Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
CORSO DI
PROGETTAZIONE ASSISTITA DELLE STRUTTURE
MECCANICHE
PARTE III B
REV.: 03 del 15 marzo 2012
PRINCIPALI TIPI DI ELEMENTO E LORO
IMPIEGO (PARTE B)
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTI ARMONICI (O DI FOURIER) /1
X Y Z coordinate ANSYS
X,Y,Z
F=F0 cos(nθ)
Y (ζ)
Z(θ)
X (ρ)
Corpi aventi geometria assialsimmetrica, soggetti a carichi
variabili con la coordinata angolare secondo una f.ne
f ne armonica
• 4 (3) nodi
• 3 g.d.l
g d l /nodo(vx, vy e vz)
• operano ESCLUSIVAMENTE nell’ambito di analisi lineari
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ELEMENTI ARMONICI /2
Si trova che
che, in presenza di carichi
esterni del tipo:
{P}cos(nθ )
(o {P}sin
i (nθ ))
lo stato di spostamento, tensione e
deformazione mostra una simile
dipendenza da θ:
{U }cos(nθ ) (o {U }sin
i (nθ ))
Possibile studiare il problema su di
un piano ed estrapolare la
soluzione agli altri valori di θ
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F=F0 cos(nθ)
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ELEMENTI ARMONICI /3
In questo caso tutte le 6 componenti di deformazione possono
assumere valori non nulli
⎧ ∂
⎪ ∂x
⎪ 1
⎧εx ⎫ ⎪
⎪ε ⎪ ⎪ x
⎪ z⎪ ⎪ 0
⎪⎪ ε y ⎪⎪ ⎪⎪
⎨ ⎬=⎨ ∂
⎪γ xy ⎪ ⎪
⎪γ xz ⎪ ⎪ ∂y
⎪ ⎪ ⎪1 ∂
⎪⎩γ zy ⎪⎭ ⎪
x ∂z
⎪
⎪ 0
⎪⎩
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0
1 ∂
x ∂z
0
0
∂ 1
−
∂x x
∂
∂y
⎫
0 ⎪
⎪
0 ⎪
⎪
∂ ⎪
vx ⎫
⎧
∂y ⎪⎪⎪ ⎪
∂ ⎬⎨v y ⎬
⎪⎪ v ⎪
∂x ⎪⎩ z ⎭
⎪
0 ⎪
1 ∂⎪
⎪
x ∂z ⎪⎭
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ELEMENTI ARMONICI /4
Mz
Mz
σy =
⋅x =
⋅ R cos(θ )
Jz
Jz
X
θ
R
Z
Esempio : cilindro
con intaglio soggetto
a flessione
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File ddi comanndi: CIL
LINDRO
O_INTAGLIO_F
FLESSIO
ONE.txtt
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ELEMENTI ARMONICI /5
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ELEMENTI ARMONICI /6
ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO
C
C***
C*** VINCOLI
C***
LSEL LOC Y 1 0 001 ! simmetria
LSEL,,LOC,Y,-1,0.001
DL,ALL,,SYMM
LSEL,ALL
KSEL LOC Y 1 0 001
KSEL,,LOC,Y,-1,0.001
KSEL,R,LOC,X,D-RR-0.01,D-RR+0.01
DK,ALL,UZ,0
Vincoli in direzione “z”
z
C***
C*** CARICHI
C***
LSEL,,LOC,Y,L-0.001,L+1
SFL,ALL,PRESS,-PA,0
MODE 1 1
MODE,1,1
! definisce il numero di armoniche ed il tipo di f.ne
f ne
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ELEMENTI ARMONICI /7
Analisi di corpi assialsimmetrici soggetti a carichi generici
U carico
Un
i applicato
li t add un corpo assialsimmetrico
i li
t i può
ò sempre
esere una funzione periodica, in quanto il valore assunto dal
carico
i stesso
t
lungo
l
ognii possibile
ibil circonferenza
i
f
di raggio
i R sii
ripete chiaramente con periodo 2L=2πR.
