle solide in sospensione,
come pure gas disciolti e queste impurità causano l’inizio della cavitazione
a pressioni leggermente superiori alla tensione di vapore ed i gas disciolti
fuoriescono dalla soluzione prima che l’acqua stessa cominci a vaporizzare.
24
Quindi la cavitazione in acqua di mare può iniziare quando la pressione
raggiunge il valore di 17 kN/m2 (assoluta), invece dell’attuale pressione di
vapore, che ha un valore di 1.704 kN/m2 a 15◦ per l’acqua dolce; il valore
per l’acqua di mare è leggermente inferiore.
La cavitazione nelle eliche marine si manifesta usualmente con un primo
aumento del numero di giri, senza un contemporaneo aumento della velocità
nave. Ciò avvenne in passato nelle prove del Turbinia, utilizzato da Charles Poisons per dimostrare la validità delle turbina a vapore. Nelle prove
preliminari il Turbinia non raggiunse la velocità voluta; aumentando l’area
espansa dell’elica si raggiunse questo risultato.
La condizione per la cavitazione in un punto A sulla pala di un’elica si
ottiene nella seguente maniera. Siano p1 e V1 la pressione e la velocità su un
punto A del profilo di un elica e siano p0 e V0 le velocità misurate alla stessa
immersione, ma al di fuori dell’elica (vedi figura 1). Allora per il teorema di
Bernoulli si ha:
1
1
p1 + ρ V12 = p0 + ρ V02
2
2
per cui la differenza di pressione che si ha tra il punto A ed un punto della
corrente a monte del punto A risulta:
∆p = p1 − p0 =
q=
1
1
ρ V02 − ρ V12
2
2
Dividendo per la pressione rilevata nel punto di “stagnazione”, pari a
1
2
2 ρ V0 , necessaria per rendere l’espressione adimensionale, si ha:
∆p
p1 − p0
=1−
= 1
2
q
2 ρ V0
V1
V0
2
Se la cavitazione inizia nel punto A, allora p1 = pv per cui la condizione
per la quale si ha cavitazione è:
p0 − pv
∆p
= 1
=
−
2
q
2 ρ V0
V1
V0
2
−1
Se la pressione p0 è intesa come pressione totale statica (pressione atmosferica sommata alla pressione idrostatica) sul punto A e V0 la velocità relativa
dell’acqua, allora la condizione per aver cavitazione può esser intesa con:
−
∆p
p0 − pv
= 1
= σa
2
q
2 ρ V0
dove σA è il numero di cavitazione “locale”. La grandezza ∆p
q è spesso
intesa come coefficiente di pressione Cp , tale per cui la cavitazione si può
manifestare in una sezione della pala se il valore minimo di Cp eguaglia il
numero di cavitazione locale. Ciò lo si può esprimere con:
−Cpmin = σa
25
Per una sezione di pala posta alla sezione x = Rr ed un angolo di passo
θ si ha:
pA + ρ g (h − x R cos θ) − pv
h
i
−Cpmin =
1
2 + (2π n x R − V )2
ρ
V
T
A
2
dove VA è la componente assiale della velocità V e VT è la componente
tangenziale ed h è l’immersione dell’asse dell’elica.
3.1
L’indice di cavitazione
Come già precedentemente indicato, l’indice di cavitazione di un elica è
spesso definito assumendo p0 quale pressione statica totale sull’asse dell’elica
e VA velocità di avanzo dell’elica.
σ=
pA + ρ g h − pv
1
2
2 ρ VA
dove pA è la pressione atmosferica e h l’immersione dell’asse dell’elica.
Spesso al posto della velocità di avanzo VA si pone la velocità tangenziale
alla punta dell’elica r n D per cui:
σn =
pA + ρ g h − pv
2
1
2 ρ (r n D)
o addirittura la risultante tra le velocità di avanzo e quella tangenziale, per
cui:
pA + ρ g h − pv
h
i
σR =
1
2 + (r n D)2
ρ
V
A
2
Spesso ci si riferisce alla sezione 0.7 R, quale sezione rappresentativa
dell’elica. Ne viene allora un numero di cavitazione definito con:
σR =
1
2
pA + ρ g h − pv
h
ρ VA2 + (r n D)2
i
In altri casi ci si riferisce alla sezione x = 0.8, quale più suscettibile di
cavitazione.
3.2
Tipi di cavitazione dell’elica
La cavitazione in un’elica può essere classificata a seconda della regione
dove questa si instaura e cioè cavitazione alla radice, cavitazione sul mozzo,
cavitazione sull’orlo di entrata, su quello di uscita, sulla faccia o sul dorso.
La cavitazione che si verifica in un punto particolare dell’elica indica una
regione di bassa pressione e ad alta velocità. È spesso possibile ridurre o
26
eliminare questa cavitazione locale eseguendo possibili variazioni della geometria dell’elica, ad esempio riducendo il passo o aumentando localmente la
larghezza locale.
La cavitazione può essere classificata a seconda della natura della cavità o della loro insorgenza si ha cavitazione a striscie, cavitazione a punti,
cavitazione a fogli, cavitazione a bolle, cavitazione a vortici, etc..
Nelle figure allegate sono riportati alcuni tipi di cavitazione che si presentano nelle eliche.
Si riporta poi l’evenienza dei diversi tipi di cavitazione che dipende
sia dall’indice di cavitazione σ, sia dal coefficiente di avanzo J (si veda
il diagramma di Newton).
