Capitolo 1
Il concetto di onda
1.1
Introduzione
Scopo di questo capitolo è quello di introdurre il concetto di onda a prescindere dalla sua
natura fisica. Mediante l’ausilio di semplici esempi verranno introdotti i principali parametri
che caratterizzano la propagazione delle onde. Si cercherà inoltre di mettere in evidenza
come l’esistenza e la propagazione delle onde sia possibile in virtù dell’accoppiamento tra
dipendenza temporale e dipendenza spaziale delle grandezze fisiche in gioco.
1.2
L’equazione delle onde
Tutti i fenomeni di propagazione (acustica, sismica, elettromagnetica, ecc.) sono governati
dall’equazione delle onde qui riportata nella sua forma più semplice:
∂2u
1 ∂2u
=
.
v 2 ∂t2
∂z 2
(1.1)
u è una generica grandezza fisica dipendente sia dal tempo t che dallo spazio z. v ha le
dimensioni di una velocità e come verrà dimostrato tra poco, rappresenta la velocità di
propagazione dell’onda. Per risolvere la (1.1) conviene definire una nuova variabile τ =
−z/v. Essendo ∂ = ∂τ ∂ = − v1 ∂ , la (1.1) diventa
∂z
∂z ∂τ
∂τ
∂2u ∂2u
− 2 = 0.
∂τ 2
∂t
Formalmente questa equazione può essere riscritta nel seguente modo:
¶µ
¶
µ
∂
∂
∂
∂
+
−
u=0
∂τ
∂t
∂τ
∂t
4
Capitolo 1. Il concetto di onda
5
che, in analogia con quanto accade nella risoluzione delle equazioni algebriche, è soddisfatta
se la è almeno una delle sequenti equazioni:
µ
¶
∂
∂
+
u=0
(1.2)
∂τ
∂t
µ
¶
∂
∂
−
u = 0.
(1.3)
∂τ
∂t
Si consideri inizialmente la prima. Essa è soddisfatta se la derivata di u rispetto a τ è
uguale, ma di segno opposto alla derivata fatta rispetto a t:
∂u
∂u
=− .
∂τ
∂t
La funzione più semplice con questa proprietà è u(τ, t) = t−τ , ma più in generale qualunque
funzione del tipo:
u(τ, t) = f (t − τ ),
è soluzione della (1.2). Infatti:
∂f (t − τ )
∂(t − τ )
= f 0 (t − τ )
= f 0 (t − τ )
∂t
∂t
e
∂(t − τ )
∂f (t − τ )
= f 0 (t − τ )
= −f 0 (t − τ )
∂τ
∂τ
con f 0 (ξ) =
∂f (ξ)
. Di seguito sono riportati alcuni esempi di funzioni di questo tipo:
∂ξ
• u(ξ, t) = t − ξ
• u(ξ, t) = (t − ξ)2
• u(ξ, t) = e−(t−ξ)
2
• u(ξ, t) = sin(t − ξ).
Con identiche considerazioni si risolve la (1.3) ottenendo in questo caso:
u(ξ, t) = g(t + ξ).
Sommando le due soluzioni ed esplicitando ξ, si ottiene la soluzione generale della (1.1):
u(z, t) = Af (t − z/v) + Bg(t + z/v).
Come si avrà modo di vedere in seguito, le costanti A e B e le funzioni f e g, dipendono
dalle condizioni iniziale ed al contorno del problema.
Capitolo 1. Il concetto di onda
1.3
6
Legame spazio tempo
La caratteristica fondamentale della soluzione dell’equazione (1.1) è la dipendenza del tipo
t − z/v. L’accoppiamento tra variabile temporale e spaziale costituisce la rappresentazione
matematica del concetto di propagazione. Si consideri inizialmente la funzione f (t−z/v) e si
indichi con Fa il valore che la funzione f assume quando il suo argomento vale a: Fa = f (a).
La situazione è illustrata in figura 1.1. All’istante t = t0 il valore Fa verrà assunto nel punto
f(t0,z)
f(t1,z)
Fa
Fa
z0=(t0-a)v
z
Dt v
z1=z0+Dt v
z
Figura 1.1: Concetto di propagazione. Sinistra: andamento spaziale di f (·) all’istante t 0 .