Y
F(ξ)=F(
) F(ξ+2π
ξ 2 R)
ξ
R
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ELEMENTI ARMONICI /8
Il carico stesso può pertanto essere espresso tramite la serie di
Fourier :
⎛
⎛ ξ ⎞
⎛ ξ ⎞⎞
F (ξ ) = A0 + ∑ ⎜⎜ Ai cos⎜ i π ⎟ + Bi sin ⎜ i π ⎟ ⎟⎟
⎝ L ⎠
⎝ L ⎠⎠
i =1 ⎝
∞
F ni armoniche
F.ni
Analisi (separata) con
elementi di Fourier
per ogni termine della
serie
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Sovrapposizione
effetti
Soluzione
S
l i
complessiva
per F(θ)
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ELEMENTI ARMONICI /9
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Analisi di corpi assialsimmetrici soggetti a carichi generici
Calcolo coefficienti serie di Fourier :
⎛
⎛ ξ ⎞
⎛ ξ ⎞⎞
F (ξ ) = A0 + ∑ ⎜⎜ Ai cos⎜ i π ⎟ + Bi sin ⎜ i π ⎟ ⎟⎟
⎝ L ⎠
⎝ L ⎠⎠
i =1 ⎝
∞
1
⎛ ξ ⎞
Ai = ∫ F (ξ ) cos⎜ i π ⎟ dξ
L −L
⎝ L ⎠
L
1
⎛ ξ ⎞
Bi = ∫ F (ξ )sin ⎜ i π ⎟ dξ (formule di Eulero- Fourier)
L −L
⎝ L ⎠
L
L
1
A0 = ∫ F (ξ ) dξ
L −L
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120
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Φ 40
00
Φ 350
50
Φ 130
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
130
Φ 90
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ELEMENTI ARMONICI /10
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ELEMENTI ARMONICI /11
P0
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P(ξ)=f,ne
) f ne periodica di periodo 2L=2
2L 2πR
Posto:
P(ξ ) = P0 ⋅ δ (ξ ,0 )
F.ne “δ di Dirac”
δ (ξ ,0 ) = 0 per ξ ≠ 0
⎧1 se 0 ∈ {X 0 , X 1}
∫X 0 δ (ξ ,0)⋅ dξ = ⎨⎩0 se 0 ∉ {X 0 , X 1}
X1
⎧ F (0 ) se 0 ∈ {X 0 , X 1}
∫X 0 F (ξ )⋅ δ (ξ ,0)⋅ dξ = ⎨⎩ 0 se 0 ∉ {X 0 , X 1}
X1
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ELEMENTI ARMONICI /12
P0
P(ξ)=f,ne
) f ne periodica di periodo 2L=2
2L 2πR
Posto:
P(ξ ) = P0 ⋅ δ (ξ ,0 )
A0 n
⎛ ξ ⎞ P(ξ) pari,
P(ξ ) =
+ ∑ Ai cos⎜ i π ⎟ serie di soli
2 i =1
⎝ L ⎠
coseni
1
1
⎛ ξ ⎞
⎛ ξ ⎞
Ai = ∫ P(ξ ) cos⎜ i π ⎟ dξ = ∫ P0 ⋅ δ (ξ ,0 ) cos⎜ i π ⎟ dξ =
L −L
L −L
⎝ L ⎠
⎝ L ⎠
n
P0
1
P
P0
⎛ ξ ⎞
0
= P0 ⋅ cos(i 0 ) =
P(ξ ) =
+ ∑ cos⎜ i π ⎟
L
L
2 L i =1 L
⎝ L ⎠
L
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L
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su di unna linea.
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ELEMENTI ARMONICI /13
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File di comandi: RUOTA_FOURIER.txt
Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
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ELEMENTI ARMONICI /13
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
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ELEMENTI ARMONICI /13
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
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ELEMENTI ARMONICI /13
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
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ELEMENTI ARMONICI /13
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
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ELEMENTI ARMONICI /13
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
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ELEMENTI ARMONICI /13
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
Sc
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13
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Esemppio: ruota soggetta a carrico disttribuito su una llinea.
Sc
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
File d
di coma
andi: R
RUOTA
A_3D.ttxt
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ELEMENTI ARMONICI /14
Modello 3D di confronto
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
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File d
di coma
andi: R
RUOTA
A_3D.ttxt
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ELEMENTI ARMONICI /14
Tensioni radiali
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
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File d
di coma
andi: R
RUOTA
A_3D.ttxt
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ELEMENTI ARMONICI /14
Tensione radiale
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
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File d
di coma
andi: R
RUOTA
A_3D.ttxt
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ELEMENTI ARMONICI /14
Tensione radiale
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /15
CONVERGENZA DI ELEMENTI ARMONICI
0
-2
TEN
NSIONE
E [MPa]
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Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
-4
EL. ARMONICI
-6
6
MODELLO 3D
-8
-10
-12
-14
0
20
40
N° ARMONICHE
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60
80
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ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO
C***
C*** COMBINAZIONE CASI DI CARICO
C***
*DO,IJK,1,NFOU,1
SET,IJK
LCWRITE,IJK
ENDDO
*ENDDO
LCASE,1
*DO,IJK,2,NFOU,1
ESEL ALL
ESEL,ALL
LCOPER,ADD,IJK
NSEL,,LOC,X,(DA+DM)/4,(DB+DR)/4
ESLN 1
ESLN,,1
/TITLE, ARMONICHE DA 1 A %IJK%
PLNSTR,S,X
*ASK,IFL,Premere un tasto per continuare,0
NSEL,ALL
,
ESEL,ALL
*ENDDO
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/1
( GAP )/1
Contatto tra corpi
• 2 nodi
• 2 (3) g.d.l /nodo
• consentono di rappresentare gioco ed interfernza
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/2
( GAP )/2
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Per quanto concerne i tipi di elemento utilizzabili, si hanno generalmente:
• Elementi per analisi “Point-to-Point”
Contact nodes
• Richiesta
Ri hi t conoscenza preliminare
li i
zone di contatto
t tt e direzione
di i
