PIANIFICAZIONE DEI
TRASPORTI
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
1
Il sistema della domanda di
trasporto
Stima da modello
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
2
La domanda di trasporto
L’obiettivo è di definire la funzione di domanda
dod [K1, K2, ...] = d(SE, T, β)
APPROCCIO CONSOLIDATO
schematizzazione dello spostamento come una
successione di scelte e fattorializzazione della funzione
di domanda globale nel prodotto di sottomodelli
interconnessi, ciascuno finalizzato alla simulazione di
una dimensione di scelta.
MODELLO AD ALIQUOTE PARZIALI
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
La domanda di trasporto
Approcci per la stima delle incognite del problema
i flussi di domanda possono essere esplicitati come il
prodotto dei seguenti termini
(parzializzazione del flusso di domanda)
diod[s,h,m]= [Ni[o] × ni[o]]× pi[d/osh] × pi[m/oshd]




Ni[o] numero di persone della zona (o), della classe (i) che
possono spostarsi per il motivo (s) nella fascia oraria (h)
ni[o] Numero medio di spostamenti compiuti dall’utente (i)
nella fascia oraria (h) e per il motivo (s)
pi[d/osh] Percentuale degli utenti che si spostano [ni[o] 
mi] e che si recano nella destinazione (d)
pi[m/osh] Percentuale degli utenti che spostandosi e
recandosi nella destinazione (d) {[ni[o] × mi]×pi[d/osh]} ,
utilizzano il modo di trasporto (m)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
4
La domanda di trasporto
Approcci per la stima delle incognite del problema
diod[s,h,m]= [Ni[o] × ni[o]]× pi[d/osh] × pi[m/oshd]
[o]
Nnii[o]
Noto (censimento ISTAT)
STIMA
DIRETTA
i
min
[o]
[o]
pi[d/osh]
Metodi di stima
della domanda di
trasporto
pi[m/osh]
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
STIMA
DA MODELLO
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
5
Stima da modello
UN MODELLO
• è una relazione matematica che consente di
associare ad un dato insieme di variabili di
“ingresso” l’incognita (incognite) del fenomeno
UN MODELLO DI DOMANDA
• è una relazione matematica che consente di
associare ad un dato sistema di attività (e.g.
residenti e attivi) e di offerta di trasporto (e.g.
tempi e costi)
al variare del motivo dello
spostamento e della fascia oraria
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
6
Stima da modello
definizione della funzione di domanda
NUMERO DI UTENTI
NELLA ZONA o n[o]
diod[s,h,m,k]=
11
• ni[o]
do[sh]
• mi(SE,T)
• pi[d/osh](SE,T).
MODELLO DI EMISSIONE O
FREQUENZA DEGLI SPOSTAMENTI
p[x/osh]
14
- ATTRIBUTI SOCIO-ECONOMICI SE
- ATTRIBUTI DI LIVELLO DI
SERVIZIO T
• p [m/oshd](SE,T).
i
10
12
• pi[k/oshdm](SE,T)
MODELLO DI DISTRIBUZIONE
p[d/osh]
dod[sh]
MODELLO DI SCELTA O
RIPARTIZIONE MODALE
p[m/odsh]
dod[shm]
13
MODELLO DI SCELTA
DEL PERCORSO
p[k/odshm]
condizionato a
tenendo conto di
variabili di ingresso
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
DOMANDA O/D PER MODO, MOTIVO
FASCIA ORARIA E PERCORSO
dod[s,h,m,k]
7
Stima da modello
definizione della funzione di domanda
I
II
Osservazioni
sperimentali
specificazione
calibrazione
validazione
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
8
Stima da modello
problematiche e tipi di modello
• modelli di mobilità
– scelta del luogo di residenza e di lavoro, la scelta di
possedere la patente di guida e del numero di
automobili sono altrettanti esempi (scelte con un
elevato costo di variazione solitamente assunte
invarianti nel breve periodo)
• modelli di viaggio
– simulano le scelte che caratterizzano il viaggio.
Appartengono a questa categoria le scelte di
frequenza, di destinazione, del modo di trasporto,
del percorso, ecc.
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
9
Stima da modello
tipologie dei modelli di viaggio
•modelli di viaggio
– modelli per la domanda di spostamenti : si assume che le
scelte relative a ciascuno spostamento OrigineDestinazione avvengano indipendentemente da quelle
degli altri spostamenti dello stesso viaggio e degli altri
viaggi.
– modelli per la domanda di sequenze di spostamenti
assumono che l’utente effettui contestualmente scelte
su tutte le dimensioni che intervengono per l’intero
viaggio.
– modelli per la domanda di partecipazione alle attività,
tengono conto dei condizionamenti che avvengono fra i
diversi viaggi di una stessa persona nell’ambito di una
giornata “tipo” e fra i viaggi delle persone appartenenti
alla stessa famiglia.