Destra: andamento all’istante t1 .
z = z0 tale che t0 − z0 /v = a, ovvero z0 = (t0 − a)v. Ad un’istante successivo t1 = t0 + ∆t,
il medesimo valore verrà assunto in un punto differente z1 = (t1 − a)v = (t0 + ∆t − a)v =
z0 + ∆tv. Essendo il punto Fa generico, la proprietà appena vista vale per tutti i punti
della funzione f . Al variare del tempo, la funzione f trasla rigidamente nel verso positivo
dell’asse z. La velocità di spostamento è pari al rapporto tra lo spostamento e l’intervallo
−z0
di tempo considerato: z1∆t
= v. In modo analogo si può verificare che la funzione g(t + zv)
trasla con la stessa velocità, ma nel verso opposto. Spesso nel primo caso si parla di onda
progressiva o diretta e nel secondo di onda regressiva o riflessa. In generale, se spazio e
tempo compaiono nell’argomento della funzione con segno opposto, l’onda si propaga nel
verso positivo dell’asse della coordinata spaziale; se invece i segni sono concordi l’onda si
propaga nel verso negativo.
Esempio
Si consideri un’onda caratterizzata dalla funzione f (z, t) = (t − z/v) 2 con v = 5m/s. Al1 2
l’istante t = t0 = 0, f (z, 0) = 25
z è una parabola centrata nell’origine dell’asse spaziale z,
come illustrato in figura 1.2. Nella stessa figura é anche riportato l’andamente all’istante
1
(15 − z). La funzione é
t = t1 = 3s, in corrispondenza del quale f (z, t1 ) = (3 − z/5)2 = 25
ancora una parabola, con la stessa curvatura, ma con il minimo in z = z 1 = 15m. f (z, 0) é
Capitolo 1. Il concetto di onda
7
un’onda di forma parabolica che trasla rigidamente verso la direzione crescente dell’asse z
−z0
= 15m
ad una velocità v = zt11 −t
3s = 5m/s.
0
t=0
t=t1
-45
-30
-15
15
t=0
t=t1
45 -45
30
-30
-15
z [m]
15
30
45
z [m]
Figura 1.2: Andamento spaziale della funzione f (z, t) = (t−z/5)2 (sinistra) e g(z, t) = (−t−
z/5)2 in corrispondenza degli istanti t = 0, linea continua, e t = 3s linea tratteggiata. Le
curve tratteggiate costituiscono delle traslazioni rigide di ∆z = ±15m della curva continua.
Si consideri ora la funzione g(z, t) = (−t − z/v)2 . In t + t0 = 0 l’andamento è identico a
1
quella della funzione f . Al contrario a t = t1 = 3s, g(z, 3) = (−3 − z/5)2 = (−5)
2 (15 + z) =
1
25 (15 + z).
La nuova parabola assume il minimo in z = −15m. g(z, t) rappresenta un’onda
che si propaga nel verso negativo dell’asse z alla velocità v = 5m/s.
La velocità di spostamento dipende dalle caratteristiche del mezzo in cui l’onda si propaga.
La velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche vale:
1
v=√ ;
µε
dove ε è la permittività dielettrica e µ è la permeabilità magnetica. In particolare nel vuoto:
ε = ε0 = 8.85 10−12 F/m
da cui
µ = µ0 = 4π 10−7 H/m
1
= 2.9979 108 m/s ' 3 108 m/s.
c0 = √
µ 0 ε0
Più in generale se il mezzo in cui il campo elettromagnetico si propaga non è il vuoto:
1
1
c0
v=√ =√
= ,
µε
µ 0 µ r ε0 εr
n
√
con n = µr εr indice di rifrazione del mezzo. Maggiore è l’indice di rifrazione, minore è la
velocità di propagazione.
Capitolo 1. Il concetto di onda
8
La maggior parte dei materiali di interesse pratico sono materiali non magnetici nei quali
µr ' 1. Nel seguito, salvo dove indicato esplicitamente, si assumerà sempre che il mezzo sia
√
non magnetico e quindi che n = εr da cui
√
v = c 0 / εr .