accostamento
t
t
• Permessi piccoli spostamenti relativi, in particolare tangenziali
• Uso tipico: contatto tra punti localizzati della struttura (Es.: Pipe hanger)
• Contatto tra superfici: richiede un uguale “mesh”
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/3
( GAP )/3
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Per quanto concerne i tipi di elemento utilizzabili, si hanno generalmente:
• Elementi per analisi “Point-to-Point”
• Elementi per analisi “Point-to-surface”
Target surface
Contact node
• Non richiesta conoscenza zone contatto e direzione accostamento
• Permessi grandi spostamenti relativi, in particolare tangenziali
• Uso tipico: contatto tra punti localizzati della struttura (Es. spigoli) e
superfici (Es.: estremità montaggi “Snap-fit”)
• Possibile anche l’impiego per analisi del
contatto tra superfici (in questo caso non è
necessario avere uguale “mesh”)
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/4
( GAP )/4
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Per quanto concerne i tipi di elemento utilizzabili, si hanno generalmente:
• Elementi per analisi “Point-to-Point”
• Elementi per analisi “Point-to-surface”
• Elementi
El
ti per analisi
li i “Surface-to-surface”
“S f
t
f ”
Contact surface
Target surface
• Non richiesta conoscenza zone contatto e direzione accostamento
• Permessi grandi spostamenti relativi, in particolare tangenziali
• Non richiede uguale “mesh” tra le due superfici
• Uso tipico: contatto tra superfici, in particolare di tipo “conforme”
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/5
( GAP )/5
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OSSERVAZIONI
• Se l’area di contatto è nota a priori è conveniente sostituire gli elementi
“gap”
g p con vincoli di dipendenza
p
(analisi
(
lineare))
• Gli elementi che rappresentano le superfici a contatto devono essere
piccoli rispetto alle dimensioni attese dell’area di contatto, in modo da
consentire una rappresentazione accurata di quest
quest’ultima
ultima.
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
( GAP )/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a
nodo I che determinano ll’apertura
apertura del “GAP”
GAP .
• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del
sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
• Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
I
t
n
J
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
( GAP )/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a
nodo I che determinano ll’apertura
apertura del “GAP”
GAP .
• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del
sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
• Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
I
t
n
J
Invertendo la direzione di “n” si trasforma il “gap”
in un “gancio”
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
( GAP )/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a
nodo I che determinano ll’apertura
apertura del “GAP”
GAP .
• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del
sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
• Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
I
t
I
n
t
n
J
J
Invertendo la direzione di “n” si trasforma il “gap”
in un “gancio”
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
( GAP )/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a
nodo I che determinano ll’apertura
apertura del “GAP”
GAP .
• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del
sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
• Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
I
t
I
n
t
n
J
J
Invertendo la direzione di “n” si trasforma il “gap”
in un “gancio”
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/7
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E’ possibile controllare la direzione effettiva di apertura dei GAP facendo
visualizzare i SR degli elementi (PltCntrls->Symbols)
J
t
n
J
I
I
J
t
J
n
I
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I
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/7
( GAP )/7
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a
nodo I che determinano ll’apertura
apertura del “GAP”
GAP .
• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del
sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
• Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
• Per elementi “Surface-to-surface”
Surface-to-surface o “Point-to-surface”
Point-to-surface il verso è dato dalla
normale esterna alla superficie su cui i “gap” vengono costruiti
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/8
( GAP )/8
I
t
n
Gli elementi “gap”
gap sono tipicamente caratterizzati da:
• direzione di accostamento “n” (uno spostamento
positivo di J rispetto ad I in direzione n “apre” il
“gap”)
• gioco (o interferenza iniziale) “g”
• rigidezza di contatto normale “kkn”
• rigidezza di contatto tangenziale “kt”
• coefficiente di attrito “μ”
Fn
J
Ft
μFn
un,J-un,I+g
Atan(kn)
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ut,J-ut,I
Atan(kt)
-μF
μ n
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Assemblaggio di [K ]i
• “gap”
gap chiusi: unJJ = unII
• “gap” aperti: unJ e unI indip.
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pper tutti i “gap”
” aperti
Inizializzazione
•i=1
i 1
•distribuzione iniziale di
“gap” aperti e chiusi
perr tutti i “
“gap” cchiusi
Sc
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ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/9
( GAP )/9
Calcolo δn= unJ - unI - g
δn>0?
si
si
Registrazione
g
anomalia
Convergenza?
