UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
CORSO DI L.S. IN INGEGNERIA STRUTTURALE E GEOTECNICA (STREGA)
Corso di Calcolo Anelastico e a Rottura delle Strutture
A.A. 2010-2011
ELABORATO 3
DOCENTE:
Prof. Ing. L. Nunziante
TUTOR:
Allievo:
Prof. Ing. A. Gesualdo
Sabella Giuseppe
Matr. 344/234
1.
Premessa .................................................................................................................................................... 3
2.
Geometria e Carichi ................................................................................................................................... 5
3.
Caratteristiche Geometriche e Meccaniche della Sezione ......................................................................... 8
3.1 Domini di Resistenza .................................................................................................................................... 9
4.
Risoluzione della Struttura in Campo Elastico ........................................................................................ 11
5.
Calcolo del Minimo tra i Moltiplicatori di Limite Elastico ..................................................................... 14
6.
Calcolo dei Moltiplicatori di Collasso (Teorema Statico) ....................................................................... 16
7.
Verifica dei Moltiplicatori di Collasso (Teorema Cinematico) ............................................................... 29
8.
Moltiplicatore di Stabilizzazione Elasto-Plastica (Shake-Down) ............................................................ 31
1. Premessa
Oggetto della teoria della plasticità è lo studio del comportamento dei corpi costituiti da materiale
duttile, sollecitati oltre i limiti elastici.
Per questi corpi, ad una prima fase elastica della resistenza segue, con il crescere delle intensità
delle azioni sollecitanti, una seconda fase detta elasto-plastica, caratterizzata dalla presenza di zone
ove il materiale, pervenuto allo snervamento, diviene sede di deformazioni plastiche. Poiché le
deformazioni plastiche sono irreversibili, in un dato istante del processo di carico di un corpo
elasto-plastico, lo stato di deformazione e quello di tensione dipendono non solo dalle condizioni
attuali di carico, ma dalla storia del processo evolutivo.
Questa circostanza esprime la sostanziale differenza che sussiste tra il comportamento dei corpi
elasto-plastici e quello dei corpi elastici per i quali, come è noto, lo stato di tensione dipende
unicamente dalle configurazioni iniziali e finali del corpo, e prescinde dal processo evolutivo
seguito.
Dal punto di vista squisitamente applicativo, per i corpi elastici si lavora nell’ambito della teoria
linearizzata, o del primo ordine, nell’ipotesi di piccoli spostamenti e piccole deformazioni,
applicando il principio di sovrapposizione degli effetti: perciò gli stati di tensione e di deformazione
dipendono esclusivamente dalle azioni sollecitanti attuali, e non entra nel calcolo il cambiamento di
configurazione della struttura; i problemi di resistenza per corpi elasto-plastici viceversa, devono
essere risolti per via incrementale, perché non si può prescindere dal processo di carico subito dal
corpo, ciò rende l’analisi necessariamente più complessa e laboriosa.
Tuttavia grazie allo sviluppo delle tecniche di calcolo della programmazione lineare e non, è ora
possibile seguire il comportamento elasto-plastico di una struttura soggetta ad un qualsiasi
programma di carico, portando in conto anche quelle zone di plasticizzazione che subiscono rientri
in fase elastica; questa impostazione è detta incrementale.
Nel presente lavoro, per la verifica della struttura metallica in figura, a vantaggio di sicurezza, si
trascurerà l’incrudimento del materiale: in tal caso i limiti di resistenza attinenti il collasso statico,
cioè quel collasso raggiunto tramite l’applicazione di carichi sempre crescenti, possono essere
determinati direttamente, senza far ricorso all’analisi incrementale citata poc’anzi.
E’ importante notare come, salvo nel caso di strutture particolarmente deformabili, al momento
dell’incipiente meccanismo di collasso, gli spostamenti subiti dal corpo per effetto di deformazioni
elasto-plastiche precedenti, sono così piccoli da poter essere trascurati e far riferimento alla
configurazione iniziale. Ciò permette di valutare la resistenza al collasso direttamente, non portando
in conto la precedente storia in termini di tensioni e deformazioni, ed assumendo così per il
comportamento del materiale uno schema rigido-plastico.
E’ su questo che si basa il calcolo a rottura o analisi limite.
Storicamente, il calcolo a rottura ha lontane ascendenze, più ancora forse del calcolo elastico.
Calcoli a rottura rudimentali erano infatti quelli condotti, all’epoca delle strutture murarie, sugli
archi, sulle volte, sui muri di sostegno, sullo stesso terreno; tutti eseguiti utilizzando le condizioni di
equilibrio attraverso la curva delle pressioni, e ricercando una soluzione che fosse anche
compatibile: nihil sub sole novum.
Tuttavia, l’affermarsi delle strutture metalliche nella seconda metà dell’Ottocento, e di quelle in
calcestruzzo armato nella prima metà del Novecento fu insieme certamente causa ed effetto
dell’affermarsi della teoria dell’elasticità. E’ invece a cominciare dal 1950, che può intendersi la
nascita del calcolo a rottura intesa come lo è oggi, e cioè lo stato limite ultimo da meccanismo;
sebbene in realtà però esso appaia già nel 2 ottobre 1917, nel discorso del professor Kist all’apertura
dell’anno accademico dell’università di Delft (in Olanda).
Si può dire perciò che il metodo tradizionale delle tensioni ammissibili e quello del calcolo a
rottura hanno corso affiancati per un cinquantennio, e il loro confronto non è stato certo sempre
pacato, ma ha anche conosciuto punte di vivacità notevoli: si pensi a quello che affermò l’ingegner
Van den Broek nel suo libro limit design del 1948, (il primo organico e completo testo
sull’argomento), definendo lo sviluppo della teoria dell’elasticità nel novecento una “aberrazione
che mostra segni di esaurimento”. È stata (con riferimento all’Italia) la normativa del 14 gennaio
2008, a sancire la definitiva “conciliazione” tra il calcolo a rottura e quello elastico: il moderno
approccio normativo agli stati limite infatti rende necessario (accanto allo studio del comportamento
della struttura in esercizio) lo studio delle strutture aldilà del limite elastico; si indaga, in altre
parole, il campo ultraelastico fino a portare la struttura a rottura, rottura raggiunta quando,
all’aumentare di tutti i carichi o di una loro parte, si formano cerniere plastiche in numero e
posizione tali da rendere labile l’intera struttura o una sua parte. L’elaborato presente è quindi una
(modesta) applicazione dei principi dell’analisi limite, analisi che (come in parte accennato) si basa
su precise ipotesi di applicabilità:
i.
piccoli spostamenti
ii. duttilità illimitata
iii. plasticità ideale
iv. leggi di flusso di tipo associato.
Inoltre è importante sottolineare che:
Il valore del moltiplicatore dei carichi al collasso risulta indipendente dalla storia di carico e
dalla presenza di cedimenti , autotensioni e stati di coazione.
Il risultato è immediatamente interpretabile.
E’ possibile analizzare strutture anche significative senza l’ausilio di codici di calcolo.
Non è in genere disponibile in molti codici di calcolo.
2. Geometria e Carichi
La struttura assegnata è la seguente:
Traccia
qf
F2
F2
F2
S4
S3
S6
S7
S8
S9
S17
S12 S13
S14 S15
S2
2,33
3,5
F1/2
C=S16
S10 S11
S5
(var.)
(var.)
(fissi)
1,17
F1
F1=10kN
F2=12kN
qf=8kN/m
A=S1
B=S18
1,33
1,33
1,33
1,33
4
2,67
4
Si è riportata oltre alla traccia anche la scelta delle sezioni caratteristiche, nelle quali si valuteranno
le caratteristiche della sollecitazione momento flettente e sforzo normale.
Come chiesto dalla traccia, si considerano tre distinte condizioni di carico, che si vanno nel seguito
ad esplicitare, da subito però il carico {q f } è stato riportato da distribuito a una serie di forze
concentrate, come meglio si preciserà nel paragrafo 6.
Prima Condizione di Carico
F1=10kN
qf=8kN/m
L=4m
qfL/12 H=3,5m
qfL/6
qfL/6
qfL/12
qfL/12
(var.)
(fissi)
F1
S5
S3 S4
F1/2
S6
S7
S8
S9
S10 S11 S12 S13
S17
S14 S15
S16
C
1
3H
S2
H
2
3H
A=S1
B=S18
L
L
Seconda Condizione di Carico
F2
F2=12kN
(var.)
qf=8kN/m (fissi)
L=4m
qfL/12 H=3,5m
F2
qfL/6
qfL/12
qfL/6
qfL/12
S6
S7
S8
S9
S10 S11 S12 S13
S17
S14 S15
S16
C
1
3H
S5
S3 S4
F2
2
3H
H
S2
A=S1
B=S18
L
L
IPE180
HE160B
Terza Condizione di Carico
F2
F2
qfL/6
qfL/12
F1=10kN
(var.)
