Massimo Brescia
Ottica Attiva e Adattiva
Parte III
Lezione n. 5
Parole chiave:
ottica attiva e adattiva, sensori
di fronte d’onda
Corso di Laurea:
Laurea magistrale in
Astrofisica e Scienze dello
Spazio
Insegnamento:
Tecnologie Astronomiche
Email Docente:
[email protected]
A.A. 2009-2010
Tecnologie Astronomiche
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ottica attiva con M2 - 1
In analogia con quanto discusso per M1, è necessario esplicitare il passaggio dall’IA (Image
Analysis) ai valori reali di correzione da applicare ai dispositivi disponibili per contro-bilanciare
le aberrazioni da defocus e decentering coma con M2.
•
Rendendo attivo M2 si possono correggere defocus e coma:
Per il defocus si sposta M2 lungo l’asse ottico
Per la coma si ruota M2 intorno al centro di curvatura
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Tecnologie Astronomiche
ottica attiva con M2 - defocusing
Avendo calcolato il coefficiente di defocus mediante un sensore di fronte d’onda con sviluppo in
polinomi di Zernike…
 8 ( F / # )2 
δ def , z = −Cdef ,WSηdef = −Cdef ,WS 

2
 m2 + 1 


η def è il fattore di conversione da aberrazione a spostamento su M2
Cdef ,WS è il coefficiente di defocus misurato dal sensore
m 2 è l'ingrandimento (relativo a M2)
…su M2 si dovrà applicare uno spostamento lungo l’asse ottico pari a
δ def , z
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ottica attiva con M2 – decentering coma - 1
Compiendo una rotazione di M2 intorno al suo centro di curvatura, l’immagine non subisce
spostamenti ma si produce coma. Dunque se il sensore segnala una coma da decentramento
(decentering coma), è possibile correggerlo applicandovi una siffatta rotazione.
In generale, una rotazione intorno al centro di curvatura produce uno spostamento laterale ed una
rotazione. La relazione tra i due effetti è:
δ
α =−
2 R2
α angolo di rotazione
δ spostamento laterale
R2 raggio di curvatura di M2
Avendo a disposizione il valore del coefficiente e dell’angolo di coma (~ρ3cosθ), per correggere il
decentering coma è necessario introdurre un spostamento laterale dato da:
δ = ηcoma Ccoma ,WS =
θ
16 ( F / # )
2
Ccoma ,WS
Ccoma,WS coefficiente di coma misurato dal sensore
ηcoma fattore di conversione per cassegrain
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ottica attiva con M2 – decentering coma - 2
Questo spostamento deve essere introdotto ruotando attorno al raggio r di un angolo dato dal
sensore (θcoma,WS). L’origine del sistema di riferimento è il centro di curvatura di M2. Questa
rotazione è dunque ottenibile da:
∆α =
δ
2 | R2 |
A volte, lo spostamento laterale è decomposto nelle
componenti cartesiane (x,y):
∆x = ηcoma Ccoma ,WS sin (θ coma ,WS )
∆y = ηcoma Ccoma ,WS cos (θ coma ,WS )
E questi valori sono poi trasformati in angoli di rotazione attorno al centro di curvatura:
∆x
∆ε =
rotazione intorno a y
θ coma ,WS = atan2 ( ∆ε , ∆δ )
2 R2
∆y
∆δ =
rotazione intorno a x
2 R2
δ = ∆x 2 + ∆y 2
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ottica attiva con M2 – decentering
Se M2 è ruotato intorno ad un punto neutrale (coma free point) di M1, la rotazione non introduce
coma, ma soltanto uno spostamento laterale sul piano focale. Questa proprietà può essere usata
per tiltare M2 senza introdurre coma additivo.
Interessante lettura consigliata (disponibile nella bibliografia del corso):
Analytical expressions for field astigmatism in decentered two mirror telescopes and
application to the collimation of the ESO VLT, L. Noethe & S. Guisard, A&A Suppl. Ser. 144,
157-167 (2000)
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ottica attiva con M2 – sintesi
Spostamento laterale di M2
(decentering )
Rotazione intorno al centro di
curvatura di M2
(tilt con decentering-coma)
Rotazione intorno al punto neutro
di M1 (tilt senza coma)
Spostamento di M2 lungo l’asse
ottico (defocus)
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ottica attiva con M2 – Hexapod - 1
L’hexapod è un dispositivo composto da 2 superfici esagonali unite da 6 aste a lunghezza
variabile. Una delle 2 superfici è fissa, mentre l’altra è mobile e gode di 6 gradi di libertà
(Stewart platform)
z
traslazione nello spazio (x,y,z)
rotazione attorno agli assi (ψ attorno ad x, θ attorno ad y, φ
attorno a z)
x
y
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ottica attiva con M2 – Hexapod - 2
La funzione primaria di un tale oggetto è
quella di posizionare con accuratezza di 1
micron la piattaforma mobile nello spazio. Ciò
anche in condizioni di device inclinato (a
diverso gradiente gravitazionale).
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Hexapod – principio di azionamento
Il meccanismo è teoricamente semplice: le 6 aste variano la loro lunghezza lineare e in modo
reciprocamente vincolato descrivono rotazioni e traslazioni della piattaforma mobile nello spazio.
Il problema è dunque legato al calcolo della lunghezza delle 6 aste, una volta definita la posizione
della piattaforma (cinematica inversa) o, in modo duale, la determinazione della posizione ed
orientazione della piattaforma, note le lunghezze delle aste (cinematica diretta)
•
Cinematica Inversa:
conosciuta la posizione del piano mobile nello
spazio si determina la lunghezza delle aste
Li =
•
∑ (p
6
i =1
mi
− p fi
)
2
Cinematica Diretta:
conosciuta la lunghezza delle aste si determina la
posizione del piano mobile nello spazio
−1
∆q = H ∆L
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Hexapod – cinematica inversa - 1
Si definisce posizione di riposo dell’hexapod quella nella quale le 2 superfici sono parallele e le
lunghezze delle aste sono uguali. In tali condizioni si possono definire le posizioni dei punti fissi
e mobili in un generico sistema (x,y,z) di riferimento:
 x fi 
 xmi 0 
 