Calcolo Fn
Fn<0?
no
si
no
Registrazione
anomalia
Fine
•
•
i=i+1
revisione “gap”
no
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/10
( GAP )/10
Sc
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COMANDI PER INSERIMENTO GAP
Il programma ANSYS mette a disposizione alcuni comandi per una
i t d i
introduzione
facilitata
f ilit t degli
d li elementi
l
ti “GAP”:
“GAP”
• EINTF, TOLER, K, TLAB, KCN, DX, DY, DZ, KNONROT
Introduce
elementi tra
coppie
i di nodi
di
coincidenti
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Max. distanza tra Ordinamento
nodi coincidenti nodi:
• LOW
• HIGH
• REVE
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/11
( GAP )/11
Sc
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COMANDI PER INSERIMENTO GAP
Il programma ANSYS mette a disposizione alcuni comandi per una
introduzione facilitata degli elementi “GAP”:
• EINTF,
EINTF TOLER,
TOLER K,
K TLAB,
TLAB KCN,
KCN DX,
DX DY,
DY DZ,
DZ KNONROT
• ESURF,, XNODE,, Tlab,, Shape
p
Introduce elementi
sulle superfici
esterne di gruppi di
elementi già esistenti
(solidi gusci,
(solidi,
gusci travi)
travi).
Le superfici sono
definite dai nodi
selezionati.
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Direzione della
normale positiva
per elementi shell
e beam:
• TOP
• BOTTOM
Forma:
• “_” come elementi sottostanti
• TRI triangoli
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
da Vinci”
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
ESEMPIO USO ELEMENTI ASSIALSIMMETRICI E “GAP”
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/1
DRILL COLLAR
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/2
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Condizioni di carico:
• forzamento dovuto al serraggio iniziale
• flessione rotante dovuta all’attraversamento di “dog-legs”, instabilità,
vibrazioni etc.
etc
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/3
SVILUPPO DI MODELLI FEM DELLE
GIUNZIONI EFFICIENTI ED ACCURATI
Aspetti principali
• Fenomeni di contatto
• Interferenza iniziale
• Condizioni di carico
assialsimmetriche e non
assialsimmetriche
Modello
M
d ll di base
b
• Geometria assialsimmetrica
• 30000 elementi circa
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/4
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/4
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/4
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/5
METODOLOGIA DI ANALISI
Coppia di serraggio
Flessione
• Elementi
El
ti piani
i i assialsimmetrici
i li
ti i
• Cond. carico assialsimmetrica
•Analisi elasto-plastica
p
non lineare
σmax
• Elementi
El
ti armonici
i i (Fourier)
(F i )
• Cond. carico non assialsimmetrica
•Analisi elastica lineare
σ
Δσ
t
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/6
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
OTTIMIZZAZIONE DELLA GEOMETRIA DEL TJ
PIN
+0,8
25,4-
BOX
+1°
45°-
1B
K
30°
1B
R6,4 +0,4
-
R25,4
Dbs
+6,4
+6,4
51 -
51 -
B
1P
Dpg
52
5,2
+0,4
,
K 11:4
4
30°
2B
+0,8
25,4-
RG
45°
+0,4
R6,4 -
38 +3,2
-
B
45° -+1°
45°-+1°
3P
+0 4
R6,4 +0,4
-
K 1:4
30°
3B
Dpg
B
© Università di Pisa 2008
45°
R25,4
R6,4
,
Dbg
C
D
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/7
800
Threads
G
Groove
700
600
500
400
1100
NC56 - Pin type : 1P
300
128
130
132
134
136
Δσeq (Fuchss-Gerber) (M
MPa)
Δσeq
q (Fuchs-Gerrber) (MPa)
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
DETERMINAZIONE GEOMETRIA OTTIMALE
138
1000
140
900
Threads
Groove
142
144
146
Diameter Dpg (mm)
(
)
800
700
600
500
400
NC 56 - Box type
yp : 3B
300
116
118
120
122
124
126
128
Dbg diameter (mm)
© Università di Pisa 2008
130
132
134
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/8
RESISTENZA A FATICA
NC 56
C li bending
Cyclic
b di stress,
t
MPa
MP
B
NC 70
C li bending
Cyclic
b di stress,
t
MPa
MP
B
B
150
120
B B P BP B
B
B
B
B
135
105
125
B
120
B
B
105
75
P
Dpg=126,7; 129; Dbg=136mm
Dpg=129 0; Dbg=131,5mm
Dpg=129,0;
Dbg=131 5mm
Dpg=134,5; Dbg=127,0mm
Dpg=134,5; Dbg=121,8mm (API)
75
60
B
B
45
P - pin failure; B - box failure
without failure
60
0,1
© Università di Pisa 2008
1
65
B
6
Number of cycles to failure, 10
10
30
0,1
Without SRGs
Dpg=162,0; Dbg=167,0 mm
Dpg=159,4; Dbg=169,0 mm
Dpg=164,5; Dbg=162,3 mm
Dpg=167,5; Dbg=157,0 mm
82
B
B
P
90
P
90
B
B
B
B
B
54
Dpg=162,0; Dbg=167,0 mm
(steel imperfection)
B - box failure; P - pin failure
without failure
1
6
Number of cycles to failure, 10
10
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/1
Gusci aventi geometria assialsimmetrica, soggetti a carichi
assialsimmetrici
• 2 nodi
• 3 g.d.l
d l /nodo(v
/ d ( x, vy e θz)
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/2
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/2
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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Dottorato in Ingeg
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/2
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/3
y
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
vix
La costruzione di [Ke] si basa
sull’ipotesi di Kirchoff-Love: “una
linea retta normale al piano medio
tracciata sul corpo prima della
deformazione,, risulta ancora rettilinea
ed ortogonale al piano medio
deformato dopo la deformazione”
i
x
viy
Possibile
P
ibil ricostruire
i t i lo
l spostamento
t
t di ognii
punto dello spessore in base a spostamenti
e rotazioni del ppiano medio.