F2=12kN
(var.)
qf=8kN/m (fissi)
qfL/12 L=4m
H=3,5m
F2
qfL/6
qfL/12
F1
S7
S8
S9
S10 S11 S12 S13
S17
S14 S15
S16
C
S2
2
3H
H
F1/2
S6
1
3H
S5
S3 S4
A=S1
B=S18
L
L
Si riporta di seguito la scrittura esplicita delle convenzioni assunte per i segni da attribuire alle
caratteristiche della sollecitazione interna:
Convenzioni
S4
S3
C
S10 S11
S5
S6
S7
S8
S9
S17
S12
S2
A=S1
B=S18
S13
S14 S15
S16
3. Caratteristiche Geometriche e Meccaniche della Sezione
Si è scelto di realizzare gli elementi della struttura con profilati in acciaio tipo doppio T. Le
dimensioni di tali profilati sono state scelte in modo da rispettare la nota verifica allo stato limite di
danno ( vmax / H ≤ 0.005 ). L’acciaio utilizzato in entrambe le sezioni è l’ Fe510
•
Per le travi si è scelto il profilato IPE180 ad ali parallele: (dimensioni in metri)
Caratteristiche sezione TRAVE (IPE180) [mm, mm^2, mm^4, mm^3, kN/m, kNm, kN]
hT=180; bT=91; aT=5.3; eT=8.0;
AT = 2 ∗ eT ∗ bT + HhT − 2 ∗ eTL ∗ aT;
IT = 2 ∗ H bT eT^3 ê 12 + bT eT HHhT − eTL ê 2L ^2L + aT HhT − 2 eTL ^3 ê 12;
WT = IT ∗ 2 ê hT;
PesoT = 0.104;
2
hT
i
y
jeT ∗ bT ∗ HhT − eTL + aT ∗ J
− eTN z
z ì 1000000E
MoT = NAσo ∗ j
2
k
{
NoT = σo ∗ AT ê 1000
70.7754 kNm
1023.09 kN
•
Per i ritti si è scelto il profilato HE160B
60B ad ali parallele: (dimensioni in metri)
Caratteristiche sezione RITTI (HE160B) [mm, mm^2, mm^4, mm^3, kN/m, kNm, kN]
hR=160; bR=160; aR=8.0; eR=13;
AR = 2 ∗ eR ∗ bR + HhR − 2 ∗ eRL ∗ aR;
IR = 2 ∗ H bR eR^3 ê 12 + bR eR HHhR − eRL ê 2L ^2L + aR HhR − 2 eRL ^3 ê 12;
WR = IR ∗ 2 ê hR;
PesoR = 0.337;
2
jeR ∗ bR ∗ HhR − eRL + aR ∗ J hR − eRN y
z ì 1000000E
j
z
MoR = NAσo ∗ i
2
k
{
NoR = σo ∗ AR ê 1000
150.336 kNm
2302.08 kN
3.1 Domini di Resistenza
Le sezioni a doppio T possono essere assimilat
assimilatee a due masse uguali concentrate nei baricentri delle
ali (sezione sandwich);
); nel caso di sforzo normale eccentrico la frontiera del dominio di resistenza
dell’ IPE180 e dell’ HE160B è costituita da 4 rette di equazioni:
M
a) M = M o −  o
 No

 N

M 
b) M = M o +  o  N
 No 
M
c) M = − M o −  o
 No

 N

M 
d) M = − M o +  o  N
 No 
Nell’ipotesi di isorestistenza dell’acciaio (si schematizza il comportamento tenso-deformativo
dell’acciaio con un modello elastico-perfettamente plastico) e per la doppia simmetria delle sezioni,
la frontiera del dominio di resistenza deve risultare simmetrica rispetto all’asse dei momenti M e
rispetto all’asse degli sforzi normali N.
L’espressione di Mo e di No sono quelle usate nel punto 3).
Le quattro equazioni a), b), c), d) possono riassumersi nella forma:
M
Mo
+
N
No
Ed esprimono la frontiera del dominio di plasticità:
=1
4. Risoluzione della Struttura in Campo Elastico
Con l’ausilio del programma di calcolo SAP2000 si sono calcolate le caratteristiche della
sollecitazione interna nella struttura, ipotizzando un comportamento elastico, sotto tutte le
condizioni di carico.
Di seguito si sono riportati in sintesi i valori del momento flettente e dello sforzo normale (si
trascura l’effetto del taglio) nelle sezioni significative, valori ricavati per ciascuna condizione di
carico. I risultati ottenuti sono espressi in forma tabellare:
tratto
sezione
-
A=S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
B=S18
ritto_1
trave_1
trave_2
ritto_2
SOLUZIONE ELASTICA
Condizione 1
Condizione 2
M
N
M
N
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
16.082
-10.121
-0.833 -23.817
0.068
-10.121
6.961 -23.817
-2.106
-10.121
10.858 -23.817
2.106
-8.137 -10.858
-3.340
7.076
-8.137
3.242
-3.340
8.490
-8.137
13.787
-3.340
6.348
-8.137
12.776
-3.340
0.652
-8.137
8.209
-3.340
-8.601
-8.137
-7.913
-3.340
-21.409
-8.137 -27.591
-3.340
-10.659
0.000 -22.838
0.000
0.006
0.000
-4.810
0.000
7.116
0.000
9.664
0.000
10.671
0.000
12.581
0.000
10.669
0.000
11.943
0.000
7.112
0.000
7.749
0.000
-10.750
-35.210
-4.753 -56.559
17.729
-35.210
6.939 -56.559
Condizione 3
M
N
[kNm]
[kN]
14.775
-20.483
3.781
-20.483
4.118
-20.483
-4.118
-10.288
7.760
-10.288
16.083
-10.288
12.849
-10.288
6.061
-10.288
-12.284
-10.288
-34.184
-10.288
-19.602
0.000
-2.113
0.000
11.821
0.000
14.199
0.000
13.022
0.000
8.289
0.000
-14.582
-59.084
21.427
-59.084
Si riportano, quindi, i valori notevoli del momento e dello sforzo normale al limite elastico ed al
collasso:
CARATTERISTICHE DELLE TRAVI
s0
tratto
profilo
Area(*)
Wx
-
-
[m ]
[m ]
[kN/m ]
2
ritto_1
HE160B
0.00543
0.000311
trave_1
IPE180
0.00239
trave_2
IPE180
ritto_2
HE160B
Mel
0
0
0
Nel
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
440000
136.84
150.34
2302
2302
0.000146
440000
64.24
70.78
1023
1023
0.00239
0.000146
440000
64.24
70.78
1023
1023
0.00543
0.000311
440000
136.84
150.34
2302
2302
2
3
N
0
M
(*)nominale, N0 è stato calcolato con Mathemathica su un'area approssimata (priva di raccordi)
La massima tensione agente nella generica sezione è stata valutata tramite la nota relazione di
Navier:
σ sup =
N M
−
A W
σ inf =
N M
+
A W
Di seguito si riporta la verifica in termini tensionali, la tensione ammissibile σ amm è stata calcolata
ponendo: σ amm =
σ0
1.5
= 293MPa .
tratto
sezione
-
A=S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
B=S18
ritto_1
trave_1
trave_2
ritto_2
SOLUZIONE ELASTICA -Tensioni
Condizione 3
Condizione 1
Condizione 2
s inf
s sup
s inf
s sup
s inf
s sup
2
[kN/m ]
49847
-1646
-8636
11020
45059
54745
40078
1058
-62316
-150042
-73007
44
48741
73086
73077
48715
-41051
50520
2
2
[kN/m ]
[kN/m ]
-53575 -7064
-2082 17997
4908 30528
-17829 -75769
-51868 20807
-61555 93031
-46887 86107
-7867 54829
55506 -55596
143233 -190374
73007 -156425
-44 -32942
-48741 66188
-73086 86171
-73077 81800
-48715 53077
28082 -25697
-63489 11894
2
[kN/m ]
-1708
-26769
-39300
72974
-23602
-95826
-88902
-57624
52801
187579
156425
32942
-66188
-86171
-81800
-53077
4865
-32726
2
[kN/m ]
43737
8386
9468
-32508
48847
105850
83704
37206
-88440
-238440
-134260
-14471
80965
97253
89189
56771
-57768
58017
2
samm
2
[kN/m ] [kN/m ]
-51281
-15931
-17012
23899
-57457
-114459
-92314
-45815
79831
293333
229830
134260
14471
-80965
-97253
-89189
-56771
36005
-79779
verificata
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
VERO
Come si evince dalla tabella la verifica in campo elastico è soddisfatta in tutti i punti per ciascuna
condizione di carico.