3.3
Effetti della cavitazione
La cavitazione agisce sulla natura del fluido che avviluppa l’elica. la formazione di cavità ha l’effetto di alterare visibilmente la forma delle sezioni dell’elica. Sia la spinta, che la torsione dell’elica vengono ridotte e
conseguentemente il rendimento dell’elica. L’effetto della cavitazione sulle
caratteristiche dell’elica è illustrato nella figura allegata.
Il risultato porta ad un incremento della potenza richiesta per ottenere
la velocità voluta, ma in caso di cavitazione spinta la nave potrebbe non
raggiungere la velocità prevista.
La cavitazione può procurare pure seri danni all’elica e, a volte, pure al
timone.
Il collasso delle bolle della cavitazione comporta un elevato impatto di
pressione; il continuo e ripetuto collasso di queste bolle in una specifica
localizzazione della pala può causare una rapida erosione del bordo d’entrata
delle pale. Se il collasso delle bolle si manifesta prossimo alla punta di pala
si può avere pure tendenza alla flessione della pala.
Un’altro importante effetto della cavitazione delle eliche è la generazione
di vibrazioni e rumore, specie se l’elica opera in campi di scia non uniformi.
3.4
Prevenzione della cavitazione
Al fine di evitare gli effetti negativi della cavitazione, le leiche sono normalmente progettate per non cavitare nelle normali condizioni operative o,
per lo meno, avere un basso livello di cavitazione tale per cui i suoi effetti
negativi siano trascurabili.
Esistono eliche, montate su carene veloci ad elevata velocità, con diametri ridotti, per cui risulta impossibile la generazione di cavitazione, ma
questa è localizzata in posizioni tali da non danneggiare la pala (eliche
supercavitanti).
27
La cavitazione di un’elica può essere ridotta: eliminata generalmente in
tre diversi modi.
1. Aumentando l’indice (o il numero) di cavitazione;
2. Diminuendo il carico sull’elica;
3. progettando l’elica per carichi distribuiti uniformemente.
Si rileva dalla figura allegata che riducendo σ si incrementa la cavitazione
generata. Un maggior valore di σ riduce la cavitazione.
σ può essere aumentato sovraimmergendo l’elica o riducendo la velocità
relativa del fluido sulle pale.
Il carico dell’elica è usualmente definito dal rapporto della spinta sull’area
dell’elica, cioè:
T
Ap
e ciò comporta la necessità di aumentare l’area delle pale.
È difficile evitare l’insorgenza di cavitazione quando eliche pesantemente
caricate operino in scia non uniforme.
3.5
Criteri di cavitazioni
Facendo seguito ed applicando il criterio per cui si può ridurre o evitare la cavitazione riducendo il carico specifico dell’elica, il Burriel definı̀ un
diagramma in cui riporta le percentuali di cavitazioni che si innescano su
un’elica, in funzione del carico specifico ATp (in ordinate) e del numero di cavitazione σ0.7R . Riporta inoltre delle curve specifiche limiti valide per navi
militari, navi mercantili, per pescherecci e rimorchiatori. In ordinate si ha
il coefficiente τc :
τc =
T
Ap
1
2
h
ρ VA2 + (0.7π n D)2
i
L’area proiettata dell’elica (Ap ) è ottenuta approssimativamente in funzione dell’area sviluppata con l’espressione del Taylor:
Ap = 1.067 − 0.229
P
D
AD
con AD l’area sviluppata (Developed Area).
Per eliche a profili ellittici si preferisce la seguente espressione:
Ap = 1.082 − 0.229
28
P
D
AD
Si ha poi, indicando con z il numero di pale, che se AzE < 0.2 allora
AE = AD dove AE è l’area espansa. Se invece 0.2 < AzE < 0.4 si ha:
AD
AE
= 0.34
A0
A0
2.75 +
AD
A0
z
!
Un altro criterio sviluppato presso il NSMB e dovuto al Keller, consente
di definire il rapporto AAE0 necessario ad operare in assenza di cavitazione.
Esso recita:
AE
(1.3 + 0.3 z) T
=
+k
A0
(p0 − pv ) D 2
dove:
• k = 0 per carene bieliche veloci e con transom;
• k = 0.1 per carene bieliche tradizionali;
• k = 0.2 per carene monoeliche;
• T : spinta dell’elica;
• D: diametro dell’elica;
• p0 − pv = patm + γ h − pv ;
•
AE
A0 :
rapporto tra l’area espansa e l’area disco.
Sebbene eliche non cavitanti siano state progettate con successo per decenni usando semplici criteri di cavitazione, come quelli di Burriel o di Keller,
si deve constatare che la cavitazione non dipende univocamente dal carico
dell’elica e dall’indice (o numero) di cavitazione, ha effetti diretti causati
dalla disuniformità di scia e dalla dettagliata geometria delle sezioni di pala.
Le caratteristiche di cavitazione di un profilo aereodinamico possono
essere determinate in funzione rispettivamente del rapporto spessore corda
t
c e dell’angolo di attacco α per differenti rapporti di curvatura e distribuzioni
di spessore.
Un diagramma tipico è riportato nella figura allegata e può essere ottenuto per un profilo che ha una specifica distribuzione di spessore lungo la corda
(ad esempio la NACA-66), una specifica linea di curvatura o linea mediana
(ad esempio **) ed un prefissato rapporto di curvatura ( ad esempio 0.02).
