n. 7
Quaderni del Liceo Ferraris
dicembre
2011
Matematica
divertente
e magica
Ennio Peres
Quaderni del Liceo Ferraris
numero 7 - dicembre 2011
Ennio Peres
Matematica divertente e magica
Troppo spesso la matematica è ritenuta disciplina arida e
astrusa: ma non è così! Per dirla come il famoso esperto di giochi
matematici Martin Gardner:
“Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere la
matematica interessante è quella di presentarla come se fosse
un gioco. A livelli superiori – specialmente quando la matematica
è applicata a problemi concreti – può e deve essere terribilmente
seria. Ma, nessuno studente può essere motivato a studiare, ad
esempio, la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la troverà
bella, interessante, o addirittura utile se diventerà un fisico delle
particelle elementari (…). Nessuno dice che un insegnante non
debba far altro che divertire i propri studenti. Deve esserci un
interscambio tra serietà e divertimento: quest’ultimo tiene desto
l’interesse, mentre la serietà giustifica il divertimento. Alla fine, lo
studente potrà perfino essere sorpreso dalla quantità di
matematica non banale che ha appreso senza neppure volerlo”.
Il presente quaderno riporta alcuni significativi esempi di
giochi matematici proposti dal famoso matematico e “giocologo”
Ennio Peres in occasione dell’incontro culturale svoltosi presso il
Liceo “G. Ferraris” di Taranto il 4 febbraio 2011 e dimostra che
“La matematica è un gioco e comunica totale magia.”
(Anagramma di Mister Aster…alias Ennio Peres)
Ennio Peres, laureato in matematica, ex docente di matematica e
di informatica, dalla fine degli anni ’70 svolge la professione di
“giocologo”, con l’intento di diffondere tra la gente il piacere
creativo di giocare con la mente. E’ autore di numerosi libri di
argomento ludico, ideatore di giochi in scatola e radiotelevisivi e
collabora con varie testate giornalistiche.
MATEMATICA
DIVERTENTE E
MAGICA
Autore:
Ennio Peres
Introduzione
La matematica è ritenuta una materia arida e noiosa solo da
chi la considera unicamente come la disciplina che insegna a fare i
conti. In realtà, nel processo di risoluzione di un problema
matematico, lo svolgimento dei calcoli costituisce solo il momento
terminale (oggettivamente, monotono e ripetitivo); la fase più
importante, e assai più stimolante, è proprio quella relativa alla
ricerca del procedimento da seguire. Nella didattica della matematica,
il ricorso a delle proposte ludiche consente di affrontare in maniera
piacevole la soluzione di problemi di varia complessità e rappresenta,
quindi, uno strumento di motivazione allo studio molto più
coinvolgente di quell’arido e intricato guazzabuglio di passaggi
algebrici che tradizionalmente deprime e scoraggia la maggioranza
degli studenti di ogni ordine e grado. In particolare, può risultare
molto efficace l’esecuzione di qualche gioco di prestigio basato su un
ragionamento matematico. Se si esegue in classe un gioco di questo
tipo, senza spiegarne il trucco, ma invitando gli alunni a scoprirlo,
l’innata tendenza umana a svelare l’arcano, dovrebbe spingerli ad
applicarsi con impegno in tale ricerca. In questa fase, tra l’altro,
dovrebbero essere indotti a collegare in maniera più concreta i
concetti astratti con l’esperienza pratica, dovendo necessariamente
interpretare in chiave matematica ogni singolo passo dell’esibizione
alla quale hanno assistito.
Qui di seguito sono riportati alcuni significativi esempi di
questo genere di giochi, proposti durante l’incontro culturale svoltosi
al Liceo “G. Ferraris” di Taranto venerdì 4 febbraio 2011.
Matematica divertente e magica – pag.
2
1. IL MAGICO «9»
Modalità di esecuzione
1. Scrivete il numero 9 su un foglio (senza far vedere quale
numero avete scritto) e ponete poi il foglio in una busta chiusa.
2. Chiamate uno spettatore e chiedetegli di posizionare uno
stuzzicadenti su un tabellone della tombola, in un punto a sua scelta,
in modo da toccare tre soli numeri (ammettiamo che, come illustrato
in fig. 1, i numeri siano: 87, 88 e 89).
3. Invitatelo ad eseguire la somma delle cifre dei tre numeri
così e di ripetere eventualmente tale operazione sul risultato ottenuto,
finché
non
gli
rimane
una
sola
cifra
(nel
nostro
caso:
8 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48; 4 + 8 = 12; 1 + 2 = 3).
4. Chiedetegli di posizionare lo stuzzicadenti in un altro punto
del cartellone, in modo da toccare tre nuovi numeri (ammettiamo che,
come illustrato in fig. 2, i numeri siano: 27, 36 e 45).
figura 1
figura 2
5. Invitatelo ad eseguire, come prima, la somma delle cifre dei
numeri così scelti fino a ottenere una sola cifra (nel nostro caso:
2+7+3+6+4+5 = 27; 2+7 = 9).
6. Pregatelo di eseguire il prodotto tra il risultato così ottenuto
e quello ottenuto prima (nel nostro caso: 3×9= 27).
Matematica divertente e magica – pag.
3
7. Chiedetegli, infine, di eseguire la somma delle cifre del
numero così ottenuto (nel nostro caso: 2+7 = 9).