⎛ ∂v y ⎞
⎟⎟ y
v x ( y ) = vixi + θy = vixi − ⎜⎜
⎝ ∂x ⎠ x = xi
© Università di Pisa 2008
θ
⎛ ∂v y ⎞
⎟⎟ y
θy = −⎜⎜
⎝ ∂x ⎠ x= xi
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/4
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Limiti di validità ipotesi Kirchoff-Love:
spessore << altri parametri geometrici
s
Rθ
Componenti strutturali che possano essere
assimilati a “gusci” o “piastre” sottili di
geometria assialsimmetrica
s << Rθ , Rxy
Mat. isotropi
s < 0.1 Rθ , Rxy
s
Rθ
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
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da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/5
Stato di tensione/deformazione implicitamente conseguente alla scelta di elementi
guscio assialsimmetrico:
• le deformazioni dovute al taglio sono trascurate
• le uniche componenti di tensione non
nulle sono:
Y ((assiale)
i l )
X (R)
• le σ hanno un andamento lineare nello spessore
x
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y
σx
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/6
Sc
cuola di D
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da Vinci”
Il modello rappresenta una sezione del
corpo con un piano passante per l’asse. I
nodi sono posi
posizionati
ionati ssull piano medio
medio.
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/7
Sc
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Cilindro di piccolo spessore
Elementi guscio assialsimmetrico
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Cilindro di forte spessore
Elementi piani assialsimmetrici
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/8
Sc
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Esempio : recipiente in pressione in parete sottile
Ipotesi:
• bocchelli
b h lli e penetrazioni
i i considerate
id
a parte
• effetti trascurabili del peso proprio
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
File di comaandi: RE
EC_PRE
ESS_SO
OTT.txt
Sc
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9
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ESS_SO
OTT.txt
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9
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ESS_SO
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9
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ESS_SO
OTT.txt
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9
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ESS_SO
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
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EC_PRE
ESS_SO
OTT.txt
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
File di comaandi: RE
EC_PRE
ESS_SO
OTT.txt
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ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/10
Sc
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Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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da Vinci”
ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO
ETABLE,SLT,LS,1
ETABLE SLM LS 5
ETABLE,SLM,LS,5
ETABLE,SLB,LS,9
ETABLE,SCT,LS,3
ETABLE,SCM,LS,7
ETABLE,SCB,LS,11
ETABLE STT LS 2
ETABLE,STT,LS,2
ETABLE,STM,LS,6
ETABLE,STB,LS,10
! estrae il dato "tensione longitudinale" (TOP)
! MID
! BOTTOM
! estrae il dato "tensione circonferenziale" (TOP)
! MID
! BOTTOM
! estrae il dato "tensione
tensione taglio spessore
spessore" (TOP)
! MID
! BOTTOM
SADD,SLF,SLT,SLM,1,-1 ! calcola la tensione flessionale longitudinale
SADD SCF SCT SCM 1 -11 ! calcola la tensione flessionale circonferenziale
SADD,SCF,SCT,SCM,1,
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
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eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/1
Gusci e piastre aventi geometria qualsiasi.
• 4 nodi
• 6 g.d.l /nodo
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/2
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
La costruzione di [Ke] si basa anche in questo caso
sull’ipotesi di Kirchoff-Love.
Possibile ricostruire lo spostamento di
ogni punto dello spessore in base a
spostamenti e rotazioni del piano medio.
Limiti di validità ipotesi
Kirchoff-Love:
spessore << altri par. geometrici
(dimensioni, raggi curvatura)
Componenti
C
ti strutturali
t tt li che
h
possano essere assimilati a
“gusci”
g
o “piastre”
p
sottili
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/3
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
z
x
© Università di Pisa 2008
Componenti
p
di tensione:
σx, σy, τxy, τxz, τyz
y
Andamento
A
d
t lineare
li
nello
ll
spessore
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/4
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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da Vinci”
PRINCIPALI TIPOLOGIE
Rigidezza membranale
(g d l : ux, uy, uz)
(g.d.l.:
Es: Shell41
senza deformazioni di taglio
(gusci o piastre sottili). Es.: Shell63
Rigidezza membranale +
flessionale
(g.d.l.: ux, uy, uz, θx, θy, θz)
© Università di Pisa 2008
con deformazioni di taglio
(gusci o piastre relativamente spessi).