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
10
Stima da modello
Classificazione dei modelli di viaggio al variare delle
variabili di ingresso
• aggregati
– se i comportamenti osservati sono aggregazione di
singoli comportamenti e se le variabili (attributi) che
vi compaiono sono relative ad un aggregato di
utenti (ad es. tempi e costi medi fra tutti gli
spostamenti che avvengono fra i punti di due zone
di traffico o il numero medio di auto possedute dalle
famiglie di una certa categoria)
• disaggregati
– se le variabili (attributi) che vi compaiono sono
relative al singolo utente (ad es. i tempi e i costi fra i
luoghi effettivi di inizio e termine dello spostamento
o il numero di auto del nucleo familiare di
appartenenza)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
11
Stima da modello
Classificazione dei modelli di viaggio al variare delle ipotesi
interpretative
• comportamentali
–
esplicite ipotesi sul comportamento di
scelta
degli
utenti
(e.g.
scelgo
l’alternativa che costa di meno)
• non comportamentali
–
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
descrivono le relazioni fra la domanda
e le variabili SE e T senza formulare
ipotesi sul comportamento dei decisori
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
12
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale – il paradigma
interpretativo
• Esiste un contesto di scelta…..
–
–
–
–
–
–
utente
origine dello spost.
destinazione spost.
motivo dello spost.
alternative di scelta
alternative disponibili
= STUDENTE
= SALERNO
= FISCIANO
= STUDIO
= modo di trasporto
• modi di trasporto disponibili: 2 alternative (e.g. auto, bus)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
13
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale – il paradigma
interpretativo e le ipotesi
(Ι)
→ il generico utente i
–
(ΙΙ)
considera mi alternative disponibili che costituiscono il suo
insieme di scelta Ii.
→ il decisore i
–
associa a ciascuna alternativa j del suo insieme di scelta
una utilità o “attrattività” percepita Uij
–
sceglie l’alternativa che massimizza tale utilità.
(ΙΙΙ) → l’utilità associata
–
dipende da una serie di caratteristiche misurabili, o
attributi, propri dell’alternativa stessa e del decisore, Uij =
Ui(Xij), dove Xij è il vettore degli attributi relativi
all’alternativa j e al decisore i.
(Ις) → l’analista
–
è in grado di identificare gli attributi ed è in grado di
misurarli
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
14
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale – il paradigma
interpretativo e le ipotesi
•
nel contesto di scelta il generico UTENTE
a) conosce le alternative (es. A e B)
a) associa alle alternative un’utilità che
chiameremo “percepita” (es. UA e UB)
a) sceglie l’alternativa che massimizza la propria
utilità percepita
es. Uscelta = max( UA , UB)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
15
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale – il paradigma
interpretativo e le ipotesi
•
nel contesto di scelta l’ANALISTA
a)
“presumibilmente” conosce le
l’utente ha disponibili (e.g. A e B)
alternative
b)
è in grado di stimare le utilità percepite dall’utente
(combinazione lineare dei attributi → Uj = Σa βa × Xaj)
c)
se l’utente è un “massimizzatore di utilità”, è in grado
di riprodurre i comportamenti di scelta mediante
una funzione a scalino (funzione di scelta):
•
se ∆UBA < 0 ……allora…..(UB < UA )……f(∆UBA ) = 1
•
se ∆UBA > 0 ……allora…..(UB > UA )……f(∆UBA ) = 0
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
che
16
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale – la funzione
di scelta
la funzione di scelta è una funzione a scalino
se ∆UBA < 0 ……allora…..(UB < UA )……f(∆UBA ) = 1
se ∆UBA > 0 ……allora…..(UB > UA )……f(∆UBA ) = 0
1
0
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
∆UAB = UA - UB
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
17
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale – la funzione
di scelta
• la funzione di scelta ha una discontinuità quando ∆UBA = 0
* se l’analista è in grado di identificare e stimare tutti gli attributi che influenzano la
scelta la situazione in cui ∆UBA = 0 non dovrebbe mai verificarsi
1
0
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
∆UAB = UA - UB
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
18
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
• supponiamo che
–
–
–
–
ci sono 100 UTENTI
ciascuno sceglie in base al tempo di viaggio T
ciascuno ha due modi disponibili: auto e moto
tutti hanno gli stessi tempi di viaggio in auto e in bus
per ciascuno utente posso calcolare ∆ΤBA = TB – TA
e in base ai valori di UA > UB si può avere
<0
→ TA > TB
=0
→ TA = TB
(auto uguale al bus…?)
