Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Modelli
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
a.a. 2007-2008
Laurea in Ingegneria Gestionale
Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica
Prof.ssa: Chiara Mocenni
http://www.dii.unisi.it/~mocenni/mgsa-teach-0708.html
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Modelli e sistemi
Sistema: è un complesso normalmente costituito di più
elementi interconnessi, in cui si possono distinguere
grandezze soggette a variare nel tempo (variabili).
Solitamente l’evoluzione di alcune variabili dipende da
altre variabili, per cui parleremo di ingressi (cause) ed
uscite (effetti).
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Modello matematico (di un sistema): è un insieme di
equazioni e di parametri che permettono di determinare
(in modo approssimato) gli andamenti nel tempo delle
uscite noti quelli degli ingressi.
E’ di fondamentale importanza trovare il giusto
compromesso tra precisione e semplicità del modello.
S
M
Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Motivazioni
Definire un problema
Organizzarne lo studio
Comprendere dati che si sono raccolti
Fare previsioni sul problema basandosi sul
modello
dati disponibili
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classificazione
Modelli
Stocastici
Modelli
Deterministici
complessi
Analisi
Statistica
Modelli
Deterministici
semplificati
conoscenze
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Modelli Statistici. Dati disponibili ma raccolti in
modo non finalizzato. Scarsa conoscenza sul
sistema. Classificazione.
Modelli Stocastici. Serie storiche di dati
disponibili. Strumento operativo che riproduca al
meglio l’andamento osservato dell’uscita,
utilizzando dati di ingresso misurati. Causa-effetto.
Separare la parte predicibile da quella stocastica.
Previsioni.
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Modello deterministico semplificato. Buona
conoscenza sui meccanismi che stanno alla base
del fenomeno. Mancanza della convenienza a
procedere verso un modello più complesso.
Modello deterministico complesso. Stadio più
avanzato della modellistica. Conoscenza profonda
sulla fisica del sistema.
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Classi di Modelli
 Scatola Nera
 Scatola Grigia
 Fisici
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Obiettivi
Controllo
Analisi
Predizione
Scelte fondamentali
Scelta della classe di modelli
Scelta dei segnali di ingresso
Scelta dei segnali di uscita
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Tipologia dei modelli
 Statici / Dinamici
 Lineari / Non Lineari
 Tempo Continuo / Discreto
 Parametri Concentrati / Distribuiti
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Modelli statici
La dipendenza tra ingressi e uscite è
istantanea, cioè gli ingressi presenti hanno
influenza solo sulle uscite presenti. La storia
passata del sistema non influenza lo stato
presente (relazione algebrica ingressiuscite).
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Esempio.
Confluenza fra due canali
Qv, Cv
Q1, C1
Bilancio di portate
Qv = Q 1 + Q 2
Bilancio delle
sostanze disciolte
Qv C v = Q 1 C 1 + Q 2 C 2
Q2, C2
Segue
Cv = (Q1 C1 + Q2 C2) / (Q1 + Q2 )
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Modelli dinamici
Si introduce il concetto di stato del sistema:
variabili interne che tengono conto della storia
passata del sistema. Il legame tra ingresso e uscita
non è istantaneo, ma è mediato dalle variabili di
stato.
Un sistema dinamico è composto da una relazione
ingresso-uscita (senza memoria) e da un termine di
aggiornamento dello stato (con memoria).
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I sistemi lineari
Definizione interna (ingresso-stato-uscita)
u(t) = [u1(t),…um(t)]T = ingresso all’istante t
x(t) = [x1(t),…xn(t)]T = stato all’istante t
y(t) = [y1(t),…yp(t)]T = uscita all’istante t
Sistema a tempo continuo: t numero reale
Sistema a tempo discreto: t numero intero
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Sistema continuo (scrittura matriciale)
Sistema discreto (scrittura matriciale)
A(nxn), B(nxm), C(pxn), D(pxm) matrici reali.
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Osservazioni
La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente l’uscita y(t). (trasformazione
di uscita)
La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente la derivata dx/dt e x(t+1).