La funzione u(z, t) permette di conoscere non solo l’andamento nello spazio al variare del
tempo, ma anche l’andamento temporale in un certo punto dello spazio. In figura 1.3 è
u(z,t)
t0
z
z
t1
t2
t3
t4
t5
t
Figura 1.3: Andamento di u(z, t) al variare del tempo e dello spazio. Sono evidenziati i
valori assunti da u in z = z in diversi istanti temporali.
riportato l’andamento spaziale di u in sei istanti differenti: t0 , t1 , ..., t5 . Al variare del tempo, la curva trasla rigidamente verso destra ed attraversando il punto z = z determina
l’andamento temporale riportato in figura 1.4. Da questo semplice studio è evidente come
l’estensione spaziale, la velocità di propagazione e la durata temporale siano quantità strettamente legate tra loro.
Le figure 1.3 e 1.4 evidenziano un secondo di aspetto. Se la propagazione avviene nella
direzione positiva, l’andamento temporale è ribaltato rispetto a quello spaziale. Infatti, in
questo caso nella f (·) spazio e tempo hanno segni opposti. Viceversa, se la propagazione
Capitolo 1. Il concetto di onda
9
u(z,t)
t1
t0
t2
t3
t5 t
t4
Figura 1.4: Andamento temporale di u(z, t) in z = z. Sono evidenziati i valori assunti negli
istanti t0 , t1 , t2 , t3 , t4 , t5 .
avviene nella direzione negativa, le variabili hanno lo stesso segno e l’anamento temporale
è identico a quello spazilae.
Esempio
La figura 1.5 mostra l’andamento spaziale di un impulso di estensione ∆z = 30 m che si
propaga alla velocità della luce. Se l’impulso si propaga nello spazio vuoto in cui
u(z,0)
v
Dz
z
Figura 1.5: Andamento di u(z, t) a t = 0.
1
v=√
= c0 = 3 108 m/s
ε 0 µ0
la sua durata vale:
∆T =
30m
∆z
=
= 10−7 s = 10µs.
v
3 · 108 m/s
z
Capitolo 1. Il concetto di onda
10
Se il mezzo in cui si propaga è l’aria la parmettività dielettrica relativa vale ε r = 1.0006 e
quindi la durata dell’impulso vale:
∆T =
∆z √
30m
· 1.00299 = 10.00299 µs.
εr =
v
3 · 108 m/s
La velocità e quindi la durata sono praticamente uguali a quelli del vuoto. Nel seguito, salvo
dove indicato esplicitamente, la velocità di propagazione nell’aria verrà assunta identica a
quelle nel vuoto.
Al contrario la permittività relativa dell’acqua distillata è ε r = 81, quindi
v = 3 · 108 /9 = 3.33107 m/s,
da cui
∆T =
∆z √
30m
εr =
· 9 = 90 µs.
v
3 · 108 m/s
Nell’acqua un impulso con la stessa estensione spaziale di uno che si propaga in aria ha una
durata circa nove volte maggiore.
In figura 1.6 sono riportati gli andamenti temporali in z nel caso di propagazione nell’acqua
e nell’aria.
u(z,t)
10ms
90ms
t
Figura 1.6: Andamento di u(z, t) in z nel caso di propagazione in aria ed in acqua.
Esempio
Nei moderni mocroprocessori, la frequenza del segnale di clock è dell’ordine dei GHz. In
figura 1.7 viene riportato il tipoco andamento temporale del clock nel caso di duty cycle
Capitolo 1. Il concetto di onda
11
uguale a 0.5. Se la frequenza di clock è di 4GHz significa che ci sono 4 · 10 9 cicli al secondo
di durata T = 1 · 0.25 · 10−9 = 250 ps. Gli attuali microprocessori sono costituiti da silicio
√
cristallino caratterizzato da una permittività dielettrica εr Si = 11.9, da cui nSi = εr Si =
3.45. In ogni intervallo l’impulso elettromagnetico si estende per
u(t)
T/2
T
3/2T
2T
t
Figura 1.7: Segnale di clock con duty cycle di 0.5.
∆z =
1.3.1
c0
3 108 m/s
T /2 =
· 125 · 10−12 s = 10.87 mm.
n
3.45
Esercizio
f (z, t) rappresenta un’onda che si propaga nel verso positivo dell’asse z ad una velocità
v = 100m/s. In figura 1.8 è riportato l’andamento spaziale della funzione all’istante t = 0.
Rappresentare graficamente:
(a) l’andamento spaziale di f (z, t) all’istante t = 1s;
(b) l’andamento temporale in z = 0 e in z = 300m.