>0
→ T <T
(auto meglio del bus)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
(bus meglio dell’auto)
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
19
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
se le ipotesi assunte sono esatte
cosa ci dobbiamo aspettare?
tutti percepiscono ∆TAB = -10 …………..(TB < TA )
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
∆TAB = TA -TB
∆TAB differenza tra le utilità tra le due alternative
∆TAB < 0
∆TAB> 0
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
20
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
se le ipotesi assunte sono esatte
cosa ci dobbiamo aspettare?
tutti scelgono l’auto)
auto
100
-20
-15
-10
∆TAB = TA -TB
5
-5
15
20
bus
∆TAB differenza tra le utilità tra le due alternative
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
10
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
∆TAB < 0
21
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
se le ipotesi assunte sono esatte
cosa ci dobbiamo aspettare?
L’analista è in grado di misurare l’utilità percepita
auto
-20
-15
-10
∆TAB = TA -TB
5
-5
15
20
bus
∆TAB differenza tra le utilità tra le due alternative
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
10
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
∆TAB < 0
22
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
è possibile simulare la scelta (hp. 100 utenti)
∆TAB < 0 ……allora…..(TB < TA )……f(∆TBA ) = 1
1
il modello
predice
auto
bus
100
%
0
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
∆TAB = TA -TB
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
23
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
può accadere che la misura delle utilità (delle
differenze) non sia coerente con le scelte osservate
1
la realtà
è
-20
80
%
20
-15 -10 %
auto
bus
0.5
0
-5
5
10
15
20
∆TAB = TA -TB
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
24
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
la funzione a scalino…..non consente
una realistica simulazione (previsione)
dei comportamenti di scelta
dei nostri 100 UTENTI!!!
CHE FARE??? 
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
25
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
le osservazioni sperimentali evidenziano che
per 80 utenti ∆UAB < 0 per 20 utenti ∆UAB > 0
1
80
20
0.5
0
-20
-15
-10
∆ UAB < 0
-5
5
10
15
20
∆ UAB < 0
forse il tempo di viaggio (∆TAB ) potrebbe
non essere è l’unica variabile decisionale
OVVERO
Ui = f(tempo di viaggio e costo monetario)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
26
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
introducendo il costo monetario
per 80 utenti
UA = β1 × TA + β2 × CA
UB = β1 × TB + β2 × CB
per 20 utenti
∆UAB = -5
∆UAB = +5
1
80
0.5
0
-20
-15
-10
-5
auto
bus
20
5
10
15
20
∆UAB = UA - UB
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
27
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
la misura delle utilità (delle differenze) continua a
non essere coerente con le scelte osservate
1
auto
il modello
predice 80 ma
io osservo 60
0.5
60
0
-20
-15
-10
5
40
-5
∆UAB = UA - UB
bus
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
10
15
20
il modello
predice 20 ma
io osservo 40
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
28
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
la funzione a scalino…(DI NUOVO!!)..non
consente una realistica simulazione
(previsione)
dei comportamenti di scelta
dei nostri 100 UTENTI!!!
CHE FARE??? 
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
29
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
forse il tempo di viaggio ed il costo monetario
non sono le uniche variabili decisionali
Ui = Ui(tempo di viaggio, costo monetario, età)
per 60 utenti
introducendo l’età
UA = β1 × TA + β2 × CA
UB = β1 × TB + β2 × CB + β3 × età
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
∆UAB = -2.5
per 40 utenti
∆UAB = +7.5
30
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
1
auto
bus
0.5
60
-7.5
0
-20
-15
-10
-5
-2.5
5 10
40
∆UAB = UA - UB
introducendo l’età
UA = β1 × TA + β2 × CA
UB = β1 × TB + β2 × CB + β3 × età
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
15
20
per 60 utenti
∆UAB = -2.5
per 40 utenti
∆UAB = +7.5
31
Stima da modello
Interpretazione del fenomeno della scelta
per quanto l’analista possa “arricchire”
le funzioni di utilità………..
Ui = Ui(β, X)
ci saranno sempre delle approssimazioni….
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
32
Stima da modello
Quale la realtà
a) l’utente
a) è razionale? (conosce tutte le alternative disponibili? )
b) è un massimizzatore di “utilità”?
b) l’analista è in grado di
-
conoscere le alternativi disponibili?
conoscere gli attributi significativi nel processo di
scelta?
stimare gli attributi (gli attributi sono misurabili)?
a) lo stesso utente si comporta in maniera coerente
nello stesso scenario di scelta?
dovendo simulare una classe di utenti omogenei
a) una classe di utenti si comporta allo stesso modo?
[vedi punti a), b) e c)]
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
33
Stima da modello
Quale la realtà
nel contesto di scelta il generico UTENTE
a)
probabilmente conosce le alternative (A e B)
a)
associa
alle
alternative
un’utilità
che
chiameremo “percepita” (UA e UB), ma…
 gli utenti di una classe di utenti, benché omogenea,
non percepiscono la stessa utilità (e.g. studenti con
redditi differenti)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
34
Stima da modello
Quale la realtà
nel contesto di scelta il generico UTENTE
a)
sceglie l’alternativa che massimizza la propria
utilità percepita e.g. Uscelta = max( UA e UB)
– ma le variabili che definiscono la utilità non sempre sono
misurabili, quindi, in contesti di scelta simili si possono
avere comportamenti di scelta differenti…..(e.g.
problemi di salute, stress, paura di guidare..)