5. Calcolo del Minimo tra i Moltiplicatori di Limite Elastico
Nell’esercizio in esame si è di fronte al caso di carichi non proporzionali la struttura è soggetta cioè
sia a carichi fissi {q f } che a carichi variabili{Fi } ; è chiaro che la variabilità di {Fi } è nel tempo,
mentre essi sono da considerarsi in posizione (spaziale) invariabile. Nel caso di carichi fissi nulli si
parla invece di carichi proporzionali; si segnala che questo secondo caso non è altri che una
particolarizzazione del primo. I carichi variabili {Fi } aumentano mantenendo inalterati i mutui
rapporti ed è possibile determinare così in ciascuna sezione caratteristica della struttura il valore del
moltiplicatore di tali carichi sei per il quale si attinge la massima sollecitazione esplicabile in campo
elastico; per il quale si verifica cioè che il punto di coordinate (N,M) sia sulla frontiera del dominio
di elasticità. Il minimo di questi moltiplicatori (puntuali) è il moltiplicatore di limite elastico della
struttura per quella condizione di carico. Conoscendo se min ossia il minimo fra i 3 moltiplicatori
determinati è possibile definire il limite inferiore dell’intervallo entro il quale deve ricadere il
moltiplicatore di shake-down di cui si dirà più avanti. Invertendo le quattro disequazioni che
caratterizzano il dominio di elasticità (omotetico a quello di resistenza) si ha per ciascuna
condizione di carico e in ciascun punto caratteristico della struttura quattro possibili valori di s:
 M fix N fix 
1 − 0 − 0 
M el
N el 
s1 = 
 M var N var 
 0 + 0 
N el 
 M el
 M fix N fix 
1 − 0 + 0 
M el
N el 
s3 = 
 M var N var 
 0 − 0 
N el 
 M el

M fix N fix 
−
1
−
− 0 

M el0
N el 

s2 =
 M var N var 
 0 + 0 
N el 
 M el
 M fix N fix 
1 + 0 − 0 
M el
N el 
s4 = 
 M var N var 
− 0 + 0 
N el 
 M el
Minimo dei Moltiplicatori di Limite Elastici (della struttura)
71.00
196.23
44.97
30.67
25.09
19.21
9.36
11.30
121.45
75.17
9.43
7.50
11.07
8.72
12.70
11.07
15.70
19.28
3.82
6.25
5.63
8.74
29.05
31.58
14.71
12.60
20.77
15.64
31.39
23.23
60.20
49.03
25.52
56.30
60.59
25.72
3.82
71.34
43.39
23.72
10.84
112.41
7.79
9.12
11.66
17.95
6.13
8.74
31.58
12.60
15.64
23.23
49.03
26.61
59.45
2.48
|s2|
|s1|
|s3|
Condizione 2
199.91
32.54
20.80
9.80
81.59
9.12
10.64
12.11
16.94
3.92
5.63
29.05
14.71
20.77
31.39
60.20
57.14
27.75
|s4|
9.88
1160.72
142.29
1265.32
13.33
6.24
9.67
22.87
7.95
3.97
13.69
115.86
8.64
10.72
15.93
33.61
9.17
8.16
|s1|
|s3|
9.83
9.21
1203.01
139.57
150.50 1326.22
1092.47
63.22
14.41
10.67
7.55
5.54
11.73
8.10
24.90
16.01
6.95
9.14
2.48
4.20
8.82
13.69
106.54
115.86
10.08
8.64
14.24
10.72
21.52
15.93
41.28
33.61
8.80
11.23
8.31
6.66
2.48
|s2|
Condizione 3
9.38
148.08
1435.91
54.84
11.58
6.74
9.88
17.51
8.03
2.63
8.82
106.54
10.08
14.24
21.52
41.28
11.40
7.19
|s4|
minimo di tali moltiplicatori elastici è se min = 2, 48
punto e il moltiplicatore di limite elastico (della struttura) dato dal minimo dei moltiplicatori puntuali per quella generica condizione di carico. Il
Per ciascuna condizione di carico si può così stabilire il moltiplicatore di limite elastico puntuale dato dal più piccolo dei quattro valori di s nel
ritto_2
trave_2
trave_1
ritto_1
-
tratto
CALCOLO del MINIMO MOLTIPLICATORE ELASTICO
SOLUZIONE ELASTICA -casi elementari
Valori di limite
Condizione 1
elastico
qfix
F1
F2
sezione
0
0
M
N
M
N
M
N
Mel
Nel
|s1|
|s2|
|s3|
|s4|
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kNm]
A=S1
0.474 -13.455 15.6081
3.333 -1.3068 -10.362
8.68
8.64
8.80
8.96
2302
S2
3.2477 -13.455 -3.1799
3.333
3.7135 -10.362 137
45.07
46.71
39.31
41.71
S3
4.6346 -13.455 -6.7406
3.333
6.2237 -10.362
20.33
21.50
18.94
20.50
S4
-4.6346
-1.189
6.7406
-6.948 -6.2237
-2.152
10.94
9.44
9.59
8.32
S5
2.5574
-1.189
4.5183
-6.948
0.6845
-2.152
15.13
16.35
12.43
13.50
S6
6.1938
-1.189
2.296
-6.948
7.5927
-2.152
31.25
37.83
21.22
25.81
64
1023
S7
6.2747
-1.189
0.0738
-6.948
6.5009
-2.152
160.12
194.34
113.50
138.39
S8
2.8
-1.189 -2.1485
-6.948
5.4091
-2.152
23.80
25.91
35.84
39.20
S9
-4.2302
-1.189 -4.3708
-6.948 -3.6828
-2.152
14.26
12.47
17.38
15.27
S10
-14.816
-1.189 -6.5931
-6.948 -12.7746
-2.152
11.26
7.02
12.83
8.04
S11
-13.8951 -1.6E-12
3.2361 -4.5E-12
-8.943 -9.1E-13
24.14
15.56
24.14
15.56
S12
-2.6904 -1.6E-12
2.6968 -4.5E-12 -2.1191 -9.1E-13
24.82
22.82
24.82
22.82
S13
4.9588 -6.8E-13
2.1574 -3.6E-12
4.7047 -6.8E-13
27.48
32.08
27.48
32.08
64
1023
S14
9.0524 -6.8E-13
1.6181 -3.6E-12
3.5285 -6.8E-13
34.11
45.30
34.11
45.30
S15
9.5905 -4.5E-13
1.0787 -2.7E-12
2.3523 -6.8E-13
50.66
68.44
50.66
68.44
S16
6.573 -4.5E-13
0.5394 -2.7E-12
1.1762 -6.8E-13
106.91
131.28
106.91
131.28
S17
-0.9209 -32.686 -9.8292
-2.524 -3.8316 -23.873
14.00
13.43
14.03
14.24
137
2302
B=S18
3.2396 -32.686 14.4888
-2.524
3.6989 -23.873
9.45
9.63
8.99
9.70
Moltiplicatori di Limite Elastici (della struttura) per la generica condizione di carico
7.02
6. Calcolo dei Moltiplicatori di Collasso (Teorema Statico)
Il problema è denominato di analisi limite (o del calcolo a rottura). Esso riguarda una particolare
situazione nella quale possono trovarsi i corpi di materiale perfettamente plastico: gli sforzi in ogni
punto materiale del corpo non possono superare valori limite, ovvero i carichi esterni {Fi }
suscettibili di variabilità nel tempo secondo una legge ben definita, non potranno essere
incrementati indefinitamente. In particolare se amplifichiamo tutti i carchi esterni {Fi } di uno stesso
fattore amplificativo comune, quest’ultimo potrà crescere fino ad un valore limite (detto
moltiplicatore di collasso) cui corrisponderà l’incapacità del corpo di sopportare ogni ulteriore
incremento dei carichi. Tale situazione, detta di collasso statico plastico, è caratterizzata da
deformazioni crescenti indefinitamente sotto il carico limite costante. Il campo di velocità di
deformazione che si manifesta all’atto dell’incipiente collasso costituisce il cosiddetto meccanismo
di collasso, dunque il risultato del problema risulta immediatamente interpretabile. Alla base dei
procedimenti per la determinazione del moltiplicatore di collasso ci sono il teorema statico e quello
cinematico dell’analisi limite. Si ricorda inoltre che il moltiplicatore di collasso dei carichi non
dipende da eventuali stati di coazione o cedimenti vincolari né dalla rigidezza degli elementi
strutturali e fornisce quindi una valutazione molto più affidabile e sintetica del grado di sicurezza di
una struttura di quella che può fornire una analisi in campo elastico.
In questo elaborato si vuole mettere in luce come i procedimenti derivanti dalla teoria dell’Analisi
Limite possano essere applicati ad una semplice struttura in modo agevole ed efficace, senza
l’ausilio di particolari programmi di calcolo, utilizzando alcuni semplici concetti di
“Programmazione lineare”. Il software utilizzato per implementare il calcolo è “Mathematica”,
della “Wolfram Research, Inc.”.