Soluzione
(a)
All’istante t = 1s l’onda sarà traslata rigidamente di una quantità
∆z = 100m/s · 1s = 100m
dando luogo all’andamento riportato in figura 1.9.
(b)
Per determinare rapidamente l’andamento temporale è sufficiente osservare che:
Capitolo 1. Il concetto di onda
12
f(z,0)
1
B
-100
100
300 z(m)
200
-1
A
Figura 1.8: Andamento spaziale di f all’istante t = 0.
f(z,1)
1
B
-100
100
-1
200
300
400 z(m)
A
Figura 1.9: Andamento spaziale di f all’istante t = 1s.
• l’onda si propaga nel verso dell’asse spaziale e quindi l’andamento temporale si ottiene
ribaltando rispetto all’asse delle ordinate l’andamento spaziale;
• essando v = 100m/s un spostamento di ∆z = 100m corrisponde ad un intervallo
temporale di ∆t = 1s;
• all’istante t = 0 in z = 0 e in z = 300m si trovano rispettivamente i punti A e B.
Gli andamenti temporali sono riportati in figura 1.10.
1.4
Onde sinusoidali
Un tipo di onda estremamente utile nello studio dei fenomeni di propagazione è l’onda
sinusoidale:
u(z, t) = A cos(ωt − βz + φf ) + B cos(ωt + βz + φg )
Capitolo 1. Il concetto di onda
13
f(0,t)
f(300,t)
1
1
-1
-3
1
-1
t(s) B
2
A
3
4
t(s)
-1
Figura 1.10: Andamenti temporali di f in z = 0 e z = 300m.
Per fissare le idee si consideri la sola onda che si propaga nel verso positivo dell’asse z:
A
vf
Acos(ff)
z
Figura 1.11: Andamento spaziale di un’nda sinusoidale all’istante t = 0.
u(z, t) = A cos(ωt − βz + φf ).
La quantità φ(z, t) = ωt − βz + φf è detta fase istantanea dell’onda ed è misurata in
radianti rad. Più raramente la fase viene misurata in gradi ◦ . In un’onda sinusoidale, la fase
istantanea dipende dallo spazio e dal tempo e non è da confondersi con la fase iniziale φ f che
al contrario è una quantità costante. ω e β sono rispettivamente la pulsazione e la costante
di fase dell’onda e sono misurate in rad/s e rad/m. A è l’ampiezza dell’onda e determina
il valore di picco che viene assunto periodicamente nello spazio e nel tempo. L’andamento
spaziale all’istante t = 0 è riportato in figura 1.11. Nell’origine del sistema di riferimento,
il valore dell’onda dipende dall’ampiezza e dalla fase iniziale. Nell’espressione della fase
Capitolo 1. Il concetto di onda
14
istantanea dell’onda progressiva, z e φf hanno segni discordi; consegentemente a valori
positivi di φf corrispondono delle funzioni crescenti in z = 0 e a valori negativi corrispondono
delle funzioni decresenti. Ovviamente nell’onda regressiva accade l’opposto. La distanza
spaziale tra due punti aventi una fase istantanea che differisce di 2π è detta lunghezza d’onda
e viene indicata con λ. Imponendo che φ(z, t1 ) − φ(z + λ, t1 ) = (ωt1 − βz + arg(A)) −
(ωt1 − β(z + λ) + arg(A)) = 2π segue:
λ=
2π
.
β
(1.4)
Questa definizione di lunghezza d’onda è sempre valida e permette di determinare la lunghezza d’onda anche quando l’ampiezza non è costante, come nel caso di propagazione in mezzi
con perdite come illustrato in figura 1.12.
l
l
l
l
l
z
l
z
Figura 1.12: Concetto di lunghezza d’onda. Sinistra: onda con ampiezza costante. Destra
onda con ampiezza variabile.
La figura 1.13 mostra l’evoluzione temporale dell’onda. La sinusoide trasla nello spazio
alla velocità
ω
vf =
β
detta velocità di fase. Il nome deriva dal fatto che vf è la velocità con cui si deve spostare
un osservatore per vedere sempre la stessa fase della sinusoide. Nella figura il trattino
rappresenta il punto a fase nulla che appunto trasla nello spazio alla velocità v f . Fissato
un punto dello spazio z = z, la grandezza u(z, t) segue un andamento periodico sinusoidale
con una frequenza f = ω/2π.