– non sempre si massimizza la propria utilità…per quanto
consapevoli che un’alternativa è migliore non la si
sceglie….
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
35
Stima da modello
Quale la realtà
nel contesto di scelta l’ANALISTA
a) “presumibilmente” conosce le alternative che
l’utente ha disponibili (e.g. A e B)
a) è in grado di stimare una utilità percepita
media dall’utente: utilità sistematica VA e VB →
(VA ≠ UA e VB ≠ UB)
a) ipotizza un meccanismo di scelta che
approssimi
i
comportamenti
di
scelta
dell’utente (razionale e massimizzatore di
utilità)
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
36
Stima da modello
Quale la realtà
riportando le differenze dichiarate si può osservare una evidente
dispersione….
e.g. perchè perché le O-D “vere” non sono identiche per tutti
mentre l’analista associa tempi eguali per tutti
valori percepiti
dall’utente
∆UAB = UA - UB
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
stima dell’analista
∆UBA differenza “vera” tra le utilità tra le due alternative
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
∆UAB < 0
37
Stima da modello
Quale la realtà
...riportando le differenze dichiarate e quelle effettuate
si osserva un’ulteriore dispersione
scelte non coerenti
auto
bus
valori percepiti
dall’utente
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
∆TAB = TA -TB
∆UBA differenza “vera” tra le utilità tra le due alternative
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
∆UAB < 0
38
Stima da modello
Quale la realtà
………..la combinazione di tutte queste approssimazioni
comporta che per una prefissata utilità sistematica
misurabile (∆VAB) dall’analista.. le osservazioni non
saranno mai coerenti con il paradigma della max utilità
1
auto
0.5
80
-20
-15
20
-10
0
-5
5
10
15
20
∆VAB = VA - VB
bus
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
39
Stima da modello
Quale la realtà
percentuale di scelta dell’alternativa bus
1
un modello deve essere in
grado di simulare queste %
0.5
80%
20%
auto
bus
0
-20
-15
-10
-5
∆VAB = VA -VB
5
10
15
differenze tra le utilità
∆VAB differenza tra le utilità sistematiche tra le due alternative
∆UAB differenza “vera” tra le utilità tra le due alternative
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
20
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
∆VAB
∆UAB < 0
∆UAB > 040
Stima da modello
Quale la realtà
percentuale di scelta dell’alternativa B
1
0.5
20%
0
10
∆VAB
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
41
Stima da modello
Quale la realtà
percentuale di scelta dell’alternativa B
1
0.5
20%
0
10
∆VAB
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
42
Stima da modello
Il modello matematico
1
0.5
23%
0
10
∆ VAB
LOGIT-BINOMIALE
LOGIT-MULTINOMIALE
p[ B ] =
exp(VB / θ )
exp(VB / θ ) + exp(VA / θ )
p[ j ] =
exp (V j / θ
m
∑
k =1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
)
exp(Vk / θ
)
43
Stima da modello
Le variabili del modello
1
0.5
23%
0
10
∆ VAB
exp(VB / θ )
p[ B ] =
exp(VB / θ ) + exp(V A / θ )
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
44
Stima da modello
Il significato del parametro θ
• Misura la dispersione del
comportamento “vero”
(utilità percepita”)
rispetto
• al comportamento “medio”
(utilità sistematica) che
l’analista ha ipotizzato
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
45
Stima da modello
Il significato del parametro θ
dispersioni piccole
100%
0%
23
0
0
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
∆VBA = VB -VA
differenze tra le utilità
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
46
Stima da modello
Il significato del parametro θ
dispersioni nulle
percentuale di scelta dell’alternativa B
1
0.5
0
-20
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
-15
-10
-5
5
10
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
15
20
47
Stima da modello
Il significato del parametro θ
dispersioni elevate = θ elevato
50%
50%
15
15
0
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
∆VBA = VB -VA
differenze tra le utilità
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
48
Stima da modello
Il significato del parametro θ
percentuale di scelta dell’alternativa B
dispersioni elevate = θ elevato
1
0.5
0
-20
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
-15
-10
-5
5
10
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
15
20
49
Stima da modello
Il significato del parametro θ
• Se θ cresce che cosa succede alla
formulazione matematica del modello?
exp(VB / θ )
exp(VB / θ ) + exp(VA / θ )
• VB/ θ tende a zero, l’exp tende a 1
• il denominatore tende 2 (numero alternative)
• La percentuale di scelta tende a 0.5
• Le alternative hanno stessa %
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
50
Stima da modello
Il significato del parametro θ
• Al variare del parametro θ è possibile
ottenere diversi andamenti
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
θ crescente
0.10
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
0
1
2
3
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
51
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale
paradigma teorico
1.