E Shell43
Es.:
Sh ll43
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/5
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
F.ni di forma: g.d.l. agenti nel piano medio (membranali)
z
vyi
y
x
P
vy
vx
vxi
{U }
e
xy
⎧ v xi ⎫
⎪v ⎪
⎪ yi ⎪
⎪⎪ v xjj ⎪⎪
=⎨ ⎬
⎪ v yj ⎪
⎪v xkk ⎪
⎪ ⎪
⎩⎪v yk ⎪⎭
⎧v x ⎫
e
(
)
=
N
x
,
y
U
⎨ ⎬
xy
xy
v
⎩ y⎭
[
]{ }
Stessa formulazione dell’elemento
dell elemento triangolare piano
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/6
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
da Vinci”
gneria “Le
eonardo d
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
z
y
vzi
vz
θy
θx
P θyi
x
⎧ vz ⎫
⎪ ⎪
e
(
)
[
]
ϑ
=
N
x
,
y
U
⎨ x⎬
z
z
⎪ϑ ⎪
⎩ y⎭
{ }
θxi
{U }
e
z
⎧ v zi ⎫
⎪ϑ ⎪
⎪ xi ⎪
⎪ϑ yi ⎪
⎪ ⎪
⎪ v zj ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ϑxj ⎬
⎪ϑ ⎪
⎪ yj ⎪
⎪ v zk ⎪
⎪ϑ ⎪
⎪ xk ⎪
⎩⎪ϑ yk ⎪⎭
Procedura simile a quella impiegata per ll’elemento
elemento trave
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/7
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
z
y
vz
θy
v z = v z ( x, y )
∂vz ( x, y )
∂y
∂v ( x, y )
ϑy = z
∂x
ϑx =
vzi
θx
P θyi
θxi
{U }
e
z
x
9 condizioni sulla funzione
vz(x,y)
(
v z = A + Bx + Cy + Dx 2 + Ey 2 + Fxy + Gx 3 + Hy 3 + I x 2 y + xy 2
© Università di Pisa 2008
)
⎧ vzi ⎫
⎪ϑ ⎪
⎪ xi ⎪
⎪ϑ yi ⎪
⎪ ⎪
⎪ v zj ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ϑxj ⎬
⎪ϑ ⎪
⎪ yj ⎪
⎪ vzk ⎪
⎪ϑ ⎪
⎪ xk ⎪
⎪⎩ϑ yyk ⎪⎭
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/8
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
da Vinci”
gneria “Le
eonardo d
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
z
L’andamento sul lato (es. y=0)
dipende da 4 parametri.
y
vzii
vz
θyi
x
vzj
4 condizioni sul lato “i-j”
θyj
v z = A + Bx + Cy + Dx 2 + Ey 2 + Fxy + Gx 3 +
(
+ Hy
H 3 + I x 2 y + xy 2
)
vz univocamente determinato
in base a spostamenti e
rotazioni dei soli nodi “i” e “j”
j
(vz )y =0 = A + Bx + Dx 2 + Gx3
Continuità C0 garantita
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/9
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
da Vinci”
gneria “Le
eonardo d
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
z
⎧ ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz ⎫
{σ } ∝ ⎨ 2 ; 2 ;
⎬
⎩ ∂x ∂y ∂x∂y ⎭
y
θxi
x
θx
Richiesta continuità C1 per vz
p
da 3
θxj L’andamento dipende
parametri, ma si dispone di 2
ϑx = C + 2 Ey + Fx + 3Hy 2 + Ix 2 + 2 Ixy
sole condizioni sul lato “i-j”
(ϑx )y =0 = C + Fx + Ix 2
Continuità
C
i i à C1 non garantita
i per vz
(elemento “non conforme”)
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/10
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
da Vinci”
gneria “Le
eonardo d
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
z
y
θxi
x
La continuità C1 per vz risulta
garantita “al limite” (quando le
dimensioni dell’elemento
tendono a zero)
θx
θxj
(ϑx )y =0 = C + Fx + Ix 2
→ ≈ C + Fx
Se l’elemento è molto p
piccolo,, la variazione di θx risulta
ben rappresentata dal solo termine lineare, per cui le due
condizioni disponibili
p
divengono
g
sufficienti pper una
determinazione univoca
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/11
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
F.ni di forma: g.d.l. torsionale (“drilling”)
z
θzi
y
x
θzk
θzj
Le
L funzioni
f i i di forma
f
sinora
i
trattate
t tt t non prevedono
d
una rigidezza
i id
per momenti agenti attorno all’asse “z”. Questo può produrre
singolarità nella matrice di rigidezza della struttura,
struttura in quanto,
quanto se
tutti gli elementi connessi al nodo sono tra loro complanari, la
rigidezza per il g.d.l.
g d l “rotazione
rotazione attorno a zz” è nulla.
nulla
Per evitare questo problema viene usualmente introdotta una
“piccola”
piccola rigidezza arbitraria,
arbitraria tipo molla.
molla
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/12
Elementi “shell” con valutazione approssimata della
shear deflection”
deflection
“shear
Si tratta di elementi nei quali viene parzialmente rilasciata ll’ipotesi
ipotesi
di Kirchoff-Love, allo scopo di tener conto in maniera
approssimata
pp
della deformabilità a taglio.