In dettaglio: nel seguito si procederà alla scrittura delle equazioni di equilibrio e di compatibilità
plastica con riferimento ad un generico moltiplicatore staticamente ammissibile, allo scopo di
ottenerne il massimo che rappresenta appunto il moltiplicatore di collasso-ottenuto per via statica.
Per fare ciò si dovrà affrontare un problema di massimo di una funzione vincolata a condizioni di
estremo, ovvero si dovrà risolvere un problema di massimo condizionato.
Per quanto attiene alle equazioni di equilibrio, si dovranno esprimere le caratteristiche della
sollecitazione (sforzo normale e momento flettente) nelle sezioni indagate, per la probabile
formazione di cerniere plastiche, in funzione delle incognite iperstatiche. Dunque si renderà
necessario ricorrere ad una struttura isostatica equivalente, per la quale diagrammare le
caratteristiche della sollecitazione per le incognite iperstatiche scelte, per i carichi esterni fissi {q f }
(che sono stati riportati da distribuiti a forze concentrate) e per i carichi esterni proporzionali {Fi } .
Ricondurre i carichi distribuiti ad una distribuzione fittizia di carichi concentrati (la cui entità è
valutata banalmente in base al criterio delle zone d’influenza) è necessario, in quanto per la
risoluzione del problema del massimo condizionato si farà ricorso ad algoritmi risolutivi della
programmazione lineare, che necessariamente richiedono espressioni polinomiali del primo ordine;
infatti in presenza di forze concentrate i diagrammi dei momenti flettenti lungo le travi sono
poligonali e il momento plastico si suppone costante lungo ciascuna trave; è quindi sufficiente,
col metodo statico, imporre le condizioni di plasticizzazione in un numero finito di sezioni note in
partenza (le estremità dei vari tratti e i punti di applicazione delle forze concentrate), che sono
proprio le uniche candidate a divenire sedi di cerniere plastiche. Se invece fossero assegnati i
carichi ripartiti, la posizione di una o più cerniere plastiche risulterebbe indeterminata a priori, e
quindi non sarebbe possibile la scrittura dell’equilibrio in un numero n finito di sezioni note a
priori.
Riconducendo carichi distribuiti in forze concentrate si ottengono quindi valori delle sollecitazioni
con distribuzione lineare.
Una volta individuati i moltiplicatori di collasso con le relative posizioni di formazione delle
cerniere plastiche si procederà alla verifica con il teorema cinematico, mediante il quale,
caratterizzato il cinematismo, per rapporto di dissipazioni (interna /esterna) si otterrà un valore del
moltiplicatore di collasso che deve essere coincidente o molto prossimo a quello calcolato mediante
il teorema statico. La non perfetta coincidenza tra i due valori scaturisce dal fatto che le cerniere
plastiche, in prima battuta, nella scrittura del rapporto di dissipazioni (che non è altri che la scrittura
del PLV) le ipotizziamo perfettamente baricentriche, mentre in realtà possono nascere a lembo
superiore o inferiore della sezione.
Come primo passo si riporta di seguito lo schema d’analisi isostatico equivalente con la
caratterizzazione delle incognite iperstatiche scelte:
Schema Isostatico Equivalente
qf
F2
F2
F1=10kN
F2=12kN
qf=8kN/m
F2
IPE180
HE160B
(var.)
(var.)
(fissi)
C
1,17
F1
F1/2
XhB
A=S1
2,33
3,5
XC
vC=0
vB=0
wB=0
B=0
B=S18
XB
1,33
1,33
1,33
XvB
1,33
2,67
4
4
Si riportano gli andamenti delle caratteristiche della sollecitazione momento flettente prima, e
sforzo normale poi dovute alle quattro incognite iperstatiche, (calcolate manualmente e riportate in
AutoCad):
Schema Momento flettente S1-XC
-2LXc
S4
S3
C
S10 S11
S5
S6
S7
S8
S9
S17
S12
S13
S14 S15
S16
1
3
S2
H
XC
H
2
3
A=S1
B=S18
-2LXc
L
L
H
Schema Momento flettente S2-XB
S4
S4S5
S3
C
S10 S11
S6
S7
S8
S9
S12
S17
S13
S14 S15
S16
1
3
H
S2
H
2
3
A=S1
H
B=S18
XB
XB
L
L
Schema Momento flettente S3-XhB
S4
S3
C
S10 S11
S5
S2
S6
S7
S8
S9
S17
S12
S13
S14 S15
S16
1
3
H
HXhB
H
2
3
XhB
A=S1
B=S18
HXhB
L
L
H
Schema Momento flettente S4-XyB
S4
S5
S3
C
S10 S11
S6
S7
S8
S9
S17
S12
S13
S14 S15
S16
1
3
H
S2
H
2
3
A=S1
H
B=S18
-LXvB
XvB
L
L
Schema sforzo Normale S1-XC
S4
S3
C
S10 S11
S5
S6
S7
S8
S9
S17
S12
S13
S14 S15
S16
1
3
S2
H
XC
Compr.
H
2
3
A=S1
B=S18
-XC
L
L
H
Schema sforzo Normale S2-XB
S4
S4S5
S3
C
S10 S11
S6
S7
S8
S9
S12
S17
S13
S14 S15
S16
1
3
H
S2
H
2
3
A=S1
B=S18
XB
L
L
Schema sforzo Normale S3-XhB
S4
S3
C
S10 S11
S5
S6
S 7 S8
Traz.
S9
S17
S12
S13
S14 S15
XhB
S2
XhB
A=S1
L
B=S18
L
S16
H
Schema sforzo Normale S4-XyB
S4
S3
C
S10 S11
S5
S6
S8
S7
S9
S12
S17
S13
S14 S15
S16
1
3
H
S2
Traz.
Compr.
H
2
3
A=S1
H
B=S18
XvB
XvB
XvB
L
L
Per brevità si riporta solo lo schema S0 per le 3 condizioni di carico, senza i diagrammi delle
caratteristiche della sollecitazione, i cui andamenti sono del tutto analoghi a quelli appena riportati:
Schema S0 -Prima Condizione di Carico
F1=10kN
(var.)
qf=8kN/m (fissi)
qf
C
1,17
F1
2,33
3,5
F1/2
A=S1
B=S18
1,33
1,33
4
1,33
2,67
4
Schema S0 -Seconda Condizione di Carico
qf
F2=12kN
qf=8kN/m
F2
F2
(var.)
(fissi)
F2
2,33
3,5
1,17
C
A=S1
B=S18
1,33
1,33
1,33
4
2,67
4
Schema S0 -Terza Condizione di Carico
qf
F2
F2
F1=10kN
(var.)
F2=12kN
(var.)
