Le Pierangiolate
n.7
Dipartimento di Ingegneria della
Informazione e Scienze Matematiche
Luca Chiantini presenta
Il TUTTO e le sue
PARTI
Il TUTTO e le sue PARTI
Giochi di Archimede ---- 27 novembre 2013
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata
in figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m
e che le punte della stella cadono nei punti medi dei
lati del quadrato.
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in
figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le
punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
METODO 1
Area cercata =
Area del quadrato
-
Aree dei trapezi
4
Area di un trapezio =
?
½ (base maggiore + base minore ) x altezza
1
Area cercata = 4 – 4 x (3 / 4) = 1 mq
½
1
= 3/4
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in
figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le
punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
METODO 2
Decomponiamo la figura in quattro parti
In ciascun quadratino
la figura occupa ¼
dell’area totale
Area cercata = ¼ (area del quadrato) =
1 mq
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in
figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le
punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
Il METODO 2 è migliore del METODO 1
Non richiede alcuna conoscenza
di calcolo delle aree
Area cercata = ¼ (area del quadrato)
Può essere facilmente
generalizzato
Il METODO 2 può essere facilmente generalizzato
La figura assegnata somiglia
molto ad una girandola
PROBLEMA: calcolare l’area di
una girandola
....
PROBLEMA : area del cerchio
non coperta dal triangolo
PROBLEMA : Calcolare l'area della parte ombreggiata in
figura sapendo che il lato del quadrato e lungo 2 m e che le
punte della stella cadono nei punti medi dei lati del quadrato.
che figura è?
Santa
Brigida
di
Kildare
Croce di S. Brigida
METODO 2
Decomponiamo la figura in quattro parti
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
Due figure che possono essere
decomposte in parti congruenti
hanno la stessa area
EUCLIDE – Elementi, libro I
EQUI-DECOMPONIBILI
«se cose uguali sono addizionate a cose
uguali, le totalità sono uguali»
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
EUCLIDE – Elementi, libro I
«se cose uguali sono addizionate a cose
uguali, le totalità sono uguali»
Due figure che possono essere
decomposte in parti congruenti
hanno la stessa area
congruenti =
possono essere trasformate l’una nell’altra
mediante un movimento rigido del piano
sono
congruenti?
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
EUCLIDE – Elementi, libro I
«se cose uguali sono addizionate a cose
uguali, le totalità sono uguali»
Due figure che possono essere
decomposte in parti congruenti
hanno la stessa area
congruenti =
possono essere trasformate l’una nell’altra
mediante un movimento rigido del piano
stessa area
alle figure piane è associato un numero (area)
che non cambia se si opera un movimento
rigido del piano
uguali
brutto termine
perché ambiguo
stessa area
alle figure piane è associato un numero (area)
che non cambia se si opera un movimento
rigido del piano
L’area di una figura geometrica è INVARIANTE per congruenze
GEOMETRIA
studio delle proprietà delle figure che sono invarianti,
rispetto ad un prefissato insieme di trasformazioni,
ad esempio rispetto alle congruenze.
Felix KLEIN
Programma di Erlangen (1872)
se invece dei movimenti rigidi si
considerano le similitudini, l’area
non è più un’invariante
ma la misura degli angoli sì.
congruenze
similitudini
Geometria metrica
Geometria descrittiva
affinità
proiettività
Geometria affine
Geometria proiettiva
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione
e Scienze Matematiche
altre invarianti per congruenze
volume dei solidi
Principio di
equi-decomponibilità
per volumi
Due figure che possono essere decomposte in
parti congruenti hanno lo stesso volume
ESEMPIO: volume di una piramide
V =
Bxh
3
versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà
PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI
Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli
in figure della stessa area, hanno uguale volume.
equi-decomponibiltà
1598 - 1647
versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà
PRINCIPIO di BONAVENTURA CAVALIERI
Due solidi che sono tagliati da un fascio di piani paralleli
in figure della stessa area, hanno uguale volume.
} dx
equi-decomponibiltà
1598 - 1647
Matematica infinitesimale
dx + dx + dx + dx + .....
<1
dx
(dx)2 = 0
ARCHIMEDE di
SIRACUSA
Area del segmento
parabolico
Area ABC = 8 x Area ADB
+ .... =
serie numerica
serie numerica = ?
equideco
mponi
biltà
ARCHIMEDE di
SIRACUSA
Area del segmento
parabolico
Area ABC = 8 x Area ADB + equi-decomponibilità
Area segmento =
ARCHIMEDE di
SIRACUSA
versione infinitesimale dell’equi-decomponibiltà
?
le serie infinite hanno proprietà
ASSOLUTAMENTE non banali
Galileo
se maneggiate SENZA CURA
conducono a paradossi
Newton
Leibniz
le serie infinite hanno proprietà
ASSOLUTAMENTE non banali
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ....
