X
Perugia, 16 giugno 2005
Avvertenza: i testi qui proposti sono, talvolta, modificati rispetto alla formulazione iniziale.
X
~
N (8,5, 6)
Consumo nei due mesi
S 60
~
S 60  X 1  X 2  ...  X 60 ,
N (60  8,5, 60  6)
Spesa in euro:
Y  0,07  S 60
P(Y  30)  1  P(Y  30)  1  [(30  0,07  60  8,5) / 0,072  60  6 ]  0,999991
1
Perugia, 13 gennaio 2006
X = N. dipendenti non di sesso femminile
1
X
~
bin(18; 0,62)
18 
18 
P(6  X  9)   0,626  0,3812  ...   0,629  0,389  0,2050
6
9
Con l’approssimazione normale:
P(5,5  S18  9,5)  [(9,5  18  0,62) / 18  0,62  0,38]  [(5,5  18  0,62) / 18  0,62  0,38]  0,2071.
2
Y
~
bin(18; 0,38)
E(Y) = 180,38, Var(Y) = 180,380,62.
2
Perugia, 20 luglio 2006
A1 X = N. pezzi difettosi
X
~
bin(20; 0,03)
E(X) = 200,03, Var(X) = 200,030,97.
A2
B
 20 
 20 
P( X  1)   0,030  0,97 20   0,031  0,9719  0,8802.
0
1
X ~ N(45, 16/24)
P( X  43,5)  P[Z  (43,5  45) / 16 / 24]  1  [43,5  45) / 16 / 24]  0,9669.
N.B.: L’espressione “incasso medio mensile” va intesa nel senso
di incasso medio giornaliero nell’arco di un mese.
3
Perugia, 24 gennaio 2007
A
X = Peso di una confezione
X
~
N(500, 30)
La probabilità che una confezione pesi meno di 490 g è data da
P( X  490)  [(490  500) / 30]  0,0339.
Indicato con Y la v.c. N. di confezioni con peso minore di 490 in 20 prove,
si ha
Y ~bin(20; 0,0339).
Pertanto, la probabilità cercata è
 20 
P(Y  1)  1   0,03390  0,966120  0,5017.
0
4
Perugia, 24 gennaio 2007
B1 X = Durata di una lampadina X
~
 2 (2).
La probabilità che una lampadina duri almeno 6 mesi è
P( X  6)  0,0498.
B2 Indicata con Y80 la v.c. “durata complessiva” di 80 lampadine, si tratta di
calcolare la probabilità che questa v.c. assuma un valore maggiore o
uguale a 180. Ora, Y80 ~ 2 (160); Ne segue che
P(Y80  180)  P[ Z  (180  160) / 2  160 ]  0,1318,
dove si è applicata l’approssimazione normale perché il n. di g.l. è
molto alto. La probabilità esatta (calcolata con Excel) è 0,1332.
5
Perugia, 16 giugno 2005
x1 
B1 Frequenza rel. imprese con non più di 15 addetti nel settore tessile
45
 0,86
52
24  45
xc 
 0,56.
72  52
Frequenza rel. imprese con non più di 15 addetti nel settore ceramica
La proporzione p delle due popolazioni stimata congiuntamente è
Statistica test
z
0 ,33  0 ,86
0 ,56  0 ,44(1/72  1/52)
24
 0,33
72
x2 
 5,87.
Zona di rifiuto: R  {z : z  1,645}.
Decisione: rifiuto dell’ipotesi nulla.
6
Perugia, 16 giugno 2005
B2 Media di addetti nel settore della mecc.: (30 + 10,5 5 +…+175 32)/56 =
111,96
Varianza campionaria: [(10,5-111,96)25+ …+ (175-111,96)2 32]/55 =5.428,86
Intervallo fiduciario: 111,96 ± 1,645(5.428,86/56)0,5
(95,76, 128,15)
B3 Soglia critica nella scala della media: 0,40 + 2,326 (0,40 0,6/180)0,5 = 0,485
Potenza:
  P( X  0,485 | p  0,45)  1  [(0,485  0,45) / (0,45  0,66) / 180 ]  0,17.
N.B.: L’ultima classe viene chiusa a 300.