g
Struttura non
deformata
Ipotesi di Kirchoff
(Gusci sottili)
© Università di Pisa 2008
“Shear flexible”
elements ((Gusci
medio spessore)
ELEMENTO GUSCIO
GUSCIO-PIASTRA
PIASTRA 3D/13
Elementi “shell” con valutazione approssimata della
shear deflection”
deflection (Materiale metallico isotropo)
“shear
1.2
Piastra circolare appoggiata al bordo esterno e caricata con pressione uniforme
Calcolo spostamento punto centrale con elementi "shell"
Spostamento/spostamento te
eorico
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
1.0
δ
08
0.8
Appoggio
Elementi senza "shear deflection"
Elementi con "shear
shear deflection"
deflection
0.6
0
5
10
Raggio/spessore
© Università di Pisa 2008
15
20
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/14
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Matrice rigidezza elemento quadrilatero (g.d.l. flessionali)
La matrice di rigidezza per l’elemento piastra/guscio quadrilatero
è generalmente ottenuta come “media” di quella ottenibile dalle
due coppie di triangoli che è possibile individuare
2
1
kije =
© Università di Pisa 2008
kije ,1 + kije, 2
2
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/15
Rappresentazione di un guscio curvo con elementi piani
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Angolo sotteso
1.1
Te
ensione calco
olata/valore te
eorico
Guscio cilindrico sottile soggetto a pressione interna
Tensione circonferenziale
1
0.9
0.8
0
5
10
15
20
Angolo sotteso dall'elemento [ ]
© Università di Pisa 2008
25
30
35
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/16
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Riduzione dei carichi ai nodi
Guscio
G
i caricato
i t da
d
pressione uniforme
Riduzione “ridotta”
( l forze)
(solo
f
)
© Università di Pisa 2008
Riduzione “consistente”
(forze + momenti)
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/17
Riduzione dei carichi ai nodi
Elementi di uguale
dimensione: i
momenti
ti nodali
d li sii
annullano.
© Università di Pisa 2008
Elementi di dimensione diversa:
nel gguscio si crea un effetto
flessionale spurio (soluzione
esatta: sole tensioni membranali)
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/18
Elemento SHELL63 : Gusci e piastre 3D, tensioni flessionali e
membranali, non considera le deformazioni di taglio
• 4 nodi
• 6 g.d.l /nodo
• Rigidezza di “supporto”
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
A
Passo d’uomo
A
O
V
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/19
Esempio : tubazione interrata in vetroresina per trasporto idrico
© Università di Pisa 2008
Blocco di ancoraggio
in calcestruzzo
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/20
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Livello del terreno
2500
Terreno di riporto
δ = 1800 kg/m3
Contorno
C
t
della
d ll
trincea
Sabbia di riporto
1400
© Università di Pisa 2008
Sabbia
compattata
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/21
TUBO
VETRORESINA
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/22
BLOCCO
CALCESTRUZZO
TUBO
VETRORESINA
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/23
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/24
V
O
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/25
© Università di Pisa 2008
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/26
© Università di Pisa 2008
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/27
© Università di Pisa 2008
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/28
© Università di Pisa 2008
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/29
© Università di Pisa 2008
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/30
ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO
C***
C*** MATERIALE
C***
MP,EX,1,38000
MP,EY,1,9000
MP EZ 1 9000
MP,EZ,1,9000
MP,PRXY,1,0.3
MP,PRYZ,1,0.3
MP,PRXZ,1,0.3
MP,GXY,1,3300
MP GXZ 1 3300
MP,GXZ,1,3300
MP,GYZ,1,3300
© Università di Pisa 2008
C***
C*** VINCOLI
C***
CSYS,0
NSEL,,LOC,X,-0.1,0.001
,,
, ,
,
DSYMM,SYMM,X
NSEL,,LOC,Z,-0.1,0.001
D ALL ALL
D,ALL,ALL
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
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Dottorato in Ingeg
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ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/31
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ELEMENTI SOLIDI 3D (“BRICK”)/1
Problemi di elasticità 3D:
• 8 nodi
• 3 g.d.l /nodo
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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ELEMENTI SOLIDI 3D (“BRICK”)/2
Tetraedro: 4 nodi
F.ne di forma: A+Bx+Cy+Dz
Deformazioni/tensioni costanti
E d 8 nodi
Esaedro:
di
F.ne
F
ne di forma:
A+Bx+Cy+Dz+Exy+Fyz+Gzx+Hxyz
Deformazioni/tensioni variabili
li
linearmente
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Approccio per sottostrutture ((“submodelling”)
submodelling )
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
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da Vinci”
Stato di tensione spesso
p
fortemente
dipendente da parametri geometrici
locali (es. raggi di raccordo).
70
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
L’analisi richiederebbe pertanto “mesh” localmente molto infittiti
((elementi ppiccoli rispetto
p
ai pparametri ggeometrici locali).