La regione all’interno del bucket di cavitazione ABCD, per un particolare
rapporto spessore/corda (ad esempio ct = 0.04) è la regione operativa esente
da cavitazione, mentre le regioni superiori alla linea AB£ ed inferiori alla
CD sono rispettivamente regioni con cavitazione a striscie (sheet cavitation)
sul dorso e sulla faccia (sotto CD), mentre la regione a sinistra della linea
BC (con valori più bassi di Cpmin ) è la regione con cavitazione a bolle sul
dorso della sezione.
29
Capitolo 4
Materiali utilizzati nella
costruzione di eliche navali
I materiali utilizzati per la costruzione di eliche navali devono possedere
specifiche caratteristiche che consentano ad essi di essere facilmente lavorati
sia a freddo che a caldo (fusione, lavorazione con macchine utensili).
La stessa lavorazione meccanica richiesta deve consentire di ottenere alti
livelli di precisione con basse tolleranze (si vedano le tabelle allegate). Il
materiale usato deve garantire elevati carichi di rottura, accompagnati da
un elevato grado di durezza superficiale, tale da non consentire una riduzione
degli spessori nel tempo, tali da ridurre il rendimento dell’elica. La resistenza
a fatica e la resistenza alla corrosione sono ulteriori elementi richiesti ai
materiali per eliche marine.
È opportuno pure che le caratteristiche di detti materiali siano tali da
consentire pronti interventi di riparazione nei casi in cui le pale possano
essere danneggiate. Materiali a bassa densità rendono poi l’elica più leggera.
Va considerato poi il costo del materiale nel bilancio generale del costo per
la costruzione dell’elica.
4.1
Materiali di maggior utilizzo
Il primo materiale a venire utilizzato nella costruzione di eliche navali fu la
ghisa, per il suo basso costo, la possibilità di essere fusa e lavorata. Tuttavia
la sua bassa resistenza e scarsa duttilità, la sua bassa resistenza a corrosioni
ed erosioni, il fatto di non riuscire ad ottenere superfici ben finite ed avviate
ed il fatto di essere scarsamente riparabile a seguito di guasti ed incidenti
ne sconsigliarono un ampio utilizzo. la ghisa preferita è certamente quella
grafitica sferoidale.
È usato ancora l’acciaio inossidabile per la sua elevata resistenza ed il
fatto di riuscire ad ottenere finiture superficiali molto spinte; ha però minori
capacità di resistenza alla corrosione marina e minori capacità di resistenza
30
alla fatica. Per tali ragioni si sono imposte, nel tempo, materiali derivati
dalle leghe di rame.
Le leghe di rame a base di bronzo al manganese o a base di bronzo al
nichel-alluminio sono certamente i materiali di maggior utilizzo nella costruzione di eliche navali, per le loro elevate caratteristiche chimico-fisiche. Tra
l’altro presentano elevate caratteristiche di resistenza alla fatica.
Riportiamo nelle tabelle allegate alcune caratteristiche della composizione chimica degli acciai e dei bronzi utilizzati nella costruzione delle eliche
navali.
Riportiamo poi in un’ulteriore tabella le proprietà meccaniche dei materiali usati per la costruzione di eliche. In un’altra tabella si riportano le
caratteristiche di alcuni materiali, inerenti alla robustezza a fatica.
4.2
Sollecitazioni ammissibili
Riportiamo nelle tabelle sottostanti alcuni valori delle sollecitazioni ammissibili per materiali di eliche navali (dati tratti dal Det Norske Veritas; i
valori sono espressi in kg/mm2 ).
Materiali
Ghisa
Acciaio
Ottone ad alta resistenza (HR)
Ottone al Cu − Al ABS − 4
Ottone al N i − Al (lbs/sq.inch)
Navi Monoelica
Diesel Turbina
2.5
2.6
4.1
4.2
4.95
5.1
6.15
6.33
6750
7000
31
Navi Bielica
Diesel Turbina
2.7
2.8
4.35
4.45
5.25
5.35
6.5
6.7
7000
7250
Capitolo 5
La robustezza dell’elica
L’elica di una nave deve avere un’adeguata robustezza strutturale per resistere alle sollecitazioni che vi agiscono. D’altra parte un’elica eccessivamente
“robusta” pesa molto e presenta rendimenti più contenuti. È necessario
allora poter calcolare con certezza le forza che agiscono su di un’elica e
dimensionare adeguatamente le diverse componenti dell’elica.
Le forze che agiscono sulla pala di un’elica provengono dalla spinta T e
dal momento torcente Q dell’elica e della forza centrifuga generata dai giri
dell’elica ruotante sul suo asse. Questi conteggi di queste forze non sono
semplici. Mentre è fattibile il calcolo della spinta e dal momento torcente di
un’elica operante su un’elica che avanza a velocità costante in mare calmo,
è più complesso eseguire questi conteggi con nave in moto in mare ondoso
con l’elica che può fuoriuscire dall’acqua. Pure gli effetti che nascono dalle
manovre della nave sono complessi da valutare. Pure quando l’elica si muove
in acqua calma le forze agenti sull’elica non sono costanti, ma variano durante la rotazione della pala in scia non uniforme in cui ruota l’elica. L’elica
deve pure sopportare le sollecitazioni che si producono durante il montaggio
o lo smontaggio dell’elica o quando l’elica vibra ed è soggetta ad azioni di
corrosione ed erosione.
La definizione della robustezza di pala è quindi un problema estremamente complesso. In pratica, si utilizzano procedimenti semplici, basati su
un numero di semplici assunzioni per definire una sollecitazione nominale.
