Associazione tra variabili qualitative
• È possibile verificare l’associazione anche tra
variabili qualitative (nominali o ordinali)
attraverso un apposito test.
• Esempio:
• Verificare l’associazione tra genere e scelta
della facoltà universitaria.
• Ossia ci si sta chiedendo: la scelta della facoltà
universitaria dipende dal genere o è
indipendente al genere?
• Dunque bisogna testare la dipendenza tra le
due variabili.
Costruire la tabella di frequenza doppia
Soggetti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Genere
Maschio
Femmina
Femmina
Femmina
Maschio
Femmina
Femmina
Maschio
Femmina
Maschio
Facoltà
Psicologia
Psicologia
Psicologia
Psicologia
Ingegneria
Psicologia
Psicologia
Ingegneria
Ingegneria
Ingegneria
Tabella di frequenza doppia
Maschi
Femmine
Tot colonna
Psicologia
1
5
6
Ingegneria
3
1
4
Totale riga
4
6
10
Informazioni della Tabella di frequenza doppia:
Esprime la relazione tra le modalità (o livelli) di 2
variabili qualitative.
I numeri all’interno di ciascuna cella indicano le
frequenze osservate (fo) sul campione, ossia
derivanti dalla rilevazione.
Frequenze attese
• Per verificare l’eventuale dipendenza è
necessario calcolare la frequenza attesa (fe;
expected frequencies) per ciascuna cella
(frequenza osservata).
• Ossia in questo caso: sapendo che i maschi
sono 4 e che gli iscritti a psicologia sono 6,
quanti maschi “mi aspetto” che si iscrivano a
psicologia?
fe

tot

riga
tot
colonna
N

Tabella doppia con fo ed fe
Maschi
Femmine
Tot colonna
Psicologia
Ingegneria
Totale riga
1
(fe=2,4)
5
(fe=3,6)
6
3
(fe=1,6)
1
(fe=2,4)
4
4
6
10
La somma delle frequenze attese per riga deve al
totale di riga.
La somma delle frequenze attese per colonna deve
al totale di colonna.
La somma di tutte le frequenze attese deve essere
uguale a N.
Indice di dipendenza χ2
• Dopo aver calcolato le fe si calcola il χ2:
 
2
 fo  fe 
2
fe
• Se tutte le fo e le fe sono uguali il valore del χ2
sarà uguale a 0, dunque le due variabili non
sono dipendenti.
• Di conseguenza, maggiore è la differenza tra fo
ed fe, maggiore sarà il valore del χ2.
Calcolo del χ2
Psicologia
Ingegneria
Totale riga
1
fe=2,4
5
fe=3,6
6
3
fe=1,6
1
fe=2,4
4
4
Maschi
Femmine
Tot colonna

1  2,4 
 
2
2
2,4

3  1,6

2
1,6
6
10

5  3,6

2
3,6

1  2,4 

2
2,4
  0,82  1,23  0,54  0,82  3,41
2

Caratteristiche del χ2
• L’indice χ2 è sempre positivo
• Può assumere valori che variano tra 0 (massima
indipendenza) ed N (massima dipendenza)
• Il χ2 risulta dunque difficilmente interpretabile e
pertanto è necessario calcolare il χ2 relativo (φ)
ossia χ2/N
• φ varia tra 0 ed 1 e si interpreta come segue:
0 e 0,5
0,5 e 1
Indipendenza tra le
variabili
Dipendenza tra le
variabili
Calcolo del χ2 relativo: interpretazione
• φ= χ2/N
• φ= 3,41/10=0,34
• Interpretazione
• Le due variabili non risultano associate, ossia
genere e scelta della facoltà universitaria sono
indipendenti (o più precisamente, la scelta
universitaria non dipende dal genere).
Esercizio 1
• Verificare l’associazione tre le variabili “genere” ed
“esito dell’esame di psicometria”.
Soggetti
Genere
Esito
1
Maschio
Bocciato
2
Maschio
Bocciato
3
Maschio
Promosso
4
Femmina
Promosso
5
Femmina
Promosso
6
Femmina
Promosso
7
Femmina
Bocciato
8
Femmina
Bocciato
9
Femmina
Bocciato
10
Femmina
Bocciato
11
Femmina
Bocciato
12
Femmina
Bocciato
Tabella di massima indipendenza
Promozione
Bocciatura
Totale riga
1
fe=1
3
fe=3
4
2
fe=2
6
fe=6
8
3
Maschi
Femmine
Tot colonna

12

1  1 2  2  3  3 6  6




2
2
9
1
2
2
2
3
2
6
0
Esercizio 2
• Verificare l’associazione tra le variabili “genere” e
“professione”.
Soggetti
Genere
Professione
1
Maschio
Meccanico
2
Maschio
Meccanico
3
Maschio
Meccanico
4
Maschio
Meccanico
5
Maschio
Meccanico
6
Maschio
Meccanico
7
Maschio
Estetista
8
Femmina
Estetista
9
Femmina
Estetista
10
Femmina
Estetista
11
Femmina
Estetista
12
Femmina
Estetista
Tabella di frequenza doppia
Estetista
1
fe=3,5
5
fe=2,5
6
Maschi
Femmine
Tot colonna
Meccanico
6
fe=3,5
0
fe=2,5
6
Totale riga
7
5
12
2
2
2
2








1

3
,
5
6

3
,
5
5

2
,
5
0

2
,
5
2 



 1,79  1,79  2,5  2,5  8,58
3,5
3,5
2,5
2,5
φ=0,72 quindi?
Le due variabili sono dipendenti: in particolare i maschi
scelgono di fare il meccanico, mentre le femmine di fare
l’estetista.
Esercizio 3
• Verificare l’efficacia della psicoterapia rispetto a tra
diversi disturbi.
Soggetti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Disturbo
Depressione
Ansia
Bipolare
Depressione
Ansia
Bipolare
Depressione
Ansia
Bipolare
Depressione
Esito dopo 2 mesi
Migliorato
Migliorato
Stabile
Stabile
Migliorato
Peggiorato
Stabile
Migliorato
Peggiorato
Migliorato
Risultati
Peggiorato
Stabile
Migliorato
Totale riga
Ansia
0
fe=0,6
0
fe=0,9
3
fe=1,5
3
Bipolare
2
fe=0,6
1
fe=0,9
0
fe=1,5
3
Depressione
0
fe=0,8
2
2
fe=1,2
3
2
fe=2
5
4
Tot colonna
10
• χ2=9,11; φ=0,91; c’è dipendenza tra le variabili.
• In particolare: le persone con disturbo di ansia hanno
avuto un miglioramento; le persone con disturbo
bipolare hanno avuto un peggioramento; le persone
con disturbo di depressione sono rimaste stabili.