8. Aprite la busta e mostrate che la vostra previsione si è
rivelata esatta.
Accorgimenti da seguire
Il gioco funziona sempre, se all’inizio scrivete sul foglio il
numero 9. Infatti, la somma delle cifre di un multiplo di 3 è, a sua
volta, un multiplo di 3 e moltiplicando tra loro due multipli di 3 si
ottiene sempre un multiplo di 9.
2. IL MAGICO «9»….e due
Modalità di esecuzione
1. Scrivete il numero 9 su un foglio (senza far vedere quale
numero avete scritto) e ponete poi il foglio in una busta chiusa.
2. Fornite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive
(specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera
indipendente, senza consultarsi con gli altri):
a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre
(ad esempio: 85);
b) eseguite la somma di queste due cifre (85
8+5 = 13);
c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima
(85−13 = 72);
d) se come risultato vi è venuto un numero composto da una
sola cifra fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre
(72
7+2 =9).
Matematica divertente e magica – pag.
4
3. A questo punto, chiedete che, al vostro via, ogni spettatore
dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.
4. Date il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno
in coro: «9»!
5. Aprite la busta contenente la vostra previsione e mettete in
evidenza che avevate previsto esattamente il risultato che sarebbe
stato ottenuto, nonostante aveste lasciato libero ogni spettatore di
scegliere il numero che preferiva.
Spiegazione del trucco
Un qualsiasi numero N di due cifre, composto da X decine e Y
unità, può essere scritto come: N = 10X+Y.
Eseguendo le due operazioni richieste, si ottiene, quindi:
N−(X+Y) = 10X+Y−X−Y = 9X.
Il risultato è, di conseguenza, sempre un multiplo di 9,
indipendentemente dal valore del numero di partenza. Per un noto
criterio di divisibilità, inoltre, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è
sempre uguale a 9...
3. UN CALCOLO CON I PIEDI
Modalità di esecuzione
1. Impartite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive
(specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera
indipendente, senza consultarsi con gli altri):
a) scrivete il vostro numero di scarpe, senza prendere in
considerazione eventuali mezze misure (ad esempio: 42);
Matematica divertente e magica – pag.
5
b) moltiplicate per 100 questo numero (42×100 = 4200);
c) sottraete dal numero così ottenuto il vostro anno di nascita
(ad esempio: 1975 e, quindi: 4200−1975 = 2225);
2. A questo punto chiedete a uno spettatore di comunicarvi il
risultato che ha ottenuto e, dopo pochi secondi, siete in grado di
indovinare il numero di scarpe che porta e l’età che ha compiuto (o
che compirà nell’anno in corso).
3. Potete replicare questa stessa performance, con altri
spettatori, una quantità di volte a vostro piacere...
Accorgimenti da seguire
Per riuscire in tale impresa, dovete sommare mentalmente il
valore dell’anno in corso al numero che vi viene, di volta in volta,
comunicato. Se tutti i calcoli sono stati eseguiti correttamente, ogni
risultato sarà costituito da quattro cifre: le prime due indicheranno il
numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno l’età.
Nell’esempio precedente, supponendo che l’anno in corso sia il
2011, si ottiene:
2225+2011 = 4236
42 | 36 (scarpe = 42, età = 36).
Il trucco funziona sempre, purché il gioco non venga proposto
a una persona che ha più di 99 anni...
Spiegazione del trucco
Se chiamiamo S il numero di scarpe dello spettatore, A il suo
anno di nascita e N il risultato che ci viene comunicato, la sequenza
di istruzioni fornita genera la seguente equazione:
N = S×100−A
Matematica divertente e magica – pag.
6
Se, inoltre, chiamiamo C l’anno in corso e aggiungiamo questo
valore a quello di N, otteniamo:
R = N+C = S×100−A+C
o anche:
R = S×100+(C−A)
Considerando che l’età E di una persona è uguale alla
differenza tra l’anno in corso e quello di nascita, possiamo porre
E = C−A e, quindi, l’equazione precedente diventa:
R = S×100+E
Siccome sia S che E possono essere composti al massimo da
due cifre (se si evita di proporre il gioco a un centenario...), possiamo
porre S = “ab” ed E = “cd”. Di conseguenza, il valore R della somma
indicata nella relazione precedente, si ricava nel seguente modo,
impostando l’addizione in colonna:
ab00 +
cd =
abcd
Come appare evidente:
• il numero composto dalle prime due cifre di questo risultato
(“ab”) coincide con S (numero di scarpe dello spettatore);
• il numero composto dalle ultime due cifre di questo risultato
(“cd”) coincide con E (età dello spettatore).
Matematica divertente e magica – pag.
7
4. L’INDOVINO VINCENTE
Modalità di esecuzione
1. Procuratevi un insieme di dieci carte da gioco, composto da
un Jolly e da altre nove carte di valore dall’1 (asso) al 9.
2. Porgete le dieci carte a uno spettatore e chiedetegli di
disporle sul tavolo, in fila orizzontale, nel modo che ritiene più
opportuno.
3. Comunicategli che, a turno, ognuno di voi due dovrà togliere
una sola carta da una delle due estremità della fila; vincerà chi, alla
fine, sarà riuscito a conseguire il totale più alto, sommando i valori
delle cinque carte prese (il pareggio non è possibile, perché la
somma di tutti i valori in gioco, 45, è dispari).