Il rapporto tra il carico di rottura e la sollecitazione ammissibile (fattore di
sicurezza) è estremamente elevato e varia tra 10 e 20.
Tra le ipotesi assunte nei procedimenti di calcolo per definire le sollecitazioni agenti e la robustezza di pala, si hanno:
1. la pala di un’elica è assimilata ad una trave incastrata nel mozzo;
2. il momento flettente dovuto alle forze agenti sulla pala agisce su sezioni
cilindriche (non piane) cioè su sezioni rilevate a raggio costante;
3. le sollecitazioni agenti sulle sezioni cilindriche vengono calcolate con
32
la teoria delle travi, assumendo gli assi neutri della sezione cilindrica rispettivamente paralleli e perpendicolari alla corda della sezione
espansa;
4. si considerano solo distribuzioni radiali dei carichi lungo la pala, mentre non si considera la distribuzione del carico lungo la corda della
sezione;
5. i conteggi vengono eseguiti solo per la nave in moto a velocità costante;
non si considerano condizioni transitorie o anomali che si generano
nella fase di manovra o in mare ondoso.
Ulteriori semplificazioni vengono fatte quando si adoperano i diversi
metodi utilizzati per calcolare le sollecitazioni di pala.
5.1
Momento flettente generato dalla spinta e dal
momento torcente
Data un’elica avente z pale, con diametro D, avanzante con velocità VA
restando ad n giri e generando una spinta T e richiedendo un momento
torcente Q, si ricercano i momenti flettenti generati sulle sezioni dell’elica
dalla spinta e dal momento.
Sia d T la spinta prodotta dall’elemento di pala di spessore d r dalle z
pale (dal raggio r a quello r + d r). Il momento flettente dovuto alla spinta
d T sulla sezione posta a distanza r0 dall’asse è dato da:
1
d T (r − r0 )
z
d MT =
per cui il momento flettente sulla sezione considerata e dovuto a tutta la
spinta è dato da:
MT =
R
Z
r0
d MT =
R
Z
r0
1 dT
(r − r0 ) d r
z dr
La spinta T ed il momento flettente MT generato dalla spinta agiscono su
di un piano parallelo all’asse dell’elica.
Se d Q è il momento torcente dell’elemento d r delle z pale (tra il raggio r
ed r + d r), la forza che genera questa torsione su ciascuno di questi elementi
in un piano normale all’asse dell’elica è ddQ
z . Il risultante momento flettente
di questa forza sulla sezione di raggio r0 vale:
d MQ =
1
d Q (r − r0 )
rz
Il momento torcente generato dalla torsione è allora:
MT =
Z
R
r0
d MQ =
Z
R
r0
33
1 dQ
(r − r0 ) d r
rz dr
che agisce in un piano normale a quello dell’asse dell’elica (si veda la figura
allegata).
5.2
Momento dovuto alla forza centrifuga
In aggiunta ai momenti dovuti alla spinta ed alla torsione sull’asse, nasce
un momento flettente dovuto alla forza centrifuga delle pale, che agisce in
piani paralleli all’asse e normali ad esso. Se a è l’area della sezione di pala
rilevata al raggio r, la massa dell’elica tra il raggio r0 e la punta di pala sarà
dato da:
Z
R
mb =
ρm a d r
r0
dove ρm è la densità del materiale con cui è fatta l’elica. Il baricentro della
pala dell’elica si troverà su un raggio r dato da:
Z
R
ardr
r0
r= Z
R
adr
r0
per cui la forza centrifuga della pala sarà data da:
FC = mb r (2π n)2 = (2π n)2 ρm
Z
R
ardr
r0
Se la distanza tra il baricentro C della pala ed il baricentro C0 della
sezione di pala al raggio r0 è pari a zC (ed è rilevata come in figura), i
momenti flettenti dovuti all’azione della forza centrifuga agente nel piano
attraverso l’asse dell’elica e la normale ad esso sono rispettivamente pari a:
MR = FC · zC
MS = FC · yC
Il momento flettente MR è dovuto all’abbattimento della pala dell’elica
(rake) ed agisce nella stessa direzione del momento generato dalla spinta
dell’elica MT in eliche con generatrice abbattuta a poppavia del mozzo.
34
Se le pale fossero abbattute in avanti, per cui la linea d’azione della forza
centrifuga passa per il baricentro della sezione di raggio r0 , cioè zC = 0, il
momento flettente dovuto alla forza centrifuga in un piano passante per l’asse dell’elica sarebbe nullo. Il momento flettente MS è generato dall’abbattimento della generatrice ed agisce in direzione opposta al momento flettente
generato dalla torsione MQ in eliche con generatrice abbattuta a poppa.
In eliche con rake moderato, il momento dovuto allo svergolamento delle
pale (skew ) è piccolo e può essere trascurato. In eliche con elevato skew
quest’assunzione non può essere fatto.
5.3
Sollecitazioni agenti sulla sezione di pala
I momenti flettenti rilevati sulla sezione di pala al raggio r0 e causati dalla
spinta, dal momento torcente e dalla forza centrifuga, vanno riportati riferendoli alla sezione di pala, e cioè ai suoi assi principali detti x0 ed y0 (vedi
figura). Abbiamo infatti due riferimenti principali; quello assoluto con gli
assi di riferimento che sono quelli della nave, e quello locale che fa riferimento alla sezione di pala. le componenti dei momenti risultanti lungo gli assi
principali della sezione sono allora:
Mx0
My0
= − (MT + MR ) cos φ − MQ sin φ
= (MT + MR ) sin φ − MQ cos φ
in cui φ è l’angolo del passo della sezione di pala mentre viene trascurata la
componente del momento generato dallo skew.