7
Perugia, 16 giugno 2005
B4 Media di addetti nel settore tessile: (34 + 10,5 20 +…+175 3)/72 =30,687
Varianza campionaria: [(3-30,687)24+ …+ (175-30,687)2 3]/71 =1.040,46
Media di addetti nel settore ceramica: (312 + 10,5 33 +…+175 0)/52=11,731
Varianza campionaria: [(3-11,731)212+ …+ (175-11,731)2 0]/55 =78,008
Statistica test: z 
Zona di rifiuto
30,687  11,731
1.040,46 / 72  78,008 / 52
 4,746 .
R  {z : | z |  1,96}.
Decisione: rifiuto dell’ipotesi nulla.
8
Perugia, 13 gennaio 2006
B1 Media campionaria: (1,49 + 1,50 +…+1,45)/20 =1,42
Varianza campionaria: [(1,49-1,42)2+ …+ (1,45-1,42)2 ]/19 =0,0122
Statistica test:
Zona di rifiuto
t
1,42  1,5
0,0122 / 20
 3,239 .
R  {t :t  1,729}.
Decisione: rifiuto dell’ipotesi nulla.
9
Perugia, 16 giugno 2005
C1 Media campionaria: (0,15 + 0,09 +…+ 0,07) /10 = 0,095
Varianza campionaria: [(0,15-0,095)2+…+(0,07-0,095)2]/9 = 0,0017
Statistica test:
Zona di rifiuto:
t
0,095 0,10
 0,038
0,0017/ 10
R  {t : t  1,838}
Decisione: non rifiuto di H0
10
Perugia, 16 giugno 2005
C2
t0,005 = 3,25
Intervallo fiduciario: 0,095 ± 3,25(0,0017/10)0,5
[0,053, 0,137]
11
Perugia, 20 luglio 2006
Media campionaria: (498+491 +….+ 494) / 5 = 497,8
Varianza campionaria: [(498-497,8)2+…(494-497,8)2]/4= 30,7
χ20,025 = 11,14
χ20,975 = 0,48
Intervallo fiduciario: [(4  30,7)/11,14 ; (4  30,7)/0,48]
[11,02, 255,83]
12
Perugia, 16 giugno 2005
C1 Spesa media dei maschi: (25025 + …+ 3.00018)/83 = 1.087,349
Varianza: [(250-1.087,349)225 +…+ (3.000-1.087,349)218]/82 =
1.072.307,35
Statistica test:
z
1.087,349  1.000
 0,768.
1.072.307,52 / 83
Zona di rifiuto: R  {z : z  1,645}
Decisione: non rifiuto di H0
13
Perugia, 16 giugno 2005
C2 Livello di significatività osservato
  P(Z  0,768 |   1.000)  0,221
C3 Proporzione di coloro che spendono più di 1.000 euro tra i maschi:
Proporzione di coloro che spendono più di 1.000 euro tra le femmine:
Stima congiunta di p:
Statistica test:
z
xc 
18
 0,217,
83
11
x2 
 0,164
67
x1 
29
 0,193
150
0,217  0,164
0,193 0,807(1/ 83  1/ 67)
Zona di rifiuto: R  {z :| z | 2,576}.
 0,818.
Decisione: non rifiuto
14
Perugia, 16 giugno 2005
C4 Spesa media dei maschi: (25032 + …+ 3.00011)/67 = 880,597
Varianza: [(250-880,597)232 +…+ (3.000-880,597)211]/66 = 947.648,12
Intervallo fiduciario:
[880,597-1,96(947.648,12/67)0,5, 880,597+1,96(947.648,12/67)0,5]
[647,497, 1.113,697]
15
Perugia, 24 gennaio 2007
D1 Statistica test:
z
274  300
 10,6
900 150
Zona di rifiuto: R  {z : z  2,326}
Decisione: non si rifiuta l’ipotesi nulla
D2   P( X  300  2,326 280 / 150  303,18 | 320)  P[ Z  (303,18  320) / 280 / 150 ]
 1  (12,3)  1
16
Perugia, 24 gennaio 2007
C1
0,67  1,96 (0,67  0,33 ) 430
(0,63, 0,71)
17
Perugia, 24 gennaio 2007
C2 Statistica test:
z
0,42  0,25
 3,746
0,33  0,67 (1 / 207  1 / 223)
Livello di significatività osservato:  = 0,00009
Decisione: rifiuto dell’ipotesi nulla
18