4. Fate presente allo spettatore che, per bilanciare il vantaggio
concessogli nel lasciarlo libero di scegliere la disposizione delle carte,
la prima mossa la effettuerete voi.
5. Prima di dare inizio al gioco, annunciate che voi vincerete
sicuramente la sfida, pronosticando anche il punteggio che riuscirete
a conseguire.
Supponiamo, ad esempio, che lo spettatore abbia disposto le
carte nel seguente modo.
Dopo aver dato una rapida occhiata alla situazione, annunciate
che vincerete: 27 a 18; poi, iniziate a giocare, prendendo la prima
carta a sinistra (l’asso). Successivamente, le mosse si alterneranno
come di seguito indicato (dove: A = voi; B = spettatore):
Matematica divertente e magica – pag.
8
Carte in tavola
Punti
A
1
B
6
A
8+1 =
=9
B
5+6 =
= 11
A
2+9 =
= 11
B
4+11 =
= 15
A
9+11 =
= 20
B
3+15 =
= 18
A
7+20 =
= 27
B
0+18 =
= 18
Matematica divertente e magica – pag.
9
6. A questo punto, fate notare che, non solo avete vinto, ma
che avete anche centrato in pieno il risultato pronosticato!
Accorgimenti da seguire
All’inizio, dopo che lo spettatore ha disposto le dieci carte,
dovete calcolare mentalmente la somma dei valori delle carte di posto
pari e quella delle carte di posto dispari, valutando quale delle due è
più alta. Nell’esempio precedente, la somma più alta corrispondeva ai
valori delle carte di posto dispari, come qui di seguito evidenziato.
carte
Somme
dispari
2+3+8+
+10+9=
= 32
pari
5+3+0+
+4+6 =
= 18
Come valore di previsione, dovete annunciare proprio quello
della somma così rilevata (nel nostro caso: 32).
Se la somma più alta è data dalle carte di posto dispari, dovete
iniziare a giocare prendendo la carta che si trova all’estremità sinistra
(di posto dispari); altrimenti, dovete prendere quella che si trova
all’estremità destra (di posto pari). Per questo motivo, nell’esempio
precedente (dove la somma di valore più alto corrispondeva alle
posizioni dispari), dovevate prendere la carta che si trovava
all’estremità sinistra.
Successivamente, dovete prelevare, ogni volta, la carta che si
trova nella posizione attigua a quella della carta che ha appena preso
Matematica divertente e magica – pag. 10
l’avversario..
Spiegazione del trucco
Dopo aver individuato in quale delle due posizioni (pari o
dispari) si trovano le carte che forniscono la somma più alta, il trucco
consiste nel riuscire a prendere tutte le carte che si trovano proprio in
quella posizione, forzando lo spettatore a prendere le altre.
Di conseguenza, se si prende all’inizio la carta che si trova
nella posizione prescelta (pari o dispari), alla mossa successiva lo
spettatore potrà prendere solo una carta che si trova nell’altra
posizione (dispari o pari), indipendentemente dall’estremità che
sceglie.
I due schemi seguenti (dove P = pari; D = dispari) dovrebbero
chiarire tale concetto.
Matematica divertente e magica – pag. 11
D
P
P
D
P
D
D
P
P
1° caso: tolta la carta di posto dispari, è possibile prendere
solo una carta di posto pari
D
D
P
P
D
P
D
D
P
2° caso: tolta la carta di posto pari, è possibile prendere solo
una carta di posto dispari
Si può ripristinare una situazione analoga a questa se, ogni
volta, dopo che lo spettatore ha preso la sua carta (in posizione
obbligata), si prende la carta (l’unica) che si trova nella posizione di
somma maggiore, individuata all’inizio. Siccome, accanto a una
posizione di certo tipo (pari o dispari) ce n’è sempre ovviamente una
dell’altro tipo (dispari o pari), per compiere una simile mossa, in
maniera automatica, basta prendere ogni volta la carta che si trova
nella posizione attigua a quella della carta che ha appena preso
l’avversario.
5. IL CALCOLATORE LAMPO
Modalità di esecuzione
1. Preparate otto cartoncini rettangolari, scrivendo su ognuno
di essi cinque cifre disposte in colonna, secondo lo schema seguente:
8
1
6
0
5
7
5
0
1
8
4
6
7
2
3
1
7
8
3
4
5
0
9
4
6
3
9
8
5
0
9
8
1
6
2
2
4
5
7
9
Matematica divertente e magica – pag. 12
2. Consegnate i cartoncini ad uno spettatore; voltategli le
spalle e pregatelo di disporre sul tavolo una certa quantità di questi
cartoncini (anche tutti), uno accanto all’altro.
3. Fate notare che in questo modo, si sono formati cinque
numeri, composti da tante cifre quanti sono i cartoncini utilizzati,
incolonnati uno sotto l’altro. Ad esempio, se sono stati disposti cinque
cartoncini nel seguente modo:
2
4
5
7
9
4
6
7
2
3
5
0
9
4
6
7
5
0
1
8
9
8
1
6
2
si sono formati nell’ordine i seguenti cinque numeri di sei cifre:
24.579 – 46.058 – 57.901 – 72.416 – 93.682.
