LEZIONE 4 STATO TENSIONALE NEL TERRENO
Per definire il concetto di TENSIONE e quello di DEFORMAZIONE e’ stato
necessario “confondere” la vera natura del terreno con quella di un mezzo
CONTINUO EQUIVALENTE.
Per analizzare e comprendere a fondo la risposta del terreno ad uno stato tensionale,
comprendere cioe’ il suo comportamento meccanico (deformazione e resistenza), e’
necessario ritornare a valutarlo come mezzo MULTIFASE, costituito quindi da uno
SCHELETRO SOLIDO con VUOTI INTERGRANULARI riempiti completamente
di acqua (terreno saturo), in parte da acqua ed in parte d’aria (terreno non saturo), o
totalmente d’aria (terreno asciutto).
I carichi trasmessi al terreno, ad esempio,
dalle
fondazioni
di
un
edificio
si
ridistribuiscono in parte nello scheletro
solido ed in parte come pressione indotta
nel fluido interstiziale.
Quindi, nel caso dei terreni, si pone il
problema
di
stabilire
quale
sia
la
combinazione dello stato tensionale nello
scheletro solido e della pressione del fluido interstiziale.
1
TENSIONE GEOSTATICA
Lo stato tensionale esistente in un punto del terreno ad una data profondita’ z,
dipende dal peso proprio del terreno, dell’acqua e dai carichi esterni (fondazioni, ad
es.) ad esso applicati.
Le tensioni dovute solamente al peso proprio del terreno sovrastante l’elemento
considerato sono dette TENSIONI GEOSTATICHE.
Considerando un caso semplice anche se diffuso di un deposito sufficientemente
esteso, con piano campagna (p.c.) orizzontale e con trascurabili variazioni della
natura del terreno in direzione orizzontale, si puo’ affermare che:
− Non esistono tensioni tangenziali τ sui piani orizzontale e verticale;
− La TENSIONE VERTICALE σz e quella ORIZZONTALE σh sono
TENSIONI PRINCIPALI.
La tensione verticale σz agente su un elemento di terreno posto ad una profondita’ z
dal p.c. e’ pari a:
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TENSIONE VERTICALE TOTALE
σv =γ ⋅ z
Dove γ: peso dell’unita’ di volume totale (grani solidi e acqua)
Nel caso di un terreno stratificato:
σ v = ∑ γ i ⋅ ∆z i
γ ≅ 20 kN/m3 per terreni saturi
γ ≅ 16 kN/m3 per terreni saturi
La tensione orizzontale si trattera’ in seguito.
Esempio
p.c.
Sabbia e ghiaia
γd = 15.5 kN/m3
2m
Sabbia
γ = 19 kN/m3
3m
6m
Per z1 = 2 m
σ v = γ d ⋅ z1 = 15.5 ⋅ 2 = 31 kPa
Per z1 = 6 m
σ v = γ d ⋅ 3 + γ ⋅ ∆z = 15.5 ⋅ 3 + 19 ⋅ (6 − 3) = 103.5 kPa
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PRESSIONI INTERSTIZIALI
La pressione dell’acqua contenuta negli spazi interparticellari, o PRESSIONE
INTERSTIZIALE u, e’ proporzionale all’altezza di risalita dell’acqua hw, all’interno
di un tubo piezometrico:
u = γ w ⋅ hw
Esempio
Calcolare u a z = 6 m
⇒
u = γ w ⋅ hw = 10 ⋅ (6 − 3) = 30kPa
Quanto vale la pressione interstiziale u nella regione di terreno compresa tra la
superficie piezometrica ed il piano campagna?
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Nella zona immediatamente al di sopra della superficie piezometrica il terreno resta
SATURO a causa della RISALITA CAPILLARE dell’acqua negli spazi
intergranulari (pori).
In questa zona le pressioni interstiziali sono negative e pari a :
u = − γ w ⋅ hc
L’altezza di risalita hc della zona satura al di sopra della falda (zona di risalita
capillare) dipende essenzialmente dalla dimensione degli spazi intergranulari.