Pfi =  y fi  e Pmi 0 =  ymi 0  , i = 1,..., 6
 


z
z
 fi 
 mi 0 
La lunghezza delle aste nella posizione di riposo è semplicemente:
Li 0 =
(x
mi 0
− x fi
) +(y
2
mi 0
− y fi
) +(z
2
mi 0
− z fi
)
2
(1)
Si consideri ora il vettore q, le cui componenti sono i gradi di libertà in traslazione e rotazione
della piastra mobile:  x 
 ∆x 
 


y
∆
y
Un
qualsiasi
spostamento
della
 


z 

piastra è allora rappresentabile dal vettore
∆z 
q= 
ψ 
θ 
 
ϕ 
∆q = 

 ∆ψ 
 ∆θ 


 ∆ϕ 
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Hexapod – cinematica inversa - 2
Il vettore spostamenti della piastra porterà ovviamente i vari punti mobili dalla precedente
configurazione alla generica posizione diversa:
'
Pmi 0
 xmi 
 xmi 0 
 


'
=  ymi 0  → Pmi =  ym' i 
 ' 


 zm 
 zmi 0 
 i
La parte rotazionale si esprimerà mediante la matrice di rotazione R, ottenuta dalla composizione
di rotazioni elementari attorno ai tre assi: R = R R R
(2)
ψ
1
0
0



Rψ =  0 cos ( ∆ψ ) − sin ( ∆ψ ) 
 0 sin ( ∆ψ ) cos ( ∆ψ ) 


θ
ϕ
 cos ( ∆θ ) 0 sin ( ∆θ ) 


