Il suono:
la lunghezza d'onda
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Onde stazionarie (I)
Ipotizziamo che un’onda sonora, con direzione
individuata dall’asse x, nella sua forma più
semplice, possa essere rappresentata dalla
funzione: A sen[2(x/ - ft)].
Se l’onda è riflessa da un ostacolo senza subire
attenuazioni, si forma una seconda onda
regressiva, con velocità di propagazione
opposta alla prima, di equazione:
A sen[2(x/ + ft)]
che si sovrappone all’onda progressiva.
L’interferenza delle due onde è uguale a:
2A sen(2x/cos2ft),
ovvero il prodotto di due onde sinusoidali, i cui
argomenti dipendono in modo distinto dalla
coordinata spaziali x e da quella temporale t.
Onde stazionarie (II)
Consideriamo il caso ideale in cui l’onda,
confinata tra pareti distanti l non abbia alcuno
smorzamento. L’interferenza tra onda incidente
e riflessa si ripete ciclicamente. Nell’alternanza
di sovrapposizioni è possibile che alcuni punti
dell’onda risultante non subiscano variazioni
(siano sempre nella stessa posizione), se ciò
accade all’estremità dei vincoli (le due pareti)
devono essere necessariamente nulli i valori
della funzione. Per avere un’onda stazionaria,
sen(2x/) deve essere uguale a zero per
x=0 e per x=l.
Onde stazionarie (III)
Ciò comporta un valore multiplo di n per
l’argomento 2l/, o, in altre parole, che il
doppio della distanza tra gli estremi sia un
multiplo della lunghezza d’onda: 2l=n. Così si
realizza un’interferenza con dei nodi fissi
all’estremità e ampiezza variabile nel tempo
secondo l’espressione: 2A cos(2ft). Il
massimo dell’onda si realizza per
sen(2x/)=1, a metà tra due nodi successivi.
Il primo modo si ha per n=1 e =2l e la
frequenza del tono fondamentale è f=v/2l, con
v velocità dell’onda nel mezzo. Le lunghezze
d’onda delle altre soluzioni, n=2l/n (con
frequenze fn=nv/2l), sono sottomultipli interi
del tono fondamentale.
Onde stazionarie (IV)
Si possono visualizzare le onde stazionarie
utilizzando, invece del suono, le oscillazioni
della sorgente sonora per eccellenza: una
corda, fissata agli estremi, fatta vibrare (vedi
figura sotto)
Onde stazionarie (V)
Il modello di un’onda sonora
confinata in un tubo chiuso ha un
corrispettivo ideale in un cilindro con
estremità aperte. In tal caso i nodi
sostituiscono gli antinodi ( ventricreste) e viceversa (figura accanto)
ma le armoniche si hanno ancora per
l=n/2 come nel caso di un tubo
chiuso. Infine se la cavità ha una
estremità aperta e l’altra chiusa per
la formazione di onde stazionarie alla
lunghezza l dovrebbe corrispondere
per il primo modo normale un quarto
di lunghezza d’onda, per il secondo
3/4 e così via, secondo la relazione
l=(2n+1)/4 con n=0, 1, 2,…………
Il sistema sorgente-risonatore. La
cavità come filtro. (I)
Affinché una sorgente possa produrre un’onda sonora di
intensità apprezzabile deve essere accoppiata a un
risonatore. Nel caso del diapason, una semplice cassetta
in legno a forma di parallelepipedo, aperta a
un’estremità, che risuona alla frequenza caratteristica di
440 Hz.
Utilizzando due diapason è facile vedere che, cambiando
la frequenza di uno dei due, tramite dei morsetti, il
secondo risponde al primo, messo in vibrazione col
martelletto, solo quando la nota che raggiunge la
cassetta ha la stessa frequenza dell’oscillatore
inizialmente fermo.
Il sistema sorgente-risonatore. La
cavità come filtro. (II)
Una cavità piena d’aria con due aperture, una per
l’ingresso e l’altra per la fuoriuscita del tono, può
essere utilizzata per operare l’analisi armonica del
suono stesso. Consideriamo ora uno dei risonatori
introdotti da Hermann von Helmholtz.