Se Ix0 ed Iy0 sono i momenti d’inerzia della sezione di pala secondo gli assi
x0 ed y0 , ed a0 è l’area della sezione, si possono determinare le sollecitazioni
dovute al momento flettente e la sollecitazione di trazione dovuta alla forza
centrifuga in ciascun punto della sezione di coordinate (x0 , y0 ). Si ha allora:
S=
Mx0
I x0
y0
−
My0
Iy0
x0
+
FC
a0
Una sollecitazione S indica uno stato di tensione se è positiva, ed uno
stato di compressione se è negativa. È usuale calcolare gli stati di tensione
nei punti estremi di una sezione e cioè sui lembi dei bordi d’entrata e d’uscita
e sui punti della faccia e del dorso di maggior spessore.
35
In sezioni a profilo alare le massime sollecitazioni di trazioni e compressione si rilevano rispettivamente sulla faccia e sul dorso, vicino alla posizione
caratterizzata dal massimo spessore. La sollecitazione massima di trazione
nella sezione alla radice della pala (x ≈ 0.2) è quindi uguale al momento
I
flettente Mx0 diviso per il modulo della sezione yx00 , dove y0 è la distanza
del punto in esame dal baricentro della sezione rilevata parallelamente alla
corda della faccia.
5.4
Metodi approssimati
Il calcolo delle sollecitazioni fatto con metodi esatti richiede la conoscenza dettagliata della geometria dell’elica, il che può essere ottenuto solo con
lo sviluppo dell’elica fatto con la teoria della linea portante e/o della superficie portante. Per le eliche di serie sistematiche sono stati sviluppati
metodi approssimati che hanno dimostrato, in passato, di fornire risultati
soddisfacenti, specie nel progetto preliminare dell’elica.
Un primo metodo è dovuto a D.W.Taylor, che ha esaminato il problema
in dettaglio, ma ha fatto numerose assunzioni per semplificare e ridurre
il numero delle variabili del problema. Con il suo metodo si conteggiano
rispettivamente le sollecitazioni massime di trazione e compressione sulla
sezione x = 0.2 di pala. il conteggio è fatto separatamente per la pala priva
di abbattimento e successivamente si considerano le sollecitazioni aggiuntive
generate dall’abbattimento di pala. le principali assunzioni fatte dal Taylor
sono:
1. la distribuzione degli spessori lungo la pala è lineare;
2. il massimo spessore della pala varia linearmente con il raggio;
3. la sezione presa in esame alla radice è x = 0;
4. il rendimento dell’elica è una funzione lineare del regresso apparente,
nelle normali condizioni operative.
36
Partendo da queste ipotesi si calcolano le sollecitazioni massime di compressione e di trazione, alla radice della pala (x = 0.2) con le seguenti
espressioni:
C0 FD
SC =
t0 2
3 c
znD
D D
t
ST = SC 0.666 + C1
c
Le sollecitazioni addizionali di compressione e trazione e quelle dovute
alla forza centrifuga sono date da:
2
2
SC′
= C2 ρm n D
ST′
= C2 ρm n2 D 2
!
C3 tan ε
−1
2 tD0
!
C3 tan ε C4 tan ε
+ cmax + 1
3 tD0
D
dove C0 , C1 , C2 , C3 e C4 sono coefficienti dipendenti dal
P
D,
mentre:
• PD : potenza al mozzo;
• n: giri dell’elica;
• z: numero di pale;
• D: diametro dell’elica;
c
D:
•
rapporto tra la lunghezza della corda e il diametro della sezione
specificata;
•
t0
D:
•
t
c:
rapporto tra lo spessore sull’asse e il diametro;
rapporto tra lo spessore della sezione in esame e la lunghezza della
corda della sezione in esame;
• ρm : densità del materiale;
• ε: angolo della generatrice abbattuta (rake);
•
cmax
D :
rapporto tra la lunghezza massima di corda dell’elica e il diame-
tro.
Nella versione originale del Taylor tutte le grandezze sono espresse in
unità di misura inglesi.
L’indagine si fa:
1. si sceglie un valore limite della sollecitazione ammissibile;
2. si variano i rapporti
limite prefissata.
t0
D
e si ricerca quello più vicino alla condizione
37
I risultati ottenuti, in termini di SC + SC′ e di ST + ST′ possono essere
t0
. Scelta la sollecitazione limite, si
rappresentati in funzione del rapporto D
t0
ricava il valore di D .
Esistono altri metodi di calcolo approssimati, anche più precisi di quello
del Taylor, dovuti al Burriel e ai signori R.Keyser & W.Armoldus. Tutti
questi metodi sono applicabili ad eliche di serie sistematiche.
5.5
Regolamenti delle società di classificazione navale
Tutte le principali società di classificazione navale (A.B.S., L.R., R.I.Na,
B.V., D.N.V., etc.) riportano espressioni e regolamenti specifici per la verifica dello spessore minimo di pala. La sezione (o le sezioni) prese in esame
sono quasi sempre la x = 0.25 ed x = 0.6. Le norme proposte dal L.R.
(Lloyd Register of Shipping) prevedono sia una verifica alla sezione x = 0.25
che alla x = 0.6. Valgono per eliche tradizionali, cioè non a pale orientabili.