Rθ = 
0
1
0

 − sin ( ∆θ ) 0 cos ( ∆θ ) 


 cos ( ∆ϕ ) − sin ( ∆ϕ ) 0 


Rϕ =  sin ( ∆ϕ ) cos ( ∆ϕ ) 0 

0
0
1 

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Hexapod – cinematica inversa - 3
Il vettore traslazione V permette invece di esprimere la componente di traslazione, per cui alla
fine si ottiene la seguente espressione per la generica nuova posizione dei punti mobili:
 ∆x 
 
V =  ∆y  → Pm' i = RPmi + V
 ∆z 
 
i=1...6
Le lunghezze delle aste dopo una roto-traslazione saranno allora:
Li =
(x
'
mi
− x fi
) +(y
2
'
mi
Che possiamo denominare per brevità così: dati
− y fi
) +(z
2
'
mi
− z fi
)
2
si = Pm' i − Pfi = RPmi − Pfi
Li = six + siy + siz = G ( si )
2
2
2
(3)
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Hexapod – cinematica diretta - 1
Per una generica piattaforma hexapod, non esiste una soluzione analitica in forma chiusa per il
problema di determinare la sua posizione nello spazio, note le lunghezze delle aste. Esistono
soluzioni parziali per problemi analoghi.
Il problema si può dunque formulare così: trovare il vettore ∆q note le lunghezze Li (i=1…6).
Le equazioni non lineari possono essere linearizzate nell’intorno di un generico punto iniziale,
non necessariamente coincidente con la posizione a riposo della piattaforma:
T
q0 = ( x0 , y0 , z0 ,ψ 0 , θ 0 , ϕ0 )
Sviluppando in serie la funzione (3) delle lunghezze, si ottiene:
 dG
dG
L = L0 +
( q − q0 ) + ... ⇒ ∆q ≈ 
dq q = q0
 dq
−1

 ∆L ≈ H − 1 ∆L

q = q0 
Un generico elemento della matrice H (con i dovuti passaggi intermedi) è allora:
dG ( si ) dG ( si ) dR
=
Pmi 0
dq j
dsi
dq j
T
H i, j =
(4)
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Hexapod – cinematica diretta - 1
A questo punto si dovranno esplicitare le colonne di H, che saranno le derivate della funzione G()
rispetto ai tre assi e ai tre angoli di rotazione
dG ( si ) xmi 0 − x fi dG ( si ) ymi 0 − y fi dG ( si ) zmi 0 − z fi
=
,
=
,
=
dx
Li 0
dy
Li 0
dz
Li 0
dG ( si )
dψ
T


=  Pmi 0 − Pfi  Rψ Pmi 0
 3 x1 3 x1  3 x 3 3 x1
dG ( si )


=  Pmi 0 − Pfi  Rθ Pmi 0
 3 x1 3 x1  3 x 3 3 x1
dG ( si )