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ....
(-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + ....
se maneggiate SENZA CURA
conducono a paradossi
[1 + (-1)]+ [1 + (-1)]+[1 + ....
1 +[(-1) + 1] +[(-1) + 1]+ ....
(-1) +[1 + (-1)]+ [1 + (-1)]+ ....
x1 = y1
0
1
-1
x2 = y2
....
quindi AB e CD sono
equi-decomponibili?
ma NON hanno la stessa
lunghezza
Ma anche la NORMALE equi-decomponibilità
PUO’ portare a CONCLUSIONI ERRATE
CRITICA alla
EQUI-DECOMPONIBILITA’
PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
Due figure che possono essere
decomposte in parti congruenti
hanno la stessa area
NON PRINCIPIO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
Due figure che possono essere
decomposte in parti congruenti
sono uguali
EUCLIDE – Elementi, libro I
«se cose uguali sono addizionate a cose
uguali, le totalità sono uguali»
PRINCIPIO SBAGLIATO di EQUI-DECOMPONIBILITA’
Due figure che possono essere decomposte in parti
congruenti sono
UGUALI.
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
Aristotele
Marx
vediamo alcuni esempi in cui proprietà geometriche non dipendono
SOLO dalle parti che compongono un oggetto
MA ANCHE dal modo in cui le parti sono collegate insieme
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
la somma è un concetto chiaro sui numeri, ma NON
su insiemi o figure geometriche (insiemi di punti)
somma = unione?
NO
PROBLEMA: in una classe ci sono 12 bambini biondi e 15 bambini con gli occhi azzurri.
Quanti bambini formano (come minimo) la classe?
RISPOSTA: 15
non 27!
occhi
azzurri
biondi
occhi
azzurri
biondi
occhi
azzurri
biondi
occhi
azzurri
biondi
RISPOSTA: 15
TANGRAM
NON si possono
sovrapporre i pezzi
queste figure
non sono uguali
anche se hanno
la stessa area
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
somma = unione?
NO
PROBLEMA: in un anno normale (= senza squalifiche) una
contrada che non corre d’obbligo né a Luglio né a Agosto,
quante PROBABILITA’ ha di correre ALMENO UN Palio?
probabilità di
uscire a Luglio
probabilità di
uscire ad Agosto
+
probabilità di uscire sia
a Luglio che ad Agosto
formula di Grassmann
# (A u B) = # (A) + # (B) - # (A n B)
=
60%
+
51%
anche senza sovrapposizioni, le cose non filano lisce
nastro di Moebius
il nastro di
Moebius e il
cilindro sono
equidecomponibili
ma ben diversi!
ACGGTCACTAC
MATEMATICA: il tutto è uguale alla somma delle sue parti
L’equi-decomponibilità però funziona per le aree e i volumi
le operazioni sui numeri sono
COMMUTATIVE
invarianti numeriche
Le operazioni su parti di un tutto NON sono commutative
metto una piramide
metto un cubo
non è uguale a
metto un cubo
metto una piramide
anche se il volume è lo stesso
Molte delle principali operazioni su numeri sono commutative
ma ci sono anche operazioni non su numeri che spesso non sono
commutative
l’operazione più
potente del mondo
quella che tutti facciamo
dalla mattina alla sera
fare una cosa dietro l’altra
composizione
non è commutativa!
prima guardare se
viene nessuno e poi
attraversare la strada
non e la stessa cosa che prima
attraversare la strada e poi
guardare se viene nessuno
mettere prima una
piramide e poi un cubo
non è uguale a
mettere prima un cubo
e poi una piramide
Il mondo è pieno di operazioni non commutative
fare prima una rotazione e
poi una simmetria
specchio
non è la stessa
cosa che
fare prima una simmetria e
poi una rotazione.
specchio
Geometria Differenziale
Studia oggetti geometrici che localmente (cioè nelle vicinanze di ogni
punto) sono banali e tutti uguali, ma le cui proprietà globali differiscono.
concludendo: anche per la Matematica
il tutto NON è uguale alla somma delle sue parti
ma:
alcune invarianti del tutto sono uguali
alla somma delle invarianti delle sue parti
(aree, volumi, ecc.)
e quest’ultimo fatto non è mai scontato
SATOR
AREPO
TENET
OPERA
ROTAS
ha in
pugno
e ne conosce
anche i limiti
i metodi
« o studianti, studiate le matematiche,
e non edificate sanza fondamento »
Grazie per l’attenzione