Al DIMINUIRE della dimensione dei grani, e quindi dei pori, AUMENTA il
fenomeno di risalita.
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L’esistenza di pressioni negative di capillarita’ induce nel terreno una sorta di
COESIONE APPARENTE.
Le altezze di risalita per capillarita’ sono riportate nella tabella a seguire (da Lame e
Washburn, 1946; Hansbo, 1975)
Granulometria prevalente
hcr [m]
GHIAIA
0.05 – 0.3
SABBIA GROSSA
0.03 – 0.8
SABBIA MEDIA
0.12 – 2.40
SABBIA FINE
0.3 – 3.50
LIMO
1.5 - 12
ARGILLA
≥ 10
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TENSIONI EFFICACI
Il comportamento meccanico dei terreni (deformazione e resistenza) NON dipende
SOLO dalle variazioni dello stato TENSIONALE TOTALE.
Anche variazioni delle pressioni interstiziali possono comportare la rottura del
terreno o l’aumento della sua deformazione.
In realta’ il comportamento meccanico dei terreni dipende UNICAMENTE
dall’aliquota di tensione esercitata sulla FASE SOLIDA.
La relazione che regola la ripartizione delle tensioni totali fra lo scheletro solido ed
il fluido interstiziale e’ nota come PRINCIPIO DEGLI SFORZI EFFICACI, e fu
introdotto dal Terzaghi nel 1936 come segue:
“ Tutti gli effetti misurabili di una variazione dello stato di
tensione, come la compressione, la distorsione e la
variazione di resistenza al taglio, sono dovuti
esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci. La
tensione efficace e’ pari alla differenza tra la tensione totale
e la pressione interstiziale σ’ = σ – u”
Le tensioni in un punto possono essere determinate dalla conoscenza delle
TENSIONI TOTALI PRINCIPALI σ1, σ2, σ3.
Se lo spazio intergranulare e’ riempito con acqua avente pressione u, le tensioni
totali possono scomporsi in due parti:
− PRESSIONE NEUTRA u, agente sull’acqua e sui grani in ogni direzione con
uguale intensita’;
− TENSIONE EFFICACE σ’, che ha sede nella fase SOLIDA ed e’ pari a
σ '= σ − u
differenza tra la tensione totale s e la pressione interstiziale u (detta anche
pressione neutra)
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Dal momento che le tensioni efficaci e le tensioni totali sono diverse tra loro (a
meno di pressioni interstiziali nulle, u=0) e’ assolutamente necessario indicarle con
simboli diversi.
σ, τ
TENSIONI TOTALI
σ’, τ’
TENSIONI EFFICACI
Deve sempre essere ben chiaro se le analisi che si stanno effettuando sono in termini
di tensioni totali o efficaci.
Se sono note le condizioni di falda e, quindi, il valore della pressione dell’acqua u0
e’ possibile determinare il valore della tensione verticale efficace σ v
'
σ v' = σ v − u
Esempio
p.c.
Sabbia e ghiaia
γd = 15.5 kN/m3
Sabbia
γ = 19 kN/m3
2m
3m
6m
Dalle espressioni viste e’ possibile osservare che le tensioni efficaci variano sia
cambiando le pressioni neutre u, sia cambiando le tensioni totali σ. ⇒ gli effetti
sono “misurabili” nel terreno.
Nel caso in cui la variazione delle tensioni totali ∆σ corrisponda esattamente con la
variazione di pressione interstiziale ∆u, la tensione efficace rimane INVARIATA.
⇒ gli effetti sono del tutto trascurabili
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Il principio degli sforzi efficaci, applicato alle tensioni verticali, e’ valido anche per
quelle orizzontali in quanto la pressione neutra u agisce in ogni direzione con uguale
intensita’.
p.c.