=  Pmi 0 − Pfi  Rϕ Pmi 0
 3 x1 3 x1  3 x 3 3 x1
dθ
dϕ
T
T
Ottenuta la matrice H, si può calcolare con sufficiente precisione la funzione voluta:
−1
∆q = H ∆L
(5)
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Modello dell’hexapod - 1
Avendo a disposizione le funzioni analitiche di cinematica diretta e inversa, si può procedere alla
realizzazione di un modello di hexapod, utile per verificare la fattibilità delle rototraslazioni
imposte dal calcolo dei coefficienti di defocusing, tilt e decentering coma mediante modello
ottico di ray tracing.
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Modello dell’hexapod - 2
Nell’interfaccia utente del modello in Labview, l’utente può scegliere posizione e orientamento
della superficie mobile dell’hexapod, inserendo i 6 parametri e l’incertezza massima accettabile
(tolleranza d’errore).
input
Calcolo posizione piastra a partire da quella
di riposo (iniziale) o dall’ultima calcolata
Posizioni finali dei
punti mobili nello
spazio
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Modello dell’hexapod - 3
Tali dati saranno poi elaborati dal cuore matematico del modello (che implementa le funzioni
analitiche della cinematica) ed in uscita si avranno i grafici 2D o in alternativa il grafico a barre
delle lunghezze delle aste e le coordinate cartesiane dei 6 punti che identificano la superficie
mobile (Pmi)
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Algoritmo matlab embedded in Labview
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Algoritmo del modello hexapod - 1
L’algoritmo, scritto in Matlab e inglobato nello schema grafico di Labview, permette di sfruttare
in pieno tutte le potenzialità dei due ambienti di sviluppo (matematico-matriciale di Matlab e
controllistico-grafico di Labview). Ovviamente la parte in Matlab è il cuore del sistema.
La struttura del programma è la seguente:
1. si acquisiscono i dati esterni (GUI) e si definisce la posizione di riposo dell’hexapod: Pf
rappresenta la matrice coordinate dei punti fissi, Pmi la matrice delle coordinate punti mobili
2. si decide se calcolare la nuova posizione della superficie mobile a partire dalla posizione di
riposo (assoluta), oppure dalla posizione precedente (relativa);
3. si estraggono da Pmi le coordinate dei sei punti identificanti la superficie mobile;
4. si definiscono le unità di misura delle variabili in ingresso (mm per le posizioni x,y,z, e
arcosecondi per l’orientazione ψ,θ,φ);
5. si applica la cinematica inversa: creazione della matrice di rotazione R e del vettore di
traslazione V;
6. si calcola la nuova posizione della superficie: Pm = RPmi + V;
7. si calcola la lunghezza delle aste
6
Li =
∑ (p
i =1
8. Si calcolano gli errori sulle lunghezze delle aste
mi
− p fi
)
2
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Algoritmo del modello hexapod - 2
Mediante l’algoritmo illustrato prima, si ha una prima stima di
L e, applicando la cinematica diretta, si calcola la nuova
posizione raggiunta dai punti mobili. Questo nuovo insieme di
coordinate permette di calcolare la nuova lunghezza stimata
delle aste. La convergenza dell’algoritmo si raggiunge, dopo
un numero n di iterazioni variabile, nel momento in cui la
differenza in valore assoluto tra L e la stima risulta minore
della soglia fissata.
Nel caso reale si imposta una soglia che sia il miglior
compromesso tra isteresi del dispositivo ed errore di
convergenza dell’algoritmo, effettuando una serie di test
euristici in cielo e tenendo sempre sotto controllo l’errore
globale indotto sul piano focale. Per ottiche attive utilizzate
nelle correzioni di M2, i tempi in gioco sono abbastanza lenti
(le frequenze tipiche sono attorno a 0.03 Hz) da giustificare un
metodo iterativo come quello illustrato.
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Note su isteresi meccanica
L'isteresi è la caratteristica di un sistema di reagire in ritardo alle sollecitazioni applicate e in
dipendenza dello stato precedente.
Il termine, derivante dal greco υστέρησις (hystéresis, "ritardo"), fu introdotto nel senso moderno
da Ewing nel 1890.
Se la risposta di un sistema con isteresi viene rappresentata in un grafico in funzione dello