Ogni utente o classe di utenti omogenei sia un decisore razionale
ovvero un massimizzatore dell’utilità relativa alle proprie scelte
2.
Il generico utente i nell’effettuare la scelta considera mi alternative
disponibili che costituiscono il suo insieme di scelta
3.
Il decisore i associa a ciascuna alternativa j del suo insieme di scelta
una utilità o “attrattività” percepita Uij e sceglie l’alternativa che
massimizza tale utilità
4.
L’utilità associata a ciascuna alternativa di scelta dipende da una
serie di caratteristiche misurabili, o attributi, propri dell’alternativa
stessa e del decisore, Uij = Ui(Xij), dove Xij è il vettore degli attributi
relativi all’alternativa j e al decisore i
5.
L’utilità associata dal generico decisore i all’alternativa j a causa di
numerosi fattori di cui si dirà nel seguito non è nota con certezza
all’osservatore esterno (analista), e pertanto deve essere
rappresentata con una variabile aleatoria.
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
52
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale
paradigma teorico
U ij = V ji + ε
p [ j I ] = Pr [U
i
i
i
j
∀ j∈ Ii
i
j
>U
i
k
∀ k ≠ j, k ∈ I
i
]
pi [j/Ii] = Pr[Vij + V0 – Vik – V0 >εik – εij] =
= Pr[Vij – Vik ≥ εik – εij]
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
53
Stima da modello
Approccio disaggregato comportamentale
paradigma teorico
IL MODELLO COMPLESSIVO DI DOMANDA E’ DEFINITO DA:
Una successione di sottomodelli
Ogni sottomodello è rappresentativo di una dimensione di
scelta e permette di stimare la probabilità che l’utente
iesimo scelga l’alternativa x, prendendo spunto dalla
teoria dell’utilità aleatoria
Ogni sottomodello è definito a partire dalla definizione di:
• Alternative disponibili
• Funzione di distribuzione dei residui aleatori
• Attributi caratterizzanti l’utilità sistematica
• Coefficienti di omogeneizzazione degli attributi
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
54
Modelli per la stima della
domanda di trasporto
Il modello Logit
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
55
Il modello Logit multinomiale
Alcune proprietà
1. Semplicità della formulazione
matematica
1. Indipendenza da fattori additivi
1. Indipendenza dalle alternative
irrilevanti
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
56
Il modello Logit multinomiale
Alcune proprietà: probabilità di scelta in forma chiusa
Il modello Logit Multinomiale
Auto
Bus
Piedi
expV1
100
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
theta
utente 1
utente 2
utente 3
utente 4
utente 5
utente 6
utente 7
utente 8
utente 9
utente 10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
-20
-21
-11
-13
-15
-17
-19
-21
-23
-25
-27
-29
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
expV2
100
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
expV3
100
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
SUM
-33
-36
-39
-42
-45
-48
-51
-54
-57
-60
Pauto
0.51
0.69
0.82
0.90
0.94
0.97
0.98
0.99
0.99
1.00
Pbus
0.19
0.15
0.11
0.07
0.05
0.03
0.02
0.01
0.01
0.00
Ptreno
0.31
0.15
0.07
0.03
0.01
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Probabilità di scelta
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
utente 1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
utente 2
utente 3
utente 4
utente 5 utente 6 utente 7
Pauto
Pbus
Ppiedi
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
utente 8
utente 9
utente 10
57
Il modello Logit multinomiale
Alcune proprietà: probabilità di scelta in forma chiusa
Il modello Logit Multinomiale
Auto
Bus
Piedi
expV1
100
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.08
0.37
1.65
7.39
33.12
theta
utente 1
utente 2
utente 3
utente 4
utente 5
utente 6
utente 7
utente 8
utente 9
utente 10
-20
-17
-14
-11
-8
-5
-2
1
4
7
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
expV2
100
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
expV3
100
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
SUM
-43
-40
-37
-34
-31
-28
-25
-22
-19
-16
Pauto
0.01
0.03
0.12
0.38
0.74
0.93
0.98
1.00
1.00
1.00
Pbus
0.37
0.37
0.33
0.23
0.10
0.03
0.01
0.00
0.00
0.00
Ppiedi
0.62
0.60
0.55
0.38
0.16
0.05
0.01
0.00
0.00
0.00
Probabilità di scelta
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
utente 1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
utente 2
utente 3
utente 4
utente 5 utente 6 utente 7
Pauto