4. Annunciate che siete in grado di eseguire la somma di
questi cinque numeri, a velocità istantanea.
5. Prendete un foglio di carta e una penna; voltatevi e, dopo
aver posto il foglio sul tavolo, alla base dei cartoncini, scrivete su di
esso la somma dei cinque numeri. Nell’esempio in esame, scriverete:
2
2
4
5
7
9
4
6
7
2
3
5
0
9
4
6
7
5
0
1
8
9
8
1
6
2
9
4
6
3
6
6. Fate verificare allo spettatore, ricorrendo eventualmente a
una calcolatrice, che il valore da voi trascritto è esatto (infatti:
24.579+46.058+57.901+72.416+93.682 = 294.636).
Matematica divertente e magica – pag. 13
Accorgimenti da seguire
Invece di calcolare realmente la somma dei cinque numeri,
dovete effettuare le seguenti semplici operazioni:
a) scrivere un 2 nella posizione che precede quella occupata
dal primo cartoncino a sinistra;
b) sotto ciascuno dei cartoncini seguenti, tranne l’ultimo,
scrivere la somma tra il numero 2 e la cifra che, nel relativo
cartoncino, occupa il 4° posto dall’alto;
c) sotto l’ultimo cartoncino trascrivere inalterata la cifra che, in
esso, occupa il 4° posto dall’alto.
Il seguente schema (dove sono state evidenziate e colorate in
verde le cifre che, nei vari cartoncini, occupano il 4° posto dall’alto)
dovrebbe chiarire le operazioni da svolgere, nel caso in esame.
2
4
5
7
9
4
6
7
2
3
5
0
9
4
6
7
5
0
1
8
9
8
1
6
2
9
4
6
3
6
↑
↑
↑
↑
7+2
2+2
4+2
1+2
2
Spiegazione del trucco
Gli otto cartoncini sono stati preparati in modo tale che la
somma delle cinque cifre riportate su ognuno di essi sia sempre
uguale al valore della somma tra il numero fisso 20 e la cifra che si
trova al quarto posto dall’alto. Qui di seguito, è mostrata in dettaglio
tale corrispondenza.
Matematica divertente e magica – pag. 14
8
1
6
0
5
7
5
0
1
8
4
6
7
2
3
1
7
8
3
4
5
0
9
4
6
3
9
8
5
0
9
8
1
6
2
2
4
5
7
9
20
21
22
23
24
25
26
27
La somma delle cifre appartenenti a una stessa colonna,
quindi, dà sempre come risultato un valore uguale alla cifra che
occupa il quarto posto dall’alto, con il riporto di 2.
Nell’esempio precedente, in definitiva, è stata eseguita la
seguente addizione:
26+
21
24
22
27
+
+
+
=
294636
Come si può facilmente notare, le cifre poste in quarta
posizione nei cartoncini sono tutte inferiori a 8; di conseguenza, una
loro eventuale somma con il numero fisso 2 non genera mai un
ulteriore riporto, indipendentemente dalla disposizione dei cartoncini.
Questo particolare non solo vi consente di eseguire molto
velocemente le operazioni richieste, senza preoccuparvi di controllare
le posizioni reciproche dei cartoncini, ma vi permette anche di
scrivere il risultato direttamente da sinistra verso destra, dando
l’impressione di essere riusciti a calcolarlo a mente, già qualche
attimo prima.
Matematica divertente e magica – pag. 15
6. IL QUADRATO MAGICO
Modalità di esecuzione
1. Disegnate su una lavagna (o su un
foglio grande), lo schema vuoto di una matrice
quadrata, di dimensioni 4x4.
2. Chiedete a uno spettatore di scegliere un numero intero,
maggiore di 30, e di scriverlo su un foglietto, senza farlo vedere agli
altri.
3. Guardate il numero scritto dallo spettatore, ripiegate il
foglietto e chiudetelo in una busta.
4. In ciascuna delle sedici caselle della matrice, scrivete un
diverso numero intero, a vostro completo arbitrio. Supponiamo, ad
esempio, che lo spettatore abbia scelto il numero 50 e che voi
abbiate riempito la matrice nel seguente modo.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5. Invitate gli altri spettatori a scegliere, di comune accordo,
uno qualsiasi dei sedici numeri contenuti nella matrice.
6. Evidenziate il numero che vi viene comunicato e cancellate
tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa riga e la sua stessa
Matematica divertente e magica – pag. 16
colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio il numero 6,
dovete generare una configurazione analoga alla seguente.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
7. Continuate, invitando il pubblico a scegliere uno dei numeri
che non avete cancellato (nel caso in esame: 9, 11, 12, 13, 15, 16,
17, 19, 20).
8. Come prima, evidenziate il numero che vi viene comunicato
e cancellate tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa riga e la sua
stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio, il
numero 15, dovete generare una configurazione analoga alla
seguente.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
9. Invitate di nuovo il pubblico a scegliere uno dei numeri che
non avete ancora cancellato (nel caso in esame: 9, 12, 17, 20).