σv
σh
z
σh
σv
σv , u ⇒
σ v' = σ v − u
σh , u ⇒
σ h' = σ h − u
Nell’ipotesi che σh < σv si ha σh = σ3 e σv = σ1 ed i cerchi di Mohr sono costruiti
come sotto:
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I due cerchi hanno lo stesso diametro (sono soltanto traslati di una quantita’ pari alla
pressione neutra u).
σ n' = σ n − u
τ =τ'
TENSIONE ORIZZONTALE EFFICACE σ’h
La determinazione della tensione orizzontale efficace σ’h , contrariamente a quanto
visto per quella verticale σ’v , costituisce uno dei problemi piu’ complessi della
“Meccanica delle terre”, in quanto il suo valore e’ strettamente legato alla STORIA
TENSIONALE del deposito.
Per STORIA TENSIONALE si intende l’entita’ e durata, in precisa sequenza, delle
tensioni cui e’ stato assoggettato un deposito dalla fase di formazione fino alla
situazione attuale.
Il rapporto tra la tensione orizzontale σ’h e quella verticale σ’v e’ detto
COEFFICIENTE DI TENSIONE LATERALE K:
σ h'
K= '
σv
Tale definizione e’ valida anche quando non si e’ in campo geostatica (carichi
applicati da fondazioni, muri di sostegno, ecc.)
Il valore di K, in caso di tensioni geostatiche, puo’ variare in un intervallo ampio di
valori, in relazione alle vicende subite dal terreno.
Durante la fase di deposizione, un elemento di terreno ad una generica profondita’,
e’ soggetto all’incremento sia delle tensioni verticali, sia di quelle orizzontali.
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In tali condizioni, il rapporto tra σ’h e σ’v e’ detto COEFFICIENTE DI SPINTA A
RIPOSO K0.
σ h' = K 0 ⋅ σ v'
0
0
Tale stato originario, pero’, viene generalemente alterato da altri fenomeni quali,
variazione del livello di falda, erosioni, cementazione chimica, movimenti tettonici,
che possono variare tale rapporto.
In relazione alla STORIA TENSIONALE subita da un deposito, che ne influenza il
comportamento e lo stato tensionale geostatica – K0 - , i terreni possono essere
suddivisi in:
1. TERRENI NORMALCONSOLIDATI
2. TERRENI SOVRACONSOLIDATI
Durante la formazione di un terreno sedimentario,
la tensione totale, in un punto di quota assegnata,
continua a crescere all’aumentare dell’altezza
dello strato di terreno al di sopra del punto stesso.
Le caratteristiche del terreno nel punto P (il suo
grado
di
continuamente
addensamento,
durante
la
ecc.)
variano
formazione
del
deposito.
La rimozione di terreni sovrastanti (ad esempio
per erosione) provoca una riduzione di tensione
nel punto considerato.
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Un terreno soggetto alla tensione di intensita’ pari alla MASSIMA a cui e’ stato
assoggettato nel passato e’ detto NORMALCONSOLIDATO.
Un terreno soggetto ad una tensione di intensita’ MINORE di quella massima alla
quale e’ stato assoggettato e detto SOVRACONSOLIDATO. In tal caso il rapporto
tra la tensione massima “passata” e quella attuale e’ detto GRADO DI
PRECONSOLIDAZIONE OCR (inglese: Over Consolidation Ratio):
σ p'
OCR = '
σv
Per terreni NORMALCONSOLIDATI (NC) il valore di K0 dipende solo dalla
natura del terreno. Si possono usare formule empiriche:
− Terreni coesivi
o Semplificata
⎛ 2
⎞⎛ 1 − sin φ ′ ⎞
K 0 ( NC ) = ⎜1 + sin φ ′ ⎟⎜⎜
⎟⎟
′
1
sin
φ
+
3
⎝
⎠⎝
⎠
K 0 ( NC ) = (1 − sin φ ′)
Dove φ’ e’ l’angolo di resistenza al taglio
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− Terreni non coesivi
Terreni SOVRACONSOLIDATI (OC) il valore di K0 si ricava da quello riferito allo
stesso terreno NC e dal grado di preconsolidazione:
K 0 ( OC ) = K 0 ( NC ) ⋅ OCRα
− per terreni coesivi α = 0.46 ± 0.06
− per terreni non coesivi
Per terreni molto SOVRACONSOLIDATI il valore di K0 puo’ anche essere
superiore a 1.