)
Questo tende a rendere il modello complessivamente molto
complesso da costruire (inclusione di tutti i dettagli geometrici) e
pesante dal punto di vista computazionale (numero enorme di gdl)
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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Possibile alternativa: approccio per sottostrutture
Fase 1: viene costruito un modello relativamente grossolano
g geometrici,
g
e vengono
g
applicati
pp
della struttura, pprivo dei dettagli
carichi e vincoli
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Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Fase 2: viene costruito un modello molto infittito che rappresenta
la sola zona
ona attorno al dettaglio geometrico (sottomodello)
© Università di Pisa 2008
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Fase 3: il modello grossolano viene impiegato per calcolare lo
stato di spostamento dei nodi giacenti ssulle
lle ssuperfici
perfici esterne del
sottomodello
© Università di Pisa 2008
Spostamenti calcolati per interpolazione.
Valori accurati, purché le dimensioni del
sottomodello siano grandi rispetto al dettaglio
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Fase 4: gli spostamenti stimati sulla superficie sono imposti al
sottomodello come condizione
condi ione di carico,
carico valutando
al tando il relativo
relati o
stato di tensione
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Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
E possibile passare da un modello fatto con elementi piani o con
E’
elementi guscio ad un sottomodello 3D.
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Esempio : staffa sospensione di scooter in lega di alluminio
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
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da Vinci”
PROVE IN PIENA
SCALA
Telaio
di prova
Afferraggio
gg
fisso
Braccio di
flessione
Provino
Cuscinetto
assiale orientabile
a semplice effetto
Cella di carico
Attuatore idraulico
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Zona rottura
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
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Mf
MODALITÀ DI
ROTTURA
=0 5 Mf
Mt=0.5
R=0.1
Flesso-torsione
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Flessione
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
APP
PROCC
CIO A SOTT
TOSTR
RUTTU
URE
Sc
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Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
ANALISI AD ELEMENTI FINITI
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
RISULTATI – Zona di innesco della rottura
Flessioone
F
Flesso--torsion
F
ne
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
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eonardo d
da Vinci”
Prevista
© Università di Pisa 2008
Effettiva
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
RISULTATI – Cicli a Rottura
N° di cicli a rottura pre
N
evisti
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
1.E+06
1.E+05
Fattore 2
1.E+04
1.E+03
1 E+03
1.E+03
Flessione
Flesso-torsione
1 E+04
1.E+04
1 E+05
1.E+05
N° di cicli a rottura sperimentali
© Università di Pisa 2008
1 E+06
1.E+06
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
CONTENUTI
• GENERALITA’ SULLO SVILUPPO DI MODELLI EF
• VALUTAZIONI DI ERRORE
• “MESH ADAPTIVITY”
• SINGOLARITA
SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE
• SCHEMATIZZAZIONE DI CARICHI E VINCOLI
• SIMMETRIE GEOMETRICHE
• CONNESSIONI TRA ELEMENTI DI TIPO DIVERSOE
SULLA DISTORSIONE DEGLI ELEMENTI
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
SVILUPPO DI MODELLI EF/1
Scopi dell
dell’analisi
analisi
Problema fisico
Modello di calcolo
© Università di Pisa 2008
Idealizzazioni e
semplificazioni
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
SVILUPPO DI MODELLI EF/2
Tecniche di
modellazione ad EF
Modello di calcolo
Modello ad EF
NO
Analisi risultati
modello EF
SI
NO
OK?
© Università di Pisa 2008
OK?
Confronto con
dati sperimentali
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
200
700
7
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
SVILUPPO DI MODELLI EF/3
8
500
Trave principale
La rappresentazione dello stato di tensione presente nella porzione
p immediatamente sottostante la ruota del
della trave pprincipale
carrello dipende fortemente dal modello utilizzato
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/4
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Modello basato su elementi “beam”.
• le uniche componenti di tensione
non nulle sono:
Si trascurano quindi le σy, invece
evidentemente
id
necessarie
i localmente
l l
per
equilibrare il carico esterno
z
τxz
x
y
τxy
σx
• le σx hanno un andamento lineare nella sezione
x
y
© Università di Pisa 2008
σx
Nella zona del carico è invece da attendersi
un andamento perturbato
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/5
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Modello basato su “shell”.
Le tensioni variano linearmente nello
spessore del
d l guscio
i e non nell suo piano
i
medio
E’ possibile rappresentare in modo più
realistico l’andamento delle σy e delle σz
sulla sezione della trave.
σy
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
RAPPRESENTAZIONI DELLO STATO DI TENSIONE/4
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Modello basato su “shell”
Lo stato di tensione nella zona del raccordo:
• comprende componenti non previste dal modello a “shell” (Es.: σ nello spessore)
• ha andamenti non lineari dipendenti dai dettagli geometrici (non compresi nel
modello a “shell”)
© Università di Pisa 2008
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/5
Sc
cuola di D
Dottorato in Ingeg
gneria “Le
eonardo d
da Vinci”
Modello basato su “brick”
© Università di Pisa 2008