10. Ancora una volta, evidenziate il numero che vi viene
comunicato e cancellate tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa
riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad
esempio, il numero 12, dovete generare una configurazione analoga
alla seguente:
Matematica divertente e magica – pag. 17
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
11. Essendo rimasto un numero solo (nel caso in esame, 17),
evidenziatelo direttamente, in quanto la scelta sarebbe obbligata.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
12. Eseguite la somma dei quattro numeri scelti (nel caso in
esame, 6+15+12+17 = 50), aprite la busta e mostrate al pubblico che,
prodigiosamente, il valore così ottenuto coincide con quello che
aveva scelto all’inizio lo spettatore (nel caso in esame, 50,
appunto...).
Accorgimenti da seguire
Dopo aver conosciuto il valore N scelto dallo spettatore dovete
eseguire le seguenti operazioni.
a) Calcolate (possibilmente a mente) il quoziente intero della
divisione: (N–30)/4.
b) Ponete il valore ottenuto nella prima casella in alto a sinistra
della matrice e riempite le altre caselle, in base alle seguenti
indicazioni.
b1) Se il resto della divisione che avete eseguito è uguale a
0, dovete scrivere i numeri nelle caselle, procedendo da sinistra verso
Matematica divertente e magica – pag. 18
destra e dall’alto verso il basso, aumentando ogni volta di un’unità il
valore precedente (in maniera rigorosa, senza alcuna discontinuità).
Se, ad esempio, venisse scelto: N=34, il risultato della
divisione sarebbe: (34–30)/4 = 1, con il resto di 0; quindi, dovreste
riempire la matrice nel seguente modo.
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
b2) Se il resto della divisione che avete eseguito è diverso
da 0, dovete scrivere i numeri in maniera analoga alla precedente,
badando a saltare, però, un’unità all’inizio della riga il cui numero di
posizione, a contare dal basso, è uguale al resto ottenuto.
Ad esempio, se venisse scelto: N=35, il risultato della divisione
sarebbe: (35–30)/4 = 1, con il resto di 1; quindi, dovreste saltare
un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal basso, come indicato
nello schema seguente.
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17
Se, invece, venisse scelto: N=36, il risultato della divisione
sarebbe: (36–30)/4 = 1, con il resto di 2; quindi, dovreste saltare
un’unità all’inizio della 2a riga a contare dal basso, come indicato
nello schema seguente.
Matematica divertente e magica – pag. 19
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
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14
15
16
17
Se, infine, venisse scelto: N=37, il risultato della divisione
sarebbe: (37–30)/4 = 1, con il resto di 3; quindi, dovreste saltare
un’unità all’inizio della 3a riga a contare dal basso, come indicato
nello schema seguente.
1
2
3
4
6
7
8
9
10
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15
16
17
N.B.: Se qualche spettatore vi dovesse chiedere come mai
avete saltato un’unità nel riempire la matrice, potreste candidamente
rispondere che vi siete distratti, ma che cercherete di far riuscire il
gioco ugualmente...
Spiegazione del trucco
È evidente che, perché il gioco
riesca
sempre,
bisogna
riuscire
a
riempire le caselle della matrice in
maniera tale che, ogni possibile insieme
di quattro numeri, scelti in modo da
x
y
a a+x a+y
z
w
a+z a+w
b b+x b+y b+z b+w
c c+x c+y
c+z c+w
averne uno solo in ogni riga e in ogni
colonna,
generi
sempre
la
stessa
d d+x d+y d+z d+w
somma.
Matematica divertente e magica – pag. 20
Per ottenere un simile risultato, è necessario inserire in ogni
casella della matrice un valore uguale alla somma di due costanti,
una relativa alla sua riga e l’altra alla sua colonna, come qui di fianco
indicato.
Con tale impostazione, ogni possibile insieme di quattro
numeri, scelti in modo da non averne più di uno in ogni riga e in ogni
colonna, genererà una somma uguale a quella di tutte le costanti
assegnate alle righe e alle colonne, come qui di seguito esplicitato.
x
y
a a+x a+y
z
w
x
a+z a+w
y
a a+x a+y
z
w
a+z
a+w
b b+x b+y b+z b+w
b b+x b+y b+z b+w
c c+x c+y
c c+x c+y
c+z c+w
c+z
c+w
d d+x d+y d+z d+w
d d+x d+y d+z d+w
S1 = a+x + b+y + c+z + d+w =
S2 = c+x + a+y + d+z + b+w =
= a+b+c+d+x+y+z+w
= a+b+c+d+x+y+z+w
Il trucco, quindi, consiste nel riuscire a costruire una matrice
del genere, facendo in modo che la somma delle costanti assegnate
alle righe e alle colonne sia uguale al numero N, scelto dallo
spettatore all’inizio.
In teoria, è possibile raggiungere un simile obiettivo, adottando
vari sistemi. Il metodo più semplice e veloce, però, consiste nel porre
un valore nella casella in alto a sinistra e riempire poi le altre caselle
con valori incrementati di un’unità alla volta.
Matematica divertente e magica – pag. 21
In questo modo, si attribuiscono automaticamente le costanti:
0, 1, 2, 3 alle colonne e le costanti:
a, a+4, a+8, a+12 alle righe.
0
1
2
3
a
a+1
a+2
a+3
a+4 a+4
a+5
a+6
a+7
a+8 a+8
a+9
a+10 a+11
a
a+12 a+12 a+13
a+14 a+15
Sommando tutte le costanti di questa matrice, si ottiene:
S = 0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+12 = 4a+30.