Pbus
Ppiedi
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
utente 8
utente 9
utente 10
58
Il modello Logit multinomiale
Incidenza del parametro θ
Il modello Logit - significato del parametro THETA e sua incidenza sulle probabilità di scelta
Auto
Bus
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
Treno
-12
-24
-36
-48
-60
-72
-84
-96
-108
-120
expV1
100
0.00
0.02
0.05
0.14
0.19
0.30
0.50
0.67
0.84
0.90
theta
0.1
5
10
20
30
50
100
200
500
1000
-11
-22
-33
-44
-55
-66
-77
-88
-99
-110
expV2
100
0.00
0.01
0.03
0.09
0.14
0.24
0.43
0.62
0.81
0.89
expV3
100
0.00
0.01
0.04
0.11
0.16
0.27
0.46
0.64
0.82
0.90
SUM
-33
-66
-99
-132
-165
-198
-231
-264
-297
-330
Pauto
1.00
0.47
0.44
0.40
0.39
0.37
0.36
0.35
0.34
0.34
Pbus
0.00
0.21
0.24
0.27
0.28
0.29
0.31
0.32
0.33
0.33
Ppiedi
0.00
0.32
0.32
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
0.33
Probabilità di scelta al variariare del paramtero THETA
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0.1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
5
10
20
30
Pauto
50
Pbus
100
Ppiedi
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
200
500
1000
59
Il modello Logit multinomiale
Indipendenza da fattori additivi
Il modello Logit - indipendenza da fattori di additivi
Auto
ADD-factor THETA
1
-10
1.1
-8.9
3
-7
7
-3
23
13
16
6
11
1
29
19
10
0
1.9
-8.1
Bus
Treno
theta
-12
-10.9
-9
-5
11
4
-1
17
-2
-10.1
-11
-9.9
-8
-4
12
5
0
18
-1
-9.1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
expV1
100
0.01
0.01
0.03
0.22
665.14
20.09
1.65
13359.73
1.00
0.02
expV2
100
0.00
0.00
0.01
0.08
244.69
7.39
0.61
4914.77
0.37
0.01
expV3
100
0.00
0.01
0.02
0.14
403.43
12.18
1.00
8103.08
0.61
0.01
SUM
-33
-29.7
-24
-12
36
15
0
54
-3
-27.3
Pauto
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
Pbus
0.19
0.19
0.19
0.19
0.19
0.19
0.19
0.19
0.19
0.19
Ptreno
0.31
0.31
0.31
0.31
0.31
0.31
0.31
0.31
0.31
0.31
Probabilità di scelta al variariare del paramtero THETA
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
1.1
3
7
Pauto
23
Pbus
16
Ppiedi
11
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
29
10
1.9
60
Il modello Logit multinomiale
Indipendenza delle alternative rilevanti
P[ A] =
exp(VA / θ )
exp(V A / θ ) + exp(VB / θ ) + exp(VC / θ )
P[ B ] =
exp(VB / θ )
exp(V A / θ ) + exp(VB / θ ) + exp(VC / θ )
P[ C ] =
exp(VC / θ )
exp(V A / θ ) + exp(VB / θ ) + exp(VC / θ )
P[ A] exp(VA / θ )
=
P[ B ] exp(VB / θ )
P[ B ] exp(VB / θ )
=
P[C ] exp(VC / θ )
Se varia l’utilità dell’alternativa “C” le percentuali di scelta di
“A”, “B” e “C” variano ma il rapporto reciproco tra le
percentuali di “A” e “B” rimane costante
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
61
Il modello Logit multinomiale
Indipendenza delle alternative rilevanti
P[ A] exp(VA / θ )
=
P[ B ] exp(VB / θ )
Se l’alternativa “C” è simile all’alternativa “B” è ragionevole
immaginare che:
se aumenta l’utilità di “C”
la variazione della percentuale di scelta di “B” non può essere
uguale alla variazione della percentuale di scelta di “A”
ma
ci si aspetta che la percentuale di scelta di “B” subisca una
variazione maggiore rispetto percentuale di scelta di “A”
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
62
Il modello Logit multinomiale
Indipendenza delle alternative rilevanti
P[ A] exp(VA / θ )
=
P[ B ] exp(VB / θ )
Se aumenta l’utilità BUS in un Logit le percentuali di scelta
dell’auto e del tram diminuiscono allo stesso modo
PA
0,3333
0,3277
0,3220
0,3163
0,3104
0,3045
0,2985
0,2925
0,2864
0,2802
0,2741
0,2679
0,2616
0,2554
0,2491
0,2429
0,2367
0,2304
0,2242
PB
0,3333
0,3445
0,3559
0,3675
0,3792
0,3910
0,4030
0,4150
0,4272
0,4395
0,4519
0,4643
0,4767
0,4892
0,5017
0,5142
0,5267
0,5391
0,5515
PC
0,3333
0,3277
0,3220
0,3163
0,3104
0,3045
0,2985
0,2925
0,2864
0,2802
0,2741
0,2679
0,2616
0,2554
0,2491
0,2429
0,2367
0,2304
0,2242
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
0,60
0,50
0,40
33%
0,30
34%
33%
36%
32%
37%
38%
39%
40%
32%
31%
30%
30%
42%
43%
44%
45%
29%
29%
28%
27%
46%
48%
49%
50%
27%
26%
26%
25%
51%
53%
54% 55%
24%
24%
23%
0,20
22%
0,10
0,00
1
1,05
1,1
1,15
1,2
%auto
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
%bus
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
%tram
63
Il modello Logit multinomiale
Indipendenza delle alternative rilevanti
P[ A] exp(VA / θ )
=
P[ B ] exp(VB / θ )
……..cosa vorremmo