qf=8kN/m (fissi)
F2
C
1,17
F1
2,33
3,5
F1/2
A=S1
B=S18
1,33
1,33
4
1,33
2,67
4
Si riporta l’applicazione del Teorema Statico per la determinazione del moltiplicatore di collasso
(considerando il dominio N-M) per la PRIMA condizione di carico:
VETTORI MOMENTI INCOGNITE IPERSTATICHE
m1 = −xC L 82, 2, 2, 2, 11 ê 6, 5 ê 3, 3 ê 2, 4 ê 3, 7 ê 6, 1, 1, 5 ê 6, 2 ê 3, 1 ê 2, 1 ê 3, 1 ê 6, 0, 0<;
m2 = xB 81, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −1, −1<;
2
m3 = xhB H 90, , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −1, 0=;
3
5 2 1 1 1
m4 = −xvB L 91, 1, 1, 1, , , , , , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0=;
6 3 2 3 6
VETTORI SFORZI NORMALI INCOGNITE IPERSTATICHE
n1=-xC {1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
n2=xB {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
n3=xhB {0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0};
n4=xvB {-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1};
VETTORE MOMENTO CARICO FISSO qf
121 L2 qf 25 L2 qf 9 L2 qf 8 L2 qf 49 L2 qf L2 qf
,
,
,
,
,
,
72
18
8
9
72
2
L2 qf 25 L2 qf 2 L2 qf L2 qf L2 qf L2 qf
,
,
,
,
,
, 0, 0=;
2
72
9
8
18
72
MFix = − 92 L2 qf, 2 L2 qf, 2 L2 qf, 2 L2 qf,
VETTORE SFORZO NORMALE CARICO FISSO qf
NFix=-2 qf L {1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
VETTORE MOMENTO CARICO VARIABILE F1
M1Var = −F1
H
84, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<;
3
VETTORE SFORZO NORMALE CARICO VARIABILE F1
N1Var={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
VETTORE MOMENTO CARICHI (qf + F1)
M1=MFix+s1*M1Var;
VETTORE SFORZO NORMALE CARICHI (qf + F1)
N1=NFix+s1*N1Var;
SCRITTURA MOMENTO E SFORZO NORMALI TOTALI DEL SISTEMA ISOSTATICO
EQUIVALENTE
MTOT1=Simplify[M1+m1+m2+m3+m4];
NTOT1=Simplify[N1+n1+n2+n3+n4];
SCRITTURA SISTEMA DI DISEQUAZIONI, PER LA RICERCA DELLA FUNZIONE
OBIETTIVO s
A1={-1≤MTOT1[[1]]/MoR+NTOT1[[1]]/NoR≤1,1≤MTOT1[[2]]/MoR+NTOT1[[2]]/NoR≤1,1≤MTOT1[[3]]/MoR+NTOT1[[3]]/NoR≤1,1≤MTOT1[[4]]/MoT+NTOT1[[4]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[5]]/MoT+NTOT1[[5]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[6]]/MoT+NTOT1[[6]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[7]]/MoT+NTOT1[[7]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[8]]/MoT+NTOT1[[8]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[9]]/MoT+NTOT1[[9]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[10]]/MoT+NTOT1[[10]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[11]]/MoT+NTOT1[[11]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[12]]/MoT+NTOT1[[12]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[13]]/MoT+NTOT1[[13]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[14]]/MoT+NTOT1[[14]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[15]]/MoT+NTOT1[[15]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[16]]/MoT+NTOT1[[16]]/NoT≤1,1≤MTOT1[[17]]/MoR+NTOT1[[17]]/NoR≤1,1≤MTOT1[[18]]/MoR+NTOT1[[18]]/NoR≤1};
Problema di ottimizzazione condizionata:
SoluzOpt=N[Maximize[s1,{A1},{s1,xC,xB,xhB, xvB}]]
{10.9504,{s1→10.9504,xB→147.09,xC→-33.6939,xhB→-80.8705,xvB→49.6939}}
Normalizzazione
N[MTOT1/{MoR,MoR,MoR,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,M
oT,MoT,MoR,MoR}+NTOT1/{NoR,NoR,NoR,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT
,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoR,NoR}]
{-1.,0.29421,0.516418,1.,0.79226,0.534282,0.226067,-0.132385,0.541074,1.,1.,0.958926,0.867615,0.726067,0.534282,0.29226,0.882765,-1.}
La stessa applicazione è stata svolta considerando il telaio in regime puramente flessionale:
Problema di ottimizzazione condizionata:
SoluzOpt=N[Maximize[s1,{A1},{s1,xC,xB,xhB, xvB}]]
{10.9928,{s1→10.9928,xB→150.336,xC→-33.6939,xhB→-83.3961,xvB→49.6939}}
Normalizzazione
N[MTOT1/{MoR,MoR,MoR,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,M
oT,MoT,MoR,MoR}]
{-1.,0.264884,0.470783,1.,0.79226,0.534282,0.226067,-0.132385,0.541074,1.,1.,0.958926,0.867615,0.726067,0.534282,0.29226,0.941565,-1.}
qfL/6
qfL/6
qfL/12
qfL/12
qfL/12
F1
F1/2
Si riporta l’applicazione del Teorema Statico per la determinazione del moltiplicatore di collasso
(considerando il dominio N-M) per la SECONDA condizione di carico:
Il procedimento è del tutto analogo si deve solo sostituire al vettore momento carico variabile la
nuova espressione:
VETTORE MOMENTO CARICO VARIABILE F2
7 F2 L 7 F2 L 7 F2 L 7 F2 L 11
1
2
,
,
,
,
L H12 F2L,
L H24 F2L, F2 L, L H3 F2L,
3
3
3
3
72
18
9
1
1
1
1
L H36 F2L, L H2 F2L,
L H2 F2L,
L H12 F2L, 0, 0, 0, 0, 0, 0=;
72
6
6
72
M2Var = −9
VETTORE SFORZO NORMALE CARICO VARIABILE F2
N2Var=-3 F2 {1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
Si riportano direttamente i risultati, mentre nel CD allegato è riportato l’intero file Mathematica.
Problema di ottimizzazione condizionata:
SoluzOpt=N[Maximize[s2,{A1},{s2,xC,xB,xhB, xvB}]]
{7.84693,{s2→7.84693,xB→0.,xC→-29.6939,xhB→0.,xvB→-206.632}}
Normalizzazione
N[MTOT1/{MoR,MoR,MoR,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,M
oT,MoT,MoR,MoR}+NTOT1/{NoR,NoR,NoR,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT
,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoR,NoR}]
{-0.518636,-0.518636,-0.518636,1.,0.0125593,0.974881,1.,0.974881,0.0125593,-1.,-1.,0.11643,0.716904,0.613034,0.458926,0.254582,-0.089759,-0.089759}
Seconda Condizione di Carico-cerniere
F2
F2
F2
qfL/6
qfL/12
qfL/6
S4
S10
S5 S6
S3
qfL/12
qfL/12
S8
S7
S9
S11
S12 S13
S17
S14 S15
C
S16
S2
B=S18
A=S1
La stessa applicazione è stata svolta considerando il telaio in regime puramente flessionale:
Problema di ottimizzazione condizionata:
SoluzOpt=N[Maximize[s2,{A1},{s2,xC,xB,xhB, xvB}]]
{7.84693,{s2→7.84693,xB→-109.615,xC→-37.2074,xhB→22.7315,xvB→199.119}}
Normalizzazione
N[MTOT1/{MoR,MoR,MoR,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,M
oT,MoT,MoR,MoR}]
{-1.,-0.647188,-0.470783,1.,0.0125593,0.974881,1.,0.974881,0.0125593,-1.,0.575356,0.237441,1.,0.825356,0.600474,0.325356,0.199915,0.729133}
Seconda Condizione di Carico-cinematismo
[regime puramente flex]
F2
F2
qfL/6
qfL/6
qf L/12
S10
S5 S6
S3
S2
qf L/12
qfL/12
S4
A=S1
F2
S7
S8
S9
S17
S11
S12 S13
S14 S15
S16
C
2
B=S18
Si riporta l’applicazione del Teorema Statico per la determinazione del moltiplicatore di collasso
(considerando il dominio N-M) per la TERZA condizione di carico:
Al solito si riportano, per brevità, solo i risultati, è chiaro che il vettore che esprime le sollecitazioni
variabili è somma dei vettori corrispondenti delle prime due condizioni di carico.
Problema di ottimizzazione condizionata:
SoluzOpt=N[Maximize[s3,{A1},{s3,xC,xB,xhB, xvB}]]
{6.45652,{s3→6.45652,xB→138.923,xC→-37.2074,xhB→-53.5765,xvB→174.758}}
Normalizzazione
N[MTOT1/{MoR,MoR,MoR,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,M
oT,MoT,MoR,MoR}+NTOT1/{NoR,NoR,NoR,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT
,NoT,NoT,NoT,NoT,NoT,NoR,NoR}]
{-1.,-0.328393,-0.243116,0.490835,0.279701,1.,0.940258,0.830278,-0.0597422,-1.,0.261031,0.394603,1.,0.825356,0.600474,0.325356,0.247327,-1.}
F2
F2
F2
qfL/6
qfL/12
qfL/6
qfL/12
qfL/12
F1
S5
S3 S4
F1/2
S6
S7
S8
S9
S10 S11 S12 S13
S17
S14 S15
S16
C
S2
A=S1
B=S18
La stessa applicazione è stata svolta considerando il telaio in regime puramente flessionale:
Problema di ottimizzazione condizionata:
SoluzOpt=N[Maximize[s3,{A1},{s3,xC,xB,xhB, xvB}]]
{6.65185,{s3→6.65185,xB→150.336,xC→-37.2074,xhB→-57.0032,xvB→178.274}}
Normalizzazione
N[MTOT1/{MoR,MoR,MoR,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,MoT,M
oT,MoT,MoR,MoR}]
{-1.,-0.336103,-0.26226,-0.557072,0.246582,1.,0.951297,0.852357,0.0487027,-1.,0.305189,0.372524,1.,0.825356,0.600474,0.325356,0.327105,-1.}
Si riportano in una tabella riassuntiva i risultati ottenuti dalla applicazione del Teorema Statico:
Condizione 1
s
Condizione 2
Condizione 3
regime FLEX
regime N-M
regime FLEX
regime N-M
regime FLEX
regime N-M
10.993
10.950
7.847
7.847
6.652
6.457
7. Verifica dei Moltiplicatori di Collasso (Teorema Cinematico)
In relazione al cinematismo di collasso derivante dal Teorema Statico, si vuole verificare il
moltiplicatore dei carichi di collasso facendo riferimento al Teorema Cinematico. A tale scopo si
considera la catena cinematica relativa al meccanismo derivante dall’applicazione delle forze
orizzontali e verticali e del carico distribuito. Per semplicità si considera esclusivamente il caso di
regime flessionale.