stimolo, si ottiene una caratteristica curva chiusa (grafico a destra). In un sistema privo di isteresi
la curva costituisce una linea singola. In presenza di isteresi si ottiene invece uno sdoppiamento
della curva: se percorsa da sinistra a destra si ha un cammino, se percorsa in senso inverso se ne
ottiene un altro. In molti dei fenomeni fisici in cui si ha tale caratteristica si ottengono due tratti
orizzontali: uno superiore ed uno inferiore. Questi rappresentano i limiti di saturazione.
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errore di posizionamento
Per ovvie considerazioni costruttive, l’hexapod presenta incertezze sulle lunghezze aste, che
introducono un’isteresi di posizionamento nello spazio a 6 gradi di libertà. Il limite in risoluzione
per sistemi del genere non può scendere sotto il micron. Con la successione di posizionamenti nel
tempo, tali errori si propagano, creando alla lunga un effetto anche macroscopico. Una soluzione
è ad esempio compiere un RESET alla posizione di riposo, tra un posizionamento e l’altro, per
limitare i danni (si presuppone che vi siano dei sensori meccanici che individuino univocamente
la posizione di riposo, detti limit switches)
Si può anche procedere per via analitica, con
un processo iterativo. Il procedimento si basa
su un valore soglia, impostato dall’utente,
che rappresenta la massima incertezza
accettabile sulla lunghezza delle aste.
Nella simulazione, ovviamente, la soglia
può essere anche minore del limite
meccanico reale del dispositivo.
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Combinazione ray tracing & hexapod - 1
Il modello ottico di un telescopio, unito al modello di un hexapod, consente di verificare e
definire i parametri costruttivi dell’hexapod, inserendo gli effetti di una roto-traslazione di M2
nel modello di ray tracing e verificandone il contributo in termini di efficienza sul piano focale.
La prima cosa dunque è dotarci del modello di un telescopio. Usiamo per esempio un
altazimutale 1.5m Cassegrain Ritchey Chretien F/8.3, dotato di secondario attivo.
Surfaces
:
7
Stop
:
2
System Aperture
: Entrance Pupil Diameter = 1529.9
Glass Catalogs
: SCHOTT
Effective Focal Length :
122.4894 (in air)
Effective Focal Length :
122.4894 (in image space)
Back Focal Length
:
4215.199
Total Track
:
4150.219
Working F/#
:
8.33399
Image Space NA
: 0.05986911
Object Space NA
: 7.6495e-008
Stop Radius
:
764.95
Paraxial Image Height :
28.35214
Entrance Pupil Diameter :
1529.9
Exit Pupil Diameter :
2.164305
Exit Pupil Position :
-2962.593
Field Type
: Angle in degrees
Maximum Field
:
0.153
Lens Units
: Millimeters
Angular Magnification :
1.758895
Fields
:6
Field Type: Angle in degrees
#
X-Value
Y-Value
1
0.000000
0.000000
2
0.053000
0.053000
3
0.000000
0.075000
4
0.000000
0.100000
5
0.000000
0.108300
6
0.000000
0.153000
Wavelengths : 7
Units: µm
#
Value
Weight
1
0.400000
1.000000
2
0.500000
1.000000
3
0.600000
1.000000
4
0.700000
1.000000
5
0.800000
1.000000
6
0.900000
1.000000
7
1.000000
1.000000
Weight
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
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Combinazione ray tracing & hexapod - 2
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Combinazione ray tracing & hexapod - 3
Notare le superfici 1 e STO, rispettivamente Atmospheric e Zernike Standard. La prima è usata
per caratterizzare il modello rispetto al sito finale. La seconda per caratterizzare i contributi di
aberrazione di alto ordine sulla superficie del primario, utili per verificare l’OS al variare della
posizione del secondario attivo.
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Combinazione ray tracing & hexapod - 4
Colonne della superficie “atmospheric”
Colonne delle superfici “Coordinate Break” che simulano le rototraslazioni del secondario.
Notare il tipo “P” o “Pick-up surface” rispetto alla surface 3, in modo da rendere automatico
l’effetto combinato tra i due Coordinate Break prima e dopo il secondario.
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Combinazione ray tracing & hexapod - 5
Esiste però il problema di far corrispondere gli spostamenti del secondario tra i due modelli.
Infatti, è importante l’ordine in cui i tilt e i decentering vengono applicati alla superficie e