Nei mezzi con perdite parte dell’energia trasportata dall’onda viene assorbita dal mezzo
stesso causandone una attenuazione durante la propagazione. È possibile dimostrare che in
questo caso la soluzione è del tipo:
u(z, t) = Ae−αz cos(ωt − βz + φf ).
La figura 1.14 riporta l’andamento spaziale in diversi istanti. È evidente la progressiva
attenuazione durante la propagazione. Il valore di picco vale Ae−αz e tende a zero per z
Capitolo 1. Il concetto di onda
15
Acos(0)=A
vf
z
A
Acos(wt2)
vf
z
A
vf
Acos(wt3)
A
z
vf
z
Acos(wt4)
A
vf
z
Acos(wt5)
Figura 1.13: Onda sinusoidale con fase iniziale nulla (φf = 0) che si propaga nel verso
dell’asse z. È riportato l’andamente negli istanti t1 = 0, t2 = π/4ω, t3 = π/2ω, t4 = 3/4πω
e t5 = π/ω. Il trattino rappresenta un punto a fase costante che trasla nel verso positivo
alla velocità di fase vf e con ampiezza costante. Il punto evidenzia il valore della grandezza
in z = z = 0 che nel tempo segue un andamento del tipo A cos(ωt).
tendente all’infinito. La lunghezza d’onda è sempre definita in base alla (1.4) anche se ora,
come illustra la figura 1.12, i punti distanti λ o suoi multipli hanno la stessa fase (a meno
di multipli di 2π), ma non più la stessa ampiezza.
Per poter esprimere la lunghezza d’onda in funzione dei parametri caratteristici del materiale
e della frequenza è necessario esplicitare il legame tra β e ω. Questo legame, noto con il nome
di curva di dispersione, dipende fortemente dalla modalità con cui avviene la propagazione
[1] e quindi in questa fase viene mantenuto implicito. Particolarmente semplice, ma anche
estremamente diffuso, è il caso di propagazione in un mezzo omogeneo, dielettrico, non
Capitolo 1. Il concetto di onda
16
A
e-az
vf
z
Acos(wt4)
-az
-e
A
Acos(wt2)
vf
-a z
e
z
-e-az
A
vf
-az
e
Acos(wt3)
z
-e-az
A
vf e-az
z
Acos(wt4)
A
-e-az
vf e-az
z
Acos(wt5)
-e-az
Figura 1.14: Onda sinusoidale smorzata con fase iniziale nulla (φf = 0) che si propaga
nel verso dell’asse z. È riportato l’andamente negli istanti t1 = 0, t2 = π/4ω, t3 = π/2ω,
t4 = 3/4πω e t5 = π/ω. Il trattino rappresenta un punto a fase costante che trasla nel verso
positivo alla velocità di fase vf e si smorza con legge esponenziale: e−αz ..
dispersivo. In questo caso la legge di dispersione vale:
β = ω/c
da cui segue che
vf = c
e
fλ = c
ovvero:
1
fλ = √ .
µ²
(1.5)
Capitolo 1. Il concetto di onda
1.5
17
Bande di trasmissione dello spettro radio
La (1.5) mostra come la lunghezza d’onda e la frequenza non siano grandezze indipendenti.
Ciò non deve sorprendere in quanto la prima determina la periodicità nello spazio, la seconda determina la periodicità nel tempo e, come già evidenziato più volte, in un’onda lo spazio
ed il tempo sono legati dalla velocitá di propagazione. La lunghezza d’onda viene utilizzata
per suddividere lo spettro delle onde radio in varie bande. Il comportamento del campo elettromagnetico può dipendere in maniera sensibile dal valore della propria lunghezza d’onda.
Le perdite introdotte da un conduttore o l’influenza che gli oggetti hanno sulla propagazione
delle onde elettromagnetiche sono solo due esempi in cui ciò accade. È allora evidente che
per alcune applicazioni è più conveniente lavorare a determinate lunghezze d’onda piuttosto
che ad altre. Nella tabella seguente vengono riportate le principali bande in cui lo spettro
delle onde radio viene suddivisto. Vengono riportati i valori delle frequenze che delimitano
ogni banda e quelli delle corrispondenti lunghezze d’onda nell’ipotesi di propagazione nel
vuoto.