Il sistema sorgente-risonatore. La
cavità come filtro. (III)
Rivolgendo l’apertura grande verso la sorgente sonora e
quella piccola al proprio orecchio si percepisce rafforzata
solo la frequenza caratteristica del risonatore sferico. Con
una forma diversa da una sfera, ad esempio un tubo
cilindrico, il filtro seleziona, oltre alla frequenza
principale, anche i multipli corrispondenti alle onde
stazionarie (modi di vibrazione) legati al doppio della
lunghezza del tubo. Così se prendiamo un cilindro, aperto
alle estremità, e lo accostiamo (senza metterlo a
contatto) al nostro orecchio, il rumore (costituito da
moltissime frequenze) si trasforma in un suono con
alcune frequenze ben riconoscibili, amplificate dal tubo
stesso. Se mettiamo il cilindro perfettamente a contatto
con l’orecchio, si notano, rispetto al caso precedente,
alcuni toni diversi (il tubo chiuso a un’estremità risuona
con la frequenza fondamentale che corrisponde a f=v/4l).
Il tubo si comporta come un filtro che seleziona le sue
frequenze caratteristiche corrispondenti alle onde
stazionarie.
Il sistema sorgente-risonatore. La
cavità come filtro. (IV)
Complicando la forma geometrica della cavità, come nel
caso di una conchiglia, le frequenze proprie di risonanza
non seguono leggi semplici. Possono essere però studiate
sperimentalmente inviando dei segnali acustici e
studiando la risposta in frequenza. Così si ottengono
grafici simili a quelle riportati nell’immagine che segue.
Le frequenze di risonanza successive non sono più
multiple della fondamentale e la selezione del rumore,
che si ha accostando la conchiglia all’orecchio, produce
allora un effetto complessivo che ricorda il mare.
La misura della lunghezza d’onda
della nota la3 in laboratorio. (I)
Nell’esperienza, del primo biennio, sui tubi
risonanti il materiale fornito agli studenti è
costituito da un cilindro graduato, un recipiente con
dell’acqua, un righello e un diapason con
martelletto. L’altezza dell’aria all’interno del cilindro
può essere variata regolando il livello dell’acqua
contenuto nel cilindro. Si ricerca la posizione nella
quale la nota emessa dal diapason all’imboccatura
del cilindro ha il rinforzo maggiore, valutato dai
ragazzi. La lunghezza del tubo in risonanza. Il
risultato che si ottiene si può fissare in modo visivo
confrontando il lato maggiore della cassetta di
risonanza (del diapason) con la lunghezza trovata.
Le due misure differiscono al più di qualche
millimetro (tenuto conto dello spessore del legno
della cassetta).
La misura della lunghezza d’onda
della nota la3 in laboratorio. (II)
Sembrerebbe un ottimo punto di partenza per
parlare delle onde stazionarie all’interno di un
tubo che risuona. Purtroppo la misura della
lunghezza caratteristica della cassetta (o del
tubo risonante) prossima a 17,3 cm è
notevolmente minore del teorico quarto della
lunghezza d’onda indicato nei manuali e nelle
pagine precedenti. Infatti, se calcoliamo,
utilizzando i valori della frequenza del
diapason e della velocità del suono nell’aria a
20 °C, la lunghezza d’onda =v/f=343 /440
troviamo un valore prossimo a 0,78 m.
La misura della lunghezza d’onda
della nota la3 in laboratorio. (III)
Un quarto della lunghezza d’onda dovrebbe essere
uguale a 19,5 cm. La differenza indica che
l’antinodo dell’onda stazionaria non si forma
all’imboccatura della cavità, ma spostato al suo
esterno di una quantità l = 2,2 cm. L’aria intorno
all’estremità aperta rappresenta una sorta di
prolungamento della colonna d’aria all’interno del
cilindro stesso. Come possiamo allora misurare la
lunghezza d’onda associata alla nota la3?
La misura della
lunghezza d’onda della
nota la3 in laboratorio.
(IV)
Con un cilindro più lungo, il rinforzo
dell’intensità del suono, ascoltato
dagli studenti, non si avrebbe solo in
corrispondenza
della
lunghezza
l1=/4–l. La risonanza sarebbe
chiaramente udibile anche a una
seconda
lunghezza
l2=3/4–l,
distanziata dalla prima di mezza
lunghezza d’onda, nell’ipotesi che la
correzione l sia uguale nei due casi
(si veda figura accanto).
La misura della
lunghezza d’onda della
nota la3 in laboratorio.
(V)
Quindi, sostituendo il cilindro con
l’apparato
sperimentale
della
figura accanto, si può variare
l’altezza della colonna d’aria nel
tubo, spostando il serbatoio a
destra della figura, etrovare le
prime
due
lunghezze
di
risonanza. È possibile finalmente
mettere in relazioni la lunghezza
d’onda della nota la3 con le
misure l1 e l2 delle due risonanze:
=2(l2-l1).

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