PRIMA condizione di carico-applicazione teorema cinematico (regime flessionale)
s=
2 M 0C + 3M 0T
= 10.99
4
F1 H
3
qfL/6
qfL/12
qfL/6
qfL/12
qfL/12
F1
F1/2
2,4,all'inf
qfL/6
qfL/6
qfL/12
qfL/12
qfL/12
F1
12
II
23 34
IV
F1/2
I
III
1
3
I,III
SECONDA condizione di carico-applicazione teorema cinematico (regime flessionale)
4M 0T −
s=
qfL2  1 2 1 
 + + 
6 3 3 2
= 7.85
2
F2 L
3
F2
F2
F2
qfL/6
qf L/12
qfL/6
qfL/12
qf L/12
S4
S10
S5 S6
S3
S7
S8
S9
S11
S12 S13
S17
S14 S15
S16
C
2
S2
A=S1
B=S18
TERZA condizione di carico-applicazione teorema cinematico (regime flessionale)
F2
F2
F2
qfL/6
qfL/12
qfL/6
qfL/12
qfL/12
F1
S5
S3 S4
F1/2
A=S1
S6
S7
S8
S9
S10 S11 S12 S13
S17
S2
B=S18
S14 S15
S16
C
F2
F2
qfL/6
qfL/12
qfL/6
S10
S5 S6
S3
qfL/12
qfL/12
F1 S 4
F1/2
F2
S7
S8
S9
S11
S12 S13
S17
S14 S15
S16
C
S2
I,III
A=S1
B=S18
a
b
a
b
a
b
L
b
a
b
L
b
Riepilogo verifiche:
MOLTIPLICATORE COLLASSO I CONDIZIONE
sSTATICO
sCINEMATICO
10.9928
10.9928
MOLTIPLICATORE COLLASSO II CONDIZIONE
sSTATICO
sCINEMATICO
7.847
7.847
MOLTIPLICATORE COLLASSO III CONDIZIONE
sSTATICO
sCINEMATICO
6.652
6.652
8. Moltiplicatore di Stabilizzazione Elasto-Plastica (Shake-Down)
Si consideri la possibilità che diverse condizioni di carico non sovrapponibili e comunque
alternantisi inducano plasticizzazioni successive, di segno, numero e ubicazione tali da
corrispondere ad un meccanismo che impegni l’intera struttura o una sua arte, pur non essendo
attinta da nessuna delle condizioni di carico la soglia di rottura per collasso statico, intendendo
come tale quello già analizzato, relativo ad un unico insieme di carichi che crescano mantenendo
inalterati i mutui rapporti. È questo il cosiddetto collasso da carichi ripetuti o collasso incrementale.
La fondamentale differenza tra i due tipi di collasso è che il primo è di carattere istantaneo, e si
verifica sotto una determinata situazione di carichi esterni, mentre il secondo deriva dal sommarsi di
successivi atti di moto rigido, che alla fine portano a spostamenti intollerabili; ogni atto di moto
rigido è corrispondente allo stesso meccanismo, ma in realtà non si verifica in ogni parte
contemporaneamente, e quindi sotto una determinata azione di carico, ma deriva a sua volta dal
verificarsi di plasticizzazioni successive. Condizione necessaria e sufficiente perché una struttura,
soggetta a cicli comunque variabili e numerosi delle azioni esterne, entri in crisi è che il lavoro
dissipato per deformazioni plastiche (calcolato nell’ipotesi di durata indefinita della struttura) cresca
indefinitamente. Quindi condizione necessaria e sufficiente perché una struttura soggetta a cicli
comunque variabili e numerosi delle sollecitazioni esterne non entri in crisi è che il lavoro dissipato
per deformazioni plastiche sia limitato e cioè che dopo un certo numero di cicli di carico non si
verifichino più deformazioni permanenti; il ché significa che dopo un certo numero di cicli (che può
anche essere infinito) è presente nella struttura non minacciata di crisi uno stato di coazione dovuto
a deformazioni permanenti, non più variabile nel tempo, intorno al quale le tensioni oscillano in
fase completamente elastica. Questo stato di coazione è detto insieme residuo di stabilizzazione; la
struttura, pur presentando deformazioni permanenti, si adatta a quella situazione di carico, o, con
termine dovuto al Prager, è in fase di shake down.
Lo shake-down o stabilizzazione elasto-plastica entra quindi in gioco quando la struttura è
sottoposta a forze variabili nel tempo. Il moltiplicatore limite di shake-down è l’estremo superiore
dei moltiplicatore dei carichi in grado di condurre la struttura alla stabilizzazione elasto-plastica. Per
definizione il moltiplicatore di adattamento plastico k risulta appartenente all’intervallo
]se min ; sc min [ dove:
• se min è il minimo moltiplicatore al limite elastico;
• sc min è il minimo moltiplicatore di collasso.
In questo caso risulta: k ∈ ]s e min ; s c min [
k ∈ ]2.48;6.46[
ossia
Analogamente al caso statico, la determinazione del moltiplicatore di shake-down si fonda su due
teoremi dell’adattamento plastico, uno statico (al quale ci si riferisce) ed uno cinematico. Tali
teoremi danno luogo ad omonimi procedimenti di calcolo riconducibili, sotto opportune ipotesi, a
problemi di programmazione matematica.
Il teorema statico dell’adattamento plastico (o di Bleich-Melan) dice che:
1. Condizione necessaria per il verificarsi dello shake-down è l’esistenza di un campo di
tensioni residue σ r autoequilibrato ed indipendente dal tempo tale che lo stato di tensione
σ a (t ) = σ r + σ * sia di tipo ammissibile;
2. L’esistenza di un campo di tensione del tipo residuo σ r autoequilibrato ed indipendente
dal tempo tale che il campo somma σ s (t ) = σ r + σ * sia di sicurezza, è condizione
sufficiente per la stabilizzazione elasto-plastica.( σ * rappresenta il campo di tensioni
presente nel solido considerato indefinitamente elastico).
Si vuole ora analizzare il comportamento della struttura al susseguirsi delle tre condizioni di carico
analizzate, comunque alternantisi.
In relazione ad ogni condizione di carico ed alle sole sezioni significative della struttura, le relazioni
di compatibilità plastica, secondo la condizione sufficiente di Bleich-Melan, sono del tipo:
−1 <
(M r + kM e ) (N r + kN e )
M0
±
N0
< +1
dove:
M r è il momento residuo;
M e è il momento in fase elastica, calcolato nel paragrafo 4;
N r è lo sforzo normale residuo;
N e è lo sforzo normale in fase elastica, calcolato nel paragrafo 4;
k è il moltiplicatore dei carichi.
Si esplicitano due considerazioni:
i. L’importanza della soluzione in campo elastico anche in riferimento all’Analisi Limite;
infatti il collasso incrementale (e quindi la determinazione del moltiplicatore di ShakeDown) prende le mosse proprio dalla soluzione elastica a differenza di quel che accade per il
collasso statico.
ii. Lo spazio dei residui (ad esempio M r ) è di dimensione i, con i grado di iperstaticità della
struttura e difatti è esprimibile come combinazione lineare dei diagrammi delle iperstatiche.
Nelle tabelle che seguono sono riportati i valori dello sforzo normale residuo e del momento
flettente residuo per ogni sezione di calcolo. Si ricorda che tali valori sono da intendere a meno
dell’incognita iperstatica della relativa colonna.
A=S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
B=S18
-
M
[kNm]
-256.000
-256.000
-256.000
-256.000
-215.111
-177.778
-144.000
-113.778
-87.111
-64.000
-64.000
-44.444
-28.444
-16.000
-7.111
-1.778
0.000
0.000
N
[kN]
-64.000
-64.000
-64.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
SOLUZIONE ELASTICA sul SISTEMA ISOSTATICO EQUIVALENTE
XC=1
XB=1
F1
F2
M
N
M
N
M
N
M
N
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
-46.667
0.000 -112.000 -36.000
-8.000
-1.000
1.000
0.000
-11.667
0.000 -112.000 -36.000
-8.000
-1.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -112.000 -36.000
-8.000
-1.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -112.000
0.000
-8.000
0.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -88.000
0.000
-7.333
0.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -64.000
0.000
-6.667
0.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -48.000
0.000
-6.000
0.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -32.000
0.000
-5.333
0.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -24.000
0.000
-4.667
0.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -16.000
0.000
-4.000
0.000
1.000
0.000
0.000
0.000 -16.000
0.000
-4.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-8.000
0.000
-3.333
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-2.667
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-2.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-1.333
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.667
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-1.000
0.000
M
[kNm]
0.000
2.333
3.500
3.500
3.500
3.500
3.500
3.500
3.500
3.500
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-3.500
0.000
N
[kN]
0.000
0.000
0.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
XhB=1
M
[kNm]
-4.000
-4.000
-4.000
-4.000
-3.333
-2.667
-2.000
-1.333
-0.667
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
N
[kN]
-1.000
-1.000
-1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1.000
1.000
XvB=1
elementare di carico.