Percentuale d’uso
0,60
55%
53% 54%
51%
49% 50%
48%
46%
44% 45%
43%
42%
39% 40%
38%
36% 37%
33% 34%
33% 31%
30% 29%
28%
27% 25%
24% 23%
22% 21%
19% 18%
17% 16%
14% 13%
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
12%
0,00
1
1,05
1,1
%auto
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
%bus
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
%tram
64
Il modello Logit multinomiale
Utilità percepite non correlate
Il modello Logit - limiti del modello Logit
BUS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Auto
THETA
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10
Bus
Filobus
-12
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
-11
expV1
100
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
theta
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
expV2
100
0.00
0.01
0.01
0.02
0.03
0.05
0.08
0.14
0.22
0.37
expV3
100
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
SUM
Pauto
0.51
0.38
0.31
0.23
0.16
0.11
0.07
0.05
0.03
0.02
-33
-31
-30
-29
-28
-27
-26
-25
-24
-23
Pbus
0.19
0.38
0.51
0.63
0.74
0.82
0.88
0.93
0.95
0.97
Pauto
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
0.51
Probabilità di scelta
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
2
Pauto
3
Pbus
4
5
Pfilobus
6
Pfilo(2)
Pfilobus Pfilo/Pauto
0.31
0.607
0.607
0.23
0.19
0.607
0.14
0.607
0.10
0.607
0.07
0.607
0.04
0.607
0.03
0.607
0.607
0.02
0.01
0.607
7
Pbus(2)
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
8
9
Pfilo(2.)
Pbus
0.19
0.31
0.36
0.40
0.43
0.46
0.47
0.48
0.48
0.49
Pfilobus
0.31
0.19
0.13
0.09
0.06
0.04
0.02
0.01
0.01
0.01
10
65
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
• Per superare le approssimazioni del
modello
Logit
multinomiale
senza
perdere i vantaggi (forma chiusa)
• Il logit-gerarchizzato consente di simulare
la similitudine tra le alternative
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
66
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
Auto
“A”
VA
Bus
“B”
VB
Bus
“C”
VC
Le alternative sono identiche
e hanno la stessa utilità sist. VB=VC
È possibile suddividere il processo decisionale
a) l’utente sceglie tra il gruppo “BUS” e il gruppo “AUTO”
a) L’utente sceglie l’alternativa all’interno del singolo
gruppo
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
67
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
Scelta tra GRUPPO “BUS” e “AUTO”
Schema di scelta
Utilità sistematica
delle alternative
Modello di scelta
bus
auto
VG(B+C)
VA
p[ j ] =
exp (V j / θ
m
∑
k =1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
)
exp (Vk / θ
)
68
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
Scelta all’interno del gruppo tra “BUS B” e “BUS C”
Schema di scelta
Bus B
Utilità sistematica
delle alternative
Modello di scelta
Bus C
VB
p[ j ] =
VC
exp (V j / θ
m
∑ exp(V
k =1
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
k
)
/θ
)
69
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
Modello di scelta
Schema di scelta
bus
Bus B
Modello di scelta P[ B ] =
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
auto
Bus C
exp(Vgruppo− bus / θ )
exp(VB / θ )
×
exp(Vgruppo− bus ) + exp(VA / θ ) exp(VB / θ ) + exp(VC / θ )
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
70
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
P[ B ] exp(VB / θ )
=
P[ C ] exp(VC / θ )
P[ B ] =
P[ A] exp(VA / θ )
=
P[ B ] exp(VB / θ )
exp(Vgruppo − bus / θ )
exp(Vgruppo − bus ) + exp(V A / θ )
P[ C ] =
×
exp(VB / θ )
exp(VB / θ ) + exp(VC / θ )
×
exp(VC / θ )
exp(VB / θ ) + exp(VC / θ )
exp(Vgruppo − bus / θ )
exp(Vgruppo − bus ) + exp(V A / θ )
P[ A] =
P[ B ] =
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
exp(V A / θ )
exp(Vgruppo − bus ) + exp(V A / θ )
exp(Vgruppo − bus / θ )
exp(Vgruppo − bus ) + exp(V A / θ )
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
×
exp(VB / θ )
exp(VB / θ ) + exp(VC / θ )
71
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
• Per potere applicare un tale approccio è
necessario:
– definire le utilità del gruppo BUS
– e l’utilità delle alternative A, B e C
• Il problema vero è rappresentato dall’utilità da
associare al gruppo BUS:
– Approcci semplificato
– Approccio rigoroso: derivazione Logit-gerarchizzato
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
72
Il modello Logit gerarchizzato
Una possibile soluzione
• L’approccio semplificato:
– Utilità media?