Per eliche aventi un angolo della generatrice abbattuta minore di 25◦ lo
spessore di pala è dato da:
KCA
+ 100
T =
E F U LN
s
3150 M P
E F RU LN
dove:
• K=
G B D 3 R2
;
675
• P : massima potenza asse, in kW ;
• G: densità del materiale, in g/m3 ;
• B: rapporto tra l’area sviluppata e l’area disco;
• D: diametro dell’elica, in m;
38
• R: giri al minuto dell’elica alla massima potenza;
• C: coefficiente pari a 1.0 per x = 0.25 e 1.6 per x = 0.6;
• A: abbattimento della pala in mm (positivo se addietro);
• E: modulo della sezione d’inerzia rilevato sulla faccia, pari a **, ma
può essere preso tra 1.0 e 1.25 rispettivamente per sezioni alari con o
senza orlo d’uscita orientato nel verso del flusso (washback );
• T : spessore della pala, in mm, al raggio considerato, cioè a x = 0.25
o x = 0.6 = 0.6 R;
• L: lunghezza, in mm, della sezione espansa considerata;
• U : carico ammissibile, in N/mm2 ;
• F : pari a:
P0.25
+ 0.8 per x = 0.25 R
D
P0.60
+ 4.5 per x = 0.60 R
D
• N : numero di pale;
• M : pari a:
P0.25
D
5
P0.60
1.35 + P0.7 + 1.35
D
D
1.0 +
3.75
P0.7
D
+ 2.8
39
per r = 0.25 R
per r = 0.60 R
Capitolo 6
La scelta dell’elica
Il progetto di un’elica può essere fatto o attraverso un procedimento di
calcolo che utilizza le teorie dell’elica o utilizzando le serie sistematiche. Il
primo approccio è certamente da preferirsi, ma richiede conoscenze che non
sono ancora disponibili al lettore. In ogni caso richiede pure una preliminare
indagine con le serie sistematiche.
Con il calcolo diretto si riescono a ricavare dati e grandezze che portano
alla scelta del miglior profilo di pala, alla scelta di una distribuzione radiale
ottimale del passo (o del rapporto passo diametro), alla definizione della
miglior distribuzione degli spessori, alla definizione del rapporto AAE0 ottimale, etc.. Con le eliche di serie sistematica, molte di queste grandezze non
sono disponibili, perché vanno scelte quelle tipiche della serie (ad esempio
i profili delle pale, i profili delle sezioni, la distribuzione radiale del passo
e degli spessori, etc.). Pur tuttavia anche da questa indagine scaturiscono
dati ed elementi utilizzabili in un successivo processo di calcolo diretto. tra
i principali dati che si possono scegliere in un indagine fatta con le eliche di
serie abbiamo:
1. IL NUMERO DELLE PALE.
È legato essenzialmente alla necessità di contenere, entro limiti accettabili, le vibrazioni indotte alle eliche sullo scafo o sull’intero sistema
propulsivo e di evitare fenomeni di risonanza alle più caratteristiche
velocità della nave.
Le vibrazioni indotte dalle eliche traggono origine dalle forze fluttanti di superficie connesse al campo di pressione variabile conseguente al numero finito di pale e dalle forze fluttuanti generate dalla
disuniformità di scia assiale e tangenziale.
2. DIAMETRO E NUMERO DI GIRI.
La scelta di un buon accoppiamento del diametro e del numero di giri riveste un carattere di fondamentale importanza nei riguardi delle
caratteristiche di rendimento e di cavitazione dell’elica. In genera40
le la scelta del miglior accoppiamento diametro numero di giri viene
eseguita mediante i diagrammi Bp − δ (o Bu − δ) determinando:
• il numero di giri ottimale corrispondente al massimo diametro
possibile, in relazione alle forme poppiere della nave;
• il diametro ottimale, corrispondente al numero di giri minimo
possibile, in relazione al peso ad all’ingombro dell’apparato motore.
Il numero di giri viene scelto spesso in funzione delle caratteristiche
tecniche dell’apparato motore che fa girare la linea d’alberi e l’elica.
Il diametro dell’elica va scelto invece anche in funzione degli spazi
disponibili a poppa per alloggiare l’elica. Si devono valutare con attenzione le distanze minime delle pale dalla linea della volta di poppa e
dal timone. In particolare vanno rispettate le clearance, cioè le distanze minime dell’elica dallo scafo; queste norme sono imposte dai registri
navali e dagli organi di controllo e servono ad assicurare all’elica un
regolare funzionamento, senza la generazione di eccessive componenti
di pressione.
Una riduzione del diametro rispetto al suo valore ottimale comporta
P
riducendo
un aumento dell’incidenza (poiché aumenta il rapporto D
−1
J ) e si ha quindi una riduzione della pressione sul dorso della pala,
che risulterà più soggetto ed esposto alla cavitazione. Al contrario, un
aumento del diametro rispetto al valore ottimale comporta una riduzione dell’incidenza e quindi una diminuzione di pressione sulla faccia
della pala; la faccia risulterà quindi più sensibile alla cavitazione.
Tuttavia nel progetto di un’elica a giri e potenza prefissati, conviene
ridurre il diametro rispetto al suo valore ottimale di circa il 3 ÷ 4 %
su navi bielica e di circa il 5 ÷ 7 % sulle navi monoelica (N.B.: nelle
carene monoelica lente si arriva anche al 10%). In questo modo l’elica
nelle condizioni di progetto, funzionerà ad un avanzo inferiore a quello
di massimo rendimento ma si evita il pericolo di incorrere in brusche
d indesiderate cadute del rendimento quando l’elica lavora con carichi
più bassi.