Si segnala che si è scelto di riportare le soluzioni elastiche non per le tre condizioni di carico assegnate, ma divise per ciascuna condizione
ritto_2
trave_2
trave_1
ritto_1
sezione
tratto
qfix
A=S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
B=S18
-
M
[kNm]
-8.000
-8.000
-8.000
-8.000
-7.333
-6.667
-6.000
-5.333
-4.667
-4.000
-4.000
-3.333
-2.667
-2.000
-1.333
-0.667
0.000
0.000
N
[kN]
-1.000
-1.000
-1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
M
[kNm]
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-1.000
-1.000
XB=1
N
[kN]
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Stato sollecitativo Residuo
XhB=1
XvB=1
Mr
M
N
M
N
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
[kNm]
0.000
0.000
-4.000
-1.000
xB - 8 xC - 4 xvB
2.333
0.000
-4.000
-1.000
xB - 8 xC + 2.33333 xhB - 4 xvB
3.500
0.000
-4.000
-1.000
xB - 8 xC + 3.5 xhB - 4 xvB
3.500
1.000
-4.000
0.000
xB - 8 xC + 3.5 xhB - 4 xvB
3.500
1.000
-3.333
0.000 xB - 7.33333 xC + 3.5 xhB - 3.33333 xvB
3.500
1.000
-2.667
0.000 xB - 6.66667 xC + 3.5 xhB - 2.66667 xvB
3.500
1.000
-2.000
0.000
xB - 6. xC + 3.5 xhB - 2. xvB
3.500
1.000
-1.333
0.000 xB - 5.33333 xC + 3.5 xhB - 1.33333 xvB
3.500
1.000
-0.667
0.000 xB - 4.66667 xC + 3.5 xhB - 0.666667 xvB
3.500
1.000
0.000
0.000
xB - 4. xC + 3.5 xhB
0.000
0.000
0.000
0.000
-4. xC
0.000
0.000
0.000
0.000
-3.33333 xC
0.000
0.000
0.000
0.000
-2.66667 xC
0.000
0.000
0.000
0.000
-2. xC
0.000
0.000
0.000
0.000
-1.33333 xC
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.666667 xC
-3.500
0.000
0.000
1.000
-1. xB - 3.5 xhB
0.000
0.000
0.000
1.000
-1. xB
[kN]
-1. xC - 1. xvB
-1. xC - 1. xvB
-1. xC - 1. xvB
xhB
xhB
xhB
xhB
xhB
xhB
xhB
0
0
0
0
0
0
xvB
xvB
Nr
le caratteristiche di sollecitazione della struttura elastica, divise per momento flettente e sforzo normale:
Determinati gli stati tensionali residui, in termini di momento flettente e di sforzo normale si propone la tabella riassuntiva che riporta, uniti a questi,
ritto_2
trave_2
trave_1
ritto_1
sezione
tratto
XC=1
tratto
sezione
Mr
-
A=S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
B=S18
[kNm]
xB - 8 xC - 4 xvB
xB - 8 xC + 2.33333 xhB - 4 xvB
xB - 8 xC + 3.5 xhB - 4 xvB
xB - 8 xC + 3.5 xhB - 4 xvB
xB - 7.33333 xC + 3.5 xhB - 3.33333 xvB
xB - 6.66667 xC + 3.5 xhB - 2.66667 xvB
xB - 6. xC + 3.5 xhB - 2. xvB
xB - 5.33333 xC + 3.5 xhB - 1.33333 xvB
xB - 4.66667 xC + 3.5 xhB - 0.666667 xvB
xB - 4. xC + 3.5 xhB
-4. xC
-3.33333 xC
-2.66667 xC
-2. xC
-1.33333 xC
-0.666667 xC
-1. xB - 3.5 xhB
-1. xB
tratto
sezione
Nr
-
A=S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
B=S18
[kN]
-1. xC - 1. xvB
-1. xC - 1. xvB
-1. xC - 1. xvB
xhB
xhB
xhB
xhB
xhB
xhB
xhB
0
0
0
0
0
0
xvB
xvB
ritto_1
trave_1
trave_2
ritto_2
ritto_1
trave_1
trave_2
ritto_2
Momenti Elastici
qfix
F1
[kN]
[kN]
0.474
15.608
3.248
-3.180
4.635
-6.741
-4.635
6.741
2.557
4.518
6.194
2.296
6.275
0.074
2.800
-2.149
-4.230
-4.371
-14.816
-6.593
-13.895
3.236
-2.690
2.697
4.959
2.157
9.052
1.618
9.591
1.079
6.573
0.539
-0.921
-9.829
3.240
14.489
F2
[kN]
-1.307
3.714
6.224
-6.224
0.685
7.593
6.501
5.409
-3.683
-12.775
-8.943
-2.119
4.705
3.529
2.352
1.176
-3.832
3.699
Sforzi Normali Elastici
qfix
F1
F2
[kN]
[kN]
[kN]
-13.455
3.333
-10.362
-13.455
3.333
-10.362
-13.455
3.333
-10.362
-1.189
-6.948
-2.152
-1.189
-6.948
-2.152
-1.189
-6.948
-2.152
-1.189
-6.948
-2.152
-1.189
-6.948
-2.152
-1.189
-6.948
-2.152
-1.189
-6.948
-2.152
-1.592E-12
-4.547E-12
-9.095E-13
-1.592E-12
-4.547E-12
-9.095E-13
-6.821E-13
-3.638E-12
-6.821E-13
-6.821E-13
-3.638E-12
-6.821E-13
-4.547E-13
-2.728E-12
-6.821E-13
-4.547E-13
-2.728E-12
-6.821E-13
-32.686
-2.524
-23.873
-32.686
-2.524
-23.873
Ottenuti i vettori momento e sforzo normale si deve ancora una volta affrontare un problema di massimo
di una funzione vincolata a condizioni di estremo, ovvero si dovrà risolvere un problema di
massimo condizionato. Le incognite sono proprio il moltiplicatore di Shake-Down “k” e il valore
delle incognite iperstatiche che determina univocamente il campo dei residui:
VETTORI MOMENTI INCOGNITE IPERSTATICHE
m1 = −xC L 82, 2, 2, 2, 11 ê 6, 5 ê 3, 3 ê 2, 4 ê 3, 7 ê 6, 1, 1, 5 ê 6, 2 ê 3, 1 ê 2, 1 ê 3, 1 ê 6, 0, 0<;
m2 = xB 81, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −1, −1<;
2
m3 = xhB H 90, , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −1, 0=;
3
5 2 1 1 1
m4 = −xvB L 91, 1, 1, 1, , , , , , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0=;
6 3 2 3 6
VETTORI SFORZI NORMALI INCOGNITE IPERSTATICHE
n1=-xC {1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
n2=xB {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
n3=xhB {0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0};
n4=xvB {-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1};
VETTORI MOMENTI RESIDUI
Mr=m1+m2+m3+m4;
VETTORI SFORZI NORMALI RESIDUI
Nr=n1+n2+n3+n4;
VETTORE MOMENTO CARICO FISSO qf
MFix={0.474, 3.2477,4.6346,-4.6346,2.5574,6.1938,6.2747,2.8,-4.2302,-14.816,-13.8951,2.6904,4.9588,9.0524,9.5905,6.573,-0.9209,3.2396};
VETTORE SFORZO NORMALE CARICO FISSO qf
NFix = 8-13.455, -13.455, - 13.455, - 1.189, -1.189, -1.189, -1.189, -1.189, -1.189, -1.189, - 1.6 ¥ 10 -12 , - 1.6 ¥ 10 -12 ,
-6.8 ¥ 10 -13 , - 6.8 ¥ 10 -13 , - 4.5 ¥ 10 -13 , -4.5 ¥ 10 -13 , -32.686, - 32.686 = ;
VETTORE MOMENTO CARICO VARIABILE F1
M1Var={15.6081,-3.1799,-6.7406,6.7406,4.5183,2.296,0.0738,-2.1485,-4.3708,6.5931,3.2361,2.6968,2.1574,1.6181,1.0787,0.5394,-9.8292,14.4888};
VETTORE SFORZO NORMALE CARICO VARIABILE F1
N1Var = 83.333, 3.333, 3.333, - 6.948, - 6.948, -6.948, - 6.948, - 6.948, -6.948, -6.948, -4.5 ¥ 10 -12, - 4.5 ¥ 10 -12 ,
-3.6 ¥ 10 -12 , - 3.6 ¥ 10 -12 , -2.7 ¥ 10 -12 , -2.7 ¥ 10 -12 , -2.524, - 2.524 = ;
VETTORE MOMENTO CARICO VARIABILE F2
M2Var={-1.3068,3.7135,6.2237,-6.2237,0.6845,7.5927,6.5009,5.4091,-3.6828,-12.7746,-8.943,2.1191,4.7047,3.5285,2.3523,1.1762,-3.8316,3.6989};
VETTORE SFORZO NORMALE CARICO VARIABILE F2
N2Var = 8-10.362, -10.362, - 10.362, - 2.152, - 2.152, -2.152, -2.152, -2.152, -2.152, - 2.152, - 9.1 ¥ 10 -13 ,
-9.1 ¥ 10 -13 , -6.8 ¥ 10 -13 , - 6.8 ¥ 10 -13 , -6.8 ¥ 10 -13 , -6.8 ¥ 10 -13 , -23.873, - 23.873 = ;
VETTORE MOMENTO e SFORZO NORMALE CARICHI CONDIZIONE 1(qf + F1)
M1=MFix+k*M1Var;
N1=NFix+k*N1Var;
VETTORE MOMENTO e SFORZO NORMALE CARICHI CONDIZIONE 2(qf + F2)
M2=MFix+k*M2Var;
N2=NFix+k*N2Var;
VETTORE MOMENTO e SFORZO NORMALE CARICHI CONDIZIONE 3(qf + F1+F2)
M3=MFix+k*(M1Var+M2Var);
N3=NFix+k*(N1Var+N2Var);
SCRITTURA MOMENTO E SFORZO NORMALI TOTALI DEL SISTEMA ISOSTATICO
EQUIVALENTE CONDIZIONE 1(qf + F1)
Mcond1=Simplify[Mr+M1];
Ncond1=Simplify[Nr+N1];
SCRITTURA MOMENTO E SFORZO NORMALI TOTALI DEL SISTEMA ISOSTATICO
EQUIVALENTE CONDIZIONE 2(qf + F2)
Mcond2=Simplify[Mr+M2];
Ncond2=Simplify[Nr+N2];
SCRITTURA MOMENTO E SFORZO NORMALI TOTALI DEL SISTEMA ISOSTATICO
EQUIVALENTE CONDIZIONE 3(qf + F1+F2)
Mcond3=Simplify[Mr+M3];
Ncond3=Simplify[Nr+N3];
Ora si scriverà (nel linguaggio di Mathematica):
−1 <
(M
r
+ kM e ,i )
M0
±
(N
r
+ kN e ,i )
N0
< +1; ∀i ∈ {1,...,3}
E cioè le equazioni di compatibilità del materiale per ciascuna condizione di carico, ferme restando
le espressioni dei residui (che non variano nel tempo per definizione).