(equazioni di stato)
La conoscenza dello stato all’istante t = 0 permette di determinare
univocamente lo stato e l’uscita del sistema nel futuro. Infatti, noti x(0)
e u(t) per t  0, le equazioni di stato permettono di calcolare
univocamente x(t) per t  0.
Conoscere lo stato del sistema ad un istante di tempo significa, quindi,
poter dimenticare tutta la storia passata del sistema senza per questo
inficiare la possibilità di determinare l’evoluzione futura del sistema. Lo
stato è una variabile interna del sistema.
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Sistema continuo (scrittura estesa)
Il n. di equazioni è l’ordine del sistema;
Se non c’è ingresso il sistema si dice autonomo
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 Particolarmente studiati sono i sistemi
propri (D=0) ad un ingesso ed una uscita,
cioè descritti da una terna (A,b,cT), o,
analogamente, dalle equazioni:
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MODELLI ARMA
Possiamo definire un sistema dinamico lineare a tempo
continuo come un ente le cui coppie ingresso-uscita
(u(¦),y(¦)) sono tra loro legate da un’equazione differenziale
lineare di ordine n, del tipo
(u(i) e u(i) denotano la derivata i-esima).
definizione esterna
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Sistemi discreti
che, risolta rispetto a y, dice che in ogni istante di
tempo t l’uscita y di un sistema lineare è la somma
di una combinazione lineare delle ultime n uscite
(termine autoregressivo - AR) e di una
combinazione lineare degli ultimi n+1 ingressi
(media mobile - MA).
Sinteticamente:
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Un modello ARMA può essere descritto dalla relazione:
dove i polinomi
rappresentano operatori applicati alle funzioni u e y.
L’operazione che rappresenta la loro applicazione è una
differenziazione (tempo continuo, p=s) o una anticipazione
(tempo discreto, p=z).
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Modelli ridotti
In generale un modello ARMA non ridotto è della
forma (N(s),D(s)) con
N(s)=q(s)r(s)n(s)
D(s)=q(s)r(s)d(s)
dove i polinomi n(s) e d(s) sono coprimi e il
modello ARMA ridotto è individuato dalla coppia
di polinomi (r(s)n(s),r(s)d(s)).
Modello ARMA di trasferimento (n,d) è definito
dalla funzione di trasferimento
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Movimento, traiettoria, cicli ed
equilibri
Fissato lo stato iniziale x(0) e l’ingresso u(t)
per t¸0 le equazioni di stato ammettono
un’unica soluzione x(t) per t¸0 (il fatto è
evidente per i sistemi a tempo discreto,
mentre per i sistemi a tempo continuo è
conseguenza di risultati classici
sull’esistenza e unicità della soluzione delle
equazioni differenziali ordinarie).
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La funzione x(¦) si chiama movimento,
mentre l’insieme {x(t), t¸0} nello spazio di
stato Rn si chiama traiettoria o orbita.
x2
t
x2
x(1)
x
x(2)
x(0)
x(0)
0
x1
x(3)
x1
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Una traiettoria puo’ passare piu’ volte dallo
stesso punto x in istanti di tempo diversi. Nel
caso in cui anche i vettori tangenti siano
diversi in quel punto, allora
Ax+Bu(t1)  Ax+Bu(t2)
che implica
Bu(t1)  Bu(t2)
Ne consegue che tale condizione non può essere
verificata se l’ingresso è costante.
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Può anche capitare che il movimento x(¦)
corrispondente ad un particolare stato
iniziale x(0) e ad una particolare funzione di
ingresso u(¦) sia periodico di periodo T, cioè
x(t) = x(t+T)
8t
In questo caso la traiettoria risulta essere una
linea chiusa (ciclo) ripetutamente percorsa
ogni unità T di tempo.
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Poiché se x è periodico anche
lo è, segue che
Ax(t)+Bu(t) = Ax(t+T)+Bu(t+T) 8t, e quindi Bu(t)
= Bu(t+T) 8t. Ciò significa che un ciclo può
ottenersi soltanto con funzioni di ingresso
particolari.
Un sistema si dice in regime periodico se ingresso
e stato, e quindi anche uscita, sono funzioni
periodiche di periodo T.