– Utilità massima?
• L’approccio + realistico
– Nelle realtà l’utilità del gruppo dovrebbe essere
maggiore sia dell’utilità media sia dell’utilità massima
– Si definisce una variabile che consente di
rappresentare questo fenomeno: la variabile logsum
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
73
Il modello Logit gerarchizzato
La variabile logsum
Vgruppo− BUS = θ ln ∑
G1
VA
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
G2
VB
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
exp(V j / θ ) = θ Yk
j∈ I k
G2
VC
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
VG1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
massima
media
VG2
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
VG2
1
1,025
1,05
1,075
1,1
1,125
1,15
1,175
1,2
1,225
1,25
1,275
1,3
1,325
1,35
1,375
1,4
1,425
1,45
logsum
1,00
VG2
1,693147
1,71846
1,744397
1,770957
1,798139
1,825939
1,854355
1,883382
1,913015
1,943249
1,974077
2,005492
2,037488
2,070055
2,103186
2,136871
2,171101
2,205865
2,241154
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
massima utilità
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
utilità media
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
logsum
74
Il modello Logit gerarchizzato
In sintesi
È possibile suddividere il processo di scelta in una successione
di scelte ognuna interpretabile mediante un modello Logit
Media della v.a. massimo
∑
A
B
C
G j = θ ln
exp ( G j / θ o )
i∈ I k
∑
j∈ I k
exp( V j / θ ) = θ Yk
exp ( Gi / θ o )
exp (V j / θ
i∈ I k
)
exp (Vi / θ
Utilità dell’alternativa
elementare
)
p[ j ] = p[ j / k ] ⋅ p[ k ] =
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
∑
∑
exp(V j / θ
i∈ I k
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
)
exp( δ Yk )
⋅
exp(Vi / θ ) ∑ h exp( δ Yh )
75
Il modello Logit gerarchizzato
Logit multinomiale vs. Logit gerarchizzato
PA
0,3333
0,3277
0,3220
0,3163
0,3104
0,3045
0,2985
0,2925
0,2864
0,2802
0,2741
0,2679
0,2616
0,2554
0,2491
0,2429
0,2367
0,2304
0,2242
PB
0,3333
0,3445
0,3559
0,3675
0,3792
0,3910
0,4030
0,4150
0,4272
0,4395
0,4519
0,4643
0,4767
0,4892
0,5017
0,5142
0,5267
0,5391
0,5515
PC
0,3333
0,3277
0,3220
0,3163
0,3104
0,3045
0,2985
0,2925
0,2864
0,2802
0,2741
0,2679
0,2616
0,2554
0,2491
0,2429
0,2367
0,2304
0,2242
PA
0,2753
0,2726
0,2699
0,2671
0,2643
0,2614
0,2584
0,2554
0,2523
0,2492
0,2461
0,2428
0,2396
0,2363
0,2330
0,2296
0,2262
0,2227
0,2193
PB
0,2731
0,2822
0,2914
0,3008
0,3103
0,3199
0,3297
0,3396
0,3496
0,3597
0,3699
0,3802
0,3906
0,4010
0,4115
0,4221
0,4327
0,4433
0,4539
PC
0,2731
0,2684
0,2637
0,2589
0,2540
0,2492
0,2443
0,2393
0,2344
0,2294
0,2244
0,2194
0,2144
0,2094
0,2044
0,1994
0,1944
0,1895
0,1846
Prof. Massimo Di Gangi
Dipartimento di Ingegneria Civile
0,60
0,50
0,40
33%
0,30
34%
33%
36%
32%
39%
42%
37%
38%
40%
43%
32%
31%
30%
30%
29%
29%
46%
49%
44%
45%
48%
50%
28%
27%
27%
26%
26%
25%
51%
53%
54% 55%
24%
24%
23%
0,20
22%
0,10
0,00
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
%auto
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
%bus
1,8
0,45
36%
1,9
%tram
0,50
0,40
1,85
39%
38%
41%
40%
43%
42%
44%
45%
0,35
0,30
28%
27%
0,25
27%
27%
26%
27%
26%
26%
25%
26%
25%
26%
24%
26%
24%
25%
23%
23%
0,20
22%
22%
22%
21%
21%
20%
20%
0,15
18%
0,10
0,05
0,00
1
1,05
1,1
1,15
1,2
%auto
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
%bus
Corso di Pianificazione dei Trasporti A.A. 2008/2009 - Intro
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
%tram
76