LA TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER
Segnali e sistemi per le telecomunicazioni 2/ed
Claudio Prati
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Rappresentazione dei segnali periodici (1)
Un segnale periodico con periodo di durata To puo’ essere rappresentato come
somma di esponenziali complessi con frequenza pari ad un multiplo intero
della frequenza fondamentale fo = 1/ To e con opportuna ampiezza e
sfasamento iniziale.
y (t ) 
 A exp j 2

k  

k

k f ot  k 
 A exp j exp j 2

k  
k
k
k f ot

Per maggior compattezza delle formule conviene introdurre il coefficiente complesso:
Yk  Ak exp  jk 
y (t ) 
ottenendo:

Y
k  
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k
exp j 2 k f ot
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Rappresentazione dei segnali periodici (2)
L’ampiezza Ak e lo sfasamento iniziale  k degli esponenziali
complessi (detti componenti armoniche) cioe’ i coefficienti complessi
si trovano con un semplice integrale:
1
Yk 
To
To / 2


Yk

y (t ) exp  j 2 k f ot dt
To / 2
Lo sviluppo del segnale periodico nelle sue componenti armoniche
viene detto serie di Fourier
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Come si ottengono i coefficienti della serie di
Fourier
1
To
1

To
1

To
To / 2
To / 2

To / 2 n  
n


To / 2
 Y exp j 2


y (t ) exp  j 2 k f ot dt 
 

n f ot exp  j 2 k f ot dt 

 0 se n  k
Yn exp j 2 n  k  f ot dt  


Yk se n  k
To / 2 n  
To / 2

Se n e’ diverso da k l’integrale e’ nullo in quanto si integra un numero intero di
cicli di un segnale sinusoidale.
Se n=k l’integrale e’ diverso da zero in quanto si integra una costante.
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Simmetrie della serie di Fourier di segnali reali
Se il segnale periodico y(t) e’ reale la sua espansione in serie di Fourier gode di
simmetria complessa coniugata:
Yk  Y*k
Ak exp  jk   A k exp  j k 
INFATTI
1
Y 
To
*
k
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To / 2



y (t ) exp  j 2  k f ot dt  Yk
 To / 2
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Serie di Fourier di segnali reali
Se quindi il segnale periodico y(t) e’ reale la serie di Fourier puo’ scriversi come
somma di coseni e seni:

y (t ) 
Y
k  

k


exp j 2 k f ot 








 Yo   Yk exp j 2 k f ot  Y k exp  j 2 k f ot 
k 1

 Yo   Yk exp j 2 k f ot  Yk* exp  j 2 k f ot 
k 1





 Yo  2 ReYk cos 2 k f ot  ImYk sin 2 k f ot 
k 1


 Yo  2 Yk cos 2 k f ot  k

k 1
L’unica armonica che non e’ moltiplicata per 2 e’ quella a frequenza zero
che viene detta la componente continua del segnale.
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Esempi di espansione in serie di Fourier: l’onda quadra
1
1/2
To /2
La componente continua vale 1/2
To /2
t
0.6
Yk
0.4
Yk 
1
To
1
To
To / 4

To / 4



exp  j 2 k f ot dt 
To / 4


cos 2 k f ot dt 
To / 4
sin  k
 k
2
0.2
0
-0.2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
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1
2
3
4
5
6
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k
Le prime 10 armoniche dell’onda quadra
0.8
k=0
k=1
k=3
k=5
k=7
k=9
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-2
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-1
0
1
2
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2
1
1
0
0
-1
-2
-1
-2
0
2
2
2
1
1
0
0
-1
-2
-1
-2
Segnali e sistemi per le telecomunicazioni 2/ed
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0
2
0
2
0
2
Armoniche 0,1,3,5,7
Armoniche 0,1,3,5
2
Armoniche 0,1,3
Armoniche 0,1
Espansione parziale in serie di Fourier dell’onda quadra
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Esempi di espansione in serie di Fourier: la costante
1
t
E’ periodica di un periodo
di durata qualsiasi
La componente continua vale 1
1 per k  0
Yk  
0 per k  0
1
0.5
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
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0
1
2
3
4
5
6
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k
Esempi di espansione in serie di Fourier: l’onda quadra a media nulla
1/2
0
t
To /2
La componente continua vale 0
To /2
0.6
Yk
0.4
1
Yk 
To
1
To
To / 4

To / 4



exp  j 2 k f ot dt 
To / 4


cos 2 k f ot dt 
To / 4
sin  k
 k
2 per k  0
0.2
0
-0.2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
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0
1
2
3
4
5
6
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k
Esempi di espansione in serie di Fourier: l’esponenziale complesso
L’esponenziale complesso e’ di per se un termine dell’espansione in serie
di Fourier:
y (t )  exp  j 2 f ot

La componente continua vale 0
Yk
1
1 per k  1
Yk  
0 per k  1
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
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0
1
2
3
4
5
6
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k
Esempi di espansione in serie di Fourier: il coseno
Il coseno e’ di per se un termine dell’espansione in serie di Fourier di segnali
reali:

y (t )  Yo  2 Yk cos2 k f ot  k 
k 1
La componente continua vale 0
0.6
Yk
0.4
1/2 per k  1
Yk  
 0 per k  1
0.2
0
-0.2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
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0
1
2
3
4
5
6
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k
Esempi di espansione in serie di Fourier: il seno
Il seno e’ di per se un termine dell’espansione in serie di Fourier di segnali
reali:
y (t )  Yo  2 ReYk cos2 k f ot   ImYk sin 2 k f ot 

k 1
La componente continua vale 0
 j
 2 per k  1
 j
Yk  
per k  1
2

 0 per k  1

jYk
0.5
0
-0.5
-6 -5 -4 -3 -2 -1
Segnali e sistemi per le telecomunicazioni 2/ed
Claudio Prati
0
1
2
3
4
5
6
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k