La traiettoria chiusa nello spazio di stato si chiama
ciclo. I cicli ottenuti da ingressi periodici si dicono
forzati, quelli ottenuti da ingressi costanti si dicono
autonomi.
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Un sistema lineare si dice in regime
stazionario (o all’equilibrio) se ingresso e
stato e, quindi anche uscita, sono costanti.
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Linearizzazione
Lo studio di un fenomeno descritto da una
funzione non lineare y=f(x) viene spesso
effettuata facendo variare x nell’intorno di
un punto di equilibrio , e approssimando f
con la funzione lineare
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Da un punto di vista analitico, ciò equivale
ad aver sviluppato f(x) in serie di Taylor
nell’intorno del punto e nell’aver poi
trascurato i termini dello sviluppo in serie a
partire da quello quadratico.
La metodologia può essere estesa allo studio
dei sistemi dinamici non lineari a tempo
continuo e discreto.
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Sia
sistema
una soluzione di equilibrio del
Si possono allora sviluppare in serie di
Taylor le funzioni f e g nell’intorno del
punto di equilibrio.
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Ponendo
e tenendo conto che all’equilibrio
le equazioni di stato diventano
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Mentre la trasformazione di uscita diventa
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Se si trascurano i termini di ordine
superiore al primo nello sviluppo in serie si
ottiene un sistema lineare detto sistema
linearizzato.
La matrice
che contiene tutte le derivate delle funzioni
f rispetto alle variabili di stato, viene detta
Jacobiano del sistema. Essa riveste un
ruolo fondamentale nell’analisi di stabilità.
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Stabilità
Un sistema lineare è asintoticamente stabile
se e solo se per ogni suo ingresso esiste
uno stato di equilibrio verso cui lo stato
x(t) tende qualsiasi sia lo stato iniziale x(0).
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Classificazione dei sistemi lineari
Consideriamo, per semplicità un sistema
disaccoppiato
ad esempio del tipo
NB. In questo caso x e y sono entrambi stati del sistema e y
non è l‘uscita.
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La soluzione di questo sistema radicata in
x(0)=x0 e y(0)=y0 è
x(t)=x0eat
y(t)=y0e-t
Cioè y decade esponenzialmente. Che cosa
succede a x?
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a<0 anche x decade esponenzialmente e tutte le
traiettorie convergono verso l’origine. La velocità e
la direzione con cui converge dipendono da a
paragonato a -1.
a<-1 x decade più velocemente di y. (nodo stabile)
a=-1 x e y decadono con la stessa velocità (stella, nodo
simmetrico)
-1<a<0 y decade più velocemente di x (nodo stabile)
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a=0 x(t)=x0. (linea di punti fissi).
a>0 l’equilibrio diventa instabile perché x(t)
diverge. Abbiamo una direzione stabile ed
una instabile. (sella).
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In generale
Consideriamo gli autovalori 1 2 della matrice A
in un sistema lineare autonomo. Si possono
presentare i casi seguenti:
 2< 1< 0 autovalori reali
Le traiettorie tendono asintoticamente verso il
punto di equilibrio.
Sono tangenti alla direzione lenta quando tendono
all’origine (t! 1) e parallele alla direzione veloce quando t! –
1
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1 2 complessi coniugati
Immaginari puri (Re()=0) Centro. Soluzione
neutralmente stabile in quanto le traiettorie non
vengono né attratte, né respinte.
Immaginari (Re()0) Spirale. La soluzione del
sistema è
ed, essendo gli autovalori complessi, è una
combinazione lineare di etcos(t), etsin(t).
A seconda del valore di  le oscillazioni crescono o
decrescono.
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1 = 2 autovalori coincidenti
Autovettori linearmente indipendenti cioè
generano lo spazio. Se   0 si ha una stella
Se invece  = 0 lo spazio è riempito di punti
fissi.
Autovettori linearmente dipendenti c’è un
unico autovettore, l’autospazio associato è
monodimensionale. Si ha un nodo degenere.
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
NODI
INSTABILI
SPIRALI
INSTABILI
CENTRI
SELLE

SPIRALI
STABILI
PUNTI FISSI
NON ISOLATI
NODI
STABILI
STELLE,
NODI DEGENERI