Capitolo 1. Il concetto di onda
18
Spettro Radio
Banda
ELF (Extremely Low Frequency)
Applicazioni
individuazione di
oggetti sepolti
frequenze
3 ÷ 30 Hz
lunghezze d’onda
105 ÷ 104 Km
SLF (Super Low Frequency)
comunicazioni
sottomarine
30 ÷ 300 Hz
10000 ÷ 1000 Km
ULF (Ultra Low Frequency)
telefono,audio
300 Hz ÷ 3 kHz
1000 ÷ 100 Km
VLF (Very Low Frequency)
radionavigazione,
sistema OMEGA
3 ÷ 30 kHz
100 ÷ 10 Km
LF (Low Frequency) o
onde lunghe
radio fari,
LORAN C
30 ÷ 300 kHz
10 ÷ 1 Km
MF (Medium Frequency) o
onde medie
radio diffusione
modulaz. di amp. AM
300 kHz ÷ 3 M Hz
1 Km ÷ 100 m
HF (High Frequency) o
onde corte
Citizen Band CB,
segnali di emergenza
3 ÷ 30 M Hz
100 m ÷ 10 m
VHF (Very High Frequency)
TV, radio diff. FM,
ILS
30 ÷ 300 M Hz
10 m ÷ 1 m
UHF (Ultra High Frequency)
TV, telef. cellulare
300 M Hz ÷ 3 GHz
1 m ÷ 10 cm
SHF (Super High Frequency)
microonde
Radar,comm. satellite
3 ÷ 30 GHz
10 cm ÷ 1 cm
EHF (Extremly High Frequency)
onde millimetriche
Radar, ponti radio
30 ÷ 300 GHz
1 cm ÷ 1 mm
1.6
Sovrapposizione di onde
In virtù della linearità dell’equazione delle onde, più onde che si propagano possono coesistere senza che una altri le caratteristiche delle altre e viceversa. Ovviamente l’evoluzione
spazio-temporale della grandezza fisica u(z, t) sarà data dal contributo di tutte le onde esistenti. In figura 1.15 è riportato il caso di due impulsi indentici nella forma e nel segno
che si propagano in direzione opposta. È evidente come la forma e l’ampiezza degli impulsi
prima e dopo il reciproco attraversamento siano le stesse. Durante la sovrapposizione i due
contributi si sommano. In questo caso si parla di interferenza costruttiva o positiva
La figura 1.16 evidenzia un secondo aspetto fondamentale della sovrapposizione delle onde.
Capitolo 1. Il concetto di onda
19
Figura 1.15: Sovrapposizione di onde aventi stesso segno.
La situazione è identica alla precedente salvo il fatto che ora i due impulsi hanno segno opposto. La somma delle onde è una somma algebrica e non aritmetica e ciò causa la cosidetta
interferenza distruttiva o negativa: in determinati istanti pur essendo presenti due onde la
loro risultante risulta nulla. Questa proprietà è di fondamentale importanza. Infatti, la
Figura 1.16: Sovrapposizione di onde aventi segno opposto.
maggior parte delle proprietà dei campi elettromagnetici è riconducibile, in ultima analisi,
Capitolo 1. Il concetto di onda
20
ad un’opportuno gioco di interferenze tra più onde.
1.6.1
Esercizio
Due impulsi f (z, t) e g(z, t) si propagano rispettivamente nel verso positivo e negativo dell’asse z alla velocità vp . A t = 0 i fronti dei due impulsi sono posti ad una distanza d uno
dall’altro come riportato in figura 1.17. La forma di f (z, t) e‘ nota, mentre quella di g(z, t)
t=0
A
f
g
?
l
d
l
z
Figura 1.17: Andamento spaziale degli impulsi all’istante t = 0.
e‘ incognita.
Un osservatore posizionato a meta‘ distanza tra i due impulsi misura al variare del tempo
il valore totale u = f + g il cui andamento è mostrato in figura 1.18. Si rappresenti grafiu(0,t)
2A
A
d/(2vp)
(d+l)/(2vp)
(d/2+l)/(vp)
t
Figura 1.18: Andamento temporale della somma degli impulsi nel punto z = 0.
camente la forma dell’impulso g(z, t) a t = 0.