41
ηmax
KT
JlavoroJott.
3. DIAMETRO DEL MOZZO d.
Dipende essenzialmente dal numero delle pale e, nel caso di eliche a
pale orientabili, dagli ingombri del comando di variazione del passo.
d
sul rendimento e sulla cavitazione non è
l’influenza del rapporto D
molto sensibile (le eliche si solito cavitano nelle sezioni alte) anche
se, evidentemente conviene ridurre il più possibile il valore di tale
rapporto:
d
= 0.18 ÷ 0.167 per le eliche NSMB
D
Il valore medio per le eliche standard è 0.18÷ 0.22, mentre per le eliche
a pale orientabili è 0.22 ÷ 0.25.
4. RAPPORTO TRA AREA ESPANSA E AREA DISCO AAE0 .
Il valore di tale rapporto è legato alla necessità di contenere entro limiti accettabili lo sviluppo della cavitazione. Tale valore deve essere il
minimo possibile in quanto il rendimento dell’elica diminuisce all’aumentare di AAE0 . Per la sua scelta si usa il criterio di Keller o il criterio di Burril, che consente pure di avere un’indicazione dell’estensione
percentuale della cavitazione.
5. RAPPORTO TRA LO SPESSORE E LA CORDA ct (O TRA
LO SPESSORE E IL DIAMETRO Dt ).
Tali rapporti vengono definiti in modo tale da assicurare alle sezioni di pala un’adeguata robustezza ed un ampio margine di sicurezza
nei confronti della cavitazione (che può generare fenomeni di erosione)
quando l’elica lavora in un campo disuniforme di scia. A tal riguardo
è opportuno notare che, per date distribuzioni di spessore e di curvatura, all’aumentare del rapporto ct aumenta il campo di angoli di
attacco esente da cavitazione (si veda la figura del bucket di cavitazione dei profili), ma si riduce il campo di σ libero da questa condizione
di shock-free entry.
Il rapporto ct ha inoltre una notevole influenza sul rendimento dell’elica, che diminuisce all’aumentare di ct (e Dt ), e sul coefficiente di spinta,
42
che aumenta al crescere di ct .
L’andamento dei tDx = f (x) è generalmente lineare ((x = Rr ) ed è defit
nita assegnando i valori dello spessore sull’asse ( tD0 ) ed in punta ( Dp ).
I valori alle altre sezioni x si ricavano per interpolazione.
6.1
Scelta dell’elica con le serie sistematiche
Il progetto dell’elica mediante le serie sistematiche si basa sull’impiego di
diagrammi che traducono in forma adimensionale i risultati delle esperienze
di elica isolata. Tra le due famiglie di diagrammi intercorrono infatti strette
relazioni ed è possibile passare da una famiglia di diagrammi all’altra.
Ciascun diagramma è relativo ad una famiglia di eliche costituita da un
P
. Tutte le
certo numero di modelli diversi tra loro solo per il rapporto D
altre caratteristiche geometriche (numero di pale z, rapporto AAE0 ed altre
grandezze geometriche) sono invece mantenute costanti per tutti i restanti
modelli della stessa famiglia.
I risultati delle prove di elica isolata della serie B di Wageningen (N SM B)
sono rappresentati mediante due famiglie di diagrammi.
Il primo è quello classico tradizionale, che rappresenta i coefficienti di
spinta KT , di momento KQ ed il rendimento dell’elica η0 in funzione del
P
. Si ha:
coefficiente di avanzo J e del rapporto passo/diametro D
KT =
T
ρ n2 D 4
KQ =
Q
ρ n2 D 5
J=
VA
nD
η0 = J
KT
2π KQ
Il secondo presenta le curve dell’inverso del coefficiente di avanzo J e
del rendimento dell’elica isolata η0 , in funzione del rapporto tra il passo e il
P
e del fattore di potenza Bp . Si ha:
diametro D
0.25 −1.25
KQ
J
= 0.243
PD0.25 N 0.5
ρ0.25 VA1.5
dove:
• N è misurato in giri al minuto (rpm);
• PD è misurato in cavalli inglesi (HP );
• VA è misurato in m/s.
43
N.B.: nel caso specifico dell’equazione ora scritta, il
coefficiente 0.243 consente di rappresentare in forma
adimensionale i diagrammi Bp − δ, per cui si ha:
• N misurato in giri al minuto (rpm);
• PD misurato in cavalli metrici (Cv);
• VA misurato in m/s.
In presenza di altri coefficienti adimensionalizzanti, si esaminino con attenzione le unità di misura usate! I diagrammi
riprodotti sul Principles
of Naval Architecture presentano i
p
coefficienti 0.1739 Bp ; in tal caso:
• N è misurato in giri al minuto (rpm);
• PD è misurato in cavalli inglesi (HP );
• VA è misurato in nodi (kn).
6.2
Utilizzo dei diagrammi KQ0.25 J −1.25 − J −1
Possono essere utilizzati nella fase preliminare del progetto quando sono noti
la sola potenza effettiva PE o quella motore PD e la velocità VS (o VA ). L’uso
di questi diagrammi permette di determinare la combinazione del diametro
e del numero di giri, del rapporto tra il passo e il diametro e del rapporto
AE
A0 , che forniscano il miglior rendimento, compatibilmente con i limiti di
cavitazione imposti.