Quindi, una volta conosciuto il numero N scelto dallo
spettatore, si può ricavare il valore da inserire nella prima casella in
alto a sinistra, ponendo: N =4a+30 e ricavando: a = (N–30)/4.
Questo ragionamento è valido, però, solo se la divisione
effettuata dà come resto 0. In caso contrario, bisogna modificare
opportunamente i valori di alcune costanti, per compensare la
differenza mancante. Un modo piuttosto semplice per raggiungere
uno scopo del genere può essere quello qui di seguito indicato.
• Se il resto è uguale a 1 (ovvero, se N=4a+31), si incrementa
di un’unità la costante relativa all’ultima riga (in pratica, ciò si ottiene
saltando un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal basso),
portandola ad assumere il valore a+13.
Matematica divertente e magica – pag. 22
0
1
2
3
a
a+1
a+2
a+3
a+4 a+4
a+5
a+6
a+7
a+8 a+8
a+9
a+10 a+11
a
a+13 a+13 a+14
a+15 a+16
In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice
diventa:
S = 0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+13 = 4a+31 = N
• Se il resto è uguale a 2 (ovvero, se N=4a+32), si
incrementano di un’unità le costanti relative all’ultima e alla penultima
riga (in pratica, ciò si ottiene saltando un’unità all’inizio della 2a riga a
contare dal basso) portandole ad assumere rispettivamente i valori
a+9 e a+13.
0
1
2
3
a
a+1
a+2
a+3
a+4 a+4
a+5
a+6
a+7
a+9 a+9
a+10
a+11 a+12
a+13 a+13 a+14
a+15 a+16
a
Matematica divertente e magica – pag. 23
In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice
diventa:
S= 0+1+2+3+a+a+4+a+9+a+13 = 4a+32 = N.
• Se il resto è uguale a 3 (ovvero, se N=4a+33), si
incrementano di un’unità le costanti relative all’ultima, alla penultima e
alla terzultima riga (in pratica, ciò si ottiene saltando un’unità all’inizio
della 3a riga a contare dal basso), portandole ad assumere
rispettivamente i valori a+5, a+9 e a+13.
0
1
2
3
a
a+1
a+2
a+3
a+5 a+5
a+6
a+7
a+8
a+9 a+9
a+10
a+11 a+12
a+13 a+13 a+14
a+15 a+16
a
In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice
diventa: 0+1+2+3+a+a+5+a+9+a+13= 4a+33 = N.
N.B.: Se il numero N scelto dallo spettatore fosse minore di 30,
il risultato della differenza: N–30 sarebbe negativo. Il gioco potrebbe
essere eseguito ugualmente, ma sarebbe molto più scomodo da
gestire.
Matematica divertente e magica – pag. 24
7. I TRE BICCHIERINI
Modalità di esecuzione
1. Ponete sopra un tavolo tre bicchierini rovesciati, di uguali
dimensioni, ma di diverso colore, contrassegnando le loro posizioni
con i numeri: 1, 2 e 3 .
2. Dopo aver osservato la situazione iniziale, giratevi con le
spalle al tavolo e chiedete a uno spettatore di nascondere un tappo di
sughero (o un altro oggetto di analoghe dimensioni) sotto uno
qualsiasi dei tre bicchierini, a sua scelta, senza dirvi quale.
3. Chiedetegli di scambiare di posto gli altri due bicchierini (ad
esempio, se ha messo il tappo sotto il bicchierino 3 giallo, deve
scambiare di posto il 2 rosso e l’1 verde), ma di non comunicarvi le
relative posizioni.
4. Chiedete allo spettatore di continuare ad effettuare altri
scambi, invitandolo, però, questa volta, a comunicarvi ogni coppia di
Matematica divertente e magica – pag. 25
posizioni relativa ai bicchierini coinvolti (ad esempio, uno scambio
analogo a quello indicato in fig. 2, deve comunicarvelo dicendo:
«Scambio l’1 con il 2»). A tale riguardo, è importante sottolineare che
deve indicare ogni bicchierino, tramite il numero della posizione in cui
si trova, prima di essere spostato. Ovviamente, nel corso di tutte
queste operazioni, il tappo deve rimanere sempre sotto lo stesso
bicchierino.
5. Quando lo spettatore ritiene di aver fatto un numero
sufficiente di scambi, vi voltate verso il tavolo e, senza troppi indugi,
sollevate il bicchierino che nasconde il tappo.
Per dimostrare che non avete indovinato per caso, potete
ripetere il gioco altre volte, riuscendo sempre ad individuare il
bicchierino giusto.
Accorgimenti da seguire
Prima di voltarvi, dovete scegliere mentalmente uno dei tre
bicchierini e ricordarne la posizione occupata. Successivamente,
dovrete riuscire a seguire il percorso che, a partire da questa
posizione, verrà compiuto dal vostro bicchierino (o da quello che avrà
preso il suo posto). A tale scopo, vi può essere utile assegnare al
pollice, all’indice, al medio della mano sinistra, rispettivamente, i
valori 1, 2 e 3, e indicare con la mano destra la posizione che il
bicchierino in questione, di volta in volta, si trova ad occupare.