Soluzione
La figura 1.18 riporta l’andamento di u(z, t) = f (t − z/v) + g(t + z/v) in z = 0:
u(0, t) = f (t) + g(t)
Capitolo 1. Il concetto di onda
21
da cui
g(t) = u(0, t) − f (t).
L’andamento di u(0, t) è noto dalla figura 1.18, quello di f (t) si ricava immediatamente
u(0,t)
2A
f(0,t)
A
A
A/2
d/(2vp)
(d+l)/(2vp)
(d/2+l)/(vp)
t
d/(2vp)
(d+l)/(2vp)
(d/2+l)/(vp)
t
g(0,t)
A
A/2
Figura 1.19: Andamento temporale di u, f e g nel punto z = 0.
dalla figure 1.17, osservando che l’impulso si propaga nel verso positivo e quindi l’andamento
temporale è ribaltato rispetto a quello spaziale. Inoltre l’istante in cui il fronte di salita di
f (t) giunge in z = 0 è pari alla distanza percorsa (d/2) fratto la velocità di propagazione v.
In figura 1.19 gli andamenti temporali di u e f sono disegnati sovrapposti. L’andamento
temporale di g si trova facendo una differenza punto per punto. Infine per determinare
t=0
A
f
g
l/2
l
d
l
z
Figura 1.20: Andamento spaziale di f e g all’istante t = 0.
l’andamento spaziale basta osservare che:
• l’impulso si propaga nel verso negativo e quindi l’andamento spaziale è identico a
quello temporale;
Capitolo 1. Il concetto di onda
22
• la posizione dei fronti all’istante t = 0 si determina moltiplicando l’istante di arrivo
per la velocità di propagazione.
Il risultato è riportato in figura 1.20.
Particolarmente interessante è il caso di sovrapposizione di due onde sinusoidali aventi
la stessa ampiezza e opposte direzioni di propagazione. Per semplicità si supporrà che
entrambe le fasi iniziali siano nulle:
u(z, t) = A cos(ωt − βz) + A cos(ωt + βz).
Utilizzando la relazione cos(α) · cos(β) = 12 (cos(α − β) + cos(α + β)) si può dimostrare che:
u(z, t) = A cos(ωt) · cos(βz).
(1.6)
La funzione dipende ancora dallo spazio e dal tempo, ma in modo separato, ovvero non è
più del tipo f (t − z/c). Questo significa che l’onda descritta dalla (1.6) non si propaga.
L’evoluzione dell’andamento spaziale al variare del tempo è illustrato in figura 1.21. L’andamento è ancora sinusoidale con periodo 2π/β, ma al variare del tempo, la posizione dei
massimi, dei minimi, detti ventri, e degli zeri, detti nodi, lungo z non cambia. Un’onda con
queste caratteristiche è detta onda stazionaria. I ventri si trovano nei punti in cui le due
onde, diretta e riflessa, interferiscono costruttivamente, i nodi nei punti in cui le onde interferiscono distruttivamente. Al variare del tempo è l’ampiezza dei ventri che segue sempre
un andamento periodico sinusoidale con frequenza f = ω/2π.
1.7
Esempio degli effetti delle condizioni al contorno
Nelle equazioni differenziali, le condizioni al contorno giocano un ruolo importante quanto
l’equazione stessa. Come si avrà modo di vedere nel corso, partendo sempre e comunque
dalle equazioni di Maxwell, si ottengono soluzioni con caratteristiche significativamente
diverse, semplicemente cambiando le condizioni al contorno. Nello specifico si analizzerà
ora l’effetto che ha sulla propagazione una condizione al contorno del tipo:
u(z, t) ≡ 0
∀t
(1.7)
cioè che impone l’annullamento della funzione nel punto z = z in ogni istante. Prima
di sviluppare la trattazione matematica, può risultare istruttivo analizzare la situazione
attraverso delle considerazioni di carattere intuitivo. Quando un generico impulso giunge
sul punto z, il campo deve soddisfare due condizioni tra loro contrastanti: un valore non
nullo imposto dall’impulso ed un valore nullo imposto dalla condizione al contorno. Affinchè
ciò sia possibile deve nascere un impulso riflesso che sommato a quello incidente dia un valore
Capitolo 1. Il concetto di onda
23
ventre
nodo
ventre
Figura 1.21: Esempio di onda stazionaria. Con le linee tratteggiate blu e verde sono rappresentate rispettivamente l’onda diretta e quella riflessa; con la linea continua rossa l’onda
stazionaria. I cinque grafici si riferiscono agli istanti t = 0, t = π/4ω, t = 3π/8ω, t = π/2ω,
t = 5π/8ω, t = π/ω
Sup. Riflettente
Sup. Riflettente
Sup. Riflettente
Sup. Riflettente
24
Sup. Riflettente
Capitolo 1. Il concetto di onda
Figura 1.22: Da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso: andamento spaziale di un
impulso che incide su un contorno che forza a zero la funzione. Oltre al valore complessivo
sono riportati gli andamenti dell’onda diretta e di quella riflessa.