Nel progetto finale questa scelta può essere vincolata da limiti sul diametro dell’elica o dalle caratteristiche dell’apparato motore. Una volta che questi ultimi siano definit, il numero dei giri che corrisponde ad un particolare
valore della potenza PD può essere stimato.
Si opera solitamente conteggiando il valore di Bp (ad
esempio Bp,1 =
p
0.25 J −1.25 = 0.1739 B . Con questo
N PD0.5 VA−2.5 ); si calcola quindi KQ
p
valore si entra sull’asse delle ascisse portandosi sulla curva del massimo
rendimento. Si rileva quindi:
1
ND
=
J0
VA
Ipotizzando N noto, si rileva D; questo valore, per quanto detto in precedenza, va percentualmente ridotto delle quantità indicate; far ciò vuol dire
ridurre δ0 . Se allora δ1 = k · δ0 (con k = 0.97 ÷ 0.94), si ricaverà un valore
del diametro ridotto.
p
Si rientra allora nel diagramma con il valore di 0.1739 Bp,1 e con il
P
ed η0 .
valore di δ1 appena trovato e si leggono i valori di D
Questi saranno i valori che competeranno alla nostra elica.
δ0 =
44
6.3
Caso generale
Data la curva della resistenza al moto della carena, il motore da installare a
bordo, cioè DHP ed n (rps) o N (rpm), scegliere l’elica ottimale e definire
la velocità che sarà raggiunta dalla nave.
Si opera nel seguente modo:
• DATI:
1. i valori della potenza effettiva totale EHP (o PE ) in funzione
della velocità nave, espressa in nodi (kn) o in m/s; la potenza
effettiva totale tiene conto pure della resistenza delle appendici e
della resistenza dell’aria;
V
PE
→ V0
V1
→ PE0 PE1
V2
PE2
...
...
2. la potenza continua ed a regime del motore (M CR o CM CR) ai
giri prefissati del motore ns ; sia PD la potenza al mozzo;
3. fattori o rendimenti di carena:
– fattore di scia w;
– fattore di risucchio t;
– rendimento rotativo relativo ηrr ;
da cui si ricava il rendimento di carena:
ηH =
1−t
1−w
4. altri dati:
– numero delle pale dell’elica;
– valore del diametro massimo, da non superare, definito dall’applicazione delle clearance.
• Si procede quindi nel seguente modo:
1. si stima un rendimento propulsivo totale ηp ;
2. si calcola PE′ = PD · ηp ;
3. si stima la velocità V1 corrispondente a PE′ (per PE′ = PE );
4. si definiscono almeno altri due valori della velocità V0 e V2 , pari
a V1 ± ∆V , con ∆V intervallo di velocità (pari ad esempio a 0.5
o 1.0 kn), tale per cui nell’intervallo [V0 , V2 ] si trovi la velocità
raggiunta dalla nave.
45
Per ognuna delle velocità (V0 , V1 , V2 ) si eseguono i seguenti
conteggi:
punto
V PE
V0 PE0
V1 PE1
V2 PE2
..
..
.
.
e
VA
VA 0
VA 1
VA 2
..
.
f
g
Bp δ0
Bp0 δ00
Bp1 δ01
Bp2 δ02
..
..
.
.
h
δ1
δ10
δ11
δ12
..
.
i
l
η ′ ηp
η0′ ηp0
η1′ ηp1
η2′ ηp2
..
..
.
.
m
PE′
PE′ 0
PE′ 1
PE′ 2
..
.
n
Vrag
Vrag1
Vrag2
Vrag3
..
.
5. VA = V (1 − w);
√
q
N PD
Bp ;
→
0.1739
6. Bp =
VA2.5
7. entrando nelle ascisse dei diagrammi di potenza dell’elica, sulla
curva di massimo rendimento si ricava δ0 (δ = J −1 );
8. δ1 = δ0 · k∗
dove k∗ è un fattore di riduzione del diametro, che vale:
– k = 3 ÷ 5 % per navi bielica ⇒ k∗ = 0.97 ÷ 0.95;
– k = 5 ÷ 8 % fino al 10 % per navi monoelica ⇒ k∗ = 0.92 ÷
0.95;
9. rientrando nel diagramma con i valori di Bp e con i δ1 si leggono
i valori di η ′ , che non corrispondono più al massimo rendimento,
ma ad una condizione di funzionamento più stabile dell’elica, caP
ratterizzata da un valore superiore di D
rispetto a quello rilevato
per il rendimento massimo η0 ;
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
10. si calcola il rendimento propulsivo totale:
6
7
8
ηp = η ′ · ηH · ηrr
11. si calcola la PE′ con:
PE′ = PD · ηp
12. si intersecano i valori della PE e della PE′ per ogni valore di V ;
46
PE′
b
b
b
PE
Vrag
Dall’intersezione delle due curve si ricava la velocità raggiungibile
dalla nave Vrag .
Nota la velocità raggiungibile Vrag , per quel valore si ricalcola il
P
Bp , il rendimento dell’elica, il rapporto D
ed il rendimento propulsivo totale.
Noti i giri n, si calcola il diametro dell’elica (dal δ o dalla J) e si
verifica che sia inferiore a quello massimo.
• Il calcolo si ripete per diversi rapporti AAE0 . Con criteri di cavitazione
si definisce il valore di AAE0 richiesto e per questo valore si determinano
i dati finali dell’elica.
-2
-1
0
0
47
1
2