Ad esempio, se state indicando la posizione 3 e vi viene
comunicato lo scambio 2 3, dovete passare a indicare la 2,
perché questa è la nuova posizione occupata dal bicchierino che
state seguendo; se, invece, vi viene comunicato lo scambio 1 2,
dovete continuare a indicare la 3, perché il bicchierino, non essendo
Matematica divertente e magica – pag. 26
stato coinvolto nello scambio effettuato, è rimasto nella stessa
posizione.
Quando, al termine degli scambi, vi rigirate verso il tavolo,
dovete controllare se la posizione che state indicando corrisponde a
quella occupata dal vostro bicchierino. In caso affermativo, il
bicchierino che nasconde il tappo coincide proprio con il vostro;
altrimenti, non è né quello, né l’altro che si trova nella posizione da
voi indicata, ma il terzo.
Supponiamo, ad esempio che, dopo aver osservato la
situazione riportata in figura 1, avete scelto mentalmente la tazzina
gialla, in posizione iniziale 3, e che, alla fine degli scambi, state
indicando la posizione numero 1. Se, quando vi voltate, la situazione
sul tavolo coincide, il bicchierino che contiene il tappo è proprio quello
giallo, in quanto si trova nella stessa posizione da voi indicata.
Matematica divertente e magica – pag. 27
Se, invece, la situazione non coincide, il bicchierino che
contiene il tappo non è, né quello giallo, né quello che si trova nella
posizione 1 (il rosso), ma è il terzo: ossia, quello verde.
Spiegazione del trucco
Dopo aver effettuato le due operazioni iniziali (mettere il tappo
sotto un bicchierino e scambiare di posto gli altri due), il bicchierino
che nasconde il tappo è anche l’unico che rimane al suo posto.
Quindi, se alla fine la posizione da voi indicata coincide proprio con
quella occupata dal vostro bicchierino, vuol dire che questo (il cui
tragitto avete potuto seguire fin dall’inizio) non è stato coinvolto nel
primo scambio e che, di conseguenza, il tappo è stato nascosto
proprio sotto di lui. Altrimenti, se vi trovate a indicare un altro
bicchierino, vuol dire che il vostro è stato coinvolto nel primo scambio
e che, quindi, non può nascondere il tappo; inoltre, siccome il suo
posto è stato preso dal bicchierino che state indicando (il cui tragitto
avete seguito fin dall’inizio), neanche questo può contenere il tappo,
essendo
stato
anche
lui
coinvolto
nel
primo
scambio.
Di
conseguenza, il bicchierino da individuare, non può essere né quello
scelto da voi, né l’altro che occupa la posizione da voi indicata; ma,
per esclusione, deve essere il terzo.
Prima variante
Matematica divertente e magica – pag. 28
Si può svolgere il gioco precedente in maniera ancora più
misteriosa, utilizzando tre bicchierini uguali, sia nella forma, che nel
colore. Infatti, osservando tre qualsiasi oggetti apparentemente
identici, è sempre possibile rilevare almeno un piccolo dettaglio (una
macchietta, una scrostatura, una venatura di colore, ecc.) che
consenta di distinguerne segretamente uno dagli altri due. Sotto
queste
ipotesi,
le
modalità
del
gioco
precedente,
restano
praticamente immutate, se si usa l’ovvia accortezza di scegliere come
bicchierino di riferimento proprio quello che si sa riconoscere.
Seconda variante
1. Disponete su un tavolo tre piccoli oggetti, contrassegnando
come nel caso precedente, le loro posizioni con i numeri: 1, 2 e 3.
2. Dopo avere osservato la situazione iniziale, giratevi con
spalle al tavolo e chiedete ad uno spettatore di pensare a uno dei tre
oggetti, a sua scelta, senza dirvi quale.
3. Chiedetegli di scambiare di posto gli altri due oggetti, senza
comunicarvi le loro posizioni (ad esempio, se
in relazione alla
situazione precedente, ha pensato alla moneta, deve scambiare di
posto il fermaglio e il temperalapis)
4. Chiedete allo spettatore di continuare ad effettuare altri
scambi, comunicandoveli,
con
le
stesse
modalità
del
gioco
Matematica divertente e magica – pag. 29
precedente. Questa volta, però, può interrompere la sequenza di
scambi solo quando è ritornato alla configurazione iniziale.
5. Al termine degli scambi, siete in grado di individuare
immediatamente l’oggetto pensato dallo spettatore, senza bisogno di
voltarvi verso il tavolo.
Gli accorgimenti da seguire sono simili a quelli del gioco
precedente; in questo caso, però, al termine degli scambi effettuati,
dovete controllare se la posizione che state indicando corrisponde
con quella che occupava all’inizio l’oggetto da voi scelto. In caso
affermativo, l’oggetto pensato dallo spettatore coincide proprio con il
vostro; altrimenti, non è né quello, né l’altro che si trova nella
posizione da voi indicata, ma il terzo.
8. I NANETTI MISTERIOSI
Preparazione
Fotocopiate le tre figure rettangolari riprodotte qui sotto;
incollatele su un cartoncino rigido e ritagliatele lungo i bordi..
figura 1
figura 2
figura 3
Presentazione
1. Disponete su una superficie piana i tre cartoncini ottenuti in
base alle precedenti istruzioni e accostateli nel modo indicato in fig. 4.