affinché vi sia piena corrispondenza tra le due simulazioni è strettamente necessario che gli
spostamenti vengano fatti nello stesso ordine in entrambi i modelli.
Riferendoci alle seguenti matrici di roto-traslazione, nella funzione di Labview-Matlab la formula
totale di roto-traslazione viene fatta secondo la sequenza: tilt_x, (2) tilt_y, (3) tilt_z, e poi i
decentering. Quindi è necessario che nelle righe dei coord breaks sia specificato il medesimo
ordine della sequenza di roto-traslazioni
Oltre ai campi di decenter e tilt (che corrispondono perfettamente ai
cos (ϕ z ) − sin (ϕ z ) 0
6 parametri di roto-traslazione in matlab, a parte il decentering in Z
Rz = sin (ϕ z ) cos (ϕ z ) 0
che poi sarebbe il defocus, facilmente impostabile variando la
0
0
1
distanza di M2 da M1 in zemax), vi è il campo “Order”. Questo è
impostabile con il valore 0 oppure 1. Il valore stabilisce l’ordine di
cos (θ y ) 0 sin (θ y )
esecuzione delle roto-traslazioni. In particolare per avere lo stesso
ordine di matlab occorre inserire il valore 1.
Ry =
0
1
0
I valori dei campi di decentering e tilt vanno messi in [mm] per i
− sin (θ y ) 0 cos (θ y )
decentering e in [deg] per i tilt, mettendo gli stessi valori poi in
matlab (attenzione alle unità di misura).
Nella riga dei coord breaks prima del secondario si impostano
1
0
0
Rx = 0 cos (ψ x ) − sin (ψ x ) direttamente i valori di decentering e tilt.
0 sin (ψ x ) cos (ψ x )
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Combinazione ray tracing & hexapod - 6
Nella superficie 5, Coord Break dopo il secondario, occorre impostare gli stessi valori di rototraslazione della riga 3. Per fare ciò in automatico si devono impostare i campi decenter, tilt e
Order in modo parametrico (tipo pick-up) rispetto alla riga 3. In questo modo si deve agire
solamente sulla riga 3 per impostare le roto-traslazioni.
Quindi, si può procedere alle simulazioni:
1. impostare la superficie M1 di tipo zernike standard.
2. impostare un’aberrazione per volta (come volete voi) nella riga relativa alla superficie
Zernike.
3. verificare lo stato degli spot (magari ci si può riferire in prima istanza al field 1 (quello
centrale).
4. impostare una roto-traslazione (una volta definito l’ordine di applicazione) e verificare che si
abbia una correzione dello spot.
5. riportare la roto-traslazione, a valle della verifica in zemax, in matlab in modo da ottenere la
lunghezza delle aste per quella deformazione.
6. riportare i risultati di ogni singola simulazione completa in una tabella in modo da correlare
in maniera visibile ed esaustiva i risultati del test
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Combinazione ray tracing & hexapod - 7
Dal punto di vista concettuale i punti corrispondono alla seguente metodologia:
Con i punti 1, 2 e 3 delle azioni, la simulazione si basa sull’ipotesi di avere a disposizione un
sensore di shack-hartmann con cui ottenere un feedback sullo stato del sistema ottico, come se si
facesse una verifica in cielo con il telescopio. In pratica forziamo noi (o lasciamo il compito a
Zemax in automatico) la presenza di aberrazioni da disallineamento.
Il punto 4 rappresenta la movimentazione dell’hexapod e quindi una contro-correzione del
sistema ottico aberrato per farlo diventare nuovamente allineato.
Il punto 5, rappresenta solo un modo per poter riportare nei risultati la posizione reale
dell’hexapod in termini di allungamento delle aste.
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Progettazione hexapod - 1
Particolari di interfacciamento e sostegno M2 con hexapod, con FEA (Finite Element analysis).
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Progettazione hexapod - 2
particolare del sistema di leve astatiche per
il centering di M2 durante l’inclinazione
del telescopio.
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Progettazione hexapod - 2
particolare del sistema di leve astatiche per
il centering di M2 durante l’inclinazione
del telescopio.
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Tools per integrazione hexapod - 2
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Tool per integrazione hexapod - 2
Sistema per montaggio M2 nella cella al
telescopio