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Esercizio
Data la sezione geotecnica riportata a seguire determinare:
0
γd = 15.5 kN/m
G + S g = 19.5 kN/m3
3m
3
A
γ = 19 kN/m
S
3
5m
B
γ = 20 kN/m
3
8m
C
1. L’andamento con la profondita’ della tensione verticale totale, efficace e della
pressione neutra;
2. L’effetto di un innalzamento della falda di 3 e 5 m.
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Domanda 1)
Nel punto 0: tensioni totali, efficaci e p.n. sono nulle.
Nel punto A: pressione neutra nulla u = 0 ⇒ σv’ = σv
σ V' = σ V = γ d ⋅ z A = 15.5 ⋅ 3 = 46.5 kPa
A
Nel punto B
A
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ 5 = 50 kPa
σ V = ∑ γ i ⋅ zi = 15.5 ⋅ 3 + 19 ⋅ 5 = 141.5 kPa
B
σ V' = σ v − u = 141.5 − 50 = 91.5 kPa
B
Nel punto C
B
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ (5 + 8) = 130 kPa
σ V = ∑ γ i ⋅ zi = 15.5 ⋅ 3 + 19 ⋅ 5 + 20 ⋅ 8 = 301.5 kPa
C
σ V' = σ v − u = 301.5 − 130 = 171.5 kPa
C
C
Domanda 2) Falda a p.c. (+ 3m)
Nel punto 0: tensioni totali, efficaci e p.n. sono nulle.
Nel punto A
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ 3 = 30 kPa
σ V = γ ⋅ 3 = 19.5 ⋅ 3 = 58.5 kPa
A
σ V' = σ v − u = 58.5 − 30 = 28.5 kPa
A
Nel punto B
A
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ (3 + 5) = 80 kPa
σ V = ∑ γ i ⋅ zi = 19.5 ⋅ 3 + 19 ⋅ 5 = 153.5 kPa
B
σ V' = σ v − u = 153.5 − 80 = 73.5 kPa
B
Nel punto C
B
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ (3 + 5 + 8) = 160 kPa
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σ V = ∑ γ i ⋅ zi = 19.5 ⋅ 3 + 19 ⋅ 5 + 20 ⋅ 8 = 313.5 kPa
C
σ V' = σ v − u = 313.5 − 160 = 153.5 kPa
C
C
Falda a + 5m
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ 2 = 20 kPa
Nel punto 0
σ V = γ ⋅ 2 = 10 ⋅ 2 = 20 kPa
0
σ V' = σ v − u = 20 − 20 = 0 kPa
0
0
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ 5 = 50 kPa
Nel punto A
σ V = γ ⋅ 3 = 10 ⋅ 2 + 19.5 ⋅ 3 = 78.5 kPa
A
σ V' = σ v − u = 78.5 − 50 = 28.5 kPa
A
A
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ 10 = 100 kPa
Nel punto B
σ V = ∑ γ i ⋅ zi = 10 ⋅ 2 + 19.5 ⋅ 3 + 19 ⋅ 5 = 173.5 kPa
B
σ V' = σ v − u = 173.5 − 100 = 73.5 kPa
B
Nel punto C
B
u = γ w ⋅ z w = 10 ⋅ 18 = 180 kPa
σ V = ∑ γ i ⋅ zi = 10 ⋅ 2 + 19.5 ⋅ 3 + 19 ⋅ 5 + 20 ⋅ 8 = 333.5 kPa
C
σ V' = σ v − u = 333.5 − 180 = 153.5 kPa
C
C
⇒ La pressione neutra aumenta della stessa quantita’ delle tensioni totali
⇒ Le tensioni efficaci rimangono INVARIATE
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