Componenti:
De Toma Marco
Piazzolla Salvatore
Raucci Francesco
Santo Alessio
Inventore:
Anno:
Luogo:
Nome originario:
Professore Erno Rubik
1974.
Ungheria
Magic Cube
Inizialmente il rompicapo fu progettato a scopi didattici. Infatti
solo tra i matematici, interessati ai problemi statistici e teorici
che il cubo poneva.
Successivamente, tramite la descrizione su un libro, il gioco si
diffuse in tutta l’Ungheria e successivamente in tutto il mondo.
Dopo 5 anni si erano già venduti 100 milioni di pezzi in tutto il
mondo.
Attualmente avvengono delle vere e proprie competizioni
mondiali nel chi risolve il cubo nel minor tempo possibile.
Come detto prima il cubo di Rubik è composto da 54 cubetti.
Si potrebbe pensare di trovarci di fronte all’insieme di tutte le
permutazioni di 54 oggetti e in tal caso avremmo ben 54!
elementi, e ci troveremmo di fronte ad un numero
impressionante, contenente ben 72 cifre.
Il numero uscito però non è quello effettivo, in quanto ci sono
diversi vincoli da rispettare: i quadratini al centro non si
possono muovere, e gli angoli non possono diventare spigoli e
viceversa.
Un’altra spiegazione è che se proviamo a smontare e rimontare
il cubo non sempre si può risalire alla soluzione in quanto è
composto da 12 “mondi paralleli”. Infatti se noi ci troviamo in
uno di questi “mondi” è impossibile andare in un altro e solo in
uno di questi c’è la soluzione
Quindi dopo una serie di calcoli possiamo risalire al numero
effettivo delle combinazioni e cioè 43 252 003 274 489 856 000.
Per riuscire a calcolare le combinazioni del gioco dobbiamo
prima spiegare più dettagliatamente la composizione del cubo:
è composto da 6 quadratini centrali (1 faccetta) che
praticamente rimangono fissi dopo qualunque rotazione, 12
cubetti di spigolo (2 faccette) e 8 di angolo (3 faccette) .
Possiamo notare che gli angoli possono assumere tre diverse
posizioni. Quindi possiamo dire che gli angoli possono
assumere 8 configurazioni e che ogni configurazione può avere
tre diverse posizioni quindi possiamo dire che le combinazioni
degli angoli sono 3^8x8!.
Passando agli spigoli in modo analogo notiamo che possono
assumere 12 configurazioni diverse e che ognuna può avere
essere disposta in due modi diversi e quindi abbaimo che gli
spigoli possono avere 2^12x12! Combinazioni.
Così in totale abbiamo 3^8x2^12x8!x12!
Il numero che esce però non è quello esatto in quanto
comprende le combinazioni di tutti e 12 i “mondi paralleli”
descritti prima e che quindi basta dividere il risultato per 12 per
avere il numero effettivo delle combinazioni.
Un Gruppo A consiste in un insieme con un’operazione binaria sui
suoi elementi che soddisfa le seguenti quattro condizioni:
1. L’operazione è chiusa. Cioè se a, b  A  a  b  A
2. L’operazione è associativa. Cioè se a, b, c  A  a  b  c  a  b  c
3. Esiste un elemento neutro. Cioè e  A tale che a  A
a  e  e  a  a a  A
4. Esiste l’inverso rispetto a ogni operazione di ogni elemento
Cioè a  A a' A tale che a  a'  a'a  e
Un gruppo A si dice abeliano (o commutativo) se per ogni
a, b  A si ha a  b  b  a
Da tutte le proprietà descritte sembrerebbe che ogni gruppo
sia abeliano. Invece esistono dei tipi di gruppi che non lo sono
e vengono chiamati Permutazioni
Le permutazioni sono dei tipi di gruppi che non sono abeliani
Per rappresentare una permutazione si fa uno schema:
1 2 3 4


3 2 4 1
Per permutazione si intende il numero di combinazioni
possibile tra questi quattro numeri. Per calcolare
velocemente il numero delle combinazioni possibile si usa il
numero fattoriale(!). Ad esempio in questo caso facciamo 4!
e cioè 1*2*3*4 e cioè 24.
Per rappresentare in maniera ancora migliore la
permutazione si può utilizzare la notazione in cicli
Abbiamo due permutazioni P e Q appartenenti al gruppo A:
1 2 3 4

P  
3 1 2 4
1 2 3 4 

Q  
1 3 2 4 
Applicando prima la permutazione P e poi il Q abbiamo:
 1 2 3 4 1 2 3 4   1 2 3 4 

  

PQ  
 3 1 2 4 1 3 2 4   2 1 3 4 
Per notazione ciclica intendiamo l’insieme dei numeri tra
parentesi in cui ciascuna numero si muove nella posizione
successiva di quello che segue, fino ad arrivare all’ultimo che si
sposta fino alla prima posizione.
I cicli possono avere lunghezze variabili da un minimo di 1 (che
possono essere omessi in quanto i numeri non vengono
spostati), fino ad un massimo di n che il numero totale dei
componenti della permutazione.
In conclusione la permutazione d’esempio si può scrivere in
notazione ciclica nel seguente modo:
1
3 42
Questi cicli si dicono disgiunti, infatti ogni numero appare in un
solo ciclo.
Esiste una particolare permutazione, quella che non sposta
nulla. Questa viene chiamata permutazione identica o identità e
viene rappresentata dall’unico ciclo .
Dato un insieme A con n elementi indichiamo con Sn l’insieme di tutte le
permutazioni sugli elementi di A; su questo insieme Sn consideriamo l’operazione
di composizione tra permutazioni così come vista nell’esempio precedente. Quello
che otteniamo è un gruppo con n! elementi.
Infatti come visto in precedenza l’operazione di composizione è chiusa.
Si verifica inoltre che tale operazione è associativa.
L’elemento neutro è chiaramente la permutazione identica (quella che non sposta
nulla).
E’ facile infine dimostrare che è sempre possibile trovare l’inversa di una
permutazione.
Infatti possiamo ottenere l'inversa di una permutazione scambiando la prima con
la seconda riga della permutazione stessa e poi riordinando gli elementi della
prima riga.
Esempio (troviamo l’inversa di una permutazione)
1
In S4
  
4
2
1
3
2
4

3
Poi riordinando abbiamo  1
 4 1 2 3

1
2
3
4


, scambiando le righe otteniamo 
 1 2 3 4

 
2
3
4
1


Verificare che   
1
  1    1
Per calcolare l’ordine si calcola di una permutazione la sua forma ciclica.
Per esempio con questa permutazione
1 2 3 4

P  
3 1 2 4
Il suo ciclo è
1
3 42
Ora bisogna fare il minimo comune multiplo dell’ampiezza dei cicli, così in
questo caso l’ordine della permutazione è 6 e si indica con ord 6.
Trovato questo valore bisogna comporre la permutazione per se stessa
per quante volte è il numero ottenuto. Alla fine otterremo l’identità.