Matematica divertente e magica – pag. 30
2. Chiedete ai vostri spettatori di contare i nanetti che si
vedono nel disegno così composto. Tutti converranno che ce ne sono
15; né uno di più, né uno di meno...
figura. 4
3. Scambiate di posto i due cartoncini superiori (come indicato
in fig. 5) e pregate i vostri spettatori di contare nuovamente i nanetti.
Incredibilmente, questa volta saranno solo 14: uno di loro sarà
scomparso nel nulla...
figura 5
Spiegazione del trucco
Come si può notare, nell’insieme dei tre cartoncini sono
raffigurate 28 porzioni di nanetti, di varia misura: 14 nell’insieme dei
due cartoncini superiori e 14 in quello inferiore.
Posizionando i cartoncini come indicato in fig. 4, si abbinano
solo 13 coppie di porzioni, mentre ne rimangono isolate due molto
grandi (una sopra e una sotto), che corrispondono praticamente a
due nanetti interi (precisamente il 6° e il 13° da sinistra). In questa
configurazione, quindi, i nanetti che si vedono sono: 13+1+1 = 15.
Matematica divertente e magica – pag. 31
Se si inverte la posizione dei due cartoncini superiori (fig. 5),
ciascuna delle 14 porzioni inferiori, combacia perfettamente con una
delle 14 superiori. In questa configurazione, quindi, appaiono solo 14
nanetti.
È bene chiarire che non ha senso chiedersi quale nanetto
sparisca; infatti, tutti gli elementi iconografici presenti all’inizio si
ritrovano anche alla fine, anche se disposti in un altro modo.
Ovviamente, siccome negli spostamenti dei due cartoncini
nulla si crea e nulla si distrugge, i 15 nanetti che appaiono nella fig. 4
sono tutti mediamente un po’ più piccoli dei 14 che si vedono nella
fig. 5.
Nota – Il seguente, sorprendente gioco grafico (realizzato nel
1985 da Susanna Serafini, per la Clementoni) è una variante di un
ingegnoso rompicapo ideato nel 1896 dall’enigmista statunitense,
Sam Loyd. Il trucco su cui si basa, sfrutta un ragionamento
matematico piuttosto elementare; la sua individuazione, però, non è
affatto immediata.
La struttura di base
La costruzione grafica che consente l’effettuazione di questo
gioco può essere evidenziata dai due schemi seguenti, nei quali ogni
nanetto è rappresentato da un segmento verticale.
Come si può notare, il taglio orizzontale divide i segmenti in 28
parti, di varie misure: 14 disposte nell’insieme dei due rettangoli
superiori e 14 in quello inferiore.
Nella situazione indicata in fig. 6, si abbinano solo 13 coppie di
queste parti di segmenti, mentre ne rimangono isolate due molto
Matematica divertente e magica – pag. 32
lunghe (FF sotto e OO sopra). In questa configurazione, quindi, i
segmenti interi che si vanno a ricomporre sono: 13+1+1 = 15.
figura 6
Se si inverte la posizione dei due cartoncini superiori (fig. 7),
ciascuna delle 14 parti superiori, combacia perfettamente con una
delle 14 inferiori. In questa configurazione, quindi, si formano solo 14
segmenti interi.
figura 7
Ovviamente, come si può facilmente verificare, i 15 segmenti
che appaiono nella fig. 6, sono tutti mediamente un po’ più piccoli dei
14 che si vedono nella fig. 7.
Sulla traccia dello schema di fig. 6, è possibile realizzare delle
versioni personali di questo gioco, sostituendo tutte le linee verticali
con delle immagini di forma adeguata, anche molto semplici (come
lapis, alberi, torri, ecc.).
Matematica divertente e magica – pag. 33
Il concetto primario
Il gioco in questione è frutto di una sofisticata applicazione del
seguente, semplice paradosso geometrico.
– Tracciate su un foglietto un certo numero di linee rette
verticali, tutte alla stessa distanza l’una dall’altra e tutte della
medesima lunghezza.
– Dividete il foglietto con un taglio obliquo che lasci intatte la
prima e l’ultima linea (fig. 8).
figura 8
– Fate slittare la metà inferiore del foglietto verso sinistra, di
uno spazio uguale alla distanza tra una linea e l’altra (fig. 7).
– Contate quante linee compaiono ora: ne troverete una di
meno...
figura 9
Matematica divertente e magica – pag. 34
In questo caso così schematico, non è difficile verificare che, in
realtà, non è scomparsa alcuna linea, ma che ognuna di quelle nuove
si è accresciuta di un piccolo tratto, rispetto alle precedenti.
Infatti il taglio obliquo genera 14 segmenti di varia misura: 7
nella metà superiore del foglietto e 7 in quella inferiore.
Nella situazione iniziale di fig. 4, si abbinano solo 6 coppie di
segmenti, mentre ne rimangono isolati due (AA sopra e HH sotto). In
questa configurazione, quindi, si contano: 6+1+ 1 = 8 linee verticali.
Se si fa slittare la metà inferiore del foglietto (fig. 5), ciascuno
dei 7 segmenti superiori combacia perfettamente con uno di quelli
inferiori. In questa configurazione, quindi, appaiono solo 7 linee
verticali.
Matematica divertente e magica – pag. 35