SCRITTURA SISTEMA DI DISEQUAZIONI, PER LA RICERCA DELLA FUNZIONE
OBIETTIVO k
A={-1≤Mcond1[[1]]/MoR+Ncond1[[1]]/NoR≤1,-1≤Mcond1[[1]]/MoR-Ncond1[[1]]/NoR≤1,
-1≤Mcond1[[2]]/MoR+Ncond1[[2]]/NoR≤1,-1≤Mcond1[[2]]/MoR-Ncond1[[2]]/NoR≤1,
-1≤Mcond1[[3]]/MoR+Ncond1[[3]]/NoR≤1,-1≤Mcond1[[3]]/MoR-Ncond1[[3]]/NoR≤1,
-1≤Mcond1[[4]]/MoT+Ncond1[[4]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[4]]/MoT-Ncond1[[4]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[5]]/MoT+Ncond1[[5]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[5]]/MoT-Ncond1[[5]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[6]]/MoT+Ncond1[[6]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[6]]/MoT-Ncond1[[6]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[7]]/MoT+Ncond1[[7]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[7]]/MoT-Ncond1[[7]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[8]]/MoT+Ncond1[[8]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[8]]/MoT-Ncond1[[8]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[9]]/MoT+Ncond1[[9]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[9]]/MoT-Ncond1[[9]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[10]]/MoT+Ncond1[[10]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[10]]/MoT-Ncond1[[10]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[11]]/MoT+Ncond1[[11]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[11]]/MoT-Ncond1[[11]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[12]]/MoT+Ncond1[[12]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[12]]/MoT-Ncond1[[12]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[13]]/MoT+Ncond1[[13]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[13]]/MoT-Ncond1[[13]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[14]]/MoT+Ncond1[[14]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[14]]/MoT-Ncond1[[14]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[15]]/MoT+Ncond1[[15]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[15]]/MoT-Ncond1[[15]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[16]]/MoT+Ncond1[[16]]/NoT≤1,-1≤Mcond1[[16]]/MoT-Ncond1[[16]]/NoT≤1,
-1≤Mcond1[[17]]/MoR+Ncond1[[17]]/NoR≤1,-1≤Mcond1[[17]]/MoR-Ncond1[[17]]/NoR≤1,
-1Mcond1[[18]]/MoR+Ncond1[[18]]/NoR1,-1Mcond1[[18]]/MoR-Ncond1[[18]]/NoR1,
Si è riportata, per clemenza nei confronti del lettore, la scrittura delle equazioni di compatibilità per
la sola prima condizione di carico, allegando al CD l’intero file Mathematica.
La soluzione è:
Problema di ottimizzazione condizionata:
SoluzOpt=N[Maximize[k,{A},{k,xC,xB,xhB, xvB}]]
{6.04486,{k→6.04486,xB→26.2112,xC→1.87152,xhB→23.4587,xvB→24.686}}
Sollecitazioni Risultanti
N[Mcond1]
{-15.1615,-71.2216,63.9901,8.23266,17.201,22.6138,24.4717,22.7733,17.5195,8.71007,13.
1528,19.8498,22.9907,22.5766,18.6065,11.0813,-116.231,117.034}
N[Mcond2]
{-117.41,-29.552,14.3773,-70.1347,5.97376,54.6316,63.3226,68.458,21.6784,-28.6562,-60.4682,9.26167,38.3888,34.1247,26.3052,14.9306,-79.9768,51.8101}
N[Mcond3]
{-23.0609,-48.774,-26.3687,29.3887,21.3387,68.5106,63.7687,55.4706,-4.74251,-68.5106,40.9064,7.04012,51.43,43.9059,32.8258,18.1912,-139.393,139.393}
N[Mr]
{-109.984,-55.2472,-27.8787,-27.8787,12.6689,2.54099,17.7509,32.9607,48.1706,63.3804,7.48608,6.2384,4.9
9072,3.74304,2.49536,1.24768,-55.8944,26.2112}
N[Nr]
{-22.8148,-22.8148,22.8148,23.4587,23.4587,23.4587,23.4587,23.4587,23.4587,23.4587,0.
,0.,0.,0.,0.,0.,24.6863,24.6863}
Si riporta in forma tabellare l’andamento dei valori delle caratteristiche della sollecitazione interna
residue, al fine di una lettura più immediata del loro andamento:
tratto
profilo
Mel
-
-
ritto_1
0
0
0
N
0
Mr
M
Nel
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
HE160B
136.84
150.34
2302
2302
trave_1
IPE180
64.24
70.78
1023
1023
trave_2
IPE180
64.24
70.78
1023
1023
ritto_2
HE160B
136.84
150.34
2302
2302
[kN]
-109.98
-55.25
-27.88
-27.88
-12.67
2.54
17.75
32.96
48.17
63.38
7.49
6.24
4.99
3.74
2.50
1.25
-55.89
26.21
Nr
[kNm]
-22.81
-22.81
-22.81
23.46
23.46
23.46
23.46
23.46
23.46
23.46
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
24.69
24.69
Infine si riporta una tabella conclusiva dove si scrivono i moltiplicatori di limite elastico, di collasso
e di stabilizzazione elasto-plastica:
Condizione 1
sel
sc
ss-d
Condizione 2
Condizione 3
regime FLEX
regime N-M
regime FLEX
regime N-M
regime FLEX
regime N-M
min
-
7.020
-
3.823
-
2.475
2.48
10.993
10.950
7.847
7.847
6.652
6.457
6.46
regime FLEX
regime N-M
6.21305 (*)
6.045
(*) la sua determinazione è riportata nel CD allegato, in pratica si è considerato il solo Mr come spazio dei residui
Cerniere Collasso Incrementale
F2
F2
F2
qfL/6
qfL/12
qfL/6
qfL/12
qfL/12
F1
S5
S3 S4
F1/2
S6
S7
S8
S9
S10 S11 S12 S13
S17
S16
S14 S15
C
S2
A=S1
B=S18
Seconda Condizione
Terza Condizione
Schema Momenti Residui
S4
S3
S10 S11
S5
S6
S7
S8
S9
S17
S12
S13
S14 S15
S16
C
1
3
H
S2
H
2
3
A=S1
B=S18
L
L
H