nullo sul contorno. L’andamento spazio-temporale dell’impulso incidente, di quello riflesso
e quello complessivo sono riportati in figura 1.22. Man mano che l’impulso incidente si
esaurisce contro la parete, quello riflesso esce da essa, in modo da soddisfare la (1.7) in ogni
istante.
Per formalizzare matematicamente quanto appena detto, si consideri l’espressione generale
della soluzione dell’equazione delle onde:
u(z, t) = Af (t − z/v) + Bg(t + z/v).
(1.8)
Capitolo 1. Il concetto di onda
25
f(x)
1
D
x
Figura 1.23: Andamento della funzione f (ξ).
In z = z è posizionato il punto che forza a zero la soluzione, quindi in base alle (1.7) e (1.8)
segue:
Af (t − z/v) + Bg(t + z/v) = 0 ∀ t
da cui
Af (t − z/v) = −Bg(t + z/v) ∀ t.
Affinchè la condizione sopra sia verificata per ogni t è necessario che:
g(t + z/v) = −
e quindi
A
A
f (t − z/v)∀ t =⇒ g(ξ) = − f (ξ − 2z/v)
B
B
√
u(z, t) = Af (t − z µε/c) − Af (t + z/c − 2z/c) ∀z ≤ z.
Il significato del ritardo 2z/c è chiarito dalla figura 1.24, in cui viene riportato l’andamento
di u nell’ipotesi che l’andamento di f (ξ) sia quello riportato in figura 1.23. L’andamento
dell’impulso riflesso può essere facilmente determinato osservando che esiste una simmetria
speculare rispetto al punto z = z. La parte di soluzione con z > z deve essere scartata, il
che significa che l’impulso riflesso si genera istante per istante in corrispondenza del punto
z = z e, una volta generato, si propaga in direzione opposta rispetto a quello incidente.
Viceversa l’ipulso incidente si esaurisce progressivamente nel punto z = z. Dal punto di
vista energetico, l’energia trasportata dall’impulso incidente viene utilizzata per generare
quello riflesso.
Se l’onda incidente è sinusoidale, le condizioni al contorno richiedono la presenza di un’onda riflessa tale da generare un’onda stazionaria avente un nodo in z. In questo modo la
condizione u(z, t) = 0 è soddisfatta per ongi t come mostrato in figura 1.25.
Capitolo 1. Il concetto di onda
26
A
2z
-Dc
2z+Dc
z
z
-A
A
2z-ct1
c(t1-D)
ct1
2z-c(t1-D)
z
z
-A
A
2z-c(t2-D)
c(t2-D)
z
2z-ct2
-A
A
c(t3-D)
z
-A
2z-c(t3-D)
2z-ct3
A
2z-c(t4-D)
2z-ct4
z
-A
Figura 1.24: Con la linea grigia è riportato l’andamento di u(z, t) in cinque istanti di tempo
differenti. Con le linee nere sono riportati i contributi dell’impulso incidente e riflesso. Sia
per l’impulso incidente che per quello trasmesso, la parte di soluzione con z > L, evidenziata
nella figura dalle linee tratteggiate, deve essere scartata essendo priva di significato fisico.
27
Sup. Riflettente
Sup. Riflettente
Sup. Riflettente
Sup. Riflettente
Capitolo 1. Il concetto di onda
Figura 1.25: Esempio di onda stazionaria. Con le linee tratteggiate blu e verde sono rappresentate rispettivamente l’onda diretta e quella riflessa; con la linea continua rossa l’onda
stazionaria. I cinque grafici si riferiscono agli istanti t = 0, t = π/4ω, t = π/2ω, t = π/ω.